人教版高中数学必修二全册导学案

7.3.2复数乘、除运算的三角表示及其几何意义导学案编写:XXX 初审:XXX 终审:XXX 廖云波【学习目标】1.利用复数三角形式熟练进行复数乘除运算,并能根据乘除运算的几何意义解决相关问题2.注意多种解题方法的灵活运用,体会数形结合、分类讨论等数学思想方法【自主学习】知识点1 复数的三角形式的运算设z 1＝r 1( cos θ1＋isin θ1),z 2＝r 2( cos θ2＋isin θ2),则( 1)乘法:z 1·z 2＝r 1r 2[cos( θ1＋θ2)＋isin( θ1＋θ2)],这就是说,两个复数相乘,积的模等于各复数的模的积,积的辐角等于各复数的辐角的和．( 2)除法:z 1÷z 2＝z 1z 2＝r 1r 2[cos( θ1－θ2)＋isin( θ1－θ2)]( 其中z 2≠0),这就是说,两个复数相除,商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商,商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差． ( 3)乘方:z n ＝r n ( cos nθ＋isin nθ)．( 4)开方:n z ＝nr ( cos θ＋2k πn ＋isin θ＋2k πn )( k ＝0,1,2,…,n －1)．知识点2 复数三角形式乘、除运算的几何意义两个复数z 1,z 2相乘时,可以像图中所示那样,先分别画出与z 1,z 2对应的向量OZ1→,OZ2→,然后把向量OZ1→绕点O 按逆时针方向旋转一个角θ2( 如果θ2<0,就要把OZ1→按顺时针方向旋转一个角|θ2|),再把它的模变为原来的r 2倍,得到向量OZ →,OZ →表示的复数就是积z 1z 2.这就是复数乘法的几何意义．z 2≠0,z 1z 2的几何意义是把z 的对应向量OZ1→按顺时针方向旋转一个角θ2( 如果θ2<0,就要把OZ1→按逆时针方向旋转一个角|θ2|),再把它的模变为原来的1r 2倍,所得的向量即表示商z 1z 2.【合作探究】探究一 复数的三角形式的乘、除运算 【例1】2( cos π12＋isin π12)·3( cos π6＋isin π6)．[解]2( cos π12＋isin π12)·3( cos π6＋isin π6)＝2·3[cos(π12＋π6)＋isin( π12＋π6)] ＝6( cos π4＋isin π4)＝6( 22＋22i)＝3＋3i.归纳总结:r 1( cos θ1＋isin θ1( ·r 2( cos θ2＋isin θ2( ＝r 1r 2[cos ( θ1＋θ2( ＋isin ( θ1＋θ2( ]计算,简便得多.这就是复数的三角形式乘法运算公式.【练习1】设复数z ＝cos θ＋isin θ,θ∈( π,2π),求复数z 2＋z 的模和辐角． 解:z 2＋z ＝( cos θ＋isin θ)2＋cos θ＋isin θ ＝cos2θ＋isin2θ＋cos θ＋isin θ ＝( cos2θ＋cos θ)＋i( sin2θ＋sin θ) ＝2cos 3θ2cos θ2＋i( 2sin 3θ2cos θ2)＝2cos θ2( cos 32θ＋isin 32θ)＝－2cos θ2⨯⎣⎡⎦⎤cos (－π＋32θ)＋isin (－π＋32θ).∵θ∈( π,2π),∴θ2∈( π2,π),∴－2cos θ2>0,所以复数z 2＋z 的模为－2cos θ2,辐角为( 2k －1)π＋3θ2( k ∈Z )．探究二 复数的乘、除运算的几何意义【例2】向量OZ →与－1＋i 对应,把OZ →按逆时针方向旋转120°,得到OZ ′→,求与向量OZ ′→对应的复数[解] 将向量OZ →逆时针方向旋转120°,得到OZ ′→,由于模未发生变化,应当是OZ →对应复数乘以1·( cos120°＋isin120°),即z ′＝( －1＋i)( cos120°＋isin120°)＝2( cos135°＋isin135°)( cos120°＋isin120°)＝2( cos255°＋isin255°)＝1－32－1＋32i.归纳总结:利用复数乘、除法的几何意义来解决三角形中角的大小问题,十分方便【练习2】如图,已知平面内并列的三个相等的正方形,利用复数证明∠1＋∠2＋∠3＝π2.证明:∈1,∈2,∈3分别等于复数1＋i,2＋i,3＋i 的辐角主值,这样∈1＋∈2＋∈3就是( 1＋i)( 2＋i)( 3＋i)＝10i 的辐角,∈1,∈2,∈3都是锐角,所以∈1＋∈2＋∈3＝π2.课后作业A 组 基础题一、选择题1．复数( sin10°＋icos10°)3的三角形式为( )A ．sin30°＋icos30°B ．cos240°＋isin240°C ．cos30°＋isin30°D ．sin240°＋icos240°【正确答案】B2．若z ＝cos θ－isin θ,则使z 2＝－1的θ值可能是( )A ．0 B.π2 C ．π D ．2π【正确答案】B详细解析:∈z ＝cos θ－isin θ＝cos( －θ)＋isin( －θ), ∈z 2＝z ·z ＝cos( －2θ)＋isin( －2θ)＝cos2θ－isin2θ＝－1,∈⎩⎪⎨⎪⎧cos2θ＝－1，－sin2θ＝0∈θ＝π2.3．4( cos60°＋isin60°)×3( cos150°＋isin150°)＝( )A ．63＋6iB ．63－6iC ．－63＋6iD ．－63－6i【正确答案】D详细解析:4( cos60°＋isin60°)×3( cos150°＋isin150°)＝12[cos( 60°＋150°)＋isin( 60°＋150°)]＝12( cos210°＋isin210°)＝12⎝⎛⎭⎫－32－12i ＝－63－6i.故选D. 4．复数z 1＝1,z 2是由z 1绕原点O 逆时针方向旋转π6而得到,则arg( z 2－z 12)的值为( )A.π12 B.π3 C.5π12D.7π12【正确答案】D5．( 多选)设z 1、z 2是复数,arg z 1＝α,arg z 2＝β,则arg( z 1·z 2)有可能是下列情况中的( )A ．α＋βB ．α＋β－2πC ．2π－( α＋β)D ．π＋α＋β【正确答案】ABC详细解析:因为arg z 1＝α,arg z 2＝β,所以α∈[0,2π),β∈[0,2π),而arg( z 1·z 2)∈[0,2π),则当α＋β∈[0,2π)时,arg( z 1·z 2)＝α＋β;当α＋β∈[2π,4π)时,α＋β－2π∈[0,2π),则arg( z 1·z 2)＝α＋β－2π;当α＋β＝π时,2π－( α＋β)＝π＝α＋β,此时arg( z 1·z 2)＝α＋β＝2π－( α＋β),故选ABC. 二、填空题6．复数－i 的一个立方根是i,它的另外两个立方根是 . 【正确答案】－32－12i,32－12i 详细解析:∵－i ＝cos 3π2＋isin 3π2,其立方根是cos 2k π＋3π23＋isin 2k π＋3π23,k ∈0,1,2,即i,－32－12i,32－12i. 三、参考解答题7．计算:4( cos 4π3＋isin 4π3)÷2( cos 5π6＋isin 5π6)．解:原式＝2[cos(4π3－5π6)＋isin( 4π3－5π6)] ＝2( cos π2＋isin π2)＝2i.8．把复数z 1与z 2对应的向量OA →,OB →分别按逆时针方向旋转π4和5π3后,重合于向量OM →且模相等,已知z 2＝－1－3i,求复数z 1的代数形式和它的辐角主值． 解:由复数乘法的几何意义得 z 1( cos π4＋isin π4)＝z 2( cos 5π3＋isin 5π3),又z 2＝－1－3i ＝2( cos 4π3＋isin 4π3),∴z 1＝2(cos 4π3＋isin 4π3)·(cos 5π3＋isin 5π3)cos π4＋isin π4＝2[cos( 3π－π4)＋isin( 3π－π4)]＝－2＋2i,z 1的辐角主值为3π4.9．计算:3( cos π6＋isin π6)·4( cos π12＋isin π12)．解:原式＝43[cos( π6＋π12)＋isin( π6＋π12)]＝43( cos π4＋isin π4)＝26＋26i.10．若z ＝3( cos π6＋isin π6),求z 2与z 3的值．解:z 2＝z ·z ＝( 3)2[cos( π6＋π6)＋isin( π6＋π6)]＝3( cos π3＋isin π3)＝32＋332i.z 3＝z ·z ·z ＝( 3)3[cos( π6×3)＋isin( π6×3)]＝33( cos π2＋isin π2)＝33i.11．在复平面上A ,B 表示复数为α,β( α≠0),且β＝( 1＋i)α,判断△AOB 形状, 并证明S △AOB ＝12|α|2.解:∈AOB 为等腰直角三角形． 证明:∵α≠0,∴β＝( 1＋i)α,∴βα＝1＋i ＝2( cos π4＋isin π4),∴∠AOB ＝π4; ∵OA →,AB →分别表示复数α,β－α,由β－α＝αi,得β－αα＝i ＝cos π2＋isin π2,∴∠OAB ＝90°,∴△AOB 为等腰直角三角形． ∴S △AOB ＝12|OA |2＝12|α|2.12．设复数z 1＝3＋i,复数z 2满足|z 2|＝2,已知z 1·z 22的对应点在虚轴的负半轴上,且arg z 2∈( 0,π),求z 2的代数形式．解:因为z 1＝2( cos π6＋isin π6),设z 2＝2( cos α＋isin α),α∈( 0,π),所以z 1z 22＝8[cos( 2α＋π6)＋isin( 2α＋π6)]．由题设知2α＋π6＝2k π＋3π2( k ∈Z ),所以α＝k π＋2π3( k ∈Z ),又α∈( 0,π),所以α＝2π3,所以z 2＝2( cos 2π3＋isin 2π3)＝－1＋3i.B 组 能力提升一、选择题1．复数z ＝sin π6－icos π6,若z n ＝Z ( n ∈N ),则n 的最小值是( )A ．1B ．3C ．5D ．7【正确答案】C详细解析:因为z ＝sin π6－icos π6＝cos 5π3＋isin 5π3,所以z n ＝cos 5n 3π＋isin 5n 3π,Z ＝cos 5π3－isin 5π3＝cos π3＋isin π3.因为z n ＝Z ,所以5n 3π＝π3＋2k π,n ＝6k ＋15,因为n ∈N ,k ∈Z ,所以当k ＝4时,n ＝5. 2.设复数z 1＝2sin θ＋icos θ( π4<θ<π2)在复平面上对应向量OZ 1→,将OZ 1→按顺时针方向旋转3π4后得到向量OZ 2→,OZ 2→对应复数z 2＝r ( cos φ＋isin φ),则tan φ＝( )A.2tan θ＋12tan θ－1B.2tan θ－12tan θ＋1C.12tan θ＋1D.12tan θ－1 【正确答案】A 二、填空题3．( 1－3i)7详细解析:( 1－3i)7＝⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫cos 5π3＋isin 5π37 ＝27⎝⎛⎭⎫cos 35π3＋isin 35π3 ＝128⎝⎛⎭⎫12－32i ＝64－643i.三、参考解答题4．若z ∈C ,|z －2|≤1,求|z |的最大值,最小值和arg z 范围．解:如图,由|z －2|≤1,知z 的轨迹为复平面上以( 2,0)为圆心,1为半径的圆面( 包括圆周),|z |表示圆面上任一点到原点的距离．显然1≤|z |≤3,∈|z |max ＝3,|z |min ＝1,另设圆的两条切线为OA ,OB ,A ,B 为切点,由|CA |＝1,|OC |＝2知∈AOC ＝∈BOC ＝π6,∈arg z ∈[0,π6]∈[116π,2π)．5．已知复数z 1＝－2＋i 对应的点为P 1,z 2＝－3＋4i 对应的点为P 2,把向量P 1P 2→绕P 1点按顺时针方向旋转π2后,得到向量P 1P →,求向量P 1P →和点P 对应的复数分别是什么? 解:由题意知向量P 1P 2→对应的复数是z 2－z 1＝( －3＋4i)－( －2＋i)＝－1＋3i.再由复数乘法的几何意义得,向量P 1P →对应的复数是( －1＋3i)·⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫－π2＋isin ⎝⎛⎭⎫－π2＝3＋i,最后由复数加法的几何意义得,向量OP →＝OP 1→＋P 1P →,其对应的复数是( －2＋i)＋( 3＋i)＝1＋2i,故点P 对应的复数为1＋2i.6．已知z ＝－1＋i i －2i,z 1－z ·z 2＝0,arg z 2＝7π12,若z 1,z 2在复平面上分别对应点A ,B ,且|AB |＝2,求z 1的立方根．解:由题设知z ＝1－i,因为|AB |＝2,即|z 1－z 2|＝2,所以|z 1－z 2|＝|z z 2－z 2|＝|( 1＋i)z 2－z 2|＝|i z 2|＝|z 2|＝2,又arg z 2＝7π12, 所以z 2＝2( cos 7π12＋isin 7π12),z 1＝z z 2＝( 1＋i)z 2 ＝2( cos π4＋isin π4)·2( cos 7π12＋isin 7π12) ＝2( cos 5π6＋isin 5π6),所以z 1的立方根为32[cos 5π6＋2k π3＋isin 5π6＋2k π3],k ＝0,1,2, 即32( cos 5π18＋isin 5π18),32( cos 17π18＋isin 17π18), 32( cos 29π18＋isin 29π18)．。

高一数学必修2导学案主备人: 备课时间: 备课组长:1.1.1棱柱、棱锥、棱台的结构特征一、学习目标：1、知识与技能：（1）能根据几何结构特征对空间物体进行分类。

（2）会用语言概述棱柱、棱锥、棱台的结构特征。

（3）会表示有关几何体以及柱、锥、台的分类。

2、过程与方法：（1）通过直观感受空间物体，概括出柱、锥、台的几何结构特征。

（2）观察、讨论、归纳、概括所学的知识。

3、情感态度与价值观：（1）使学生感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学生学习的积极性，同时提高学生的观察能力。

（2）培养学生的空间想象能力和抽象概括能力。

二、学习重点、难点：学习重点：感受大量空间实物及模型,概括出柱、锥、台的结构特征。

学习难点：柱、锥、台的结构特征的概括。

三、使用说明及学法指导:1、先浏览教材，再逐字逐句仔细审题，认真思考、独立规范作答，不会的先绕过，做好记号。

2、要求小班、重点班学生全部完成，平行班学生完成A、B类问题。

3、A类是自主探究，B类是合作交流。

四、知识链接:平行四边形：矩形：正方体：五、学习过程：A问题1：什么是多面体、多面体的面、棱、顶点？A问题2：什么是旋转体、旋转体的轴？B问题3：什么是棱柱、锥、台？有何特征？如何表示？如何分类？C问题4；探究一下各种四棱柱之间有何关系？C问题5：质疑答辩，排难解惑1．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是不是棱柱？（举反例说明）2．棱柱的任何两个平面都可以作为棱柱的底面吗？A 例1：如图，截面BCEF 把长方体分割成两部分，这两部分是否是棱柱？B 例2：一个三棱柱可以分成几个三棱锥？六、达标测试A1、下面没有对角线的一种几何体是（）A ．三棱柱B ．四棱柱C ．五棱柱D ．六棱柱A2、若一个平行六面体的四个侧面都是正方形,则这个平行六面体是（）A ．正方体B ．正四棱锥C ．长方体D ．直平行六面体B3、棱长都是1的三棱锥的表面积为（）A ．3B．23C．33D．43B4、正六棱台的两底边长分别为1cm,2cm,高是1cm,它的侧面积为（）A ．279cm2B ．79cm2C ．323cm2D ．32cm2B5、若长方体的三个不同的面的面积分别为2,4,8，则它的体积为（）A ．2B ．4C ．8D ．12C6、一个三棱锥，如果它的底面是直角三角形，那么它的三个侧面（）A ．必须都是直角三角形B．至多只能有一个直角三角形C ．至多只能有两个直角三角形D．可能都是直角三角形A7、长方体的共顶点的三个侧面面积分别为3，5，15，则它的体积为_______________.七、小结与反思：【励志良言】不为失败找理由，只为成功找方法。

高中必修二数学全册教案
第一节：直线和平面的方程
教学目标：学生能够理解和应用直线和平面的方程。

教学重点：直线和平面的一般方程、截距式方程、点斜式方程、交点坐标、平面的截距式方程。

教学难点：平面的一般方程的推导。

教学过程：
1.引入直线和平面的方程。

通过实际例子引导学生了解直线和平面的一般方程。

2.介绍直线的方程。

讲解直线的截距式方程和点斜式方程，并通过例题演示如何转换。

3.介绍平面的方程。

学习平面的一般方程和截距式方程，并讲解如何根据平面上的点和法向量来确定平面的方程。

4.练习。

让学生进行练习，巩固直线和平面的方程的知识。

5.总结。

总结本节课的重点内容，并提醒学生注意要点。

教学资源：教材、黑板、彩色粉笔、习题册。

课后作业：完成课后习题，练习直线和平面的方程，并思考如何应用到实际生活中。

扩展阅读：了解不同方程的应用领域，并与实际生活进行联系。

人教A版高中数学必修二全册精品导学案高中数学必修导学案§1.1 空间几何体的结构【使用说明及学法指导】1.结合问题导学自已复习课本必修2的P2页至P4页，用红色笔勾画出疑惑点；独立完成探究题，并总结规律方法。

2.针对问题导学及小试牛刀找出的疑惑点，课上讨论交流，答疑解惑。

3. 感受空间实物及模型，增强学生直观感知；能根据几何结构特征对空间物体进行分类；4.理解多面体的有关概念；会用语言概述棱柱、棱锥、棱台的结构特征.5. 在科学上没有平坦的道路，只有不畏劳苦，敢于沿着陡峭山路攀登的人才有希望达到光辉的顶点。

【重点难点】重点是棱柱、棱锥、棱台结构特征.难点是棱柱、棱锥、棱台的结构特征一【问题导学】探索新知探究1：几何体的相关概念（1）预习课本第2页的观察部分，试着将所给出的16幅图片进行分类，并说明分类依据。

（2）空间几何体的概念：（3探究2新知1：（1）多面体：（2）多面体的面：（3）多面体的棱：（4 指出右侧几何体的面、棱、顶点探究2：旋转体的相关概念新知2：旋转体旋转体的轴 探究31、 棱柱：2、棱柱的分类：（1）按侧棱及底面垂直及否，分为：（2）按底面多边形的边数，分为：注：底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱。

3、棱柱的表示：4、补充：平行六面体——底面是平行四边形的四棱柱探究41、棱锥：2、棱锥的分类：注：如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥是正棱锥.3、棱锥的表示：探究5：（三）棱台1、棱台：2、棱台的分类：3、棱台的表示：二【小试牛刀】1. 一个多边形沿不平行于矩形所在平面的方向平移一段距离可以形成（）.A．棱锥 B．棱柱 C．平面 D．长方体2. 棱台不具有的性质是（）.A.两底面相似B.侧面都是梯形C.侧棱都相等D.侧棱延长后都交于一点三【合作、探究、展示】例1、根据右边模型，回答下列问题：(1)观察长方体模型，有多少对平行平面？能作为棱柱底面的有多少对？(2) 如右图，长方体''''中被截去一部ABCD A B C D分，其中''EH A D。

