第2讲行列式按行(列)展开及计算

按列展开：
d , 当 l j , a1l A1j a2l A2 j L anl Anj 0 , 当 l j .
4.拉普拉斯定理 设在行列式中任意取定了k( 1 k n 1 ) 个行.由
这k行元素所组成的一切k级子式与它们的代数余子式
的乘积之和等于行列式的值。
5. 范德蒙德行列式
1 1 1 1
从而，它本身表示 n！个行列式的和。
1
1
例15.求n阶行列式 D L 1
1
1 L 1L LL 1L 1L
1 1
L 展开后的正项总数。
1 1
解：易知D=2n1 设D的展开式中有P个正项，N个负项.
由于D的每一项不是1就是-1，故
P N n! P N 2n1
从而 P 1 (2n1 n!) 2n2 1 n!
a11 a12 a1n a11 a21 an1
a21 a22 a2n a12 a22 an2
an1 an2 ann a1n a2n ann
性质2 有公因数，可以提取.
a11 a12
a1n
a11 a12
kai1 kai2
kain k ai1 ai2
an1 an2 ann
2.逆序（数）
定义2 在一个排列中，如果一对数的前后位置与大
小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么它们就称 为一个逆序，一个排列中逆序的总数就称为这个排列的 逆序数.
排列 j1 j2 jn 的逆序数记为 ( j1 j2 jn ) 3.奇偶排列
定义3 逆序数为偶数的排列称为偶排列；逆序数为 奇数的排列称为奇排列. 4.对换
二、行列式的计算 n级行列式的计算或证明一般比较麻烦，有一
定的难度。但在计算或证明时有一个中心指导思想： 就是化行列式使其元素中出现较多的零，并向下面 两种形式的行列式化简：

第二讲Ⅰ 授课题目（章节）：§1.3 行列式的性质；§1.4 行列式按行（列）展开Ⅱ 教学目的与要求：了解行列式的性质，会将行列式按一行（一列）展开，会用行列式的性质计算一些较简单的行列式以及某些n 阶行列式Ⅲ 教学重点与难点：重点：行列式的性质，将行列式化为上三角行列式，行列式按行列展开 难点：行列式的计算Ⅳ 讲授内容：§1.3 行列式的性质定义1.8 行列式D 中的行与列对换后得到的行列式称为D 的转置行列式，记作T D即：若=D nnn n n n a a a a a a a a a ... (2)12222111211，则有=T D nnnnn n a a a a a a a a a ... (212221212111)注1 行列式的转置可以看作将行列式以主对角线为对称轴做对称变换；注2 D 中位于第i 行第j 列的元素ij a ，在T D 中位于第j 行第i 列；D 与T D 中同位于第i 行第j 列的元素，D 中是ij a ，而T D 中是ji a 性质1 D =T D证 D 中的项是取自不同行不同列的元素的乘积，可以表示为：n n nj j j j j j N a a a ...)1(212121)...(- 它的符号为) (21)1(n j j j N -而由于D 与T D 中的元素行列互换，这些元素在T D 中位于相应的不同列不同行， 因而它们的乘积nnj j j a a a (2)121也是T D 中的一项。

又由定理1.3知，作为T D 中的一项，它的符号可由行标排列n j j j ...21的逆序数与列标排列n...12的逆序数确定，因而在T D 中，其符号为)...()...12() (2121)1()1(n n j j j N n N j j j N -=-+综上所述，D 中的任一项都是T D 中的一项，且符号相同。

反之也成立 从而得证D =T D注 由本性质可知，行列式的行具有的性质，列同样也有。

矩阵求逆
通过行列式按行(列)展开，可以计算矩阵的 逆矩阵。
矩阵求行列式
行列式按行(列)展开是计算矩阵行列式的基 本方法之一。
在特征值与特征向量中的应用
1 2
特征值求解
行列式按行(列)展开可以用于求解矩阵的特征值。
特征向量求解
通过行列式按行(列)展开，可以求解矩阵的特征 向量。
3
判断特征值的个数
通过行列式不为0的条件，可以判断特征值的个 数。
替换元素
将选定列中的其他元素替换为零。
03
02
提取因子
将选定列中的元素按照对应行提取 出来，作为新的因子。
计算行列式
根据二阶行列式的计算方法，计算 得到新的行列式。
04
计算实例
假设有一个三阶行列式|A|，其元素如下
| a11 a12 a13 | | a21 a22 a23 |
计算实例
01
| a31 a32 a33 |
$|a_{21} quad a_{22}|$
行列式的定义
三阶行列式：由三个元素 $a_{11}$，$a_{12}$， $a_{13}$和$a_{21}$， $a_{22}$，$a_{23}$以及 $a_{31}$，$a_{32}$， $a_{33}$构成的二阶行列式， 记作
$|a_{11} quad a_{12} quad a_{13}|$
03
2023
PART 03
行列式按列展开
REPORTING
定义与性质
定义
行列式按列展开是将行列式中的元素 按照某一列的对应行进行展开，得到 一个与原行列式等价的二阶行列式。
性质
行列式按列展开后，其值不变，即 |A|=|A|'，其中A为原行列式，A'为按列 展开后的行列式。

