2013年湖南省长沙市雅礼雨花中学小升初数学模拟试卷(12月份)

湖南省长沙市雨花区雅礼实验中学九年级（上）第一次月考数学试卷一、选择题（在下列各题的选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项，本小题共12个小题，每小题3分，共36分）1．（3分）﹣2017的绝对值是（）A．﹣2017 B．﹣C．2017 D．2．（3分）若二次根式在实数范围内有意义，则a的取值范围是（）A．a＞3 B．a≥3 C．a＜3 D．a≤33．（3分）下列计算正确的是（）A．a3•a3=a9 B．（a+b）2=a2+b2C．a2÷a2=0 D．（a2）3=a64．（3分）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．5．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．6．（3分）下列说法正确的是（）A．“打开电视机，正在播放体育节目”是必然事件B．了解夏季冷饮市场上冰淇淋的质量情况适合用普查C．抛掷一枚普通硬币，“这枚硬币正面朝上”，这一事件发生的概率为D．甲、乙两人在相同条件下各射击10次，他们的成绩的平均数相同，方差分2=0.3，S乙2=0.5，则乙的射击成绩较稳定别是S甲7．（3分）如图，直线AB，CD被直线EF所截，∠1=55°，下列条件中能判定AB ∥CD的是（）A．∠2=35° B．∠2=45°C．∠2=55°D．∠2=125°8．（3分）在平面直角坐标系中，将点P（x，y）向左平移2个单位长度到点P，则点P的坐标为（）A．（x+2，y）B．（x﹣2，y）C．（x，y+2）D．（x，y﹣2）9．（3分）甲、乙两超市为了促销一种定价相同的商品，甲超市连续两次降价10%，乙超市一次性降价20%，在哪家超市购买此种商品更合算（）A．甲B．乙C．同样D．与商品的价格有关10．（3分）对于二次函数y=﹣（x﹣1）2+2的图象与性质，下列说法正确的是（）A．对称轴是直线x=1，最小值是2B．对称轴是直线x=1，最大值是2C．对称轴是直线x=﹣1，最小值是2D．对称轴是直线x=﹣1，最大值是211．（3分）如图，身高为1.5米的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA由B向A走去当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC=3米，CA=1米，则树的高度为（）A．3米 B．4米 C．4.5米D．6米12．（3分）如图，在边长为1的正方形ABCD中，动点F，E分别以相同的速度从D，C两点同时出发向C和B运动（任何一个点到达即停止），过点P作PM∥CD交BC于M点，PN∥BC交CD于N点，连接MN，在运动过程中，则下列结论：①△ABE≌△BCF；②AE=BF；③AE⊥BF；④CF2=PE•BF；⑤线段MN的最小值为．其中正确的结论有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）13．（3分）世界文化遗产长城总长约6700 000m，用科学记数法表示这个数为．14．（3分）因式分解：2x2﹣8=．15．（3分）如果关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是．16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知A（1，0），D（3，0），△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心．若AB=1.5，则DE=．17．（3分）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB=8cm，DC=2cm，则OC=cm．18．（3分）如图，已知反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象经过点A，过A点作AB⊥x轴，垂足为B．若△AOB的面积为1，则k=．三、解答题（本大题共8小题，共66分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）．19．（6分）计算：|﹣3|+（+π）0﹣（﹣）﹣2．20．（6分）先化简，再求值：（﹣）÷，请在2，﹣2，0，3当中选一个合适的数代入求值．21．（8分）为调查广西北部湾四市市民上班时最常用的交通工具的情况，随机抽取了四市部分市民进行调查，要求被调查者从“A：自行车，B：电动车，C：公交车，D：家庭汽车，E：其他”五个选项中选择最常用的一项，将所有调查结果整理后绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图，请结合统计图回答下列问题：（1）在这次调查中，一共调查了名市民，扇形统计图中，C组对应的扇形圆心角是°；（2）请补全条形统计图；（3）若甲、乙两人上班时从A、B、C、D四种交通工具中随机选择一种，则甲、乙两人恰好选择同一种交通工具上班的概率是多少？请用画树状图或列表法求解．22．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E分别为AB、AC边上的中点，连接DE，将△ADE绕点E旋转180°得到△CFE，连接AF、CD．（1）求证：四边形ADCF是菱形；（2）若BC=8，AC=6，求四边形ABCF的周长．23．（9分）松雷中学图书馆近日购进甲、乙两种图书，每本甲图书的进价比每本乙图书的进价高20元，花780元购进甲图书的数量与花540元购进乙图书的数量相同．（1）求甲、乙两种图书每本的进价分别是多少元？（2）松雷中学计划购进甲、乙两种图书共70本，总购书费用不超过4000元，则最多购进甲种图书多少本？24．（9分）如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，交CA 的延长线于点E，连接AD、DE．（1）求证：D是BC的中点；（2）若DE=3，BD﹣AD=2，求⊙O的半径；（3）在（2）的条件下，求弦AE的长．25．（10分）对平面直角坐标系中的点P（x，y），定义d=|x|+|y|，我们称d为P（x，y）的幸福指数．对于函数图象上任意一点P（x，y），若它的幸福指数d ≥1恒成立，则称此函数为幸福函数，如二次函数y=x2+1就是一个幸福函数，理由如下：设P（x，y）为y=x2+1上任意一点，d=|x|+|y|=|x|+|x2+1|，∵|x|≥0，|x2+1|=x2+1≥1，∴d≥1．∴y=x2+1是一个幸福函数．（1）若点P在反比例函数y=的图象上，且它的幸福指数d=2，请直接写出所有满足条件的P点坐标；（2）一次函数y=﹣x+1是幸福函数吗？请判断并说明理由；（3）若二次函数y=x2﹣（2m+1）x+m2+m（m＞0）是幸福函数，试求出m的取值范围．26．（10分）如图①，直线y=x+4交于x轴于点A，交y轴于点C，过A、C两点的抛物线F1交x轴于另一点B（1，0）．（1）求抛物线F1所表示的二次函数的表达式．（2）若点M是抛物线F1位于第二象限图象上一点，求△AMC的面积最大时点M的坐标及S△AMC的最大值．（3）如图②，将抛物线F1沿y轴翻折并“复制”得到抛物线F2，点A、B与（2）中所求的点M的对应点分别为A′、B′、M′，过点M′作M′E⊥x轴于点E，交直线A′C于点D，在x轴上是否存在点P，使得以A′、D、P为顶点的三角形与△AB′C 相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．湖南省长沙市雨花区雅礼实验中学九年级（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（在下列各题的选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项，本小题共12个小题，每小题3分，共36分）1．（3分）﹣2017的绝对值是（）A．﹣2017 B．﹣C．2017 D．【分析】根据绝对值的定义即可解题．【解答】解：∵|﹣2017|=2017，∴答案C正确，故选：C．