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线性代数第1章第4节行列式按行展开

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线性代数课件1-4行列式按行(列)展开

线性代数课件1-4行列式按行(列)展开


实例解析
• 实例2：考虑行列式$\begin{vmatrix}
实例解析
01
a&b&c
02
d&e&f
g&h&i
03
实例解析
• \end{vmatrix}$，按第2行展开，得到 $D=b\times\begin{vmatrix}
实例解析
d&f g&i
end{vmatrix}+ctimesbegin{vmatrix}
二阶行列式
由两个元素$a_{11}$和$a_{12}$，以及$a_{21}$ 和$a_{22}$构成的矩形，其值为$a_{11}a_{22} a_{12}a_{21}$。
三阶行列式
由八个元素构成的三个二阶行列式，其结果为三 个二阶行列式的代数和。
n阶行列式
由n阶方阵的n个元素构成的n个二阶行列式的代数 和。
行列式的性质
01
交换律：行列式的行和列可以交换， 即$|begin{matrix} a_{11} & a_{12} a_{21} & a_{22} end{matrix}| = | begin{matrix} a_{21} & a_{22} a_{11} & a_{12} end{matrix}|$。
02
结合律：行列式的行和列的乘法可以 按照任意组合进行，即 $|begin{matrix} a_{11} & a_{12} a_{21} & a_{22} end{matrix}| = | begin{matrix} a_{11} & a_{12} a_{21} & a_{22} end{matrix}| - | begin{matrix} a_{11} & a_{21} a_{12} & a_{22} end{matrix}|$。
线性代数第1章第4节行列式按行展开

线性代数第1章第4节行列式按行展开


故
4A12+2A22－3A32+6A42=0．
26
44411 32145 例：已知5阶行列式 D 3 3 3 2 2 23542 45613
试求 (1) A21 A22 A23; (2) A24 A25. 其中A2j为D中元素a2j ( j =1,2,3,4,5)的代数余子式．
解： 由行列式展开定理有
故 16 2(x) 019 (4)(2) 0 所以 x = 7．
25
例：设
21 41
3 4 2 1
D
,
1 2 3 2
50 62
求4A12+2A22－3A32+6A42，其中Ai2为D中元素ai2(i =1, 2, 3, 4) 的代数余子式．
解：因4, 2,－3, 6 恰好为D中第3列元素，而A12，A22， A32，A42 为D中第2列元素的代数余子式．
an1 an2 ann
11
则
a11 a12 a1n
ak1 Ai1
ak 2 Ai 2
akn Ain
ak1
ak 2
akn
第i行
ak1 ak 2 akn
an1 an2 ann
右端的行列式含有两个相同的行，值为 0 ．
12
综上，得公式
ak1 Ai1
ak 2 Ai 2
akn Ain
D, （当k 0，（当k
(i 1) ( j 1) i j 2 次交换行与交换列的步骤．
7
由性质2，行列式互换两行（列）行列式变号，
得，
aij 0 0
D (1)i j2 ai1, j ai1, j1 ai1,n
anj an, j1 ann
(1)i j aij Mij (1)i j Aij
线性代数与空间解析几何01-第4节 利用性质计算行列式_4

线性代数与空间解析几何01-第4节 利用性质计算行列式_4


3111
例1.2.2 计算四阶阶行列式 D 1 3 1 1 .
1131
1113
解 将第2、3、4行都加到第一行得
1111
1111
D r1 6
1 6
1
3 1
1 3
1 r2 r1 6 0 1 r3 r1 0
2 0
0 2
0 48. 0
1 1 1 3 r4 r1 0 0 0 2
1.2 行列式的性质
q11
0
D2
q11 qnn.
qn1 qnn
1.2 行列式的性质
1.2.2 利用性质计算行列式
对D的前k行做运算ri+krj，再对后n列做运算
ci+kcj，把D化为下三角形行列式
p11
0
D pk1 c11
pkk c1k
q11
,
cn1 cnk qn1 qnn
故 D p11 pkk q11 qnn D1 D2 .
x会
z yw
z y r1 r2 x x w y
w r2 r1 z
1.2 行列式的性质
2. 利用性质计算行列式
注意:
1.将几次运算写在一起时,各运算的次序不能颠倒. 例如
x y r1 r2 x z yw r2 r1 x z yw
zw
zw
; x y
x y r2r1 x y r1r2 z w .
1.2 行列式的性质
1.2.2 利用性质计算行列式
1 2 3 4
例1.2.1 计算四阶行列式 D 2
3 4 7 .
1 2 5 8
1 3 5 10
1 2 3 4
1 2 3 4
解 D 2 3
1 2
线性代数第一章PPT讲解1-4