7 15 6 6 2. 5 38
记 交换 i、j 两行： ri rj ；交换i、j两列： ci c j
推论1 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行
列式为零
证明 把相同的两行互换，有D＝－D，所以 D=0
性质3 用数 k 乘行列式的某一行（列）中所有元素，等
于用数 k 乘此行列式
a11
a12
a1n
a11 a12
a1n
即 kas1 kas2
kasn k as1 as 2
asn
an1
an2
ann
an1 an2
ann
记 第 i 行乘以 k：kri；第j列乘以 k: kcj 推论1 若行列式D中某一行（列）的所有元素均为零，
则D=0.
推论2 行列式的某一行（列）中所有元素的公 因子 可以提到行列式符号的外面．
a 3a b 6a 3b c
d abcd 4a 3b 2c d 10a 6b 3c d
解 从第 4 行开始，后行减前行得，
r4 r3 a b
c
d
r3 r2 0 a a b a b c
r2 r1
D
0
a
2a b
3a 2b c
0 a 3a b 6a 3b c
r4 r3 a b c
a11 a12 a1n
s ai1 ai2 ain
s ai1 ai2 ain
t
k
kai1 kai2 kain
ai1 ai2 ain
0.
t
an1 an2 ann
an1 an2 ann
例1 设
a11 a12 a13
6a11 2a12 10a13
a21 a22 a23 1, 求 3a21 a22

a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34 a41 a42 a43 a44
a11 a13 a14ຫໍສະໝຸດ M32= a21 a23 a24
a41 a43 a44
A32=(-1)3+2M32 =-M32
下页
一、余子式与代数余子式
定义1 在n阶行列式D=|aij|中去掉元素a i j 所在的第i行和第j列后,
= (3n-1 + 3n-2 + + 32 + 3) + 2
3 3n-1 - 1
3n + 1
=
+2=
2
2
下页
例5. 证明范得蒙（Vandermonde）行列式
1 1 1 1
a1 a12 Dn = a1n-3
a2 a22 a2n-3
a3 a32 a3n-3
an an2 = (ai - a j ) ann-3 1 j i n
下页
1 2 34
例2．计算行列式 D = 1 0 1 2 3 -1 -1 0 1 2 0 -5
解： 将某行(列)化为一个非零元后展开
1 2 34 D= 1 0 1 2
3 -1 -1 0 1 2 0 -5
r1 + 2r3 r4 + 2r3
7 0 14 1 0 12 3 -1 -1 0 7 0 -2 -5
余下的n-1阶行列式，称为D中元素aij 的余子式，记作Mij.
令Aij=(-1)i+jMij， Aij称为元素aij的代数余子式.
再如，求4阶行列式中a13的代数余子式
a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34 a41 a42 a43 a44

a41 a42 a43 a44
a11 a12 a14
1 33 a33 a21 a22 a24 .
a41 a42 a44
Page 5
证 当 aij位于第一行第一列时,
a11 0 0
D a21 a22 a2n
an1 an2 ann
即有 D a11M11.
又 A11 1 11 M11 M11,
0 an1
0 an2
ain ai1 Ai1 ai 2 Ai 2 ain Ain
i 1,2, ,n
ann
Page 13
推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列） 的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即
a A i1 j1 ai2 Aj2 ain Ajn 0, i j .
余子式仍然是aij在
a11 a1 j a1n
D 0 aij 0 中的余子式 Mij .
an1 anj ann
Page 10
aiij 于是有 ai1, j
0 ai1, j1
0 ai1,n aij Mij ,
anj an, j1
故得
aaiijj
0
D 1 i j ai1, j ai1, j1
a12
a1n
D ai1 0 0 0 ai2 0 0 0 ain
an1
an2
ann
Page 12
a11 a12 a1n
a11 a12 a1n
ai1 0 0 0 ai2 0
an1 an2 ann
an1 an2 ann
a11 a12 a1n
ai1
ain , ain
当 i j 时,
an1 ann
第i行 第 j行

