长沙市雅礼中学数学有理数专题练习(解析版)

湖南省长沙市雅礼中学2025届七年级数学第一学期期末学业水平测试试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．如图，60,:1:4,AOD AOB BOC OD ︒∠=∠∠=平分BOC ∠，则AOC ∠的度数为（ ）A ．20︒B ．80︒C ．100︒D ．120︒2．下列尺规作图分别表示：①作一个角的平分线；②作一个角等于已知角；③作一条线段的垂直平分线．其中作法正确的是（ ）① ② ③A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③3．一个几何体的表面展开图如图所示，则这个几何体是( )A ．四棱锥B ．四棱柱C ．三棱锥D ．三棱柱4．我市为鼓励居民节约用水，对家庭用水户按分段计费方式收取水费：若每月用水不超过310m ，则按每立方米1.5元收费；若每月用水量超过310m ，则超过部分按每立方米3元收费.如果某居民在某月缴纳了45元水费，那么这户居民在这个月的用水量为（ ）A ．310mB ．315mC ．320mD ．325m5．若数据151******** 1.43210n =⨯个，则n 的值是（ ）A ．15B ．14C ．12D ．116．如图，长度为12cm 的线段AB 的中点为M ，C 点将线段MB 分成:1:2MC CB =，则线段AC 的长度为（ ）A ．2cmB ．5cmC ．6cmD ．8cm7．下列结论正确．．的是（ ） A ．单项式237mn 的系数是37 B ．单项式313xy 的次数是3C ．多项式xy y -+的次数是3D ．多项式759xy x +-是三次二项式 8．如图，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于点O ，若∠AOC ＝120°，则∠BOD 等于（ ）A ．40°B ．50°C ．60°D ．70° 9．如果23(2)0m n -++=，那么mn 的值为（ ）A ．6-B ．6C ．1D ．910．如图，点C 在线段AB 上，点D 是AC 的中点，如果CD ＝4，AB ＝14，那么BC 长度为( )A ．4B ．5C ．6D ．6.511．下列调查适合做抽样调查的是（ ）A ．检查一枚用于发射卫星的运载火箭的各零部件B ．对某社区的卫生死角进行调查C ．对某班学生进行6月5日式“世界环境日”知晓情况的调查D ．对中学生目前的睡眠情况进行调查12．下列方程中，解为1x =的是（ ）A ．26x =B ．23x +=C ．210x -=D ．56x -=二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．如图所示的两架天平保持平衡，且每块巧克力的质量相等，每个果冻的质量也相等，则一块巧克力的质量是________g ．∠14．如图，射线OA的方向是北偏东20︒，射线OB的方向是北偏西40︒，OD是OB的反方向延长线，若OC是AOD ∠=____________．的平分线，则BOC15．多项式2a3b+3b﹣1是_____次_____项式，其中常数项为_____．16．如图，是一个运算程序的示意图，若开始输入x的值为625，则第2019次输出的结果为_____．17．如图，是北京S1线地铁的分布示意图，其中桥户营、四道桥、金安桥、苹果园四站在同一条直线上．如果在图中-，2，那么金安桥站表示的数是___________．以正东为正方向建立数轴，桥户营站、苹果园站表示的数分别是4三、解答题（本大题共7小题，共64分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18．（5分）计算或化简：（1）；（2）；（3）．19．（5分）一条地下管线由甲工程队单独铺设需要12天，由乙工程队单独铺设需要24天，已知甲工程队铺设每天需支付工程费2000元，乙工程队铺设每天需支付工程费1500元.（1）甲、乙两队合作施工多少天能完成该管线的铺设？（2）由两队合作完成该管线铺设工程共需支付工程费多少元？（3）根据实际情况，若该工程要求10天完成，从节约资金的角度应怎样安排施工？20．（8分）数轴上点A 表示数a ，点B 表示数b ，点C 表示数c ，若规定m c a c b =---，n c a c b =-+- （1）当3a =-，4b =，2c =时，则m =______，n =______．（2）当3a =-，4b =，3m =，7n =时，则c =______．（3）当3a =-，4b =，且2n m =，求c 的值．（4）若点A 、B 、C 为数轴上任意三点，p a b =-，化简：2m p p n m n ---+-21．（10分）如图，平面上有三个点A ，O ，B ．(1)根据下列语句顺次画图．①画射线OA ，OB ；②连接线段AB ；③过点A 画直线AM OB ⊥，垂足为M ；(2)请回答：图形中点A 到直线OB 的距离是线段_____________．22．（10分）已知，直线AB 与直线CD 相交于O ，OB 平分∠DOF .(1)如图，若∠BOF =40°，求∠AOC 的度数；(2)作射线OE ，使得∠COE =60°，若∠BOF=x °(090x <<)，求∠AOE 的度数(用含x 的代数式表示).23．（12分）（1）计算：()13564734-++-（2）计算：()320201342-⨯+÷-（3）x22x1146+--=参考答案一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、C【分析】由题意设∠AOB为x，则∠BOC为4x，再根据角的平分线的性质得出∠BOD12=∠BOC=2x，于是得x+2x=60°，求得x，再求∠AOC的度数即可．【详解】∵∠AOB：∠BOC=1：4，∴设∠AOB为x，则∠BOC为4x．∵OD平分∠BOC，∴∠BOD12=∠BOC=2x．∵∠AOD=60°，∴x+2x=60°，∴x=20°，4x=80°，∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=20°+80°=100°．故选：C．【点睛】本题考查了角的计算以及角的平分线的性质．关键是得出∠BOD12=∠BOC=2x．2、A【分析】利用作一个角等于已知角；作一个角的平分线；作一条线段的垂直平分线的作法进而判断即可得出答案．【详解】解：①作一个角的平分线的作法正确；②作一个角等于已知角的方法正确；③作一条线段的垂直平分线，缺少另一个交点，故作法错误；故选：A．【点睛】本题主要考查了基本作图，正确把握作图方法是解题关键．3、A【解析】试题分析：根据四棱锥的侧面展开图得出答案.试题解析：如图所示：这个几何体是四棱锥.故选A.考点：几何体的展开图.4、C【分析】由于1.5×2=15＜45，所以这户居民这个月的实际用水量超过2m 1，根据等量关系：2m 1的用水量交费+超过2m 1的用水量交费=总缴费，列出方程，求出解即可．【详解】解：设这户居民这个月实际用水xm 1．∵1.5×2=15＜16，∴x ＞2．由题意，有1.5×2+1（x-2）=45，解得：x=3．故选：C ．【点睛】本题考查一元一次方程的应用，找出题目中的等量关系，根据等量关系列出方程解答是解题的关键．5、C【分析】根据151.43210⨯，得到原数小数点向左移动了15位，而151.43210⨯的小数点后包含3位数字，因此用15-12即可获得正确答案．【详解】∵将原数用科学记数法表示为151.43210⨯∴原数小数点向左移动了15位∵151.43210⨯的小数点后包含3位数字∴15312n =-=故答案为C ．【点睛】本题考查了科学记数法，对于10n a ⨯，a 的取值范围110a ≤<．6、D【分析】由已知条件知AM ＝BM ＝12AB ，根据MC ：CB ＝1：2，得出MC ，CB 的长，故AC ＝AM ＋MC 可求． 【详解】∵长度为12cm 的线段AB 的中点为M ，∴AM ＝BM ＝6，∵C 点将线段MB 分成MC ：CB ＝1：2，∴MC ＝2，CB ＝4，∴AC ＝6＋2＝8，故选：D ．【点睛】本题的关键是根据图形弄清线段的关系，求出AC 的长．利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．同时灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点．7、A【分析】分别利用单项式以及多项式的定义以及其次数与系数的确定方法分析得出答案．【详解】A 、单项式237mn 的系数是37，正确，该选项符合题意； B 、单项式313xy 的次数是4，错误，该选项不符合题意；C 、多项式xy y -+的次数是2，错误，该选项不符合题意；D 、多项式759xy x +-是二次三项式，错误，该选项不符合题意；故选：A ．【点睛】此题主要考查了单项式以及多项式，正确把握多项式的次数与系数确定方法是解题关键．8、C【解析】由图可知∠AOC=∠AOB+∠BOC ，∠BOC+∠BOD=∠COD ，依此角之间的和差关系，即可求解．【详解】解：根据题意得：∠AOC+∠DOB＝∠AOB+∠BOC+∠DOB＝∠AOB+∠COD＝90°+90° ＝180°，∵∠AOC ＝120°，∴∠BOD ＝60°，故选C ．【点睛】本题考查了余角和补角的定义；找出∠AOC+∠DOB=∠AOB+∠BOC+∠DOB 是解题的关键．9、A【分析】根据非负数的性质列式求出m，n的值，然后代入代数式进行计算即可得解．【详解】解：由题意得，m-3=1，n+2=1，解得，m=3，n=-2，所以，mn=3×(-2)=-6，故选A．【点睛】本题考查了非负数的性质，注意：几个非负数和和为1，则这几个非负数都为1．10、C【解析】由线段中点的定义可求AC的长，利用线段的和差关系可求BC的长度．【详解】解：∵点D是AC的中点，如果CD＝4，∴AC＝2CD＝8∵AB＝14∴BC＝AB﹣AC＝6故选：C．【点睛】考查了两点间的距离，线段中点的定义，熟练运用线段的和差求线段的长度是本题的关键．11、D【分析】卫生死角、审核书稿中的错别字、八名同学的身高情况应该全面调查，而中学生人数较多，对其睡眠情况的调查应该是抽样调查．【详解】A、检查一枚用于发射卫星的运载火箭的各零部件非常重要，必须全面调查，故此选项错误；B、对某社区的卫生死角进行调查工作量比较小，适合全面调查，故此选项错误；C、对某班学生进行6月5日式“世界环境日”知晓情况的调查工作量比较小，适合全面调查，故此选项错误；D、对中学生目前的睡眠情况进行调查工作量比较大，适合抽样调查，故此选项正确．故选D．【点睛】本题考查了全面调查和抽样调查，统计调查的方法有全面调查(即普查)和抽样调查两种，一般来讲：通过普查可以直接得到较为全面、可靠的信息，但花费的时间较长，耗费大，且一些调查项目并不适合普查．12、Bx 逐一代入各方程，判断方程左右两边是否相等，即可作出判断．【解析】将1【详解】解：A 、当1x =时，26x ≠，故1x =不是此方程的解；B 、当1x =时，23x +=，故1x =，是此方程的解；C 、当1x =时，210x -≠，故1x =不是此方程的解；D 、当1x =时，56x -≠，故1x =不是此方程的解；故选：B ．【点睛】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13、1【分析】由第一个图可知3块巧克力质量等于2个果冻质量，可设一块巧克力质量为x g ，则一个果冻质量为y g ，再根据第二个图列出关于x 、y 的方程求解即可．【详解】解：设一块巧克力质量为x g ，则一个果冻质量为y g ．根据图片信息可列出等式：3250x y x y =⎧⎨+=⎩，解得：2030x y =⎧⎨=⎩∴一块巧克力质量为1g ；故答案为：1．【点睛】本题主要考查二元一次方程的实际应用，解此题的关键在于读懂题图巧克力与果冻的质量关系，设出未知数，列出方程求解．14、120°【分析】先求出∠AOB =60°,再求得∠AOD 的度数,由角平分线得出∠AOC 的度数,得出∠BOC 的度数.【详解】解：∵OB 的方向是北偏西40°,OA 的方向是北偏东20°,∴∠AOB =40°+20°=60°,∴∠AOD =180°- 60°=120°,∵OC 是∠AOD 的平分线,∴∠AOC =60°,∴∠BOC =60°+60°=120°,故答案为：120°.【点睛】本题主要考查了方向角的定义和角度计算,解决本题的关键是要熟练掌握方位角的定义和角度计算.15、四 三 ﹣1【分析】几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数，如果一个多项式含有a个单项式，次数是b，那么这个多项式就叫b次a项式，据此分析可得答案．【详解】解：多项式2a3b+3b﹣1是四次三项式，其中常数项为﹣1，故答案为：四；三；﹣1．【点睛】此题主要考查了多项式，关键是掌握多项式的相关定义．16、5【解析】把x＝625代入计算即可求出所求．【详解】解：当x＝625时，原式＝15×625＝125，当x＝125时，原式＝15×125＝25，当x＝25时，原式＝15×25＝5，当x＝5时，原式＝15×5＝1，当x＝1时，原式＝1＋4＝5，依此类推，以5，1循环，∵（2019−2）÷2＝1008…1，∴第2019次输出的结果为5，故答案为5【点睛】此题考查了代数式求值，以及有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．17、1【分析】由桥户营站、苹果园站表示的数分别是4-，2，计算出两点之间的距离为6，求出一个单位长度表示的数是2，即可得到答案．【详解】∵桥户营站、苹果园站表示的数分别是4-，2，∴桥户营站与苹果园站的距离是2-（-4）=6，∵桥户营站与苹果园站之间共有三个单位长度，∴每个单位长度表示632÷=，∴金安桥表示的数是2-2=1，故答案为：1．【点睛】此题考查数轴上两点之间的距离，数轴上点的平移规律，有理数的加减法计算，掌握数轴上两点之间的距离公式是解题的关键．三、解答题 （本大题共7小题，共64分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18、（1）-38;（2）16;（3）【解析】（1）根据有理数减法及绝对值的运算法则计算即可；（2）根据有理数乘除法法则计算即可；（2）根据有理数混合运算法则计算即可.【详解】（1）原式=-55+17=-38.（2）原式=16.（3）原式===【点睛】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键.19、（1）8天；（2）28000元；（3）甲、乙合干7天，剩下的乙再干3天完成任务【分析】（1）设甲、乙两队合作施工x 天能完成该管线的铺设，根据工作总量为1，列出方程解答即可； （2）由（1）的数据直接计算得出结果即可；（3）若该工程要求10天完成，乙工程队费用低，所以乙干满10天，剩下的让甲工程队干，算出天数即可．【详解】（1）设甲、乙两队合作施工x 天能完成该管线的铺设，由题意得11224x x +=，解得8x =． 答：甲、乙两队合作施工8天能完成该管线的铺设．（2）()20001500828000+⨯=（元）．答：两队合作完成该管线铺设工程共需支付工程费28000元．（3）若该工程要求10天完成，乙工程队费用低，所以设乙干满10天，剩下的让甲工程队干需要a 天，由题意得1012412a +=， 解得7a =，101073a -=-=.故甲、乙合干7天，剩下的乙再干3天完成任务．【点睛】此题考查一元一次方程的实际运用，掌握工作时间、工作总量、工作效率三者之间的关系是解决问题的关键．20、（1）3；7；（2）2或-1；（3）152或94或132-或54-；（4）22c b -或66b c -或66c a -或22a c -或22c a -或22b c -或66a c -或66c b -【分析】（1）根据a,b,c 的值计算出5,2c a c b -=-=-，然后代入即可计算出m,n 的值；（2）分4c ≥ ，3c ≤-， 34c -<<三种情况讨论，通过计算发现c 只能处于34c -<<这个范围内才符合题意，然后通过m 的值建立一个关于c 的方程，利用绝对值的意义即可求出c 的值；（3）同样分4c ≥ ，3c ≤-， 34c -<<三种情况讨论，分别进行讨论即可得出答案；（4）分,,,,,a b c a c b b a c b c a c a b c b a >>>>>>>>>>>> 六种情况进行讨论，即可得出答案．【详解】（1）∵3a =-，4b =，2c =∴5,2c a c b -=-=- 52523m ∴=--=-=52527n =+-=+=（2）∵3a =-，4b =，若4c ≥，则()7m c a c b b a =---=-=若3c ≤-，则()7m a c c b a b =-+-=-=若34c -<<时，此时7,213n c a b c b a m c a c b c =-+-=-==-+-=-=∴213c -= 或213c -=-∴2c = 或1c =-（3）若4c ≥，则()7m c a c b b a =---=-=，221n c a c b c a b c =-+-=--=-∵2n m =∴2114n c =-= ∴152c = 若3c ≤-，则()7m a c c b a b =-+-=-=，212n a c b c a b c c =-+-=+-=--∵2n m =∴2114n c =--= ∴132c =- 若34c -<<时，此时7,21n c a b c b a m c a c b c =-+-=-==-+-=-∵2n m = ∴7212m c =-=∴7212c -= 或7212c -=- ∴94c = 或54c =- 综上所述，c 的值为152或132-或94或54- （4）①若a b c >>则p a b =-()m a c b c a b =---=-2n a c b c a b c =-+-=+- ∴0m p -=(2)22p n a b a b c b c -=--+-=-(2)22m n a b a b c b c -=--+-=-∴原式=0(22)2(22)22b c b c b c --+-=-②若a c b >>则p a b =-()2m a c c b a b c =---=+-n a c c b a b =-+-=-当20a b c +-≥时，2m a b c =+- ∴2()22m p a b c a b c b -=+---=-0p n -=(2)()22m n a b c a b c b -=+---=-∴原式=(22)02(22)66c b c b c b --+-=-当20a b c +-<时，(2)m a b c =-+- ∴(2)()22m p a b c a b a c -=-+---=-0p n -=(2)()22m n a b c a b a c -=-+---=-∴原式=(22)02(22)66a c a c a c --+-=-③若b a c >>则p b a =-()m a c b c b a =---=-2n a c b c a b c =-+-=+- ∴0m p -=(2)22p n b a a b c a c -=--+-=-(2)22m n b a a b c a c -=--+-=-∴原式=0(22)2(22)22a c a c a c --+-=-④若b c a >>则p b a =-()2m c a b c c a b =---=--n c a b c b a =-+-=-当20c a b --≥时，2m c a b =-- ∴2()22m p c a b b a b c -=----=-0p n -=(2)()22m n c a b b a b c -=----=-∴原式=(22)02(22)66b c b c b c --+-=-当20c a b --<时，2m a b c =+- ∴2()22m p a b c b a c a -=+---=-0p n -=(2)()22m n a b c b a c a -=+---=-∴原式=(22)02(22)66c a c a c a --+-=-⑤若c a b >>则p a b =-()m c a c b a b =---=-2n c a c b c a b =-+-=-- ∴0m p -=(2)22p n a b c a b c a -=----=-(2)22m n a b c a b c a -=----=-∴原式=0(22)2(22)22c a c a c a --+-=-⑥若c b a >>则p b a =-()m c a c b b a =---=-2n c a c b c a b =-+-=-- ∴0m p -=(2)22p n b a c a b c b -=----=-(2)22m n b a c a b c b -=----=-∴原式=0(22)2(22)22c b c b c b --+-=-【点睛】本题主要考查绝对值与合并同类项，掌握绝对值的性质是解题的关键．