湖南省长沙市雅礼中学2020-2021学年高三月考试卷(七)数学试题(word版,含详细解析)

2022-2021学年湖南省雅礼中学高三（下）其次次月考数学试卷（理科）一．选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.把答案填在答题卡中对应题号的框框内.）1．已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2，3}，集合，则A∩B等于（）A．{﹣2，﹣1，0，1} B．{﹣1，0，1} C．{﹣1，0，1，2} D．{﹣1，0，1，2，3}2．若A、B均是非空集合，则A∩B≠∅是A⊆B的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．即不充分也不必要条件3．（中诱导公式、基本公式）已知，且，则tan（2π﹣α）的值为（）A．B．C．D．4．如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2，且侧棱AA1⊥面A1B1C1，正视图是边长为2的正方形，俯视图为一个等边三角形，该三棱柱的左视图面积为（）A．2B．C．2D．45．已知向量满足：，与的夹角为，则=（）A．2 B．4 C．2D．86．设x，y 满足约束条件，则目标函数z=的最小值为（）A．2 B．1 C．D．﹣27．设f（x）定义如下面数表，{x n}满足x0=5，且对任意自然数n均有x n+1=f（x n），则x2022的值为（）x 1 234 5f（x）4 135 2A．4 B．1 C．3 D．28．如图，长沙河西先导区某广场要划定一矩形区域ABCD，并在该区域内开拓出三块外形大小相同的矩形绿化区，这三块绿化区四周和绿化区之间设有1米宽的走道．已知三块绿化区的总面积为800平方米，则该矩形区域ABCD占地面积的最小值为（）平方米．A．900 B．920 C．948 D．9689．已知函数，若存在x1＜x2，使得f（x1）=f（x2），则x1•f（x2）的取值范围为（）A．B．C．D．10．设定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），f′（x）是f（x）的导函数，当x∈[0，1]时，0≤f（x）≤1；当x∈（0，2）且x≠1时，x（x﹣1）f′（x）＜0．则方程f（x）=lg|x|根的个数为（）A．12 B．1 6 C．18 D．20二．填空题：本大题共1小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．（一）选做题（请考生在第11、12、13题中任选两题作答，假如全做，则按前两题给分）【几何证明选讲】11．如图，PC切⊙O于点C，割线PAB经过圆心O，弦CD⊥AB于点E，已知⊙O的半径为3，PA=2，则OE=．【极坐标系与参数方程选讲】12．已知曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的极坐标方程为，它们的交点在平面直角坐标系中的坐标为．【不等式选讲】1011•天津）已知集合A={x∈R||x+3|+|x﹣4|≤9}，B=，则集合A∩B=．（二）必做题（14～16题）14．设（其中e为自然对数的底数），则的值为．15．动点A（x，y）在圆x2+y2=1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知时间t=0时，点A的坐标是，则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t（单位：秒）的函数的单调递增区间是．16．已知数列{a n}的前n项和S n=（﹣1）n •n，若对任意正整数n，（a n+1﹣p）（a n﹣p ）＜0恒成立，则实数P 的取值范围是．三．解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17．设函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）当时，求函数f（x）的最大值和最小值．18．设数列{a n}的前n项和为S n，已知对任意正整数n，都有S n+2=2a n成立．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，数列{b n}的前n项和为T n，求证：T n＜3．19．如图所示，在平面四边形ABCD中，，与的夹角为，与的夹角为．（1）求△CDE的面积S；（2）求．20．已知函数f（x ）=lnx﹣ax+﹣1（a∈R）（1）当a=﹣1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（2）当a≤时，争辩f（x）的单调性．21．若数列{a n}（n∈N*）满足：①a n≥0；②a n﹣2a n+1+a n+2≥0；③a1+a2+…+a n≤1，则称数列{a n}为“和谐”数列．（1）已知数列{a n}，（n∈N*），推断{a n}是否为“和谐”数列，说明理由；（2）若数列{a n}为“和谐”数列，证明：．（n∈N*）22．已知函数f（x）=（1）当x＞0时，证明：f（x）＞；（2）当x＞﹣1且x≠0时，不等式f（x）＜恒成立，求实数k的值．2022-2021学年湖南省雅礼中学高三（下）其次次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.把答案填在答题卡中对应题号的框框内.）1．已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2，3}，集合，则A∩B等于（）A．{﹣2，﹣1，0，1} B．{﹣1，0，1} C．{﹣1，0，1，2} D．{﹣1，0，1，2，3}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：依据集合的基本运算进行求解即可．解答：解：∵A={﹣2，﹣1，0，1，2，3}，集合，∴A∩B={﹣1，0，1}，故选：B点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．若A、B均是非空集合，则A∩B≠∅是A⊆B的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．即不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的推断．专题：规律型．分析：推断出“A∩B≠∅”成立推不出“A⊆B”反之，若“A⊆B”成立，则能推出A∩B≠∅”确定成立，利用充要条件的有关定义得到结论．解答：解：若“A∩B≠∅”成立推不出“A⊆B”反之，若“A⊆B”成立，则有A∩B=A≠∅，所以A∩B≠∅”确定成立，所以A∩B≠∅是A⊆B的必要不充分条件，故选B．点评：本题考查推断一个条件是另一个的什么条件，应当先化简各个条件，若条件是数集的形式，常转化为推断集合间的包含关系．3．（中诱导公式、基本公式）已知，且，则tan（2π﹣α）的值为（）A．B．C．D．考点：同角三角函数基本关系的运用．专题：计算题．分析：先依据诱导公式化简已知条件，得到sinα的值，然后由α的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα的值，把所求的式子利用诱导公式化简后，再依据同角三角函数间的基本关系把切化弦后，将sinα和cosα的值代入即可求出值．解答：解：由，又，得，则．故选B点评：此题考查同学机敏运用诱导公式及同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道中档题．同学在求cosα的值时应留意α的范围．4．如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2，且侧棱AA1⊥面A1B1C1，正视图是边长为2的正方形，俯视图为一个等边三角形，该三棱柱的左视图面积为（）A．2B．C．2D．4考点：简洁空间图形的三视图．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：三棱柱的左视图是一个矩形，矩形的长是三棱柱的侧棱长，宽是底面三角形的一条边上的高，在边长是2的等边三角形中做出底边上的高的长度，得到结果．解答：解：由题意知三棱柱的左视图是一个矩形，矩形的长是三棱柱的侧棱长，宽是底面三角形的一条边上的高，在边长是2的等边三角形中，底边上的高是，∴侧视图的面积是2故选：A．点评：本题考查简洁的空间图形三视图，考查三视图的面积的计算，考查通过原图观看三视图的大小，比较基础．5．已知向量满足：，与的夹角为，则=（）A．2 B．4 C．2D．8考点：平面对量数量积的运算．。