线性代数第一章PPT讲解1-4


aaijij 0 0
D
1 i1
1
a j 1 i1, j
ai1, j1
ai1,n
anj an, j1 ann
aaiijj
0
0
1 i j2 ai1, j ai1, j1 ai1,n
anj an, j1 ann
aijj
0
0
1 i j ai1, j ai1, j1 ai1,n
anj an, j1 ann
aaiijj
0
0
元 素aij在 行 列 式ai1, j ai1, j1 ai1,n 中 的
anj an, j1 ann
余 子 式 仍 然 是aij在 a11 a1 j a1n
D 0 aaiijj 0 中的余子式 Mij .
an1 anj ann
二、行列式按行（列）展开法则
定理３ 行列式等于它的任一列（行）的各元 素与其对应的代数余子式乘积之和，即
D a1 j A1 j a2 j A2 j anj Anj j 1,2,, n
证 a11 a1 j 0 0 a1n
D
a21
0 a2 j 0
a2n
an1 0 0 anj ann
1பைடு நூலகம்
x2
x2 x1
( xi x j ),
2i j1
当 n 2 时（1）式成立．
假设（1）对于 n 1 阶范德蒙德行列式成立，
依次做行变换:
rn x1rn1 , rn1 x1rn2 , ....., r2 x1r1
有
1
1
1
1
0
Dn 0
x2 x1
x2 ( x2 x1 )
x3 x1
线性代数按行列展开

线性代数按行列展开


a2l A2 j
anl Anj

D, （当l 0，（当l

j） j）
11
例2：计算范德蒙行列式
1 1 1 ... . 1 1
x1
x2
Dn x12
x
2 2
.. ..
x3 . . . xn1 xn
x
2 3
...
x
2 n1
x
2 n
.. .. ..
x1n1
x
n1 2
x

a11
a22 a32
a23 a33

a12
(1)
a21 a31
a23 a33

a13
a21 a31
a22 a32
1
一、定义
n阶行列式 a11 a12 a1n
Dn

a21
a22

a2n
an1 an2 ann
中，划去元素aij所在的第i行和第j列元素，余 下的元素按原来顺序构成一个n-1阶行列式， 称为元素aij的余子式，记做Mij。
5
证明思路： (详细证明见教材) 1°两边项数相同； 2°右边各项都是 D 中的项； 3°右边各项的符号与在 D 中的符号相同。
说明：
该定理可作为行列式的等价定义。
按某行（列）展开，本质是对行列式降阶，
是降阶简化计算行列式的重要方法，特别适用 于某行（列）零元较多的情形。
6
例1 利用行列式的展开计算行列式的值 2 1 1 1 0 0 4 1
22
行列式的计算
普遍法则
定义法 化三角形法：
• 利用性质化为三角形行列式
降阶法（展开定理）
《线性代数》1.4行列式按行(列)展开

《线性代数》1.4行列式按行(列)展开

线 性 代 数
(第二版)
第四节 行列式按行（列）展开
上一节，用行列式的性质，把行列式化为三角（或 下三角）行列式的方法计算行列式的值，下面要介绍的内 容就是如何把高阶行列式化为低阶行列式来计算的方法. 现看三阶行列式 a11 a12 a13
D a21 a31 a22 a32
a22 a32 a23 a33
a23 a33
a12
a21 a23 a31 a33
a13
a21 a22 a31 a32
中
a22 a32
a23 a33
是 a11 的余子式，其代数余子式为
11
A11 1
a22 a32
a23 a33
=
a22 a32
a23 a33
类似 a12 的代数余子式为
A12 1
1 2
D as1 an1
按 ri 展开
ri rs
(a
k 1
ask ) Aik aik Aik ask Aik D ask Aik
把 D 移项得 同理可证
a
k 1
n
k 1
k 1
k 1
sk
Aik 0 ，即
as1 Ai1 as 2 Ai 2
a1 j A1s a2 j A2s
asn Ain 0,
anj Ans 0,
(i s)
(j s)
ai1 Ak1 ai 2 Ak 2 ain Akn 0 ,
(iபைடு நூலகம் k )
( j k)
同理可证 性质： 对行而言
a1 j A1k a2 j A2k anj Ank 0 ,
第1章 1.4 行列式按行按列展开法则

第1章 1.4 行列式按行按列展开法则


aaiijj ! 0 ! 0
"
"
"
( ) ( ) D =
- 1 i-1 ×
-1
a j-1 i-1, j
!
ai-1, j-1
!
ai -1,n
"
"
"
anj ! an, j-1 ! ann
aij ! 0 ! 0
"
"
"
( ) = - 1 i+ j-2 ai-1, j ! ai-1, j-1 ! ai-1,n
a21 a22 a23 a24
a21 aa2242a24aa2213a21aa2224a22a23 a23
a41 a42 a43 a44
a41 aa4442a44aa4413a41aa4424a42a43 a43
a11 a12 a13
= (-1)53+4aa3344 a21 a22 a23
a41 a42 a43
2 -2 1
ab c
2.行列式 d e f 元素 f 的代数余子式是？
ghk
A、 d e
gh
B、b a
hg
ab
ed
C、
D、
gh
hg
引理 一个n 阶行列式，如果其中第 行i 所有元
素除 aij 外都为零，那么这行列式等于 aij与它的代 数余子式的乘积，即 D = aij A．ij
a11 a12 a13 a14
§4 行列式按行(列)展开
•对角线法则只适用于二阶与三阶行列式. •n阶行列式的定义更适合0元素较多的高阶行列式 •本节主要考虑如何用低阶行列式来表示高阶行列式.
一、引言
《行列式按行展开》课件

