行列式《行列式按行(列)展开》课件

第四节行列式按一行(列)展开将高阶行列式化为低阶行列式是计算行列式的又一途径，为此先引进余子式和代数余子式的概念．在n 阶行列式中，划去元素aij 所在的行和列，余下的n-1阶行列式(依原来的排法)，称为元素aij 的余子式，记为Mij.余子式前面冠以符号(-1)i+j ，称为元素aij 的代数余子式，记为Aij ＝（－１）i+j Ｍij.例如四阶行列式11121314212223243132333441424344a a a a a a a a a a a a a a a a 中,元素23a 的余子式和代数余子式分别为11121423313234414244;a a a M a a a a a a =23232323(1)A M M +=-=-引理一个n 阶行列式D ，如果第i 行所有元素除ij a 外全为零，则行列式.ij ij D a A =证先证ij a 位于第1行第1列的情形，此时11212221200,nn n nna a a a D a a a = 这时第三节例4中当k=1时的特殊情形，按第三节例4的结论有11111111D a M a A ==.再证一般情形，此时1111100.j n ij n nj nna a a a D a a a = 我们将D 作如下的调换：把D 的第i 行依次与第i-1行，第i-2行，…，第1行对调，这样数ij a 就调到了第1行第j 列的位置，调换次数为i-1次；再把第j 列依次与第j-1列，第j-2列，…，第1列对调，数ij a 就调到了第1行第1列的位置，调换次数为j-1，总共经过(i-1)+(j-1)次对调，将数ij a 调到第1行第1列的位置，第1行其他元素为零，所得的行列式记为D １，则，而ij a 在D １中的余子式仍然是ij a 在D 中的余子式Mij ，利用前面的结果，有1ij ijD a M =于是1(1)(1)i j i j ij ij ij ijD D a M a A ++=-=-=定理4.1行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即Ｄ＝ai １Ai １＋ai2Ai2＋…+ainAin(i=1,2,…，n),或Ｄ＝a １jA １j ＋a2jA2j ＋…+anjAnj(j=1,2,…，n)．证1112112120000000n i i inn n nn a a a D a a a a a a =++++++++++11121111211112112121212000000,n n n i i in n n nn n n nnn n nna a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a =+++根据引理有Ｄ＝ai1Ai1＋ai2Ai2＋…+ainAin ＝∑nk=1aikAik(k=1,2,…，n)．类似地，我们可得到列的结论，即Ｄ＝a1jA1j ＋a2jA2j ＋…+anjAnj ＝∑nk=1akjAkj(j=1,2,…，n)．这个定理称为行列式按行(列)展开法则，利用这一法则并结合行列式的性质，可将行列式降阶，从而达到简化计算的目的．例1再解第三节中例1．解25120010371412165927112346122110D -----==---1311126300(1)11311321021013(1)(3)10++--=-=--=-⨯--＝－３×（－１）×（－１）×３＝－９．例2计算行列式11211nnn nna b a b D c d c d =解按第1行展开有111121111000000n n n nn n na b a b D a c d c d d ----=11111211110(1)00000n n nn n n na b a b b c d c d c --+--+⨯-2(1)2(1)2(1)(),n n n n n n n n n n n a d D b c D a d b c D ---=-=-,以此作递推公式，得22(1)11112(2)111111222211111111111()()()()()()()()()(),n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n ni i i i i D a d b c D a d b c a d b c D a b a d b c a d b c a d b c c d a d b c a d b c a d b c a d b c --------------==-=--==---=---=-其中记号“∏”表示所有同类型因子的连乘积．例3证明范德蒙(Vandermonde)行列式1222212111112111()nn n i j n i j n n n nx x x D x x x x x x x x ≥≥---==-∏（４．１）证用数学归纳法证明．当n=2时，211211()i j n i j D x x x x ≥≥==-∏ (4.1)式成立．假设(4.1)式对n-1阶范德蒙行列式成立，要证(4.1)式对n 阶范德蒙行列式成立．为此，将Dn 降阶，从第n 行开始，后一行减前一行的1x 倍得2131122133112222213311111100()()()0()()()n n n n n n n n n x x x x x x D x x x x x x x x x x x x x x x x x x ------=------按第1列展开，并提取每一列的公因子，有232131122223111()()()n n n n n n n x x x D x x x x x x x x x ---=---上式右端行列式是n-1阶范德蒙行列式，由归纳假设它等于∏n ≥i ＞j ≥2（xi －xj ），故2131121()()()()().n n i j n i j i j n i j D x x x x x x x x x x ≥≥≥≥=----=-∏∏显然，范德蒙行列式不为零的充要条件是x １，x ２，…，xn 互不相等．由定理4.1还可以得到下述推论．推论行列式任一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即ai １Aj １+ai ２Aj ２＋…＋ainAjn=0,i ≠j ，或a1iA1j+a2iA2j ＋…＋aniAnj=0,i ≠j ．证作行列式(i ≠j)11121121212ni i ini i in n n nna a a a a a a a a a a a 则除其第j 行与行列式D 的第j 行不相同外，其余各行均与行列式D 的对应行相同．但因该行列式第i 行与第j 行相同，故行列式为零．将其按第j 行展开，便得ai １Aj １+ai ２Aj ２＋…＋ainAjn=0.同理可证a1iA1j+a2iA2j ＋…＋aniAnj=0．将定理4.1与推论综合起来得∑nk=1aikAjk ＝Ｄ，i ＝j,０，i ≠j,或∑nk=1akiAkj ＝Ｄ，i ＝j,０，i ≠j.下面介绍更一般的拉普拉斯(Laplace)展开定理．先推广余子式的概念．定义4.1在一个n 阶行列式D 中，任意取定k 行k 列(k ≤n)，位于这些行与列的交点处的k ２个元素，按原来的顺序构成的k 阶行列式M ，称为行列式D 的一个k 阶子式；而在D 中划去这k 行k 列后余下的元素，按原来的顺序构成的n-k 阶行列式N ，称为k 阶子式M 的余子式．若k 阶子式M 在D 中所在的行、列指标分别为i １，i ２，…，ik 及j １，j ２，…，jk ，则（－１）(i １＋i ２＋…＋ik ）＋（j １＋j ２＋…＋jk ）Ｎ称为k 阶子式M 的代数余子式．如在五阶行列式111213141521222324255152535455a a a a a a a a a a a a a a a 中选定第2、第5行，第1、第4列，则二阶子式21245154a a M a a =的余子式121315323335424345a a a N a a a a a a =而代数余子式为2514(1).N N +++-=*定理4.2(拉普拉斯定理)设在行列式D 中任意选定k(1≤k ≤n-1)行(或列)，则行列式D 等于由这k 行(列)元素组成的一切k 阶子式与它们对应的代数余子式的乘积之和．(不证)例4用拉普拉斯定理计算行列式12140121.10130131D -=解若取第1、第2行，则由这两行组成的一切二阶子式共有246C =个123456121114,,,010*********,,.121121M M M M M M ===-===--其对应的代数余子式为123456130301,,,311113131110,,.010301A A A A A A ==-===-=则由拉普拉斯定理得Ｄ＝Ｍ１Ａ１＋Ｍ２Ａ２＋…＋Ｍ６Ａ６＝（－１）×（－８）－２×（－３）＋１×（－１）＋５×１－６×３＋（－７）×１＝－７．注当取定一行(列)即k=1时，就是按一行(列)展开．从以上计算看到，采用拉普拉斯定理计算行列式一般并不简便，其主要是在理论上的应用．。