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线性代数课件1-4行列式按行(列)展开

线性代数课件1-4行列式按行(列)展开

实例解析
• 实例2：考虑行列式$\begin{vmatrix}
实例解析
01
a&b&c
02
d&e&f
g&h&i
03
实例解析
• \end{vmatrix}$，按第2行展开，得到 $D=b\times\begin{vmatrix}
实例解析
d&f g&i
end{vmatrix}+ctimesbegin{vmatrix}
二阶行列式
由两个元素$a_{11}$和$a_{12}$，以及$a_{21}$ 和$a_{22}$构成的矩形，其值为$a_{11}a_{22} a_{12}a_{21}$。
三阶行列式
由八个元素构成的三个二阶行列式，其结果为三 个二阶行列式的代数和。
n阶行列式
由n阶方阵的n个元素构成的n个二阶行列式的代数 和。
行列式的性质
01
交换律：行列式的行和列可以交换， 即$|begin{matrix} a_{11} & a_{12} a_{21} & a_{22} end{matrix}| = | begin{matrix} a_{21} & a_{22} a_{11} & a_{12} end{matrix}|$。
02
结合律：行列式的行和列的乘法可以 按照任意组合进行，即 $|begin{matrix} a_{11} & a_{12} a_{21} & a_{22} end{matrix}| = | begin{matrix} a_{11} & a_{12} a_{21} & a_{22} end{matrix}| - | begin{matrix} a_{11} & a_{21} a_{12} & a_{22} end{matrix}|$。

1-5行列式按行列展开ppt课件

1-5行列式按行列展开ppt课件

a11 a22a33 a23a32 a12 a23a31 a21a33 a13 a21a32 a22a31

a11
a22 a32
a23 a33
a12
a21 a31
a23 a33

a13
a21 a31
a22 a32
在n 阶行列式中，把元素 aij 所在的第 i 行和第 j 列划去后，留下来的 n 1 阶行列式叫做元素aij 的余子式，记作 M ij .
记 Aij 1i j Mij， 叫做元素 a ij 的代数余子式．
例如
a11 a12 a13 a14
a11 a12 a14
a D a21 a22
2233 a24 M 23 a31 a32 a34
a31 a32 a33 a34
a41 a42 a44
a41 a42 a43 a44
A23 1 23 M 23 M 23 .

ai1, j1

ai 1,n



anj an, j1 ann
aij 0 0



1 i j2 ai1, j ai1, j1 ai1,n



anj an, j1 ann
aij 0 0



1 i j ai1, j ai1, j1 ai1,n
狼爪划到了左臂，厚实の衣裳不堪一击便撕裂了个大口子，血丝慢慢渗了出来，闻到这血腥味，黄狼更加兴奋地低嚎。
贺腾几次闪避开攻击，可每一次の涉险过关，身上便会多添道伤痕。突然黄狼又一高扑，他乘机一蹲身，抓住了一条狼腿，黄狼落地不稳一踉跄，匕首已刺进了它の肚子