【点评】本题考查了绝对值的定义，绝对值是指一个数在数轴上所对应点到原点的距离．2．（3分）若二次根式在实数范围内有意义，则a的取值范围是（）A．a＞3 B．a≥3 C．a＜3 D．a≤3【分析】根据二次根式与分式有意义的条件即可求出a的范围．【解答】解：由题意可知：a﹣3＞0∴a＞3故选：A．【点评】本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是正确理解二次根式有意义的条件，本题属于基础题型．3．（3分）下列计算正确的是（）A．a3•a3=a9 B．（a+b）2=a2+b2C．a2÷a2=0 D．（a2）3=a6【分析】各项计算得到结果，即可作出判断．【解答】解：A、原式=a6，不符合题意；B、原式=a2+2ab+b2，不符合题意；C、原式=1，不符合题意；D、原式=a6，符合题意，故选：D．【点评】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．4．（3分）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；故选：B．【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．5．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答】解：解不等式3x+4≤13，得：x≤3，解不等式﹣x＜1，得：x＞﹣1，则不等式组的解集为﹣1＜x≤3，故选：D．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．6．（3分）下列说法正确的是（）A．“打开电视机，正在播放体育节目”是必然事件B．了解夏季冷饮市场上冰淇淋的质量情况适合用普查C．抛掷一枚普通硬币，“这枚硬币正面朝上”，这一事件发生的概率为D．甲、乙两人在相同条件下各射击10次，他们的成绩的平均数相同，方差分2=0.3，S乙2=0.5，则乙的射击成绩较稳定别是S甲【分析】分别利用概率的意义以及抽样调查的意义以及方差的意义分析得出答案．【解答】解：A、“打开电视机，正在播放体育节目”是随机事件，故此选项错误；B、了解夏季冷饮市场上冰淇淋的质量情况应该采用抽样调查的方式，故此选项错误；C、抛掷一枚普通硬币，“这枚硬币正面朝上”，这一事件发生的概率为；正确；D、甲、乙两人在相同条件下各射击10次，他们的成绩的平均数相同，方差分2=0.3，S乙2=0.5，则甲的射击成绩较稳定，错误．别是S甲故选：C．【点评】此题主要考查了概率的意义以及抽样调查的意义以及方差的意义，正确把握相关定义是解题关键．7．（3分）如图，直线AB，CD被直线EF所截，∠1=55°，下列条件中能判定AB ∥CD的是（）A．∠2=35° B．∠2=45°C．∠2=55°D．∠2=125°【分析】根据平行线的判定定理对各选项进行逐一判断即可．【解答】解：A、由∠3=∠2=35°，∠1=55°推知∠1≠∠3，故不能判定AB∥CD，故本选项错误；B、由∠3=∠2=45°，∠1=55°推知∠1≠∠3，故不能判定AB∥CD，故本选项错误；C、由∠3=∠2=55°，∠1=55°推知∠1=∠3，故能判定AB∥CD，故本选项正确；D、由∠3=∠2=125°，∠1=55°推知∠1≠∠3，故不能判定AB∥CD，故本选项错误；故选：C．【点评】本题考查了平行线的判定定理，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．8．（3分）在平面直角坐标系中，将点P（x，y）向左平移2个单位长度到点P，则点P的坐标为（）A．（x+2，y）B．（x﹣2，y）C．（x，y+2）D．（x，y﹣2）【分析】利用平移规律计算即可得到结果．【解答】解：在平面直角坐标系中，将点P（x，y）向左平移2个单位长度到点P，则点P的坐标为（x﹣2，y），故选：B．【点评】此题考查了坐标与图形变化﹣平移，熟练掌握平移性质是解本题的关键．9．（3分）甲、乙两超市为了促销一种定价相同的商品，甲超市连续两次降价10%，乙超市一次性降价20%，在哪家超市购买此种商品更合算（）A．甲B．乙C．同样D．与商品的价格有关【分析】此题可设原价为x元，分别计算出两超市降价后的价钱，再比较即可．【解答】解：设原价为x元，则甲超市价格为x×（1﹣10%）×（1﹣10%）=0.81x 乙超市为x×（1﹣20%）=0.8x，0.81x＞0.8x，所以在乙超市购买合算．故选：B．【点评】本题看起来很繁琐，但只要理清思路，分别计算降价后的价格是原价的百分之多少便可判断．渗透了转化思想．10．（3分）对于二次函数y=﹣（x﹣1）2+2的图象与性质，下列说法正确的是（）A．对称轴是直线x=1，最小值是2B．对称轴是直线x=1，最大值是2C．对称轴是直线x=﹣1，最小值是2D．对称轴是直线x=﹣1，最大值是2【分析】根据抛物线的图象与性质即可判断．【解答】解：由抛物线的解析式：y=﹣（x﹣1）2+2，可知：对称轴x=1，开口方向向下，所以有最大值y=2，故选：B．【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是正确理解抛物线的图象与性质，本题属于基础题型．11．（3分）如图，身高为1.5米的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA由B向A走去当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC=3米，CA=1米，则树的高度为（）A．3米 B．4米 C．4.5米D．6米【分析】标注字母，判断出△ACD和△ABE相似，再利用相似三角形对应边成比例列式计算即可得解．【解答】解：如图，由题意得，△ACD∽△ABE，∴=，即=，解得BE=6，即树的高度为6米．故选：D．【点评】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应边成比例的性质．12．（3分）如图，在边长为1的正方形ABCD中，动点F，E分别以相同的速度从D，C两点同时出发向C和B运动（任何一个点到达即停止），过点P作PM∥CD交BC于M点，PN∥BC交CD于N点，连接MN，在运动过程中，则下列结论：①△ABE≌△BCF；②AE=BF；③AE⊥BF；④CF2=PE•BF；⑤线段MN的最小值为．其中正确的结论有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【分析】由正方形的性质及条件可判断出①△ABE≌△BCF，即可判断出②AE=BF，∠BAE=∠CBF，再根据∠BAE+∠BEA=90°，可得∠CBF+∠BEA=90°，可得出∠APB=90°，即可判断③，由△BPE∽△BCF，利用相似三角形的性质，结合CF=BE 可判断④；然后根据点P在运动中保持∠APB=90°，可得点P的路径是一段以AB 为直径的弧，设AB的中点为G，连接CG交弧于点P，此时CP的长度最小，最后在Rt△BCG中，根据勾股定理，求出CG的长度，再求出PG的长度，即可求出线段CP的最小值，可判断⑤．【解答】解：如图，∵动点F，E的速度相同，∴DF=CE，又∵CD=BC，∴CF=BE，在△ABE和△BCF中，∴△ABE≌△BCF（SAS），故①正确；∴∠BAE=∠CBF，AE=BF，故②正确；∵∠BAE+∠BEA=90°，∴∠CBF+∠BEA=90°，∴∠APB=90°，故③正确；在△BPE和△BCF中，∵∠BPE=∠BCF，∠PBE=∠CBF，∴△BPE∽△BCF，∴=，∴CF•BE=PE•BF，∵CF=BE，∴CF2=PE•BF，故④正确；∵点P在运动中保持∠APB=90°，∴点P的路径是一段以AB为直径的弧，设AB的中点为G，连接CG交弧于点P，此时CP的长度最小，在Rt△BCG中，CG===，∵PG=AB=，∴CP=CG﹣PG=﹣=，即线段CP的最小值为，故⑤正确；综上可知正确的有5个，故选：D．【点评】本题为四边形的综合应用，涉及全等三角形、相似三角形的判定和性质、勾股定理、正方形的性质等知识点．