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随机变量的特征函数

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第四章 大数定律与中心极限定理 4.1特征函数 内容提要 1. 特征函数的定义 设X是一个随机变量,称)()(itXeEt为X的特征函数,其表达式如下 (),()().(), 在离散场合， 在连续场合，itxiiitXitxxePXxtEetepxdx



 由于1sincos22txtxeitx,所以随机变量X的特征函数)(t总是存在的. 2. 特征函数的性质 (1) 1)0()(t; (2) ),()(tt其中)(t表示)(t的共 轭; (3) 若Y=aX+b,其中a,b是常数.则);()(atetXibtY (4) 若X与Y是相互独立的随机变量,则);()()(tttYXYX (5) 若()lEX存在,则)(tX可l次求导,且对lk1,有);()0()(kkkXEi (6) 一致连续性 特征函数)(t在),(上一致连续 (7) 非负定性 特征函数)(t是非负定的,即对任意正整数n,及n个实数

nttt,,,21和n个复数nzzz,,21,有 ;0)(11jkjnknjkzztt (8) 逆转公式 设F(x)和)(t分别为X的分布函数和特征函数,则对F(x)的任意两个点21xx,有

2)0()(2)0()(1122xFxFxFxF;)(21lim21dttit

eeTTitxitxT

特别对F(x)的任意两个连续点21xx,有 ;)(21lim)()(2112dttiteexFxFTTitxitxT (9) 唯一性定理 随机变量的分布函数有其特征函数唯一决定； (10) 若连续随机变量X的密度函数为p(x),特征函数为).(t如果 dtt)(,

则 dttexpitx)(21)( 3. 常用的分布函数特征表 分布 特征函数 退化分布P(X=a)=1 itaet)(

二项分布 pqpeqtnit1,)()(

几何分布 pqtititqepe1,)(

1

正态分布 222exp)(ttit

标准正态分布 22

)(tet

均匀分布U(a,b) itabeeitaitbt)(

均匀分布U(-a,b) atattsin)(

指数分布 1)1()(itt

伽玛分布Ga(,) ()(1)itt

2分布

2)21()(nitt

泊松分布 )1(exp)(itet

习题与解答4.1 1. 设离散随机变量X的分布列如下,试求X的特征函数. X 0 1 2 3 P 0.4 0.3 0.2 0.1

解 titiitxeeet321.02.03.04.0)( 2. 设离散变量X服从几何分布 .,2,1,)1()(1kppkXPk 试求X的特征函数,并以此求E(X)和Var(x). 解 记q=1-p, 则

ititKititkkitkitxqepeqepepqeeEt1)()()(111, 2

'

1)(ititqeipet,

42'')1()1(2)1()(ititititititqeqeqepeqepet

,

pqpiXE1)1()0(1)(2',

242''21)1()1(2)1()0(1)(pqqqpqqpiXE,

22222)1(1)]([)()(pqppqXEXEXVar

3．设离散随机变量X服从巴斯卡分布 ,)1(11)(rkrpprkkXP ,1,,krr试求X的特征函数. 解 设rXXX,,,21是相互独立同分布的随机变量,且都服从参数为p的几

何分布Ge(p),则由上一题知jX的特征函数为

,1)(Xititqepetj 其中q=1-p. 又因为rXXXX21,所以X的特征函数为 rjrititxXqepettj1)1()()(.

4．求下列分布函数的特征函数,并由特征函数求其数学期望和方差. (1)dteaxFxta2)(1 (a>0); (2) dtataxFx2221)( (a>0).

解 (1)因为此分布的密度函数为 ,2)(1xaeaxp .x 所以此分布的特征函数为 010()22itxaxitxaxaateedxeedx 00(cossin)(cossin)22axaxaatxitxedxtxitxedx

 =.cos2220taadxtxeaax 又因为,)(2)(2222'1tatat ,0)0('1 ,)()3(2)(322222''1taatat ,2)0(2''1a 所以 0,(0)1)('1iXE Var(X)= .a2(0)1)(2''122iXE (2) 因为此分布的密度函数为 ,1)(222axaxp .x 所以此分布的特征函数为 ,cos2)(022222dxaxtxadxaxeaxitx 又因为当t>0时,有(见菲赫金哥尔茨《微积分学教程》第二卷第三分册或查积分表).2cos022ateadxaxtx

所以当t>0时,有 .22)(2atateeaat 而当t<0时,有 ,)()(22taett所以 .22)(2taateeaat

又因为)(2t在t=0处不可导,故此分布(柯西积分)的数学期望不存在. 注：dxaxeaxitx222)(也可利用复变函数中的留数理论来计算,方法如下：t>0时, 

aizazeiadxaxeaxitzitx,Res2)(22222

tataitzaizeaieaiaizeia22lim2

5. 设),,(~2NX试用特征函数的方法求X的3阶及4阶中心矩.