《行列式按行展开》课件


对于任意n阶方阵A，其第i 行第j列的代数余子式Aij可 以表示为去掉第i行第j列后 的(n-1)阶子矩阵的行列式值 乘以(-1)^(i+j)。
行列式的性质还包括拉普拉 斯展开定理和克拉默法则等 。
拉普拉斯展开定理指出，一 个n阶行列式等于它的任意 一行的所有元素与其对应的 代数余子式的乘积之和；克 拉默法则则指出，如果线性 方程组的系数行列式不为0 ，则方程组有唯一解，且解 可以通过系数行列式和常数 项的代数余子式计算得出。
应的代数余子式相乘，得到最终结果。
行列式按行展开的
04
运算技巧
代数余子式的计算
代数余子式定义
在行列式中，去掉某行和某列后所得到的$n-1$阶行列式，乘以$(-1)^{i+j}$，其中$i$和$j$分别是去 掉的行号和列号，得到的项称为代数余子式。
代数余子式的计算方法
根据代数余子式的定义，可以通过递归的方式计算代数余子式。具体来说，可以将$n$阶行列式拆分 成若干个$n-1$阶子行列式，然后分别计算这些子行列式的代数余子式，最后将它们相加得到原$n$ 阶行列式的代数余子式。
03
总结词
行列式的值可以通过对角线元素计算得出。
05
02
详细描述
行列式是n阶方阵A的行列式，记作det(A)或 |A|，是一个标量，由n!项组成，每一项都是 n个不同行元素的代数余子式。
04
详细描述
行列式的值是由其对应的n阶方阵唯 一确定的，与矩阵的表示方式无关。
06
详细描述
对于一个n阶方阵A，其行列式的值可以通过 对角线元素计算得出，即 det(A)=a11*a22*...*ann。
《行列式按行展开》 ppt课件
目录
行列式按行列展开综述课件

行列式按行列展开综述课件


代数余子式在行列式中的应用
代数余子式在行列式中的 应用
通过代数余子式，可以将n阶行列式展开为n 个n-1阶行列式的和，从而简化计算过程。
代数余子式在矩阵运算中 的应用
在矩阵运算中，代数余子式也具有重要的作 用，如计算矩阵的逆、求矩阵的秩等都需要
用到代数余子式的性质。
PART 04
行列式按行列展开的应用
03
n阶行列式的展开
• a{n1} & a{n2} & \cdots & a_{nn} \
n阶行列式的展开
end{vmatrix}$
按照从左上角到右下角的顺序，依次展开每一行和每一列，可以得到n个二阶行列式的乘积之和，即 $a_{11}(a_{22}a_{33}cdots a_{nn}) + a_{12}(a_{23}a_{34}cdots a_{n1}) + cdots + a_{1n}(a_{21}a_{31}cdots a_{n2})$。
行列式的性 质
总结词
行列式具有一些重要的性质，包括交换律、结合律、分配律等。
详细描述
行列式具有交换律，即行列式的值与元素的排列顺序无关，即det(A)=det(A')； 行列式具有结合律，即对于任意常数c和矩阵A，有det(cA)=c^n*det(A)；行列 式具有分配律，即对于任意两个矩阵A和B，有det(A+B)=det(A)+det(B)。
三阶行列式可以通过按照主对角线、 副对角线以及平行于主对角线和副对 角线的线进行展开。
详细描述
对于三阶行列式，我们可以将其表示 为
三阶行列式的展开
a&b&c d&e&f g&h&i
1章4节 行列式按行(列)展开

1章4节 行列式按行(列)展开

降阶法的一般手法：
1观察哪一行(列)0元素最多，
选之化为仅一非零元的行(列)， 或观察哪两行(列)成比例元素最多，
选其一化为仅一非零元的行(列)，
2按仅一非零元的行(列)展开行列式。
切勿忘记展开结果三要素： 元素aij、符号(1)i j 余子式Mij
12 3 4
例2 仍计算例1的行列式
定理1行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的 代数余子式乘积之和，
即 D = ai1Ai1 ai2 Ai2 L ain Ain (i = 1, 2,L , n) 行列式等于它的第i行各元素与其对应的代数
余子式乘积之和。 或 D = a1 j A1 j a2 j A2 j L anj Anj ( j = 1, 2,L , n)
行列式等于它的第j列各元素与其对应的代数 余子式乘积之和。 证明见课本P21。
推论 行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应 元素的代数余子式乘积之和等于零，
即 ai1 Aj1 ai 2 Aj2 L ain Ajn =0
(i j)
行列式第i行各元素与第j行的对应元素的代数
余子式乘积之和等于0。
§1.4 行列式按行(列)展开
上节我们学习了行列式的性质，计算行列式有了较为 便捷的方法。
但是，在计算高阶甚至n阶行列式时，化三角形的过程 依然不简单，特别是当计算的规律不明显时，比如， 化a11下方为0的方法，与化a22下方为0的方法不同， 是否有方法将其分离、简化？
答案是肯定的，这就是按行(列)展开法， 也称降阶法。
n1
这不是三角形行列式，若化上三角形，元素1 x不易消，
若化下三角形， rk1 - rk 即各减下一行即可。
x 0 0L
线性代数第一章笔记1-4-1