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件，证明△ABE≌△BCF是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）13．（3分）世界文化遗产长城总长约6700 000m，用科学记数法表示这个数为 6.7×106．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将6700 000m用科学记数法表示为：6.7×106．故答案为：6.7×106．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．14．（3分）因式分解：2x2﹣8=2（x+2）（x﹣2）．【分析】观察原式，找到公因式2，提出即可得出答案．【解答】解：2x2﹣8=2（x+2）（x﹣2）．【点评】本题考查提公因式法和公式法分解因式，是基础题．15．（3分）如果关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是m＜1．【分析】若一元二次方程有两不等根，则根的判别式△=b2﹣4ac＞0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．【解答】解：∵方程有两个不相等的实数根，a=1，b=﹣2，c=m∴△=b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×m＞0，解得m＜1．【点评】总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知A（1，0），D（3，0），△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心．若AB=1.5，则DE= 4.5．【分析】根据位似图形的性质得出AO，DO的长，进而得出==，求出DE 的长即可．【解答】解：∵△ABC与DEF是位似图形，它们的位似中心恰好为原点，已知A 点坐标为（1，0），D点坐标为（3，0），∴AO=1，DO=3，∴==，∵AB=1.5，∴DE=4.5．故答案为：4.5．【点评】此题主要考查了位似图形的性质以及坐标与图形的性质，根据已知点的坐标得出==是解题关键．17．（3分）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB=8cm，DC=2cm，则OC=5cm．【分析】连接OA，根据垂径定理求出AD，根据勾股定理R2=42+（R﹣2）2，计算求出R即可．【解答】解：连接OA，∵OC⊥AB，∴AD=AB=4cm，设⊙O的半径为R，由勾股定理得，OA2=AD2+OD2，∴R2=42+（R﹣2）2，解得R=5∴OC=5cm．故答案为5．【点评】本题考查的是垂径定理和勾股定理的应用，掌握垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．18．（3分）如图，已知反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象经过点A，过A点作AB⊥x轴，垂足为B．若△AOB的面积为1，则k=﹣2．【分析】根据反比例函数的性质可以得到△AOB的面积等于|k|的一半，由此可以得到它们的关系．【解答】解：依据比例系数k的几何意义可得两个三角形的面积都等于|k|=1，解得k=﹣2，故答案为：﹣2．【点评】本题考查反比例系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|．该知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注．三、解答题（本大题共8小题，共66分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）．19．（6分）计算：|﹣3|+（+π）0﹣（﹣）﹣2．【分析】本题涉及零指数幂、负整数指数幂、绝对值3个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【解答】解：|﹣3|+（+π）0﹣（﹣）﹣2=3+1﹣4=0．【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、绝对值等考点的运算．20．（6分）先化简，再求值：（﹣）÷，请在2，﹣2，0，3当中选一个合适的数代入求值．【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．【解答】解：原式=•=当m=3时，原式=3【点评】本题考查分式的运算法则，解题的关键熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．21．（8分）为调查广西北部湾四市市民上班时最常用的交通工具的情况，随机抽取了四市部分市民进行调查，要求被调查者从“A：自行车，B：电动车，C：公交车，D：家庭汽车，E：其他”五个选项中选择最常用的一项，将所有调查结果整理后绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图，请结合统计图回答下列问题：（1）在这次调查中，一共调查了2000名市民，扇形统计图中，C组对应的扇形圆心角是108°；（2）请补全条形统计图；（3）若甲、乙两人上班时从A、B、C、D四种交通工具中随机选择一种，则甲、乙两人恰好选择同一种交通工具上班的概率是多少？请用画树状图或列表法求解．【分析】（1）根据B组的人数以及百分比，即可得到被调查的人数，进而得出C 组的人数，再根据扇形圆心角的度数=部分占总体的百分比×360°进行计算即可；（2）根据C组的人数，补全条形统计图；（3）根据甲、乙两人上班时从A、B、C、D四种交通工具中随机选择一种画树状图或列表，即可运用概率公式得到甲、乙两人恰好选择同一种交通工具上班的概率．【解答】解：（1）被调查的人数为：800÷40%=2000（人），C组的人数为：2000﹣100﹣800﹣200﹣300=600（人），∴C组对应的扇形圆心角度数为：×360°=108°，故答案为：2000，108；（2）条形统计图如下：（3）画树状图得：∵共有16种等可能的结果，甲、乙两人选择同一种交通工具的有4种情况，∴甲、乙两人选择同一种交通工具上班的概率为：=．【点评】此题考查了条形统计图、扇形统计图和概率公式的运用，解题的关键是仔细观察统计图并从中整理出进一步解题的有关信息，条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．22．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E分别为AB、AC边上的中点，连接DE，将△ADE绕点E旋转180°得到△CFE，连接AF、CD．（1）求证：四边形ADCF是菱形；（2）若BC=8，AC=6，求四边形ABCF的周长．【分析】（1）根据旋转可得AE=CE，DE=EF，可判定四边形ADCF是平行四边形，然后证明DF⊥AC，可得四边形ADCF是菱形；（2）首先利用勾股定理可得AB长，再根据中点定义可得AD=5，根据菱形的性质可得AF=FC=AD=5，进而可得答案．【解答】（1）证明：∵将△ADE绕点E旋转180°得到△CFE，∴AE=CE，DE=EF，∴四边形ADCF是平行四边形，∵D、E分别为AB，AC边上的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，∵∠ACB=90°，∴∠AED=90°，∴DF⊥AC，∴四边形ADCF是菱形；（2）解：在Rt△ABC中，BC=8，AC=6，∴AB=10，∵D是AB边上的中点，∴AD=5，∵四边形ADCF是菱形，∴AF=FC=AD=5，∴四边形ABCF的周长为8+10+5+5=28．【点评】此题主要考查了菱形的判定与性质，关键是掌握菱形四边相等，对角线互相垂直的平行四边形是菱形．23．（9分）松雷中学图书馆近日购进甲、乙两种图书，每本甲图书的进价比每本乙图书的进价高20元，花780元购进甲图书的数量与花540元购进乙图书的数量相同．（1）求甲、乙两种图书每本的进价分别是多少元？