雅礼中学2020届高三月考试卷(七)数学(文科)一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题所给的四个选项中只有一个是正确的.1.设集合{}|lg A y y x ==，集合{}|1B x y x ==-，则A B =（ ）A. []0,1B. (]0,1C. [)0,+∞D. (],1-∞【答案】D 【解析】∵{}|lg =A y y x R ==，{}(]|1=1B x y x ==--∞，，∴(],1A B ⋂=-∞，故选D. 2.已知(,)a bi a b R +∈是11ii-+的共轭复数，则a b +=（ ） A. 1- B. 12- C. 12D. 1【答案】D 【解析】 【分析】 首先计算11ii-+，然后利用共轭复数的特征计算,a b 的值. 【详解】21(1)21(1)(1)2i i ii i i i ---===-++-， ()a bi i i ∴+=--=， 0,1,1a b a b ∴==∴+=.故选:D.【点睛】本题考查复数的计算，属于基础题型.3.空气质量指数AQI 是反映空气质量状况的指数，AQI 指数值越小，表明空气质量越好，其对应关系如表：AQI 指数值0～5051～100101～150151～200 201～300 300>空气质量优良轻度污中度污重度污严重污染染染染如图是某市10月1日-20日AQI指数变化趋势：下列叙述错误的是（）A. 这20天中AQI指数值的中位数略高于100B. 这20天中的中度污染及以上的天数占14C. 该市10月的前半个月的空气质量越来越好D. 总体来说，该市10月上旬的空气质量比中旬的空气质量好【答案】C【解析】【分析】根据所给图象，结合中位数的定义、AQI指数与污染程度的关系以及古典概型概率公式，对四个选项逐一判断即可.【详解】对A，因为第10天与第11天AQI指数值都略高100，所以中位数略高于100，正确；对B，中度污染及以上的有第11，13，14，15，17天，共5天占14，正确；对C，由图知，前半个月中，前4天的空气质量越来越好，后11天该市的空气质量越来越差，错误；对D，由图知，10月上旬大部分AQI指数在100以下，10月中旬大部分AQI指数在100以上，所以正确，故选C.【点睛】与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.4.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S 的值等于（ ）A. 30B. 31C. 62D. 63【答案】B 【解析】 【分析】首先确定流程图的功能，然后计算其输出的结果即可.【详解】由流程图可知该算法的功能为计算241312222S =++++的值， 即输出值为：()52341112122223112S ⨯-=++++==-.故选B.【点睛】识别、运行程序框图和完善程序框图的思路： (1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构． (2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题． (3)按照题目的要求完成解答并验证．5.设向量()()()1,1,1,3,2,1a b c ==-=，且()a b c λ-⊥，则λ=（ ） A. 3 B. 2 C. 2-D. 3-【答案】A 【解析】 【分析】由题意得到(1,13)a b λλλ-=+-，利用向量垂直的坐标形式得到3λ=.【详解】由题，得(1,13)a b λλλ-=+-，由()λ-⊥a b c ，从而2(1)1(13)0λλ⨯++⨯-=， 解得3λ=. 故选：A.【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，考查向量垂直的坐标形式，考查计算能力，属于基础题.6.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥，3()3f x x x =+，则32(2)a f =,31(log )27b f =，(2)c f =的大小关系为（ ） A. a b c >>B. a c b >>C. b a c >>D.b c a >>【答案】C 【解析】 【分析】利用导数判断3()3f x x x =+在[0,)+∞上单调递增，再根据自变量的大小得到函数值的大小. 【详解】函数()f x 是定义在R 上的偶函数，31(log )(3)(3)27b f f f ∴==-=， 32022223<<=<，当0x ≥，'2()330f x x =+>恒成立， ∴3()3f x x x =+在[0,)+∞上单调递增，3231(log )(2)(2)27f f f ∴>>，即b a c >>.故选：C.【点睛】本题考查利用函数的性质比较数的大小，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意将自变量化到同一个单调区间中.7.“直线()1:2140l x m y +++=与直线2:320l mx y +-=平行”是“2m =”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】根据12//l l 平行求出实数m 的值，再利用充分条件和必要条件的定义判断即可.【详解】若12//l l ，则()()16422m m m ⎧+=⎪⎨≠⨯-⎪⎩，即2601m m m ⎧+-=⎨≠-⎩，解得3m =-或2.因此，“直线()1:2140l x m y +++=与直线2:320l mx y +-=平行”是“2m =”的必要不充分条件. 故选：B.【点睛】考查充分条件、必要条件的判断，考查直线与直线平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 8.已知函数()2sin 1xf x x x =⋅+，则函数()y f x =的图象大致为（ ） A. B.C. D.【答案】C 【解析】 【分析】根据函数为偶函数和0x →时函数值为正，即可得到答案.高考资源网（）您身边的高考专家【详解】因为()f x定义域为R，且()2sin()()1()xf x x f xx--=⋅-=+-，所以()f x为偶函数，故排除A,D；当0x→时，()0f x>，故排除B.故选：C 【点睛】本题考查根据函数的解析式选择对应的图象，考查数形结合思想的应用，求解时注意从解析式挖掘函数的性质，并注意特殊值代入法的应用. 9.《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是 ( ) A. 215π B. 320π C. 2115π- D. 3120π-【答案】C 【解析】【分析】本题首先可以根据直角三角形的三边长求出三角形的内切圆半径，然后分别计算出内切圆和三角形的面积，最后通过几何概型的概率计算公式即可得出答案. 【详解】2251213+=，设内切圆的半径为r，则51213r r-+-=，解得2r.所以内切圆的面积为24rππ=，所以豆子落在内切圆外部的概率42P111155122ππ=-=-⨯⨯，故选C．【点睛】本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误 ；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误．10.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ,2F ,M 为双曲线上一点,若121cos 4F MF ∠=,122MF MF =,则此双曲线渐近线方程为( ) A. 3y x = B. 33y x =±C. y x =±D. 2y x =±【答案】A 【解析】 【分析】因为M 为双曲线上一点,可得122MF MF a -=,在12F MF ∆使用余弦定理,结合已知条件即可求得答案.【详解】 双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ,2F ,M 为双曲线上一点∴ 121222MF MF aMF MF ⎧-=⎪⎨=⎪⎩,解得:14MF a =,22MF a =在12F MF ∆中,根据余弦定理可得:∴ 12121222122c 2os F F MF MF M MF MF F F ∠=+-⋅⋅可得:2221(2)(4)(2)2424c a a a a =+-⋅⋅⋅ 化简可得:2c a =由双曲线性质可得:22222243b c a a a a =-=-= 可得:3b a =双曲线渐近线方程为:b y x a=±则双曲线渐近线方程为: 3y x =【点睛】本题考查了求双曲线渐近线方程问题,解题关键是掌握双曲线的基本知识,数形结合,考查分析能力和计算能力,属于中档题.11.