解 因为正态分布),(2N的特征函数为,)(2/22ttiet所以

,)0('i ,)0()('iXE ,)0(22'' ,)0()(222''2iXE ,3)0(23'''ii ,3)0()(333'''3iXE ,36)0(4224'''' .36)0()(42244''''4iXE 由此得X的3阶及4阶中心矩为 ,0)(3)(3)())((2233XEXEXEXEXE .3)(4)(6)(4)())((44343344XEXEXEXEXEXE 6. 试用特征函数的方法证明二项分布的可加性：若X ~ b (n , p),Y ~ b(m , p),且 X与Y独立,则X+Y ~ b(n + m, p). 证 记q=1-p, 因为 nitXqpet)()(, mitYqpet)()(, 所以由 X与Y的独立性得 ()()()()itnmXYXYtttpeq,

这正是二项分布b(n + m, p)的特征函数,由唯一性定理知X+Y~b(n+m,P). 7. 试用特征函数的方法证明泊松分布的可加性：若X~P(1),Y~ P(2),且X与Y独立,则X+Y~P(1+2). 证：因为 ,)(,)()1()1(21ititeYeXetet 所以由X与Y独立性得 ,)()()()1)2(iteetttYXYX



这正是泊松分布 P(1+2).的特征函数,由唯一性定理知X+Y~ P(1+2). . 8. 试用特征函数的方法证明伽玛分布的可加性：若),,(~1aGaX ),(~2aGaY,且X与Y独立,则),(~21aaGaYX.

证 因为 1)1()(aXitt,2)1()(aYitt,所以由X与Y的独立性得 )(21)1()()()(aaYXYXitttt

,

这正是伽玛分布),(21aaGa的特征函数,由唯一性定理知 ),(~21aaGaYX.

9.试用特征函数的方法证明2分布的可加性：若)(~2nX,)(~2mY,且X与Y独立,则).(~2mnYX

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高阶谱 第1章 高阶统计量的定义与性质

高阶谱 第1章 高阶统计量的定义与性质

第1章 高阶统计量的定义与性质1.1 准备知识1. 随机变量的特征函数若随机变量x 的分布函数为)(x F ，则称⎰⎰∞∞-∞∞-===Φdx x f e x dF e e E x j x j x j )()(][)(ωωωω为x 的特征函数。

其中)(x f 为概率密度函数。

离散情况：}{,][)(k k k kx j x j x x p p p e e E k ====Φ∑ωωω特征函数)(ωΦ是概率密度)(x f 的付里叶变换。

例：设x ~),(2σa N ，则特征函数为dx e e x j a x ⎰∞∞---=Φωσσπω222/)(21)(令σ2/)(a x z -=，则dz e aj z j z⎰∞∞-++-=Φωσωπω221)(根据公式：AB AC CxBx AxeAdx e 222--∞∞--±-=⎰π，则 2221)(σωωω-=Φa j e若0=a ，则2221)(σωω-=Φe。

2. 多维随机变量的特征函数设随机变量n x x x ,,,21 联合概率分布函数为),,,(21n x x x F ，则联合特征函数为),,,(][),,,(21)()(2122112211n x x x j x x x j n x x x dF e eE n n n n ⎰⎰∞∞-+++∞∞-+++==Φωωωωωωωωω令T n x x x ],,,[21 =x ,T n ],,,[21ωωω =ω，则⎰=ΦdX f e Tj )()(x ωx ω 矩阵形式或 n n x jn dx dx x x f eknk k ,,),,(),,,(11211⎰⎰∞∞-∞∞-∑=Φ=ωωωω 标量形式其中，),,,()(21n x x x f f =x 为联合概率密度函数。

例：设n 维高斯随机变量为T n x x x ],,,[21 =x ,T n a a a ],,,[21 =a⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n n c c c c c c2111211c )])([(],cov[k k i i k i ik a x a x E x x c --== x 的概率密度为⎭⎬⎫⎩⎨⎧---=)()(21exp )2(1)(2/12/a x c a x cx T n P π x 的特征函数为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=Φc ωωωa ωT T j 21ex p )( 矩阵形式其中，T n ],,,[21ωωω =ω,⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=Φ∑∑∑===n i nj j i ij ni i i n C a j 1112121exp ),,,(ωωωωωω 标量形式 3. 随机变量的第二特征函数定义：特征函数的对数为第二特征函数为 )(ln )(ωωΦ=ψ (1) 单变量高斯随机过程的第二特征函数 22221ln )(22σωωωσωω-==ψ-a j e a j(2) 多变量情形j n i i nji ij i ni i n C a j ωωωωωω∑∑∑===-=ψ1112121),,,(1.2 高阶矩与高阶累积量定义1. 单个随机变量情形 (1) 高阶矩定义随机变量x 的k 阶矩定义为⎰∞∞-==dx x p x x E m k k k )(][ (1.1)显然10=m ，][1x E m ==η。