9.2.2总体百分位数的估计导学案编写:XXX 初审:XXX 终审:XXX 廖云波【学习目标】1.理解百分位数的概念2.掌握计算百分位数的方法【自主学习】知识点1 百分位数( 1)如果将一组数据从小到大排序,并计算相应的累计百分位,则某一百分位所对应数据的值就称为这一百分位的百分位数．一般地,一组数据的第p百分位数是这样一个值,它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值,且至少有( 100－p)%的数据大于或等于这个值．( 2)第25百分位数又称第一四分位数或下四分位数;第75百分位数又称第三四分位数或上四分位数．知识点2 如何计算百分位数下面的步骤来说明如何计算第p百分位数．第1步:以递增顺序排列原始数据( 即从小到大排列)．第2步:计算i＝np%.第3步:①若i不是整数,将i向上取整．大于i的比邻整数即为第p百分位数的位置;①若i是整数,则第p百分位数是第i项与第( i＋1)项数据的平均值．【合作探究】探究一 百分位数的计算【例1】从某珍珠公司生产的产品中,任意抽取12颗珍珠,得到它们的质量( 单位:g) 如下:7.9,9.0,8.9,8.6,8.4,8.5,8.5,8.5,9.9,7.8,8.3,8.0. ( 1)分别求出这组数据的第25,75,95百分位数． ( 2)请你找出珍珠质量较小的前15%的珍珠质量．( 3)若用第25,50,95百分位数把公司生产的珍珠划分为次品、合格品、优等品和特优品,依照这个样本的数据,给出该公司珍珠等级的划分标准．[解] ( 1)将所有数据从小到大排列,得 7.8,7.9,8.0,8.3,8.4,8.5,8.5,8.5,8.6,8.9,9.0,9.9,因为共有12个数据,所以12×25%＝3,12×75%＝9,12×95%＝11.4, 则第25百分位数是8.0＋8.32＝8.15,第75百分位数是8.6＋8.92＝8.75,第95百分位数是第12个数据( 2)因为共有12个数据,所以12×15%＝1.8,则第15百分位数是第2个数据为7.9.即产品质量较小的前15%的产品有2个,它们的质量分别为7.8,7.9.( 3)由( 1)可知样本数据的第25百分位数是8.15 g,第50百分位数为8.5 g, 第95百分位数是9.9 g,所以质量小于或等于8.15 g 的珍珠为次品,质量大于8.15 g 且小于或等于8.5 g 的珍珠为合格品,质量大于8.5 g 且小于等于9.9 g 的珍珠为优等品,质量大于9.9 g 的珍珠为特优品．归纳总结:【练习1】以下数据为参加数学竞赛决赛的15人的成绩:78,70,72,86,88,79,80,81,94,84,56,98,83,90,91,则这15人成绩的第80百分位数是( ) A．90 B．90.5C．91D．91.5正确答案B[把成绩按从小到大的顺序排列为: 56,70,72,78,79,80,81,83,84,86,88,90,91,94,98,因为15×80%＝12,所以这15人成绩的第80百分位数是90＋912＝90.5.]探究二百分位数的综合应用【例2】某市为了鼓励市民节约用电,实行“阶梯式”电价,将该市每户居民的月用电量划分为三档,月用电量不超过200千瓦时的部分按0.5元/千瓦时收费,超过200千瓦时但不超过400千瓦时的部分按0.8元/千瓦时收费,超过400千瓦时的部分按1.0元/千瓦时收费．( 1)求某户居民用电费用y( 单位:元)关于月用电量x( 单位:千瓦时)的函数详细解析式．( 2)为了了解居民的用电情况,通过抽样获得了今年1月份100户居民每户的用电量,统计详细分析后得到如图所示的频率分布直方图．若这100户居民中,今年1月份用电费用不超过260元的占80%,求a,b的值．( 3)根据( 2)中求得的数据计算用电量的75%分位数．[解]( 1)当0≤x≤200时,y＝0.5x;当200<x≤400时,y＝0.5×200＋0.8×( x－200)＝0.8x－60;当x >400时,y ＝0.5×200＋0.8×200＋1.0×( x －400)＝x －140. 所以y 与x 之间的函数详细解析式为 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.5x ，0≤x ≤200，0.8x －60，200<x ≤400，x －140，x >400.( 2)由( 1)可知,当y ＝260时,x ＝400,即用电量不超过400千瓦时的占80%, 结合频率分布直方图可知⎩⎪⎨⎪⎧0.001×100＋2×100b ＋0.003×100＝0.8，100a ＋0.000 5×100＝0.2， 解得a ＝0.001 5,b ＝0.002 0. ( 3)设75%分位数为m ,因为用电量低于300千瓦时的所占比例为( 0.001＋0.002＋0.003)×100＝60%, 用电量不超过400千瓦时的占80%,所以75%分位数为m 在[300,400)内,所以0.6＋( m －300)×0.002＝0.75, 解得m ＝375千瓦时,即用电量的75%分位数为375千瓦时．归纳总结:【练习2】某市对不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛,满分100分( 90分及以上为认知程度高),现从参赛者中抽取了x 人,按年龄分成5组( 第一组:[20,25),第二组:[25,30),第三组:[30,35),第四组:[35,40),第五组:[40,45]),得到如图所示的频率分布直方图,已知第一组有5人．( 1)求x ;( 2)求抽取的x 人的年龄的50%分位数( 结果保留整数); ( 3)以下是参赛的10人的成绩:90,96,97,95,92,92,98,88,96,99,求这10人成绩的20%分位数和平均数,以这两个数据为依据,评价参赛人员对一带一路的认知程度,并谈谈你的感想．【正确答案】( 1)第一组频率为0.01×5＝0.05,所以x ＝50.05＝100. ( 2)由题图可知年龄低于30岁的所占比例为40%,年龄低于35岁的所占比例为70%,所以抽取的x 人的年龄的50%分位数在[30,35)内,由30＋5×0.50－0.400.70－0.40＝953≈32,所以抽取的x 人的年龄的50%分位数为32.( 3)把参赛的10人的成绩按从小到大的顺序排列: 88,90,92,92,95,96,96,97,98,99,计算10×20%＝2,所以这10人成绩的20%分位数为90＋922＝91,这10人成绩的平均数为110( 88＋90＋92＋92＋95＋96＋96＋97＋98＋99)＝94.3.评价:从百分位数和平均数来看,参赛人员的认知程度很高． 感想:结合本题和实际,符合社会主义核心价值观即可．课后作业A 组 基础题一、选择题1．数据12,14,15,17,19,23,27,30的第70百分位数是( )A ． 14B ．17C ． 19D ．23【正确答案】D [因为8×70%＝5.6,故70%分位数是第6项数据23.]2．某棉纺厂为了了解一批棉花的质量,从中随机抽取了100根棉花纤维的长度( 棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标),所得数据都在区间[5,40]中,其频率分布直方图如图所示．估计棉花纤维的长度的样本数据的90%分位数是( )A ．32.5 mmB ．33 mmC ．33.5 mmD ．34 mm【正确答案】A [棉花纤维的长度在30 mm 以下的比例为 ( 0.01＋0.01＋0.04＋0.06＋0.05)×5＝0.85＝85%, 在35 mm 以下的比例为85%＋10%＝95%,因此,90%分位数一定位于[30,35]内,由30＋5×0.90－0.850.95－0.85＝32.5,可以估计棉花纤维的长度的样本数据的90%分位数是32.5 mm.]3．如图所示是根据某市3月1日至3月10日的最低气温( 单位:℃)的情况绘制的折线统计图,由图可知这10天最低气温的第80百分位数是( )A ．－2B ．0C ．1D ．2【正确答案】D [由折线图可知,这10天的最低气温按照从小到大的顺序排列为:－3,－2,－1,－1,0,0,1, 2, 2, 2,因为共有10个数据,所以10×80%＝8,是整数,则这10天最低气温的第80百分位数是2＋22＝2.]4．某厂10名工人在一小时内生产零件的个数分别是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12,设该组数据的平均数为a ,第50百分位数为b ,则有( )A ．a ＝13.7, b ＝15.5B ．a ＝14, b ＝15C ．a ＝12, b ＝15.5D ．a ＝14.7, b ＝15【正确答案】D [把该组数据按从小到大的顺序排列为10,12,14,14,15,15,16,17,17,17,其平均数a ＝110×( 10＋12＋14＋14＋15＋15＋16＋17＋17＋17)＝14.7,第50百分位数为b ＝15＋152＝15.] 5．已知甲、乙两组数据:甲组:27,28,39,40,m,50; 乙组:24,n,34,43,48,52.若这两组数据的第30百分位数、第80百分位数分别相等,则mn等于( )A ．127B ．107C ．43D ．74【正确答案】A [因为30%×6＝1.8,80%×6＝4.8,所以第30百分位数为n ＝28,第80百分位数为m ＝48,所以m n ＝4828＝127.]二、填空题6．某学校组织学生参加数学测试,成绩的频率分布直方图如图,数据的分组依次为[20,40),[40,60),[60,80),[80,100],则60分为成绩的第________百分位数．【正确答案】30 [因为[20,40),[40,60)的频率为( 0.005＋0.01)×20＝0.3,所以60分为成绩的第30百分位数．]7．某年级120名学生在一次百米测试中,成绩全部介于13秒与18秒之间．将测试结果分成5组:[13,14),[14,15),[15,16),[16,17),[17,18],得到如图所示的频率分布直方图．如果从左到右的5个小矩形的面积之比为1∶3∶7∶6∶3,那么成绩的70%分位数约为________秒．【正确答案】16.5 [设成绩的70%分位数为x ,因为1＋3＋71＋3＋7＋6＋3＝0.55,1＋3＋7＋61＋3＋7＋6＋3＝0.85,所以x ① [16,17),所以0.55＋( x －16)×61＋3＋7＋6＋3＝0.70,解得x ＝16.5秒．]8．已知30个数据的第60百分位数是8.2,这30个数据从小到大排列后第18个数据是7.8,则第19个数据是________．【正确答案】8.6 [由于30×60%＝18,设第19个数据为x ,则7.8＋x2＝8.2,解得x ＝8.6,即第19个数据是8.6.] 三、参考解答题9．某网络营销部门随机抽查了某市200名网友在2019年11月11日的网购金额,所得数据如下表:( 1)试确定x ,y ,p ,q 的值,并补全频率分布直方图( 如图)．( 2)估计网购金额的25%分位数( 结果保留3位有效数字)． 【正确答案】( 1)根据题意有:⎩⎪⎨⎪⎧16＋24＋x ＋y ＋16＋14＝200，16＋24＋x y ＋16＋14＝32，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝80，y ＝50，所以p ＝0.4,q ＝0.25.补全频率分布直方图如图所示:( 2) 由( 1)可知,网购金额不高于2千元的频率为0.08＋0.12＝0.2, 网购金额不高于3千元的频率为0.2＋0.4＝0.6, 所以网购金额的25%分位数在[2,3)内,则网购金额的25%分位数为2＋0.25－0.20.6－0.2×1≈2.13千元．B 组 能力提升一、选择题1．数据3.2,3.4,3.8,4.2,4.3,4.5,x,6.6的第65百分位数是4.5,则实数x 的取值范围是( )A ．[4.5,＋∞)B ．[4.5,6.6)C ．( 4.5,＋∞)D ．[4.5,6.6]【正确答案】A [因为8×65%＝5.2,所以这组数据的第65百分位数是第6项数据4.5,则x ≥4.5,故选A ．]2．( 多选题)甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次,两人成绩的条形统计图如图所示,则下列说法正确的是( )甲 乙A ．甲的成绩的平均数等于乙的成绩的平均数B ．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数C ．甲的成绩的第80百分位数等于乙的成绩的第80百分位数D ．甲的成绩的极差大于乙的成绩的极差【正确答案】AC [由题图可得,x －甲＝4＋5＋6＋7＋85＝6,x －乙＝3×5＋6＋95＝6,A 项正确;甲的成绩的中位数为6,乙的成绩的中位数为5,B 项错误;甲的成绩的第80百分位数7＋82＝7.5,乙的成绩的第80百分位数6＋92＝7.5,所以二者相等,C 项正确;甲的成绩的极差为4,乙的成绩的极差也为4,D 项不正确．]二、填空题3．( 一题两空)如图是某市2019年4月1日至4月7日每天最高、最低气温的折线统计图,这7天的日最高气温的第10百分位数为________,日最低气温的第80百分位数为________．【正确答案】24 ①16 ①[由折线图可知,把日最高气温按照从小到大排序,得24, 24.5, 24.5, 25, 26,26, 27.因为共有7个数据,所以7×10%＝0.7,不是整数,所以这7天日最高气温的第10百分位数是第1个数据,为24 ①.把日最低气温按照从小到大排序,得12, 12, 13, 14, 15, 16, 17.因为共有7个数据,所以7×80%＝5.6,不是整数,所以这7天日最低气温的第80百分位数是第6个数据,为16 ①.]三、参考解答题4．下表记录了一个家庭6月份每天在食品上面的消费金额:( 单位:元)【正确答案】该样本共有30个数据,所以30×5%＝1.5,30×25%＝7.5,30×50%＝15,30×75%＝22.5,30×95%＝28.5.将所有数据由小到大排列得:26,26,26,27,28,28,28,28,28,29,29,30,30,31,31,31,32,32,32,34,34,34,34,34,34,34,35,35,35,35.从而得5个百分位数如下表:5．某大学艺术专业400名学生参加某次测评,根据男女学生人数比例,使用分层随机抽样的方法从中随机抽取了100名学生,记录他们的分数,将数据分成7组:[20,30),[30,40),…,[80,90],并整理得到如下频率分布直方图:( 1)估计总体400名学生中分数小于70的人数;( 2)已知样本中分数小于40的学生有5人,试估计总体中分数在区间[40,50)内的人数;( 3)根据该大学规定,把15%的学生划定为不及格,利用( 2)中的数据,确定本次测试的及格分数线,低于及格分数线的学生需要补考．【正确答案】( 1)根据频率分布直方图可知,样本中分数不小于70的频率为( 0.02＋0.04)×10＝0.6,所以样本中分数小于70的频率为1－0.6＝0.4.所以总体400名学生中分数小于70的人数为400×0.4＝160.( 2)根据题意,样本中分数不小于50的频率为( 0.01＋0.02＋0.04＋0.02)×10＝0.9, 分数在区间[40,50)内的人数为100－100×0.9－5＝5. 所以总体中分数在区间[40,50)内的人数估计为400×5100＝20.( 3) 设分数的第15百分位数为x ,由( 2)可知,分数小于50的频率为5＋5100＝0.1,分数小于60的频率为0.1＋0.1＝0.2,所以x ①[50,60),则0.1＋( x －50)×0.01＝0.15,解得x ＝55,则本次考试的及格分数线为55分．。

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人教版高中数学必修2全册导学案是教师在备课过程中为了引导学生自主学习而准备的一份辅助教材。

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导学案及答案第一章函数与导数1.1 函数的概念与表示学习目标：1. 了解函数的基本概念；2. 掌握用集合、映射等方法表示函数的方法。

学习内容：1. 函数的定义；2. 函数的表示方法；3. 函数的性质。

学习方法指导：1. 仔细阅读教材相关内容，理解函数的定义；2. 注意区分自变量和因变量的概念；3. 多做一些例题，加深对函数表示方法的理解。

习题：1. 设函数f(x) = 2x + 3，求f(1)的值；2. 函数y = x^2的图象为抛物线，确定该函数的定义域和值域。

答案：1. 将x = 1带入函数f(x)，得到f(1) = 2(1) + 3 = 5。

2. 函数y = x^2的定义域为全体实数集R，值域为非负实数集[0,+∞)。

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人教版高一数学必修2全册导学案及答案第一章：集合及其运算1. 集合的概念及表示方法a) 集合的定义：集合是由一些确定的、互不相同的对象构成的整体。

b) 集合的表示方法：i) 列举法：把集合中的元素逐个列举出来，用大括号括起来表示，如A={1, 2, 3}。

ii) 描述法：用条件描述集合中的元素，如A={x|x是自然数，且x<4}。

2. 集合的运算a) 交集：设A和B为两个集合，A∩B表示同时属于A和B的元素组成的集合。

b) 并集：设A和B为两个集合，A∪B表示属于A或者属于B的元素组成的集合。

c) 差集：设A和B为两个集合，A-B表示属于A但不属于B的元素组成的集合。

d) 互斥与互补：若A∩B=∅，则A和B互斥；若A∪B=U（全集），则称A和B互为互补集。

练习题：1. 设A={1, 2, 3, 4}，B={3, 4, 5}，求A∩B和A∪B。

2. 若A={1, 2, 3, 4}，B={2, 3, 4, 5}，求A-B和B-A。

3. 设全集U={1, 2, 3, 4, 5}，A={1, 2, 3}，B={3, 4}，求A的补集和B的补集。

答案：1. A∩B={3, 4}，A∪B={1, 2, 3, 4, 5}。

2. A-B={1}，B-A={5}。

3. A的补集U-A={4, 5}，B的补集U-B={1, 2, 5}。

第二章：不等式与不等式组1. 不等式的概念a) 不等式的定义：设a和b是两个实数，用符号"<"表示a小于b，用符号">"表示a大于b，用符号"≤"表示a小于等于b，用符号"≥"表示a大于等于b。

b) 不等式的解集：使不等式不等号成立的实数的集合，称为不等式的解集。

2. 一元一次不等式a) 不等式的性质：两边加上（或减去）同一个实数，不等式的大小方向不变；两边乘以正实数（或除以正实数），不等式的大小方向不变；两边乘以负实数（或除以负实数），不等式的大小方向相反。