在各项都为正数的等比数列{}n a 中，若12a =，且1564a a ⋅=，则数列1(1)(1)nn n a a a +⎧⎫⎨⎬--⎩⎭的前n 项和是（ ） A. 11121n +--B. 1121n -+ C. 1121n-+ D.1121n -- 【答案】A 【解析】由等比数列的性质可得：2153364,8a a a a ==∴=，则数列的公比：31822a q a ===， 数列的通项公式：112n nn a a q -==，故：()()()()1112111121212121n n n n n n n n a a a +++==-------，则数列()()111n n n a a a +⎧⎫⎪⎪⎨⎬--⎪⎪⎩⎭的前n 项和是：1223111111111121212121212121n n n ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪-------⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 本题选择A 选项.点睛：使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的． 12.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()22f x f x -=+，当2x ≤时，()xf x xe =．若关于x 的方程()()22f x k x =-+有三个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（ ） A. ()()1,00,1- B. ()()1,01,-⋃+∞ C. ()(),00,e e -D. ()(),0,e e -+∞【解析】【分析】根据函数的单调性和对称性画出函数图像，()22y k x=-+过定点()2,2，计算直线和曲线相切的情况计算斜率得到答案.【详解】当2x≤时，()()()'1x xf x xe f x x e=∴=+函数在(),1-∞-上单调递减，在()1,2-上单调递增，且()11fe-=-()()22f x f x-=+，函数关于2x=对称，()22y k x=-+过定点()2,2如图所示，画出函数图像：当()22y k x=-+与()xf x xe=相切时，设切点为()00,x y则()00000022122xxy x ex e kx x--+===--根据对称性考虑2x=左边图像，根据图像验证知x=是方程唯一解，此时1k=故答案为()()1,00,1k∈-⋃故选：A【点睛】本题考查了零点问题，对称问题，函数单调性，画出函数图像是解题的关键. 二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若535a a =则95S S = . 【答案】9 【解析】试题分析：由等差数列{}n a ，且535a a =，则：919551539()9295()52S a a a S a a a +⨯===+⨯ 考点：等差数列的求和及性质．14.曲线ln y x x =⋅在点(1,0)处的切线的方程为__________． 【答案】10x y --= 【解析】 【分析】对()f x 求导，带入1x =得到斜率，通过点斜式得到切线方程，再整理成一般式得到答案. 【详解】ln y x x =⋅1ln ln +1y x x x x∴=+⋅=' 带入1x =得切线的斜率1k =，∴切线方程为()011y x -=⨯-，整理得10x y --=【点睛】本题考查导数的几何意义，通过求导求出切线的斜率，再由斜率和切点写出切线方程.难度不大，属于简单题.15.设函数()sin()0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的图象与y 3y 轴右侧第一个最低点的横坐标为6π，则ω的值为_______. 【答案】7 【解析】 【分析】根据题意计算得到3πϕ=，再根据最低点得到3632πππω+=，计算得到答案. 【详解】依题可得3sin ϕ=，即3πϕ=，又因为sin 163ππω⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，且为第一个最低点，所以3632πππω+=，解得7ω=. 故答案为：7.【点睛】本题考查了三角函数的图像与性质，意在考查学生的综合应用能力.16.如图，在边长为2的正方形123APP P 中，边12PP ，23PP 的中点分别为B ，C ，现将1APB ∆，2BP C ∆，3CP A ∆分别沿AB ，BC ，CA 折起使点1P ，2P ，3P 重合，重合后记为点P ，得到三棱锥P ABC -．则三棱锥P ABC -的外接球体积为____________6π 【解析】 【分析】根据,,PA PB PC 两两垂直得到2222112R =++，代入体积公式计算得到答案. 【详解】易知,,PA PB PC 两两垂直，2,1PA PB PC ===将三棱锥P ABC -放入对应的长方体内得到22262112R R =++=3463V R ππ==6π【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，将三棱锥放入对应的长方体是解题的关键. 三､解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22，23题为选考题，考生根据要求作答.17.某印刷厂为了研究单册书籍的成本y （单位：元）与印刷册数x （单位：千册）之间的关系，在印制某种书籍时进行了统计，相关数据见下表： 印刷册数x （千册） 2 3 4 58单册成本y （元）3.2 2.421.91.7根据以上数据，技术人员分别借助甲、乙两种不同的回归模型，得到两个回归方程，方程甲：(1)41.1yx =+，方程乙：(2)26.4 1.6y x=+. （1）为了评价两种模型的拟合效果，完成以下任务. ①完成下表（计算结果精确到0.1）； 印刷册数x （千册） 234 5 8单册成本y （元）3.2 2.4 21.9 1.7 模型甲估计值 (1)iy2.42.11.6残差 (1)ie0.1-0.1模型乙估计值 (2)ˆi y2.3 2 1.9残差 (2)ˆi e0.10 0②分别计算模型甲与模型乙的残差平方和，并通过比较，判断哪个模型拟合效果更好. （2）该书上市之后，受到广大读者热烈欢迎，不久便全部售罄，于是印刷厂决定进行二次印刷，根据市场调查，新需求量为10千册，若印刷厂以每册5元的价格将书籍出售给订货商，求印刷厂二次印刷10千册获得的利润？（按（1）中拟合效果较好的模型计算印刷单册书的成本）.【答案】（1）①见解析②模型乙的拟合效果更好（2）印刷利润33360元. 【解析】【详解】（1）经计算，可得下表： 印刷册数x （千册） 2 3 4 58单册成本y （元）3.2 2.42 1.91.7模型甲估计值 ()1ˆi y3.1 2.42.1 1.9 1.6残差 ()1ˆi e0.1 00.1- 00.1 模型乙估计值 ()2ˆi y3.2 2.3 21.91.7残差 ()2ˆi e0.1②()22210.10.10.10.03Q =+-+=，220.10.01Q ==，12Q Q >，故模型乙的拟合效果更好；（2）二次印刷10千册，由（1）可知，单册书印刷成本为26.41.6 1.66410+=（元）， 故印刷总成本为16640（元），印刷利润()5 1.6641000033360-⨯=元.18.ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()2cos cos cos 3A b C c B a +． （1）求角A ；（2）若1a =，ABC ∆51，求ABC ∆的面积． 【答案】（1）6A π=（2）23【解析】 【分析】（1）利用正弦定理和两角和差正弦公式可化简边角关系式，求得cos A ，结合()0,A π∈可得结果；（2）利用三角形周长得到5b c +=bc 的方程，解出bc的值；代入三角形面积公式可求得结果.【详解】（1）由正弦定理可得：()2cos sin cos sin cos 3sin A B C C B A += 即：()2cos sin 2cos sin 3sin A B C A A A +==sin 0A ≠ 3cos A ∴=，由()0,A π∈得：6A π=（2）1a =，ABC ∆的周长为51+ 5b c ∴+=由余弦定理可得：()22222252123cos 2222b c bc a b c a bc bc A bc bc bc bc +--+----=====84323bc ∴==-+ABC ∆∴的面积：()111sin 84323222S bc A ==⨯-⨯=-【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理化简边角关系式、余弦定理和三角形面积公式的应用，还涉及到两角和差正弦公式的知识，考查学生对于三角恒等变换和解三角形部分的公式的掌握程度，属于常考题型.19.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AD ⊥平面1A BC ，其垂足D 落在直线1A B 上．（Ⅰ）求证：1BC A B ⊥；（Ⅱ）若P 是线段AC 上一点，3,2AD AB BC ===，三棱锥1A PBC -的体积为33，求APPC的值. 【答案】（1）证明见解析；（2）3． 