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(完整版)高中数学选修2-2导学案

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人教A版 高二数学导学案

§1.1.1 函数的平均变化率导学案 【学习要求】 1．理解并掌握平均变化率的概念． 2．会求函数在指定区间上的平均变化率． 3．能利用平均变化率解决或说明生活中的一些实际问题． 【学法指导】

从山坡的平缓与陡峭程度理解函数的平均变化率，也可以从图象上数形结合看平均变化率的几何意义. 【知识要点】

1．函数的平均变化率：已知函数y＝f(x)，x0，x1是其定义域内不同的两点，记Δx＝ ，Δy＝y1－y0

＝f(x1)－f(x0)＝ ，则当Δx≠0时，商xxfxxf)()(00＝____叫做函数y＝f(x)在x0到x0＋Δx之间的 ． 2．函数y＝f(x)的平均变化率的几何意义：ΔyΔx＝__________ 表示函数y＝f(x)图象上过两点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))的割线的 . 【问题探究】

在爬山过程中，我们都有这样的感觉：当山坡平缓时，步履轻盈；当山坡陡峭时，气喘吁吁．怎样用数学反映山坡的平缓与陡峭程度呢？下面我们用函数变化的观点来研究这个问题． 探究点一 函数的平均变化率 问题1 如何用数学反映曲线的“陡峭”程度？ 问题2 什么是平均变化率，平均变化率有何作用？ 例1 某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率． 问题3 平均变化率有什么几何意义？ 跟踪训练1 如图是函数y＝f(x)的图象，则： （1）函数f(x)在区间[－1,1]上的平均变化率为________； （2）函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为________． 探究点二 求函数的平均变化率 例2 已知函数f(x)＝x2，分别计算f(x)在下列区间上的平均变化率： （1）[1,3]；（2）[1,2]；（3）[1,1.1]；（4）[1,1.001]． 跟踪训练2 分别求函数f(x)＝1－3x在自变量x从0变到1和从m变到n(m≠n) 1

时的平均变化率． 问题 一次函数y＝kx＋b(k≠0)在区间[m，n]上的平均变化率有什么特点？

探究点三 平均变化率的应用 例3 甲、乙两人走过的路程s1(t)，s2(t)与时间t的关系如图，试比较两人的平均速度哪个大？ 跟踪训练3 甲用5年时间挣到10万元，乙用5个月时间挣到2万元，如何比较和评价甲、乙两人的经营成果？ 【当堂检测】 1．函数f(x)＝5－3x2在区间[1,2]上的平均变化率为__________ 2．一物体的运动方程是s＝3＋2t，则在[2,2.1]这段时间内的平均速度为________ 3．甲、乙两厂污水的排放量W与时间t的关系如图所示，治污效果较好的是________．

【课堂小结】 1．函数的平均变化率可以表示函数值在某个范围内变化的快慢；平均变化率的几何意义是曲线割线的斜率，在实际问题中表示事物变化的快慢． 2．求函数f(x)的平均变化率的步骤： （1）求函数值的增量Δy＝f(x2)－f(x1)；

（2）计算平均变化率ΔyΔx＝1212)()(xxxfxf. 【拓展提高】 1．设函数()yfx，当自变量x由0x改变到0xx时，函数的改变量y为（ ） A．0()fxx B．0()fxx C．0()fxx D．00()()fxxfx 2．质点运动动规律23st，则在时间(3,3)t中，相应的平均速度为（ ） A．6t B．96tt C．3t D．9t 【教学反思】 2

高二数学导学案 瞬时速度与导数导学案 【学习要求】 1．掌握用极限形式给出的瞬时速度及瞬时变化率的精确定义． 2．会用瞬时速度及瞬时变化率定义求物体在某一时刻的瞬时速度及瞬时变化率． 3．理解并掌握导数的概念，掌握求函数在一点处的导数的方法． 4．理解并掌握开区间内的导数的概念，会求一个函数的导数． 【学法指导】