计算行列式的方法总结PPT

计算行列式的方法总结PPT

THANK YOU
感谢聆听
性质
行列式具有以下基本性质
行列式转置不变
行列式的值与其转置行列式的值相 等。
行列式按行（列）展开
行列式的值等于其任意一行（列）元 素与其对应代数余子式的乘积之和。
行列式的倍数性质
行列式中某一行（列）的所有元素 都乘以一个常数k，则行列式的值也 乘以k。
行列式的消元性质
若行列式中两行（列）成比例，则 行列式的值为0。
例题3
利用数学归纳法计算分块矩阵的行列式。对于具有某种递推关系的分块矩阵，可以利用数 学归纳法进行证明和计算。通过假设当n=k时结论成立，进而证明当n=k+1时结论也成 立，从而得出对于任意正整数n结论都成立的结论。
06
特殊类型行列式的计算方法
箭型行列式的计算
箭型行列式的定义
箭型行列式是一种具有特殊形状的行列式，其主对角线上方的元素构成了一个箭头形状。
计算方法
对于 n 阶箭型行列式，可以先将其化为上三角或下三角行列式，然后直接计算对角线元素的乘积。具体步骤包括 ：利用行列式的性质，将第 1 列的 -1 倍加到其他列上，从而将箭型行列式化为上三角或下三角行列式；计算对 角线元素的乘积。
两三角型行列式的计算
两三角型行列式的定义
两三角型行列式是指行列式的上半部分和下半部分分别呈现三角形形状的行列式。
80%
典型方法
拉普拉斯展开定理，将高阶行列 式按某一行（列）展开为低阶行 列式的和。
典型例题解析
例题1
利用数学归纳法计算范德蒙德 行列式。
例题2
计算含有特定元素的行列式， 如含有三角函数、指数函数等 。
例题3
利用归纳法证明某些特殊类型 的行列式具有特定的性质，如 对称性、反对称性等。

关于行列式的性质行列式展开课件

关于行列式的性质行列式展开课件

例2.1
1 1 2 3 1 3 3 7 9 5
D 2 0 4 2 1
3 5 7 14 6
4 4 10 10 2
1 1 2 3 1 3
3 3 7 9 5 解 D 2 0 4 2 1
3 5 7 14 6 4 4 10 10 2 1 1 2 3 1 0 0 1 0 2 r2 3r1 2 0 4 2 1 3 5 7 14 6 4 4 10 10 2
D0.
5、性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素
都乘以同一数 k ，等于用数 k乘此行列式.
a 11 a 12 a 1 n
a 11 a 12 a 1 n
ka i 1 ka i 2 ka in k a i 1 a i 2 a in
a n 1 a n 2 a nn
a n 1 a n 2 a nn
1 2 4
• 例如： D 2 2 1 14
3 4 2
对这个行列式进行转置
1 2 3 D T 2 2 4 1 2 ( 2 ) ( 2 ) 4 ( 4 ) ( 3 ) 2 1
4 1 2 ( 3 ) 2 ( 4 ) ( 2 ) 2 ( 2 ) 1 1 4
式不变．
a11 a1i a1j a1n
例如
a21 a2i
k
Hale Waihona Puke a2j a2j an1 ani anj anj
a11
(a1i ka1j)
a1j
a1n
ci kcj a21
(a2i ka2j)
a2j
a2j
an1
(ani kanj)
anj
anj
二、应用举例
方法二：三角形法
计算行列式常用方法：利用运算 ri krj把行列式 化为三角形行列式，从而算得行列式的值．

第六节 行列式按行(列)展开

第六节 行列式按行(列)展开

依次代替 ai1 , ai2 , ···, ain ，可得
a11 a1n


ai1,1 b1 ai1,1
ai 1, n bn b1 Ai1 b2 Ai2 bn Ain . ai 1,1
an1 ann
类似地，用 b1 , b2 , ···, bn 代替 det(aij)ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ中的 第 j 列，可得
第六节 行列式按行(列)展开
主要内容
余子式和代数余子式 引理 行列式按行(列)展开法则 三阶行列式的几何意义 行列式的计算方法
一般来说,低阶行列式的计算比高阶行列式 的计算要简便,于是,自然地考虑用低阶行列式来 表示高阶行列式的问题. 本节我们要解决的问题 是, 如何把高阶行列式降为低阶行列式,从而把高 阶行列式的计算转化为低阶行列式的计算.为了解 决这个问题,先学习余子式和代数余子式的概念.
于用 1 , 1 , 1 , 1 代替a11D 的第 1a1n行所得的行列式，即
五、行列式的计算方法
到现在为止,我们已能计算任意阶的行列式. 行列式的计算是我们这一章的重点,也是同学们必 须掌握的基本技能.
行列式有以下三种计算方法: 1. 直接用定义公式计算; 2. 利用性质化为三角行列式; 3. 利用展开式定理降阶.
在这三种方法中,方法1 主要用于理论分析,
很少用来计算具体的行列式,但对于低阶行列式 (如二阶、三阶)或有很多零元素的高阶行列式,
有时也可用此方法来计算; 方法2 适用于行列式 的阶不确定的高阶行列式的计算; 方法3 主要用
于阶为已知的高阶行列式的计算. 当然在计算一个 行列式时,应根据实际情况灵活选择计算方法.
或 D = a1jA1j + a2jA2j + ···+ anjAnj (j = 1,2, ···,n).