线性代数第一章笔记1-4-1


−6 2 0 −5 −5 0
= ( −1)
1+ 3
−6 2 −8 2 = = 40. 0 −5 −5 −5
例2
证明范德蒙德(Vandermonde)行列式 行列式 证明范德蒙德
1 x1 1 x2
2 x2
L L L
1
2 x n = ∏ ( x i − x j ). n ≥ i > j ≥1 M
xn
2 Dn = x 1 M n x1 −1
L 0 L L L a i − 1 ,n 中的 L L L a nn
a1n L 0 L a nn
中的余子式 M ij .
aij a ij
L 于是有 ai − 1 , j L a nj
L 0 L 0 L L L L L a i − 1 , j − 1 L a i − 1 ,n = aij M ij , L L L L L a n , j − 1 L a nn L 0 L 0 L L L L i+ j L ai − 1 , j −1 L ai − 1 ,n = (− 1) aij Mij . L an , j − 1 L L L ann
L 0 L 0 L L L L L a i − 1 , j − 1 L a i − 1 ,n L L L an , j −1 L L L a nn
= (− 1)
i+ j
ai −1 , j L a nj
L 0 L 0 L L L L L a i − 1 , j − 1 L a i − 1 ,n L L L an , j − 1 L L L a nn
a a ijij L i −1 j −1 D = (− 1) ⋅ (− 1) a i − 1 , j L a nj

1-4行列式按行(列)展开


, j1 , j 2 , , j k
M
，则称
A (1)
i1 i2 ik j1 j2 jk
为 N 的代数余子式。
例 四阶行列式 D 中，我们选定第一、二两行和 第二、四两列，则得二阶子式 N。再从D中划去 第一、二两行和第二、四两列得余子式M，
3 D 2 0 0 1 1 6 0 2 1 2 3 4 2 1 3 N 1 1 4 2 M 0 0 2 3
0 3
2 0
6
1 划去 1 所在的行和列 ， 0 3
2 1 1
1 2 0
2+ 2
1 在 第 二 行 第 二 列 ， 代 数 余 子 式 = (-1)
1 3
1 0
2 1 1 1 2 0
3
1 划 去 第 二 列 第 三 个 元 1 所 在 的 行 和 列 ，0 3
代 数 余 子 式 = (-1)
a
k 1
ki
推论：如果n阶行列式的某两行（第i行与第j行） 对应元素相同，则行列式的值等于零。
a i1 ai2 a i1 ai2 a in a i 1 A j 1 a i 2 A j 2 a in A jn 0 a in
定理4（Laplace展开定理)： 在行列式 D 中任意 取k（1 k n－1）行，则由这 k 行元素所组成 的所有 k 阶子式与它们的代数余子式乘积之和 等于行列式 D .
注意这是一个递推公式，递推的首项，也就是一阶 和二阶行列式的值分别为：
D1 2
,
D2 3

D n 2 D n 1 D n 2
D n D n 1 D n 1 D n 2 D 2 D1 1

行列式按行列展开法则

行列式按行列展开法则行列式是线性代数中的一个重要概念，它是一个数学对象，用于描述矩阵的性质和特征。

行列式按行列展开法则是计算行列式的一种方法，它可以帮助我们快速准确地求解任意阶行列式的值。

本文将介绍行列式按行列展开法则的基本原理和具体计算步骤。

1. 行列式的定义在介绍行列式按行列展开法则之前，首先需要了解行列式的定义。

一个n阶方阵A的行列式记作|A|，它是一个数值，表示由矩阵A的元素所确定的一个量。

对于2阶矩阵：A = |a11 a12||a21 a22|其行列式的计算公式为：|A| = a11 * a22 - a12 * a21对于3阶矩阵：A = |a11 a12 a13||a21 a22 a23||a31 a32 a33|其行列式的计算公式为：|A| = a11 * a22 * a33 + a12 * a23 * a31 + a13 * a21 * a32 - a13 * a22 * a31 - a11 * a23 * a32 - a12 * a21 * a33对于n阶矩阵，行列式的计算公式较为复杂，因此需要借助行列式按行列展开法则来简化计算过程。

2. 行列式按行列展开法则的基本原理行列式按行列展开法则是通过递归的方式将一个n阶行列式的计算问题转化为n-1阶行列式的计算问题，从而简化计算过程。

具体来说，对于一个n阶矩阵A，其行列式的计算可以按照以下步骤进行：（1）选择矩阵A的第i行（或第j列）进行展开，记作Ai （或Aj）；（2）对于展开后的行列式Ai（或Aj），将其每个元素乘以对应的代数余子式，并加上符号因子后相加，得到展开后的行列式的值。