21、（1）见解析；（2）AM 的长度【分析】（1）利用题中几何语言画出几何图形；（2）利用点到直线的距离的定义得出答案．【详解】（1）如图，①射线OA 、OB 为所作；②线段AB 为所作；③线段AM 为所作；（2）图形中点A 到直线OB 的距离是线段AM 的长度，故答案为：AM 的长度．【点睛】本题考查了作图-复杂作图．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．22、 (1)40AOC =∠；(2)当00x <≤6时，AOE ∠为6060x x -+或；当6090x <<时，AOE ∠为6060x x -+或【分析】(1)根据 OB 平分∠DOF ，可知∠BOD =∠BOF =40°，可求∠AOC 的度数；(2)①060x <≤时分成两种情况：②6090x <<时也分成两种情况.画出图形可求解.【详解】解：(1)如图，∵OB 平分∠DOF∴∠BOD =∠BOF =40°又∵∠AOC 与∠BOD 互为对顶角∴∠AOC =∠BOD =40°∴∠AOC =40°(2)①060x <≤时分成两种情况：如上图情况：∠AOE =∠AOC +∠COE =x°+60°如上图情况：∠AOE =∠COE -∠AOC =60°-x° ②6090x <<时也分成两种情况：如上图情况：∠AOE =∠AOC -∠COE =x°-60°如上图情况：∠AOE =∠AOC +∠COE =x°+60° 综上所述：当060x <≤时，∠AOE 为60°-x °或60°+x ° 当6090x <<时，∠AOE 为x °-60°或60°+x ° 【点睛】本题考查了对顶角，角平分线定义，角的有关定义的应用，主要考查学生的计算能力．23、 (1)-30；(2)-3.5；(3)-4【分析】(1)根据加法结合律和交换律即可得到结果；(2)根据含乘方的有理数的混合运算即可得到结果；(3)根据解一元一次方程的步骤即可得到结果．【详解】解：(1)原式=13+47-（56+34）=60-90=-30；(2)原式=-1×3+4÷（-8）=-3-0.5=-3.5；(3)x22x11 46+--=()()3222112x x+--=364212x x+-+=4x-=4x=-【点睛】本题主要考查的是含乘方的有理数的混合运算以及解一元一次方程，掌握以上知识点是解题的关键．。

2023-2024学年湖南省长沙市雅礼教育集团七年级（上）期末数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.“两岸猿声啼不住，轻舟已过万重山”年8月29日，华为搭载自研麒麟芯片的mate60系列低调开售.据统计，截至2023年10月21日，华为mate60系列手机共售出约160万台，将数据1600000用科学记数法表示应为()A. B. C. D.2.下列图形能折叠成圆锥的是()A. B. C. D.3.下面的计算正确的是()A. B.C. D.4.下列说法错误的是()A.是二次二项式B.0是单项式C.的系数是D.的次数是55.下列方程变形正确的是()A.由，得B.由，得C.由，得D.由，得6.下列图形中，由能判定的是()A. B.C. D.7.一份数学试卷共20道选择题，每道题都给出了4个选项，其中只有一个正确选项，每道题选对得5分，不选或错选倒扣2分，已知小雅得了65分，设小雅选对了x道题，则下列所列方程正确的是()A. B.C. D.8.下列说法中正确的是()A.不相交的两条直线叫做平行线B.把弯曲的河道改直，能够缩短航程，这是由于两点之间，线段最短C.射线AB与射线BA是同一条射线D.线段AB叫做A、B两点间的距离9.如图，某海域有三个小岛A，B，O，在小岛O处观测到小岛A在它的北偏东的方向上，观测到小岛B在它的南偏西的方向上，则的度数是()A.B.C.D.10.有理数a，b，c在数轴上的位置如图，则()A. B.0 C.2c D.二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。

11.如果向东50米记作米，那么向西10米记作______米.12.若代数式与是同类项，那么______.13.已知，则代数式的值为______.14.已知，则补角是______.15.如图，，，则______度.16.定义一种新运算：对任意有理数a，b都有，如，则______.三、解答题：本题共9小题，共72分。

2024-2025学年湖南省长沙市雅礼中学高三上学期月考（三）数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.命题“存在x∈Z，x2+2x+m≤0”的否定是( )A. 存在x∈Z，x2+2x+m>0B. 不存在x∈Z，x2+2x+m>0C. 任意x∈Z，x2+2x+m≤0D. 任意x∈Z，x2+2x+m>02.已知集合A={ i , i2 , i3 ,i4 }(i是虚数单位)，B={ 1 , −1 }，则A∩B=( )A. { −1 }B. { 1 }C. { 1 , −1 }D. ⌀3.已知奇函数f(x)=(2x+m⋅2−x)cos x，则m=( )A. −1B. 0C. 1D. 124.已知m，l是两条不同的直线，α,β是两个不同的平面，则下列可以推出α⊥β的是( )A. m⊥l,m⊂β,l⊥αB. m⊥l,α∩β=l,m⊂αC. m//l,m⊥α,l⊥βD. l⊥α,m//l,m//β5.已知函数f(x)=4cos(ωx+φ)(ω>0)图象的一个最高点与相邻的对称中心之间的距离为5，则f(−6φπ)=( )A. 0B. 2φC. 4D. φ26.已知M是圆C:x2+y2=1上一个动点，且直线l1:mx−ny−3m+n=0与直线l2:nx+my−3m−n=0(m,n∈R,m2+n2≠0)相交于点P，则|PM|的取值范围是( )A. [3−1,23+1]B. [2−1,32+1]C. [2−1,22+1]D. [2−1,33+1]7.P是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一点，F1、F2是C的两个焦点，PF1⋅PF2=0;点Q在∠F1PF2的平分线上，O为原点，OQ//PF1，且|OQ|=b.则C的离心率为( )A. 12B. 33C. 63D. 328.设集合A={(x1,x2,x3,x4,x5)|x i∈{−1,0,1},i=1,2,3,4,5}，那么集合A中满足条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+ |x4|+|x5|≤3”的元素个数为( )A. 60B. 90C. 120D. 130二、多选题：本题共3小题，共18分。

雅礼中学2025届高三月考试卷（三）数学命题人：审题人：得分：________本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页.时量120分钟，满分150分.第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“存在，”的否定是A.存在，B.不存在，C.任意，D.任意，2.若集合（i 是虚数单位），，则等于A. B. C. D.3.已知奇函数，则A.-1B.0C.1D.4.已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列可以推出的是A.，， B.，，C.，， D.，，5.已知函数图象的一个最高点与相邻的对称中心之间的距离为5，则A.0B. C.4D.x ∈Z 220x x m ++…x ∈Z 220x x m ++>x ∈Z 220x x m ++>x ∈Z 220x x m ++…x ∈Z 220x x m ++>{}2341,i ,i ,i A ={}1,1B =-A B ⋂{}1-{}1{}1,1-∅()()22cos x x f x m x -=+⋅m =12m l αβαβ⊥m l ⊥m β⊂l α⊥m l ⊥l αβ⋂=m α⊂m l m α⊥l β⊥l α⊥m l m β()()4cos (0)f x x ωϕω=+>6f ϕπ⎛⎫-=⎪⎝⎭2ϕ2ϕ6.已知是圆上一个动点，且直线与直线（，，）相交于点，则的取值范围为A. B.C. D.7.是椭圆上一点，，是的两个焦点，，点在的角平分线上，为原点，，且.则的离心率为A.8.设集合，那么集合中满足条件“”的元素个数为A.60B.90C.120D.130二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.如图为某地2014年至2023年的粮食年产量折线图，则下列说法正确的是A.这10年粮食年产量的极差为16B.这10年粮食年产量的第70百分位数为35C.这10年粮食年产量的平均数为33.7D.前5年的粮食年产量的方差小于后5年粮食年产量的方差10.已知函数满足，，并且当时，，则下列关于函数说法正确的是M 22:1C x y +=1:30l mx ny m n --+=2:30l nx my m n +--=m n ∈R 220m n +≠P PM 1,1⎤-+⎦1⎤-⎦1,1⎤-+⎦1⎤+⎦P 2222:1(0)x y C a b a b+=>>1F 2F C 120PF PF ⋅= Q 12F PF ∠O 1OQPF OQ b =C 12(){}{}{}12345,,,,|1,0,1,1,2,3,4,5iAx x x x x x i ∈-=A 1234513x x x x x ++++……()f x ()()22f x f x ππ+=-()()0fx f x ππ++-=()0,x π∈()cos f x x =()f xA. B.最小正周期C.的图象关于直线对称D.的图象关于对称11.若双曲线，，分别为左、右焦点，设点是在双曲线上且在第一象限的动点，点为的内心，，则下列说法不正确的是A.双曲线的渐近线方程为B.点的运动轨迹为双曲线的一部分C.若，，则D.不存在点，使得取得最小值答题卡题号1234567891011得分答案第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.的展开式中的系数为________.13.各角的对应边分别为，，，满足，则角的取值范围为________.14.对任意的，不等式（其中e 是自然对数的底）恒成立，则的最大值为________.四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）设为正项等比数列的前项和，，.（1）求数列的通项公式；（2）数列满足，，求数列的前项和.302f π⎛⎫=⎪⎝⎭2T π=()f x x π=()f x (),0π-22:145x y C -=1F 2F P I12PF F △()0,4A C 045x y±=I 122PF PF =12PI xPF yPF =+ 29y x -=P 1PA PF +523x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭4x ABC △a b c 1b ca c a b+++…A *n ∈N 11e 1nan n n ⎛⎫⎛⎫+⋅ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭…a n S {}n a n 21332S a a =+416a ={}n a {}n b 11b =1222log log n nn n b a b a ++={}n b n n T16.（本小题满分15分）如图，在四棱锥，，，，点在上，且，.（1）若为线段的中点，求证：平面；（2）若平面，求平面与平面所成夹角的余弦值.17.（本小题满分15分）已知函数有两个极值点为，，.（1）当时，求的值；（2）若（e 为自然对数的底数），求的最大值.18.（本小题满分17分）已知抛物线的焦点为，为上任意一点，且的最小值为1.（1）求抛物线的方程；（2）已知为平面上一动点，且过能向作两条切线，切点为，，记直线，，的斜率分别为，，，且满足.①求点的轨迹方程；②试探究：是否存在一个圆心为，半径为1的圆，使得过可以作圆的两条切线，，切线，分别交抛物线于不同的两点，和点，，且为定值？若存在，求圆的方程，不存在，说明理由.19.（本小题满分17分）对于一组向量，，，…，（且），令，如果存在，使得，那么称是该向量组的“长向量”.（1）设，且，若是向量组，，的“长向量”，求实数的取值范P ABCD -BCAD 1AB BC ==3AD =E AD PE AD ⊥2DE PE ==F PE BFPCD AB ⊥PAD PAB PCD ()21ln 2f x x x ax =+-1x ()212x x x <a ∈R 52a =()()21f x f x -21e x x …()()21f x f x -2:2(0)E x py p =>F H E HF E P P E M N PM PN PF 1k 2k 3k 123112k k k +=P ()0,(0)Q λλ>P Q 1l 2l 1l 2l E ()11,A s t ()22,B s t ()33,C s t ()44,D s t 1234s s s s Q 1a 2a 3a n a N n ∈3n …123n n S a a a a =++++{}()1,2,3,,p a p n ∈ p n p a S a - …p a(),2n a n x n =+n ∈N 0n >3a 1a 2a 3ax围；（2）若，且，向量组，，，…，是否存在“长向量”？给出你的结论并说明理由；（3）已知，，均是向量组，，的“长向量”，其中，.设在平面直角坐标系中有一点列，，，…，，满足为坐标原点，为的位置向量的终点，且与关于点对称，与（且）关于点对称，求的最小值.sin,cos 22n n n a ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭n ∈N 0n >1a 2a 3a 7a 1a 2a 3a 1a2a3a()1sin ,cos a x x =()22cos ,2sin a x x = 1P 2P 3P n P 1P 2P 3a 21k P +2k P 1P 22k P +21k P +k ∈N 0k >2P10151016P P参考答案一、二、选择题题号1234567891011答案DCADCBCDACDADABD1.D2.C 【解析】集合，，.故选C.3.A【解析】是奇函数，，，，，.故选A.4.D 【解析】有可能出现，平行这种情况，故A 错误；会出现平面，相交但不垂直的情况，故B 错误；，，，故C 错误；，，又由，故D 正确.故选D.5.C 【解析】设的最小正周期为，函数图象的一个最高点与相邻的对称中心之间的距离为5，则有，得，则有，解得，所以，所以.故选C.6.B 【解析】依题意，直线恒过定点，直线恒过定点，显然直线，因此，直线与交点的轨迹是以线段为直径的圆，其方程为：，圆心，半径，而圆的圆心，半径，如图：，两圆外离，由圆的几何性质得：，{}i,1,1,i A =--{}1,1B =-{}1,1A B ⋂=-()f x ()()22cos x x f x m x -=+⋅()()()2222x x x xf x f x m --⎡⎤∴+-=+++⎣⎦cos 0x =()()122cos 0x x m x -∴++=10m ∴+=1m =-αβαβm l m α⊥l βαβ⊥⇒ l α⊥m l m α⇒⊥ m βαβ⇒⊥ ()f x T 224254T ⎛⎫+= ⎪⎝⎭12T =212πω=6πω=()4cos 6f x x πϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭664cos 4cos046f ϕϕπϕππ⎛⎫⎛⎫-=-⨯+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()1:310l m x n y ---=()3,1A ()()2:130l n x m y -+-=()1,3B 12l l ⊥1l 2l P AB 22(2)(2)2x y -+-=()2,2N 2r =C ()0,0C 11r =12NC r r =>+12min1PMNC r r =--=-，所以的取值范围为.故选B.7.C 【解析】如图，设，，延长交于点，由题意知，为的中点，故为中点，又，即，则，又由点在的角平分线上得，则是等腰直角三角形，故有化简得即代入得，即，又，所以，所以，.故选C.8.D 【解析】因为或，所以若，则在中至少有一个，且不多于3个.所以可根据中含0的个数进行分类讨论.①五个数中有2个0，则另外3个从1，-1中取，共有方法数为，②五个数中有3个0，则另外2个从1，-1中取，共有方法数为，③五个数中有4个0，则另外1个从1，-1中取，共有方法数为，所以共有种.故选D.9.ACD 【解析】将样本数据从小到大排列为26，28，30，32，32，35，35，38，39，42，这10年的粮食年产量极差为，故A 正确；，结合A 选项可知第70百分位数为第7个数和第812max1PMNC r r =++=+PM 1⎤-+⎦1PF m =2PF n =OQ 2PF A 1OQ PF O 12F F A 2PF 120PF PF ⋅= 12PF PF ⊥2QAP π∠=Q 12F PF ∠4QPA π∠=AQP △2222,4,11,22m n a m n c b n m ⎧⎪+=⎪+=⎨⎪⎪+=⎩2,2,m n b m n a -=⎧⎨+=⎩,,m a b n a b =+⎧⎨=-⎩2224m n c +=222()()4a b a b c ++-=2222a b c +=222b a c =-2223a c =223e =e =0i x =1i x =1234513x x x x x ++++……()1,2,3,4,5i x i =1i x =i x 2315C 2N =⋅3225C 2N =⋅435C 2N =⋅23324555C 2C 2C 2130N =⋅+⋅+⋅=422616-=1070%7⨯=个数的平均数，即，故B 不正确；这10年粮食年产量的平均数为，故C 正确；结合图形可知，前5年的粮食年产量的波动小于后5年的粮食产量波动，所以前5年的粮食年产量的方差小于后5年的粮食年产量的方差，故D 正确.