n阶行列式：§2.5 行列式依行(列)展开

n阶行列式：§2.5 行列式依行(列)展开

aij 0
0
D1 a1 j
M ij
aij M ij
anj
注意到行列式中任两行（列）的对换改变行列式的符号，故
D 1 i1 j1 D1 1 i j aij M ij aij Aij
3、行列式依行（列）展开
定理2.5.1 行列式 Dn等于它的任意一行（列）中所有元素与
其代数余子式乘积的和，即有
a j1 a j2
ain
中，某一行（列）中元素
a jn
an1 an2
ann
与另一行（列）中对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即有
ai1Aj1 ai2 Aj2 ain Ajn 0, i j.
a1s A1t a2s A2t ans Ant 0, s t.
a11 a12
a1n
ai1 ai2
abcd
例2.5.1. 在行列式 D g s
h t
p u
q v 中，求元素p和s的余子式
wx y z 和代数余子式。
二、行列式依行（列）展开
先考虑比较特殊的情况，即一个n阶行列式中某一行（列） 除一个元素外，其余元素都为零的情况，这时有以下引理。
a11
a1 j
a1n
引理：如果行列式 D ai1
例2.5.4 计算范德蒙行列式
11
11
a1
a2
Dn a12 a22
an1
an
a2 n1
an 2
a a n1 1
n1 2
a a n1 n1
n1 n
解：
依次从第n-1行起到 第一行，每行乘以
= Dn (-an )加到下一行
Dn ai1Ai1 ai2 Ai2 ain Ain , 1 i n,

行列式按一行(列)展开


证明过程
• 利用归纳假设和余子式的性质，证明$D_{n+1}$ 可以按第$n+1$行（或第$n+1$列）展开。
证明过程
3. 结论
通过数学归纳法，证明了行列式可以按任意一行（或列）展开。
04
Байду номын сангаас行列式按一行(列)展开的 实例
实例一：二阶行列式
定义
01
二阶行列式表示为$|begin{matrix} a & b c & d
行列式按一行(列)展 开
目录
• 行列式按一行(列)展开的定义 • 行列式按一行(列)展开的公式 • 行列式按一行(列)展开的证明
目录
• 行列式按一行(列)展开的实例 • 行列式按一行(列)展开的应用
01
行列式按一行(列)展开的 定义
定义与性质
定义
行列式按某一行（或列）展开，是指 将该行列式拆分成若干个二阶子行列 式之和。
• 应用：用于计算高维向量的外积和混合积，以及解决线性方程组等数学问题。
05
行列式按一行(列)展开的 应用
在线性代数中的应用
计算行列式的值
行列式按一行或一列展开，可以方便地计算行列式的 值。
矩阵的逆运算
行列式按一行或一列展开，可以用于计算矩阵的逆运 算。
线性方程组的求解
行列式按一行或一列展开，可以用于求解线性方程组。
数值分析
行列式按一行或一列展开，可以用于数值分析中的矩阵运算和数值逼近。
THANKS
感谢观看
3. 将上述求和结果作 为分子，分母保持不 变，得到按选定行 （或列）展开后的行 列式。
02
行列式按一行(列)展开的 公式
展开公式