【解析】【详解】试题分析：（1）要证线线垂直，一般先证线面垂直，考虑直线BC ，由已知AD 与平面1A BC 垂直可得AD BC ⊥，再由直三棱柱中侧棱1AA 与底面ABC 垂直，又得1AA BC ⊥，从而可得BC 与平面1AA B 垂直，于是得证线线垂直；（2）由（1）知ABC ∆是等腰直角三角形，可得其面积，由1AD A B ⊥可通过解直角三角形得1AA ，从而可求得三棱锥1A ABC -的体积．由三棱锥1A PBC -与三棱锥1A ABC -的关系可求得PC ，从而得APPC．（也可设PC x =，求得三棱锥1A PBC -（用x 表示），再由已知列方程解得x ）． 试题解析：（1）∵AD ⊥平面1A BC ，BC ⊂平面1A BC ，∴AD BC ⊥，在直三棱柱111ABC A B C -中易知1AA ⊥平面ABC ， ∴1AA BC ⊥，∵1AA AD A =，∴BC ⊥平面11AA B B ，∵1A B ⊂平面11AA B B ， ∴1BC A B ⊥.（2）设PC x =，过点B 作BE AC ⊥于点E ，由（1）知BC ⊥平面11AA B B ，∴BC AB ⊥. ∵2AB BC ==，∴2,2AC BE ==∴122PBC S BE CP x ∆=⋅=. ∵AD ⊥平面1A BC ，其垂足D 落在直线1A B 上， ∴1AD A B ⊥∵1,3,2AA BA AD AB ⊥==， 在Rt ABD ∆中，221BD AB AD =-=，又21AD BD A D =⋅，∴13A D =，在1Rt ADA ∆中，()222119323AA AD A D =-=+=∴11163A PBC PBC V S AA x -∆=⋅=. 又三棱锥1A PBC -的体积为32，∴6332x =，解得32x =.∴52AP =53AP PC =. 点睛：体积与面积是立体几何中一个重要内容，是高考必考内容之一，求体积的一般方法有： 1．直接法：对规则几何体（如柱、锥、台、球），直接利用体积公式计算；2．割补法：对一些不规则的几何体，常通过分割或补形的手段将此几何体变成一个或几个的、体积易求的几何体，然后再进行计算．经常考虑将三棱锥还原为三棱柱或长方体，将三棱柱还原为平行六面体，将台体五湖朱锥体；3．等积转换法：对三棱锥的体积，利用三棱锥的“等积性”可以把任一个面作为底面，（1）求体积时，可以选择“容易计算”的方式来计算；（2）利用线面平行，在底面确定的情况下，把顶点转化为易于计算的其他点为顶点的三棱锥；（3）利用“等积性”可求“点到平面的距离”，关键是在已知面中选取三个点与已知点构成三棱锥．20.设中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆E 过点3⎛ ⎝⎭3F 为E 的右焦点，P 为E 上一点，PF x ⊥轴，F 的半径为PF ．（1）求E 和F 的方程；（2）若直线(():30l y k x k =>与F 交于,A B 两点，与E 交于,C D 两点，其中,A C在第一象限，是否存在k 使AC BD =？若存在，求l 的方程；若不存在，说明理由．【答案】(1) E 的方程为2214x y +=．F 的方程为(22134x y +=．(2) 满足题设条件的直线l 不存在．理由见解析 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求出椭圆与圆的方程；（2）若AC BD =，则1AB AC CB DB CB DC ==+=+=．联立方程，利用韦达定理可得2121CD k x =+-=224441k k ++，显然与题意矛盾，故不存在. 【详解】（1）设椭圆E 的方程为22221x y a b+=．由3e =222222314a b b e a a -===-，从而2214b a =，即224a b =． 又椭圆过点3⎛ ⎝⎭，从而得221314a b +=，解得24a =，21b =， 从而所求椭圆E 的方程为2214x y +=．所以)3,0F ，令3x =12PF r ==， 所以F 的方程为(22134x y +=． （2）不存在，理由如下：若AC BD =，则1AB AC CB DB CB DC ==+=+=．联立(22314y k x xy ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩，整理，得()222241831240k x k x k +-+-=．设()11,C x y 、()22,D x y ，则21221228312441k x x k x x k ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪+⎩． 从而()222121212114CD k x k x x x x =+-=++-22222222831244414414141k k k k k k k ⎛⎫-+=+-⋅= ⎪ ⎪+++⎝⎭由1DC =，从而224441k k +=+，从而41=，矛盾． 从而满足题设条件的直线l 不存在．【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查直线与圆锥曲线位置关系的应用，考查计算能力，体现了“设而不求”的解题思想方法，是中档题． 21.已知函数()()()()ln 11ln 0f x a x x x a =--+>. （1）当12a =时，讨论()f x 的导函数()f x '的单调性； （2）当1x >时，()0f x ≥，求a 的取值范围.【答案】（1）单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)+∞；（2）12a ≥ 【解析】 【分析】（1）先求()f x '，再求()f x ''，利用()f x ''的正负，得到()f x '的单调性； （2）1()(1)ln x f x a a x x-'=-+，当1a ≥时，()0f x '>恒成立，利用单调性说明()()10f x f >=恒成立，当01a <<时，求()f x ''，再讨论二阶导数的零点和定义域的关系，判断函数的单调性，求a 的取值范围. 【详解】（1）当12a =时，221111111()ln 1,()222x f x x f x x x x x -⎛⎫⎛⎫'''=+-=-=⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当(0,1)x ∈时，()0,()f x f x '''<的单调递减区间为(0,1)； 当(1)x ∈+∞，时，()0,()f x f x '''>的单调递增区间为(1,)+∞. （2）(1)1()ln (1)(1)ln a x f x a x a a a x x x--'=-+-=-+， (i )当1a ≥时，()0f x '>，所以()f x 在(1,)+∞上单调递增，()(1)0f x f >=，满足条件； (ii )当01a <<时，22(1)(1)()a a ax a f x x x x ---''=+=， 由()0f x ''=，得1a x a-=， ①当112a <时，11a a -≤，所以1a x a->时， ()0,()f x f x '''>在(1,)+∞上单调递增，又由()01f '=，所以()0f x '>，即()f x 在(1,)+∞上单调递增， 所以有()(1)0f x f >=，满足条件；②当102a <<时，11a a ->，当11,a x a -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0,()f x f x '''<在11,a a -⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，又由()01f '=，所以()0f x '<， 所以()f x 在11,a a -⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减， 所以有()(1)0f x f <=，故此时不满足， 故a 的取值范围为12a ≥； 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值，最值的综合应用，重点考查转化与化归的思想，分类讨论的思想，逻辑推理能力，属于中档题型，本题第二问的关键是利用利用()f x ''的正负，判断()f x '的单调性，再根据()10f =和()10f '=说明不等式成立时的a 值.22.在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1,2M ，曲线C 的参数方程22x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（其中α为参数）．以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线l 的极坐标方程为sin cos 0()k k R θθ-=∈．（1）试写出曲线C 的普通方程和曲线l 的直角坐标方程． （2）设曲线l 与曲线C 交于P ，Q 两点，试求MP MQ ⋅的值． 