符号因子的计算规则为：若i+j为偶数，则符号因子为正号；若i+j为奇数，则符号因子为负号。

通过以上步骤，可以将一个n阶行列式的计算问题转化为n-1阶行列式的计算问题，从而简化计算过程。

3. 行列式按行列展开法则的具体计算步骤接下来，我们以一个3阶矩阵的行列式为例，介绍行列式按行列展开法则的具体计算步骤。

行列式按行展开 ppt课件

记作 M i j .
Aij 1ij Mij， 叫做元素 a 的ij 代数余子式．
例如
a a a a 11
12
13
14
D a 21 a 22 a 23 a 24
a a a a 31
32
33
34
a a a a 41
42
43
44
a21 a23 a24
M12 a31 a33 a34 ,
a41 a43 a44
第i行
相同
第 j行
M
M
if i j,
an1 L ann
a i 1 A j 1 a i 2 A j 2 a i A n j n 0 ,( i j ).
同理 a 1 i A 1 j a 2 i A 2 j a n A n i 0 , j( i j ).
命题得证
关于代数余子式的重要性质
MM
x3x1 L xnx1
x3(x3x1) L xn(xnx1)
M
M
0 x2n2(x2x1) x3n2(x3x1) L xnn2(xnx1)
按第一列展开，并把每一列的共因子 (xi 提x1出) ，有
1 1L 1
Dn(x2x1)(x3x1)L(xnx1)
x2 M
x3 L M
xn M
n-1阶范德蒙德行列式
a11 a12 a1n
a i1 0 0 0 a i 2 0 0 0 a in
a n 1 a n 2 a nn a n 1 a n 2 a nn
a n1 a n 2 a nn
a i 1 A i 1 a i 2 A i 2 a iA n in i 1 ,2 , ,n
例7 求行列式
a
b

行列式按行展开证明

行列式按行展开证明标题：行列式按行展开的证明在线性代数中，行列式是一种重要的数学工具，用于描述线性方程组的性质以及线性变换的行为。

行列式按行展开是一种常见的行列式计算方法，本文将对其进行证明，以确保清晰的思路和流畅的表达，同时避免任何负面影响。

证明：设A为一个n阶方阵，我们来证明按第i行展开的行列式计算方法。

1.当n=1时，即A为1×1的矩阵，行列式为A=|A|，显然成立。

2.假设n=k时，结论成立，即k阶方阵的行列式按第i行展开的计算方法正确。

3.当n=k+1时，考虑(k+1)阶方阵A。

根据行列式的定义，A的行列式展开式为：A我们选择第i行展开，即：A现在，我们来计算Cji的值。

4.对于Cji，即第i行第j列元素的代数余子式。

根据代数余子式的定义，它是将aij所在的第i行和第j列划去后，剩余元素构成的(n-1)阶方阵的行列式。

而这个方阵可以表示为Aji。

5.根据假设，n=k时，行列式按第i行展开的计算方法成立。

那么，对于Aji这个(n-1)阶方阵，它的行列式按第i行展开的计算方法也是成立的。

6.根据步骤5，我们可以得知Aji的行列式按第i行展开的计算方法为：Aji8.现在，我们将第i行的第i列元素aii乘以它的代数余子式Cji，得到：aii*Cji=aii*(a1iC1i+a2iC2i+...+a(i-1)iC(i-1)i+ a(i+1)iC(i+1)i+...+aniCni)9.然后，我们考虑将aii*Cji加入到|A|中：AA=AjiA=Aji综上所述，按行展开的行列式计算方法在任意阶数n下都是成立的。

文章通过清晰的逻辑结构和流畅的表述，遵循文章要求的各项要点，不涉及任何负面影响的元素，确保了良好的阅读体验。

4行列式按行展开


0L 0
M
M
元素aij 在行列式 ai1, j L
M
ai1, j1 L M
ai 1,n M
anj L an, j1 L ann
中的余子式仍然是aij 在行列式 a11 L a1 j L a1n
M
M
D 0 L aij L
M 0 中的余子式 Mij .
M
M
M
an1 L anj L ann
aij L M 于是有 ai1, j L M
0L M ai1, j1 L M
0 M ai1,n aij Mij , M
anj L aij L
M
故 D 1 i j ai1, j L
M
an, j1 L 0L
M ai1, j1 L
M
ann 0
M
ai1,n 1 i j aijMij .
M
anj L an, j1 L ann
即 D aij Aij .
an1 an2 ann an1 an2 ann
an1 an2 ann
ai1 Ai1 ai 2 Ai 2 ain Ain
命题得证
i 1,2, ,n
推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应
元素的代数余子式乘积之和等于零，即
a A i1 j1 ai2 Aj2 ain Ajn 0, i j .
aij L
0L 0
M
M
M
得
D
1 i1
1
a j1 i1, j
L
ai1, j1 L
ai 1,n
M
M
M
anj L an, j1 L ann
aij L
0L 0
M

