第讲 行列式按行(列)展开及计算

§6 行列式按一行(列) 展开在§4看到，对于n 级行列式，有n i A a A a A a a a a a a a a a a in in i i i i nnn n in i i n,,2,1,2211212111211=+++=. (1)现在来研究这些ij A ,n j i ,,2,1, =究竟是什么.三级行列式可以通过二级行列式表示：333122211333312321123332232211333231232221131211a a a a a a a a a a a a a aa a a a a a a a a a +-=. (2)定义7 在行列式nnnj n in iji n j a a a a a a a a a111111 中划去元素ij a 所在的第i 行与第j 列，剩下的2)1(-n 个元素按原来的排法构成一个1-n 级行列式nnj n j n n n i j i j i i n i j i j i i n j j a a a a a a a a a a a a a a a a1,1,1,11,11,11,1,11,11,11,111,11,111+-+++-++-+----+- (3)称为元素ij a 的余子式，记作ij M 下面证明ij j i ij M A +-=)1(. (4)为此先证明n 级行列式与1-n 级行列式的下面这个关系，1,12,11,11,222211,11211,11,12,11,121,2222111,112111-------------=n n n n n n nn n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a. （5）定义8 上面所谈到的ij A 称为元素ij a 的代数余子式.这样，公式(1)就是说，行列式等于某一行的元素分别与它们代数余子式的乘积之和.在(1)中，如果令第i 行的元素等于另外一行，譬如说，第k 行的元素，也就是.,,,2,1,i k n j a a kj ij ≠==于是nnn kn k kn k n in kn i k i k a a a a a a a a A a A a A a1111112211=+++右端的行列式含有两个相同的行，应该为零，这就是说，在行列式中，一行的元素与另一行相应元素的代数余子式的乘积之和为零.定理3 设nnn n n n a a a a a a a a a d212222111211=ij A 表示元素ij a 的代数余子式，则下列公式成立：⎩⎨⎧≠==+++.,0,,2211i k i k d A a A a A a in kn i k i k 当当 (6) ⎩⎨⎧≠==+++.,0,,2211j l j l d A a A a A a nj nl j l j l 当当 (7) 用连加号简写为⎩⎨⎧≠==∑=;,0,,1i k i k d A a is ks ns 当当 ⎩⎨⎧≠==∑=.,0,,1j l j l d A a sj sl ns 当当 在计算数字行列式时，直接应用展开式(6)或(7)不一定能简化计算，因为把一个n 级行列式的计算换成n 个(1-n )级行列式的计算并不减少计算量，只是在行列式中某一行或某一列含有较多的零时，应用公式(6)或(7)才有意义.但这两个公式在理论上是重要的.例1 计算行列式53204140013202527102135---- 例2 行列式113121122322213211111----=n nn n n nna a a a a a a a a a a a d(8) 称为n 级的范德蒙德(Vandermonde)行列式.证明对任意的)2(≥n n ，n 级范德蒙德行列式等于n a a a ,,,21 这n 个数的所有可能的差)1(n i j a a j i ≤<≤-的乘积.用连乘号，这个结果可以简写为∏≤<≤-----=ni j j in nn n n n na aa a a a a a a a a a a a 111312112232221321)(1111.由这个结果立即得出，范德蒙德行列式为零的充要条件是n a a a ,,,21 这n 个数中至少有两个相等.例3 证明rrr r kkk k rrr rkr r k kk k k b b b b a a a a b b c c b b c c a a a a111111111111111111110000.。

可见，三级行列式可通过二级行列式来表示．
a
称之为元素的
ij
注：
① 行列式中每一个元素分别对应着一个余子式和代数余子式．
无关，只与该元素的在行列式中的位置有关．
② 元素 的余子式和代数余子式与 的大小
ij a ij a
1
1
(1)
n nn
j j
a −=−∑⋯
+
a M
(1)i j
=−
ij ij
1122i i i i a A a A =++⋯
a a 12
D
范德蒙行列式
中至少两个相等范德蒙行列式
n
00
1
1n
n n a λλ
λ
−−=++
关于代数余子式的重要性质
1,
,0,;
n
j ki kj k i j D i a A i j D δ===⎧=⎨≠⎩∑当当1,,0,;n
j ik jk k i D i j a A i j D δ===⎧=⎨≠⎩
∑当当⎩⎨
⎧≠==δ.
,0,1j i j i ij 当，当其中
1. 行列式按行（列）展开法则是把高阶行列式的计算化为低阶行列式计算的重要工具. 1,
,2.0,;n
ki kj ij k j D i a A D i j δ==⎧==⎨≠⎩∑当当1,,
0,;n
ik jk ij k D i j a A D i j δ==⎧==⎨≠⎩
∑当当⎩⎨
⎧≠==δ.
,0,1j i j i ij 当，当其中三、小结。

行列式按行列展开法则行列式是线性代数中的一个重要概念，它是一个数学对象，用于描述矩阵的性质和特征。

行列式按行列展开法则是计算行列式的一种方法，它可以帮助我们快速准确地求解任意阶行列式的值。

本文将介绍行列式按行列展开法则的基本原理和具体计算步骤。

1. 行列式的定义在介绍行列式按行列展开法则之前，首先需要了解行列式的定义。

一个n阶方阵A的行列式记作|A|，它是一个数值，表示由矩阵A的元素所确定的一个量。

对于2阶矩阵：A = |a11 a12||a21 a22|其行列式的计算公式为：|A| = a11 * a22 - a12 * a21对于3阶矩阵：A = |a11 a12 a13||a21 a22 a23||a31 a32 a33|其行列式的计算公式为：|A| = a11 * a22 * a33 + a12 * a23 * a31 + a13 * a21 * a32 - a13 * a22 * a31 - a11 * a23 * a32 - a12 * a21 * a33对于n阶矩阵，行列式的计算公式较为复杂，因此需要借助行列式按行列展开法则来简化计算过程。

2. 行列式按行列展开法则的基本原理行列式按行列展开法则是通过递归的方式将一个n阶行列式的计算问题转化为n-1阶行列式的计算问题，从而简化计算过程。

具体来说，对于一个n阶矩阵A，其行列式的计算可以按照以下步骤进行：（1）选择矩阵A的第i行（或第j列）进行展开，记作Ai （或Aj）；（2）对于展开后的行列式Ai（或Aj），将其每个元素乘以对应的代数余子式，并加上符号因子后相加，得到展开后的行列式的值。

符号因子的计算规则为：若i+j为偶数，则符号因子为正号；若i+j为奇数，则符号因子为负号。

通过以上步骤，可以将一个n阶行列式的计算问题转化为n-1阶行列式的计算问题，从而简化计算过程。

3. 行列式按行列展开法则的具体计算步骤接下来，我们以一个3阶矩阵的行列式为例，介绍行列式按行列展开法则的具体计算步骤。