§2.3 行列式按一行或已列的展开以及行列式的计算PPT课件

12
例
ab000
ab00
0 D 0
a 0
b a
0 b
0 0
按第一 列展开
a (1)11
0
a
b
0
000ab
00ab
b000a
000a
b000
b (1)51 a b 0 0 0ab0
a5 b5.
00ab 13
注：在实际展开时:
(1) 常按含“0”元较多的行或列 展开（以简化计算）。
(2) 还可先利用性质将某一行（或列） 化为仅含一个非零元再按此行（或列） 展开，降为低一阶行列式，如此继续， 直到化为三阶或二阶行列式计算。
子式乘积之和，即 n
A aij Aij (i 1,2,, n)
j 1
(2) 行列式的任一行的每个元素与另一行对应元素的
代数余子式乘积之和为零，即
n
aij Akj 0, i k
j 1
4
证明：（1）注意
(i,1, 2, , i 1, i 1, , n) i 1 ( j, j1, j2 , , ji1, ji1, , jn ) j 1 ( j1, j2 , , ji1, ji1, , jn )
ai 1n ai 1n
an1
anj 1
anj 1
ann
且 Aij (1)i j Mij (i, j 1,2,, n) 称为 aij 的代数余子式
(algebraic cofactor)。 3
定理4 A设 (aij )n 余子式，
A，ij aij为(i, j 1,2,, n)
的代数
(1) 行列式等于它的任一行的每个元素与其代数余
A21 A22
An1 a11 An2 a21

线性代数03-行列式按行(列)展开


1
3 4 c1 2c3 11
1
3 1
2 0 1 1 c4 c3
0010
1 5 3 3
5 5 3 0
511 (1)33 11 1 1
5 5 0
r2 r1
5 11 6 2 0 5 5 0
(1)13 6 2 40. 5 5
说明
定理3叫做行列式按行(列)展开法则， 利用这个法则降阶并结合行列式的性质， 可以简化行列式的计算.
思考 任意一个行列式是否都可以用较低阶的行列式表示？
在n 阶行列式中，把元素 aij 所在的第 i 行和第 j 列划去后，
留下来的n－1阶行列式叫做元素 aij 的余子式，记作Mij .
把 Aij 1 i j Mij 元素 aij 的代数余子式．
例如
a11 a12 a13 a14
D a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34
a41 a42 a43 a44
a11 a12 a14 M23 a31 a32 a34
a41 a42 a44
A23 1 23 M23 M23
结论 行标和列标是行列式中元素的唯一标识，有且仅有一 个余子式和一个代数余子式与行列式中每一个元素对应.
说明
(1)对于给定的 n 阶行列式 D det(aij ) ，元素
证明 我们以3阶行列式为例.
a11 a12 a13 a11 A11 a12 A12 a13 A13 a21 a22 a23
a31 a32 a33
把第1行的元素换成第2行的对应元素，则
a21 a22 a23
a21 A11 a22 A12 a23 A13 a21 a22 a23 0.