第四节行列式按一行（列）展开

第四节行列式按一行(列)展开将高阶行列式化为低阶行列式是计算行列式的又一途径，为此先引进余子式和代数余子式的概念．在n 阶行列式中，划去元素aij 所在的行和列，余下的n-1阶行列式(依原来的排法)，称为元素aij 的余子式，记为Mij.余子式前面冠以符号(-1)i+j ，称为元素aij 的代数余子式，记为Aij ＝（－１）i+j Ｍij.例如四阶行列式11121314212223243132333441424344a a a a a a a a a a a a a a a a 中,元素23a 的余子式和代数余子式分别为11121423313234414244;a a a M a a a a a a =23232323(1)A M M +=-=-引理一个n 阶行列式D ，如果第i 行所有元素除ij a 外全为零，则行列式.ij ij D a A =证先证ij a 位于第1行第1列的情形，此时11212221200,nn n nna a a a D a a a = 这时第三节例4中当k=1时的特殊情形，按第三节例4的结论有11111111D a M a A ==.再证一般情形，此时1111100.j n ij n nj nna a a a D a a a = 我们将D 作如下的调换：把D 的第i 行依次与第i-1行，第i-2行，…，第1行对调，这样数ij a 就调到了第1行第j 列的位置，调换次数为i-1次；再把第j 列依次与第j-1列，第j-2列，…，第1列对调，数ij a 就调到了第1行第1列的位置，调换次数为j-1，总共经过(i-1)+(j-1)次对调，将数ij a 调到第1行第1列的位置，第1行其他元素为零，所得的行列式记为D １，则，而ij a 在D １中的余子式仍然是ij a 在D 中的余子式Mij ，利用前面的结果，有1ij ijD a M =于是1(1)(1)i j i j ij ij ij ijD D a M a A ++=-=-=定理4.1行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即Ｄ＝ai １Ai １＋ai2Ai2＋…+ainAin(i=1,2,…，n),或Ｄ＝a １jA １j ＋a2jA2j ＋…+anjAnj(j=1,2,…，n)．证1112112120000000n i i inn n nn a a a D a a a a a a =++++++++++11121111211112112121212000000,n n n i i in n n nn n n nnn n nna a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a =+++根据引理有Ｄ＝ai1Ai1＋ai2Ai2＋…+ainAin ＝∑nk=1aikAik(k=1,2,…，n)．类似地，我们可得到列的结论，即Ｄ＝a1jA1j ＋a2jA2j ＋…+anjAnj ＝∑nk=1akjAkj(j=1,2,…，n)．这个定理称为行列式按行(列)展开法则，利用这一法则并结合行列式的性质，可将行列式降阶，从而达到简化计算的目的．例1再解第三节中例1．解25120010371412165927112346122110D -----==---1311126300(1)11311321021013(1)(3)10++--=-=--=-⨯--＝－３×（－１）×（－１）×３＝－９．例2计算行列式11211nnn nna b a b D c d c d =解按第1行展开有111121111000000n n n nn n na b a b D a c d c d d ----=11111211110(1)00000n n nn n n na b a b b c d c d c --+--+⨯-2(1)2(1)2(1)(),n n n n n n n n n n n a d D b c D a d b c D ---=-=-,以此作递推公式，得22(1)11112(2)111111222211111111111()()()()()()()()()(),n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n ni i i i i D a d b c D a d b c a d b c D a b a d b c a d b c a d b c c d a d b c a d b c a d b c a d b c --------------==-=--==---=---=-其中记号“∏”表示所有同类型因子的连乘积．例3证明范德蒙(Vandermonde)行列式1222212111112111()nn n i j n i j n n n nx x x D x x x x x x x x ≥≥---==-∏（４．１）证用数学归纳法证明．当n=2时，211211()i j n i j D x x x x ≥≥==-∏ (4.1)式成立．假设(4.1)式对n-1阶范德蒙行列式成立，要证(4.1)式对n 阶范德蒙行列式成立．为此，将Dn 降阶，从第n 行开始，后一行减前一行的1x 倍得2131122133112222213311111100()()()0()()()n n n n n n n n n x x x x x x D x x x x x x x x x x x x x x x x x x ------=------按第1列展开，并提取每一列的公因子，有232131122223111()()()n n n n n n n x x x D x x x x x x x x x ---=---上式右端行列式是n-1阶范德蒙行列式，由归纳假设它等于∏n ≥i ＞j ≥2（xi －xj ），故2131121()()()()().n n i j n i j i j n i j D x x x x x x x x x x ≥≥≥≥=----=-∏∏显然，范德蒙行列式不为零的充要条件是x １，x ２，…，xn 互不相等．由定理4.1还可以得到下述推论．推论行列式任一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即ai １Aj １+ai ２Aj ２＋…＋ainAjn=0,i ≠j ，或a1iA1j+a2iA2j ＋…＋aniAnj=0,i ≠j ．证作行列式(i ≠j)11121121212ni i ini i in n n nna a a a a a a a a a a a 则除其第j 行与行列式D 的第j 行不相同外，其余各行均与行列式D 的对应行相同．但因该行列式第i 行与第j 行相同，故行列式为零．将其按第j 行展开，便得ai １Aj １+ai ２Aj ２＋…＋ainAjn=0.同理可证a1iA1j+a2iA2j ＋…＋aniAnj=0．将定理4.1与推论综合起来得∑nk=1aikAjk ＝Ｄ，i ＝j,０，i ≠j,或∑nk=1akiAkj ＝Ｄ，i ＝j,０，i ≠j.下面介绍更一般的拉普拉斯(Laplace)展开定理．先推广余子式的概念．定义4.1在一个n 阶行列式D 中，任意取定k 行k 列(k ≤n)，位于这些行与列的交点处的k ２个元素，按原来的顺序构成的k 阶行列式M ，称为行列式D 的一个k 阶子式；而在D 中划去这k 行k 列后余下的元素，按原来的顺序构成的n-k 阶行列式N ，称为k 阶子式M 的余子式．若k 阶子式M 在D 中所在的行、列指标分别为i １，i ２，…，ik 及j １，j ２，…，jk ，则（－１）(i １＋i ２＋…＋ik ）＋（j １＋j ２＋…＋jk ）Ｎ称为k 阶子式M 的代数余子式．如在五阶行列式111213141521222324255152535455a a a a a a a a a a a a a a a 中选定第2、第5行，第1、第4列，则二阶子式21245154a a M a a =的余子式121315323335424345a a a N a a a a a a =而代数余子式为2514(1).N N +++-=*定理4.2(拉普拉斯定理)设在行列式D 中任意选定k(1≤k ≤n-1)行(或列)，则行列式D 等于由这k 行(列)元素组成的一切k 阶子式与它们对应的代数余子式的乘积之和．(不证)例4用拉普拉斯定理计算行列式12140121.10130131D -=解若取第1、第2行，则由这两行组成的一切二阶子式共有246C =个123456121114,,,010*********,,.121121M M M M M M ===-===--其对应的代数余子式为123456130301,,,311113131110,,.010301A A A A A A ==-===-=则由拉普拉斯定理得Ｄ＝Ｍ１Ａ１＋Ｍ２Ａ２＋…＋Ｍ６Ａ６＝（－１）×（－８）－２×（－３）＋１×（－１）＋５×１－６×３＋（－７）×１＝－７．注当取定一行(列)即k=1时，就是按一行(列)展开．从以上计算看到，采用拉普拉斯定理计算行列式一般并不简便，其主要是在理论上的应用．。