平面向量的概念【学习过程】一、问题导学预习教材P2－P4的内容，思考以下问题： 1．向量是如何定义的？向量与数量有什么区别？ 2．怎样表示向量？向量的相关概念有哪些？3．两个向量（向量的模）能否比较大小？4．如何判断相等向量或共线向量？向量AB →与向量BA →是相等向量吗？二、合作探究探究点1： 向量的相关概念例1：给出下列命题：①若AB→＝DC →，则A ，B ，C ，D 四点是平行四边形的四个顶点； ②在▱ABCD 中，一定有AB →＝DC →；③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c .其中所有正确命题的序号为________．解析：AB→＝DC →，A ，B ，C ，D 四点可能在同一条直线上，故①不正确；在▱ABCD 中，|AB →|＝|DC→|，AB →与DC →平行且方向相同，故AB →＝DC →，故②正确；a ＝b ，则|a |＝|b |，且a 与b 的方向相同；b ＝c ，则|b |＝|c |，且b 与c 的方向相同，则a 与c 长度相等且方向相同，故a ＝c ，故③正确．答案：②③ 探究点2： 向量的表示例2：在如图所示的坐标纸上（每个小方格的边长为1），用直尺和圆规画出下列向量：（1）OA→，使|OA →|＝42，点A 在点O 北偏东45°方向上； （2）AB→，使|AB →|＝4，点B 在点A 正东方向上； （3）BC→，使|BC →|＝6，点C 在点B 北偏东30°方向上． 解：（1）由于点A 在点O 北偏东45°方向上，所以在坐标纸上点A 距点O 的横向小方格数与纵向小方格数相等．又|OA→|＝42，小方格的边长为1，所以点A 距点O 的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A 的位置可以确定，画出向量OA→，如图所示．（2）由于点B 在点A 正东方向上，且|AB →|＝4，所以在坐标纸上点B 距点A 的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B 的位置可以确定，画出向量AB→，如图所示．（3）由于点C 在点B 北偏东30°方向上，且|BC →|＝6，依据勾股定理可得，在坐标纸上点C 距点B 的横向小方格数为3，纵向小方格数为33≈5.2，于是点C 的位置可以确定，画出向量BC→，如图所示．探究点3：共线向量与相等向量例3：如图所示，O 是正六边形ABCDEF 的中心，且OA →＝a ，OB →＝b ，在每两点所确定的向量中．（1）与a 的长度相等、方向相反的向量有哪些？ （2）与a 共线的向量有哪些？解：（1）与a 的长度相等、方向相反的向量有OD→，BC →，AO →，FE →．（2）与a 共线的向量有EF →，BC →，OD →，FE →，CB →，DO →，AO →，DA →，AD →． 互动探究1．变条件、变问法：本例中若OC →＝c ，其他条件不变，试分别写出与a ，b ，c 相等的向量．解：与a 相等的向量有EF →，DO →，CB →；与b 相等的向量有DC →，EO →，F A →；与c 相等的向量有FO→，ED →，AB →． 2．变问法：本例条件不变，与AD→共线的向量有哪些？解：与AD →共线的向量有EF →，BC →，OD →，FE →，CB →，DO →，AO →，DA →，OA →．三、学习小结1．向量的概念及表示（1）概念：既有大小又有方向的量． （2）有向线段①定义：具有方向的线段． ②三个要素：起点、方向、长度．③表示：在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向．以A 为起点、B 为终点的有向线段记作AB→． ④长度：线段AB 的长度也叫做有向线段AB →的长度，记作|AB →|．（3）向量的表示■名师点拨（1）判断一个量是否为向量，就要看它是否具备大小和方向两个因素．（2）用有向线段表示向量时，要注意AB →的方向是由点A 指向点B ，点A 是向量的起点，点B 是向量的终点．2．向量的有关概念（1）向量的模（长度）：向量AB →的大小，称为向量AB →的长度（或称模），记作|AB →|．（2）零向量：长度为0的向量，记作0． （3）单位向量：长度等于1个单位长度的向量． 3．两个向量间的关系（1）平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共线向量．若a ，b 是平行向量，记作a ∥b ．规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a ，都有0∥a ．（2）相等向量：长度相等且方向相同的向量，若a ，b 是相等向量，记作a ＝b ． ■名师点拨（1）平行向量也称为共线向量，两个概念没有区别． （2）共线向量所在直线可以平行，与平面几何中的共线不同． （3）平行向量可以共线，与平面几何中的直线平行不同． 四、精炼反馈1．如图，在▱ABCD 中，点E ，F 分别是AB ，CD 的中点，图中与AE →平行的向量的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C.图中与AE→平行的向量为BE →，FD →，FC →共3个．2．下列结论中正确的是（ ） ①若a ∥b 且|a |＝|b |，则a ＝b ； ②若a ＝b ，则a ∥b 且|a |＝|b |；③若a 与b 方向相同且|a |＝|b |，则a ＝b ； ④若a ≠b ，则a 与b 方向相反且|a |≠|b |． A ．①③ B ．②③ C ．③④D ．②④解析：选B ．两个向量相等需同向等长，反之也成立，故①错误，a ，b 可能反向；②③正确；④两向量不相等，可能是不同向或者长度不相等或者不同向且长度不相等．3．已知O 是正方形ABCD 对角线的交点，在以O ，A ，B ，C ，D 这5点中任意一点为起点，另一点为终点的所有向量中，写出：（1）与BC→相等的向量；（2）与OB→长度相等的向量；（3）与DA→共线的向量．解：画出图形，如图所示．（1）易知BC ∥AD ，BC ＝AD ，所以与BC→相等的向量为AD →．（2）由O 是正方形ABCD 对角线的交点知OB ＝OD ＝OA ＝OC ，所以与OB→长度相等的向量为BO →，OC →，CO →，OA →，AO →，OD →，DO →．（3）与DA→共线的向量为AD →，BC →，CB →．平面向量的应用【第一学时】学习重难点学习目标核心素养向量在平面几何中的应用会用向量方法解决平面几何中的平行、垂直、长度、夹角等问题数学建模、逻辑推理向量在物理中的应用会用向量方法解决物理中的速度、力学问题数学建模、数学运算【学习过程】一、问题导学预习教材内容，思考以下问题：1．利用向量可以解决哪些常见的几何问题？2．如何用向量方法解决物理问题？ 二、合作探究探究点1：向量在几何中的应用角度一：平面几何中的垂直问题如图所示，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，求证：AF ⊥DE ．证明：法一：设AD→＝a ，AB →＝b ，则|a |＝|b |，a·b ＝0， 又DE→＝DA →＋AE →＝－a ＋12b ，AF →＝AB →＋BF →＝b ＋12a ， 所以AF →·DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋12a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋12b ＝－12a 2－34a ·b ＋12b 2＝－12|a |2＋12|b |2＝0．故AF→⊥DE →，即AF ⊥DE ． 法二：如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A （0，0），D （0，2），E （1，0），F （2，1），AF →＝（2，1），DE →＝（1，－2）．因为AF→·DE →＝（2，1）·（1，－2）＝2－2＝0， 所以AF→⊥DE →，即AF ⊥DE ． 角度二：平面几何中的平行（或共线）问题如图，点O 是平行四边形ABCD 的中心，E ，F 分别在边CD ，AB 上，且CE ED ＝AFFB＝12．求证：点E ，O ，F 在同一直线上．证明：设AB→＝m ，AD →＝n ，由CE ED ＝AF FB ＝12，知E ，F 分别是CD ，AB 的三等分点， 所以FO →＝F A →＋AO→＝13BA →＋12AC → ＝－13m ＋12（m ＋n ）＝16m ＋12n ， OE→＝OC →＋CE →＝12AC →＋13CD → ＝12（m ＋n ）－13m ＝16m ＋12n ．所以FO→＝OE →． 又O 为FO→和OE →的公共点，故点E ，O ，F 在同一直线上．角度三：平面几何中的长度问题如图，平行四边形ABCD 中，已知AD ＝1，AB ＝2，对角线BD ＝2，求对角线AC的长．解：设AD→＝a ，AB →＝b ，则BD →＝a －b ，AC →＝a ＋b ，而|BD→|＝|a －b |＝a 2－2a ·b ＋b 2＝1＋4－2a ·b ＝5－2a ·b ＝2， 所以5－2a ·b ＝4，所以a ·b ＝12，又|AC →|2＝|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1＋4＋2a ·b ＝6，所以|AC →|＝6，即AC ＝6．探究点2：向量在物理中的应用（1）在长江南岸某渡口处，江水以12．5 km/h 的速度向东流，渡船的速度为25km/h ．渡船要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？（2）已知两恒力F 1＝（3，4），F 2＝（6，－5）作用于同一质点，使之由点A （20，15）移动到点B （7，0），求F 1，F 2分别对质点所做的功．解：（1）如图，设AB →表示水流的速度，AD →表示渡船的速度，AC →表示渡船实际垂直过江的速度．因为AB→＋AD →＝AC →，所以四边形ABCD 为平行四边形． 在Rt △ACD 中，∠ACD ＝90°，|DC→|＝|AB →|＝12．5．|AD→|＝25，所以∠CAD ＝30°，即渡船要垂直地渡过长江，其航向应为北偏西30°． （2）设物体在力F 作用下的位移为s ，则所做的功为W ＝F ·s ．因为AB →＝（7，0）－（20，15）＝（－13，－15）． 所以W 1＝F 1·AB→＝（3，4）·（－13，－15） ＝3×（－13）＋4×（－15）＝－99（焦），W 2＝F 2·AB→＝（6，－5）·（－13，－15）＝6×（－13）＋（－5）×（－15）＝－3（焦）． 三、学习小结1．用向量方法解决平面几何问题的“三个步骤”2．向量在物理学中的应用（1）由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的减法和加法相似，可以用向量的知识来解决．（2）物理学中的功是一个标量，即为力F 与位移s 的数量积，即W ＝F·s ＝|F ||s |cos θ（θ为F 与s 的夹角）． 四、精炼反馈1．河水的流速为2 m/s ，一艘小船以垂直于河岸方向10 m/s 的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为（ ）A ．10 m/sB ．226 m/sC ．4 6 m/sD ．12 m/s解析：选B ．由题意知|v 水|＝2 m/s ，|v 船|＝10 m/s ，作出示意图如图． 所以小船在静水中的速度大小 |v |＝102＋22＝226（m/s ）．2．已知三个力f 1＝（－2，－1），f 2＝（－3，2），f 3＝（4，－3）同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，再加上一个力f 4，则f 4＝（ ）A ．（－1，－2）B ．（1，－2）C ．（－1，2）D ．（1，2）解析：选D ．由物理知识知f 1＋f 2＋f 3＋f 4＝0，故f 4＝－（f 1＋f 2＋f 3）＝（1，2）． 3．设P ，Q 分别是梯形ABCD 的对角线AC 与BD 的中点，AB ∥DC ，试用向量证明：PQ ∥AB ．证明：设DC →＝λAB →（λ＞0且λ≠1），因为PQ →＝AQ →－AP →＝AB →＋BQ →－AP →＝AB →＋12（BD→－AC →） ＝AB→＋12[（AD →－AB →）－（AD →＋DC →）] ＝AB→＋12（CD →－AB →） ＝12（CD →＋AB →）＝12（－λ＋1）AB→， 所以PQ →∥AB →，又P ，Q ，A ，B 四点不共线，所以PQ ∥AB ．【学习过程】一、问题导学预习教材内容，思考以下问题： 1．余弦定理的内容是什么？2．余弦定理有哪些推论？二、合作探究探究点1：已知两边及一角解三角形（1）（2018·高考全国卷Ⅱ）在△ABC 中，cos C 2＝55，BC ＝1，AC ＝5，则AB ＝（ ） A ．42 B ．30 C ．29D ．25（2）已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝5，c ＝2，cos A ＝23，则b ＝（ ）A ．2B ．3C ．2D ．3 解析：（1）因为cos C ＝2cos 2 C 2－1＝2×15－1＝－35，所以由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos C ＝25＋1－2×5×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝32，所以AB ＝42，故选A ．（2）由余弦定理得5＝22＋b 2－2×2b cos A ，因为cos A ＝23，所以3b 2－8b －3＝0，所以b ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＝－13舍去．故选D ．答案：（1）A （2）D 互动探究：变条件：将本例（2）中的条件“a ＝5，c ＝2，cos A ＝23”改为“a ＝2，c ＝23，cos A ＝32”，求b 为何值？解：由余弦定理得： a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，所以22＝b 2＋（23）2－2×b ×23×32， 即b 2－6b ＋8＝0，解得b ＝2或b ＝4． 探究点2：已知三边（三边关系）解三角形（1）在△ABC 中，已知a ＝3，b ＝5，c ＝19，则最大角与最小角的和为（ ） A ．90°B ．120°C ．135°D ．150°（2）在△ABC 中，若（a ＋c ）（a －c ）＝b （b －c ），则A 等于（ ） A ．90° B ．60° C ．120°D ．150°解析：（1）在△ABC 中，因为a ＝3，b ＝5，c ＝19，所以最大角为B ，最小角为A ，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝9＋25－192×3×5＝12，所以C ＝60°，所以A ＋B ＝120°，所以△ABC 中的最大角与最小角的和为120°．故选B ．（2）因为（a ＋c ）（a －c ）＝b （b －c ），所以b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12．因为A ∈（0°，180°），所以A ＝60°．答案：（1）B （2）B 探究点3： 判断三角形的形状在△ABC 中，若b 2sin 2C ＋c 2sin 2B ＝2bc cos B cos C ，试判断△ABC 的形状．解：将已知等式变形为b 2（1－cos 2C ）＋c 2（1－cos 2B ）＝2bc cos B cos C ． 由余弦定理并整理，得b 2＋c 2－b 2⎝⎛⎭⎪⎫a 2＋b 2－c 22ab 2－c 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋c 2－b 22ac 2 ＝2bc ×a 2＋c 2－b 22ac ×a 2＋b 2－c22ab ，所以b 2＋c 2＝[（a 2＋b 2－c 2）＋（a 2＋c 2－b 2）]24a 2＝4a 44a 2＝a 2．所以A ＝90°．所以△ABC 是直角三角形． 三、学习小结2．余弦定理的推论cos A＝b2＋c2－a22bc；cos B＝a2＋c2－b22ac；cos C＝a2＋b2－c22ab．3．三角形的元素与解三角形（1）三角形的元素三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素．（2）解三角形已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．四、精炼反馈1．在△ABC中，已知a＝5，b＝7，c＝8，则A＋C＝（）A．90°B．120°C．135°D．150°解析：选B．cos B＝a2＋c2－b22ac＝25＋64－492×5×8＝12．所以B＝60°，所以A＋C＝120°．2．在△ABC中，已知（a＋b＋c）（b＋c－a）＝3bc，则角A等于（）A．30°B．60°C．120°D．150°解析：选B．因为（b＋c）2－a2＝b2＋c2＋2bc－a2＝3bc，所以b2＋c2－a2＝bc，所以cos A＝b2＋c2－a22bc＝12，所以A＝60°．3．若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足（a＋b）2－c2＝4，且C＝60°，则ab ＝________．解析：因为C＝60°，所以c2＝a2＋b2－2ab cos 60°，即c2＝a2＋b2－ab．①又因为（a ＋b ）2－c 2＝4， 所以c 2＝a 2＋b 2＋2ab －4．②由①②知－ab ＝2ab －4，所以ab ＝43． 答案：434．在△ABC 中，a cos A ＋b cos B ＝c cos C ，试判断△ABC 的形状．解：由余弦定理知cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，代入已知条件得a ·b 2＋c 2－a 22bc ＋b ·c 2＋a 2－b 22ca＋c ·c 2－a 2－b 22ab ＝0，通分得a 2（b 2＋c 2－a 2）＋b 2（a 2＋c 2－b 2）＋c 2（c 2－a 2－b 2）＝0， 展开整理得（a 2－b 2）2＝c 4．所以a 2－b 2＝±c 2，即a 2＝b 2＋c 2或b 2＝a 2＋c 2． 根据勾股定理知△ABC 是直角三角形．【学习过程】一、问题导学预习教材内容，思考以下问题：1．在直角三角形中，边与角之间的关系是什么？2．正弦定理的内容是什么？二、合作探究探究点1：已知两角及一边解三角形在△ABC中，已知c＝10，A＝45°，C＝30°，解这个三角形．解：因为A＝45°，C＝30°，所以B＝180°－（A＋C）＝105°．由asin A＝csin C得a＝c sin Asin C＝10×sin 45°sin 30°＝102．因为sin 75°＝sin（30°＋45°）＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝2＋64，所以b＝c sin Bsin C＝10×sin（A＋C）sin 30°＝20×2＋64＝52＋56．探究点2：已知两边及其中一边的对角解三角形已知△ABC中的下列条件，解三角形：（1）a＝10，b＝20，A＝60°；（2）a＝2，c＝6，C＝π3．解：（1）因为bsin B＝asin A，所以sin B＝b sin Aa＝20sin 60°10＝3>1，所以三角形无解．（2）因为asin A＝csin C，所以sin A＝a sin Cc＝22．因为c＞a，所以C＞A．所以A＝π4．所以B＝5π12，b＝c sin Bsin C＝6·sin5π12sinπ3＝3＋1．互动探究：变条件：若本例（2）中C＝π3改为A＝π4，其他条件不变，求C，B，b．解：因为asin A＝csin C，所以sin C＝c sin Aa＝32．所以C＝π3或2π3．当C＝π3时，B＝5π12，b＝a sin Bsin A＝3＋1．当C＝2π3时，B＝π12，b＝a sin Bsin A＝3－1．探究点3：判断三角形的形状已知在△ABC中，角A，B所对的边分别是a和b，若a cos B＝b cos A，则△ABC一定是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形解析：由正弦定理得：a cos B＝b cos A⇒sin A cos B＝sin B cos A⇒sin（A－B）＝0，由于－π＜A－B＜π，故必有A－B＝0，A＝B，即△ABC为等腰三角形．答案：A变条件：若把本例条件变为“b sin B＝c sin C”，试判断△ABC的形状．解：由b sin B＝c sin C可得sin2B＝sin2C，因为三角形内角和为180°，所以sin B＝sin C．所以B＝C．故△ABC为等腰三角形．三、学习小结1．正弦定理2．正弦定理的变形若R为△ABC外接圆的半径，则（1）a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C；（2）sin A＝a2R，sin B＝b2R，sin C＝c2R；（3）sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c；（4）a＋b＋csin A＋sin B＋sin C＝2R．四、精炼反馈1．（2019·辽宁沈阳铁路实验中学期中考试）在△ABC中，AB＝2，AC＝3，B＝60°，则cos C＝（）A．33B．63C．32D．62解析：选B．由正弦定理，得ABsin C＝ACsin B，即2sin C＝3sin 60°，解得sin C＝33．因为AB＜AC，所以C＜B，所以cos C＝1－sin2C＝6 3．2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A∶B∶C＝1∶2∶3，则a∶b∶c ＝（）A．1∶2∶3B．3∶2∶1C．2∶3∶1D．1∶3∶2解析：选D．在△ABC中，因为A∶B∶C＝1∶2∶3，所以B＝2A，C＝3A，又A＋B＋C ＝180°，所以A＝30°，B＝60°，C＝90°，所以a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝sin 30°∶sin 60°∶sin 90°＝1∶3∶2．3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若c－a cos B＝（2a－b）cos A，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形解析：选D．已知c－a cos B＝（2a－b）cos A，由正弦定理得sin C－sin A cos B＝2sin A cos A－sin B cos A，所以sin（A＋B）－sin A cos B＝2sin A cos A－sin B cos A，化简得cos A（sin B－sin A）＝0，所以cos A＝0或sin B－sin A＝0，则A＝90°或A＝B，故△ABC为等腰三角形或直角三角形．【学习过程】一、问题导学预习教材内容，思考以下问题：1．什么是基线？2．基线的长度与测量的精确度有什么关系？3．利用正、余弦定理可解决哪些实际问题？二、合作探究探究点1：测量距离问题海上A，B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B岛与C岛间的距离是________．解析：如图，在△ABC中，∠C＝180°－（∠B＋∠A）＝45°，由正弦定理，可得BCsin 60°＝ABsin 45°，所以BC＝32×10＝56（海里）．答案：56海里互动探究：变条件：在本例中，若“从B岛望C岛和A岛成75°的视角”改为“A，C两岛相距20海里”，其他条件不变，又如何求B岛与C岛间的距离呢？解：由已知在△ABC中，AB＝10，AC＝20，∠BAC＝60°，即已知两边和两边的夹角，利用余弦定理求解即可．BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 60°＝102＋202－2×10×20×12＝300．故BC＝103．即B，C间的距离为103海里．探究点2测量高度问题如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________m．解析：由题意，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝180°－75°＝105°，故∠ACB＝45°．又AB＝600 m，故由正弦定理得600sin 45°＝BCsin 30°，解得BC＝300 2 m．在Rt△BCD中，CD＝BC·tan 30°＝3002×33＝1006（m）．答案：1006互动探究：变问法：在本例条件下，汽车在沿直线AB方向行驶的过程中，若测得观察山顶D点的最大仰角为α，求tan α的值．解：如图，过点C，作CE⊥AB，垂足为E，则∠DEC＝α，由例题可知，∠CBE＝75°，BC＝3002，所以CE＝BC·sin∠CBE＝3002sin 75°＝3002×2＋6 4＝150＋1503．所以tan α＝DCCE＝1006150＋1503＝32－63．探究点3：测量角度问题岛A观察站发现在其东南方向有一艘可疑船只，正以每小时10海里的速度向东南方向航行（如图所示），观察站即刻通知在岛A正南方向B处巡航的海监船前往检查．接到通知后，海监船测得可疑船只在其北偏东75°方向且相距10海里的C处，随即以每小时103海里的速度前往拦截．