导数是研究函数的有力工具，要认真理解平均变化率和瞬时变化率的关系，体会无限逼近的思想；可以从物理意义，几何意义多角度理解导数. 【知识要点】

1．瞬时速度：我们把物体在某一时刻的速度称为 ． 设物体运动路程与时间的关系是s＝s(t)，物体在t0时刻的瞬时速度v就是运动物体在t0到t0＋Δt这段时间

内的平均变化率ttstts)()(00，当Δt→0时的极限，即v＝limΔt→0 ΔsΔt＝__________________ 2．瞬时变化率：一般地，函数y＝f(x)在x0处的瞬时变化率是limΔx→0 ΔyΔx＝_________________. 3．导数的概念：一般地，函数y＝f(x)在x0处的瞬时变化率是_________________，我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的 ，记为 ，即f′(x0)＝limΔx→0 ΔyΔx＝________________ 4．导函数：如果f(x)在开区间(a，b)内每一点x都是可导的，则称f(x)在区间(a，b) ．这样，对开区间(a，b)内每个值x，都对应一个确定的导数)(xf，于是在区间(a，b)内，)(xf构成一个新的函数，把这个函数称为函数y＝f(x)的 ． 记为 或y′(或y′x )．导函数通常简称为 【问题探究】

探究点一 瞬时速度 问题1 在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度v粗略地描述其运动状态？ 问题2 物体的平均速度能否精确反映它的运动状态？ 问题3 如何描述物体在某一时刻的运动状态？ 例1 火箭竖直向上发射．熄火时向上速度达到100 sm/.试问熄火后多长时间火箭向上速度为0? 问题4 火箭向上速度变为0，意味着什么？你能求出此火箭熄火后上升的最大高度吗？ 跟踪训练1 质点M按规律s(t)＝at2＋1做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)．若质点M在t＝2时的瞬时速度为8sm/，求常数a的值． 3

探究点二 导 数 问题1 从平均速度当Δt→0时极限是瞬时速度，推广到一般的函数方面，我们可以得到什么结论？ 问题2 导数和瞬时变化率是什么关系？导数有什么作用？ 问题3 导函数和函数在一点处的导数有什么关系？ 例2 利用导数的定义求函数f(x)＝－x2＋3x在x＝2处的导数． 跟踪训练2 已知y＝f(x)＝x＋2，求f′(2)． 探究点三 导数的实际应用 例3 一正方形铁板在0℃时，边长为10cm，加热后铁板会膨胀．当温度为Ct0时，边长变为10(1＋at)cm，a为常数，试求铁板面积对温度的膨胀率． 跟踪训练3 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热．如果在第xh时，原油的温度(单位：C0)为y＝f(x)＝x2－7x＋15(0≤x≤8)．计算第2 h和第6 h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义． 【当堂检测】

1．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数定义中，自变量x在x0处的增量Δx ( ) A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．不等于0 2．一物体的运动方程是s＝12at2(a为常数)，则该物体在t＝t0时的瞬时速度是 ( ) A．at0 B．－at0 C．12at0 D．2at0 3．已知f(x)＝－x2＋10，则f(x)在x＝32处的瞬时变化率是 ( ) A．3 B．－3 C．2 D．－2 4．已知函数f(x)＝1x，则)1(f＝________ 【课堂小结】

1．瞬时速度是平均速度当Δt→0时的极限值；瞬时变化率是平均变化率当Δx→0时的极限值． 2．利用导数定义求导数的步骤： （1）求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)； （2）求平均变化率ΔyΔx；

（2）取极限得导数f′(x0)＝limΔx→0 ΔyΔx. 【拓展提高】 1．为则设hfhffh233lim,430（ ）

A．－１ B．－2 C．－3 D．1 2．一质点做直线运动,由始点起经过ts后的距离为23416441ttts,则速度为零的时刻是 （ ） A．4s末 B．8s末 C．0s与8s末 D．0s,4s,8s末 【教学反思】 4