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a12 a22 a32
a14 a24 a34 a44
a13 a23 a33
a21 M 12 a31 a41
a23 a33 a43
a24 a34 a44
11 2 M 12 M12 A12
A44 1
4 4
M 44 a21 a31
M 44 M 44
注意：行列式的每个元素都分别对应着一个余子式 和一个代数余子式．
8
由性质2，行列式互换两行（列）行列式变号， 得，
aij

0

0
D ( 1)i j 2 ai 1, j ai 1, j 1 ai 1,n anj
i j

a n , j 1
i j

ann
( 1) aij M ij ( 1)
Aij
而
D a13 A13 a23 A23 a33 A33 a43 A43 .
15.
25
所以 D (1) 5 2 (3) 0 (7) 1 (4)
例：已知四阶行列式D中第一行上元素分别为1, 2, 0, －4;
第三行上元素的余子式依次为6, x, 19, 2．试求x 的值．
2
, j3 ,, jn )
a2 j a3 j anj
2 3
n
a2 j a3 j anj 恰是 M 11 的一般项．
2 3 n
所以，
D a11 M11
a11 ( 1)11 M 11
a11 A11
7
(2) 设 D 的第 i 行除了 a ij 外都是 0 ．
a11 a1 j a1n D 0 aij 0 ann
第一章 行列式
第四节 行列式按行（列）展开
一、行列式按某一行（列）展开
二、行列式计算方法类型举例 三、行列式按某 k 行（列）展开
1
观察三阶行列式定义
a11 a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a33 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31
a11 D a21 an1
0

0
6
a22 a2 n an 2 ann
由行列式定义，D 中仅含下面形式的项
( 1)
( 1 , j2 , j3 ,, jn )
a11a2 j a3 j anj
2 3
n
a11 ( 1) ( 1, j
其中 ( 1)
( 1 , j2 , j3 ,, jn )
5 11 0 5
5
( 1) 3 3 11 5
5
19
5 D ( 1)33 11 5
r2 r1
5 6
1 1 5
1 2
1 1 0
1 0
5 5 0
( 1)
1 3
6
2
5 5