（1）问：海监船接到通知时，在距离岛A多少海里处？（2）假设海监船在D处恰好追上可疑船只，求它的航行方向及其航行的时间．解：（1）根据题意得∠BAC＝45°，∠ABC＝75°，BC＝10，所以∠ACB＝180°－75°－45°＝60°，在△ABC中，由ABsin∠ACB＝BCsin∠BAC，得AB＝BC sin∠ACBsin∠BAC＝10sin 60°sin 45°＝10×3222＝56．所以海监船接到通知时，在距离岛A 5 6 海里处．（2）设海监船航行时间为t小时，则BD＝103t，CD＝10t，又因为∠BCD＝180°－∠ACB＝180°－60°＝120°，所以BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD cos 120°，所以300t 2＝100＋100t 2－2×10×10t ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，所以2t 2－t －1＝0，解得t ＝1或t ＝－12（舍去）． 所以CD ＝10，所以BC ＝CD ，所以∠CBD ＝12（180°－120°）＝30°， 所以∠ABD ＝75°＋30°＝105°．所以海监船沿方位角105°航行，航行时间为1个小时． （或海监船沿南偏东75°方向航行，航行时间为1个小时） 三、学习小结1．基线在测量过程中，我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线． 2．基线与测量精确度的关系一般来说，基线越长，测量的精确度越高． 图示南偏西60°（指以正南方向为始边，转向目标方向线形成的角）四、精炼反馈1．若P 在Q 的北偏东44°50′方向上，则Q 在P 的（ ） A ．东偏北45°10′方向上 B ．东偏北45°50′方向上 C ．南偏西44°50′方向上D ．西偏南45°50′方向上解析：选C．如图所示．2．如图，D，C，B三点在地面同一直线上，从地面上C，D两点望山顶A，测得它们的仰角分别为45°和30°，已知CD＝200米，点C位于BD上，则山高AB等于（）A．1002米B．50（3＋1）米C．100（3＋1）米D．200米解析：选C．设AB＝x米，在Rt△ACB中，∠ACB＝45°，所以BC＝AB＝x．在Rt△ABD中，∠D＝30°，则BD＝3AB＝3x．因为BD－BC＝CD，所以3x－x＝200，解得x＝100（3＋1）．故选C．3．已知台风中心位于城市A东偏北α（α为锐角）度的150公里处，以v公里/小时沿正西方向快速移动，2．5小时后到达距城市A西偏北β（β为锐角）度的200公里处，若cos α＝34cos β，则v＝（）A．60B．80C．100D．125解析：选C．画出图象如图所示，由余弦定理得（2．5v）2＝2002＋1502＋2×200×150cos（α＋β）①，由正弦定理得150sin β＝200sin α，所以sin α＝43sin β．又cos α＝34cos β，sin2α＋cos2α＝1，解得sin β＝35，故cos β＝45，sin α＝45，cos α＝35，故cos（α＋β）＝1225－1225＝0，代入①解得v＝100．4．某巡逻艇在A处发现在北偏东45°距A处8海里处有一走私船，正沿南偏东75°的方向以12海里/小时的速度向我岸行驶，巡逻艇立即以123海里/小时的速度沿直线追击，问巡逻艇最少需要多长时间才能追到走私船，并指出巡逻艇的航行方向．解：设经过t 小时在点C 处刚好追上走私船，依题意：AC ＝123t ，BC ＝12t ，∠ABC ＝120°，在△ABC 中，由正弦定理得123tsin 120°＝12tsin ∠BAC，所以sin ∠BAC ＝12，所以∠BAC ＝30°，所以AB ＝BC ＝8＝12t ，解得t ＝23，航行的方向为北偏东75°．即巡逻艇最少经过23小时可追到走私船，沿北偏东75°的方向航行．平面向量的运算【第一课时】向量的加法运算【学习重难点】【学习目标】【核心素养】平面向量加法的几何意义理解向量加法的概念以及向量加法的几何意义数学抽象、直观想象平行四边形法则 和三角形法则掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则， 会用它们解决实际问题 数学抽象、直观想象平面向量加法的运算律 掌握向量加法的交换律和结合律，会用它们进行计算数学抽象、数学运算【学习过程】一、问题导学预习教材内容，思考以下问题：1．在求两向量和的运算时，通常使用哪两个法则？2．向量加法的运算律有哪两个？二、新知探究探究点1：平面向量的加法及其几何意义例1：如图，已知向量a ，b ，c ，求作和向量a ＋b ＋c ．解：法一：可先作a ＋c ，再作（a ＋c ）＋b ，即a ＋b ＋c ．如图，首先在平面内任取一点O ，作向量OA→＝a ，接着作向量AB →＝c ，则得向量OB→＝a ＋c ，然后作向量BC →＝b ，则向量OC→＝a ＋b ＋c 为所求．法二：三个向量不共线，用平行四边形法则来作．如图，（1）在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ；（2）作平行四边形AOBC ，则OC→＝a ＋b ；（3）再作向量OD→＝c ；（4）作平行四边形CODE ， 则OE→＝OC →＋c ＝a ＋b ＋c ．OE →即为所求．探究点2：平面向量的加法运算 例2：化简：（1）BC→＋AB →； （2）DB→＋CD →＋BC →； （3）AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋F A →．解：（1）BC→＋AB →＝AB →＋BC →＝AC →．（2）DB→＋CD →＋BC → ＝BC→＋CD →＋DB → ＝（BC→＋CD →）＋DB → ＝BD→＋DB →＝0． （3）AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋F A → ＝AB →＋BC →＋CD →＋DF →＋F A → ＝AC →＋CD →＋DF →＋F A → ＝AD →＋DF →＋F A →＝AF →＋F A →＝0． 探究点3：向量加法的实际应用例3：某人在静水中游泳，速度为43千米/小时，他在水流速度为4千米/小时的河中游泳．若他垂直游向河对岸，则他实际沿什么方向前进？实际前进的速度大小为多少？解：如图，设此人游泳的速度为OB→，水流的速度为OA →，以OA →，OB →为邻边作▱OACB ，则此人的实际速度为OA→＋OB →＝OC →．由勾股定理知|OC→|＝8，且在Rt △ACO 中，∠COA ＝60°，故此人沿与河岸成60°的夹角顺着水流的方向前进，速度大小为8千米/小时． 三、学习小结即a ＋b ＝AB＋BC ＝AC对角线OC就是a 与b 的和2．|a ＋b |，|a |，|b |之间的关系一般地，|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当a ，b 方向相同时等号成立． 四、精炼反馈1．化简OP→＋PQ →＋PS →＋SP →的结果等于（ ）A ．QP →B ．OQ →C ．SP →D ．SQ→ 解析：选B ．OP→＋PQ →＋PS →＋SP →＝OQ →＋0＝OQ →．2．在四边形ABCD 中，AC →＝AB →＋AD →，则一定有（ ）A ．四边形ABCD 是矩形B ．四边形ABCD 是菱形C ．四边形ABCD 是正方形D ．四边形ABCD 是平行四边形解析：选D ．由AC→＝AB →＋AD →得AD →＝BC →，即AD ＝BC ，且AD ∥BC ，所以四边形ABCD的一组对边平行且相等，故为平行四边形．3．已知非零向量a ，b ，|a |＝8，|b |＝5，则|a ＋b |的最大值为______． 解析：|a ＋b |≤|a |＋|b |，所以|a ＋b |的最大值为13． 答案：134．已知▱ABCD ，O 是两条对角线的交点，E 是CD 的一个三等分点（靠近D 点），求作：（1）AO→＋AC →； （2）DE→＋BA →．解：（1）延长AC ，在延长线上截取CF ＝AO ，则向量AF→为所求．（2）在AB 上取点G ，使AG ＝13AB ， 则向量BG→为所求．【第二课时】【学习过程】一、问题导入预习教材内容，思考以下问题： 1．a 的相反向量是什么？2．向量减法的几何意义是什么？ 二、新知探究探究点1： 向量的减法运算例1：化简下列各式：（1）（AB →＋MB →）＋（－OB →－MO →）； （2）AB →－AD →－DC →．解：（1）法一：原式＝AB →＋MB →＋BO →＋OM →＝（AB →＋BO →）＋（OM →＋MB →）＝AO →＋OB →＝AB→． 法二：原式＝AB →＋MB →＋BO →＋OM →＝AB →＋（MB →＋BO →）＋OM →＝AB →＋MO →＋OM →＝AB →＋0 ＝AB→． （2）法一：原式＝DB→－DC →＝CB →．法二：原式＝AB →－（AD →＋DC →）＝AB →－AC →＝CB →． 探究点2：向量的减法及其几何意义例2：如图，已知向量a ，b ，c 不共线，求作向量a ＋b －c ．解：法一：如图①，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，连接BC ，则CB→＝b －c ． 过点A 作AD 綊BC ，连接OD ， 则AD→＝b －c ， 所以OD→＝OA →＋AD →＝a ＋b －c ． 法二：如图②，在平面内任取一点O ，作OA→＝a ，AB →＝b ，连接OB ，则OB →＝a ＋b ，再作OC →＝c ，连接CB ，则CB →＝a ＋b －c ．法三：如图③，在平面内任取一点O ， 作OA→＝a ，AB →＝b ，连接OB ， 则OB→＝a ＋b ，再作CB →＝c ，连接OC ， 则OC→＝a ＋b －c ．探究点3：用已知向量表示其他向量例3：如图所示，四边形ACDE 是平行四边形，点B 是该平行四边形外一点，且AB →＝a ，AC→＝b ，AE →＝c ，试用向量a ，b ，c 表示向量CD →，BC →，BD →．解：因为四边形ACDE 是平行四边形，所以CD→＝AE →＝c ，BC →＝AC →－AB →＝b －a ， 故BD →＝BC →＋CD →＝b －a ＋c ． 三、学习小结1．相反向量（1）定义：与a 长度相等，方向相反的向量，叫做a 的相反向差，记作－a ，并且规定，零向量的相反向量仍是零向量．（2）结论①－（－a ）＝a ，a ＋（－a ）＝（－a ）＋a ＝0；②如果a 与b 互为相反向量，那么a ＝－b ，b ＝－a ，a ＋b ＝0． 2．向量的减法（1）向量a 加上b 的相反向量，叫做a 与b 的差，即a －b ＝a ＋（－b ）．求两个向量差的运算叫做向量的减法．（2）作法：在平面内任取一点O ，作OA→＝a ，OB →＝b ，则向量BA →＝a －b ，如图所示．（3）几何意义：a －b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量． 四、精炼反馈1．在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，则AD→－AC →等于（ ）A ．CB → B ．BC → C ．CD→ D ．DC→ 解析：选C ．在△ABC 中，D 是BC 边上一点，则由两个向量的减法的几何意义可得AD →－AC→＝CD →． 2．化简：AB→－AC →＋BD →－CD →＋AD →＝________．解析：原式＝CB →＋BD →＋DC →＋AD →＝CD →＋DC →＋AD →＝0＋AD →＝AD →．答案：AD→3．已知错误!＝10，|错误!|＝7，则|错误!|的取值范围为______．解析：因为CB →＝AB →－AC →，所以|CB→|＝|AB →－AC →|． 又错误!≤|错误!－错误!|≤|错误!|＋|错误!|， 3≤|AB→－AC →|≤17， 所以3≤|CB →|≤17．答案：[3，17]4．若O 是△ABC 所在平面内一点，且满足|OB→－OC →|＝|OB →－OA →＋OC →－OA →|，试判断△ABC 的形状．解：因为OB→－OA →＋OC →－OA →＝AB →＋AC →，OB →－OC →＝CB →＝AB →－AC →．又|OB→－OC →|＝|OB →－OA →＋OC →－OA →|， 所以|AB→＋AC →|＝|AB →－AC →|，所以以AB ，AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长度相等，所以该平行四边形为矩形，所以AB ⊥AC ，所以△ABC 是直角三角形．【第三课时】【学习过程】一、问题导学预习教材内容，思考以下问题：1．向量数乘的定义及其几何意义是什么？2．向量数乘运算满足哪三条运算律？3．向量共线定理是怎样表述的？4．向量的线性运算是指的哪三种运算？ 二、新知探究探究1： 向量的线性运算 例1：（1）计算：①4（a ＋b ）－3（a －b ）－8a ；②（5a －4b ＋c ）－2（3a －2b ＋c ）；③23⎣⎢⎡⎦⎥⎤（4a －3b ）＋13b －14（6a －7b ）． （2）设向量a ＝3i ＋2j ，b ＝2i －j ，求⎝ ⎛⎭⎪⎫13a －b －⎝ ⎛⎭⎪⎫a －23b ＋（2b －a ）．解：（1）①原式＝4a ＋4b －3a ＋3b －8a ＝－7a ＋7b ．②原式＝5a －4b ＋c －6a ＋4b －2c ＝－a －c ．③原式＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫4a －3b ＋13b －32a ＋74b＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫52a －1112b ＝53a －1118b ．（2）原式＝13a －b －a ＋23b ＋2b －a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1－1a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋23＋2b ＝－53a ＋53b ＝－53（3i ＋2j ）＋53（2i －j ）＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－5＋103i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－103－53j ＝－53i －5j ． 探究点2：向量共线定理及其应用例2：已知非零向量e 1，e 2不共线．（1）如果AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1＋8e 2，CD →＝3（e 1－e 2），求证：A 、B 、D 三点共线； （2）欲使k e 1＋e 2和e 1＋k e 2共线，试确定实数k 的值．解：（1）证明：因为AB →＝e 1＋e 2，BD →＝BC →＋CD →＝2e 1＋8e 2＋3e 1－3e 2＝5（e 1＋e 2）＝5AB→． 所以AB→，BD →共线，且有公共点B ， 所以A 、B 、D 三点共线． （2）因为k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线， 所以存在实数λ，使k e 1＋e 2＝λ（e 1＋k e 2）， 则（k －λ）e 1＝（λk －1）e 2，由于e 1与e 2不共线，只能有⎩⎨⎧k －λ＝0，λk －1＝0，所以k ＝±1． 探究点3：用已知向量表示其他向量例3：如图，ABCD 是一个梯形，AB →∥CD →且|AB →|＝2|CD →|，M ，N 分别是DC ，AB 的中点，已知AB→＝e 1，AD →＝e 2，试用e 1，e 2表示下列向量．（1）AC→＝________； （2）MN→＝________．解析：因为AB→∥CD →，|AB →|＝2|CD →|，所以AB→＝2DC →，DC →＝12AB →． （1）AC →＝AD →＋DC →＝e 2＋12e 1． （2）MN→＝MD →＋DA →＋AN → ＝－12DC →－AD →＋12AB →＝－14e 1－e 2＋12e 1＝14e 1－e 2．答案：（1）e 2＋12e 1（2）14e 1－e 2 互动探究变条件：在本例中，若条件改为BC →＝e 1，AD →＝e 2，试用e 1，e 2表示向量MN →．解：因为MN→＝MD →＋DA →＋AN →，MN→＝MC →＋CB →＋BN →， 所以2MN →＝（MD →＋MC →）＋DA →＋CB →＋（AN →＋BN →）． 又因为M ，N 分别是DC ，AB 的中点，所以MD→＋MC →＝0，AN →＋BN →＝0． 所以2MN→＝DA →＋CB →， 所以MN →＝12（－AD →－BC →）＝－12e 2－12e 1． 三、学习小结1．向量的数乘的定义一般地，规定实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa ，它的长度与方向规定如下：（1）|λa |＝|λ||a |．（2）当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0．2．向量数乘的运算律 设λ，μ为实数，那么： （1）λ（μa ）＝（λμ）a ．（2）（λ＋μ）a ＝λa ＋μa ． （3）λ（a ＋b ）＝λa ＋λb ． 3．向量的线性运算及向量共线定理（1）向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．对于任意向量a ，b ，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ（μ1a ±μ2b ）＝λμ1a ±λμ2b ．（2）向量a （a ≠0）与b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b ＝λa ． 四、精炼反馈 1．13⎣⎢⎡⎦⎥⎤12（2a ＋8b ）－（4a －2b ）等于（ ）A ．2a －bB ．2b －aC ．b －aD ．a －b解析：选B ．原式＝16（2a ＋8b ）－13（4a －2b ）＝13a ＋43b －43a ＋23b ＝－a ＋2b ． 2．若点O 为平行四边形ABCD 的中心，AB →＝2e 1，BC →＝3e 2，则32e 2－e 1＝（ ） A ．BO→ B ．AO→ C ．CO→ D ．DO→ 解析：选A ．BD →＝AD →－AB →＝BC →－AB →＝3e 2－2e 1，BO →＝12BD →＝32e 2－e 1．3．已知e 1，e 2是两个不共线的向量，若AB →＝2e 1－8e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，求证A ，B ，D 三点共线．证明：因为CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，所以BD→＝CD →－CB →＝e 1－4e 2． 又AB →＝2e 1－8e 2＝2（e 1－4e 2），所以AB →＝2BD →，所以AB →与BD →共线． 因为AB 与BD 有交点B ，所以A ，B ，D 三点共线．【第四课时】【学习过程】一、问题导学预习教材内容，思考以下问题： 1．什么是向量的夹角？ 2．数量积的定义是什么？ 3．投影向量的定义是什么？ 4．向量数量积有哪些性质？ 5．向量数量积的运算有哪些运算律？ 二、新知探究探究点1：平面向量的数量积运算例1：（1）已知|a |＝6，|b |＝4，a 与b 的夹角为60°，求（a ＋2b ）·（a ＋3b ）．（2）如图，在▱ABCD 中，|AB →|＝4，|AD →|＝3，∠DAB ＝60°，求：①AD →·BC →；②AB →·DA →．解：（1）（a ＋2b ）·（a ＋3b ） ＝a·a ＋5a·b ＋6b·b ＝|a |2＋5a·b ＋6|b |2 ＝|a |2＋5|a ||b |cos 60°＋6|b |2＝62＋5×6×4×cos 60°＋6×42＝192．（2）①因为AD→∥BC →，且方向相同，所以AD→与BC →的夹角是0°， 所以AD→·BC →＝|AD →||BC →|·cos 0°＝3×3×1＝9． ②因为AB→与AD →的夹角为60°，所以AB→与DA →的夹角为120°， 所以AB→·DA →＝|AB →||DA →|·cos 120°＝4×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－6．互动探究：变问法：若本例（2）的条件不变，求AC→·BD →．解：因为AC→＝AB →＋AD →，BD →＝AD →－AB →，所以AC →·BD →＝（AB →＋AD →）·（AD →－AB →） ＝AD →2－AB →2＝9－16＝－7． 探究点2： 向量模的有关计算例2：（1）已知平面向量a 与b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝（ ） A ．3 B ．23C ．4D ．12（2）向量a ，b 满足|a |＝1，|a －b |＝32，a 与b 的夹角为60°，则|b |＝（ ）A ．13B ．12C ．15D ．14 解析：（1）|a ＋2b |＝（a ＋2b ）2＝a 2＋4a·b ＋4b 2 ＝|a |2＋4|a ||b |cos 60°＋4|b |2＝ 4＋4×2×1×12＋4＝23．（2）由题意得|a －b |2＝|a |2＋|b |2－2|a ||b |·cos 60°＝34，即1＋|b |2－|b |＝34，解得|b |＝12． 答案：（1）B （2）B 探究点3： 向量的夹角与垂直命题角度一：求两向量的夹角例3：（1）已知|a |＝6，|b |＝4，（a ＋2b ）·（a －3b ）＝－72，则a 与b 的夹角为________；（2）（2019·高考全国卷Ⅰ改编）已知非零向量a ，b 满足|a |＝2|b |，且（a －b ）⊥b ，则a 与b 的夹角为______．解析：（1）设a 与b 的夹角为θ，（a ＋2b ）·（a －3b ）＝a ·a －3a ·b ＋2b ·a －6b ·b ＝|a |2－a ·b －6|b |2＝|a |2－|a ||b |cos θ－6|b |2＝62－6×4×cos θ－6×42＝－72， 所以24cos θ＝36＋72－96＝12，所以cos θ＝12．又因为θ∈[]0，π，所以θ＝π3．（2）设a 与b 的夹角为θ，由（a －b ）⊥b ，得（a －b ）·b ＝0，所以a ·b ＝b 2，所以cos θ＝b 2|a ||b |．又因为|a |＝2|b |，所以cos θ＝|b |22|b |2＝12．又因为θ∈[0，π]，所以θ＝π3．答案：（1）π3（2）π3命题角度二：证明两向量垂直例4：已知a ，b 是非零向量，当a ＋t b （t ∈R ）的模取最小值时，求证：b ⊥（a ＋t b ）．证明：因为|a ＋t b |＝（a ＋t b ）2＝a 2＋t 2b 2＋2t a ·b ＝|b |2t 2＋2a ·b t ＋|a |2，所以当t ＝－2a ·b 2|b |2＝－a·b|b |2时，|a ＋t b |有最小值．此时b ·（a ＋t b ）＝b·a ＋t b 2＝a·b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－a·b |b |2·|b |2＝a·b －a·b ＝0．所以b ⊥（a ＋t b ）． 命题角度三：利用夹角和垂直求参数例5：（1）已知a ⊥b ，|a |＝2，|b |＝3且向量3a ＋2b 与k a －b 互相垂直，则k 的值为（ ）A ．－32 B ．32 C ．±32D ．1（2）已知a ，b ，c 为单位向量，且满足3a ＋λb ＋7c ＝0，a 与b 的夹角为π3，则实数λ＝________．解析：（1）因为3a ＋2b 与k a －b 互相垂直， 所以（3a ＋2b ）·（k a －b ）＝0， 所以3k a 2＋（2k －3）a·b －2b 2＝0． 因为a ⊥b ，所以a ·b ＝0， 又|a |＝2，|b |＝3， 所以12k －18＝0，k ＝32．（2）由3a ＋λb ＋7c ＝0，可得7c ＝－（3a ＋λb ）， 即49c 2＝9a 2＋λ2b 2＋6λa ·b ， 而a ，b ，c 为单位向量， 则a 2＝b 2＝c 2＝1， 则49＝9＋λ2＋6λcos π3，即λ2＋3λ－40＝0，解得λ＝－8或λ＝5． 答案：（1）B （2）－8或5 三、学习小结1．两向量的夹角（1）定义：已知两个非零向量a ，b ，O 是平面上的任意一点，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ（0≤θ≤π）叫做向量a 与b 的夹角．（2）特例：①当θ＝0时，向量a 与b 同向；②当θ＝π2时，向量a 与b 垂直，记作a ⊥b ； ③当θ＝π时，向量a 与b 反向． 2．向量的数量积已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，把数量|a ||b |cos__θ叫做向量a 与b 的数量积（或内积），记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos__θ．规定零向量与任一向量的数量积为0． 3．投影向量如图（1），设a ，b 是两个非零向量，AB→＝a ，CD →＝b ，我们考虑如下变换：过AB →的起点A 和终点B ，分别作CD →所在直线的垂线，垂足分别为A 1，B 1，得到A 1B 1→，我们称上述变换为。