行列式按行(列)展开



a a a a a a a a a
D
xa
xa
c1 c2 cn
[ x ( n 2)a ] 1 x a 1 a
1 a
xa
xa
20
r2 r1 r3 r1 rn r1
1 [ x ( n 2)a ]0 0 0
ak 1 ak 2 akn an 2 ann
右端的行列式含有两个相同的行，值为 0 。
11
综上，得公式
D, （当k i） ak 1 Ai 1 ak 2 Ai 2 akn Ain 0，（当k i） D, （当l j） a1l A1 j a2 l A2 j anl Anj 0，（当l j）
a11 a12 a1n ai 1 0 0
a11 0
a12 a1n ai 2
a11 a12 a1n 0 ain
0 0
an1 an 2 ann
an1 an 2 ann
3 11
7 17 8
按第二列展开
7 25 8 0 3 0 11 5 2
1 ( 1)
2 2
0 3
5 9
5 2
按第二行展开
5 ( 1)
2 3
7 25 3 11
5(77 75) 10
19
例2：
xa a a a
a xa a a 1
a a a a
a a a
( xi a , i 1,2,3,4)
（可以化为箭形行列式）
r2 r1 r3 r1 r3 r1 r4 r1
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a11 a1n
ai1 ai1 Aj1 ain Ajn
ai1
ain , ain
当 i j 时,
an1 ann
第i行 第 j行
相同
ai1 Aj1 ai 2 Aj2 ain Ajn 0, (i j).
同理 a1i A1 j a2i A2 j ani Anj 0, (i j).
xn x1 xn(xn x1)
M xnn2(xn x1 )
按第1列展开，并把每列的公因子 ( xi x1 ) 提出， 就有
1 1 1
( x2 x1 )( x3 x1 ) ( xn x1 )
x2
x3
xn
n-1阶范德蒙德行列式
x
n2 2
x3n2
x
n n
2
Dn ( x2 x1 )( x3 x1 ) ( xn x1 ) ( xi x j )
四、按行按列展开定理
1.余子式与代数余子式
在n 阶行列式中，把元素 aij 所在的第 i 行和第 j 列划去后，留下来的 n 1 阶行列式叫做元素aij 的余子式，记作 M ij .
记 Aij 1i j Mij，叫做元素 a ij 的代数余子式．
3 6 4 例1:求行列式 5 1 3 中元素2和 2的代数余子式
Def2:k阶子式的余子式M 划去k阶子式所在的行、列 后余下的元素按原位置构成的n-k阶行列式
Def3:k阶子式的代数余子式为 (1)i1i2 L ik j1 j2L jk M 其中i1i2 L ik为k阶子式所在的行号, j1 j2 L jk为k阶 子式所在的列号
定理 (拉普拉斯定理)设n阶方阵A (aij),在det A中 任选定k行(1 k n),由这k行的所有k阶子式与之对应 的代数余子式乘积之和等与det A
ni j2
( xi x j ).
ni j1
例 计算
11 1 1
12 3 4
D x x 4 14
9
()
16
i 4i j1
j
1 8 27 64
(4 1)(3 1)(2 1)(4 2)(3 2)(4 3) 12
例4 计算下列行列式
3.按行按列第二展开定理
Def1:k阶子式N n阶行列式中任选k行k列,位于交叉处 的元素按原位置所构成的k阶行列式
用提取公因子法计算
1111
10 0 0
2 D 10
3
3 4
4 1
1 c j c1
2
2
10 3 j 2 , 3 , 4
1 1
2 1 2 1
4123
4 3 2 1
1 2 1
1 2 1
c2 c3
10 1 2 1 20 1 0 1 160
3 2 1
3 0 1
1 1 1 x 1 1 1 1 x 1 (2) 1 x 1 1 1 1 x 1 1 1
n
aki Akj
k 1
D ij
D ,当 i
0
,当
i
j, j;
n aik Ajk
k 1
D ij
D ,当 i
0
,当
i
j, j;
其中
1 ,当 i j， ij 0 ,当 i j.
思考题
设n阶行列式 123 n 120 0
Dn 1 0 3 0 100 n
求第一行各元素的代数余子式之和
行列式计算方法：
一般行列式:按行(列)展开;化成上(下)三角形
特殊行列式
行(列)和相同 带形 爪形 逐行加减 按行(列)展开
加边法
数学归纳法
递推法
例3 计算(1)
1234
2341
D4 3
4
1
. 2
4123
解
1234
2341
D4 3
4
1
. 2
4123
将 D4的第2、3、4行都加到第1行，并从第1行中 提取公因子10，得