（2）松雷中学计划购进甲、乙两种图书共70本，总购书费用不超过4000元，则最多购进甲种图书多少本？【分析】（1）设乙种图书每本的进价为x元，则甲种图书每本的进价是（x+20）元，根据花780元购进甲图书的数量与花540元购进乙图书的数量相同，列方程求解；（2）设购进甲种图书m本，则购进乙种图书为（70﹣m）本，根据总购书费用不超过4000元，列不等式求解．【解答】解：（1）设乙种图书每本的进价为x元，则甲种图书每本的进价是（x+20）元，由题意得，=，解得：x=45，经检验，x=45是原分式方程的解，且符合题意，则x+20=65．答：甲种图书每本的进价为65元，乙种图书每本的进价是45元；（2）设购进甲种图书m本，则购进乙种图书为（70﹣m）本，由题意得，65m+45（70﹣m）≤4000，解得：m≤42.5，∵m为整数，且取最大值，∴m=42．答：最多购进甲种图书42本．【点评】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解．24．（9分）如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，交CA 的延长线于点E，连接AD、DE．（1）求证：D是BC的中点；（2）若DE=3，BD﹣AD=2，求⊙O的半径；（3）在（2）的条件下，求弦AE的长．【分析】（1）根据圆周角定理求得AD⊥BC，根据等腰三角形三线合一的性质即可证得结论；（2）先求得∠E=∠C，根据等角对等边求得BD=DC=DE=3，进而求得AD=1，然后根据勾股定理求得AB，即可求得圆的半径；（3）根据题意得到AC=，BC=6，DC=3，然后根据割线定理即可求得EC，进而求得AE．【解答】（1）证明：∵AB是圆O的直径，∴AD⊥BC，∵AB=AC，∴BD=DC；（2）解：∵AB=AC，∠B=∠C，∵∠B=∠E，∴∠E=∠C，∴BD=DC=DE=3，∵BD﹣AD=2，∴AD=1，在RT△ABD中，AB==，∴⊙O的半径为；（3）解：∵AB=AC=，BD=DC=3，∴BC=6，∵∠B=∠E，∠C=∠C，∴△EDC∽△BAC，∵AC•EC=DC•BC，∴•EC=3×6，∴EC=，∴AE=EC﹣AC=﹣=．【点评】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，勾股定理的应用以及割线定理的应用，熟练掌握性质定理是解题的关键．25．（10分）对平面直角坐标系中的点P（x，y），定义d=|x|+|y|，我们称d为P（x，y）的幸福指数．对于函数图象上任意一点P（x，y），若它的幸福指数d ≥1恒成立，则称此函数为幸福函数，如二次函数y=x2+1就是一个幸福函数，理由如下：设P（x，y）为y=x2+1上任意一点，d=|x|+|y|=|x|+|x2+1|，∵|x|≥0，|x2+1|=x2+1≥1，∴d≥1．∴y=x2+1是一个幸福函数．（1）若点P在反比例函数y=的图象上，且它的幸福指数d=2，请直接写出所有满足条件的P点坐标；（2）一次函数y=﹣x+1是幸福函数吗？请判断并说明理由；（3）若二次函数y=x2﹣（2m+1）x+m2+m（m＞0）是幸福函数，试求出m的取值范围．【分析】（1）设点P的坐标为（m，），根据幸福指数的定义，即可得出关于m 的分式方程，解之经检验即可得出结论；（2）设P（x，y）为y=﹣x+1上的一点，分x＜0、0≤x≤1和x＞1三种情况找出d的取值范围，由此即可得出一次函数y=﹣x+1是幸福函数；（3）设P（x，y）为y=x2﹣（2m+1）x+m2+m上的一点，由y=x2﹣（2m+1）x+m2+m=（x﹣m）（x﹣m﹣1）且m＞0，可知分x≤0、0＜x＜m、m≤x≤m+1、x＞m+1四段寻找m的取值范围，利用配方法以及二次函数的性质结合幸福函数的定义即可求出m的取值范围，综上即可得出结论．【解答】解：（1）设点P的坐标为（m，），∴d=|m|+||=2，解得：m1=﹣1，m2=1，经检验，m1=﹣1、m2=1是原分式方程的解，∴满足条件的P点坐标为（﹣1，﹣1）或（1，1）．（2）一次函数y=﹣x+1是幸福函数，理由如下：设P（x，y）为y=﹣x+1上的一点，d=|x|+|y|=|x|+|﹣x+1|，当x＜0时，d=|x|+|﹣x+1|=﹣x﹣x+1=1﹣2x＞1；当0≤x≤1时，d=|x|+|﹣x+1|=x﹣x+1=1；当x＞1时，d=|x|+|﹣x+1|=x+x﹣1=2x﹣1＞1．∴对于y=﹣x+1上任意一点P（x，y），它的幸福指数d≥1恒成立，∴一次函数y=﹣x+1是幸福函数．（3）设P（x，y）为y=x2﹣（2m+1）x+m2+m上的一点，d=|x|+|y|=|x|+|x2﹣（2m+1）x+m2+m|，∵y=x2﹣（2m+1）x+m2+m=（x﹣m）（x﹣m﹣1），m＞0，∴分x≤0、0＜x＜m、m≤x≤m+1、x＞m+1考虑．①当x≤0时，d=|x|+|x2﹣（2m+1）x+m2+m|=﹣x+x2﹣（2m+1）x+m2+m=（x﹣m﹣1）2﹣m﹣1，当x=0时，d取最小值，最小值为m2+m，∴m2+m≥1，解得：m≥；②0＜x＜m时，d=|x|+|x2﹣（2m+1）x+m2+m|=x+x2﹣（2m+1）x+m2+m=（x﹣m）2+m﹣1≥1，∵（x﹣m）2≥0，∴m﹣1≥1，解得：m≥2；③当m≤x≤m+1时，d=|x|+|x2﹣（2m+1）x+m2+m|=x﹣x2+（2m+1）x﹣m2﹣m=﹣（x﹣m﹣1）2+m+1，当x=m时，d取最小值，最小值为m，∴m≥1；④当x＞m+1时，d=|x|+|x2﹣（2m+1）x+m2+m|=x+x2﹣（2m+1）x+m2+m=（x ﹣m）2+m﹣1＞m≥1，∴m≥1．综上所述：∴﹣（m+1）≥1，解得：若二次函数y=x2﹣（2m+1）x+m2+m（m＞0）是幸福函数，m的取值范围为m≥2．【点评】本题考查了二次函数的性质、完全平方公式、因式分解法解一元二次方程以及绝对值，解题的关键是：（1）根据幸福指数的定义，找出关于m的分式方程；（2）分x＜0、0≤x≤1和x＞1三种情况找出d的取值范围；（3）分x≤0、0＜x＜m、m≤x≤m+1、x＞m+1四段考虑．26．（10分）如图①，直线y=x+4交于x轴于点A，交y轴于点C，过A、C两点的抛物线F1交x轴于另一点B（1，0）．（1）求抛物线F1所表示的二次函数的表达式．（2）若点M是抛物线F1位于第二象限图象上一点，求△AMC的面积最大时点M的坐标及S△AMC的最大值．（3）如图②，将抛物线F1沿y轴翻折并“复制”得到抛物线F2，点A、B与（2）中所求的点M的对应点分别为A′、B′、M′，过点M′作M′E⊥x轴于点E，交直线A′C于点D，在x轴上是否存在点P，使得以A′、D、P为顶点的三角形与△AB′C 相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据自变量与函数值得对应关系，可得A．C点坐标，根据待定系数法，可得答案；（2）根据面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；（3）根据待定系数法，可得函数解析式，根据相似三角形的性质，可得关于m 的方程，根据解方程，可得答案．【解答】解：（1）令y=0代入y=x+4，∴x=﹣3，A（﹣3，0），令x=0，代入y=x+4，∴y=4，∴C（0，4），设抛物线F1的解析式为：y=a（x+3）（x﹣1），把C（0，4）代入上式得，a=﹣，∴y=﹣x2﹣x+4，（2）如图1，设点M（a，﹣a2﹣a+4），其中﹣3＜a＜0∵A（﹣3，0），B（1，0），∴OA=3，OB=1=OA•OB=，∴S△AOC过点M作MD⊥x轴于点D，∴MD=﹣a2﹣a+4，AD=a+3，OD=﹣a，。