00 00
x 1 a2 a1 x
1 0 x 1 an (1)n1 0 x
00
于是, 得递推公式 而由递推公式, 得 继续递推公式, 得
Dn xDn1 an Dn1 xDn2 an1 D1 x a1
第18页，共48页。
00 00 00 x 1
18
故 Dn x( xDn2 an1 ) an x2 Dn2 an1 x an
定义1.5 在 n 阶行列式中,把元素 aij 所在的第i行和
第 j 列划去后, 余下的 n -1 阶行列式叫做元素 aij的
余子式. 记为 Mij . 称 Aij 1i j Mij 为元素 aij
的代数余子式.
a11 a12 a13 a14
例如
a21 a22 a23 a24 D
a31 a32 a33 a34
第20页，共48页。
20
1
1
0
x2 x1
0 x2 ( x2 x1 )
1 x3 x1 x3 ( x3 x1 )
1 xn x1 xn ( xn x1 )
0 x2n2 ( x2 x1 ) x3n2 ( x3 x1 )
xnn2 ( xn x1 )
按第1列展开,再把每列的公因子 ( xi x1 ) 提出,
问题：一个n 阶行列式是否可以转化为若干个 n -1阶行 列式来计算？
a11 a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
a11
a22 a32
a23 a33
a12
a21 a31
a23 a33
a13
a21 a31
a22 a32
可见一个三阶行列式可以转化成三个二阶行列式来计算.

|a31 a32 a33|，可以选择第一行进行展开，得到其值等于a11*(a22*a33-a23*a32) - a12*(a21*a33a23*a31) + a13*(a21*a32-a22*a31)。
高阶行列式求解示例
递归降阶法
对于高阶行列式，可以采用递归降阶的 方法进行求解。即选择一行（列），将 这一行（列）的每个元素分别与其代数 余子式相乘并求和，从而将原行列式降 阶为一个低一阶的行列式。通过不断重 复这一过程，最终可以将高阶行列式降 阶为二阶或三阶行列式进行求解。
矩阵运算与行列式的关系
矩阵运算中的很多性质与行列式的性质密切相关，如矩阵的乘法、转置、逆等运算都与行列式有紧密联系。在求 解线性方程组时，我们常常需要利用矩阵的性质进行化简和计算。
线性方程组求解与行列式的应用
对于n元线性方程组，我们可以利用克拉默法则（Cramer's Rule）进行求解。克拉默法则是一种利用行列式求解 线性方程组的方法，它涉及到计算系数行列式和各个未知数的系数行列式，然后利用这些行列式的值求出未知数 的解。
03
把行列式的某一行(列)的各元素 乘以同一数然后加到另一行(列) 对应的元素上去，行列式不变。
04
行列式计算规则
01
对于二阶和三阶行列式，可以 直接套用公式进行计算。
02
对于高阶行列式，可以采用按行 (列)展开法则进行计算，即选择 某一行(列)，将其各元素与对应 的代数余子式相乘后求和。
03
在按行(列)展开时，需要注意 代数余子式的符号取决于被删 除的行和列的序号之和的奇偶 性。
选择要展开的行或列
根据题目要求或行列式的特点，选择合适的行或 列进行展开。通常选择含有零元素较多或元素较 简单的行或列。