8 0
2 5
40.
20
1 2 2 2 2 2 2 2
例：计算
3
在 定义1： n 阶行列式中，把元素 a ij 所在的第 i 行和 第 j 列划去后，余下的 n－1 阶行列式叫做元素
a ij 的 余子式，记为 M ij
称 Aij 1 M ij 为元素 a ij 的代数余子式．
i j
例如：
a11 a21 a31 a41
a12 a22 a32 a42
解： 由题意知 a11=1，a12=2，a13=0，a14=－4 ； A31=6，A32=－x，A33=19，A34=－2． 而 故
5
定理1：行列式等于它的任一行（列）的各元素 与其对应的代数余子式乘积之和，即
D ai 1 Ai 1 ai 2 Ai 2 ain Ain
证明： （先特殊，再一般） 分三种情况讨论，我们只对行来证明此定理． (1) 假定行列式D的第一行除 a11 外都是 0 ．
i 1,2,, n
1 3
1 15
1 3
2 1
1
(1) ( 1) 23 1 15 16 2
92.
18
3
1 1 0 5 1 1 0 5
1 1 1 1 0
1 3 1 3 1 1 0 0 1 3 1 3
2 4 1 3
例:
计算行列式
D
5 2 1
解: 原式
c1 2c3 c4 c 3
a11 (a22a33 a23a32 ) a12 (a23a31 a21a33 ) a13 (a21a32 a22a31 )
a11
a22 a32
a23 a33
a12
a21 a23 a31 a33
a13
a21 a22 a31 a32
2
一、行列式按某一行（列）展开
对于三阶行列式，容易验证：9(3)Fra bibliotek一般情形
a11 D ai 1
a12 a1n a11 an1 a12 an 2 a1n ann
10
ai 2 ain
an1 an 2 ann
ai 1 0 0 0 ai 2 0 0 0 ain
a11 a21 a31
a12 a22 a32
a13
a23 a11 a32 a33
a22
a23 a33
a12
a21 a31
a23 a33
a13
a21 a31
a22 a32
可见一个三阶行列式可以转化成三个二阶行列式的计算. 问题：一个n 阶行列式是否可以转化为若干个 n－1 阶行 列式来计算？
2 3
a13 a23 a33 a43
a14 a24 a34 a44
a11 M 23 a31 a41
a12 a32 a42
a14 a34 a44
D
A23 1
M 23 M 23 .
4
a11 D a21 a31 a41
a12 a22 a32 a42
a11
a13 a23 a33 a43
a11 a12 a1n ai 1 0 0
a11 0
a12 a1n ai 2
a11 a12 a1n 0 ain
0 0
an1 an 2 ann
an1 an 2 ann
a n ( 1)n1 b n .
0 0 0 0 0 0 a b
23
解二：按第一行展开 0 b 0 0 a b 0 0 0 a 0 0 0 a 0 0 1 2 Dn a ( 1)11 b( 1) 0 0 a b 0 0 a b b 0 0 a 0 0 0 a 而 0 b 0 0 b 0 ab 00 0 0 0 0 a 0 0 a b 0a 0b 0 0 0 按第一列展开 1 n n1 b( 1)n Dn ( ) b . 0 0 a b 0 0 00 b 0 0 a b b 0 0 a 0 0 b0 a 0 b 0 a
an1 an 2 ann
证毕．
ai 1 Ai 1 ai 2 Ai 2 ain Ain
例如，行列式 D 0
i 1,2,, n
3 5 3 1 0 7
0 0 7 2
按第一行展开，得
7
2
3 0 1 7 7
D 3
1 0 7 2
5 ( 5)
27.
把D转化为(1)的情形
an1 anj
·· ·· 把 D 的第 i 行依次与第 i 1 行，第 i 2 行，··， 第2行，第1行交换；再将第
j 列依次与第 j 1 列，
第 j 2 列，··，第2列，第1列交换，这样共经过 ·· ··
( i 1) ( j 1) i j 2 次交换行与交换列的步骤．
0 0
0 0 1 0 2 0
0 0 0
例：计算行列式 D
0
2006 0 0 0
0 0 0 2007
0 0 0 1 0 2 0
解：
D 2007 (1)
2007 2007
0
2006 0 0 0
2007 (1)
2006 2005 2
Dn a n ( 1)n1 b n .
24
例：已知四阶行列式D中第三列元素依次为－1, 2, 0,
1．它们的余子式依次分别为5, 3, －7, 4，求D =？ 解： 由题意知
A13 (1)31 5 5,
A23 (1)23 3 3,
A33 (1)33 (7) 7, A43 (1)43 4 4.
ak 2 akn ak 2 akn an 2 ann
第i行
右端的行列式含有两个相同的行，值为 0 ．
13
综上，得公式
D, （当k i） ak 1 Ai 1 ak 2 Ai 2 akn Ain 0，（当k i） D, （当l j） a1l A1 j a2 l A2 j anl Anj 0，（当l j）
12
ain
在 D ak 1 an1
ak 2 akn an 2 ann
中，如果令第 i行的元素等于 另外一行，譬如第k行的元素.
则
a11 ak 1 ak 1 an1
a12
a1 n
ak 1 Ai 1 ak 2 Ai 2 akn Ain