2021年湖南省长沙市雨花区雅礼实验中学中考数学模拟试卷1. 有下列实数：12，3，0，−√2，0.35，−π，其中最小的实数是( )A. −πB. 0C. −√2D. 0.352. 下列计算正确的是( )A. √83=±2B. −√−73=√−73C. −√169=−43D. √49=±233. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是( )A.B.C.D.4. 要将抛物线y =x 2+2x +3平移后得到抛物线y =x 2，下列平移方法正确的是( )A. 向左平移1个单位，再向上平移2个单位B. 向左平移1个单位，再向下平移2个单位C. 向右平移1个单位，再向上平移2个单位D. 向右平移1个单位，再向下平移2个单位5. 一组数据有四个，方差为10，若增加一个数恰好是该组数据的平均数，那么这五个数的方差是( )A. 6B. 8C. 10D. 126. 不等式组{x +1>02x −6≤0的解集在数轴上表示正确的是( )A.B.C.D.7.如图，△PAB与△PCD均为等腰直角三角形，点C在PB上，若△ABC与△BCD的面积之和为10，则△PAB与△PCD的面积之差为()A. 5B. 10C. l5D. 208.将直线y=2x−3向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，所得的直线的表达式为()A. y=2x−4B. y=2x+4C. y=2x+2D. y=2x−29.古代名著《算学启蒙》中有一题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何追及之？意思是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里．慢马先走12天，快马几天可追上慢马？若设快马x天可追上慢马，则由题意，可列方程为()A. 240x=150x+12×150B. 240x=150x−12×150C. 240(x−12)=150x+150D. 240x+150x=12×1510.二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数值y之间有下列关系：x…−3−20…y…3−1.68−1.68…那么ba(a+b)的值为()A. 6B. −6C. 32D. −3211.如图，在△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC=4，P为AC中点，点D在直线BC上运动，以为边向AD的右侧作正方形ADEF，连接PF，则在点D的运动过程中，线段PF的最小值为()A. 2B. √2C. 1D. 2√212.数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为√2的正方形ABCD与边长为√5的正方形AEFG按图1位置放置，AD与AE在同一条直线上，AB与AG在同一条直线上．如图2，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在线段DG上时，此时BE的长为()A. 1B. 3C. √2D. 3√2−413.2019年4月10日，人类首次看到黑洞，该黑洞的质量是太阳的65亿倍，距离地球大约55000000光年，将数据55000000用科学记数法表示为______．14.如图，点A、B、C、D、O都在方格纸的格点上，若△COD是由△AOB绕点O按顺时针方向旋转而得到的，则旋转的角度为______．15.在一个不透明的盒子中装有n个球，它们除了颜色之外其它都没有区别，其中含有3个红球，每次摸球前，将盒中所有的球摇匀，然后随机摸出一个球，记下颜色后再放回盒中．通过大量重复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.03，那么可以推算出n的值大约是______．16.如图，正五边形FGHIJ的顶点在正五边形ABCDE的边上，若∠AFJ=20°，则∠CGH=______°.17. 如图，AB 为⊙O 的直径，直线l 与⊙O 相切于点C ，AD ⊥l ，垂足为D ，AD 交⊙O 于点E ，连接OC 、BE.若AE =6，OA =5，则线段DC 的长为______．18. 如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的一个顶点在原点O 处，且∠AOC =60°，A 点的坐标是(0,4)，则直线AC 的表达式是______．19. 计算：(13)−1−6tan30°+|−√12|−(π+2019)020. 先化简，再求值：(2−3x+3x+2)÷x 2−2x+1x+2，其中x =3．21. 某校研究学生的课余爱好情况，采取抽样调查的方法，从阅读、运动、娱乐、上网等四个方面调查了若干名学生的兴趣爱好，并将调查结果绘制成下面两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题：(1)在这次调查中，一共调查名学生；(2)补全条形统计图；(3)若该校共有1500名学生，估计爱好运动的学生人；(4)在全校同学中随机选取一名学生参加演讲比赛，用频率估计概率，则选出的恰好是爱好阅读的学生的概率是．22.如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边的中线，过点A作BC的平行线，过点B作AD的平行线，两线交于点E．(1)求证：四边形ADBE是矩形；(2)连接DE，交AB于点O，若BC=8，AO=5，求cos∠AED的值．223.为准备趣味跳绳比赛，王老师花100元买了若干条跳绳，已知商店里的跳绳规格与价格如下表：规格A型B型C型跳绳长度(米)4812价格(元/条)469(1)若购买了三种跳绳，其中B型跳绳和C型跳绳的条数同样多，且所有跳绳的总长度为120米，求购买A型跳绳的条数；(2)若购买的A型跳绳有13条，则购买的所有跳绳的总长度为多少米？24.已知：如图，在四边形ABCD中，AD//BC，点E为CD边上一点，AE与BE分别为∠DAB和∠CBA的平分线．(1)请你添加一个适当的条件______，使得四边形ABCD是平行四边形，并证明你的结论；(2)作线段AB的垂直平分线交AB于点O，并以AB为直径作⊙O(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)；(3)在(2)的条件下，⊙O交边AD于点F，连接BF，交AE于点G，若AE=4，sin∠AGF=4，求⊙O的半径．525.定义：数学活动课上，李老师给出如下定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称这个三角形为“智慧三角形”．理解：(1)如图1，已知A、B是⊙O上两点，请在圆上找出满足条件的点C，使△ABC为“智慧三角形”(画出点C的位置，保留作图痕迹)；CD，(2)如图2，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且CF=14试判断△AEF是否为“智慧三角形”，并说明理由；运用：(3)如图3，在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，点Q是直线y=3上的一点，若在⊙O上存在一点P，使得△OPQ为“智慧三角形”，当其面积取得最小值时，直接写出此时点P的坐标．26.已如直线y=2x+4与x轴、y轴分别交于A，D两点，抛物线y=−12x2+bx+c经过点A、D，点B是抛物线与x轴的另一个交点．(1)求这条抛物线的解析式及点B的坐标：(2)设点M是直线AD上一点，且S△AOM：S△OMD=1：3，求点M的坐标；(3)如果点C(2,y)在这条抛物线上，在y轴的正半轴上是否存在点P，使△BCP为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标：若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵−π<−√2<0<0.35<12<3， ∴最小的实数是−π， 故选：A ．先根据实数的大小比较法则比较大小，再得出选项即可．本题考查了实数的大小比较，能熟记实数的大小比较法则是解此题的关键，注意：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小．2.【答案】C【解析】解：A 、√83=2，故选项错误；B 、−√−73=√73，故选项错误；C 、−√169=−43，故选项正确；D 、√49=23，故选项错误．故选：C ．A 和B 根据立方根的定义即可求解；C 和D 根据算术平方根的定义即可求解．