高二数学导学案 导数的几何意义导学案 【学习要求】1．了解导函数的概念，理解导数的几何意义．2．会求导函数．3．根据导数的几何意

义，会求曲线上某点处的切线方程．【学法指导】前面通过导数的定义已体会到其中蕴涵的逼近思想，本节再利用数形结合思想进一步直观感受这种思想，并进一步体会另一种重要思想——以直代曲. 【知识要点】1．导数的几何意义

（1）割线斜率与切线斜率 设函数y＝f(x)的图象如图所示，AB是过点A(x0，f(x0))与点B(x0＋Δx，f(x0＋Δx)) 的一条割线，此割线的斜率是ΔyΔx＝__________________.

当点B沿曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，它的最终位置为直线AD，这条直线AD叫做此曲线在点A处的 ．于是，当Δx→0时，割线AB的斜率无限趋向于在点A的切线AD的斜率k，即k＝ ＝___________________. （2）导数的几何意义 函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的 ．也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是 ．相应地，切线方程为_______________________． 2．函数的导数 当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数，则当x变化时，)(xf是x的一个函数，称)(xf是f(x)的导函数(简称导数)．)(xf也记作y′，即)(xf＝y′＝_______________ 【问题探究】探究点一 导数的几何意义

问题1 如图，当点Pn(xn，f(xn))(n＝1,2,3,4)沿着曲线f(x)趋近于点P(x0，f(x0))时，割线PPn的变化趋势是什么？

问题2 曲线的切线是不是一定和曲线只有一个交点？ 例1 如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10的图象．根据图象，请描述、比较曲线h(t)在t0，t1，t2附近的变化情况． 跟踪训练1 （1）根据例1的图象，描述函数h(t)在t3和t4附近增(减)以及增(减)快慢的情况． （2）若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是 ( )

