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第二讲Ⅰ 授课题目（章节）：§1.3 行列式的性质；§1.4 行列式按行（列）展开Ⅱ 教学目的与要求：了解行列式的性质，会将行列式按一行（一列）展开，会用行列式的性质计算一些较简单的行列式以及某些n 阶行列式Ⅲ 教学重点与难点：重点：行列式的性质，将行列式化为上三角行列式，行列式按行列展开 难点：行列式的计算Ⅳ 讲授内容：§1.3 行列式的性质定义1.8 行列式D 中的行与列对换后得到的行列式称为D 的转置行列式，记作T D即：若=D nnn n n n a a a a a a a a a ... (2)12222111211，则有=T D nnnnn n a a a a a a a a a ... (212221212111)注1 行列式的转置可以看作将行列式以主对角线为对称轴做对称变换；注2 D 中位于第i 行第j 列的元素ij a ，在T D 中位于第j 行第i 列；D 与T D 中同位于第i 行第j 列的元素，D 中是ij a ，而T D 中是ji a 性质1 D =T D证 D 中的项是取自不同行不同列的元素的乘积，可以表示为：n n nj j j j j j N a a a ...)1(212121)...(- 它的符号为) (21)1(n j j j N -而由于D 与T D 中的元素行列互换，这些元素在T D 中位于相应的不同列不同行， 因而它们的乘积nnj j j a a a (2)121也是T D 中的一项。
又由定理1.3知，作为T D 中的一项，它的符号可由行标排列n j j j ...21的逆序数与列标排列n...12的逆序数确定，因而在T D 中，其符号为)...()...12() (2121)1()1(n n j j j N n N j j j N -=-+综上所述，D 中的任一项都是T D 中的一项，且符号相同。
反之也成立 从而得证D =T D注 由本性质可知，行列式的行具有的性质，列同样也有。
授课时间 第 周 星期 第 节
课次 2 授课方式 （请打√）
理论课□ 讨论课□ 实验课□ 习题课□ 其他□
课时 安排
2
授课题目（教学章、节或主题）：
第二讲 行列式按行（列）展开及计算
教学目的、要求（分掌握、熟悉、了解三个层次）：
熟练掌握行列式按行（列）展开；掌握运用行列式的定义与性质计算行列式；熟悉一些典型行列式的计算；熟悉用数学归纳法证明行列式. 教学重点及难点：
重点：行列式按行（列）展开；利用行列式的定义与性质计算行列式 难点：行列式的计算
教 学 基 本 内 容
备注 一、行列式按行（列）展开
引理 一个n 阶行列式，如果其中第i 行所有元素除),(j i 元ij
a 外都为零，
那么这行列式等于ij a 与它的代数余子式的乘积.
定理 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即
)
,2,1(,),2,1(,22112211n j A a A a A a D n i A a A a A a D nj nj j j j j in in i i i i =++==++= （按行（列）展开法则）
推论 行列式的某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即
j i A a A a A a D jn in j i j i ≠++=,2211
或 .,2211j i A a A a A a D nj ni j i j i ≠++=
例1、3
2
3
1
11024315211
14----=
D
解
法
1:241227
1
51271031251
13
4
312014
260211
14-=⨯-=---=----=------=
D
解法2：244
8
224
8
1112021
2
3
5
010********
14-=-=
---=-----=
D
例2、设2
1
3
12
1014112
5
1
014---=D ，（1）求41312111A A A A +--；（2）444342412A A A A +-+。
解：（1）041312111=+--A A A A
（2）4444444342414443424133422A A A A A A A A A A -=-+-+=+-+
61
11
13
1
011121
13=--=---= 二、行列式的计算
例3、n
n n n n b a a a a b a a a a b a D +++=
2
1
2212
1
1，其中021≠n b b b
解：n n n n n n n b a a a a b a a a a b a a a a D D +++==+ 2
1
2
212112
11
0001＝n
n
b b b a a a 0
0100100112121---
＝
n
n n
j j
j b b b a a a b a
000000
121211
∑
=+＝⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛+∑=n j j j
n b a b b b 1211 例4、证明范德蒙行列式
∏≤<≤-----==n
i j j i n n
n n n n
n
n x x x x x x x x x x x x x x V 11
1312112
23222
1321
)(1111
证明：数学归纳法. ∏≤<≤-=
-==
2
1122
1
2)(11i j j i
x x
x x x x V 成立.
假如1-n V 成立，欲证n V 也成立，
)
()()(0)()
()(001
11112
132
3122211331221
1
312x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x V n n n n n n n n n ---------=---
22322
32
11312111
)
())((------=n n
n n n
n x x x x x x x x x x x x
∏∏≤<≤≤<≤-=
----=n
i j j i
n
i j j i
n x x
x x
x x x x x x 1211312)
()
()())((
例5、证明
22
2112
112221
121122
2122
21
1211121122211211
000b b b b a a a a b b c c b b c c a a a a =
一般可推广为：
ss
s s kk k k ss
s s s s k
k k k b b b b a a a a b b c c b b c c a a a a
1111111112
1
1111112
11110
00= 作业： 1．复习2116-P ； 1．预习2521-P ；
3．习题27P ：6（5）；8（1）（6）；9
教学后记。