本题主要考查了立方根的概念的运用．如果一个数x 的立方等于a ，即x 的三次方等于a(x 3=a)，那么这个数x 就叫做a 的立方根，也叫做三次方根．读作“三次根号a ”其中，a 叫做被开方数，3叫做根指数．3.【答案】B【解析】解：根据俯视图为三角形，主视图以及左视图都是矩形，可得这个几何体为三棱柱，故答案为三棱柱．如图所示，根据三视图的知识可使用排除法来解答．本题考查了由三视图判断几何体的知识，考查了学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．4.【答案】D【解析】解：y=x2+2x+3=(x+1)2+2，该抛物线的顶点坐标是(−1,2)，抛物线y=x2的顶点坐标是(0,0)，则平移的方法可以是：将抛物线y=x2+2x+3向右移1个单位，再向下平移2个单位．故选：D．原抛物线顶点坐标为(−1,2)，平移后抛物线顶点坐标为(0,0)，由此确定平移规律．本题考查了二次函数图象与几何变换．关键是将抛物线的平移问题转化为顶点的平移，寻找平移方法．5.【答案】B【解析】[分析][(a−x−)2+(b−x−)2+设前4个数为a、b、c、d，平均数为x−，根据方差公式得到10=14[(c−x−)2+(d−x−)2]，然后利用整体代入的方法计算这五个数的方差即可．本题考查了方差，一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．[详解][(a−x−)2+(b−x−)2+[(c−x−)2+解：设前4个数为a、b、c、d，平均数为x−，则10=14(d−x−)2],所以(a−x−)2+(b−x−)2+[(c−x−)2+(d−x−)2=40,[(a−x−)2+(b−x−)2+[(c−x−)2+(d−x−)2+(x−−x−)2]=所以这五个数的方差=151(40+0)=8．5故选B．6.【答案】C【解析】解：{x+1>0 ①2x−6≤0 ②，解①得x>−1，解②得x≤3，所以不等式组的解集为−1<x≤3．故选：C．分别解两个不等式得到x>−1和x≤3，从而得到不等式组的解集为−1<x≤3，然后利用此解集对各选项进行判断．本题考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．7.【答案】B【解析】解：依题意∵△PAB与△PCD均为等腰直角三角形∴PB=PB，PC=PD∴S△PAB−S△PCD=12PD2−12PA2=12(PA+PD)(PA−PD)=12(PB−PC)(PA+PD)=12BC(PA+PD)，又∵S△ABC+S△BCD=12BC⋅PA+12BC⋅PD=12BC⋅(PA+PD)=10∴S△PAB−S△PCD=10故选：B．S△ABC+S△BCD=12BC⋅PA+12BC⋅PD=12BC⋅(PA+PD)=10，要求△PAB与△PCD的面积之差，即12PA2−12PB2=12(PA+PD)(PA−PD)=12(PB−PC)(PA+PD)=12BC(PA+PD)，即可求此题主要考查等腰直角三角形的面积计算，平方差公式．8.【答案】A【解析】解：y=2(x−2)−3+3=2x−4．化简，得y=2x−4，故选：A．根据平移的性质“左加右减，上加下减”，即可找出平移后的直线解析式，此题得解．本题考查了一次函数图象与几何变换，牢记平移的规则“左加右减，上加下减”是解题的关键．9.【答案】A【解析】解：设快马x天可以追上慢马，据题题意：240x=150x+12×150，故选：A．设快马x天可以追上慢马，根据快马和慢马所走的路程相等建立方程即可．本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．10.【答案】A【解析】解：∵抛物线经过点(−2,−1.68)，(0,−1.68)，∴抛物线的对称轴为直线x=−1，=−1，b=2a，即−b2a∵x=−3和x=1对应的函数值相等，∴x=1时，y=3，即a+b+c=3，(a+b+c)=2×3=6．∴ba故选：A．=−1，所以b=2a，利用抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x=−1，则−b2a再利用x=−3和x=1对应的函数值相等得到a+b+c=3，然后利用整体代入的方法(a+b+c)的值．计算ba本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．11.【答案】B【解析】解：连接CF，∵∠CAB=90°，AB=AC=4，P为AC中点，∴∠ABC=∠ACB=45°，AP=PC=2∵四边形ADEF是正方形∴AD=AF，∠DAF=90°∵∠BAC=∠DAF=90°∴∠BAD=∠CAF，且AB=AC，AD=AF∴△ABD≌△ACF(SAS)∴∠ABD=∠ACF=45°∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°∴CF⊥BC∴点F在过点C且垂直BC的直线上，∴当PF⊥CF时，PF的值最小=√2∴PF的最小值=√2故选：B．由“SAS”可证△ABD≌△ACF，可得∠ABD=∠ACF=45°，可得CF⊥BC，即点F在过点C且垂直BC的直线上，则当PF⊥CF时，PF的值最小，即可求PF的最小值．本题考查了正方形的性质，全等三角形判定和性质，等腰直角三角形的性质，确定点F 的轨迹是本题的关键．12.【答案】B【解析】[分析]本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，解本题的关键是全等三角形的性质和判定以及勾股定理的综合应用．由正方形的性质可证△ADG≌△ABE(SAS)，因此可证得DG=BE；过点A作AM⊥DG交DG于点M，根据正方形的性质可证得DM=AM=1，然后根据勾股定理可求得GM的长，进而可求得BE=DG=DM+GM；[详解]解：如图2，∵四边形ABCD与四边形AEFG是正方形，∴AD=AB，∠DAB=∠GAE=90°，AG=AE，∴∠DAB+∠BAG=∠GAE+∠BAG，∴∠DAG=∠BAE，在△ADG和△ABE中，{AD=AB∠DAG=∠BAE AG=AE，∴△ADG≌△ABE(SAS)，∴DG=BE，过点A作AM⊥DG交DG于点M，∠AMD=∠AMG=90°，∵BD是正方形ABCD的对角线，∴∠MDA=∠MAD=∠MAB=45°，BD=2，∴AM=12BD=1，在Rt△AMG中，∵AM2+GM2=AG2，∴GM=2，∵DG=DM+GM=1+2=3，∴BE=DG=3．故选B．13.【答案】5.5×107【解析】解：55000000=5.5×107．故答案为：5.5×107．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．14.【答案】90°【解析】解：∵△COD是由△AOB绕点O按顺时针方向旋转而得，∴OB=OD，∴旋转的角度是∠BOD的大小，∵∠BOD=90°，∴旋转的角度为90°．故答案为：90°．由△COD是由△AOB绕点O按顺时针方向旋转而得到，再结合已知图形可知旋转的角度是∠BOD的大小，然后由图形即可求得答案．此题考查了旋转的性质．解此题的关键是理解△COD是由△AOB绕点O按顺时针方向旋转而得的含义，找到旋转角．15.【答案】100=0.03，【解析】解：由题意可得，3n解得，n=100．故估计n大约是100．故答案为：100．在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．16.【答案】52【解析】解：正五边形的内角均为：540°÷5=108°，∴∠BFG=180°−∠AFJ−∠GFJ=180°−20°−108°=52°，∴∠BGF=180°−∠B−∠BFG=180°−108°−52°=20°，∴∠CGH=180°−∠BGF−∠FGH=180°−20°−108°=52°，故答案为：52．先计算出正五边形的各个内角为：540°÷5=108°，再利用平角为180°，三角形的内角和，即可解答．本题考查多边形的内角与外角，解决本题的关键是计算出正五边形的内角的度数．17.