故选ACD.10.AD 【解析】由于时，，并且满足，则函数的图象关于直线对称.由于，所以，故，故，故函数的最小正周期为，根据，知函数的图象关于对称.由于时，，，故A 正确，由于函数的最小正周期为，故B 错误；由函数的图象关于对称，易知的图象不关于直线对称，故C 错误；根据函数图象关于点对称，且函数图象关于直线对称，知函数图象关于点对称，又函数的最小正周期为，则函数图象一定关于点对称，故D 正确.故选AD.11.ABD 【解析】双曲线，可知其渐近线方程为，A 错误；设，，的内切圆与，，分别切于点，，，可得，，，由双曲线的定义可得：，即，又，解得，则点的横坐标为，由点与点的横坐标相同，即点的横坐标为，故在定直线上运动，B 错误；由，且，解得，，，，则，同理可得：，设直线，直线，联立方程得，设的内切圆的半径为，则，解得，即，353836.52+=()13232302835384239263533.710⨯+++++++++=()0,x π∈()cos f x x =()()22f x f x ππ+=-()f x 2x π=()()0fx f x ππ++-=()()fx f x ππ+=--()()()()()22f xf x f x f x ππππ--+=+=--=-()()()24f x f x f x ππ=-+=+4π()()0fx f x ππ++-=()f x (),0π()0,x π∈()cos f x x =3cos 022222f f ff πππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=--=-=-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭4π()f x (),0π()f x x π=(),0π2x π=()3,0π4π(),0π-22:145x y C -=02x =1PF m =2PF n =12PF F △1PF 2PF 12F F S K T PS PK =11F S FT =22F T F K =2m n a -=12122F S F K FT F T a -=-=122FT F T c +=2F T c a =-T a I T I 2a =I 2x =122PF PF =1224PF PF a -==18PF =24PF =1226F F c ==126436167cos 2868PF F ∠+-∴==⨯⨯12sin PF F ∠==12tan PF F ∠∴=21tan PF F ∠=)1:3PF y x =+)2:3PF y x =-(P 12PF F △r ()12118684622PF F S r =⨯⨯=⨯++⋅△r =I ⎛ ⎝，，，由，可得解得，，故，C 正确；，，当且仅当，，三点共线取等号，易知，故存在使得取最小值，D 错误.故选ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.90 【解析】展开式的通项公式为，令，解得，所以展开式中的系数为.13. 【解析】从所给条件入手，进行不等式化简，观察到余弦定理公式特征，进而利用余弦定理表示，由可得，可得.14. 【解析】对任意的，不等式（其中e 是自然对数的底）恒成立，只需恒成立，只需恒成立，只需恒成立，2,PI ⎛∴=- ⎝ (17,PF =- (21,PF =- 12PI xPF yPF =+ 27,,x y -=--⎧⎪⎨=⎪⎩29x =49y =29y x -=1224PF PF a -== 12244PA PF PA PF AF ∴+=+++…A P 2F ()1min549PA PF +=+=P 1PA PF +523x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭()()521031553C C 3rr rrr r r T x x x --+⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭1034r -=2r =4x 225C 310990⋅=⨯=0,3π⎛⎤⎥⎝⎦()()1b c b a b c a c a c a b+⇒+++++……()()222a c a b b c a bc ++⇒++…cos A 222b c a ac +-…2221cos 22b c a A bc +-=…0,3A π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦11ln2-*n ∈N 11e 1n an n n ⎛⎫⎛⎫+⋅ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭…11e n an +⎛⎫+ ⎪⎝⎭…()1ln 11n a n ⎛⎫++ ⎪⎝⎭…11ln 1a n n -⎛⎫+ ⎪⎝⎭…构造，，，.下证，再构造函数，，，，设，，，令，，，，在时，，单调递减，，即，所以递减，，即，所以递减，并且，所以有，，所以，所以在上递减，所以的最小值为.，即的最大值为.四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.【解析】（1）因为是正项等比数列，所以，公比，因为，所以，即，则，解得（舍去）或，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（3分）又因为，所以，所以数列的通项公式为.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（6分）（2）依题意得，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（7分）当时，，所以，因为，所以，当时，符合上式，所以数列的通项公式为.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（10分）()()11ln 1m x x x =-+(]0,1x ∈()()()()()22221ln 11ln 1x x x m x x x x ++-=++'(]0,1x ∈()(]22ln 1,0,11x x x x+<∈+()()22ln 11x h x x x =+-+(]0,1x ∈()()()2221ln 12(1)x x x xh x x ++-'-=+(]0,1x ∈()()()221ln 12F x x x x x =++--()()2ln 12F x x x =+-'(]0,1x ∈()()2ln 12G x x x =+-(]0,1x ∈()21xG x x=-+'(]0,1x ∈(]0,1x ∈()0G x '<()G x ()()00G x G <=()0F x '<()F x ()()00F x F <=()0h x '<()h x ()00h =()22ln 11x x x+<+(]0,1x ∈()0m x '<()m x (]0,1x ∈()m x ()111ln2m =-11ln2a ∴-…a 11ln2-{}n a 10a >0q >21332S a a =+()121332a a a a +=+21112320a q a q a --=22320q q --=12q =-2q =3411816a a q a ===12a ={}n a 2n n a =1222222log log 2log log 22n n n n n n b a nb a n +++===+2n …()324123112311234511n n b b b b n b b b b n n n --⨯⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=++ ()121n b b n n =+11b =()21n b n n =+1n =1n b ={}n b ()21n b n n =+因为，所以.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（13分）16.【解析】（1）设为的中点，连接，，因为是中点，所以，且，因为，，，，所以四边形为平行四边形，，且，所以，且，即四边形为平行四边形，所以，因为平面平面，所以平面.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（6分）（2）因为平面，所以平面，又，所以，，相互垂直，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（7分）以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，所以，，，，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（9分）设平面的一个法向量为，则取，则，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（11分）设平面的一个法向量为，()211211n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭1111112212221223111n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭M PD FM CM F PE FMED 12FM ED =AD BC 1AB BC ==3AD =2DE PE ==ABCE BC ED 12BC ED =FM BC FM BC =BCMF BFCM BF ⊄,PCD CM ⊂PCD BF PCD AB ⊥PAD CE ⊥PAD PE AD ⊥EP ED EC E ()0,0,2P ()0,1,0A -()1,1,0B -()1,0,0C ()0,2,0D ()1,0,0AB = ()0,1,2AP = ()1,0,2PC =- ()1,2,0CD =-PAB ()111,,m x y z =1110,20,m AB x m AP y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩ 11z =-()0,2,1m =- PCD ()222,,n x y z =则取，则，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（13分）设平面与平面所成夹角为，则∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（15分）17.【解析】（1）函数的定义域为，则，当时，可得，，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（2分）当或时，；当时，；所以在区间，上单调递增，在区间上单调递减；∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（4分）所以和是函数的两个极值点，又，所以，；所以，即当时，.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（6分）（2）易知，又，所以，是方程的两个实数根，则且，，所以，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（9分）所以，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（11分）设，由，可得，令，，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（13分）则，所以在区间上单调递减，222220,20,n PC x z n CD x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 21z =()2,1,1n = PAB PCD θcos θ=()21ln 2f x x x ax =+-()0,+∞()211x ax f x x a x x -+=+-='52a =()()2152122x x x x f x x x'⎛⎫---+ ⎪⎝⎭==10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()2,x ∈+∞()0f x '>1,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0f x '<()f x 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭()2,+∞1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭12x =2x =()f x 12x x <112x =22x =()()()211115152ln225ln 2ln222848f x f x f f ⎛⎫⎛⎫-=-=+--+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭52a =()()21152ln28f x f x -=-()()()()22221212111ln2x f x f x x x a x x x -=+---()21x ax f x x-+='1x 2x 210x ax -+=2Δ40a =->120x x a +=>121x x =2a >()()()()()()()2222222121212112211111lnln 22x x f x f x x x a x x x x x x x x x x -=+---=+--+-()()222222221212111121121111lnln ln 222x x x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫=--=-⋅-=-- ⎪⎝⎭21x t x =21e x x (21)e x t x =…()11ln 2g t t t t ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭e t …()222111(1)1022t g t t t t-⎛⎫=-+=-< ⎪⎝⎭'()g t [)e,+∞得，故的最大值为.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（15分）18.【解析】（1）设抛物线的准线为，过点作直线于点，由抛物线的定义得，所以当点与原点重合时，，所以，所以抛物线的方程为.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（4分）（2）①设，过点且斜率存在的直线，联立消去，整理得：，由题可知，即，所以，是该方程的两个不等实根，由韦达定理可得∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（6分）又因为，所以，，由，有，所以，因为，，，所以点的轨迹方程为.②由①知，设，，且，∙∙∙∙∙∙∙∙∙（9分）联立消去，整理得，又，，，，由韦达定理可得，同理可得，所以，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（11分）又因为和以圆心为，半径为1的圆相切，，即.同理，所以，是方程的两个不等实根，()()11e 1e 1e 12e 22eg t g ⎛⎫=--=-+ ⎪⎝⎭…()()21f x f x -e 1122e -+E l 2py =-H 1HH ⊥l 1H 1HF HH =H O 1min 12pHH ==2p =E 24x y =(),P m n P ():l y k x m n =-+()24,,x y y k x m n ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩y 24440x kx km n -+-=()2Δ164440k km n =--=20k mk n -+=1k 2k 1212,,k k m k k n +=⎧⎨=⎩()0,1F 31n k m -=0m ≠123112k k k +=121232k k k k k +=21m m n n =-0m ≠12n n -=1n ∴=-P ()10y x =-≠(),1P m -()14:1l y k x m =--()25:1l y k x m =--1m ≠±0m ≠()244,1,x y y k x m ⎧=⎪⎨=--⎪⎩y 2444440x k x k m -++=()11,A s t ()22,B s t ()33,C s t ()44,D s t 12444s s k m =+34544s s k m =+()()()212344515454444161616s s s s k m k m k k m m k k =++=+++1l ()0,(0)Q λλ>1()()2224412120m k m k λλλ-++++=()()2225512120m k m k λλλ-++++=4k 5k ()()22212120m k m k λλλ-++++=所以由韦达定理可得∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（14分）所以，若为定值，则，又因为，所以，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（16分）所以圆的方程为.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（17分）19.【解析】（1）由题意可得：，解得.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（3分）（2）存在“长向量”，且“长向量”为，，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（5分）理由如下：由题意可得，若存在“长向量”，只需使，又，故只需使，即，即，当或6时，符合要求，故存在“长向量”，且“长向量”为，.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（8分）（3）由题意，得，，即，即，同理，，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（10分）三式相加并化简，得，即，，所以，设，由得∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（12分）设，则依题意得：∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（13分）()452245221,12,1m k k m k k m λλλ⎧++=-⎪⎪-⎨+⎪=⎪-⎩()()()22222123445452216161616162221621611m m s s s s k k m m k k m m λλλλ=+++=+--+=-+--1234s s s s 220λ-=0λ>λ=Q 22(1x y +=312a a a +…40x -……2a 6a1n a ==p a1n p S a - …()()712371010101,01010100,1S a a a a =++++=+-+++--+++-+=-71p S a -=== 022cos12p π+ (1)1cos 22p π--……2p =2a 6a123a a a + (2)2123a a a + …()22123a a a +...222123232a a a a a ++⋅ (2)22213132a a a a a ++⋅ …222312122a a a a a ++⋅…2221231213230222a a a a a a a a a +++⋅+⋅+⋅…()21230a a a ++…1230a a a ++ …1230a a a ++=()3,a u v = 1220a a a ++= sin 2cos ,cos 2sin ,u x x v x x =--⎧⎨=--⎩(),n n n P x y ()()()()()()212111222222222121,2,,,,2,,,k k k k k k k k x y x y x y x y x y x y ++++++⎧=-⎪⎨=-⎪⎩得，故，，所以，，当且仅当时等号成立，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（16分）故.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（17分）()()()()2222221122,2,,,k k k k x y x y x y x y ++⎡⎤=-+⎣⎦()()()()2222221122,2,,,k k x y k x y x y x y ++⎡⎤=-+⎣⎦()()()()2121221122,2,,,k k x y k x y x y x y ++⎡⎤=--+⎣⎦()()()212222212221221112,4,,4k k k k k k P P x x y y k x y x y k PP ++++++⎡⎤=--=-=⎣⎦22212(sin 2cos )(cos 2sin )58sin cos 54sin21PP x x x x x x x =--+--=+=+ …()4x t t ππ=-∈Z 10151016min1014420282P P =⨯=。

