行列式按行(列)展开定理

1 第一章 行列式

行列式是一个重要的数学工具．它广泛应用于理、工、农、医、经济等很多领域。在线性代数中，行列式更是一种不可或缺的重要工具.本章主要介绍行列式的定义、性质、计算及其在求解线性方程组中的应用——Cramer（克莱姆）法则.

§1.1 行列式定义

一、数域

定义1.1 设P是含有0和1的一个数集，若P中任意两个数的和、差、积、商（除数不为0）仍在P中，则称P为一个数域．

如果数集P中任意两个数作某一运算后的结果任在P中，则称P对这个运算封闭。因此数域的定义也可简单叙述为：含有0和1且对加法、减法、乘法、除法（除数不为0）封闭的数集称为数域.

全体有理数组成的集合、全体实数组成的集合、全体复数组成的集合都是数域，分别称为有理数域、实数域、复数域依次用Q、R、C来记。全体整数组成的集合不是数域，因为任意两个整数的商不一定是整数.

要指出的是所有的数域都包含有理数域。这是因为如果P是一个数域，则1在P中且由于P对加法封闭，所以1+1=2，2+1=3，，n+1全在P中，即 P包含全体自然数；又因0在P中且P对减法封闭，于是 0 - n = - n在P中,所以P包含全体整数；因为任意一个有理数都可表为两个整数的商，再由P对除法的封闭性知P包含全体有理数。即任何一个数域都包含有理数域.

今后本教材中所论及的数都是指某一固定数域中的数，文中一般不再特别加以说明.

二、排列

为了给出n阶行列式的定义，先介绍n级排列的概念．

定义1.2 由自然数1 ，2 ，„ ，n组成的全排列称为n级排列．记作

i1 i2 „ in

n级排列共有n!个.

n级排列中任意两个数，如果大数排在小数之前，则称这两个数构成一个逆序，否则称为顺序.一个n级排列i1 i2 „ in的逆序总数称为此排列的逆序数，记作 （i1 i2 „ in） ．逆序数为奇数的排 2 列称为奇排列；逆序数为偶数的排列称为偶排列．因（1 2 „ n）= 0，所以排列1 2 „ n是偶排列。我们称此排列为自然排列.

线性代数复习要点

第一部分 行列式

1. 排列的逆序数

2. 行列式按行（列）展开法则

3. 行列式的性质及行列式的计算

行列式的定义

1.行列式的计算：

① (定义法)1212121112121222()1212()nnnnnjjjnjjnjjjjnnnnaaaaaaDaaaaaa1

②（降阶法）行列式按行（列）展开定理：

行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和.

推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.

③ (化为三角型行列式)上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积.

④ 若AB与都是方阵（不必同阶）,则==()mnAOAAOABOBOBBOAAABBOBO1

⑤ 关于副对角线：(1)211212112111()nnnnnnnnnnnaOaaaaaaaOaO1

⑥ 范德蒙德行列式：1222212111112nijnjinnnnnxxxxxxxxxxx111 ⑦ ab型公式：1[(1)]()nabbbbabbanbabbbabbbba

⑧ (升阶法)在原行列式中增加一行一列，保持原行列式不变的方法.

⑨ (递推公式法) 对n阶行列式nD找出nD与1nD或1nD,2nD之间的一种关系——称为递推公式，其中

nD,1nD,2nD等结构相同，再由递推公式求出nD的方法称为递推公式法.

(拆分法) 把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和，

使问题简化以例计算.

⑩ (数学归纳法)

2. 对于n阶行列式A，恒有：1(1)nnknkkkEAS，其中kS为k阶主子式；

3. 证明0A的方法：

①、AA；

②、反证法；

③、构造齐次方程组0Ax，证明其有非零解；

13 §6 行列式按行（列）展开

对于三阶行列式来说，容易验证：

333231232221131211aaaaaaaaa3332232211aaaaa3331232112aaaaa2331222113aaaaa

这样，三阶行列式的计算就归结为二阶行列式的计算。

我们现在要利用行列式的性质来证明：n（1）阶行列式的计算总可以归结为较低阶的行列式的计算。我们将要得到的结论，不但能进一步简化行列式的计算，而且也具有重要的理论地位。

首先引入余子式和代数余子式的概念。

定义 在n阶行列式中，将元素ija所在的第i行与第j列划去后，余下的1n阶行列式称为元素ija的余子式，记作ijM. 若记ijjiijMA)1(，则称ijA为元素ija的代数余子式。

例如，在三阶行列式

333231232221131211aaaaaaaaaD

中，元素23a的余子式和代数余子式分别为

3231121123aaaaM

23233223)1(MMA

引理 一个n阶行列式，若其中第i行所有元素除ija外都是零，则该行列式等于ija与它的代数余子式ijA的乘积，即

ijijAaD

证明 先证ija位于第1行第1列的情形，此时

nnnnnaaaaaaaD21222211101111Ma

又由于11111111)1(MMA，于是1111AaD. 14 下证一般情形，此时

nnnjnijnjaaaaaaaD1111100

为了利用前面的结果，将D的行列作如下调换：先将D的第i行依次与第1i行、第2i行、…、第1行对调，这样，ija就调到原来ja1的位置上，调换的次数为1i；再将第j列依次与第1j列、第2j列、…、第1列对调，这样，ija就调到原来11a的位置上，调换的次数为1j. 总之，经过2ji次调换，将ija调到左上角所得到的新行列式DDji21)1(，而元素ija在1D中的余子式仍然是ija在D中的余子式ijM. 由于ija位于1D的左上角，于是利用前面的结果，应有

计算行列式方法6-展开定理

陈浩

定理简述

按一行（列）展开

设 是如下所示的n阶行列式

则对任一 ,

其中 是行列式A的代数余子式 。上式被称为行列式A按第j列展开。由对称性，行列式A也可以按行展开：

Laplace定理

设 是n阶行列式，在 中任取k行（列），那么含于这k行（列）的全部k阶子 式与它们所对应的代数余子式的乘积之和等于 ，即若取k个行：

，则

同样，若取定k个列： ，则

推论：分块上（下）三角行列式

相应题型

展开定理这种方法常在某一行（列）元素比零比较多的时候运用，这里主要介绍两类题型。 题型：直接考察展开定理

例 计算下列 阶行列式：

解：按第一列展开，经计算得

用Laplace定理多行展开

例：求2n阶行列式：

解：对第一行及最后一行用Laplace定理，即得递推式：

故求得行列式值为

题型：与行列式递推式结合

行列式递推法的常用步骤是：按行或列展开行列式，使行列式降阶，比较原行列式和降阶后的异同，找出递推关系，若降阶一次仍看不出关系， 可再降阶试试。

例 计算 阶行列式:

解：将所有行加到第一行上，再按第一行展开得 .不难得到

拓展：特殊三对角矩阵的行列式

解：这个行列式特点是主对角线元素全为a，上次对角线元素全为b，下次对角线元素全为b，其余元素为0.为求递推式，按第一行展开，得

令 , ，由数列递推式的相关知识有:

于是

因此，若 （即 ），则

若 （即 ），则