【答案】4【解析】解：OC交BE于F，如图，∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB=90°，∵AD⊥l，∴BE//CD，∵CD为切线，∴OC⊥CD，∴OC⊥BE，∴四边形CDEF为矩形，∴CD=EF，在Rt△ABE中，BE=√AB2−AE2=√102−62=8，∵OF⊥BE，∴BF=EF=4，∴CD=4．故答案为4．OC交BE于F，如图，有圆周角定理得到∠AEB=90°，加上AD⊥l，则可判断BE//CD，再利用切线的性质得OC⊥CD，则OC⊥BE，原式可判断四边形CDEF为矩形，所以CD= EF，接着利用勾股定理计算出BE，然后利用垂径定理得到EF的长，从而得到CD的长．本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．解决本题的关键是证明四边形CDEF为矩形．18.【答案】y=−√33x+4【解析】解：如图，，由菱形OABC的一个顶点在原点O处，A点的坐标是(0,4)，得OC=OA=4．又∵∠1=60°，∴∠2=30°．∴CD=2，OD=2√3，∴C(2√3,2)．设AC的解析式为y=kx+b，将A，C点坐标代入函数解析式，得{2√3k+b=2b=4，解得{k=−√33b=4，直线AC的表达式是y=−√33x+4，故答案为：y=−√33x+4．根据菱形的性质，可得OC的长，根据含30°的直角三角形及勾股定理，可得OD与CD，根据待定系数法，可得答案．本题考查了待定系数法求一次函数解析式，根据含30°的直角三角形及勾股定理得出C点坐标是解题关键，又利用了菱形的性质及待定系数法求函数解析式．19.【答案】解：(13)−1−6tan30°+|−√12|−(π+2019)0=3−6×√33+2√3−1 =2−2√3+2√3=2【解析】首先计算乘方、开方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．20.【答案】解：(2−3x+3x+2)÷x 2−2x+1x+2=[2(x +2)x +2−3x +3x +2]×x +2(x −1)2 =−x +1x +2×x +2(x −1)2=−1x−1， 当x =3时，原式=−13−1=−12．【解析】本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算顺序和法则是解题的关键．先根据分式的混合运算顺序和法则化简原式，再将x 的值代入求解可得．21.【答案】(1)100；(2)爱好上网的人数所占百分比为10%∴爱好上网人数为：100×10%=10，∴爱好阅读人数为：100−40−20−10=30，补全条形统计图，如图所示，(3)600；(4)3.10【解析】解：(1)爱好运动的人数为40，所占百分比为40%∴共调查人数为：40÷40%=100，故答案为：100；(2)见答案；(3)爱好运动的学生人数所占的百分比为40%，∴估计爱好运用的学生人数为：1500×40%=600，故答案为：600；(4)爱好阅读的学生人数所占的百分比30%，∴用频率估计概率，则选出的恰好是爱好阅读的学生的概率为3，10故答案为：3．10(1)根据爱好运动人数的百分比，以及运动人数即可求出共调查的人数；(2)根据两幅统计图即可求出阅读的人数以及上网的人数，从而可补全图形．(3)利用样本估计总体即可估计爱好运动的学生人数．(4)根据爱好阅读的学生人数所占的百分比即可估计选出的恰好是爱好阅读的学生的概率．本题考查统计与概率，解题的关键是正确利用两幅统计图的信息，本题属于中等题型．22.【答案】证明：(1)∵AE//BC，BE//AD，∴四边形ADBE是平行四边形．∵AB=AC，AD是BC边的中线，∴AD ⊥BC ．即∠ADB =90°．∴四边形ADBE 为矩形．(2)∵在矩形ADBE 中，AO =52，∴DE =AB =5．∵D 是BC 的中点，∴AE =DB =4，∵四边形ADBE 为矩形，∴∠DAE =90°，∴在Rt △ADE 中，cos∠AED =AE DE =45．【解析】本题考查矩形的判定和性质、等腰三角形的性质，平行四边形的判定和性质，锐角三角函数定义等知识，解题的关键是熟练掌握矩形的判定方法，属于中考常考题型．(1)只要证明四边形ADBE 是平行四边形，且∠ADB =90°即可；(2)求出AE 、DE ，在Rt △ADE 中，根据cos∠AED =AE DE 计算即可．23.【答案】解：(1)设购买的A 型跳绳x 条，B 型跳绳和C 型跳绳的条数为y 条，可得：{4x +6y +9y =1004x +8y +12y =120， 可得：{x =10y =4， 答：购买A 型跳绳的条数为10条；(2)当购买的A 型跳绳有13条，设B 型跳绳和C 型跳绳的条数为a 条，可得：{4×13+8a +12a ≤1204×13+6a +9a ≤100， 解得：a ≤3.2，∵a >0，且为整数，∴a =3最大，所以购买的所有跳绳的总长度为13×4+8×3+12×3=112．答：购买的所有跳绳的总长度为112米．【解析】(1)设购买的A 型跳绳x 条，B 型跳绳和C 型跳绳的条数为y 条，进而列出方程组解答即可；(2)根据购买的A型跳绳有13条，进而得出购买的所有跳绳的总长度即可．本题考查了二元一次方程组和二元一次方程的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出方程即可求解．利用整体思想和未知数的实际意义通过筛选法可得到未知数的具体解，这种方法要掌握．24.【答案】解：(1)AD=BC(2)作出相应的图形，如图所示；(3)∵AD//BC，∴∠DAB+∠CBA=180°，∵AE与BE分别为∠DAB与∠CBA的平分线，∴∠EAB+∠EBA=90°，∴∠AEB=90°，∵AB为圆O的直径，点F在圆O上，∴∠AFB=90°，∴∠FAG+∠FGA=90°，∵AE平分∠DAB，∴∠FAG=∠EAB，∴∠AGF=∠ABE，∴sin∠ABE=sin∠AGF=45=AEAB，∵AE=4，∴AB=5，则圆O的半径为2.5．【解析】解：(1)当AD=BC时，四边形ABCD是平行四边形，理由为：证明：∵AD//BC，AD=BC，∴四边形ABCD为平行四边形；故答案为：AD=BC；(2)(3)见答案【分析】(1)添加条件AD=BC，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形验证即可；(2)作出相应的图形，如图所示；(3)由平行四边形的对边平行得到AD与BC平行，可得同旁内角互补，再由AE与BE 为角平分线，可得出AE与BE垂直，利用直径所对的圆周角为直角，得到AF与FB垂直，可得出两锐角互余，根据角平分线性质及等量代换得到∠AGF=∠AEB，根据sin∠AGF的值，确定出sin∠AEB的值，求出AB的长，即可确定出圆的半径．此题属于圆综合题，涉及的知识有：圆周角定理，平行四边形的判定与性质，角平分线性质，以及锐角三角函数定义，熟练掌握各自的性质及定理是解本题的关键．25.【答案】解：(1)如图1所示：(2)△AEF是“智慧三角形”，理由如下：设正方形的边长为4a，∵E是BC的中点，∴BE=EC=2a，∵CD：FC=4：1，∴FC=a，DF=4a−a=3a，在Rt△ABE中，AE2=(4a)2+(2a)2=20a2，在Rt△ECF中，EF2=(2a)2+a2=5a2，在Rt△ADF中，AF2=(4a)2+(3a)2=25a2，∴AE2+EF2=AF2，∴△AEF是直角三角形，∵斜边AF上的中线等于AF的一半，∴△AEF为“智慧三角形”；(3)如图3所示：由“智慧三角形”的定义可得△OPQ 为直角三角形，根据题意可得一条直角边OP =1，∴PQ 最小时，△POQ 的面积最小，即OQ 最小，由垂线段最短可得斜边最小为3，由勾股定理可得PQ =√32−12=2√2，根据面积得，12OQ ×PM =12OP ×PQ ，∴PM =1×2√2÷3=2√23， 由勾股定理可求得OM =(2√23)=13， 故点P 的坐标(−2√23,13)，(2√23,13).【解析】本题考查了圆的综合题，正方形的性质，勾股定理的应用，勾股定理逆定理的应用，用正方形的边长表示出△AEF 的各边的平方，熟练掌握“智慧三角形”的定义是解题的关键．