【答案】（1）C ：222x y +=，l ：()y kx k R =∈；（2）3 【解析】 【分析】（1）直接利用参数方程和直角坐标方程为的转换求出结果．（2）由题意设(22)P θθ，则22))Q πθπθ++，即(2,2)Q θθ，再利用向量的数量积的运算求出结果．【详解】（1）由()222222cos sin 22x x y y αααα⎧=⎪⇒+=+=⎨=⎪⎩，由sin cos 0sin cos 00k k y kx θθρθρθ-=⇒-=⇒-=，所以曲线C 普通方程和曲线l 的直角坐标方程分别为222x y +=，()y kx k R =∈．（2）由（1）知，P ，Q 两点在圆222x y +=上，且关于原点对称，设(22)P θθ， 则22))Q πθπθ++，即(2,2)Q θθ--，(222)MP θθ∴=--，(21,22)MQ θθ=---， (222)(21,22)MP MQ θθθθ∴⋅=--⋅--- (21)(21)22)(22)θθθθ=--+--2212cos 42sin 3θθ=-+-=．【点睛】本题考查了参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，向量的数量积运算，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题． 23.设函数()333()442f x x x g x x a x =-+-=-++，． (1)解不等式()10f x >；(2)若对于任意1x R ∈，都存在2x R ∈，使得12()()f x g x =成立，试求实数a 的取值范围． 【答案】（1）{}41x x x ><-或；（2）40a -≤≤ 【解析】 【分析】(1)以两个绝对值为分段点，在三段上分别求()10f x >，再取并集即可；(2)先求()f x 的值域，再求出包含参数a 的()g x 的值域，由()g x 的值域包含()f x 的值域即可得a 的取值范围．【详解】(1) 不等式等价于34610x x >⎧⎨->⎩或13210x x ≤≤⎧⎨>⎩或36410x x <⎧⎨->⎩解得4x >或1x <-.故解集为： {}41x x x ><-或；(2) 对任意1x R ∈，都存在2x R ∈，使得12()=()f x g x 成立，即()g x 的值域包含()f x 的值域.46,3()3332,1364,1x x f x x x x x x ->⎧⎪=-+-=≤≤⎨⎪-<⎩，由图可得1x =时，min ()2f x =，所以()f x 的值域为[)2,+∞.()()()4424422g x x a x x a x a =-++≥--+=+,当且仅当4x a -与42x +异号时取等， 所以()g x 的值域为)2,a ⎡++∞⎣由题：[)2,+∞⊆)2,a ⎡++∞⎣，所以22a +≤，解得40a -≤≤【点睛】本题考查绝对值函数和用绝对值不等式求绝对值函数中参数的范围，是常见考题．。

雅礼中学2020届高三月考试卷（七）数 学（理科）第I 卷一、选择题:本大题共12个小题，每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.设集合{|1},A y y x B ==-={x|(x+1)(x-2)<0},则A∩B= A.[1,2)B.(-1,1]C.[0,2)D.(-1,2)2.已知复数z 满足0,z z -=且4z z ⋅=，则z= A.2B.2iC.±2iD.±23.下列说法正确的是 A."若,6πα=则1sin 2α=的否命题是“若6πα=，则1sin 2α≠” B.若命题p,¬q 均为真命题，则命题p ∧q 为真命题C.命题p:“2000,50x x x ∃∈-->R ”的否定为¬p:“2,50x x x ∀∈--≤R ”D.在△ABC 中“2C π=”是"sinA=cosB”的充要条件4.已知向量a 、b 满足|a |1,||2,|2|3|2|==+=-b a b a b ,则a 与b 夹角为 A.30°B.45°C.60°D.120°5.已知3cos()63πα+=,则sin(2)6πα-的值为 1.3A1.3B -22.3C22.3D -6.已知函数1(),ln 1f x x x =--则y=f(x)的图象大致为7.如果将函数55y x =x 的图象向右平移(0)2πθθ<<)个单位得到函数y=3sinx+acosx(a<0)的图象,则tanθ的值为1.3A1.2B C.2 D.38.现有10名学生排成一-排,其中4名男生,6名女生,若有且只有3名男生相邻排在一起，则不同的排法共有()种.2267.A A A3247.B A A322367.C A A A362467.D A A A9.已知△ABC 外接圆的半径R=2,且2sin .2AA =，则△ABC 周长的取值范围为.4]A.(4,B4C +.(4D +10.已知双曲线C 2222:1(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,,F F 过原点的直线与双曲线C 交于A,B 两点,若2260,AF B ABF ︒∠=∆2,，则双曲线的离心率为.2A.3B C.2D11.已知()f x '是函数f(x)的导函数,且对任意的实数x 都有()(21)xf x e x '=++f(x),f(0)=-2,则不等式()4x f x e <的解集为A.(-2,3)B.(-3,2)C.(-∞,-3)∪(2,+∞)D.(-∞,-2)∪(3,+∞)12.在三棱锥S-ABC 中,AB ⊥BC,2,AB BC SA SC ====二面角S-AC-B 的余弦值是3-,若S,A,B,C 都在同一球面上，则该球的表面积是A.6πB.8πC.12πD.18π第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题:本大题共4小题，每小题分,共20分.13.设随机变量2~(3,)N ξσ,若P(ξ≥7)=0.16,则P(-1≤ξ≤7)=___.14.向曲线22|||x y x y +=+|所围成的区域内任投一点,这点正好落在21y x =-与两坐标轴非负半轴所围成区域内的概率为___.15.过直线l:x+y=3上任一点P 向圆22:1C x y +=作两条切线,切点分别为A,B,线段AB 的中点为Q,则点Q 到直线l 的距离的取值范围为___.16.定义在实数集R 上的偶函数f(x)满足(2)2f x +=f(2021)=___.三、解答题:本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)设等差数列{}n a 的前n 项和为,n S ,首项11,a =，且202020173.20202017S S -=数列{}n b 的前n 项和为,n T 且满足*2().n n T b n =-∈N(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式; (2)求数列{}2n na b 的前m 项和.'n S18. (本小题满分12分)如图,三棱锥P-ABC 中,平面PAB ⊥平面ABC, PA=PB,∠APB=∠ACB=90° ,点E,F 分别是棱AB,PB 的中点,点G 是△BCE 的重心.(1)证明:GF//平面PAC;(2)若GF 与平面ABC 所成的角为60°,求二面角B-AP-C 的余弦值.19. (本小题满分12分)在贯彻中共中央、国务院关于精准扶贫政策的过程中,某单位在某市定点帮扶某村100户贫困户.为了做到精准帮扶,工作组对这100户村民的年收入情况、危旧房情况、患病情况等进行调查,并把调查结果转化为各户的贫困指标x.将指标x 按照[0,0.2),[0.2,0.4),[0.4,0.6),[0.6,0.8),[0.8,1.0]分成五组，得到如图所示的频率分布直方图.规定若0≤x<06,则认定该户为“绝对贫困户”,否则认定该户为“相对贫困户”;当0≤x<0.2时,认定该户为"亟待帮住户”.工作组又对这100户家庭的受教育水平进行评测,家庭受教育水平记为“良好”与“不好”两种.(1)完成下面的列联表,并判断是否有95%的把握认为绝对贫困户数与受教育水平不好有关:(2)上级部门为了调查这个村的特困户分布情况,在贫困指标处于[0,0.4)的贫困户中,随机选取两户,用X 表示所选两户中“亟待帮助户”的户数,求X的分布列和数学期望EX.20. (本小题满分12分)已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的离x3点2)M在椭圆C上,焦点为12,,F F圆O的直径为12.F F(1)求椭圆C及圆O的标准方程;(2)设直线l与圆O相切于第一象限内的点P, 且直线l与椭圆C交于A,B两点.记△OAB的面积为S,证明: 3.S<21.(本小题满分12分) 已知函数f(x)=1+x-2sinx,x ＞0. (1)求f(x)的最小值; (2)证明:2().xf x e ->请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分.22.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,曲线C的参数方程为,x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩(α为参数),以坐标原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos() 2.3πρθ+=(1)求C 的普通方程和l 的直角坐标方程;(2)直线l 与x 轴的交点为P,经过点P 的直线m 与曲线C 交于A,B 两点,若|PA ||PB +=求直线m 的倾斜角.23.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲 已知函数f(x)=2|x+1|+|x-m|(m>--1). (1)若m=3,求不等式f(x)>7的解集;(2)若0,x ∃∈R 使得0()2f x <成立,求实数m 的取值范围.。