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高中数学选修2-2学案6：1.3.2 函数的极值与导数

高中数学选修2-2学案6：1.3.2 函数的极值与导数

1.3.2 函数的极值与导数学习目标：1．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件．2．会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)．课前探究学习1．正确理解函数极值的概念(1)函数的极值是函数的局部性质，它反映了函数在某一点附近的大小情况．(2)由函数极值的定义知道，函数在一个区间的端点处一定不可能取得极值，即端点一定不是函数的极值点．(3)在一个给定的区间上，函数可能有若干个极值点，也可能不存在极值点；函数可能只有极大值，没有极小值，或者只有极小值没有极大值，也可能既有极大值，又有极小值．极大值不一定比极小值大，极小值也不一定比极大值小．2．极值点与导数的关系(1)可导函数的极值点一定是导数为0的点，但导数为0的点不一定是函数的极值点．(2)导数为0的点可能是函数的极值点，如y＝x2，y′(0)＝0，x＝0是极小值．导数为0的点也可能不是函数的极值点，如y＝x3，y′(0)＝0，x＝0不是极值点.课堂讲练互动：题型一求函数的极值例1：求下列函数的极值．(1)f(x)＝3x＋3ln x；(2)f(x)＝2xx2＋1－2.规律方法求函数的极值必须严格按照求函数极值的方法步骤进行，其重点是列表．解题时注意导数为零的点的左、右两侧的导数值是否是异号的，若异号，则是极值；否则，则不是极值．变式1：求函数y＝x4－4x3＋5的极值．题型二已知极值求参数值例2：已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1处取得极值，且f(1)＝－1.(1)求常数a，b，c的值；(2)判断x＝±1是函数的极大值点还是极小值点，试说明理由，并求出极值．规律方法已知函数极值情况，逆向应用确定函数的[解析]式，进而研究函数性质时注意两点：(1)常根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解．(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．变式2：已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，且知当x＝－1时取得极大值7，当x＝3时取得极小值，试求函数f(x)的极小值，并求a、b、c的值．题型三极值的综合应用例3：设a为实数，函数f(x)＝－x3＋3x＋a.(1)求f(x)的极值；(2)是否存在实数a，使得方程f(x)＝0恰好有两个实数根？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．题后反思：用求导的方法确定方程根的个数是一种很有效的方法，它是通过函数的变化情况，运用数形结合的思想来确定函数的图象与x轴的交点个数．变式3：设函数f (x )＝x 3－6x ＋5，x ∈R .(1)求函数f (x )的单调区间和极值；(2)若关于x 的方程f (x )＝a 有三个不同的实数根，求实数a 的取值范围．例4：已知f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1处有极值0，求常数a ，b 的值．追本溯源：对于可导函数，极值点导数为零，但导数为0的点不一定是极值点，因此已知函数的极值点，求某些参变量的值时，应验证能否使函数取到极值，否则易出现错解.——★ 参 考 答 案 ★——例1：解：(1)函数f (x )＝3x＋3ln x 的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝－3x 2＋3x ＝3(x －1)x 2，令f ′(x )＝0得x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：↘↗因此当x ＝1(2)函数的定义域为R .f ′(x )＝2(x 2＋1)－4x 2(x 2＋1)2＝－2(x －1)(x ＋1)(x 2＋1)2令f ′(x )＝0，得x ＝－1，或x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：↘↗↘当x ＝－1时，函数有极小值，且极小值为f (－1)＝－3； 当x ＝1时，函数有极大值，且极大值为f (1)＝－1. 变式1：解：y ′＝4x 3－12x 2＝4x 2(x －3)，令y ′＝4x 2(x －3)＝0，得x 1＝0，x 2＝3. 当x 变化时，y ′，y 的变化情况如下表： ↘↘↗极小值例2：解 (1)f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c .