2022-2021学年湖南省雅礼中学高三（下）其次次月考数学试卷（理科）一．选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.把答案填在答题卡中对应题号的框框内.）1．已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2，3}，集合，则A∩B等于（）A．{﹣2，﹣1，0，1} B．{﹣1，0，1} C．{﹣1，0，1，2} D．{﹣1，0，1，2，3}2．若A、B均是非空集合，则A∩B≠∅是A⊆B的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．即不充分也不必要条件3．（中诱导公式、基本公式）已知，且，则tan（2π﹣α）的值为（）A．B．C．D．4．如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2，且侧棱AA1⊥面A1B1C1，正视图是边长为2的正方形，俯视图为一个等边三角形，该三棱柱的左视图面积为（）A．2B．C．2D．45．已知向量满足：，与的夹角为，则=（）A．2 B．4 C．2D．86．设x，y 满足约束条件，则目标函数z=的最小值为（）A．2 B．1 C．D．﹣27．设f（x）定义如下面数表，{x n}满足x0=5，且对任意自然数n均有x n+1=f（x n），则x2022的值为（）x 1 234 5f（x）4 135 2A．4 B．1 C．3 D．28．如图，长沙河西先导区某广场要划定一矩形区域ABCD，并在该区域内开拓出三块外形大小相同的矩形绿化区，这三块绿化区四周和绿化区之间设有1米宽的走道．已知三块绿化区的总面积为800平方米，则该矩形区域ABCD占地面积的最小值为（）平方米．A．900 B．920 C．948 D．9689．已知函数，若存在x1＜x2，使得f（x1）=f（x2），则x1•f（x2）的取值范围为（）A．B．C．D．10．设定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），f′（x）是f（x）的导函数，当x∈[0，1]时，0≤f（x）≤1；当x∈（0，2）且x≠1时，x（x﹣1）f′（x）＜0．则方程f（x）=lg|x|根的个数为（）A．12 B．1 6 C．18 D．20二．填空题：本大题共1小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．（一）选做题（请考生在第11、12、13题中任选两题作答，假如全做，则按前两题给分）【几何证明选讲】11．如图，PC切⊙O于点C，割线PAB经过圆心O，弦CD⊥AB于点E，已知⊙O的半径为3，PA=2，则OE=．【极坐标系与参数方程选讲】12．已知曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的极坐标方程为，它们的交点在平面直角坐标系中的坐标为．【不等式选讲】1011•天津）已知集合A={x∈R||x+3|+|x﹣4|≤9}，B=，则集合A∩B=．（二）必做题（14～16题）14．设（其中e为自然对数的底数），则的值为．15．动点A（x，y）在圆x2+y2=1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知时间t=0时，点A的坐标是，则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t（单位：秒）的函数的单调递增区间是．16．已知数列{a n}的前n项和S n=（﹣1）n •n，若对任意正整数n，（a n+1﹣p）（a n﹣p ）＜0恒成立，则实数P 的取值范围是．三．解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17．设函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）当时，求函数f（x）的最大值和最小值．18．设数列{a n}的前n项和为S n，已知对任意正整数n，都有S n+2=2a n成立．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，数列{b n}的前n项和为T n，求证：T n＜3．19．如图所示，在平面四边形ABCD中，，与的夹角为，与的夹角为．（1）求△CDE的面积S；（2）求．20．已知函数f（x ）=lnx﹣ax+﹣1（a∈R）（1）当a=﹣1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（2）当a≤时，争辩f（x）的单调性．21．若数列{a n}（n∈N*）满足：①a n≥0；②a n﹣2a n+1+a n+2≥0；③a1+a2+…+a n≤1，则称数列{a n}为“和谐”数列．（1）已知数列{a n}，（n∈N*），推断{a n}是否为“和谐”数列，说明理由；（2）若数列{a n}为“和谐”数列，证明：．（n∈N*）22．已知函数f（x）=（1）当x＞0时，证明：f（x）＞；（2）当x＞﹣1且x≠0时，不等式f（x）＜恒成立，求实数k的值．2022-2021学年湖南省雅礼中学高三（下）其次次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.把答案填在答题卡中对应题号的框框内.）1．已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2，3}，集合，则A∩B等于（）A．{﹣2，﹣1，0，1} B．{﹣1，0，1} C．{﹣1，0，1，2} D．{﹣1，0，1，2，3}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：依据集合的基本运算进行求解即可．解答：解：∵A={﹣2，﹣1，0，1，2，3}，集合，∴A∩B={﹣1，0，1}，故选：B点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．若A、B均是非空集合，则A∩B≠∅是A⊆B的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．即不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的推断．专题：规律型．分析：推断出“A∩B≠∅”成立推不出“A⊆B”反之，若“A⊆B”成立，则能推出A∩B≠∅”确定成立，利用充要条件的有关定义得到结论．解答：解：若“A∩B≠∅”成立推不出“A⊆B”反之，若“A⊆B”成立，则有A∩B=A≠∅，所以A∩B≠∅”确定成立，所以A∩B≠∅是A⊆B的必要不充分条件，故选B．点评：本题考查推断一个条件是另一个的什么条件，应当先化简各个条件，若条件是数集的形式，常转化为推断集合间的包含关系．3．（中诱导公式、基本公式）已知，且，则tan（2π﹣α）的值为（）A．B．C．D．考点：同角三角函数基本关系的运用．专题：计算题．分析：先依据诱导公式化简已知条件，得到sinα的值，然后由α的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα的值，把所求的式子利用诱导公式化简后，再依据同角三角函数间的基本关系把切化弦后，将sinα和cosα的值代入即可求出值．解答：解：由，又，得，则．故选B点评：此题考查同学机敏运用诱导公式及同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道中档题．同学在求cosα的值时应留意α的范围．4．如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2，且侧棱AA1⊥面A1B1C1，正视图是边长为2的正方形，俯视图为一个等边三角形，该三棱柱的左视图面积为（）A．2B．C．2D．4考点：简洁空间图形的三视图．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：三棱柱的左视图是一个矩形，矩形的长是三棱柱的侧棱长，宽是底面三角形的一条边上的高，在边长是2的等边三角形中做出底边上的高的长度，得到结果．解答：解：由题意知三棱柱的左视图是一个矩形，矩形的长是三棱柱的侧棱长，宽是底面三角形的一条边上的高，在边长是2的等边三角形中，底边上的高是，∴侧视图的面积是2故选：A．点评：本题考查简洁的空间图形三视图，考查三视图的面积的计算，考查通过原图观看三视图的大小，比较基础．5．已知向量满足：，与的夹角为，则=（）A．2 B．4 C．2D．8考点：平面对量数量积的运算．。

2019-2020学年湖南省长沙市雨花区雅礼中学七年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.在有理数1，0，12，−2中，是负数的为()A. 1B. 0C. −2D. 122.我国首艘国产航母于2018年4月26日正式下水，排水量约为65000吨，将65000用科学记数法表示为()A. 6.5×10−4B. 6.5×104C. −6.5×104D. 65×1043.将如图所示的直角梯形绕直线l旋转一周，得到的立体图形是()A. B. C. D.4.下列结论正确的是()A. abc的系数是0B. 1−3x2−x中二次项系数是1C. −ab3c的次数是5D. −23x4y2的次数是55.下列等式变形错误的是()A. 若a=b，则a1+x2=b1+x2B. 若a=b，则3a=3bC. 若a=b，则ax=bxD. 若a=b，则am =bm6.如图，计划把河水引到水池A中，可以先引AB⊥CD，垂足为B，然后沿AB开渠，则能使所开的渠最短，这样设计的依据是()A. 垂线段最短B. 两点之间，线段最短C. 两点确定一条直线D. 两点之间，直线最短7.如图，AB=8cm，AD=BC=5cm，则CD等于()A. 1cmB. 2cmC. 3cmD. 4cm8.已知∠1与∠2互补，∠3与∠4互补，且∠1=∠3，那么()A. ∠2>∠4B. ∠2<∠4C. ∠2=∠4D. ∠2与∠4大小不确定9.如图，下列条件中，不能判断直线a//b的是()A. ∠1=∠3B. ∠2+∠4=180°C. ∠4=∠5D. ∠2=∠310.表示a、b两数的点在数轴上位置如图所示，则下列判断错误的是()A. a+b<0B. a−b>0C. −a<bD. a<|b|11.已知单项式3a2b m−1与−7a n b互为同类项，则m+n为()A. 1B. 2C. 3D. 412.已知a，b，c为有理数，当a+b+c=0，abc<0，求|a|b+c +|b|a+c−|c|a+b的值为()A. 1或−3B. 1，−1或−3C. −1或3D. 1，−1，3或−3二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）13.有理数2019的倒数为______．14.若∠A=35°，则∠A的余角等于______度．15.已知x=2是关于x的方程2x−k=1的解，则k的值是______．16.关于x，y的多项式xy3+2ax2−5xy+3x2−9不含x2的项，则a=______．17.如图，已知直线AB，CD相交于点O，如果∠BOD=40°，OA平分∠COE，那么∠DOE=______度．18.对于有理数a、b定义运算如下：a∗b=aba+b，则3∗(−4∗5)=______ ．三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）19.计算：−23+(−2−5)÷7+|−19|×(−3)2四、解答题（本大题共7小题，共60.0分）20.解方程：x+12=2−x3−1．a−b)−2b，其中a=−1，b=1．21.先化简，再求值：2(2a2+a−1)−3(a2+2322.如图，直线AB、CD相交于点O，OM⊥AB．(1)若∠1=∠2，证明：ON⊥CD；∠BOC，求∠BOD的度数．(2)若∠1=1323.如图，AB⊥BD，CD⊥BD，∠A与∠AEF互补，以下是证明CD//EF的推理过程及理由，请你在横线上补充适当条件，完整其推理过程或理由．证明：∵AB⊥BD，CD⊥BD(已知)∴∠ABD=∠CDB=______.(______)∴∠ABD+∠CDB=180°∴AB//______(______)又∠A与∠AEF互补(______)∠A+∠AEF=______∴AB//______.(______)∴CD//EF(______)24.某超市计划购进甲、乙两种型号的节能灯共1000只，这两种节能灯的进价、售价如下表：进价(元/只)售价(元/只)甲型2530乙型4560(2)超市为庆祝元旦进行大促销活动，决定对乙型节能灯进行打折销售，要求全部售完后，乙型节能灯的利润率为20%，请问乙型节能灯需打几折？25.定义：对于一个有理数x，我们把[x]称作x的对称数．若x≥0，则[x]=x−2；若x<0，则[x]=x+2.例：[1]=1−2=−1，[−2]=−2+2=0．]，[−1]的值；(1)求[32(2)已知有理数a>0，b<0，且满足[a]=[b]，试求代数式(b−a)3−2a+2b的值；(3)解方程：[2x]+[x+1]=1．26.一副三角尺(分别含45°，45°，90°和30°，60°，90°)按如图所示摆放在量角器上，边PD与量角器0°刻度线重合，边AP与量角器180°刻度线重合，将三角尺ABP绕量角器中心点P以每秒10°的速度顺时针旋转，当边PB与0°刻度线重合时停止运动，设三角尺ABP的运动时间为t．(1)当t=5时，边PB经过的量角器刻度线对应的度数是______度；(2)若在三角尺ABP开始旋转的同时，三角尺PCD也绕点P以每秒2°的速度逆时针旋转，当三角尺ABP停止旋转时，三角尺PCD也停止旋转．①当t为何值时，边PB平分∠CPD；②在旋转过程中，是否存在某一时刻使∠BPD=2∠APC，若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由答案和解析1.【答案】C【解析】解：在有理数1，0，12，−2中，是负数的为−2．故选：C．根据小于0的数是负数，对各选项计算后再计算负数的个数．本题主要考查小于0的数是负数的概念，是基础题．2.【答案】B【解析】解：65000=6.5×104．故选：B．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．3.【答案】D【解析】解：题中的图是一个直角梯形，上底短，下底长，绕对称轴旋转后上底形成的圆小于下底形成的圆，因此得到的立体图形应该是一个圆台．故选：D．根据直角梯形上下底不同得到旋转一周后上下底面圆的大小也不同，进而得到旋转一周后得到的几何体的形状．本题属于基础题，主要考查学生是否具有基本的识图能力，以及对点、线、面、体之间关系的理解．4.【答案】C【解析】解：A、abc的系数是1，选项错误；B、1−3x2−x中二次项系数是−3，选项错误；C、−ab3c的次数是5，选项正确；D、−23x4y2的次数是6，选项错误．故选：C．根据多项式和单项式的次数和系数的定义即可作出判断．此题考查的是多项式和单项式的定义，多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数．5.【答案】D【解析】解：根据等式的性质可知：A.若a=b，则a1+x2=b1+x2.正确；B.若a=b，则3a=3b，正确；C.若a=b，则ax=bx，正确；D.若a=b，则am =bm(m≠0)，所以原式错误．故选：D．根据等式的性质：性质1、等式两边加同一个数(或式子)结果仍得等式；性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．即可判断．本题考查了等式的性质，解决本题的关键是掌握等式的性质．6.【答案】A【解析】解：根据垂线段定理，连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短，∴沿AB开渠，能使所开的渠道最短．故选：A．过直线外一点作直线的垂线，这一点与垂足之间的线段就是垂线段，且垂线段最短．本题考查了垂线段最短，能熟记垂线段最短的内容是解此题的关键．7.【答案】B【解析】【分析】本题考查了线段的和差关系，解题的关键是求出BD的长度.先根据已知条件，利用BD= AB−AD求出线段BD的长度，再利用CD=CB−BD求出线段CD长度即可．【解答】解：∵AB=8cm，AD=5cm，∴BD=AB−AD=8−5=3cm，∵BC=5cm，∴CD=CB−BD=5−3=2cm．故选B．8.【答案】C【解析】解：根据等角的补角相等得∠2=∠4，故选C．利用等角的补角相等即可得到答案．考查余角和补角的相关计算；用到的知识点为：互余的2个角和为90°，互补的2个角和为180°．9.