当系数行列式D等于0时，克莱姆法则 失效，无法判断方程组是否有解以及 解的个数。
利用矩阵的秩
通过分析系数矩阵的秩和常数项矩阵的秩， 判断方程组的解的情况。当系数矩阵的秩等 于常数项矩阵的秩时，方程组有解；否则无 解。
引入参数法
通过引入参数将原方程组转化为参数方 程组，利用克莱姆法则求解参数方程组 的解，再回代求解原方程组的解。
• 适用性广：该方法适用于任何阶数的行列式，具有普适性。
行列式按行展开的优点与不足
要点一
计算量较大
要点二
难以直接观察行列式性质
对于高阶行列式，按行展开可能涉及大量的计算，导致计 算效率低下。
按行展开后，原行列式的结构和性质可能被掩盖，不利于 进一步分析和研究。
对未来研究的展望
探索更高效的计算方法
利用高斯消元法
通过高斯消元法将原方程组化简为阶 梯形方程组或最简形方程组，从而直 接求解方程组的解。
06 总结与展望
行列式按行展开的优点与不足
简化计算
通过按行展开，可以将一个高阶行列式转化为多个低阶行列式的和，从而简化计算过程。
直观性
按行展开的方法较为直观，易于理解和掌握。
行列式按行展开的优点与不足
行列式按行展开有助于理解行列式的本质和性质，加深对线性代数相关概 念的理解。
02 行列式按行展开的基本原 理
代数余子式的概念
代数余子式定义
在n阶行列式中，把元素$a_{ij}$所在的第i行和第j列划去后，留下来的n-1阶行 列式叫做元素$a_{ij}$的余子式，记作$M_{ij}$；记$A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$， $A_{ij}$叫做元素$a_{ij}$的代数余子式。
行列式按行展开的公式为：$D = a_{i1}A_{i1} + a_{i2}A_{i2} + ldots + a_{in}A_{in}$，其中$a_{ij}$是所选行中的元素，$A_{ij}$ 是对应的代数余子式。

b
0 M M M
0 a M + b(−1)1+2n M M M 0 c
2( n−1)
b O a c N b d O d N
M c d 0 0 L L L L 0 d 14442 443 4 4 4
2( n−1)
c 0 L L L L 0 1 442 443 4 4 4 4
上页
下页
返回
= adD2( n−1) − bc(−1)2n−1+1 D2( n−1)
上式右端行列式中有两行对应元素相等， 当 i ≠ j 时，上式右端行列式中有两行对应元素相等， 故行列式为 0 ，即得
= an − an−2 = an−2 (a2 − 1).
上页
下页
返回
由定理3 可得下列推论： 由定理 可得下列推论： 行列式任一行（ 推论 行列式任一行（列）的元素与另一行 的对应元素的代数余子式乘积之和等于零。 （列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零。 即
ai1 Aj1 + ai 2 Aj 2 + L+ ain Ajn = 0, i ≠ j,
A32 = (−1)3+2 M32 = − M32 .
上页 下页 返回
阶行列式， 引理 一个 n 阶行列式，如果其中第 i 行所有 元素除 aij 外都为 0 ，那么这个行列式等于aij 与它 的代数余子式的乘积， 的代数余子式的乘积，即
D = aij Aij
证 先证aij 位于第 1 行、第 1 列的情形，此时 列的情形，
阶行列式中， 在 n 阶行列式中，把元素 aij 所在的第 i 行和 列的元素划去， 第 j 列的元素划去，留下来的 n-1 阶行列式叫做 元素 aij 的余子式，记作 Mij ； 余子式， 记 Aij =(－1)i+j Mij , － Aij 称为元素 aij 的代数余子式。 代数余子式。

§1.4行列式的性质1、转置行列式：记 22212221212111212222111211,a a a a a a a a a D a a a a a a a a a D n n n n T nnn n n n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅= 行列式T D 称为行列式D 的转置行列式。

2、性质1 ：行列式与它的转置行列式相等 利用定义即可证明3、性质2： 互换行列式的两行（列），行列式反号nk i n k i nnj kj ij j j j j j j j j nnn n kn k k ini i n a a a a a a a a a a a a a a a a11211)(21212111211)1(τ∑-=将第i 行与第k 行交换，则ni k n i k nnj ij kj j j j j j j j j nnn n ini i kn k k na a a a a a a a a a a a a a a a11211)(21212111211)1(τ∑-=其中列标进行了一次对换，所以添加了一个负号，即可证明 推论：如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式等于零 证 把这两行互换，有D D -=，故0=D4、性质3 ：行列式的某一行（列）中所有元素都乘以同一数k ，等于用数k 乘此行列式。

可用定义证明推论1：行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。

推论2： 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零。

5、性质4： 若行列式中某一行（列）的元素ij a 都可以分解为两个数ij b 和ij c 之和，即)2,1,(n j i c b a ij ij ij ⋅⋅⋅=+=，则此行列式也可以分解为两个行列式的和 利用定义证明6、性质5： 把行列式的某一行（列）的个元素乘以同一数然后加到另一行（列）对应的元素上去，行列式不变。