必修2人教版数学 高一第三章 直线的方程课程目标： 一、考点突破1. 理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式。

2. 能根据斜率判定两条直线平行或垂直。

3. 通过学习直线的倾斜角、斜率等概念，探索并掌握直线方程的几种形式：点斜式，斜截式，两点式，截距式等；通过理解、欣赏、运用直线方程各具特征的丰富多彩的不同形式，感觉数学世界的奇异美、简洁美、和谐美，增强美学意识。

通过对直线方程四种特殊形式和一般形式的分析和运用，体会形式和内容、对立和统一的辩证唯物主义思想。

4. 通过直线的方程，研究直线间的位置关系：平行和垂直，以及两条直线的交点坐标，点到直线的距离公式等。

理解事物之间相互联系、互相转化的辩证唯物主义思想。

二、重难点提示重点：直线的倾斜角和斜率概念，直线方程，两直线的位置关系及其应用。

难点：直线方程的应用。

精讲精练：微课程1：基本公式及直线的倾角和斜率【考点精讲】1. 数轴上两点间距离公式：()11x P ，()22x P 为数轴上两点，则2121x x P P-= 2. 平面上两点间距离：()111,y x P ，()222,y x P 为平面上两点，则12PP =3. 线段中点坐标公式：若点P 1、P 2的坐标分别为（x 1，y 1）、（x 2，y 2），且线段P 1P 2的中点M 的坐标为（x ，y ），则x=x 1＋x 22，y=y 1＋y 22，此公式为线段P 1P 2的中点坐标公式。

4. 直线的倾斜角与斜率 （1）直线的倾斜角①定义：当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角。

当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°。

①倾斜角的范围为[0°，180°）。

（2）直线的斜率①定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即k ＝tan α，倾斜角是90°的直线斜率不存在。

平面向量的运算【第一课时】向量的加法运算【学习重难点】【学习目标】【核心素养】平面向量加法的几何意义理解向量加法的概念以及向量加法的几何意义数学抽象、直观想象平行四边形法则和三角形法则掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，会用它们解决实际问题数学抽象、直观想象平面向量加法的运算律掌握向量加法的交换律和结合律，会用它们进行计算数学抽象、数学运算【学习过程】一、问题导学预习教材内容，思考以下问题：1．在求两向量和的运算时，通常使用哪两个法则？2．向量加法的运算律有哪两个？二、新知探究探究点1：平面向量的加法及其几何意义例1：如图，已知向量a，b，c，求作和向量a＋b＋c．解：法一：可先作a ＋c ，再作（a ＋c ）＋b ，即a ＋b ＋c ．如图，首先在平面内任取一点O ，作向量OA → ＝a ，接着作向量AB →＝c ，则得向量OB → ＝a ＋c ，然后作向量BC →＝b ，则向量OC →＝a ＋b ＋c 为所求．法二：三个向量不共线，用平行四边形法则来作．如图，（1）在平面内任取一点O ，作OA → ＝a ，OB →＝b ；（2）作平行四边形AOBC ，则OC →＝a ＋b ；（3）再作向量OD →＝c ；（4）作平行四边形CODE ，则OE → ＝OC → ＋c ＝a ＋b ＋c ．OE →即为所求．探究点2：平面向量的加法运算例2：化简：（1）BC → ＋AB →；（2）DB → ＋CD → ＋BC →；（3）AB → ＋DF → ＋CD → ＋BC → ＋FA →．解：（1）BC → ＋AB → ＝AB → ＋BC → ＝AC →．（2）DB → ＋CD → ＋BC→ ＝BC → ＋CD → ＋DB→ ＝（BC → ＋CD → ）＋DB→ ＝BD → ＋DB →＝0．（3）AB → ＋DF → ＋CD → ＋BC → ＋FA→ ＝AB → ＋BC → ＋CD → ＋DF → ＋FA → ＝AC → ＋CD → ＋DF → ＋FA→＝AD → ＋DF → ＋FA → ＝AF → ＋FA →＝0．探究点3：向量加法的实际应用例3：某人在静水中游泳，速度为43千米/小时，他在水流速度为4千米/小时的河中游泳．若他垂直游向河对岸，则他实际沿什么方向前进？实际前进的速度大小为多少？解：如图，设此人游泳的速度为OB → ，水流的速度为OA → ，以OA → ，OB →为邻边作▱OACB ，则此人的实际速度为OA → ＋OB → ＝OC →．由勾股定理知|OC →|＝8，且在Rt △ACO 中，∠COA ＝60°，故此人沿与河岸成60°的夹角顺着水流的方向前进，速度大小为8千米/小时．三、学习小结1．向量加法的定义及运算法则定义求两个向量和的运算，叫做向量的加法前提已知非零向量a ，b作法在平面内任取一点A ，作AB → ＝a ，BC → ＝b ，再作向量AC→结论向量AC →叫做a 与b 的和，记作a ＋b ，即a ＋b ＝AB →＋BC → ＝AC→法则三角形法则图形前提已知不共线的两个向量a ，b作法在平面内任取一点O ，以同一点O 为起点的两个已知向量a ，b 为邻边作▱OACB 结论对角线OC →就是a 与b 的和法则平行四边形法则图形规定对于零向量与任一向量a ，我们规定a ＋0＝0＋a ＝a2．|a ＋b |，|a |，|b |之间的关系一般地，|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当a ，b 方向相同时等号成立．3．向量加法的运算律交换律a ＋b ＝b ＋a结合律（a ＋b ）＋c ＝a ＋（b ＋c ）四、精炼反馈1．化简OP → ＋PQ → ＋PS → ＋SP →的结果等于（ ）A ．QP →B ．OQ→ C ．SP → D ．SQ→解析：选B ．OP → ＋PQ → ＋PS → ＋SP → ＝OQ → ＋0＝OQ →．2．在四边形ABCD 中，AC → ＝AB → ＋AD →，则一定有（ ）A ．四边形ABCD 是矩形B ．四边形ABCD 是菱形C ．四边形ABCD 是正方形D ．四边形ABCD 是平行四边形解析：选D ．由AC → ＝AB → ＋AD → 得AD → ＝BC →，即AD ＝BC ，且AD ∥BC ，所以四边形ABCD的一组对边平行且相等，故为平行四边形．3．已知非零向量a ，b ，|a |＝8，|b |＝5，则|a ＋b |的最大值为______．解析：|a ＋b |≤|a |＋|b |，所以|a ＋b |的最大值为13．答案：134．已知▱ABCD ，O 是两条对角线的交点，E 是CD 的一个三等分点（靠近D 点），求作：（1）AO → ＋AC →；（2）DE → ＋BA →．解：（1）延长AC ，在延长线上截取CF ＝AO ，则向量AF →为所求．（2）在AB 上取点G ，使AG ＝13AB ，则向量BG →为所求．【第二课时】向量的减法运算【学习重难点】【学习目标】【核心素养】相反向量理解相反向量的概念数学抽象向量的减法掌握向量减法的运算法则及其几何意义数学抽象、直观想象【学习过程】一、问题导入预习教材内容，思考以下问题：1．a 的相反向量是什么？2．向量减法的几何意义是什么？二、新知探究探究点1：向量的减法运算例1：化简下列各式：（1）（AB → ＋MB → ）＋（－OB → －MO →）；（2）AB → －AD → －DC →．解：（1）法一：原式＝AB → ＋MB → ＋BO → ＋OM → ＝（AB → ＋BO → ）＋（OM → ＋MB → ）＝AO → ＋OB →＝AB →．法二：原式＝AB → ＋MB → ＋BO → ＋OM→＝AB → ＋（MB → ＋BO → ）＋OM → ＝AB → ＋MO → ＋OM → ＝AB → ＋0＝AB →．（2）法一：原式＝DB → －DC → ＝CB →．法二：原式＝AB → －（AD → ＋DC → ）＝AB → －AC → ＝CB →．探究点2：向量的减法及其几何意义例2：如图，已知向量a ，b ，c 不共线，求作向量a ＋b －c ．解：法一：如图①，在平面内任取一点O ，作OA → ＝a ，OB → ＝b ，OC →＝c ，连接BC ，则CB →＝b －c ．过点A 作AD 綊BC ，连接OD ，则AD →＝b －c ，所以OD → ＝OA → ＋AD →＝a ＋b －c ．法二：如图②，在平面内任取一点O ，作OA → ＝a ，AB →＝b ，连接OB ，则OB → ＝a ＋b ，再作OC →＝c ，连接CB ，则CB →＝a ＋b －c ．法三：如图③，在平面内任取一点O ，作OA → ＝a ，AB →＝b ，连接OB ，则OB → ＝a ＋b ，再作CB →＝c ，连接OC ，则OC →＝a ＋b －c ．探究点3：用已知向量表示其他向量例3：如图所示，四边形ACDE 是平行四边形，点B 是该平行四边形外一点，且AB →＝a ，AC → ＝b ，AE → ＝c ，试用向量a ，b ，c 表示向量CD → ，BC → ，BD →．解：因为四边形ACDE 是平行四边形，所以CD → ＝AE → ＝c ，BC → ＝AC → －AB →＝b －a ，故BD → ＝BC → ＋CD →＝b －a ＋c ．三、学习小结1．相反向量（1）定义：与a 长度相等，方向相反的向量，叫做a 的相反向差，记作－a ，并且规定，零向量的相反向量仍是零向量．（2）结论①－（－a ）＝a ，a ＋（－a ）＝（－a ）＋a ＝0；②如果a 与b 互为相反向量，那么a ＝－b ，b ＝－a ，a ＋b ＝0．2．向量的减法（1）向量a 加上b 的相反向量，叫做a 与b 的差，即a －b ＝a ＋（－b ）．求两个向量差的运算叫做向量的减法．（2）作法：在平面内任取一点O ，作OA → ＝a ，OB → ＝b ，则向量BA →＝a －b ，如图所示．（3）几何意义：a －b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量．四、精炼反馈1．在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，则AD → －AC →等于（ ）A ．CB → B ．BC→ C ．CD → D ．DC→解析：选C ．在△ABC 中，D 是BC 边上一点，则由两个向量的减法的几何意义可得AD→－AC → ＝CD →．2．化简：AB → －AC → ＋BD → －CD → ＋AD →＝________．解析：原式＝CB → ＋BD → ＋DC → ＋AD → ＝CD → ＋DC → ＋AD → ＝0＋AD → ＝AD →．答案：AD→3．已知Error!＝10，|AC → |＝7，则|CB →|的取值范围为______．解析：因为CB → ＝AB → －AC →，所以|CB → |＝|AB → －AC →|．又Error!≤|AB → －AC → |≤|AB → |＋|AC →|，3≤|AB → －AC →|≤17，所以3≤|CB →|≤17．答案：[3，17]4．若O 是△ABC 所在平面内一点，且满足|OB → －OC → |＝|OB → －OA → ＋OC → －OA →|，试判断△ABC 的形状．解：因为OB → －OA → ＋OC → －OA → ＝AB → ＋AC → ，OB → －OC → ＝CB → ＝AB → －AC →．又|OB → －OC → |＝|OB → －OA → ＋OC → －OA → |，所以|AB → ＋AC → |＝|AB → －AC →|，所以以AB ，AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长度相等，所以该平行四边形为矩形，所以AB ⊥AC ，所以△ABC 是直角三角形．【第三课时】向量的数乘运算【学习重难点】【学习目标】【核心素养】向量数乘运算的定义及运算律理解向量数乘的定义及几何意义，掌握向量数乘的运算律数学抽象、直观想象向量共线定理掌握向量共线定理，会判断或证明两个向量共线逻辑推理【学习过程】一、问题导学预习教材内容，思考以下问题：1．向量数乘的定义及其几何意义是什么？2．向量数乘运算满足哪三条运算律？3．向量共线定理是怎样表述的？4．向量的线性运算是指的哪三种运算？二、新知探究探究1：向量的线性运算例1：（1）计算：①4（a＋b）－3（a－b）－8a；②（5a－4b＋c）－2（3a－2b＋c）；③23[（4a－3b）＋13b－14（6a－7b）]．（2）设向量a＝3i＋2j，b＝2i－j，求(13a－b)－(a－23b)＋（2b－a）．解：（1）①原式＝4a ＋4b －3a ＋3b －8a ＝－7a ＋7b ．②原式＝5a －4b ＋c －6a ＋4b －2c ＝－a －c ．③原式＝23(4a －3b ＋13b －32a ＋74b)＝23(52a －1112b)＝53a －1118b ．（2）原式＝13a －b －a ＋23b ＋2b －a＝(13－1－1)a ＋(－1＋23＋2)b ＝－53a ＋53b ＝－53（3i ＋2j ）＋53（2i －j ）＝(－5＋103)i ＋(－103－53)j＝－53i －5j ．探究点2：向量共线定理及其应用例2：已知非零向量e 1，e 2不共线．（1）如果AB → ＝e 1＋e 2，BC → ＝2e 1＋8e 2，CD →＝3（e 1－e 2），求证：A 、B 、D 三点共线；（2）欲使k e 1＋e 2和e 1＋k e 2共线，试确定实数k 的值．解：（1）证明：因为AB → ＝e 1＋e 2，BD → ＝BC → ＋CD →＝2e 1＋8e 2＋3e 1－3e 2＝5（e 1＋e 2）＝5AB →．所以AB → ，BD →共线，且有公共点B ，所以A 、B 、D 三点共线．（2）因为k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线，所以存在实数λ，使k e 1＋e 2＝λ（e 1＋k e 2），则（k －λ）e 1＝（λk －1）e 2，由于e 1与e 2不共线，只能有{k －λ＝0，λk －1＝0，所以k ＝±1．探究点3：用已知向量表示其他向量例3：如图，ABCD 是一个梯形，AB → ∥CD → 且|AB → |＝2|CD →|，M ，N 分别是DC ，AB 的中点，已知AB → ＝e 1，AD →＝e 2，试用e 1，e 2表示下列向量．（1）AC →＝________；（2）MN →＝________．解析：因为AB → ∥CD → ，|AB → |＝2|CD →|，所以AB → ＝2DC → ，DC → ＝12AB →．（1）AC → ＝AD → ＋DC →＝e 2＋12e 1．（2）MN → ＝MD → ＋DA → ＋AN→ ＝－12DC → －AD → ＋12AB→＝－14e 1－e 2＋12e 1＝14e 1－e 2．答案：（1）e 2＋12e 1（2）14e 1－e 2互动探究变条件：在本例中，若条件改为BC → ＝e 1，AD → ＝e 2，试用e 1，e 2表示向量MN →．解：因为MN → ＝MD → ＋DA → ＋AN →，MN → ＝MC → ＋CB → ＋BN →，所以2MN → ＝（MD → ＋MC → ）＋DA → ＋CB → ＋（AN → ＋BN → ）．又因为M ，N 分别是DC ，AB 的中点，所以MD → ＋MC → ＝0，AN → ＋BN →＝0．所以2MN → ＝DA → ＋CB →，所以MN → ＝12（－AD → －BC →）＝－12e 2－12e 1．三、学习小结1．向量的数乘的定义一般地，规定实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa ，它的长度与方向规定如下：（1）|λa |＝|λ||a |．（2）当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0．2．向量数乘的运算律设λ，μ为实数，那么：（1）λ（μa ）＝（λμ）a ．（2）（λ＋μ）a ＝λa ＋μa ．（3）λ（a ＋b ）＝λa ＋λb ．3．向量的线性运算及向量共线定理（1）向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．对于任意向量a ，b ，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ（μ1a ±μ2b ）＝λμ1a ±λμ2b ．（2）向量a （a ≠0）与b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b ＝λa ．四、精炼反馈1．13[12（2a ＋8b ）－（4a －2b ）]等于（ ）A ．2a －b B ．2b －a C ．b －aD ．a －b解析：选B ．原式＝16（2a ＋8b ）－13（4a －2b ）＝13a ＋43b －43a ＋23b ＝－a ＋2b ．2．若点O 为平行四边形ABCD 的中心，AB → ＝2e 1，BC →＝3e 2，则32e 2－e 1＝（ ）A ．BO →B ．AO→ C ．CO → D ．DO→解析：选A ．BD → ＝AD → －AB → ＝BC → －AB → ＝3e 2－2e 1，BO → ＝12BD → ＝32e 2－e 1．3．已知e 1，e 2是两个不共线的向量，若AB → ＝2e 1－8e 2，CB → ＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，求证A ，B ，D 三点共线．证明：因为CB → ＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，所以BD → ＝CD → －CB →＝e 1－4e 2．又AB → ＝2e 1－8e 2＝2（e 1－4e 2），所以AB → ＝2BD → ，所以AB → 与BD →共线．因为AB 与BD 有交点B ，所以A ，B ，D 三点共线．【第四课时】向量的数量积【学习重难点】【学习目标】【核心素养】向量的夹角理解平面向量夹角的定义，并会求已知两个非零向量的夹角直观想象、数学运算向量数量积的含义理解平面向量数量积的含义并会计算数学抽象、数学运算投影向量理解a 在b 上的投影向量的概念数学抽象向量数量积的性质和运算律掌握平面向量数量积的性质及其运算律，并会应用数学运算、逻辑推理【学习过程】一、问题导学预习教材内容，思考以下问题：1．什么是向量的夹角？2．数量积的定义是什么？3．投影向量的定义是什么？4．向量数量积有哪些性质？5．向量数量积的运算有哪些运算律？二、新知探究探究点1：平面向量的数量积运算例1：（1）已知|a |＝6，|b |＝4，a 与b 的夹角为60°，求（a ＋2b ）·（a ＋3b ）．（2）如图，在▱ABCD 中，|AB → |＝4，|AD →|＝3，∠DAB ＝60°，求：①AD → ·BC → ；②AB → ·DA →．解：（1）（a ＋2b ）·（a ＋3b ）＝a·a ＋5a·b ＋6b·b ＝|a |2＋5a·b ＋6|b |2＝|a |2＋5|a ||b |cos 60°＋6|b |2＝62＋5×6×4×cos 60°＋6×42＝192．（2）①因为AD → ∥BC →，且方向相同，所以AD → 与BC →的夹角是0°，所以AD → ·BC → ＝|AD → ||BC →|·cos 0°＝3×3×1＝9．②因为AB → 与AD →的夹角为60°，所以AB → 与DA →的夹角为120°，所以AB → ·DA → ＝|AB → ||DA →|·cos 120°＝4×3×(－12)＝－6．互动探究：变问法：若本例（2）的条件不变，求AC → ·BD →．解：因为AC → ＝AB → ＋AD → ，BD → ＝AD → －AB →，所以AC → ·BD → ＝（AB → ＋AD → ）·（AD → －AB → ）＝AD → 2－AB →2＝9－16＝－7．探究点2：向量模的有关计算例2：（1）已知平面向量a 与b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝（ ）A ．3B ．23C ．4D ．12（2）向量a ，b 满足|a |＝1，|a －b |＝32，a 与b 的夹角为60°，则|b |＝（ ）A ．13B ．12C ．15D ．14解析：（1）|a ＋2b |＝（a ＋2b ）2＝a 2＋4a·b ＋4b 2|a |2＋4|a ||b |cos 60°＋4|b |2＝ 4＋4×2×1×12＋4＝23．（2）由题意得|a －b |2＝|a |2＋|b |2－2|a ||b |·cos 60°＝34，即1＋|b |2－|b |＝34，解得|b |＝12．答案：（1）B （2）B 探究点3：向量的夹角与垂直命题角度一：求两向量的夹角例3：（1）已知|a |＝6，|b |＝4，（a ＋2b ）·（a －3b ）＝－72，则a 与b 的夹角为________；（2）（2019·高考全国卷Ⅰ改编）已知非零向量a ，b 满足|a |＝2|b |，且（a －b ）⊥b ，则a 与b 的夹角为______．解析：（1）设a 与b 的夹角为θ，（a ＋2b ）·（a －3b ）＝a ·a －3a ·b ＋2b ·a －6b ·b ＝|a |2－a ·b －6|b |2＝|a |2－|a ||b |cos θ－6|b |2＝62－6×4×cos θ－6×42＝－72，所以24cos θ＝36＋72－96＝12，所以cos θ＝12．又因为θ∈[0，π]，所以θ＝π3．（2）设a 与b 的夹角为θ，由（a －b ）⊥b ，得（a －b ）·b ＝0，所以a ·b ＝b 2，所以cos θ＝b 2|a ||b |．又因为|a |＝2|b |，所以cos θ＝|b |22|b |2＝12．又因为θ∈[0，π]，所以θ＝π3．答案：（1）π3（2）π3命题角度二：证明两向量垂直例4：已知a ，b 是非零向量，当a ＋t b （t ∈R ）的模取最小值时，求证：b ⊥（a ＋t b ）．证明：因为|a ＋t b |＝（a ＋t b ）2＝a 2＋t 2b 2＋2t a ·b ＝|b |2t 2＋2a ·b t ＋|a |2，所以当t ＝－2a ·b 2|b |2＝－a·b|b |2时，|a ＋t b |有最小值．此时b ·（a ＋t b ）＝b·a ＋t b 2＝a·b ＋(－a·b |b |2)·|b |2＝a·b －a·b ＝0．所以b ⊥（a ＋t b ）．命题角度三：利用夹角和垂直求参数例5：（1）已知a ⊥b ，|a |＝2，|b |＝3且向量3a ＋2b 与k a －b 互相垂直，则k 的值为（ ）A ．－32B ．32C ．±32D ．1（2）已知a ，b ，c 为单位向量，且满足3a ＋λb ＋7c ＝0，a 与b 的夹角为π3，则实数λ＝________．解析：（1）因为3a ＋2b 与k a －b 互相垂直，所以（3a ＋2b ）·（k a －b ）＝0，所以3k a 2＋（2k －3）a·b －2b 2＝0．因为a ⊥b ，所以a ·b ＝0，又|a |＝2，|b |＝3，所以12k －18＝0，k ＝32．（2）由3a ＋λb ＋7c ＝0，可得7c ＝－（3a ＋λb ），即49c 2＝9a 2＋λ2b 2＋6λa ·b ，而a ，b ，c 为单位向量，则a 2＝b 2＝c 2＝1，则49＝9＋λ2＋6λcos π3，即λ2＋3λ－40＝0，解得λ＝－8或λ＝5．答案：（1）B （2）－8或5三、学习小结1．两向量的夹角（1）定义：已知两个非零向量a ，b ，O 是平面上的任意一点，作OA → ＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ（0≤θ≤π）叫做向量a 与b 的夹角．（2）特例：①当θ＝0时，向量a 与b 同向；②当θ＝π2时，向量a 与b 垂直，记作a ⊥b ；③当θ＝π时，向量a 与b 反向．2．向量的数量积已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，把数量|a ||b |cos__θ叫做向量a 与b 的数量积（或内积），记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos__θ．规定零向量与任一向量的数量积为0．3．投影向量如图（1），设a ，b 是两个非零向量，AB → ＝a ，CD → ＝b ，我们考虑如下变换：过AB →的起点A 和终点B ，分别作CD → 所在直线的垂线，垂足分别为A 1，B 1，得到A 1B 1→，我们称上述变换为向量a 向向量b 投影（project ），A 1B 1→叫做向量a 在向量b 上的投影向量．如图（2），在平面内任取一点O ，作OM → ＝a ，ON →＝b ，过点M 作直线ON 的垂线，垂足为M 1，则OM 1→就是向量a 在向量b 上的投影向量．（2）若与b 方向相同的单位向量为e ，a 与b 的夹角为θ，则OM 1→＝|a |cos θ e ．4．向量数量积的性质设a ，b 是非零向量，它们的夹角是θ，e 是与b 方向相同的单位向量，则（1）a ·e ＝e ·a ＝|a |cos θ．（2）a ⊥b ⇔a·b ＝0．（3）当a 与b 同向时，a·b ＝|a ||b |；当a 与b 反向时，a·b ＝－|a ||b |．特别地，a·a ＝|a |2或|a |＝a·a ．（4）|a·b |≤|a ||b |．5．向量数量积的运算律（1）a·b ＝b·a （交换律）．（2）（λa ）·b ＝λ（a·b ）＝a ·（λb ）（结合律）．（3）（a ＋b ）·c ＝a·c ＋b·c （分配律）．四、精炼反馈1．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝4，且a·b ＝2，则a 与b 的夹角θ为（ ）A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2解析：选C ．由题意，知a·b ＝|a ||b |cos θ＝4cos θ＝2，所以cos θ＝12．又0≤θ≤π，所以θ＝π3．2．已知|a |＝|b |＝1，a 与b 的夹角是90°，c ＝2a ＋3b ，d ＝k a －4b ，c 与d 垂直，则k 的值为（ ）A ．－6B ．6C ．3D ．－3解析：选B ．因为c·d ＝0，所以（2a ＋3b ）·（k a －4b ）＝0，所以2k a 2－8a ·b ＋3k a ·b －12b 2＝0，所以2k ＝12，所以k ＝6．3．已知|a |＝3，|b |＝5，a ·b ＝－12，且e 是与b 方向相同的单位向量，则a 在b 上的投影向量为______．解析：设a 与b 的夹角θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝－123×5＝－45，所以a 在b 上的投影向量为|a |cos θ·e ＝3×(－45)e＝－125e ．答案：－125e4．已知|a |＝1，|b |＝2．（1）若a ∥b ，求a ·b ；（2）若a ，b 的夹角为60°，求|a ＋b |；（3）若a －b 与a 垂直，求a 与b 的夹角．解：设向量a 与b 的夹角为θ．（1）当a ，b 同向，即θ＝0°时，a ·b ＝2；当a ，b 反向，即θ＝180°时，a ·b ＝－2．（2）|a ＋b |2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝3＋2，|a ＋b |＝3＋2．（3）由（a －b ）·a ＝0，得a 2＝a ·b ，cos θ＝a ·b |a ||b |＝22，又θ∈[0，180°]，故θ＝45°．。