∵x ＝±1是函数f (x )的极值点， ∴x ＝±1是方程f ′(x )＝0的两根， 即3ax 2＋2bx ＋c ＝0的两根，由根与系数的关系，得⎩⎨⎧－2b3a＝0，①c3a ＝－1 ②又f (1)＝－1，∴a ＋b ＋c ＝－1.③由①②③解得a ＝12，b ＝0，c ＝－32.(2)f (x )＝12x 3－32x ，∴f ′(x )＝32x 2－32＝32(x －1)(x ＋1)，当x <－1或x >1时，f ′(x )>0， 当－1<x <1时，f ′(x )<0，∴函数f (x )在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数， 在(－1,1)上是减函数，∴当x ＝－1时，函数取得极大值f (－1)＝1， 当x ＝1时，函数取得极小值f (1)＝－1.变式2：解：f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .∵x ＝－1时函数取得极大值，x ＝3时函数取得极小值．∴－1,3是方程f ′(x )＝0的根，即为方程3x 2＋2ax ＋b ＝0的两个根．由一元二次方程根与系数的关系有⎩⎨⎧－1＋3＝－2a3，(－1)×3＝b3.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝－9.∴f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋c . ∵x ＝－1时取得极大值7， ∴(－1)3－3(－1)2－9(－1)＋c ＝7. ∴c ＝2.∴函数f (x )的极小值为f (3)＝33－3×32－9×3＋2＝－25，a ＝－3，b ＝－9，c ＝2. 例3：解： (1)令f ′(x )＝－3x 2＋3＝0，得x 1＝－1，x 2＝1.又因为当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )<0；当x ∈(－1，－1)时，f ′(x )>0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0. 所以f (x )的极小值为f (－1)＝a －2，f (x )的极大值为f (1)＝a ＋2. (2)因为f (x )在(－∞，－1)上单调递减，且当x →－∞时，f (x )→＋∞；又f (x )在(1，＋∞)上单调递减，且当x →＋∞时，f (x )→－∞；而a ＋2>a －2，即函数的极大值大于极小值，所以当极大值等于0时，有极小值小于0，如图(1)，此时曲线f (x )与x 轴恰有两个交点，即方程f (x )＝0恰好有两个实数根， 所以a ＋2＝0，a ＝－2.如图(2)，当极小值等于0时，有极大值大于0，此时曲线f (x )与x 轴恰有两个交点，即方程f (x )＝0恰好有两个实数根，所以a －2＝0，a ＝2.综上，当a ＝2，或a ＝－2时方程恰有两个实数根．变式3：解：(1)f ′(x )＝3x 2－6，令f ′(x )＝0，解得x ＝－2或x ＝ 2.因为当x ＞2或x ＜－2时，f ′(x )＞0； 当－2＜x ＜2时，f ′(x )＜0，所以f (x )的单调递增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)； 单调递减区间为(－2，2)． 当x ＝－2时，f (x )有极大值5＋42； 当x ＝2时，f (x )有极小值5－4 2.(2)由(1)的分析知y ＝f (x )的大致走向如图所示，当5－42＜a ＜5＋42时，直线y ＝a 与y ＝f (x )的图象有三个不同的交点， 即方程f (x )＝a 有三个不同的实数根． 例4：解：∵f (x )在x ＝－1处有极值0，且f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(－1)＝0，f (－1)＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧3－6a ＋b ＝0，－1＋3a －b ＋a 2＝0， 解之得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝9.当a ＝1，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2＋6x ＋3＝3(x ＋1)2≥0. ∴f (x )在R 上为增函数，无极值，故舍去；当a ＝2，b ＝9时，f ′(x )＝3x 2＋12x ＋9＝3(x ＋1)(x ＋3)． 当x ∈(－3，－1)时，f (x )为减函数； 当x ∈(－1，＋∞)时，f (x )为增函数，所以f (x )在x ＝－1处取得极小值，因此a ＝2，b ＝9.。