雅礼中学2020届高三月考试卷(一)数学(文科)一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2}{0|A x x x =-<（），{|11}B x x =-<<，则A B =I （） A. {|12}x x -<< B. {|1x x <-或2x >} C. {|01}x x << D. {|0x x <或}【答案】C 【解析】 【分析】求出A 中不等式的解集，找出两集合的交集即可【详解】由题意可得{|02}A x x =<<，{|11}B x x =-<<，所以{|01}A B x x =<<I .故选C.【点睛】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.已知复数2a ii+-是纯虚数（i 是虚数单位），则,实数a 等于 A. -2 B. 2C.12D. -1【答案】C 【解析】2a i i +-21255a a i -+=+是纯虚数,所以21210,0552a a a -+=≠∴=，选C.3.“26m <<”是“方程22126x y m m+=--为椭圆”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】试题分析：若方程22126x ym m+=--表示椭圆，则20{6026m m m m->->-≠-，解得26m <<且4m ≠，所以26m <<是方程22126x y m m+=--表示椭圆的必要不充分条件，故选B ．考点：椭圆的标准方程；必要不充分条件的判定．4.如果()()221f x ax a x =--+在区间1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦上为减函数，则a 的取值（ ）A. (]0,1B. [)0,1C. [] 0,1D. ()0,1【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，利用一元二次函数的性质，对a 进行讨论，即可推得答案。

雅礼中学2020届高三月考试卷（一）数学（文科） 命题人： 审题人：得分:本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选才i 题）两部分，共8页.时量120分钟，满分150分.第I 卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.1.已知集合 A={x|x （x —2）<0}, B = {x|—1<x<1},则 AcB=（）A.1x | -1 ： x ： 2?B. {x | x -1 或x . 2}C. {x|0<x<1}D. {x|x<0或XA 1}2.已知复数亘3是纯虚数（i 是虚数单位），则实数a 等于（）2 -iA. -2B . 2C , -D . -12223 . "2 <m <6"是“方程」一+-y —为椭圆”的（）m -2 6 -mA.充分不必要条件B .必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 ，E-八■，-14 .如果f （x ）=ax -（2—a ）x +1在区间（-℃|,一上为减函数，则a 的取值（）A. (0,1] B .此1) C. [0,1 D . (0,1)JI< 一）图象相邻两条对称轴之间的距离为2n的图象向左平移 一个单位后，得到的图象关于3y 轴对称，那么函数y = f （x ）的图象（）JiC.关于直线X = 一对称A.关于点5.已知函数f (x ) = sin (8x +中X 。

＞0,中 IT—,将函数y = f (x )12 D.关于直线X=— -对称126.bcosC 1 cos2C在|_ABC中，右-------- = -----------ccosB 1 cos2B则［ABC的形状是（）A . 等腰三角形 B.直角三角形C. 等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形7 . 若抛物线 2y =2px（p>0 ）的焦点是椭圆2 22-+上=1的一个焦点，则p3p pA.C. 4 D8.如图所示, 在斜三棱柱ABC—AB1G 中，ZBAC =90°, BC1 .L AC , 则点C1在底面ABC上的射影H必在（）A.直线AB上直线AC上B D.直线BC上C. |_ABC内部9.函数y = Jn x-x-1 的图象大致是（）A .B. 0C. D.10.已知两点A(—1,0 ),2 2 2B(1,0 )以及圆C:(x—3) +(y —4)=r2(r >0 ),若圆C上存在点P ,满足,则r的取值范围是（A, 3,6〕 B .3,5】C. U,5] D . 14,6】11.已知x2 2+ y = 4 ,在这两个实数x,y之间插人三个实数，使这五个数构成等差数列，那么这个等差数列后三项和的最大值为（）A. 1 加B .廓C. 3J10 D . 2M2 212.已知三棱锥A — BCD的所有顶点都在球O的球面上，AD _L平面ABC ,上BAC = 90，, AD = 2 ,若球。

雅礼中学2024届高三月考试卷（七）数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{}{}{}2,4,6,8,10,12,4,6,8,8,10U M N ===，则集合{}2,12=（ ） A.M N ∪ B.M N ∩ C.()U M N ∪ D.()U M N ∩ 2.下列命题正确的是（ ）A.“ln ln m n <”是“e e m n <”的充分不必要条件B.命题：0,ln 1x x x ∀>− 的否定是：0000,ln 1x x x ∃>−C.5πsin cos 2x x+=−D.函数21x y x +=+在()(),11,∞∞−−∪−+上是减函数 3.若复数z 满足|2i ||2i |8z z ++−=，则复数z 在复平面内所对应点的轨迹是（ ） A.椭圆 B.双曲线 C.圆 D.线段4.已知D 是ABC 所在平面内一点，3255AD AB AC =+，则（ ）A.32BD BC =B.23BD BC =C.35BD BC =D.25BD BC =5.我们把由0和1组成的数列称为01−数列，01−数列在计算机科学和信息技术领域有着广泛应用，把斐波那契数列{}()12211,n n n n F F F F F F ++===+中的奇数换成0，偶数换成1可得到01−数列{}n a ，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则100S 的值为（ ）A.32B.33C.34D.356.我国元代瓷器元青花团菊花纹小盏如图所示，撇口，深弧壁，圈足微微外撇，底心有一小乳突.器身施白釉，以青花为装饰，釉质润泽，底足露胎，胎质致密.碗内口沿饰有一周回纹，内底心书有一文字，碗外壁绘有一周缠枝团菊纹，下笔流畅，纹饰洒脱.该元青花团菊花纹小盏口径8.4厘米，底径2.8厘米，高4厘米，它的形状可近似看作圆台，则其侧面积约为（单位：平方厘米）（ ）A.34πB.27πC.20πD.18π7.已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>与双曲线22221(0,0)x y m n m n−=>>有共同的焦点12,F F ，且在第一象限内相交于点P ，椭圆与双曲线的离心率分别为12,e e .若12π3F PF ∠=.则12e e ⋅的最小值是（ ）A.1232 8.求值：2cos40cos80sin80+=（ ）二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.某市7天国庆节假期期间的楼房日认购量（单位：套）与日成交量（单位：套）的折线图如下图所示，小明同学根据折线图对这7天的日认购量与日成交量作出如下判断，则下列结论正确的是（ ）A.日认购量与日期正相关B.日成交量的中位数是26C.