高中数学(必修二)导学案第一章：平面直角坐标系1.1 坐标系的引入- 了解平面直角坐标系的基本概念- 掌握点在平面直角坐标系中的坐标表示方法1.2 平面直角坐标系上的距离公式- 了解平面直角坐标系上两点之间距离的公式- 掌握如何使用距离公式计算两个点之间的距离1.3 直线的斜率- 了解直线斜率的概念及其计算方法- 掌握如何根据两点坐标计算直线的斜率第二章：二次函数2.1 二次函数的图像和性质- 了解二次函数的基本概念和特点- 掌握根据二次函数的参数确定二次函数图像的方法2.2 二次函数的最值和零点- 了解二次函数最值和零点的基本概念及其计算方法- 掌握如何根据二次函数求解实际问题2.3 二次函数与一次函数的比较- 了解二次函数和一次函数的基本概念及其图像特点- 掌握如何比较二次函数和一次函数的大小关系第三章：三角函数3.1 任意角及其测量- 了解任意角的基本概念及其测量方法- 掌握如何将任意角的三角函数转化为其它角度的三角函数3.2 常用角的三角函数值- 掌握常用角的三角函数值及其推导方法- 掌握如何根据三角函数值求解实际问题3.3 三角函数的图像和性质- 了解三角函数的图像及其性质- 掌握如何根据三角函数图像解决实际问题第四章：概率统计4.1 随机事件与概率- 掌握随机事件和概率的基本概念和运算法则- 掌握如何计算简单事件的概率4.2 条件概率和独立性- 了解条件概率和独立性的基本概念及其计算方法- 掌握如何根据条件概率和独立性计算事件的概率4.3 离散型随机变量及其分布律- 了解离散型随机变量及其分布律的概念- 掌握如何根据分布律计算离散型随机变量的期望值和方差以上是本章节的导学内容，希望同学们认真学习，做好课后习题。

祝学习愉快！。

2023年人教版高中数学必修二导学案全套一、导学目的本导学案的目的是为了帮助高中数学研究者系统地研究和掌握2023年人教版高中数学必修二的相关知识，提高研究效果和成绩。

二、导学内容1. 第一章：函数及其表示方法- 研究函数的定义和基本性质- 掌握函数的表示方法及其应用- 理解函数的映射性和单调性2. 第二章：一次函数与二次函数- 研究一次函数和二次函数的定义和性质- 掌握一次函数和二次函数的图象与性质- 认识一次函数和二次函数在实际问题中的应用3. 第三章：指数和对数函数- 研究指数和对数函数的定义和性质- 掌握指数函数和对数函数的图象和性质- 理解指数函数和对数函数在实际问题中的应用4. 第四章：三角函数- 研究三角函数的定义和基本关系- 掌握三角函数的图象和性质- 理解三角函数在几何问题和实际问题中的应用5. 第五章：概率与统计- 研究概率与统计的基本概念- 掌握概率与统计的计算方法- 理解概率与统计在实际问题中的应用三、导学方法本教材使用了多种导学方法，包括课前预、课堂引导、课后练等，以帮助研究者全面提升数学知识和解题能力。

学生可以按照以下步骤进行研究：1. 阅读本章导学案，了解本章研究目标和内容。

2. 预本章内容，查阅相关资料和教辅材料，理解基本概念和原理。

3. 在课堂上认真听讲，参与互动，解答问题。

4. 课后进行题目练，巩固所学知识，掌握解题技巧。

5. 复本章知识，进行检测，查漏补缺。

四、导学评价为了确保研究效果，我们建议研究者在导学过程中进行自我评价和教师评价。

自我评价可以通过课后练和解题过程来进行，教师评价可以通过课堂表现和考试成绩来进行。

五、研究资源研究者可以使用以下资源进行研究：- 人教版高中数学必修二教材- 相关参考书和教辅材料- 互联网上的数学研究网站和视频资源六、结束语通过系统地研究和掌握本教材，相信研究者能够在数学研究中取得更好的成绩。

希望本导学案能够帮助你在2023年人教版高中数学必修二研究中有所收获！。

4. 1.2 圆的一般方程【教学目标】１．使学生掌握圆的一般方程的特点；能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程．２．使学生掌握通过配方求圆心和半径的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方程，培养学生用配方法和待定系数法解决实际问题的能力．３．通过对待定系数法的学习为进一步学习数学和其他相关学科的基础知识和基本方法打下牢固的基础．【教学重难点】教学重点：(1)能用配方法，由圆的一般方程求出圆心坐标和半径；(2)能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程．教学难点：圆的一般方程的特点．【教学过程】（一）情景导入、展示目标前面，我们已讨论了圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2，现将展开可得x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0．可见，任何一个圆的方程都可以写成x2+y2+Dx+Ey+F=0．请大家思考一下：形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程的曲线是不是圆？下面我们来深入研究这一方面的问题．复习引出课题为“圆的一般方程”．（二）检查预习、交流展示1.写出圆的标准方程.2.写出圆的标准方程中的圆心与半径.（三）合作探究、精讲精练探究一：圆的一般方程的定义1．分析方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的轨迹将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0左边配方得：(1)(1)当D2+E2-4F＞0时，方程(1)与标准方程比较，可以看出方程半径的圆；(3)当D2+E2-4F＜0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0没有实数解，因而它不表示任何图形．这时，教师引导学生小结方程x2+y2+Dx+Ey+F=0的轨迹分别是圆、法．2．引出圆的一般方程的定义当D2+E2-4F＞0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0称为圆的一般方程．探究二：圆的一般方程的特点请同学们分析下列问题：问题：比较二元二次方程的一般形式Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0．(2)与圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，(D2+E2-4F＞0)．(3)的系数可得出什么结论？启发学生归纳结论．当二元二次方程 Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0具有条件：(1)x2和y2的系数相同，不等于零，即A=C≠0；(2)没有xy项，即B=0；(3)D2+E2-4AF＞0．它才表示圆．条件(3)通过将方程同除以A或C配方不难得出．强调指出：(1)条件(1)、(2)是二元二次方程(2)表示圆的必要条件，但不是充分条件；(2)条件(1)、(2)和(3)合起来是二元二次方程(2)表示圆的充要条件．例1 求下列圆的半径和圆心坐标：(1)x 2+y 2-8x+6y=0， (2)x 2+y 2+2by=0．解析：先配方，将方程化为标准形式，再求圆心和半径．解：(1)圆心为(4，-3)，半径为5；(2)圆心为(0，-b)，半径为|b|，注意半径不为b ． 点拨：由圆的一般方程求圆心坐标和半径，一般用配方法，这要熟练掌握． 变式训练１：１．方程x 2＋y 2＋2kx ＋4y ＋3k ＋8=0表示圆的充要条件是（ ） Ａ．k ＞4或者k ＜－1 Ｂ．－1＜k ＜4 Ｃ．k =4或者k =－1 Ｄ．以上答案都不对２．圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F =0与x 轴切于原点，则有（ ） Ａ．F =0，DE ≠0 Ｂ．E 2＋F 2=0，D ≠0 Ｃ．D 2＋F 2=0，E ≠0 Ｄ．D 2＋E 2=0，F ≠0 答案：１．Ａ ２．Ｃ例2 求过三点O(0，0)、A(1，1)、B(4，2)的圆的方程．解析：已知圆上的三点坐标，可设圆的一般方程，用待定系数法求圆的方程． 解：设所求圆的方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0，由O 、A 、B 在圆上，则有解得：D=-8，E=6，F=0， 故所求圆的方程为x 2+y 2-8x+6=0． 点拨：1．用待定系数法求圆的方程的步骤： (1)根据题意设所求圆的方程为标准式或一般式； (2)根据条件列出关于a 、b 、r 或D 、E 、F 的方程；(3)解方程组，求出a 、b 、r 或D 、E 、F 的值，代入所设方程，就得要求的方程． 2．关于何时设圆的标准方程，何时设圆的一般方程：一般说来，如果由已知条件容易求圆心的坐标、半径或需要用圆心的坐标、半径列方程的问题，往往设圆的标准方程；如果已知条件和圆心坐标或半径都无直接关系，往往设圆的一般方程．变式训练２： 求圆心在直线 l ：x+y=0上，且过两圆C 1∶x 2+y 2-2x+10y-24=0和C 2∶x 2+y 2+2x+2y-8=0的交点的圆的方程．解：解方程组⎩⎨⎧=+++=++08-2y 2x y x 024-10y 2x -y x 2222，得两圆交点为（－４，０），（０，２）．设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r 2，因为两点在所求圆上，且圆心在直线l 上所以得方程组为⎪⎩⎪⎨⎧--ａ＋ｂ＝０＝ｒ＋（２－ｂ）ａ＝ｒ＋ｂａ２２２２２2)4( 解得ａ＝－３，ｂ＝３，ｒ＝10． 故所求圆的方程为：(x+3)2+(y-3)2=10． （四）反馈测试 导学案当堂检测（五）总结反思、共同提高1．圆的一般方程的定义及特点； 2．用配方法求出圆的圆心坐标和半径； 3．用待定系数法，导出圆的方程． 【板书设计】一：圆的一般方程的定义1．分析方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0表示的轨迹 2．圆的一般方程的定义 二：圆的一般方程的特点 (1) (2) (3) 例1 变式训练１： 例2 变式训练２： 【作业布置】 导学案课后练习与提高4. 1. 2 圆的一般方程课前预习学案一．预习目标回顾圆的标准方程，了解用圆的一般方程及其特点．二．预习内容１．圆的标准方程形式是什么？圆心和半径呢？２．圆的一般方程形式是什么？圆心和半径呢？３．圆的方程的求法有哪些？三．提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有那些疑惑，请填在下面的表格中课内探究学案一．学习目标１．掌握圆的一般方程的特点；能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程．２．掌握通过配方求圆心和半径的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方程，培养用配方法和待定系数法解决实际问题的能力．３．通过对待定系数法的学习为进一步学习数学和其他相关学科的基础知识和基本方法打下牢固的基础．学习重点：(1)能用配方法，由圆的一般方程求出圆心坐标和半径；(2)能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程．学习难点：圆的一般方程的特点．二．学习过程前面，我们已讨论了圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2，现将展开可得x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0．可见，任何一个圆的方程都可以写成x2+y2+Dx+E y+F=0．请大家思考一下：形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程的曲线是不是圆？下面我们来深入研究这一方面的问题．复习引出课题为“圆的一般方程”．探究一：圆的一般方程的定义1．分析方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的轨迹2．引出圆的一般方程的定义探究二：圆的一般方程的特点请同学们分析下列问题：问题：比较二元二次方程的一般形式Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0．（２）与圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，(D2+E2-4F＞0)．（３）的系数可得出什么结论？例1 求下列圆的半径和圆心坐标：(1)x2+y2-8x+6y=0，(2)x2+y2+2by=0．变式训练１：１．方程x2＋y2＋2kx＋4y＋3k＋8=0表示圆的充要条件是（）Ａ．k＞4或者k＜－1 Ｂ．－1＜k＜4Ｃ．k=4或者k=－1 Ｄ．以上答案都不对２．圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0与x轴切于原点，则有（）Ａ．F=0，DE≠0 Ｂ．E2＋F2=0，D≠0Ｃ．D2＋F2=0，E≠0 Ｄ．D2＋E2=0，F≠0例2 求过三点O(0，0)、A(1，1)、B(4，2)的圆的方程．变式训练２：求圆心在直线l：x+y=0上，且过两圆C1∶x2+y2-2x+10y-24=0和C2∶x2+y2+2x+2y-8=0的交点的圆的方程．三．反思总结四．当堂检测 １．方程342-+-=x x y 表示的曲线是（ ）Ａ．在x 轴上方的圆 Ｂ．在y 轴右方的圆 Ｃ．x 轴下方的半圆 Ｄ．x 轴上方的半圆２．以（0，0）、（6，－8）为直径端点的圆的方程是 . ３．求经过两圆x 2+y 2+6x-4=0和x 2+y 2+6y-28=0的交点，并且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程．参考答案：１．Ｄ ２．x 2+y 2-６x+８y=0 ３．x 2+y 2-x+7y-32=0 课后练习与提高１．方程x 2＋y 2－2(m ＋3)x ＋2(1－4m 2)y ＋16m 4+9=0表示圆，则实数m 的取值范围是（ ）Ａ．－71＜m ＜1 Ｂ．－1＜m ＜71Ｃ．m ＜－71或m ＞1 Ｄ．m ＜－1或m ＞71２．方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F =0（D 2＋E 2－4F ＞0）表示的曲线关于直线x ＋y =0对称，则有（ ）Ａ．D ＋E =0 Ｂ．D ＋F =0 Ｃ．E ＋F =0 Ｄ．D ＋E ＋F =0 ３．经过三点A (0，0)、B (1，0)、C (2，1)的圆的方程为（ ）Ａ．x 2＋y 2＋x －3y －2=0 Ｂ． x 2＋y 2＋3x ＋y －2=0 Ｃ． x 2＋y 2＋x ＋3y =0 Ｄ． x 2＋y 2－x －3y =0４．方程220x y x y k +-++=表示一个圆，则实数k 的取值范围是 . ５．过点A （－2，0），圆心在（3，－2）的圆的一般方程为 . ６．等腰三角形的顶点是A(4，2)，底边一个端点是B(3，5)，求另一个端点的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么．。