【答案】D【解析】解：A、∵∠1=∠3，∴a//b，(内错角相等，两直线平行)，故此选项错误；B、∵∠2+∠4=180°，∴a//b，(同旁内角互补，两直线平行)，故此选项错误；C、∵∠4=∠5，∴a//b，(同位角相等，两直线平行)，故此选项错误；D、∠2=∠3，无法判定直线a//b，故此选项正确．故选：D．利用平行线的判定方法分别得出即可．此题主要考查了平行线的判定，正确把握平行线的判定方法是解题关键．10.【答案】C【解析】【分析】本题考查的是数轴，先根据a、b两点在数轴上的位置判断出a、b的符号及绝对值的大小是解答此题的关键．先根据a、b两点在数轴上的位置判断出a、b的符号及绝对值的大小，再对各选项进行逐一分析即可．【解答】解：由图可知，b<0<a，|b|>|a|，A、∵b<0<a，|b|>|a|，∴a+b<0，故本选项正确；B、∵b<0<a，∴a−b>0，故本选项正确；C、∵b<0<a，|b|>|a|，∴−a>b，故本选项错误；D、∵b<0<a，|b|>|a|，∴a<|b|，故本选项正确．故选：C．11.【答案】D【解析】解：∵单项式3a2b m−1与−7a n b互为同类项，∴n=2，m−1=1，∴n=2，m=2．则m+n=4．故选：D．根据同类项的概念求解．本题考查了同类项的知识，解答本题的关键是掌握同类项定义中的两个“相同”：相同字母的指数相同．12.【答案】A【解析】解：∵a+b+c=0，∴b+c=−a、a+c=−b、a+b=−c，∵abc<0，∴a、b、c三数中有2个正数、1个负数，则原式=|a|−a +|b|−b−|c|−c=−1−1−1=−3或1−1+1=1或−1+1+1=1．故选：A．因为a+b+c=0，abc<0，则这三个数中只能有一个负数，另两个为正数，把a+b+ c=0变形代入代数式求值即可．本题考查了绝对值的性质，一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0，难点在于判断出负数的个数．13.【答案】12019【解析】解：2019的倒数是12019，故答案为：12019．根据倒数之积等于1可得答案．此题主要考查了倒数，解题的关键是掌握倒数定义．14.【答案】55【解析】解：90°−35°=55°．故答案是：55．若两个角的和为90°，则这两个角互余，据此即可求解．本题主要考查了余角的定义，正确进行角度的计算是解题的关键．15.【答案】3【解析】【分析】本题主要考查一元一次方程的解.方程的解就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，把x=2代入方程2x−k=1就得到关于k的方程，从而求出k的值．【解答】解：把x=2代入方程2x−k=1得：4−k=1，则k=3，故答案为3．16.【答案】−32【解析】解：原式=xy3+(2a+3)x2−5xy−9由题意可知：2a+3=0，∴a=−32，故答案为：−32；根据合并同类项的法则即可求出答案．本题考查合并同类项，解题的关键是熟练运用合并同类项法则，本题属于基础题型．17.【答案】100【解析】解：∵∠BOD=40°，∴∠AOC=∠BOD=40°，∵OA平分∠COE，∴∠COE=2∠AOC=80°，∴∠DOE=180°−80°=100°．故答案为100．根据对顶角相等求出∠AOC，再根据角平分线的定义，即可得出∠COE的度数，进而得到∠DOE的度数．本题考查了对顶角相等的性质，角平分线的定义，熟记性质并准确识图是解题的关键．18.【答案】6017【解析】【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式利用题中的新定义计算即可得到结果．【解答】解：利用题中的新定义得：−4∗5=−4×5−4+5=−20，则3∗(−4∗5)=3∗(−20)=3×(−20)3−20=6017，故答案为：601719.【答案】解：−23+(−2−5)÷7+|−19|×(−3)2=−8+(−7)÷7+19×9=−8+(−1)+1=−8．【解析】根据有理数的乘方、有理数的乘法和加减法可以解答本题．本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．20.【答案】解：x+12=2−x3−1方程两边同时乘以6，得3(x+1)=2(2−x)−63x+3=4−2x−65x=−5x=−1【解析】根据解方程的方法去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为一求解．本题主要考查学生解方程的能力，解方程的方法：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为一．21.【答案】解：2(2a2+a−1)−3(a2+23a−b)−2b=4a2+2a−2−3a2−2a+3b−2b=a2+b−2当a=−1，b=1时，原式=(−1)2+1−2=0．【解析】根据去括号法则、合并同类项法则把原式化简，代入计算得到答案．本题考查的是整式的化简求值，掌握整式的加减混合运算法则是解题的关键．22.【答案】证明：(1)∵OM⊥AB，∴∠AOM=∠BOM=90°，∴∠1+∠AOC=90°，∵∠1=∠2，∴∠2+∠AOC=90°，即∠CON=90°，∴ON⊥CD；(2)∵∠1=13∠BOC，∴∠BOM=2∠1=90°，解得：∠1=45°，∴∠BOD=90°−45°=45°【解析】(1)利用垂直的定义得出∠2+∠AOC=90°，进而得出答案；(2)根据题意得出∠1的度数，即可得出∠BOD的度数．此题主要考查了垂直的定义以及邻补角、对顶角等知识，正确把握垂直的定义是解题关键．23.【答案】90°垂直的定义CD同旁内角互补，两直线平行已知180°EF同旁内角互补，两直线平行 平行于同一条直线的两条直线平行【解析】证明：∵AB ⊥BD ，CD ⊥BD(已知) ∴∠ABD =∠CDB =90°.(垂直的定义) ∴∠ABD +∠CDB =180°∴AB//CD(同旁内角互补，两直线平行) 又∠A 与∠AEF 互补(已知)∴∠A +∠AEF =180°(互补的定义) ∴AB//EF(同旁内角互补，两直线平行)∴CD//EF (平行于同一条直线的两条直线平行)；故答案为：90°；垂直的定义；CD ；同旁内角互补，两直线平行；已知；180°；互补的定义；EF ；同旁内角互补，两直线平行；平行于同一条直线的两条直线平行． 根据平行线的判定与性质解答即可．此题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键． 24.【答案】解：(1)设商场购进甲型节能灯x 只，则购进乙型节能灯(1000−x)只， 由题意，得25x +45(1000−x)=37000 解得：x =400购进乙型节能灯1000−x =1000−400=600(只)答：购进甲型节能灯400只，购进乙型节能灯600只进货款恰好为37000元．(2)设乙型节能灯需打a 折， 0.1×60a −45=45×20%， 解得a =9，答：乙型节能灯需打9折．【解析】(1)设商场购进甲型节能灯x 只，则购进乙型节能灯(1000−x)只，根据甲乙两种灯的总进价为37000元列出一元一次方程，解方程即可；(2)设乙型节能灯需打a 折，根据利润=售价−进价列出a 的一元一次方程，求出a 的值即可．此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数，列出方程．25.【答案】解：(1)[32]=32−2=−12，[−1]=−1+2=1；(2)a >0，b <0，[a]=[b]，即a −2=b +2，解得：a −b =4， 故(b −a)3−2a +2b =(b −a)3−(a −b)=(−4)3−8=−72；(3)当x >0时，方程为：2x −2+x +1−2=1，解得：x =43； 当−1<x ≤0时，方程为：2x +2+x +1−2=1，解得：x =0； 当x ≤−1时，方程为：2x +2+x +1+2=1，解得：x =−43； 故方程的解为：x =±43或0．【解析】(1)根据对称数的定义求得即可；(2)由对称数的定义化简得，b −a =−4，然后代入代数式确定即可； (3)分三种情况化简方程，然后解方程即可．本题考查了对称数的定义，代数式求值以及解一元一次方程，能够根据对称数的概念化简是解题的关键．26.【答案】85【解析】解：(1)180°45°−5×10°=85°，故答案为：85；(2)①如图1所示：∵PB平分∠CPD；∴∠CPB=∠BPD=1∠CPD=30°，2∴∠APC=∠APB−∠CPB=45°−30°=15°，由∠MPN=180°得，10t°+15°+60°+2t°=180°，(或者10t°=180°−45°−30°−2t°)，解得，t=354∴当t=35秒时，边PB平分∠CPD；4②设时间为t秒，则∠APM=10t°，∠DPN=2t°，Ⅰ)当PA在PC左侧时，如图2所示：此时，∠APC=180°−10t°−60°−2t°=120°−12t°，∠BPD=180°−45°−10t°−2t°=135°−12t°，若∠BPD=2∠APC，则135°−12t°=2(120°−12t°)，，解得，t=354Ⅱ)当PA在PC右侧时，如图3，此时，∠APC=10t°+2t°+60°−180°=12t°−120°，∠BPD=2t−∠BPN=2t°−(180°−45°−10t°)=12t°−135°，若∠BPD=2∠APC，则12t°−135°=2(12t°−120°)，解得，t=354，如图4，此时，∠APC=10t°+2t°+60°−180°=12t°−120°，∠BPD=180−45−10t−2t=135−12t，若∠BPD=2∠APC，则135°−12t°=2(12t°−120°)，解得，t=12512．综上所述，当t=354秒或12512秒时，∠BPD=2∠APC．(1)当t=5秒时，由旋转知，10°×5=50°即可得出结论；(2)①如图1，根据PB平分∠CPD，可得10t°=180°−45°−30°−2t°，进而求解；②设时间为t秒，则∠APM=10t°，∠DPN=2t°，分两种情况说明：Ⅰ)当PA在PC左侧时，如图2所示：Ⅱ)当PA在PC右侧时，如图3，4，根据旋转过程列出方程即可求得结论．此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的旋转，量角器的识别，表示出∠APC与∠BPD 是解本题的关键．。

一、选择题1．在数列{}n a 中，11a =，且11nn na a na +=+，则其通项公式为n a =（ ） A ．211n n -+ B ．212n n -+C ．221n n -+D ．222n n -+2．数列{}:1,1,2,3,5,8,13,21,34,...,n F 成为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，该数列从第三项开始，每项等于其前两相邻两项之和，记该数{}n F 的前n 项和为n S ，则下列结论正确的是（ ） A ．201920212S F =+ B ．201920211S F =- C ．201920202S F =+D ．201920201S F =-3．已知数列{}n a 满足25111,,25a a a ==且*121210,n n n n a a a ++-+=∈N ，则*n N ∈时，使得不等式100n n a a +≥恒成立的实数a 的最大值是（ ） A ．19B ．20C ．21D ．224．已知数列{}n a 满足111n n n n a a a a ++-=+，且113a =，则{}n a 的前2021项之积为（ ） A ．23B ．13C ．2-D ．3-5．数学著作《孙子算经》中有这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二(除以3余2)，五五数之剩三(除以5余3)，问物几何？”现将1到2020共2020个整数中，同时满足“三三数之剩二，五五数之剩三”的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{},n a 则该数列共有（ ） A ．132项B ．133项C ．134项D ．135项6．已知数列{}n a 满足112a =，121n n a a n n +=++，则n a =（ ）A ．312n- B ．321n -+ C ．111n -+ D ．312n+ 7．已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足：21<<m m m S S S ++，若0n S >，则n 的最大值为（ ） A ．2m B ．21m +C ．22m +D ．23m +8．数列{a n }中，已知对任意n ∈N *，a 1+a 2+a 3+…+a n =3n ﹣1，则a 12+a 22+a 32+…+a n 2等于（ ） A ．n 2(31)-B ．()n1912- C ．n 91- D ．()n1314-9．已知数列{}n a 的前n 项和22n S n n =+，那么它的通项公式是（ ）A ．21n a n =-B ．21n a n =+C ．41n a n =-D ．41n a n =+10．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”现有高阶等差数列，其前7项分别为1，4，8，14，23，36，54，则该数列的第19项为（ ）（注：()()22221211236n n n n ++++++=）A ．1624B ．1198C ．1024D ．156011．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且510315S S ==，，则20S =（ ） A ．255B ．375C ．250D ．20012．已知数列{}n a 满足：11a =，()*12nn n a a n N a +=∈+．若()*+11()1n n b n n N a λ⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭，1b λ=-，且数列{}n b 是单调递增数列，则实数λ的取值范围为（ ） A ．2λ>B ．3λ>C ．2λ<D ．3λ<二、填空题13．等比数列{}n a 的首项为32，公比为12-，前n 项和为n S ，则当n *∈N 时，1n n S S -的最大值与最小值之和为_________.14．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：11a =，22a =，()*211n n n S a a n +++=-∈N ，则n S =______.15．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，若点(),n n S a 在直线21y x =+上，则5a =__________. 16．已知{}n a 是等比数列，14a =，412a =，则12231n n a a a a a a +++⋅⋅⋅+=______. 17．已知数列{}n a 满足11a = 132n n a a +=+，则{}n a 的通项公式为__________________．18．牛顿迭代法（Newton 's method ）又称牛顿–拉夫逊方法（Newton –Raphsonmethod ），是牛顿在17世纪提出的一种近似求方程根的方法.如图，设r 是()0f x =的根，选取0x 作为r 初始近似值，过点()()00,x f x 作曲线()y f x =的切线,l l 与x 轴的交点的横坐标()()()()100'0'f xx x f xf x=-≠，称1x是r的一次近似值，过点()()11,x f x作曲线()y f x=的切线，则该切线与x轴的交点的横坐标为2x，称2x是r的二次近似值.重复以上过程，直到r的近似值足够小，即把n x作为()0f x=的近似解.设123,,,,nx x x x构成数列{}n x.对于下列结论：①()()()12'nn nnf xx x nf x-=-≥；②()()()1112'nn nnf xx x nf x---=-≥；③()()()()()()12112'''nnnf x f x f xx xf x f x f x=----；④()()()()()()()12111212'''nnnf x f x f xx x nf x f x f x--=----≥.其中正确结论的序号为__________．19．数列{}n a满足()211122,3,1n n nnna a aa na-+--+==+，21a=，33a=，则7a=________.20．已知函数()31xf xx=+，对于数列{}n a有()1n na f a-=（*n N∈且2n≥），如果11a=，那么na=______.三、解答题21．设数列{}n a满足12a=，12nn na a+-=；数列{}n b前n项和为n S，且()2132nS n n=-．（1）求数列{}n a和{}n b的通项公式；（2）若n n nc a b=，求数列{}n c的前n项和n T．22．已知{}n a为等差数列，123,,a a a分别是表第一、二、三行中的某一个数，且123,,a a a 中的任何两个数都不在表的同一列.请从①1，②1，③1的三个条件中选一个填入上表，使满足以上条件的数列{}n a 存在.并在此存在的数列{}n a 中，试解答下列两个问题： （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ，若不等式4n n S a λ+≥对任意的*n ∈N 都成立，求实数λ的最小值.23．设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足对任意*n ∈N ，都有333212n n a a a S +++=.（1）求证：数列{}n a 为等差数列；（2）若()2(1)2n n n b a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T .24．已知定义在R 上的函数()f x ，对任意实数1x ，2x 都有()()()12121f x x f x f x +=++，且()11f =.（1）若对任意正整数n ，有112n n a f ⎛⎫=+⎪⎝⎭，求{}n a 的通项公式； （2）若31n b n =+，求数列{}n n a b 前n 项和n S .25．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意*n N ∈，n a ，n S ，2n 成等差数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列n b 是首项为1，公比为q 的正项等比数列. （i ）求数列{}n b 的前n 项和n T .（ii ）若数列1{2}n n b a +-为单调递增数列，求q 的取值范围.26．已知数列{}n a 满足1112,22n n n a a a ++=-=．（1）证明2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求{}n a 的通项公式；（2）求{}n a 的前n 项和n S ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】先由11n n n a a na +=+得出111n n n a a +-=，再由累加法计算出2122n n n a -+=，进而求出n a .