(1)连结AO 并且延长交圆于C 1，连结BO 并且延长交圆于C 2，即可求解；(2)设正方形的边长为4a ，表示出DF 、CF 以及EC 、BE 的长，然后根据勾股定理列式表示出AF 2、EF 2、AE 2，再根据勾股定理逆定理判定△AEF 是直角三角形，由直角三角形的性质可得△AEF 为“智慧三角形”；(3)根据“智慧三角形”的定义可得△OPQ 为直角三角形，根据题意可得一条直角边为1，当斜边最短时，另一条直角边最短，则面积取得最小值，由垂线段最短可得斜边最短为3，根据勾股定理可求另一条直角边，再根据三角形面积可求斜边的高，即点P 的横坐标，再根据勾股定理可求点P 的纵坐标，从而求解．26.【答案】解：(1)y =2x +4，令x =0，则y =4，令y =0，则x =−2， 故点A 、D 的坐标分别为(−2,0)、(0,4)，将点A 、D 的坐标代入二次函数表达式得：{0=−12×4−2b +c c =4，解得：{b =−22c =4， 故抛物线的表达式为：y =−12x 2−22x +4，令y =0，则x =−2或16，故点B(16,0)；(2)①当点M 在线段AD 上时，如下图，过点M 作MH ⊥x 轴交于点H ，tan∠DAO =OD OA =2，则sin∠DAO =√5， ∵S △AOM ：S △OMD =1：3， ∴AM =14AD =14×√22+42=√52， 则MH =AMsin∠DAO =√52×√5=1，则点M(−32,1)；②当点M(M′)在x 轴下方的直线AD 上时，同理可得：点M(−52,−1)；故点M 的坐标为：点M(−32,1)或(−52,−1)；(3)存在，理由：点C(2,y)在条抛物线上，则点D(2,−88)，△BCP为等腰三角形，只有PB=BC一种情况，设点P(0,m)，(m>0)PB2=BC2，即136+m2=(2−16)2+882，解得：m=√697243(负值已舍去)，故点P的坐标为：(0,√697243).【解析】(1)将点A、D的坐标代入二次函数表达式，即可求解；(2)分当点M在线段AD上、点M(M′)在x轴下方的直线AD上两种情况，分别求解即可；(3)△BCP为等腰三角形，只有PB=BC一种情况，即可求解．本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解直角三角形、一次函数、面积的计算等，其中(2)、(3)，要注意分类求解，避免遗漏．。

2021年湖南省长沙市雨花区南雅中学初一分班数学试卷一、填空题二、选择题三、解答题1．（3分）347的倒数是 ．2．（3分）计算：712÷23= ．3．（3分）24÷23= （用分数表示），0.07中有 个1100．4．（3分）把13米长的绳子平均分成5段，每段是这条绳子的 ，每段长 米．5．（3分）一个长方形的面积是4，长是115，则宽是 ．A ．真分数B ．假分数C ．带分数D ．正整数6．（3分）倒数小于1的数是（ ）A ．35÷30B ．35×30C ．30÷35D ．以上都不对7．（3分）一辆汽车35小时行驶30千米，行1千米需要多少小时，列式是（ ）8．计算：415÷712．9．计算：447÷115．10．计算：13÷1112．11．同学们做口算题，小林做对了全部题目的910，恰好是45道，小明做对了全部题目的2425，一共有几道口算题？小明做对了几道？12．已知m的倒数是13，n的倒数是123，求m+n的倒数．13．1吨甘蔗，可制糖415吨，125吨甘蔗可制糖多少吨？要制糖160吨，需要多少吨甘蔗？14．甲、乙两地相距156千米，一辆轿车行驶全程的38用了23小时，按这样的速度计算，轿车行完全程需多少时间？15．甲、乙两家文具店出售一种水笔，原来定价都为每打（12枝）15元，现为了促销，甲店每打降价3元，乙店每打售价不变，但另赠送4枝水笔．请问那家店的水笔单价较便宜．为什么？。

小升初数学试卷一、填空题（每题3分，共30分）．1．（3分）已知a=2×2×3×5，b=2×5×7，a和b的最小公倍数是，最大公约数是．2．（3分）在一次投篮训练中，8名同学投中的个数如下：4个、5个、4个、6个、10个、9个、8个、10个这组数据的平均数是，众数是，中位数是．3．（3分）一根3米长的方钢，把它横截成3段时，表面积增加80平方厘米，原来方钢的体积是．4．（3分）有5瓶维生素，其中一瓶少了4片．如果用天平称，至少称次就能找到少药片的那瓶．5．（3分）王飞以每小时40千米的速度行了240千米，按原路返回时每小时行60千米，王飞往返的平均速度是每小时行千米．6．（3分）有一个六个面上的数字分别是1、2、3、4、5、6的正方体骰子．掷一次骰子，得到合数的可能性是，得到偶数的可能性是．7．（3分）把一个圆柱体加工成一个最大的圆锥体后，它的体积减少了40立方厘米，原来圆柱体的体积是立方厘米．8．（3分）在桥上测量桥高，把绳子对折后垂到水面时尚余8米，把绳子三折垂到水面时，尚余2米，绳长米．9．（3分）一盘草莓约20个左右，几位小朋友分．若每人分3个，则余下2个；若每人分4个，则差3个．这盘草莓有个．10．（3分）一位工人要将一批货物运上山，假定运了5次，每次的搬运量相同，运到的货物比这批货物的多一些，比少一些．按这样的运法，他运完这批货物最少共要运次，最多共要运次．二、选择题（每题3分，共24分）11．（3分）在一个长8分米，宽6分米的长方形中画一个最大的圆，圆的半径是（）分米．3A．8B．6C．4D．[12．（3分）用大小相等的长方形纸，每张长12厘米，宽8厘米．要拼成一个正方形，最少需要这种长方形纸（ ） A ． 4张 B ． 6张 C ．8张13．（3分）某工人原计划10小时完成的工作，8小时就全部完成了，他的工作效率比原计划提高了（ ） A ． 20% B ． 120% C ．25% D ．80% 14．（3分）一个两位小数精确到十分位是5.0，这个数最小是（ ）A ． 4.99B ． 5.1C ． 4.94D ．4.95 15．（3分）一个分数化成最简分数是，原分数的分子扩大为原来的4倍后是96，那么原分数的分母是（ ）A ． 78B ． 52C ． 26D ．6 5 16．（3分）一个长方体的底是面积为3平方米的正方形，它的侧面展开图正好是一个正方形，这个长方体的侧面积是（ ）平方米．A ． 18B ． 48C ．54 17．（3分）商店出售一种商品，进货时120元5件，卖出时180元4件，那么商店要盈利4200元必须卖出（ ）件该商品．A ． 180B ． 190C ．200 D ．210 18．（3分）上学的路上，小明听到两个人在谈论各自的年龄，只听一人说“当我的年龄是你现在的年龄时，你才4岁．”另一人说“当我的年龄是你现在的年龄时，你将61岁，”他们两人中，年龄较小的现在（ ）岁．A ． 21B ． 22C ． 23D ．24 三、计算题（共30分）19．（12分）计算下面各题．7.85﹣（4+3.73）﹣（﹣）56÷（0.8÷2.5）0.8×+÷0.6 10﹣18÷9 3.68×[1÷（2﹣2.09）]20．（6分）计算下面各题．[（﹣﹣0.1÷2）×+1÷（+）]÷0.01 26+10.5×÷8﹣（26﹣1.6÷×2）22．（4分）如图是半个正方形，它被分成一个一个小的等腰三角形，图中，正方形有个，三角形有个．四、解答题（共36分）23．（6分）一堆煤，第一次运走40%，正好是60吨，第二次运走总数的，第二次运走多少吨？24．（6分）参加运动会的女运动员有120人，比男运动员的2倍少6人．参加运动会的男运动员有多少人？25．（6分）一块长方形铁皮（如图），从四个角各切掉一个边长为3cm的正方形，然后做成盒子．这个盒子用了多少铁皮？它的容积有多少？26．（6分）某公司全体员工工资情况如下表．员工总经理副总经理总门经理普通员工人数 1 2 5 32月工资/元8000 6000 4000 2500（1）这组数据的平均数、中位数和众数各是多少？（2）你认为哪个数据代表这个公司员工工资的一般水平比较合适？27．甲、乙两车同时从两地相向而行，当甲车行了全程的65%时，与乙车在距中点9千米处相遇．甲车行了多少千米？28．（6分）新华书店新进了一批儿童读物，第一天卖出总数的，第二天卖出的书是第一天的2倍还多200本，两天共卖出5000本．新进的这批儿童读物共有多少本？29.小红看一本故事书，第一天看了45页，第二天看了全书的，第二天看的页数恰好比第一天多20%，这本书一共有多少页？。