引理 一个 n 阶行列式，如果其中第 i 行所有 元素除 aij外都为零，那末这行列式等于aij与它的 代数余子式的乘积，即 D aij A．ij
例如
a11 a12 a13 a14
0 0 a33 0
D a21 0
a22 0
a23 a33
a24 (1)31 a11
0
a21
a12 a22
a13 a23
a14 a24
a41 a42 a43 a44
a41 a42 a43 a44
a33 0 0 0
a11 a12 a14
(1)3131 a13 a23
a11 a21
a12 a22
a14 1 33 a33 a21
a24
a41
a22 a42
a24 a44
a43 a41 a42 a44 a33A33
2、行列式按行（列）展开法则
b11
b1n
cn1 cnk bn1 bnn
a11 a1k
b11 b1n
D1 det(aij )
, D2 det(bij )
,
ak1 akk
bn1 bnn
证明 D D1D2 .
三、小结
1. 行列式按行（列）展开法则是把高阶行列 式的计算化为低阶行列式计算的重要工具.
2.
a11 a12 a1n
ai1 0 0 0 ai2 0
an1 an2 ann
an1 an2 ann
a11 a12 a1n
0 an1
0 an2
ain ai1 Ai1 ai 2 Ai 2 ain Ain
i 1,2, ,n
ann
例如
a11 a21 a31
x2
x2 x1
( xi x j ),
2i j1
当 n 2 时（1）式成立．
假设（1）对于 n 1 阶范德蒙德行列式成立，
ri ri1
Dn
i n ,n 1,L
2
1
1
1
L
1
0
x2 x1
x3 x1
L
0 x2(x2 x1) x3(x3 x1) L
M
M
M
0 xn22 (x2 x1 ) xn32(x3 x1 ) L
a12 a22 a32
a13 a23 a33
a11
a22 a32
a23 a33
a12
a21 a31
Hale Waihona Puke a23 a33a13
a21 a31
a23 a33
a11 a22a33 a23a32 a12 a23a31 a21a33 a13 a21a32 a22a31
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31,
例1 计算行列式 a 0 1 0a 0 0 0 1 0 a
例2 计算行列式 a11 a12 a13 a14 a15 a21 a22 a23 a24 a25 a31 a32 0 0 0 a41 a42 0 0 0 a51 a52 0 0 0
a11 a1k
0
例3
设
D
ak1 c11
akk c1k
1x3 例1 1) 已知行列式D= x 2 0 中,(1,2)元素的代数
5 1 4 余子式A12 8,求D 2)已知四阶行列式D中第三列元素依此为1,2,0,-1, 对应的余子式分别为3,-2,4,5,求D的值
推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列） 的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即
关于代数余子式的重要性质
n aki Akj
k 1
D ij
D ,当 i
0
,当
i
j, j;
n aik Ajk
k 1
D ij
D ,当 i
0
,当
i
j, j;
其中
1 ,当 i j， ij 0 ,当 i j.
例2
3 5 2 1
设行列式D 1 1 0 5 ,求
1 3 1 3
2 4 1 3
A11+A12 +A13 +A14及M11+M21+M31+M41
2 1 0 00 1 2 1 00 (3) 0 1 2 1 0 0 0 1 21 00012
例3 证明范德蒙德(Vandermonde)行列式
1 1 1
x1 Dn x12
x2 x22
xn
x
2 n
( xi x j ). (1)
ni j1
x1n1 x2n1 xnn1
证 用数学归纳法
11
D2 x1
定理３ 行列式等于它的任一行（列）的各元 素与其对应的代数余子式乘积之和，即
D ai1 Ai1 ai2 Ai2 ain Ain i 1,2, , n
证
a11
a12
a1n
D ai1 0 0 0 ai2 0 0 0 ain
an1
an2
ann
a11 a12 a1n
A11 A12 A1n .
思考题解答
解 第一行各元素的代数余子式之和可以表示成
11 1 1 2 0 A11 A12 A1n 1 0 3 1 0 0
1
0
0
n!1
n j2
1 j
.
n
2 2 1
A31
(1)31
6 1
4 14
3
A32
(1)32
3 5
4 (29)
3
引理 一个 n 阶行列式，如果其中第 i 行所有 元素除 aij外都为零，那末这行列式等于aij与它的 代数余子式的乘积，即 D aij A．ij