日成交量超过日平均成交量的有2天D.10月7日日认购量的增量大于10月7日日成交量的增量10.抛物线的弦与弦的端点处的两条切线形成的三角形称为阿基米德三角形，该三角形以其深刻的背景､丰富的性质产生了无穷的魅力.设,A B 是抛物线2:4C x y =上两个不同的点，以()()1122,,,A x y B x y 为切点的切线交于P 点.若弦AB 过点()0,1F ，则下列说法正确的有（ ） A.124x x =−B.若12x =，则A 点处的切线方程为10x y −−=C.存在点P ，使得0PA PB ⋅>D.PAB 面积的最小值为4 10.已知函数()()()1e 1x f x x x =+−−，则下列说法正确的有Λ.()f x 有唯一零点B.()f x 无最大值C.()f x 在区间()1,∞+上单调递增D.0x =为()f x 的一个极小值点三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.雅礼中学将5名学生志愿者分配到街舞社､戏剧社､魔术社及动漫社4个社团参加志愿活动，每名志愿者只分配到1个社团､每个社团至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有__________种13.已知圆221:(2)1C x y +−=与圆222:(2)(1)4C x y −+−=相交于,A B 两点，则()1211C C C A C B =⋅+__________.14.某同学在学习和探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角形三条边所对的外接圆的三条圆弧（劣弧）沿着三的形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点，且此交点为该三角形的垂心（即三角形三条高线的交点）.如图，已知锐角ABC 外接圆的半径为2，且三条圆弧沿ABC 三边翻折后交于点P .（1）若3AB =，则sin PAC ∠=__________.（2）若::6:5:4AC AB BC =，则PA PB PC ++的值为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）人工智能正在改变我们的世界，由OpenAI 开发的人工智能划时代的标志ChatGPT 能更好地理解人类的意图，并且可以更好地回答人类的问题，被人们称为人类的第四次工业革命.它渗透入类社会的方方面面.让人类更高效地生活.现对130人的样本人群就“广泛使用ChatGPT 对服务业芳动力市场的潜在影响”进行调查，其数据的统计结果如下表所示： ChatGPT 应用的广泛性 服务业就业人数的合计减少 增加 广泛应用6010 70 没广泛应用 40 20 60 合计10030130（1）根据小概率值0.01α=的独立性检验，是否有99%的把握认为ChatGPT 应用的广泛性与服务业就业人数的增减有关？（2）现从“服务业就业人数会减少”的100人中按分层随机抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人，记抽取的3人中有X 人认为ChatGPT 会在服务业中广泛应用，求X 的分布列和均值.附：()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ−=++++，其中n a b c d =+++.α 0.10.05 0.01x α 2.706 3.841 6.63516.（本小题满分15分）如图，在四棱锥P ABCD −中，PA ⊥平面,2,,120ABCD PA AB BC AD CD ABC ∠===== .（1）求证：平面PAC ⊥平面PBD ；（2）若点M 为PB 的中点，线段PC 上是否存在点N ，使得直线MN 与平面PAC.若存在，求PNPC的值；若不存在，请说明理由. 17.（本小题满分15分）如图，圆C 与x 轴相切于点()2,0T ，与y 轴正半轴相交于两点,M N （点M 在点N 的下方），且3MN =.（1）求圆C 的方程；（2）过点M 任作一作直线与椭圆22184x y +=相交于,A B 两点，连接,AN BN ，求证：ANM BNM ∠∠=.18.（本小题满分17分）已知函数()()2ln 3f x x x ax x a =−−∈R .（1）若1x =是函数()f x 的一个极值点，求实数a 的值； （2）若函数()f x 有两个极值点12,x x ，其中12x x <， ①求实数a 的取值范围；②若不等式122ln 31ax k x k +>+恒成立，求实数k 的取值范围. 19.（本小题满分17分）对于无穷数列{}n c ，若对任意*,m n ∈N ，且m n ≠，存在*k ∈N ，使得m n k c c c +=成立，则称{}n c 为“G 数列”.（1）若数列{}n b 的通项公式为2n b n =，试判断数列{}n b 是否为“G 数列”，并说明理由； （2）已知数列{}n a 为等差数列，①若{}n a 是“G 数列”，*128,a a N =∈，且21a a >，求2a 所有可能的取值； ②若对任意*n N ∈，存在*k N ∈，使得k n a S =成立，求证：数列{}n a 为“G 数列”.雅礼中学2024届高三月考试卷（七）数学参考答案一､二､选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011答案CAADBBCABDABD BCD1.C 【解析】{}{}(){}(){}U U 4,6,8,10,8,2,12,2,4,6,10,12MN MN M N M N ∪=∩=∪=∩= ，故选C.2.A 【解析】对于A 中，由函数ln y x =为单调递增函数，因为ln ln m n <，可得0m n <<， 又因为函数e x y =为单调递增函数，可得e e m n <，即充分性成立；反之：由e e m n <，可得m n <，当,m n 小于0时，此时ln ,ln m n 没意义，即必要性不成立，所以“ln ln m n <”是“e e m n <”的充分不必要条件，故A 正确；对于B ，命题：0,ln 1x x x ∀>− 的否定是：0000,ln 1x x x ∃>>−，故B 不正确； 对于5ππC,sin sin cos 22x x x +=+=，故C 不正确； 对于D ：当2x =−时0y =，当0x =时2y =，但20−<，可得02<， 所以函数21x y x +=+在()(),11,∞∞−−∪−+上不是减函数，故D 不正确；故选A. 3.A 【解析】设()()()12,,0,2,0,2P x y F F −，复数z 对应点P ，由题意复数z 满足|2i ||2i |8z z ++−=，即21128242PF PF a F F c +==>==，可知复数z 满足椭圆的定义.故选A . 4.D 【解析】由3255AD AB AC =+ ，得3255AB BD AB AC +=+ ，得2255BD AB AC =−+，得25BD = （2)5AB AC BC −+= ，故选D.5.B 【解析】因为12211,n n n F F F F F ++===+，所以34567892,3,5,8,13,21,34,F F F F F F F ======= ，所以数列{}n a 的前若干项为：1231567890,1,0,0,1,0,0,1,a a a a a a a a a ========= ，则1234567891a a a a a a a a a ++=++=++== ，所以100331033S =×+=.故选B.6.B 【解析】设该圆台的上底面､下底面的半径分别为,R r ，若当29,23R r ==时，则圆台的母线长5l ==，所以其侧面积为()π 4.5 1.5530π×+×=， 若当28,22R r ==时，则圆台的母线长5l =，所以其侧面积为()π41525π×+×=，所以其侧面积S 满足25π30πS <<.故选B. 7.C 【解析】设共同的焦点为()(),0,,0c c −，设12,PF s PF t ==， 由椭圆和双曲线的定义可得2,2s t a s t m +=−=，解得,s a m t a m =+=−， 在12PF F 中，12π3F PF ∠=，可得222121212122cos F F PF PF PF PF F PF ∠=+−⋅⋅， 即为()()222224()()3c a m a m a m a m a m =++−−+−=+，即有222234a m c c +=，即2212134e e +=，由221213e e +，可得12e e ⋅，当且仅当21e =，故选C. 8.A 【解析】()()2cos 12080cos802cos120cos80sin120sin80cos802cos40cos80sin80sin80sin80−++++===.故选A.9.BD【解析】由题图可以看出，数据点并不是从左下至右上分布，所以A 错；将成交量数据按大小顺序排列，中.