【⼈教版】2019学年⾼中数学必修⼆全套精品导学案全集【⼈教版】2019学年⾼中数学必修⼆全套精品导学案全集第⼀章第⼀节柱锥台球的结构特征第⼀课时三维⽬标1．能根据⼏何结构特征对空间物体进⾏分类；2. 了解多⾯体的有关概念；3. 了解棱柱、棱锥、棱台的定义.认识棱柱、棱锥、棱台的结构特征及其关系；4. 会⽤语⾔概述棱柱、棱锥、棱台的结构特征.________________________________________________________________________________ ⽬标三导学做思1问题1.空间⼏何体是指什么?请举例说明.问题2. 什么是多⾯体、多⾯体的⾯、棱、顶点？什么是旋转体、旋转体的轴？问题3. (1)图(1)中的⼏何体叫做? AA1、BB1等叫它的? A、B、C1等叫它的?(2)图(2)中的⼏何体叫做? PA、PB叫它的? 平⾯PBC、PCD叫做它的? 平⾯ABCD叫它的?(3)图(3)中的⼏何体叫做? 它是由棱锥________被平⾏于底⾯ABCD的平⾯________截得的．AA′，BB′叫它的? 平⾯BCC′B′、平⾯DAA′D′叫它的?【学做思2】1.如图，过BC的截⾯截去长⽅形的⼀⾓，所得的⼏何体是不是棱柱？变式：有两个⾯互相平⾏，其余各⾯都是平⾏四边形的多⾯体⼀定是棱柱吗？2.判断下列⼏何体是不是棱台，并说明为什么．*3. 观察下列图⽚，你知道这图⽚在⼏何中分别叫什么名称吗？它们还有其它特征吗？达标检测1.图1是由图2中的哪个平⾯图旋转⽽得到的（）2.如图，在透明塑料制成的长⽅体ABCD－A1B1C1D1容器中灌进⼀些⽔，将容器底⾯⼀边BC置于地⾯上，再将容器倾斜，随着倾斜程度的不同，以下命题：①⽔的形状成棱柱形；②⽔⾯EFGH 的⾯积不变；③⽔的EFGH始终为矩形．其中正确的命题序号是________．3.已知正⽅体ABCD－A1B1C1D1，图(1)中截去的是什么⼏何体？图(2)中截去⼀部分，其中HG∥AD∥EF，剩下的⼏何体是什么？第⼀章第⼀节柱锥台球的结构特征第⼆课时三维⽬标1．了解圆柱、圆锥、圆台、球的定义，认识圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征；2. 会⽤柱、锥、台、球的结构特征描述简单组合体的结构特征；3. 了解柱、锥、台体的关系.________________________________________________________________________________ ⽬标三导学做思1问题1. (1)图①中的⼏何体叫做________，O叫它的________，OA叫它的________，AB叫它的________．(2)图②中的⼏何体叫________，AB、CD都是它的________，⊙O和⊙O′及其内部是它的________．(3)图③中的⼏何体叫做________，SB为叫它的________．(4)图④中的⼏何体叫做________，AA′叫它的________，⊙O′及其内部叫它的________，⊙O及其内部叫它的________，它还可以看作直⾓梯形OAA′O′绕它的________________旋转⼀周后，其他各边所形成的⾯所围成的旋转体．(5).什么是简单组合体？简单⼏何体有哪⼏种基本形式？指出下图中的组合形式.【学做思2】1．如图，AB为圆弧?BC所在圆的直径，45BAC∠=o.将这个平⾯图形绕直线AB旋转⼀周，得到⼀个组合体，试说明这个组合体的结构特征.2．已知圆台的两底半径分别为2和3，母线长为5，求展开后的弧所对的圆⼼⾓度数.3.圆锥底⾯半径为1cm，⾼为2cm，其中有⼀个内接正⽅体，求这个内接正⽅体的棱长.【变式】已知球的内接正⽅体棱长为2，求球的半径.达标检测1.如图所⽰的四个⼏何体中，是圆柱的为________；是圆锥的为________．2.说出如图所⽰⼏何体的主要结构特征．3.如图所⽰，下列⼏何体可看作由什么图形旋转360°得到？画出平⾯图形和旋转轴．4.如图，长⽅体ABCD—A1B l C l D1中，AD＝3，AA l＝4，AB＝5，则从A点沿表⾯到C l的最短距离为______．5.⼀个圆台的母线长为12cm，两底⾯⾯积分别为4πcm2和25πcm2.求：(1)圆台的⾼；(2)截得此圆台的圆锥的母线长．第⼀章第⼆节空间⼏何体的三视图和直观图第⼀课时三维⽬标1．了解中⼼投影和平⾏投影；2. 能画出简单空间图形的三视图；3. 能识别三视图所表⽰的⽴体模型.________________________________________________________________________________ ⽬标三导学做思1问题1.阅读教材第11～13页，完成下列表格：投影定义特征举例中⼼投影平⾏投影问题2. 画出⼏种常见的⼏何体的三视图是什么图形⼏何体直观图形正视图侧视图俯视图正⽅体长⽅体圆柱圆锥圆台球问题3.说出作三视图、侧视图、俯视图的⽅法. 【学做思2】1.如图甲所⽰，在正⽅体1111D C B A ABCD 中，E 、F 分别是1AA 、11D C 的中点，G 是正⽅形11B BCC 的中⼼，则四边形AGFE 在该正⽅体的各个⾯上的投影可能是图⼄中的 .2. 作出下⾯⼏何体的三视图.3.根据右图中所给出的⼀个物体的三视图，试画出它的形状．达标检测1. ⽤若⼲块相同的⼩正⽅体搭成⼀个⼏何体，该⼏何体的三视图如图所⽰，则搭成该⼏何体需要的⼩正⽅体的块数是（）A．8 B．7 C．6 D．5*2．如图，下列四个⼏何体中，它们各⾃的三视图(正视图、侧视图、俯视图)中有且仅有两个相同的是( )A．①② B．①③ C．②③ D．①④第⼀章第⼆节空间⼏何体的三视图和直观图第⼆课时三维⽬标1．会⽤斜⼆测画法画出⼀些简单平⾯图形和⽴体图形的直观图；2. 通过观察三视图和直观图，了解空间图形的不同表⽰形式及不同形式之间的关系.________________________________________________________________________________ ⽬标三导学做思1问题1. 如图是美术作品中的⼀种绘画⽅法，叫透视画法.这种画法就是表现画⾯中各种物体的相互之间的空间关系或者位置关系，在平⾯上构建空间感、⽴体感的⽅法.在⽴体⼏何中也常⽤斜投影来画空间图形的直观图，这种画法叫叫什么？有什么特点？.*问题2. ⽤斜⼆测画法画⼀个⽔平放置的正六边形的直观图.【思考】⽤斜⼆测画法画平⾯图形直观图的步骤有哪些？问题3. ⽤斜⼆测画法作长宽⾼分别为4、3、2的长⽅体的直观图.作法：【思考】⽤斜⼆测画法画⽴体图形直观图的步骤有哪些？斜⼆侧画法中如何找⼀般位置下的点？【学做思2】1. ⽤斜⼆测画法画出下图中⽔平放置的四边形的直观图.*2.已知⼏何体的三视图，⽤斜⼆测画法画出它的直观图.正视图侧视图俯视图达标检测1.如图所⽰，四边形ABCD是⼀个梯形，CD∥AB，CD＝AO＝1，三⾓形AOD为等腰直⾓三⾓形，O为AB的中点，试求梯形ABCD⽔平放置的直观图的⾯积．2．如上右图所⽰，△A′B′C′是⽔平放置的△ABC的直观图，则在△ABC的三边及中线AD中，最长的线段是( )A．AB B．AD C．BC D．AC第⼀章第三节柱体锥体台体的体积三维⽬标1．了解⼏何体体积的含义，以及柱体、锥体与台体的体积公式；（不要求记忆公式） 2. 熟悉台体与柱体和锥体之间体积的转换关系.________________________________________________________________________________ ⽬标三导学做思1问题 1. 如图是⼀个根据连通器原理制成的牲畜⾃动喂⽔器，左右两边容器近似地看成长⽅体，容器（1）为底⾯边长为11a b 、的长⽅形，⾼为1c 的长⽅体；容器（2）为底⾯边长为22a b 、的长⽅形，⾼为2c 的长⽅体.求两个容器所装⽔的体积之⽐.问题2. 柱体、锥体、台体的体积公式是什么？（2）（1）浮⼦相当于⼀个开关【学做思2】1. 如图所⽰，三棱锥的顶点为P ，,,PA PB PC 是它的三条侧棱,且,,PA PB PC 分别是⾯,,PBC PAC PAB 的垂线，⼜2PA =，3,4PB PC ==，求三棱锥P ABC -的体积V .CAP【变式】如图(2)，在边长为4的正⽅体中，求三棱锥B A BC '''-的体积V 及三棱锥B A BC '''-的⾼h.2.⼀个底⾯直径为20cm 的装有⼀部分⽔的圆柱形玻璃杯，⽔中放着⼀个底⾯直径为6cm ，⾼为20cm 的⼀个圆锥形铅锤，当铅锤从中取出后，杯⾥的⽔将下降⼏厘⽶？(π=3.14)3．已知圆台的上、下底⾯半径分别是2、6，且侧⾯⾯积等于两底⾯⾯积之和．（1）求该圆台的母线长；（2）求该圆台的体积；（3）求截得此圆台的圆锥的体积.达标检测1.圆锥的过⾼的中点且与底⾯平⾏的截⾯把圆锥分成两部分的体积之⽐是( )A．1:1 B．1:6 C．1: 7 D．1:82.已知四棱锥V-ABCD，底⾯是边长分别为6和8的矩形，侧棱相等且长为41．V在底⾯ABCD的投影为ABCD对⾓线交点O.(1)求该四棱锥的体积V；(2)求该四棱锥的侧⾯积S.3.若某⼏何体的三视图(单位：cm)如图所⽰，求此⼏何体的体积．第⼀章第三节柱体锥体台体的表⾯积三维⽬标1．了解柱体、锥体、台体的表⾯积的推导⽅法；2. 会求柱体、锥体、台体的表⾯积.________________________________________________________________________________ ⽬标三导学做思1问题1. 这是长征5号⽕箭模型，主体⾼47cm，底部为直径9cm的圆.主体可以近似地看成由哪些⼏何体组合构成？如果主体表⾯（加虚线部分，圆柱⾼40cm，圆锥⾼7cm）要涂上⽩⾊颜料，估计需要涂多少平⽅厘⽶的颜料？怎样计算？问题2. 阅读教材第23～25页，思考填出下列表格：⼏何体图形侧⾯展开图表⾯积公式元素意义圆柱rlO'O底⾯积：=侧⾯积：=表⾯积：=——CBAD E 圆锥lrOS底⾯积：=侧⾯积：=表⾯积： =— —圆台O 'Or lr '上底⾯积：=下底⾯积：=侧⾯积：=表⾯积： =——问题3. 棱柱、棱锥、棱台都是由多个平⾯图形围成的⼏何体，它们的侧⾯展开图是什么？如何计算它们的表⾯积？举例说明.【学做思2】*1.已知棱长为a ，各⾯均为等边三⾓形的四⾯体S –ABC ，求它的表⾯积.*【变式】已知棱长为a ，各⾯均为等边三⾓形的四⾯体S -ABC ，过SA 的中点作⼀个平⾏于底⾯的平⾯，求所得棱台的表⾯积。

学习好资料欢迎下载人教A版高中数学必修二全册精品导学案高中数学必修II 导学案§1.1 空间几何体的结构【使用说明及学法指导】1.结合问题导学自已复习课本必修2的P 2页至P 4页，用红色笔勾画出疑惑点；独立完成探究题，并总结规律方法。

2.针对问题导学及小试牛刀找出的疑惑点，课上讨论交流，答疑解惑。

3. 感受空间实物及模型，增强学生直观感知；能根据几何结构特征对空间物体进行分类；4.理解多面体的有关概念；会用语言概述棱柱、棱锥、棱台的结构特征.5. 在科学上没有平坦的道路，只有不畏劳苦，敢于沿着陡峭山路攀登的人才有希望达到光辉的顶点。

【重点难点】重点是棱柱、棱锥、棱台结构特征.难点是棱柱、棱锥、棱台的结构特征一【问题导学】探索新知探究1：几何体的相关概念（1）预习课本第2页的观察部分，试着将所给出的16幅图片进行分类，并说明分类依据。

（2）空间几何体的概念：（3）空间几何体的分类：多面体——旋转体——探究2：多面体的相关概念新知1：（1）多面体：（2）多面体的面：（3）多面体的棱：（4）多面体的顶点：指出右侧几何体的面、棱、顶点探究2：旋转体的相关概念新知2：旋转体旋转体的轴探究3：（一）棱柱1、棱柱：课题§1.1 空间几何体的结构时间2011、5 教法问题教学法教者泰来三中高一数学备课组课时二课时面顶点棱ABCD ACB2、棱柱的分类：（1）按侧棱与底面垂直与否，分为：（2）按底面多边形的边数，分为：注：底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱。

3、棱柱的表示：4、补充：平行六面体——底面是平行四边形的四棱柱探究4：（二）棱锥1、棱锥：2、棱锥的分类：注：如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥是正棱锥.3、棱锥的表示：探究5：（三）棱台1、棱台：2、棱台的分类：3、棱台的表示：二【小试牛刀】1. 一个多边形沿不平行于矩形所在平面的方向平移一段距离可以形成（）.A．棱锥B．棱柱C．平面D．长方体2. 棱台不具有的性质是（）.A.两底面相似B.侧面都是梯形C.侧棱都相等D.侧棱延长后都交于一点三【合作、探究、展示】例1、根据右边模型，回答下列问题：(1)观察长方体模型，有多少对平行平面？能作为棱柱底面的有多少对？ABCD A B C D中被截去一部分，其中(2) 如右图，长方体''''''EH A D。

必修2 第一章§2-1 柱、锥、台体性质及表面积、体积计算【课前预习】阅读教材P1-7,23-28完成下面填空1．棱柱、棱锥、棱台的本质特征⑴棱柱：①有两个互相平行的面（即底面），②其余各面（即侧面）每相邻两个面的公共边都互相平行（即侧棱都）.⑵棱锥：①有一个面（即底面）是，②其余各面（即侧面）是 .⑶棱台：①每条侧棱延长后交于同一点，②两底面是平行且相似的多边形。

2．圆柱、圆锥、圆台、球的本质特征⑴圆柱：.⑵圆锥：.⑶圆台：①平行于底面的截面都是圆，②过轴的截面都是全等的等腰梯形，③母线长都相等，每条母线延长后都与轴交于同一点.(4)球： .3．棱柱、棱锥、棱台的展开图与表面积和体积的计算公式(1)直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面展开图分别是①若干个小矩形拼成的一个，②若干个，③若干个 .（2）表面积及体积公式：4．圆柱、圆锥、圆台的展开图、表面积和体积的计算公式5．球的表面积和体积的计算公式【课初5分钟】课前完成下列练习，课前5分钟回答下列问题1．下列命题正确的是（）(A).有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体叫棱柱。

(B)有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱。

(C) 有两个面平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱。

(D)用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台。

2．根据下列对于几何体结构特征的描述，说出几何体的名称：（1）由8个面围成，其中两个面是互相平行且全等的六边形，其他面都是全等的矩形。

（2）一个等腰三角形绕着底边上的高所在的直线旋转180°形成的封闭曲面所围成的图形。

3．五棱台的上下底面均是正五边形，边长分别是6cm和16cm，侧面是全等的等腰梯形，侧棱长是13cm，求它的侧面面积。

4．一个气球的半径扩大a倍，它的体积扩大到原来的几倍？强调（笔记）：【课中35分钟】边听边练边落实5．如图：右边长方体由左边的平面图形围成的是（）（图在教材P8 T1 (3)）6．已知圆台的上下底面半径分别是r，R，且侧面面积等于两底面面积之和，求圆台的母线长。