特征函数篇

特征函数篇


性质3 (t ) 为某随机变量X的特征函数，则Y=c1X+c2 的特征函数为
Y (t ) e (c1t )
ic2t
性质4 X (t ),Y (t ) 为某随机变量X，Y 的特征函数， 若X，Y 独立，则
X Y (t ) X (t ) Y (t )
l ( t ) 为随机变量X 的特征函数， EX 存在 性质5 X
特征函数
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定义
设X为 , F , P
概率空间中的实随机变量， (t ) Ee e dF ( x) 其特征函数为
itX itX X X

注记: Euler公式为 e
ix
cos x i sin x
注记: 特征函数是关于实变量t的复值函数, 由于 itx
| e || cos(tx) i sin(tx) | 1,
所以特征函数对一切实数t 均有意义. 注记: 特征函数只与分布有关,因此亦称为某 分布的特征函数。
离散型:若随机变量的分布律为
P( X xi ) pi , i 1,2,
则其特征函数为 X (t ) Ee
则
EX
k

(0)
(k ) X k
i
, k 1, 2,
,l
逆转公式与唯一性定理
1
定理1（逆转公式）设分布函数Ｆ(x)的特征函数为 (t 且 x , x2 为 Ｆ(x)的连续点，则
1 F ( x2 ) F ( x1 ) lim T 2 eitx1 eitx2 T it d (t )dt
· 二项分布B(n,p)
X (t ) pe q
it
X (t ) ( pe q)
常见分布的特征函数

常见分布的特征函数

常见分布的特征函数特征函数概述特征函数是概率论和数理统计中的常用概念，它是一个复数函数，描述了随机变量的特征信息。

对于一个随机变量X，它的特征函数f(t)定义为：f(t) = E[e^(itX)]，其中i为虚数单位，E为期望运算符。

特征函数不仅对概率密度函数具有很好的描述和表达作用，还可以描述随机变量的各种性质，比如分布、矩和相关系数等。

下面将具体介绍几种常见的分布的特征函数。

1.正态分布正态分布是自然界中多种现象的分布模式，其概率密度函数在数学上也能很好地描述为高斯函数。

其特征函数如下：f(t) = e^(-t^2/2)该特征函数具有良好的解析性质和奇偶性质，能很好地反映正态分布的对称性和峰态。

2.泊松分布泊松分布是描述单位时间内某个随机事件发生次数的概率分布，例如单位时间内打进一个电话亭电话而来的电话数量、在网球场内接到的球的数量等。

其特征函数如下：f(t) = e^(λ(e^(it)-1))其中λ为单位时间内事件发生的平均次数。

3.指数分布指数分布是描述随机事件发生的时间间隔的概率分布，例如寿命、等待时间、顾客到达时间等。

其特征函数如下：f(t) = 1 / (1-it/λ)，其中λ为事件发生的平均速率。

4.卡方分布卡方分布是应用最广泛的概率分布之一，常用于分析样本差异性和偏离程度，例如方差分析、偏度分析、正态性检验等。

其特征函数如下：f(t) = (1-2it)^(-k/2)其中k为自由度。

5. beta分布beta分布是应用广泛的概率分布之一，常用于贝叶斯统计、假设检验、数据挖掘等领域。

其特征函数如下：f(t) = B(a+it,b-it) / B(a,b)其中B(a,b)表示beta函数，a,b为形状参数。

上述几种分布是常见的概率分布，它们的特征函数形式各不相同，但都能很好地反映分布的各种性质和特点，为进一步分析和研究提供了便利。

二维离散随机变量的特征函数

二维离散随机变量的特征函数

二维离散随机变量的特征函数
二维离散随机变量是指由两个离散随机变量组成的概率分布，它由两个离散的随机变量的
值的组合确定。

二维离散随机变量的特征函数是指根据离散随机变量的取值来求X的期望值，它将概率分
布表示为X的一系列和的形式。

特征函数的一般表达式为：
μ(x)=∑x_iδp(x_i)
其中，δP(x_i)就是任意一组取值为X_i的概率。

特征函数用于求解随机变量的数学期望，以及统计学问题中概率分布的期望值，cookie模型及其变体等。

二维离散随机变量的特征函数广泛用于数字信号处理，数学统计。

首先，特征函数可以用来估计随机变量的均值和方差。

由于特征函数是期望值，因此可以
直接得出属性的均值和方差，而不用计算概率分布的每个取值的概率，因此特征函数的计
算量小而简单。

此外，特征函数也可以用来分析和识别数据。

例如，在数字信号处理中，可以通过特征函
数的计算来确定信号的重要特征，从而进行信号识别。

最后，特征函数也可以用来分析复杂模型，如 cookie模型和其变化。

通过特征函数计算，可以考察某个行为是否受特定因素影响等。

总之，二维离散随机变量的特征函数对许多应用领域都有很大的作用，已经发挥了重要的
作用，未来的发展潜力更加大。