人教版高中数学选修2-2学案：1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(三)

人教版高中数学选修2-2学案：1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(三)

1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（三）【学习目标】1.了解复合函数的定义；2.了解复合函数的求导法则;3.会应用法则求某些简单复合函数的导数【新知自学】 知识回顾：导数的运算法则：设两个函数分别为f(x)和g(x),（1）=')]([x f c _____________;（2）[]='±)()(x g x f ___________；（3）[]='∙)()(x g x f _______________；（4）='⎥⎦⎤⎢⎣⎡)()(x g x f ______________)0)((>x g ． 新知梳理：1. 复合函数的概念若函数)(x f y =的定义域为U ，)(x g u =的定义域为A ，值域为B ，且U B ⊆，则称函数))((x g f y =是由函数________与函数______复合而成的复合函数．并将u 叫做中间变量，把函数)(u f 叫做外层函数，函数g(x)叫做内层函数．说明：在复合函数中，内层函数的值域必须是外层函数的定义域的子集．2. 复合函数的求导法则一般地，复合函数()[]x f y ϕ=，设函数u φ＝(x )在点x 处有导数()x μφx ''＝，函数()y f u ＝在点x 的对应点u 处有导数()μy f μ''＝，则复合函数(())yf φx ＝在点x 处也有导数，且''x u x y y'u ⋅＝ 或(())()()x f φx f μφx '''⋅＝． 感悟：1.复合函数的求导法则：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数；2．复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代． 对点练习：1.说出函数y=log 2(x-1)是由那两个函数复合而成？2.函数2)53(+=x y 的导函数是_______________.3.求下列复合函数的导函数：（1）x y 2cos =；（2）y=ln(2-x).【合作探究】 典例精析：例1. 求下列函数的导数：（1）)32sin(π+=x y ;（2）)53cos(+=x y .变式练习：求下列函数的导数：(1) 8)75(-=x y ;(2)y=cos(1-2x).例2.求下列函数的导数：（1）)45ln(+=x y ；（2）123-=x y .变式练习：求下列函数的导数： (1) 131-=x y ；（2）221x y -=.规律总结：应用复合函数的求导法则求导，应注意以下几个方面：（1）中间变量的选取应是基本函数结构；（2）正确分析函数的复合层次，并要弄清每一步是哪个变量对那个变量求导；（3）一般从最外层开始，由外及里，一层层求导；（4）善于把一部分表达是作为一个整体；（5）最后把中间变量换成自变量的函数.熟练后，就不必写出中间步骤.【课堂小结】【当堂达标】1.函数=y sin2x 的导数为( )A.='y cos2xB.='y 2sin2xC.='y 2cos2xD.='y 2sin2x2.12-=x e y 的导数是( )A ．()1221--='x e x y B.122-='xxe y C.()x e x y 12-=' D.12-='xe y ． 3.求下列函数的导数：（1）x x y 5sin )23(+=；（2）y=sin(2x+3π);(3)y=e sinx .【课时作业】1.若函数y=sin 2x ，则='y （ ）A.sin2xB.2sinxC.sinxcosxD.cos 2x2.x x y 3cos 2sin =的导数是_________________．3.求下列函数的导数．（1）x ey x 3cos 2=；（2）()x e x x -+=2y ；（3）x x e y 2=.(4)y ＝e 2x-1·cos x.4.已知x e x f x ππsin )(=，求)21(),(f x f ''.5.求曲线y=e -2x +1在点(0,2)处的切线与直线y=0和y=x 围成的三角形的面积.。