【详解】 解：11nn na a na +=+， ()11n n n a na a ++=∴，化简得：11n n n n a a a a n ++=+， 两边同时除以1n n a a +并整理得：111n nn a a +-=， 即21111a a -=，32112a a -=，43113a a -=，…，1111(2,)n n n n n z a a --=-≥∈， 将上述1n -个式子相加得：213243111111+a a a a a a --+-+ (111)123n n a a -+-=+++…1n +-， 即111(1)2n n n a a --=， 2111(1)(1)2=1(2,)222n n n n n n n n n z a a ---+∴=++=≥∈， 又111a =也满足上式， 212()2n n n n z a -+∴=∈， 22()2n a n z n n ∴=∈-+. 故选：D. 【点睛】 易错点点睛：利用累加法求数列通项时，如果出现1n -，要注意检验首项是否符合.2．B解析：B【分析】利用迭代法可得21123211n n n n n n n F F F F F F F F F ++---=+=+++++++，可得21n n F S +=+，代入2019n =即可求解.【详解】由题意可得该数列从第三项开始，每项等于其前两相邻两项之和， 则211112n n n n n n n n n n F F F F F F F F F F ++----=+=++=+++1211232n n n n n n n n n F F F F F F F F F -------=+++=++++=123211n n n n F F F F F F ---=+++++++，所以21n n F S +=+，令2019n =，可得201920211S F =-，故选：B 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是理解数列新定义的含义得出21n n n F F F ++=+，利用迭代法得出21123211n n n n n n n F F F F F F F F F ++---=+=+++++++，进而得出21n n F S +=+.3．B解析：B 【分析】由等差数列的性质可得数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，再由等差数列的通项公式可得1n n a ，进而可得1n a n=，再结合基本不等式即可得解. 【详解】因为*121210,n n n n a a a ++-+=∈N ，所以12211n n n a a a ++=+， 所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，设其公差为d ， 由25111,25a a a ==可得25112,115a a a ==⋅， 所以111121145d a d a a ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⋅⎪⎩，解得1111a d ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以()1111n n d n a a =+-=，所以1n a n=，所以不等式100n n a a +≥即100n a n+≥对任意的*n N ∈恒成立，又10020n n +≥=，当且仅当10n =时，等号成立， 所以20a ≤即实数a 的最大值是20. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是构造新数列求数列通项及基本不等式的应用.4．B解析：B 【分析】由111n n n n a a a a ++-=+，且113a =，可得：111n n n a a a ++=-，可得其周期性，进而得出结论.【详解】因为111n n n n a a a a ++-=+，且113a =， 所以111nn na a a ++=-， 21132113a +∴==-，33a =-，412a =-，513a =，⋯⋯， 4n n a a +∴=.123411···2(3)()132a a a a ∴=⨯⨯--⋅⨯=.则{}n a 的前2021项之积50511133=⨯=.故选：B 【点睛】方法点睛：已知递推关系式求通项：（1）用代数的变形技巧整理变形，然后采用累加法、累乘法、迭代法、构造法或转化为基本数列(等差数列或等比数列)等方法求得通项公式．（2）通过具体的前几项找到其规律，如周期性等求解.5．D解析：D 【分析】由题意抽象出数列是等差数列，再根据通项公式计算项数. 【详解】被3除余2且被5除余3的数构成首项为8，公差为15的等差数列，记为{}n a ，则()8151157n a n n =+-=-，令1572020n a n =-≤，解得：213515n ≤，所以该数列的项数共有135项. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题以数学文化为背景，考查等差数列，本题的关键是读懂题意，并能抽象出等差数列.6．A解析：A 【分析】利用已知条件得到121111n n a a n n n n +-==-++，再用累加法求出数列的通项，用裂项相消法求数的和. 【详解】 由121n n a a n n +=++得：121111n na a n n n n +-==-++， 即1111n n a a n n--=--， 所以()()()121321n n n a a a a a a a a -=+-+-++-111111*********n n n=+-+-++-=--. 故选：A . 【点睛】 方法点睛：递推公式求通项公式，有以下几种方法：型如：()1n n a a f n +-=的数列的递推公式，采用累加法求通项； 形如：()1n na f n a +=的数列的递推公式，采用累乘法求通项； 形如：1n n a pa q +=+ ()()10pq p -≠的递推公式，通过构造转化为()1n n a t p a t +-=-，构造数列{}n a t -是以1a t -为首项，p 为公比的等比数列，形如：1nn n a pa q +=+ ()()10pq p -≠的递推公式，两边同时除以1n q +，转化为1n n b mb t +=+的形式求通项公式；形如：11n n n n a a d a a ++=-，可通过取倒数转化为等差数列求通项公式.7．C解析：C 【分析】首先根据数列的通项n a 与n S 的关系，得到10m a +>，2<0m a +，12+>0m m a a ++，再根据选项，代入前n 项和公式，计算结果.【详解】由21<<m m m S S S ++得，10m a +>，2<0m a +，12+>0m m a a ++. 又()()()1212112121>02m m m m a a S m a +++++==+，()()()1232322323<02m m m m a a S m a +++++==+，()()()()122221222102m m m m m a a S m a a ++++++==++>.故选:C.【点睛】关键点睛：本题的第一个关键是根据公式11,2,1n n n S S n a S n --≥⎧=⎨=⎩，判断数列的项的正负，第二个关键能利用等差数列的性质和公式，将判断和的正负转化为项的正负.8．B解析：B 【分析】由a 1+a 2+a 3+…+a n ＝3n ﹣1，可求得a n ，从而可知2n a ，利用等比数列的求和公式即可求得答案． 【详解】∵a 1+a 2+a 3+…+a n ＝3n ﹣1，①，∴a 1+a 2+a 3+…+a n +1＝3n +1﹣1，② ②﹣①得：a n +1＝3n +1﹣3n ＝2×3n ，∴a n ＝2×3n ﹣1()2n ≥. 当n ＝1时，a 1＝31﹣1＝2，符合上式，∴a n ＝2×3n ﹣1． ∴221211249,4,9n n nna a a a -+=⨯∴==，∴{}2n a 是以4为首项，9为公比的等比数列， ∴a 12+a 22+a 32+…+a n 2=()()419191921n n⨯-=--． 故选B ． 【点睛】本题考查数列通项公式的确定及等比数列的判断与求和公式的综合应用，属于中档题．9．C解析：C 【解析】分类讨论：当1n =时，11213a S ==+=，当2n ≥时，221(2)2(1)141n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=-⎣⎦， 且当1n =时：1414113n a -=⨯-== 据此可得，数列的通项公式为：41n a n =-.本题选择C 选项.10．C解析：C 【分析】设该数列为{}n a ，令1n n n b a a +=-，设{}n b 的前n 项和为n B ，又令1+=-n n n c b b ，则n c n =，依次用累加法，可求解.【详解】设该数列为{}n a ，令1n n n b a a +=-，设{}n b 的前n 项和为n B ，又令1+=-n n n c b b ， 设{}n c 的前n 项和为n C ，易得n c n =，()()()111121n n n n n n n C c c c b b b b b b +----=+++=++++-所以11n n b b C +=-，1213b a a -==22n n n C +=，进而得21332n n n nb C ++=+=+， 所以()21133222n n n n b n -=+=-+，()()()()2221111121233226n n n n B n n n n +-=+++-++++=+同理：()()()111112n n n n n n n B b b b a a a a a a +---=+++=+++--11n n a a B +-=所以11n n a B +=+，所以191024a =. 故选：C 【点睛】本题考查构造数列，用累加法求数列的通项公式，属于中档题.11．A解析：A 【分析】由等比数列的性质，510515102015,,,S S S S S S S ---仍是等比数列，先由51051510,,S S S S S --是等比数列求出15S ，再由10515102015,,S S S S S S ---是等比数列，可得20S . 【详解】由题得，51051510,,S S S S S --成等比数列，则有210551510()()S S S S S -=-，215123(15)S =-，解得1563S =，同理有215101052015()()()S S S S S S -=--，2204812(63)S =-，解得20255S =.故选：A【点睛】本题考查等比数列前n 项和的性质，这道题也可以先由510315S S ==，求出数列的首项和公比q ，再由前n 项和公式直接得20S 。

2024-2025学年湖南省长沙市雅礼教育集团七年级（上）能力测试数学试卷（9月份）一、填空题（每题4分，共12题，满分48分）1．（4分）为庆祝中国改革开放46周年，某中学举办了一场精彩纷呈的庆祝活动，现场参与者均为在校中学生，其中有一个活动项目是“选数字猜出生年份”，该活动项目主持人要求参与者从1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字中任取一个数字，先乘以10，再加上4.6，将此时的运算结果再乘以10，然后加上1978，最后减去参与者的出生年份（注：出生年份是一个四位数，比如2010年对应的四位数是2010），得到最终的运算结果．只要参与者报出最终的运算结果，主持人立马就知道参与者的出生年份．若某位参与者报出的最终的运算结果是915，则这位参与者的出生年份是．2．（4分）要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排21场比赛，应邀请个球队参加比赛．3．（4分）用黑、白两种颜色的正六边形地面砖按如图所示的规律，拼成若干个图案．则第2024个图案中有白色地面砖块．4．（4分）计算：＝．5．（4分）某楼梯共有n级台阶，现规定每步可以迈1级2级或3级，设从地面到台阶的第n级有a n种不同的迈法，则n＝10时a10＝．6．（4分）一天，小雅去问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢，你若是我现在这么大，我已经是老寿星了，125岁了，哈哈!”请你写出小雅的年龄是岁．7．（4分）若x是实数，则y＝|x﹣1|+|x﹣3|的最小值为．8．（4分）若质数m、n满足5m+7n＝129，则m+n＝．9．（4分）一个盒子里装有不多于200粒棋子，如果每次2粒，3粒，4粒或6粒地取出，最终粒盒内都剩1粒棋子；如果每次11粒地取出，那么正好取完，盒子里共有粒棋子．10．（4分）七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是．11．（4分）我校在本学期4月上旬举行了“古诗词大赛”，最后有小涵、小颖和小睿三位同学进入最后的冠军角逐，决赛共分为六轮．规定：每轮分别决出第一，第二，第三名（不并列），对应名次的得分分别为a，b，c（a＞b＞c，且a，b，c均为正整数）；选手最后得分为各轮得分之和，得分最高者为冠军．如表是三位选手在每轮比赛中的部分得分情况：第一轮第二轮第三轮第四轮第五轮第六轮最后得分小颖a26小睿b c12小涵b10根据题中所给的信息，下列说法正确的是（填序号）．①可求得a+b+c＝8；②小睿每轮比赛都没有获得第一名；③小涵一定有两轮且只有两轮获得第三名；④每轮比赛第二名得分为2分．12．（4分）已知w、x、y、z四个数都不等于0，也互不相等，如果w＝z+，那么w2x2y2z2＝．二、解答题（共8题，第13-16题每题8分，第17-20题每题10分，满分62分）13．（8分）计算：1+2+3+4+ (100)14．（8分）已知b≥0，且a+b＝c+1，b+c＝d+2，c+d＝a+3，求a+b+c+d的最大值．15．（8分）有一片牧场，草每天都在匀速地生长（即草每天增长的量相等），如果放牧24头牛，则6天吃完牧草；如果放牧21头牛，则8天吃完牧草．设每头牛每天吃草的量是相等的，问：（1）如果放牧16头牛，几天可以吃完牧草？（2）要使牧草永远吃不完，至多放牧几头牛？16．（8分）已知x1、x2、x3、…、x n都是+1或﹣1，并且，求证：n是4的倍数．17．（10分）任意一个大于1的正整数n都可以分割为两个正整数的和：n＝p+q（p、q是正整数，且p ≤q），在n的所有这种分割中，如果p、q两数的乘积最大，我们就称p+q是n的“最优分割”，并规定在“最优分割”时：F（n）＝，例如：7可以分解成1+6，2+5，3+4，因为1×6＜2×5＜3×4，所以3+4是7的“最优分割”，所以F（7）＝．（1）证明：任何一个大于0的偶数2k（k为正整数），都有F（2k）＝1；（2）一个三位自然数m，m＝100a+10b+c（1≤a≤9，0≤b≤9，0≤c≤9，a，b，c为整数）满足十位上的数字恰好等于百位上的数字与个位上的数字之和，且m与其十位上数字的2倍之和能同时被3和7整除，求所有满足条件的m中F（m）的最小值．18．（10分）如图所示，已知△ABC面积为1，点D、E、F分别在BC、CA、AB上，且BD＝2DC，CE ＝2EA，AF＝2FB，AD、BE、CF两两相交于P、Q、R，求△PQR的面积．19．（10分）相传，大禹治水时，“洛水”中出现了一个神龟，其背上有美妙的图案，史称“洛书”，用现在的数字翻译出来，就是三阶幻方．三阶幻方是最简单的幻方，又叫九宫格，其对角线、横行、纵向的数字之和均相等，这个和叫做幻和，正中间那个数叫中心数，且幻和恰好等于中心数的3倍．如图1，是由1、2、3、4、5、6、7、8、9所组成的一个三阶幻方，其幻和为15，中心数为5．（1）如图2所示，则幻和＝；（2）如图2所示，在（1）的条件下，若b＝2，c＝5，求a的值；（3）如图3所示：①若A＝a，B＝2a﹣1，C＝9a+7，求整式F；②若A＝2a+1，B＝a﹣2，D＝﹣ka﹣1，是否存在k的值使得三阶幻方中九个整式的和为定值，若存在，求出k的值及定值，若不存在，说明理由．2024-2025学年湖南省长沙市雅礼教育集团七年级（上）能力测试数学试卷（9月份）参考答案与试题解析一、填空题（每题4分，共12题，满分48分）1．【分析】根据题意列出方程，再根据实际情况推理即可得解．【解答】解：设这位参与者的出生年份x，选取的数字为m，（10m+4.6）×10+1978﹣x＝915∴100m+46+1978﹣x＝915，∴x＝1109+100m，∵此时中学生的出生时间应该在2000年后，∴m＝9，∴x＝2009．故答案为：2009．【点评】本题主要考查一元一次方程实际应用以及逻辑推理等知识，理解题意列出关系式进行推理是解题关键．2．【分析】赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），x个球队比赛总场数＝．即可列方程求解．【解答】解：设有x个队，每个队都要赛（x﹣1）场，但两队之间只有一场比赛，x（x﹣1）÷2＝21，解得x＝7或﹣6（舍去）．故应邀请7个球队参加比赛．【点评】解决本题的关键是读懂题意，得到总场数的等量关系．3．【分析】分析：通过观察，前三个图案中白色地砖的块数分别为：6，10，14，所以会发现后面的图案比它前面的图案多4块白色地砖，可得第n个图案有4n+2块白色地砖．【解答】解：∵第1个图案中有白色地砖有4×1+2＝6块，第2个图案中有白色地砖有4×2+2＝10块，第2个图案中有白色地砖有4×3+2＝14块，……猜想：第n个图案中有白色地砖4n+2块，∴第2024个图案中有白色地面砖有2024×4+2＝8098．故答案为：8098．【点评】本题考查观察、归纳的能力，关键是能建立由特殊到一般的分析方法，得到本题的规律为：第n个图案有4n+2块白色地砖，从而得到结果．4．【分析】根据的变化规律，把原式中各分数化为两分数之差的形式，然后用两互为相反数之和为零，得到结果．【解答】解：，＝（）+（）+（）+……+（），＝1﹣，＝1﹣，＝．故答案为：．【点评】本题考查了分数化简，相反数性质的应用，关键是发现分子是1，分母是两相邻数之积的分数化简规律，从而得到结果．5．【分析】分别求出a1，a2，a3【解答】解：当n＝1时，只能迈1级到达第1级台阶，所以a1＝1．当n＝2时，可以分两次迈1级，也可以一次迈2级，所以a2＝2．当n＝3时，可以分三次迈1级，也可以先迈2级再迈1级，或先迈1级再迈2级，也可以一次迈3级，所以a3＝4．当n＝4时，若先迈1级，则其余3级就有a3种方法；若先迈2级，则其余2级就有a 2种方法； 若先迈3级，则其余1级就有a 1种方法； 所以a 4＝a 3+a 2+a 1＝4+2+1＝7． 同理可得，a 5＝a 4+a 3+a 2＝7+4+2＝13， a 6＝a 5+a 4+a 3＝13+7+4＝24， a 7＝a 6+a 5+a 4＝24+13+7＝44， a 8＝a 7+a 6+a 5＝44+24+13＝81， a 9＝a 8+a 7+a 6＝81+44+24＝149， a 10＝a 9+a 8+a 7＝149+81+44＝274． 故答案为：274．【点评】本题考查实数计算中的规律，能根据题意得出a n ＝a n ﹣1+a n ﹣2+a n ﹣3（n 为大于等于4的正整数）是解题的关键．6．