可由性质4与性质3的推论证得例1： 计算3331110243152113-----=D解：4072160648011202131721601120648021313315112043512131321412215=-----==------==-------==↔+-↔r r r r r r c c D§1.5 行列式按行（列）展开先引进余子式和代数余子式的概念1、定义： 在n 阶行列式中，把元素ij a 所在的第i 行和第j 列划去后，剩下的元素按原来顺序不变构成的1-n 阶行列式叫做元素ij a 的余子式，记作ij M ；记ij ij j i ij A M A ,)1(+-=为元素ij a 的代数余子式。

i =2 n
a1 D2 = c1
n
b1 = a1d1 b1c1 d1
得
D2 n = ∏ (ai di bi ci )
i =1
计算下列行列式: 例3. 计算下列行列式:
x b1 D = b2 M bn a1 c1 0 M 0 a2 L an 0 L 0 0 M c2 L M O 0
L cn
解:该行列式的特点是:非零元素分布在第一行,列 该行列式的特点是:非零元素分布在第一行, 及主对角线上, 形分布.根据这一特点, 及主对角线上,成"爪"形分布.根据这一特点,可借助 主对角线上的元素利用倍加变换将第一行(列)元素化为 主对角线上的元素利用倍加变换将第一行( 即可. 零.即可.
aj cj r j +1 + r1
D
j =1,L, n
=
n a b j j ∏ ci x ∑ c j =1 i =1 j n
1 + x12 x2 x1 L xn x1 2 x1 x2 1 + x2 L xn x2 例4 计算 Dn = M M M 2 x1 xn x2 xn L 1 + xn
bn
0 N
a b c d
1 1
0 O
d n 1 0 0 dn
c c
n
n 1
d
0
n 1
0
都按最后一行展开
an d n D2 n2 bn cn D2 n2
由此得递推公式: 由此得递推公式: D2 n = (an d n bn cn ) D2 n 2 即 而
D2 n = ∏ (ai di bi ci ) D2
(8)计算 (8)计算 D2 n = 0
;
an O

Dn
1
1
解:按首行(列)展开, 后一行列式再按首列(行)展开得
Dn ( )Dn1 Dn-2
变形为: Dn Dn1 ( Dn1 Dn2 ) 2 ( Dn2 Dn3 ) ＝… n2 ( D2 D1 )
展 开
4 1 0
4 1 0
降
＝3 23
4
5 1
＝9
阶
11 1 1 (2) D 1 2 3 4
1 4 9 16 1 8 27 64 =(2-1)(3-1)(4-1)(3-2)(4-2)(4-3)=12
1111
范德蒙行列式
V4
x1 x12
x2 x22
x3 x32
x4
( x j xi )
7 9
1 2
4 7
r2 r4

0
1
4
0
0 1 9 3
化 上
2 5 1 2
0 3 5 6
三
角
形
1 4 2 2
1 4 2
r3 ( 1)r2

0
0 r4 3r2
1 4 05
0 3
r4 (
7 5
)
r3

0
0
1 4 05
2
0 ＝9
3
0 076
0 0 0 95
0 x a2

0
0
1 a2 a1 a3 a2 x an
n
( x ai )( x a1 )( x a2 )( x an ) i 1
n
n
( x ai )( x ai )

a1n L 0 +L+ L ann
= ai 1 Ai 1 + ai 2 Ai 2 + L + ain Ain
§2.6 行列式按一行（列）展开 行列式按一行（
(i = 1,2,L, n )
例1.计算行列式 .
3 −5 D= 2 1
1 1 0 −5
−1 3 1 3
2 −4 −1 −3
解：
5 1 D = −11 1 0 0 −5 −5
k= k =1
n
或 D = a1 j A1 j + a2 j A2 j + L + anj Anj = ∑ akj Akj
k =1
n
j = 1,2,L , n
§2.6 行列式按一行（列）展开 行列式按一行（
证：
a11 a12 L L D = ai 1 + 0 + L + 0 0 + ai 2 + L + 0 L L a n1 an 2
由行列式的定义， 由行列式的定义，有
D=
=
∑j j jL
1 2
1 n −1
( −1)τ ( j1L jn ) a1 j1 a2 j2 L an−1, jn−1 anjn
( −1)τ ( j1L jn−1n ) a1 j1 a2 j2 L an−1, jn−1 ann ( −1)τ ( j1L jn−1 ) a1 j1 L an−1, jn−1
1 a1 = ( −1)
1+ n
1 a2
2 a2
L 1 L a n −1
2 L a n −1
(a1 − an )(a2 − an )L (an−1 − an )