人教新课标版数学高二-数学选修2-2导学案 1.3.1利用导数判断函数的单调性

人教新课标版数学高二-数学选修2-2导学案 1.3.1利用导数判断函数的单调性

1.3.1利用导数判断函数的单调性学案编号：GEXX1-1T3-3-1【学习要求】1.结合实例，直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性，并能够利用单调性证明一些简单的不等式.3.会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).【学法指导】结合函数图象(几何直观)探讨归纳函数的单调性与导函数正负之间的关系，体会数形结合思想，以直代曲思想.一般地，在区间(a，b)内函数的单调性与导数有如下关系：导数函数的单调性f′(x)>0单调递f′(x)<0单调递f′(x)＝0常函数探究点一函数的单调性与导函数正负的关系问题1观察下面四个函数的图象，回答函数的单调性与其导函数的正负有何关系？问题2若函数f(x)在区间(a，b)内单调递增，那么f′(x)一定大于零吗？问题3(1)如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么如何表示这些区间？试写出问题1中(4)的单调区间.(2)函数的单调区间与其定义域满足什么关系？例1已知导函数f′(x)的下列信息：当1<x<4时，f′(x)>0；当x>4或x<1时，f′(x)<0；当x＝4或x＝1时，f′(x)＝0.试画出函数f(x)图象的大致形状.跟踪训练1函数y＝f(x)的图象如图所示，试画出导函数f′(x)图象的大致形状.例2求下列函数的单调区间：(1)f (x )＝2x (e x －1)－x 2； (2)f (x )＝3x 2－2ln x .跟踪训练2 求下列函数的单调区间：(1)f (x )＝x 2－ln x ； (2)f (x )＝e xx －2； (3)f (x )＝sin x (1＋cos x )(0≤x <2π).探究点二 函数的变化快慢与导数的关系问题 我们知道导数的符号反映函数y ＝f (x )的增减情况，怎样反映函数y ＝f (x )增减的快慢呢？能否从导数的角度解释变化的快慢呢？例3 如图，水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h 与时间t 的函数关系图象.跟踪训练3 已知f ′(x )是f (x )的导函数，f ′(x )的图象如图所示，则f (x )的图象只可能是( )【达标检测】1.函数f (x )＝x ＋ln x 在(0,6)上是( )A.单调增函数B.单调减函数C.在⎝⎛⎭⎫0，1e 上是减函数，在⎝⎛⎭⎫1e ，6上是增函数D.在⎝⎛⎭⎫0，1e 上是增函数，在⎝⎛⎭⎫1e ，6上是减函数 2.f ′(x )是函数y ＝f (x )的导函数，若y ＝f ′(x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的图象可能是 ( )3.函数f (x )＝ln x －ax (a >0)的单调增区间为( )A.⎝⎛⎭⎫0，1a B.⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞ C.(0，＋∞) D.(0，a )4.(1)函数y ＝x 2－4x ＋a 的增区间为______，减区间为______. (2)函数f (x )＝x 3－x 的增区间为______，减区间为______.【课堂小结】1.导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性，导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度.2.利用导数求函数f (x )的单调区间的一般步骤为(1)确定函数f (x )的定义域；(2)求导数f ′(x )； (3)在函数f (x )的定义域内解不等式f ′(x )>0和f ′(x )<0；(4)根据(3)的结果确定函数f (x )的单调区间.1. 3.1 利用导数判断函数的单调性 练习题一、基础过关1．命题甲：对任意x ∈(a ，b )，有f ′(x )>0；命题乙：f (x )在(a ，b )内是单调递增的．则甲是乙的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 2．函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是( )A ．(－∞，2)B ．(0,3)C ．(1,4)D ．(2，＋∞)3．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，其中a ，b ，c 为实数，当a 2－3b <0时，f (x )是 ( )A ．增函数B ．减函数C ．常数D ．既不是增函数也不是减函数 4．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是( )A ．y ＝sin xB ．y ＝x e 2C ．y ＝x 3－xD ．y ＝ln x －x5．函数y ＝f (x )在其定义域⎝⎛⎭⎫－32，3内可导，其图象如图所示，记y ＝f (x )的导函数为y ＝f ′(x )，则不等式f ′(x )≤0的解集为________．6．函数y＝x－2sin x在(0,2π)内的单调递增区间为________________．7. 已知函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，试画出函数y＝f(x)的大致图象．二、能力提升8．如果函数f(x)的图象如图，那么导函数y＝f′(x)的图象可能是()9．设f(x)，g(x)在[a，b]上可导，且f′(x)>g′(x)，则当a<x<b时，有() A．f(x)>g(x) B．f(x)<g(x) C．f(x)＋g(a)>g(x)＋f(a) D．f(x)＋g(b)>g(x)＋f(b) 10．函数y＝ax3－x在R上是减函数，则a的取值范围为________．11．求下列函数的单调区间：(1)y＝x－ln x；(2)y＝12x.12．已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的图象经过点P(0,2)，且在点M(－1，f(－1))处的切线方程为6x －y＋7＝0.(1)求函数y＝f(x)的解析式；(2)求函数y＝f(x)的单调区间．三、探究与拓展13．已知函数f(x)＝mx3＋nx2 (m、n∈R，m≠0)，函数y＝f(x)的图象在点(2，f(2))处的切线与x轴平行．(1)用关于m的代数式表示n；(2)求函数f(x)的单调增区间．。

271导学案.高中数学2-2.选修.配R-A版

271导学案.高中数学2-2.选修.配R-A版


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4 1 2. 3 数学归纳法 ……………………………… 0 预习案 探究案 训练案 ……………………………………… 0 4 1 ……………………………………… 0 4 1 ……………………………………… 0 4 2 ……………………………………… 0 4 3 ……………………………………… 0 4 3 ……………………………………… 0 4 4
合情推理 ( 一)
……………………………………… 0 4 5 ……………………………………… 0 4 5 ……………………………………… 0 4 6
预习案 探究案 训练案
第 2 课时
合情推理 ( 二)
预习案 探究案 训练案
第 2 课时
复数的几何意义
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1 3 1. 3 导数在研究函数中的应用 ……………… 0 预习案 探究案 训练案
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第 1 课时
函数的单调性与导数
第 1 课时
变化率问题
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第二章 推理与证明
3 1 2. 1 合情推理与演绎推理 …………………… 0 预习案 探究案 训练案
第 1 课时
数系的扩充和复数的概念
第 1 课时
……………………………………… 0 3 1 ……………………………………… 0 3 1 ……………………………………… 0 3 2 ……………………………………… 0 3 3 ……………………………………… 0 3 3 ……………………………………… 0 3 4