【分析】设小雅爷爷是x 岁，小雅是y 岁，根据爷爷及小民年龄之间的关系，即可得出关于 x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论．【解答】解：设小雅爷爷是x 岁，小雅是y 岁， 依题意得：，解得：，答：小雅的年龄是15岁． 故答案为：15．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 7．【分析】根据x ＜1，1≤x ≤3及x ＞3三种情况，原式利用绝对值的代数意义化简，确定出y 的最小值即可．【解答】解：当x ＜1时，x ﹣1＜0，x ﹣3＜0，此时y ＝1﹣x +3﹣x ＝4﹣2x ， ∵x ＜1，∴﹣2x ＞﹣2，即4﹣2x ＞2；当1≤x ≤3时，x ﹣1≥0，x ﹣3≤0，此时y ＝x ﹣1+3﹣x ＝2； 当x ＞3时，x ﹣1＞0，x ﹣3＞0，此时y ＝x ﹣1+x ﹣3＝2x ﹣4， ∵x ＞3，∴2x＞6，即2x﹣4＞2，综上，y＝|x﹣1|+|x﹣3|≥2，即最小值为2．故答案为：2．【点评】此题考查了绝对值函数的最值，绝对值，利用了分类讨论的思想，熟练掌握绝对值的代数意义是解本题的关键．8．【分析】先根据5m+7n＝129判断出m、n的奇偶性，再根据在所有偶数中只有2是质数可判断出m、n的值，代入所求代数式即可．【解答】解：若m，n都是奇数，则5m+7n为偶数，∵129是奇数，∴m，n为一奇一偶，∵m、n为质数，∴m，n必有一个为2，假设m＝2，则n＝17，m+n＝2+17＝19，假设n＝2，则m＝23，m+n＝2+23＝25，∴m+n＝19或25．故答案为：19或25．【点评】本题考查的是质数与合数的概念、奇数与偶数的概念，解答此题的关键是熟知在所有偶数中只有2是质数这一关键知识点．9．【分析】根据题意，可以得到盒子里的棋子数，是是2，3，4，6的倍数+1，且是11的整数倍；得到棋子数是12的倍数+1，且也是11的倍数，不大于200，即可得到结果为．【解答】解：根据题意，棋子数是2，3，4，6的倍数+1，且是11的整数倍，∵2，3，4，6的最小公倍数是12，∴可设棋子数为：12a+1，也可表示为：11b，且棋子数不多于200，（a，b为自然数），∴棋子数为：12×10+1＝11×11＝121．故答案为：121．【点评】本题考查了数字的规律推导，关键是根据题意得到棋子数是12的倍数多1，也是11的倍数，还小于200的条件，即可得到结果．10．【分析】由排列组合中的不相邻问题插空法运算即可得解．【解答】解：①除甲乙外，其余5个排列数为，②用甲乙去插6个空位有，综合①②得不同的排法种数是＝5×4×3×2×1×6×5＝3600．故答案为：3600．【点评】本地考查了排列组合中的不相邻问题，属基础题．11．【分析】首先根据每轮分别决出第1，2，3名（不并列），可得（a+b+c）×6＝26+12+10＝48，所以a+b+c＝8，然后根据小涵的得分，推得a≥5；再根据a＞b＞c及b+c最小取3，可知a＝5，进而求出b 和c的值，再逐项判断即可．【解答】解：∵每轮分别决出第1，2，3名（不并列），∴（a+b+c）×6＝26+12+10＝48，∴a+b+c＝8，选项①符合题意；∵小涵的得分最高为6a，∴6a≥26，∵a为正整数，∴a≥5，∵a＞b＞c，且a，b，c均为正整数，∴b、c的最小值分别为2、1，∴b+c≥3，∵a+b+c＝8，∴a≤5，又∵a≥5，∴a＝5，b＝2，c＝1，选项④符合题意；∵26＝5×5+1，∴小涵5轮得第一，1轮得第三；假设小睿有1轮获得第1名，则小睿的得分至少是5+2+1+1+1+1＝11（分），与小睿实际得了（10分）不符，∴小睿没有1轮获得第1名，小颖有1轮获得第1名，∴选项②不符合题意；∵12﹣5﹣2﹣1＝4（分），∴小颖1轮得第一，2轮得第二，3轮得第三，∴小睿4轮得第二，2轮得第三，∴选项③符合题意，综上，可得：说法正确的是①③④，故答案为：①③④．【点评】此题主要考查了推理，比赛得分问题中的推理与论证，解答此题的关键是求出a、b、c的值．12．【分析】先根据w＝z+分别表示出w﹣x，x﹣y，y﹣z，z﹣w的值，再把这四个式子进行相乘，即可求出w2x2y2z2的值．【解答】解：∵w，∴w﹣x＝﹣＝，同理可得：x﹣y＝﹣＝，y﹣z＝，z﹣w＝，∴（w﹣x）（x﹣y）（y﹣z）（z﹣w）＝•••＝∴w2x2y2z2＝1．故答案为：1．【点评】此题考查了对称式和轮换对称式；解题的关键是通过变形得出（w﹣x）（x﹣y）（y﹣z）（z ﹣w）＝．二、解答题（共8题，第13-16题每题8分，第17-20题每题10分，满分62分）13．【分析】从1到100是连续的100个数相加，把100个数首尾相加，第2个和倒数第2个相加，以此类推，共有50对，且每两个数的和，都是101，从而得到结果．【解答】解：1+2+3+4+…+100＝（1+100）+（2+99）+（3+98）+……+（50+51）＝101×50＝5050．【点评】本题考查了重点是有理数的运算，关键是能从这100个相加的连续自然数中发现规律：首尾相加，第2个和倒数第2个相加，以此类推，从而得到50对，他们的和相等，得到结果．14．【分析】分别表示出a，b，c，d，然后通过分别代入，使最后成为只含b的代数式，b的范围知道从而得解．【解答】解：∵a+b＝c+1，b+c＝d+2，c+d＝a+3，∴2b+c＝6，c＝6﹣2b，代入a+b＝c+1得a＝7﹣3b，代入b+c＝d+2得d＝4﹣b，则a+b+c+d＝17﹣5b，因为b≥0，所以当b取0时，a+b+c+d的最大值为17．【点评】本题对称式和轮换对称式，关键是根据代数式的运算，用代入法，转换成关于b的代数式，从而求出取值范围．15．【分析】首先设牧场原有草量为a，每天生长的草量为b，每头牛每天吃草量为c，16头牛x天吃完草．（1）根据原草量+每天生长的草量×放牧的天数＝每头牛每天吃草量×头数×天数列出方程组，可解得x的值即为所求．（2）假设要使牧草永远吃不完，至多放牧y头牛．要使牧草才永远吃不完，则有所求．【解答】解：设牧场原有草量为a，每天生长的草量为b，每头牛每天吃草量为c，16头牛x天吃完草．（1）由题意得：由②﹣①得b＝12c④由③﹣②得（x﹣8）b＝（16x﹣168）c⑤将④代入⑤得（x﹣8）×12c＝（16x﹣168）c，解得x＝18（2）设至多放牧y头牛，牧草才永远吃不完，则有cy≤b，即每天吃的草不能多于生长的草，y≤＝12．答：（1）如果放牧16头牛，18天可以吃完牧草；（2）要使牧草永远吃不完，至多放牧12头牛．【点评】本题考查三元一次方程组的应用．有些应用题，它所涉及到的量比较多，量与量之间的关系也不明显，需增设一些表知敷辅助建立方程，辅助表知数的引入，在已知条件与所求结论之间架起了一座“桥梁”，对这种辅助未知量，并不能或不需求出，可以在解题中相消或相约，这就是我们常说的“设而不求”．16．【分析】可以分两步，先证n是偶数2k，再证明k是偶数，解题的关键是从已知等式左边各项的特点受到启发，挖掘隐含的一个等式．【解答】证明：，，…不是1就是﹣1，设这n个数中有a个1，b个﹣1，则a+b＝n，a ×1+b×（﹣1）＝a﹣b＝0，所以得：n＝2b，又因为（•…）＝1，即1a•（﹣1）b＝1，由此得b为偶数，又∵b＝2m，∴n＝2b＝4m，故n是4的倍数．【点评】本题考查奇偶数的性质关键是先证n是偶数2k，再证明k是偶数．17．【分析】（1）根据新定义找到“最优分割”，即可证明；（2）根据三位数各个位上的数字特征表示a、b、c之间的关系，再找出能被3和7整除的数，继续求它们的最小值即可．【解答】（1）证明：2k（k为正整数）可以分解成（k﹣n）+（k+n）（n＜k且n是非负整数），∵（k﹣n）（k+n）＝k2﹣n2≤k2，即当n＝0时，（k﹣n）（k+n）乘积最大，∴k+k是2k的“最优分割”，∴F（2k）＝1．（2）解：∵十位上的数字恰好等于百位上的数字与个位上的数字之和，∴b＝a+c，∴m+2b＝100a+10b+c+2b＝100a+10b+（a﹣b）+2b＝99a+13b，∵m+2b能同时被3和7整除，∴b一定是3的倍数，又∵0≤b≤9，∴b 可能取值是3，6，9，∴①当b ＝3时，m +2b ＝3（33a +13）（1≤a ≤3）；②当b ＝6时，m +2b ＝3（33a +26）（1≤a ≤6）；③当b ＝9时，m +2b ＝9（11a +13）（1≤a ≤9）；∴33a +13、33a +26、11a +13分别是7的倍数，经检验a ＝2，a ＝3，a ＝6，a ＝9时成立，所以满足条件的m 有297，990，660，330，∵990，660，330都是偶数，∴990，660，330的F （m ）＝1，∵148+147是297的“最优分割”，∴F （297）＝，∴满足所有条件的m 中F （m ）的最小值是． 【点评】本题考查了新定义，审清题意理解新定义并根据新定义的要领解答是解题的关键． 18．【分析】连接BR ，设△CDR 的面积为a ，△BRF 的面积为b ，利用S △CDR +S △BDR +S △BRF ＝，S △BDR +S △BRF +S △ARF ＝，列出方程组求出a 的值，同理可求出S △APE ＝S △BFQ ，利用S △PQR ＝S △BCE ﹣（S △BCF ﹣S △BFQ ）﹣（S △ACD ﹣S △APE ﹣S △CDR ）求解即可得出答案．【解答】解：连接BR ，设△的面积为a ，△BRF 的面积为b ，∵BD ＝2DC ，AF ＝2FB ，∴△BDR 的面积为2a ，△ARF 的面积为2b ，∵已知△ABC 面积为1，∴S △CDR +S △BDR +S △BRF ＝，S △BDR +S △BRF +S △ARF ＝，∴， 解得，∴△CDR 的面积为，同理可得S △APE ＝S △BFQ ＝， S △PQR ＝S △BCE ﹣（S △BCF ﹣S △BFQ ）﹣（S △ACD ﹣S △APE ﹣S △CDR ）＝+S △BFQ ﹣+S △APE +S △CDR＝S △BFQ +S △APE +S △CDR＝×3＝．【点评】本题主要考查了面积与等积变换，解题的关键是正确作出辅助线，求出S △BFQ ＝S △APE ＝S △CDR＝．19．【分析】（1）由幻和等于中心数的3倍即可得答案；（2）由b ＝2，c ＝511，再根据11+6+a ＝18即得a 的值；（3）①由A ＝a ，B ＝2a ﹣1，C ＝9a +7得幻和为12a +6，即得中心数E ＝4a +2，从而I ＝（12a +6）﹣a ﹣（4a +2）＝7a +4，故F ＝（12a +6）﹣C ﹣I ＝﹣4a ﹣5；②设E ＝x ，则幻和为3x ，由A ＝2a +1，B ＝a ﹣2，得C ＝3x ﹣3a +1，即得G ＝3x ﹣C ﹣E ＝﹣x +3a ﹣1，根据A +D +G ＝3x ，D ＝﹣ka ﹣1，可得4x ＝（﹣k +5）a ﹣1，令﹣k +5＝0，﹣1＝4x ，即可得答案．【解答】解：（1）由题意可得，幻和＝6×3＝18，故答案为：18；（2）由（1）知幻和为18，∵b ＝2，c ＝5，∴第三行第二列的数字为：18﹣b ﹣c ＝18﹣2﹣5＝11，∴11+6+a ＝18，∴a ＝1；（3）①∵A＝a，B＝2a﹣1，C＝9a+7，∴幻和为：a+2a﹣1+9a+7＝12a+6，∴中心数E＝（12a+6）÷3＝4a+2，∵A＝a，E＝4a+2，∴I＝（12a+6）﹣a﹣（4a+2）＝7a+4，∵C＝9a+7，C+F+I＝12a+6，∴F＝（12a+6）﹣C﹣I＝12a+6﹣（9a+7）﹣（7a+4）＝﹣4a﹣5；②存在k的值，使得三阶幻方中九个整式的和为定值，设E＝x，则幻和为3x，∵A＝2a+1，B＝a﹣2，∴C＝3x﹣（2a+1）﹣（a﹣2）＝3x﹣3a+1，∵C+E+G＝3x，∴G＝3x﹣C﹣E＝3x﹣（3x﹣3a+1）﹣x＝﹣x+3a﹣1，∵A+D+G＝3x，D＝﹣ka﹣1，∴（2a+1）+（﹣ka﹣1）+（﹣x+3a﹣1）＝3x，∴4x＝（﹣k+5）a﹣1，∴﹣k+5＝0，﹣1＝4x，∴k＝5，x＝﹣，∴当k＝5时，九个整式的和为9x＝﹣，∴存在k的值，使得三阶幻方中九个整式的和为定值，其中k＝5，定值为﹣．【点评】本题考查规律型数学问题，幻方图等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．。

一、解答题1．某粮库6天内粮食进、出库的吨数如下（“＋”表示进库，“－”表示出库）＋25，－22，－14，＋35，－38，－20（1）经过这6天，仓库里的粮食是增加了还是减少了？）（2）经过这6天，仓库管理员结算时发现库里还存280吨粮，那么6天前仓库里存粮多少吨？（3）如果进出的装卸费都是每吨5元，那么这6天要付多少装卸费？解析：（1）减少了34吨；（2）314吨；（3）770元【分析】（1）求出6天的数据的和即可判断；（2）根据（1）中结果计算即可；（3）求出数据的绝对值的和，再乘5即可；【详解】解：（1）25−22−14＋35−38−20＝−34＜0，答：经过6天，粮库里的粮食减少了34吨；（2）280＋34＝314（吨），答：6天前粮库里的存量314吨；（3）（25＋22＋14＋35＋38＋20）×5＝770（元），答：这6天要付出770元装卸费．【点睛】本题考查有理数混合运算的实际应用，正确理解题意，列出算式是解题的关键．2．计算：（1）5721()()129336--÷-（2）22115()(3)(12)23-+÷-⨯---⨯解析：（1）37；（2）50．【分析】（1）先把除法转化为乘法，然后根据乘法分配律计算即可求出值；（2）原式先计算乘方运算，再计算乘除运算，最后算加减运算即可求出值．【详解】（1）原式=572()(36)15282437 1293--⨯-=-++=．（2）原式=15(3)(3)(14)2145650-+⨯-⨯---⨯=-++=．【点睛】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．3．计算（1）18()5(0.25)4+----（2）2﹣412()(63)7921-+⨯- （3）1373015-⨯ （4）22220103213()2(1)43⎡⎤--⨯-⨯--÷-⎢⎥⎣⎦． 解析：（1）3；（2）37；（3）﹣236；（4）72 【分析】（1）本式为简单的有理数加减运算，从左到右先将分数进行计算，再从左到右计算即可． （2）按照有理数混合运算的顺序，利用乘法分配律直接去括号，再进行运算． （3）将﹣71315分解为﹣7﹣1315，再利用乘方分配律进行计算即可． （4）分别根据有理数的乘方计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．【详解】解：（1）18()5(0.25)4+---- ＝118544--+ ＝3；（2）2﹣412()(63)7921-+⨯- ＝4122(63)(63)(63)7921⎡⎤-⨯--⨯-+⨯-⎢⎥⎣⎦ ＝2﹣（﹣36+7﹣6），＝2﹣（﹣35）＝37；（3）1373015-⨯ ＝﹣7×30+（﹣1315）×30 ＝﹣210﹣26=﹣236； （4）22220103213()2(1)43⎡⎤--⨯-⨯--÷-⎢⎥⎣⎦ ＝341(92)149--⨯-⨯-÷ ＝912-+＝72． 【点睛】此题考查了有理数的混合运算注意：要正确掌握运算顺序，即乘方运算（和以后学习的开方运算）叫做三级运算；乘法和除法叫做二级运算；加法和减法叫做一级运算．在混合运算中要特别注意运算顺序：先三级，后二级，再一级；有括号的先算括号里面的；同级运算按从左到右的顺序．4．计算 ①()115112236⎛⎫--+--- ⎪⎝⎭ ②()32112114132⎛⎫⎛⎫-÷-⨯--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭③524312(4)()12(152)2-÷-⨯-⨯-+④()()213132123242834⎛⎫⎛⎫-÷--+-⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⑤222019111()22(1)2⎡⎤---÷--⨯-÷-⎢⎥⎣⎦ 解析：①-2；②458-；③-10；④-9；⑤-13． 【分析】 ①先去括号和绝对值，在进行加减运算即可．②先运算乘方，去括号，再将除法改为乘法，最后进行混合运算即可．③先运算乘方，再去括号，最后进行混合运算即可．④先运算乘方，利用乘法分配律去括号，再将除法改为乘法，最后进行混合运算即可． ⑤先运算乘方，再将除法改为乘法，再去括号，去绝对值，最后进行混合运算即可．【详解】①原式14171236=+-- 386176666=+-- 2=-． ②原式3274()(3)()48=-⨯-⨯--- 2798=-+ 458=-．③原式3132(4)12(1516)4=-÷-⨯-⨯-+ 181214=⨯-⨯ 10=-．④原式()()()()1171542242424834=⨯--⨯--⨯-+⨯- 8335690=-++-9=-．⑤原式11(12)2(1)4=---÷-⨯÷- 1(142)2=-+-⨯-⨯1(6)2=-+-⨯112=--13=-．【点睛】本题考查有理数的混合运算，掌握有理数混合运算的顺序是解答本题的关键．5．计算：（1）412115(2)5⎡⎤⎛⎫----⨯-÷- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（2）1111243812⎛⎫÷-+- ⎪⎝⎭（要求简便方法计算） 解析：（1）-21；（2）17-【分析】 （1）先进行幂的运算，再算括号里面的，去括号应注意括号前的负号，再算加减． （2）除数和被除数同时乘24可得1111243812⎡⎤⎛⎫÷⨯-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦再算括号里的可得出答案． 【详解】解：（1）原式＝﹣16﹣[-11+1]÷(-2)＝﹣16-5=-21；（2）原式＝1111243812⎡⎤⎛⎫÷⨯-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦＝[]1832÷-+-1(7)=÷-=17- 【点睛】本题考查的是有理数的加减、乘除以及乘方的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 6．计算：（1）32(1)(2)(34)5⎡⎤--+---⨯⎣⎦（2）121123436⎛⎫⎛⎫-+-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解析：（1）10；（2）3【分析】（1）先算乘方和小括号，再算中括号，后算加减即可；（2）把除法转化为乘法，再用乘法的分配率计算即可．【详解】解：（1）32(1)(2)(34)5⎡⎤--+---⨯⎣⎦ 1[4(1)5]=+--⨯1(45)10=++=；（2）1211121(36)23436234⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-÷-=-+-⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 121(36)(36)(36)234=-⨯-+⨯--⨯- 182493=-+=．【点睛】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握混合运算的顺序是解答本题的关键．