=0 (-1)1+2
《线性代数》 返回 下页 结束
例2．计算行列式
1 2 3 4 1 0 1 2 D= 3 -1 -1 0 1 2 0 -5 1 4 1 2 -1 0 -2 -5 6 0 2 1 1 2 9 0 -1
解： 将某行(列)化为一个非零元后展开
1 2 3 4 7 0 1 0 1 2 r1 + 2r3 1 0 D= 3 -1 -1 0 r4 + 2r3 3 -1 1 2 0 -5 7 0 7 1 4 r1 - r2 =(-1)(-1)3+2 1 1 2 7 -2 -5 r3 + 2r2 2+2 6 2 =-6-18 =-24. =1(-1) 9 -1
《线性代数》
下页
结束
2
1 2 -1 -1
1 2 -1 1 1 2
1 1 2

1 1 1
例4. 2
1 1 1
1
1
1 1 2

1
1
解：
-1 2 Dn = - 1 - 1
1 0 1 + 0
-1 -1 -1 2
= (b + 2 a )
=
(b + 2a )
0 b 0 a a 0 b a
1 0 b = (b + 2 a ) b ( -1 )
1+3
1 a a 1 b 0
1 0 = (b + 2a) b
b
0 a a -b 0 b -b
a = (b + 2a) b b
返回
a -b -b
= b 2 (b + 2 a ) ( b - 2 a)
第2节 行列式的性质与计算

一、 余子式的定义：在n 阶行列式中，把（）元ij a 所在的第i 行，第j 列去掉之后，留下来的n-1阶行列式称作ij a 的余子式，记作ij M二、 代数余子式：在n 阶行列式的ij a 余子式ij M 加上符号(1)i j +-，称作ij a 的代数余子式ij A ： (1)i j ij ij A M +=-三、 引理1：一个n 阶行列式，如果其中的第i 行所有元素除了（i,j ）元ij a 外都为0，则这个行列式等于ij a 与它的代数余子式乘积： ij ij D a A =⋅四、 行列式按行（列）展开法则：定理3：行列式等于它的任一行（列）的各个元素与其对应的代数余子式的乘积之和：1122i i i i in in D a A a A a A =⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅1122j j j j nj nj D a A a A a A =⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅ （i j ≠）推论：行列式某一行（列）的元素与对应的另一行（列）元素的代数余子式乘积之和等于0：1122i j i j in jn D a A a A a A =⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅1122i j i j ni nj D a A a A a A =⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅ （i j ≠）五、 克拉默法则：如果含有n 个未知数的n 个线性方程组：11112211n n a x a x a x b ++⋅⋅⋅+=21122222n n a x a x a x b ++⋅⋅⋅+=31132233n n a x a x a x b ++⋅⋅⋅+=………………………………………………………………………………………………………1122n n nn n n a x a x a x b ++⋅⋅⋅+=其系数行列式不等于0，即：1111............0...nn nna a D a a =≠ 那么，方程组有惟一解：11D x D=,22D x D =,…n N D x D = 1111,1122,11,1......................j n j j n n n j nn a b a a b a D a b a a +++=① 定理4：如果含n 个未知数的n 个线性方程组的系数行列式不等于0，则方程一定有解，且解是惟一的。

a1l A1 j a2l A2 j L
anl Anj
D, 0，
（当l j） （当l j）
注 在计算数字行列式时,直接应用行列式展开公式
并不一定简化计算, 因为把一个n阶行列式换成n个( n
－1)阶行列式的计算并不减少计算量, 只是在行列式中
某一行或某一列含有较多的零时, 应用展开定理才有
a31 a32 a33 a34
a41 a42 a43 a44
3
a21 a23 a24 M12 a31 a33 a34
a41 a43 a44
A12 1 12 M12 M12
a11 a12 a13
M44 a21 a22 a23 A44 1 44 M44 M44
证 由定理1,行列式等于某一行的元素分别与它们 代数余子式的乘积之和.
9
a11
a12
L
a1n
M MMM
ai1
ai2 L
a in
在行列式 D M M M M
ak1 M
ak 2 M
L
a kn
MM
an1
an2
L
ann
中, 如果令第 i 行的元素等则
ak1 Ai1 ak 2 Ai2 L akn Ain
1
定义1.5 在 n 阶行列式中,把元素 aij 所在的第i行和
第 j 列划去后, 余下的 n -1 阶行列式叫做元素 aij的
余子式. 记为 Mij . 称 Aij 1i j Mij 为元素 aij
的代数余子式.
a11 a12 a13 a14
例如
a21 a22 a23 a24 D
意义，但展开定理在理论上是重要的．