8．1基本立体图形第1课时棱柱、棱锥、棱台的结构特征考点学习目标核心素养棱柱的结构特征理解棱柱的定义，知道棱柱的结构特征，并能识别直观想象棱锥、棱台的结构特征理解棱锥、棱台的定义，知道棱锥、棱台的结构特征，并能识别直观想象应用几何体的平面展开图能将棱柱、棱锥、棱台的表面展开成平面图形直观想象问题导学预习教材P97－P100的内容，思考以下问题：1．空间几何体的定义是什么？2．空间几何体分为哪几类？3．常见的多面体有哪些？4．棱柱、棱锥、棱台有哪些结构特征？1．空间几何体的定义及分类(1)定义：如果只考虑物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体．(2)分类：常见的空间几何体有多面体与旋转体两类．2．空间几何体类别定义图示多面体由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体．围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点旋转体一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的这条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体．这条定直线叫做旋转体的轴3.棱柱、棱锥、棱台的结构特征结构特征及分类图形及记法棱柱结构特征(1)有两个面(底面)互相平行(2)其余各面都是四边形(3)相邻两个四边形的公共边都互相平行记作棱柱ABCDEF­A′B′C′D′E′F′分类按底面多边形的边数分为三棱柱、四棱柱…续表结构特征及分类图形及记法棱锥结构特征(1)有一个面(底面)是多边形(2)其余各面(侧面)都是有一个公共顶点的三角形记作棱锥S-ABCD 分类按底面多边形的边数分为三棱锥、四棱锥……棱台结构特征(1)上下底面互相平行，且是相似图形(2)各侧棱延长线相交于一点(或用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间那部分多面体叫做棱台)记作棱台ABCD-A′B′C′D′分类由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别为三棱台、四棱台、五棱台……(1)棱柱、棱锥、棱台的关系在运动变化的观点下，棱柱、棱锥、棱台之间的关系可以用下图表示出来(以三棱柱、三棱锥、三棱台为例)．(2)各种棱柱之间的关系 ①棱柱的分类棱柱⎩⎪⎨⎪⎧直棱柱⎩⎪⎨⎪⎧正棱柱（底面为正多边形）一般的直棱柱斜棱柱②常见的几种四棱柱之间的转化关系判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)棱柱的侧面都是平行四边形．( )(2)用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫棱台． ( ) (3)将棱台的各侧棱延长可交于一点．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)√下面多面体中，是棱柱的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选D.根据棱柱的定义进行判定知，这4个都满足. 下面四个几何体中，是棱台的是( )解析：选C.A 项中的几何体是棱柱．B 项中的几何体是棱锥；D 项中的几何体的棱AA ′，BB′，CC′，DD′没有交于一点，则D项中的几何体不是棱台；很明显C项中的几何体是棱台．在三棱锥A-BCD中，可以当作棱锥底面的三角形的个数为()A．1 B．2C．3 D．4解析：选D.每个面都可作为底面，有4个．下列说法正确的有________．(填序号)①棱锥的侧面为三角形，且所有侧面都有一个公共点；②棱台的侧面有的是平行四边形，有的是梯形；③棱台的侧棱所在直线均相交于同一点．解析：棱锥是由棱柱的一个底面收缩为一个点而得到的几何体，因而其侧面均是三角形，且所有侧面都有一个公共点，故①对．棱台是棱锥被平行于底面的平面所截后，截面与底面之间的部分，因而其侧面均是梯形，且所有的侧棱延长后均相交于一点(即原棱锥的顶点)，故②错，③对．因而正确的有①③.答案：①③棱柱的结构特征下列关于棱柱的说法：①所有的面都是平行四边形；②每一个面都不会是三角形；③两底面平行，并且各侧棱也平行；④被平面截成的两部分可以都是棱柱．其中正确说法的序号是__________．【解析】①错误，棱柱的底面不一定是平行四边形；②错误，棱柱的底面可以是三角形；③正确，由棱柱的定义易知；④正确，棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱，所以正确说法的序号是③④.【答案】③④棱柱结构特征的辨析技巧(1)扣定义：判定一个几何体是否是棱柱的关键是棱柱的定义．①看“面”，即观察这个多面体是否有两个互相平行的面，其余各面都是四边形；②看“线”，即观察每相邻两个四边形的公共边是否平行．(2)举反例：通过举反例，如与常见几何体或实物模型、图片等不吻合，给予排除．1．下列命题中正确的是()A．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B．棱柱中互相平行的两个面叫棱柱的底面C．棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形D．棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形解析：选D.由棱柱的定义可知，选D.2．如图所示的三棱柱ABC-A1B1C1，其中E，F，G，H是三棱柱对应边上的中点，过此四点作截面EFGH，把三棱柱分成两部分，各部分形成的几何体是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果不是，请说明理由．解：截面以上的几何体是三棱柱AEF-A1HG，截面以下的几何体是四棱柱BEFC-B1HGC1.棱锥、棱台的结构特征下列关于棱锥、棱台的说法：①用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台；②棱台的侧面一定不会是平行四边形；③棱锥的侧面只能是三角形；④由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；⑤棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥．其中正确说法的序号是________．【解析】①错误，若平面不与棱锥底面平行，用这个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分不是棱台．②正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形．③正确，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形．④正确，由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥．⑤错误，如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥．所以正确说法的序号为②③④.【答案】②③④判断棱锥、棱台形状的两种方法(1)举反例法结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确．(2)直接法棱锥棱台定底面只有一个面是多边形，此面即为底面两个互相平行的面，即为底面看侧棱相交于一点延长后相交于一点1．棱台不具有的性质是()A．两底面相似B．侧面都是梯形C．侧棱长都相等D．侧棱延长后相交于一点解析：选C.由棱台的概念(棱台的产生过程)可知A，B，D都是棱台具有的性质，而侧棱长不一定相等．2．下列说法中，正确的是()①棱锥的各个侧面都是三角形；②有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的几何体是棱锥；③四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面；④棱锥的各侧棱长相等．A．①②B．①③C．②③D．②④解析：选B.由棱锥的定义，知棱锥的各侧面都是三角形，故①正确；有一个面是多边形，其余各面都是三角形，如果这些三角形没有一个公共顶点，那么这个几何体就不是棱锥，故②错；四面体就是由四个三角形所围成的封闭几何体，因此以四面体的任何一个面作底面的几何体都是三棱锥，故③正确；棱锥的侧棱长可以相等，也可以不相等，故④错．空间几何体的平面展开图(1)水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图是一个正方体的平面展开图(图中数字写在正方体的外表面上)，若图中的“2”在正方体的上面，则这个正方体的下面是()A．1 B．9C．快D．乐(2)如图是三个几何体的侧面展开图，请问各是什么几何体？【解】(1)选 B.由题意，将正方体的展开图还原成正方体，“1”与“乐”相对，“2”与“9”相对，“0”与“快”相对，所以下面是“9”．(2)题图①中，有5个平行四边形，而且还有两个全等的五边形，符合棱柱的特点；题图②中，有5个三角形，且具有共同的顶点，还有一个五边形，符合棱锥的特点；题图③中，有3个梯形，且其腰的延长线交于一点，还有两个相似的三角形，符合棱台的特点，把侧面展开图还原为原几何体，如图所示：所以①为五棱柱，②为五棱锥，③为三棱台．多面体展开图问题的解题策略(1)绘制展开图：绘制多面体的平面展开图要结合多面体的几何特征，发挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型．在解题过程中，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其平面展开图．(2)由展开图复原几何体：若是给出多面体的平面展开图，来判断是由哪一个多面体展开的，则可把上述过程逆推，同一个几何体的平面展开图可能是不一样的，也就是说，一个多面体可有多个平面展开图．1.某同学制作了一个对面图案均相同的正方体礼品盒，如图所示，则这个正方体礼品盒的平面展开图应该为()解析：选A.其展开图是沿盒子的棱剪开，无论从哪条棱剪开，剪开的相邻面在展开图中可以不相邻，但未剪开的相邻面在展开图中一定相邻．相同的图案是盒子上相对的面，展开后不能相邻．2．根据如图所示的几何体的表面展开图，画出立体图形．解：如图是以四边形ABCD为底面，P为顶点的四棱锥．其图形如图所示．1．下面的几何体中是棱柱的有()A．3个B．4个C．5个D．6个解析：选C.棱柱有三个特征：(1)有两个面相互平行．(2)其余各面是四边形．(3)侧棱相互平行．本题所给几何体中⑥⑦不符合棱柱的三个特征，而①②③④⑤符合，故选C.2．下面图形中，为棱锥的是()A．①③B．③④C．①②④D．①②解析：选C.根据棱锥的定义和结构特征可以判断，①②是棱锥，③不是棱锥，④是棱锥．故选C.3．有一个多面体，共有四个面围成，每一个面都是三角形，则这个几何体为()A．四棱柱B．四棱锥C．三棱柱D．三棱锥解析：选D.根据棱锥的定义可知该几何体是三棱锥．4．一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60 cm，则每条侧棱长为__________cm.解析：因为棱柱有10个顶点，所以棱柱为五棱柱，共有五条侧棱，所以侧棱长为60 5＝12(cm)．答案：125．画一个三棱台，再把它分成：(1)一个三棱柱和另一个多面体．(2)三个三棱锥，并用字母表示．解：画三棱台一定要利用三棱锥．(1)如图①所示，三棱柱是棱柱A′B′C′­AB″C″，另一个多面体是B′C′C″B″BC.(2)如图②所示，三个三棱锥分别是A′­ABC，B′­A′BC，C′­A′B′C.[A基础达标]1．下列说法正确的是()A．棱柱的底面一定是平行四边形B．棱锥的底面一定是三角形C．棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥D．棱柱被平面分成的两部分可能都是棱柱解析：选D.棱柱和棱锥的底面可以是任意多边形，故选项A、B均不正确；可沿棱锥的侧棱将其分割成两个棱锥，故C错误；用平行于棱柱底面的平面可将棱柱分割成两个棱柱．2．具备下列条件的多面体是棱台的是()A ．两底面是相似多边形的多面体B ．侧面是梯形的多面体C ．两底面平行的多面体D ．两底面平行，侧棱延长后交于一点的多面体解析：选D.由棱台的定义可知，棱台的两底面平行，侧棱延长后交于一点． 3．如图，能推断这个几何体可能是三棱台的是( )A ．A 1B 1＝2，AB ＝3，B 1C 1＝3，BC ＝4B ．A 1B 1＝1，AB ＝2，B 1C 1＝1.5，BC ＝3，A 1C 1＝2，AC ＝3 C ．A 1B 1＝1，AB ＝2，B 1C 1＝1.5，BC ＝3，A 1C 1＝2，AC ＝4D ．AB ＝A 1B 1，BC ＝B 1C 1，CA ＝C 1A 1解析：选C.根据棱台是由棱锥截成的进行判断．选项A 中A 1B 1AB ≠B 1C 1BC ，故A 不正确；选项B 中B 1C 1BC ≠A 1C 1AC ，故B 不正确；选项C 中A 1B 1AB ＝B 1C 1BC ＝A 1C 1AC，故C 正确；选项D 中满足这个条件的可能是一个三棱柱，不是三棱台．故选C.4．一个棱锥的各棱长都相等，那么这个棱锥一定不是( ) A ．三棱锥 B ．四棱锥 C ．五棱锥D ．六棱锥解析：选D.由题意可知，每个侧面均为等边三角形，每个侧面的顶角均为60°，如果是六棱锥，因为6×60°＝360°，所以顶点会在底面上，因此不是六棱锥．5．下列图形中，不能折成三棱柱的是( )解析：选C.C 中，两个底面均在上面，因此不能折成三棱柱，其余均能折成三棱柱． 6．四棱柱有________条侧棱，________个顶点．解析：四棱柱有4条侧棱，8个顶点(可以结合正方体观察求得)． 答案：4 87．一个棱台至少有________个面，面数最少的棱台有________个顶点，有________条棱． 解析：面数最少的棱台是三棱台，共有5个面，6个顶点，9条棱． 答案：5 6 98．在下面的四个平面图形中，是侧棱都相等的四面体的展开图的为__________．(填序号)解析：由于③④中的图组不成四面体，只有①②可以．答案：①②9．根据下列关于空间几何体的描述，说出几何体的名称：(1)由6个平行四边形围成的几何体；(2)由7个面围成的几何体，其中一个面是六边形，其余6个面都是有一个公共顶点的三角形；(3)由5个面围成的几何体，其中上、下两个面是相似三角形，其余3个面都是梯形，并且这些梯形的腰延长后能相交于一点．解：(1)这是一个上、下底面是平行四边形，4个侧面也是平行四边形的四棱柱．(2)这是一个六棱锥．(3)这是一个三棱台．10．画出如图所示的几何体的表面展开图．解：表面展开图如图所示：(答案不唯一)[B能力提升]11．五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱共有对角线()A．20条B．15条C．12条D．10条解析：选D.如图，在五棱柱ABCDE A1B1C1D1E1中，从顶点A出发的对角线有两条：AC1，AD1，同理从B，C，D，E点出发的对角线均有两条，共有2×5＝10(条)．12．一个三棱锥，如果它的底面是直角三角形，那么它的三个侧面()A．至多有一个是直角三角形B．至多有两个是直角三角形C．可能都是直角三角形D．必然都是非直角三角形解析：选C.注意到答案特征是研究侧面最多有几个直角三角形，这是一道开放性试题，需要研究在什么情况下侧面的直角三角形最多．在如图所示的长方体中，三棱锥A­A1C1D1的三个侧面都是直角三角形．13．长方体ABCD-A1B1C1D1的长、宽、高分别为3，2，1，从A到C1沿长方体的表面的最短距离为________．解析：结合长方体的三种展开图不难求得AC1的长分别是：32，25，26，显然最小值是3 2.答案：3 214．如图，已知长方体ABCD-A1B1C1D1.(1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？(2)用平面BCEF把这个长方体分成两部分，各部分几何体的形状是什么？解：(1)是棱柱．是四棱柱．因为长方体中相对的两个面是平行的，其余的每个面都是矩形(四边形)，且每相邻的两个矩形的公共边都平行，符合棱柱的结构特征，所以是棱柱．(2)各部分几何体都是棱柱，分别为棱柱BB1F­CC1E和棱柱ABF A1­DCED1.[C拓展探究]15．如图，在一个长方体的容器中装有少量水，现在将容器绕着其底部的一条棱倾斜，在倾斜的过程中：(1)水面的形状不断变化，可能是矩形，也可能变成不是矩形的平行四边形，对吗？(2)水的形状也不断变化，可以是棱柱，也可能变为棱台或棱锥，对吗？(3)如果倾斜时，不是绕着底部的一条棱，而是绕着其底部的一个顶点，试着讨论水面和水的形状．解：(1)不对，水面的形状就是用一个与棱(倾斜时固定不动的棱)平行的平面截长方体时截面的形状，因而是矩形，不可能是其他非矩形的平行四边形．(2)不对，水的形状就是用与棱(将长方体倾斜时固定不动的棱)平行的平面将长方体截去一部分后，剩余部分的几何体是棱柱，水比较少时，是三棱柱，水多时，可能是四棱柱；但不可能是棱台或棱锥．(3)用任意一个平面去截长方体，其截面形状可以是三角形，四边形，五边形，六边形，因而水面的形状可以是三角形，四边形，五边形，六边形；水的形状可以是棱锥，棱柱，但不可能是棱台．第2课时圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体的结构特征考点学习目标核心素养圆柱、圆锥、圆台、球的概念理解圆柱、圆锥、圆台、球的定义，知道这四种几何体的结构特征，能够识别和区分这些几何体直观想象简单组合体的结构特征了解简单组合体的概念和基本形式直观想象旋转体中的计算问题会根据旋转体的几何体特征进行相关运算直观想象、数学运算问题导学预习教材P101－P104的内容，思考以下问题：1．常见的旋转体有哪些？是怎样形成的？2．这些旋转体有哪些结构特征？它们之间有什么关系？3．这些旋转体的侧面展开图和轴截面分别是什么图形？1．圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征(1)圆柱的结构特征定义以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体图示及相关概念轴：旋转轴叫做圆柱的轴底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面母线：无论旋转到什么位置，平行于轴的边柱体：圆柱和棱柱统称为柱体■名师点拨(1)圆柱有无数条母线，它们平行且相等．(2)平行于底面的截面是与底面大小相同的圆，如图1所示．(3)过轴的截面(轴截面)都是全等的矩形，如图2所示．(4)过任意两条母线的截面是矩形，如图3所示．(2)圆锥的结构特征定义以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体图示及相关概念轴：旋转轴叫做圆锥的轴底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边锥体：圆锥和棱锥统称为锥体(1)圆锥有无数条母线，它们有公共点即圆锥的顶点，且长度相等．(2)平行于底面的截面都是圆，如图1所示．(3)过轴的截面是全等的等腰三角形，如图2所示．(4)过任意两条母线的截面是等腰三角形，如图3所示．(3)圆台的结构特征定义用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分图示及相关概念轴：圆锥的轴底面：圆锥的底面和截面侧面：圆锥的侧面在底面和截面之间的部分母线：圆锥的母线在底面与截面之间的部分台体：圆台和棱台统称为台体■名师点拨(1)圆台有无数条母线，且长度相等，延长后相交于一点．(2)平行于底面的截面是圆，如图1所示．(3)过轴的截面是全等的等腰梯形，如图2所示．(4)过任意两条母线的截面是等腰梯形，如图3所示．(4)球的结构特征定义以半圆的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球图示及相关概念球心：半圆的圆心半径：半圆的半径直径：半圆的直径■名师点拨(1)球心和截面圆心的连线垂直于截面．(2)球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆的半径r有如下关系：r＝R2－d2.2．简单组合体(1)概念由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体．(2)两种构成形式①由简单几何体拼接而成；②由简单几何体截去或挖去一部分而成．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)直角三角形绕一边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥．()(2)夹在圆柱的两个平行截面间的几何体是一圆柱．()(3)半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球．()(4)圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)√下列几何体中不是旋转体的是()解析：选D.由旋转体的概念可知，选项D不是旋转体．过圆锥的轴作截面，则截面形状一定是()A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形答案：B可以旋转得到如图的图形的是()解析：选A.题图所示几何体上面是圆锥，下面是圆台，故平面图形应是由一个直角三角形和一个直角梯形构成．指出图中的几何体是由哪些简单几何体构成的．解：①是由一个圆锥和一个圆柱组合而成的；②是由一个圆柱和两个圆台组合而成的；③是由一个三棱柱和一个四棱柱组合而成的．圆柱、圆锥、圆台、球的概念(1)给出下列说法：①圆柱的底面是圆面；②经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；③圆台的任意两条母线的延长线可能相交，也可能不相交；④夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体．其中说法正确的是________．(2)给出以下说法：①球的半径是球面上任意一点与球心所连线段的长；②球的直径是球面上任意两点间所连线段的长；③用一个平面截一个球，得到的截面可以是一个正方形；④过圆柱轴的平面截圆柱所得截面形状是矩形．其中正确说法的序号是________．【解析】(1)①正确，圆柱的底面是圆面；②正确，如图所示，经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；③不正确，圆台的母线延长相交于一点；④不正确，圆柱夹在两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体．(2)根据球的定义知，①正确；②不正确，因为球的直径必过球心；③不正确，因为球的任何截面都是圆面；④正确．【答案】(1)①②(2)①④(1)判断简单旋转体结构特征的方法①明确由哪个平面图形旋转而成；②明确旋转轴是哪条直线．(2)简单旋转体的轴截面及其应用①简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量；②在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想．判断下列各命题是否正确．(1)一直角梯形绕下底所在直线旋转一周，所形成的曲面围成的几何体是圆台；(2)圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形；(3)到定点的距离等于定长的点的集合是球．解：(1)错误．直角梯形绕下底所在直线旋转一周所形成的几何体是由一个圆柱与一个圆锥组成的简单组合体，如图所示．(2)正确．(3)错误．应为球面．简单组合体的结构特征如图所示的几何体是由下面哪一个平面图形旋转而形成的()【解析】该几何体自上而下由圆锥、圆台、圆台、圆柱组合而成，故应选A.【答案】 A[变条件、变问法]若将本例选项B中的平面图形旋转一周，试说出它形成的几何体的结构特征．解：①是直角三角形，旋转后形成圆锥；②是直角梯形，旋转后形成圆台；③是矩形，旋转后形成圆柱，所以旋转后形成的几何体如图所示．通过观察可知，该几何体是由一个圆锥、一个圆台和一个圆柱自上而下拼接而成的．不规则平面图形旋转形成几何体的结构特征的分析策略(1)分割：首先要对原平面图形适当分割，一般分割成矩形、梯形、三角形或圆(半圆或四分之一圆)等基本图形．(2)定形：然后结合圆柱、圆锥、圆台、球的形成过程进行分析．已知AB是直角梯形ABCD中与底边垂直的腰，如图所示．分别以AB，BC，CD，DA所在的直线为轴旋转，试说明所得几何体的结构特征．解：(1)以AB 边所在的直线为轴旋转所得旋转体是圆台，如图①所示．(2)以BC 边所在的直线为轴旋转所得旋转体是一个组合体：下部为圆柱，上部为圆锥，如图②所示．(3)以CD 边所在的直线为轴旋转所得旋转体为一个组合体：上部为圆锥，下部为圆台，再挖去一个小圆锥，如图③所示．(4)以AD 边所在的直线为轴旋转所得旋转体是一个组合体：一个圆柱上部挖去一个圆锥，如图④所示．旋转体中的计算问题如图所示，用一个平行于圆锥SO 底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3 cm ，求圆台O ′O 的母线长．【解】 设圆台的母线长为l cm ，由截得的圆台上、下底面面积之比为1∶16，可设截得的圆台的上、下底面的半径分别为r cm ，4r cm.过轴SO 作截面，如图所示，则△SO ′A ′∽△SOA ，SA ′＝3 cm. 所以SA ′SA ＝O ′A ′OA ，所以33＋l ＝r 4r ＝14.解得l ＝9，即圆台O ′O 的母线长为9 cm.解决旋转体中计算问题的方法用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质(与底面全等或相似)，同时结合旋转体中的轴截面(经过旋转轴的截面)的几何性质，利用相似三角形中的相似比，列出相关几何变量的方程(组)而解得．。