混合运算的顺序是先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，按从左到右的顺序计算；如果有括号，先算括号里面的，并按小括号、中括号、大括号的顺序进行；有时也可以根据运算定律改变运算的顺序．7．计算下列各式的值：（1）1243 3.55-+-（2）131(48)64⎛⎫-+⨯- ⎪⎝⎭（3）22350(5)1--÷--解析：（1）-24.3；（2）-76；（3）-12【分析】（1）先将减法化为加法，再计算加法即可；（2）利用乘法分配律计算即可；（3）先计算乘方，再计算除法，最后计算减法．解：（1）原式=24 3.2( 3.5)-++-=-24.3；（2）原式=131(48)(48)(48)64⨯--⨯-+⨯- =488(36)-++-=-76；（3）原式=950251--÷-＝921---=9(2)(1)-+-+-=-12．【点睛】本题考查有理数的混合运算．熟记运算顺序和每一步的运算法则是解题关键．8．计算： （1）()4235524757123⎛⎫÷--⨯-÷- ⎪⎝⎭； （2）()3218223427⎛⎫-⨯+-⨯- ⎪⎝⎭． 解析：（1）0；（2）1-．【分析】（1）原式先把除法转换为乘法，再逆用乘法分配律进行计算即可得到答案；（2）原式先计算乘方运算，再计算乘法运算，最后算加减运算即可求出值．【详解】解：（1）()4235524757123⎛⎫÷--⨯-÷- ⎪⎝⎭ 45355171271234⎛⎫=⨯--⨯+⨯ ⎪⎝⎭ 4535571271212=-⨯-⨯+ 43517712⎛⎫=--+⨯ ⎪⎝⎭ 5012=⨯ 0=； （2）()3218223427⎛⎫-⨯+-⨯- ⎪⎝⎭ ()98427427⎛⎫-⨯+-⨯- ⎝=⎪⎭1=-．【点睛】此题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．9．计算：（1）()213433⎛⎫---+-+ ⎪⎝⎭； （2）()()202011232---+-+． 解析：（1）-6；（2）132- 【分析】（1）先化为省略括号的形式，将整数及分数分别相加，再计算加法；（2）先计算乘方，同时计算绝对值及去括号，再计算加减法．【详解】（1）解：原式=213433-+-+ ()213433⎛⎫=--++ ⎪⎝⎭71=-+6=-；（2）解：原式=11232--+ =142- =132-． 【点睛】 此题考查有理数的混合运算，掌握有理数加减混合运算法则及有理数乘方运算法则是解题的关键．10．某市质量监督局从某公司生产的婴幼儿奶粉中，随意抽取了20袋进行检查，超过标准质量的部分记为正数，不足的部分记为负数，抽查的结果如下表：（2）若每袋奶粉的标准质量为480克，则抽样检测的这些奶粉的总质量是多少克？ 解析：（1）多1.75克；（2）9635克【分析】（1）先计算出平均质量，若正则比标准质量多，若负则比标准质量少；（2）抽样总质量等于标准总质量加上超出的质量，或等于平均每袋质量乘以抽取的袋数．【详解】解：（1）()()15505551035110203520 1.571-÷=÷=⎡⨯+-⨯+⎤⎣⨯++⨯++⎦⨯⨯（克）．所以这批样品每袋的平均质量比标准质量多1.75克．（2）()5428001.56793+⨯=（克）所以抽样检测的这些奶粉的总质量为9635克．【点睛】本题考查了有理数的混合运算和正负数的意义．有理数混合运算的顺序：先算乘除再算加减，有括号的先算括号里面的．11．计算：（1）()222112136⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+---÷- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦（2）131121346⎛⎫-⨯-+ ⎪⎝⎭解析：（1）1；（2）9-【分析】（1）先算括号里面的，再算括号外面的即可；（2）根据乘法分配律计算即可；【详解】（1）()222112136⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+---÷- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 11463⎡⎤=-+-⨯⎢⎥⎣⎦， 121=-+=；（2）131121346⎛⎫-⨯-+ ⎪⎝⎭， ()()()431121212346=-⨯--⨯+-⨯， 16929=-+-=-；【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，准确计算是解题的关键．12．在数轴上表示下列各数:14, 1.5,3,0,2.5,52----，并将它们按从小到大的顺序排列．解析：图见解析，153 1.50 2.542--<-<-<<<【分析】在数轴上表示出各数，再按照从左到右的顺序用“＜”号把它们连接起来即可．【详解】解: 5=-5--如图所示:故:153 1.50 2.542--<-<-<<<．【点睛】本题考查的是有理数的大小比较，熟知数轴的特点是解答此题的关键．13．计算题：（1）3×（﹣4）﹣28÷（﹣7）；（2）﹣12020+（﹣2）3×1123⎛⎫-+⎪⎝⎭．解析：（1）﹣8；（2）13．【分析】（1）先计算乘除，再计算加减，即可得到答案；（2）先计算乘方、然后计算乘法和括号内的运算，再计算加法即可．【详解】解：（1）3×（﹣4）﹣28÷（﹣7）＝（﹣12）+4＝﹣8；（2）﹣12020+（﹣2）3×1123⎛⎫-+⎪⎝⎭．=－1+（－8）×16⎛⎫-⎪⎝⎭=4 13 -+=13．【点睛】本题考查了有理数的加减乘除运算，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题． 14．计算：（1）22123()0.8(5)35⎡⎤-⨯--÷-⎢⎥⎣⎦（2）5233(2)4()(12)1234⨯-+-+--⨯- 解析：（1）13；（2）10． 【分析】（1）依据有理数的混合运算的运算顺序和法则依次运算即可；（2）分别计算乘法、绝对值和后面用乘法分配律计算，再将结果相加、减．【详解】解：（1）原式=12790.8()95⎡⎤-⨯-÷-⎢⎥⎣⎦ =95()()527-⨯-=13； （2）原式=52364[(12)(12)(12)]1234-++⨯--⨯--⨯- =64(589)-++-++ =6412-++=10．【点睛】本题考查有理数的混合运算．解决此题的关键是正确把握运算顺序和每一步的运算法则．注意运算律的运用．15．计算：－32＋2×（－1）3－（－9）÷213⎛⎫ ⎪⎝⎭解析：70【分析】先计算乘方，然后计算乘除，再计算加减，即可得到答案．【详解】解：原式=92(1)(9)9-+⨯---⨯=9281--+=70．【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题． 16．高速公路养护小组，乘车沿东西方向公路巡视维护，如果约定向东为正，向西为负，当天的行驶记录如下（单位：千米）：＋17，－9，＋7，－15，－3，＋11，－6，－8，＋5，＋16（1）养护小组最后到达的地方在出发点的哪个方向？距出发点多远？ （2）若汽车耗油量为0.2升/千米，则这次养护共耗油多少升？解析：（1）最后到达的地方在出发点的东边，距出发点15千米；（2）这次养护共耗油19.4升． 【分析】（1）求出这一组数的和，结果是正数则在出发点的东边，是负数则在出发点的西侧； （2）所走的路程是这组数据的绝对值的和，然后乘以0.2，即可求得耗油量． 【详解】解：（1）17﹣9+7﹣15﹣3+11﹣6﹣8+5+16， ＝17+7+11+5+16-（9+15+3+6+8）， =15．答：最后到达的地方在出发点的东边，距出发点15千米；（2）(17971531168516)0.2++-+++-+-+++-+-++++⨯， ＝97×02， ＝19.4（升）．答：这次养护共耗油19.4升． 【点睛】本题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．也考查了有理数的加减运算． 17．计算： （1）117483612⎛⎫-+-⨯ ⎪⎝⎭； （2）20213281(2)(3)3---÷⨯-．解析：（1）36-；（2）26． 【分析】（1）利用乘法分配律进行简便运算即可； （2）先算乘方，再算乘除，最后计算加减即可． 【详解】 解：（1）117483612⎛⎫-+-⨯ ⎪⎝⎭1174848483612=-⨯+⨯-⨯16828=-+- 36=-；（2）20213281(2)(3)3---÷⨯-31(89)8=---⨯⨯127=-+ 26=． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数运算的相关运算法则并灵活运用运算律准确计算是解题的关键． 18．计算（1）（－5）＋（－7）； （2）（－1）100×5＋（－2）4÷4 解析：（1）－12；（2）9 【分析】（1）同号相加，取相同符号，并把绝对值相加，据此计算即可； （2）先计算乘方运算，再计算乘除运算，最后算加减运算即可求出值． 【详解】解：（1）（－5）＋（－7） =－（5+7） =-12．（2）（－1）100×5＋（－2）4÷4 =5+16÷4 =5+4 =9． 【点睛】本题主要考查了有理数的加法及有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 19．计算：2202013(1)(2)4(1)2-÷-⨯---+-．解析：33 【分析】有理数的混合运算，注意先算乘方，然后算乘除，最后算加减，有小括号先算小括号里面的． 【详解】解：2202013(1)(2)4(1)2-÷-⨯---+-=1(2)4192-÷⨯--+ =192(2)4-⨯⨯--+=3641-+ =33． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，掌握运算顺序和计算法则正确计算是解题关键． 20．计算：（1）45(30)(13)+---；（2）32128(2)4-÷-⨯-． 解析：（1）28；（2）-2 【分析】（1）有理数的加减混合运算，从左往右依次计算即可；（2）有理数的混合运算，先算乘方，然后算乘除，最后算加减，有小括号先算小括号里面的． 【详解】解：（1）45(30)(13)+--- =4530+13- =15+13 =28（2）32128(2)4-÷-⨯- =18844-÷-⨯ =11-- =-2． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，掌握运算顺序和计算法则正确计算是解题关键． 21．计算：|﹣2|﹣32＋（﹣4）×（12-）3 解析：162-【分析】有理数的混合运算，注意先算乘方，然后算乘除，最后算加减，有小括号先算小括号里面的． 【详解】解：|﹣2|﹣32＋（﹣4）×（12-）3 ＝2﹣9＋（﹣4）×（﹣18） ＝2＋（﹣9）＋12＝162-．【点睛】本题考查有理数的混合运算，掌握运算顺序和计算法则正确计算是解题关键． 22．计算： (1)－8＋14－9＋20(2)－72－5×(－2) 3＋10÷(1－2) 10 解析：（1）17；（2）1． 【分析】（1）原式利用加法结合律相加即可求出值；（2）原式先计算乘方运算，再计算乘除法运算，最后算加减运算即可求出值． 【详解】解：（1）814920--++()()=891420--++=17-+34=17（2）2310752+()(1012)--⨯-÷-()1=4958+10--⨯-÷=49+40+10-=1【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．23．一名足球守门员练习折返跑，从球门线出发，向前记作正数，返回记作负数，他的记录如下：（单位：米）+5，﹣4，+10，﹣8，﹣6，+13，﹣10． （1）守门员最后是否回到了球门线的位置？（2）在练习过程中，守门员离开球门线最远距离是多少米？ （3）守门员全部练习结束后，他共跑了多少米？ 解析：（1）回到了球门线的位置；（2）11米；（3）56米 【分析】（1）由于守门员从球门线出发练习折返跑，问最后是否回到了球门线的位置，只需将所有数加起来，看其和是否为0即可；（2）计算每一次跑后的数据，绝对值最大的即为所求； （3）求出所有数的绝对值的和即可． 【详解】解：（1）（+5）+（﹣4）+（+10）+（﹣8）+（﹣6）+（+13）+（﹣10） =（5+10+13）-（4+8+6+10） =28-28 =0．答：守门员最后回到了球门线的位置；（2）（3）|+5|+|﹣4|+|+10|+|﹣8|+|﹣6|+|+13|+|﹣10|＝5+4+10+8+6+13+10＝56（米）．答：守门员全部练习结束后，他共跑了56米．【点睛】本题考查了正数和负数以及有理数加减运算的应用等知识点，解题的关键是理解“正”和“负”的相对性，确定具有相反意义的量．24．计算：（1）2×（-3）3-4×（-3）（2）-22÷（12-13）×（-58）解析：（1）-42；（2）15【分析】（1）先算乘方、乘法，再算加减法即可；（2）先算括号和乘方，再算乘除即可．【详解】（1）原式 =2(27)12⨯-+=-54+12= 42-．（2）原式 =15 4()68 -÷⨯-=5 468⨯⨯=15．【点睛】本题考查了有理数的运算，掌握运算法则及运算顺序是关键．25．某路公交车从起点经过A，B，C，D站到达终点，一路上下乘客如下表所示．（用正数表示上车的人数，负数表示下车的人数））到终点下车还有多少人；（2）车行驶在____站至___ 站之间时，车上的乘客最多；（3）若每人乘坐一站需买票0.5元，问该车出车一次能收入多少钱？列式计算． 解析：（1）30；（2）B ，C ；（3）71.5元． 【分析】（1）根据正负数的意义，上车为正数，下车为负数，求出A 、B 、C 、D 站以及终点站的人数，即可得解；（2）根据（1）的计算解答即可；（3）根据各站之间的人数，乘票价0.5元，然后计算即可得解． 【详解】解：（1）根据题意可得：到终点前，车上有16+15-3+12-4+7-10+8-11=30，即30人； 故到终点下车还有30人． 故答案为：30；（2）根据图表：A 站人数为：16+15-3=28（人） B 站人数为：28+12-4=36（人） C 站人数为：36+7-10=33（人） D 站人数为：33+8-11=30（人） 易知B 和C 之间人数最多． 故答案为：B ；C ；（3）根据题意：（16+28+36+33+30）×0.5=71.5（元）． 答：该出车一次能收入71.5元． 【点睛】本题考查了正数和负数，有理数的混合运算，读懂图表信息，求出各站点上的人数是解题的关键． 26．计算：（1）4222(37)2(1)-+--⨯-； （2）157(36)2912⎛⎫-+⨯- ⎪⎝⎭．解析：（1）-2；（2）-19 【分析】（1）先括号里，再计算乘方、乘法，最后相加减即可； （2）利用乘法的分配率进行计算． 【详解】（1）4222(37)2(1)-+--⨯-=16162-+- =-2；（2）157(36)2912⎛⎫-+⨯- ⎪⎝⎭=157(36)(36)(36)2912⨯--⨯-+⨯- =－18+20－21 =-19【点睛】考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．27．（1）()()()()413597--++---+； （2）340.2575⎛⎫-÷-⨯ ⎪⎝⎭． 解析：（1）-6；（2）715． 【分析】（1）原式根据有理数的加减法法则进行计算即可得到答案； （2）原式把除法转换为乘法，再进行乘法运算即可得到答案． 【详解】解：（1）()()()()413597--++---+ =-4-13-5+9+7 =-22+9+7 =-13+7 =-6；（2）340.2575⎛⎫-÷-⨯ ⎪⎝⎭ =174435⨯⨯ =715． 【点睛】此题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．28．阅读下列材料：(0)0(0)(0)x x x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，即当0x <时，1x x x x ==--．用这个结论可以解决下面问题：（1）已知a ，b 是有理数，当0ab ≠时，求a ba b+的值； （2）已知a ，b ，c 是有理数，0a b c ++=，0abc <，求b c a c a ba b c+++++的值． 解析：（1）2或2-或0；（2）-1． 【分析】(1)分三种情况讨论，①0,0a b >>，②0,0a b <<，③0ab <，分别根据题意化简即可；(2)由0a b c ++=整理出,,a b c b c a a c b +=-+=-+=-，判断a b c ，，中有两正一负，再整体代入，结合题意计算即可． 【详解】 （1）0ab ≠∴①0,0a b >>，==1+1=2a b a ba b a b++； ②0,0a b <<，==11=2a b a ba b a b+-----； ③0ab <，=1+1=0a ba b+-， 综上所述，当0ab ≠时，a ba b+的值为：2或2-或0； （2）0a b c ++=，0abc <,,a b c b c a a c b ∴+=-+=-+=-即a b c ，，中有两正一负，∴==()1b c a c a b a b c a b ca b c a b c a b c+++---++++-++=-． 【点睛】本题考查绝对值的非负性以及有理数的运算等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键． 29．计算 （1）112(24)243⎛⎫-⨯-+- ⎪⎝⎭； （2）3221(2)(3)⎡⎤÷---⎣⎦；（3）2202035|5|(1)( 3.14)02π⎛⎫---⨯-+-⨯ ⎪⎝⎭．解析：（1）22；（2）2117-；（3）54-．【分析】（1）原式利用乘法分配律计算即可得到结果；（2）原式先计算乘方运算，再计算括号内的运算，最后除法运算即可得到结果； （3）原式先计算乘方运算，再计算乘除运算，最后算加减运算即可得到结果； 【详解】 （1）112(24)243⎛⎫-⨯-+- ⎪⎝⎭112(24)(24)(24)243⎛⎫⎛⎫=-⨯-+-⨯+-⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12616=-+=22；（2）3221(2)(3)⎡⎤÷---⎣⎦()2189=÷-- ()2117=÷-2117=-； （3）2202035|5|(1)( 3.14)02π⎛⎫---⨯-+-⨯ ⎪⎝⎭255104=-⨯+ 54=-．【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 30．计算（1）(-1)2019+0.25×(-2)3+4÷23（2）21233()12323-÷+-⨯+ 解析：（1）3；（2）-2 【分析】（1）先计算乘方，然后计算乘除，再计算加减运算，即可得到答案； （2）先计算乘方，然后计算乘除，再计算加减运算，即可得到答案； 【详解】解：（1）原式=-1+0.25×（-8）+6 =-1-2+6 =3；（2）原式=12931212323-÷+⨯-⨯+ =-3+6-8+3 =-2； 【点睛】本题考查了有理数的加减乘除混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，正确的进行计算．。