位数为26，所以B 对；日平均成交量为1383216263816642.77++++++≈，超过42.7的只有一天，所以C 错；10月7日认购量的增量为276112164−=，成交量的增量为16638128−=，所以D 对，故选BD.10.ABD 【解析】对于A ，由题意，设直线:1AB y kx =+， 联立21,4,y kx x y =+ = 消去y 整理得：2440x kx −−=，又()()1122,,,A x y B x y ，则12124,4x x k x x +=⋅=−，所以A 正确； 对于B ，由抛物线24x y =.可得214y x =，则12y x ′=， 则过点A 的切线斜率为112x ，易知2114y x =，即2111,4A x x， 则切线方程为：()21111142y x x x x −=−，即2111124y x x x =−， 若12x =时，则过点A 的切线方程为：10x y −−=，所以B 正确； 对于C ，由选项B 可得：直线AP 的斜率为112x ，直线BP 的斜率为212x ，因为12121111224x x x x ⋅==−，所以AP BP ⊥，即0PA PB ⋅=，所以C 错误； 对于D ，由选项B 可知，过点B 的切线方程为2221124yx x x −，联立直线,PA PB 的方程可得()12,1,,1,PF PF ABP k k k k PF AB k−=−⋅=−⊥，所以12ABPS AB PF =⋅ ，()2241AB x k =−===+，PF =，则()32241ABPS k =+ ，当0k =时，ABP S 有最小值为4,D 正确.故选ABD.11.BCD 【解析】由题可知()()100f f −==，即1x =−和0x =是函数()()()1e 1x f x x x =+−−的零点，A 不正确；当0x >时，令()e 1xu x x =−−，求导得()e 10xu x −>′，函数()u x 在()0,∞+上递增，当2x 时，()2e 31u x −> ，而1y x =+在()0,∞+上递增，值域为()1,∞+，因此当2x 时，()1f x x >+，所以()f x 无最大值，B 正确；()()2e 22xf x x x ′=+−−，令()()2e 22xg x x x =+−−，求导得()()3e 2xg x x =+−′，当0x >时，令()()3e 2xh x x =+−，则()()4e 0xh x x =+>′， 即()()g x h x ′=在()0,∞+上递增，()()010g x g ′>=>′，则()()f x g x ′=在()0,∞+上递增，()()00f x f ′>=′，因此()f x 在()0,∞+上递增，即()f x 在()1,∞+上单调递增，C 正确； 当10x −<<时，()22e 2xx x x ϕ+=−+，求导得()22e (2)x x x ϕ=−+′，显然函数()x ϕ′在()1,0−上递增，而()()11120,00e 2ϕϕ′−′=−<=>，则存在()01,0x ∈−，使得()00x ϕ′=， 当()0,0x x ∈时，()0x ϕ′>，函数()x ϕ在()0,0x 上单调递增，当()0,0x x ∈时，()()00x ϕϕ<=， 即当()0,0x x ∈时，22e 2xx x +<+，则()()2e 220x f x x x ′=+−−<，又()00f ′=，因此0x =为()f x 的一个极小值点，D 正确，故选BCD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.240 【解析】根据题意，分2步进行分析： ①将5名学生志愿者分为4组，有25C 10=种分组方法，②将分好的4组安排参加4个社团参加志愿活动，有44A 24=种情况， 则有1024240×=种分配方案.13.2 【解析】由题意可知两圆公共弦AB 所在的直线方程为()()12210,0,2,2,1x y C C −+=，所以点1C 到直线210x y −+=的距离为2d C =，又12C C AB ⊥，所以向量1C A 在向量12C C方向上的投影为d =，所以1211C C C A ⋅= ，同理可得1211C C C B ⋅= ，所以()12112C C C A C B ⋅+= .；234 【解析】设外接圆半径为R ，则2R =，由正弦定理，可知324sin sin AB R ACB ACB∠∠===，即3sin 4ACB ∠=，由于ΛCB ∠是锐角，故cos ACB ∠= 又由题意可知P 为三角形ABC 的垂心，即AP BC ⊥，故π2PACACB ∠∠=−，所以sin cos PAC ACB∠∠==连接AP 并延长交BC 于D ，连接CP 并延长交AB 于E ，连接BP 并延长交AC 于F ，设,,CAB CBA ACB ∠θ∠α∠β===，则πππ,,222PAC PBA PAB ∠β∠θ∠α=−=−=−， 由于::6:5:4AC AB BC =，不妨假设6,5,4AC k AB k BC k ===， 由余弦定理知222222(6)(5)(4)3(4)(5)(6)1cos ,cos 26542458k k k k k k k k k k θα+−+−====××××， 222(4)(6)(5)9cos 24616k k k k k β+−=××， 如图所示，,,AD CE BF 为ABC 的三条高，由于ππ,22ECB EBCPCD CPD ∠∠∠∠+=+=， 故EBC CPD ∠∠=，则得πππAPC CPD EBC ABC ∠∠∠∠=−=−=−，所以24ππsin sin sin sin 22PC PA AC ACR APC ABC ∠∠βθ===== −− ， 同理可得24πsin sin sin 2PB AB ABR APB ACB∠∠α==== −， 所以()319234cos cos cos 448164PA PB PC θαβ ++=++=×++=. 四､解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.【解析】（1）零假设为0H ：ChatGPT 应用的广泛性与服务业就业人数的增减无关.根据表中数据得220.01130(60204010) 6.603 6.635706010030x χ××−×=≈<=×××，所以根据小概率值0.01α=的独立性检验，没有充分证据推断0H 不成立，因此可以认为无关. （2）由题意得，采用分层抽样抽取出的5人中， 有6053100×=人认为ChatGPT 会在服务业中广泛应用， 有4052100×=人认为ChatGPT 不会在服务业中广泛应用， 则X 的可能取值为1,2,3，又()()()1221332323333555C C C C C 3311,2,3C 10C 5C 10P X P X P X =========， 所以X 的分布列为X1 2 3 P 310 35 110所以()3319123105105E X =×+×+×=. 16.【解析】（1）设AC 的中点为O ，因为AB BC =，所以BO AC ⊥， 因为AD CD =，所以DO AC ⊥，所以,,B O D 三点共线，所以BD AC ⊥， 因为PA ⊥平面,ABCD BD ⊂平面ABCD ，所以BD PA ⊥， 因为,PA AC A PA ∩=⊂平面,PAC AC ⊂平面PAC ，所以BD ⊥平面PAC ， 因为BD ⊂平面PBD .所以平面PAC ⊥平面PBD .（2）解：以,OC OD 所在的直线为x 轴和y 轴，过O 点作平行于AP 的直线为z 轴建立空间直角坐标系，则)()(),2,0,1,0C P B −， 因为M 为PB的中点，所以1,12M −，设()01PN PC λλ=，所以()22N λ−，所以1,122MN λ =−−，由（1）知BD ⊥平面PAC ，所以平面PAC 的一个法向量为()0,1,0n =， 设直线MN 与平面PAC 所成角为θ，则sin cos,MN nMN nMN nθ⋅===即当14PNPC=或38PNPC=时，直线MN与平面PAC.17.【解析】（1）设圆C的半径为(0)r r>，依题意知，圆心C的坐标为()2,r，因为3MN=，所以222325224r=+=，所以52r=，圆C的方程为22525(2)24x y−+−=.（2）把0x=代入方程22525(2)24x y−+−=，解得1y=或4y=，即点()()0,1,0,4M N.①当AB x⊥轴时，可知0ANM BNM∠∠==；②当AB与x轴不垂直时，可设直线AB的方程为1y kx=+.联立方程221,1,84y kxx y=++=消去y得()2212460k x kx++−=.()22Δ1624120k k=++>恒成立.设直线AB交椭圆22184x y+=于()()1122,,,A x yB x y两点，则12122246,1212kx x x xk k−−+==++，所以()12121212N2221121212234433112121212 AN Ikx x x xy y kx kx k k k kx x x x x x x x k k−+−−−−−+=+=+==+=++，所以ANM BNM∠∠=.综合①②知ANM BNM∠∠=.18.【解析】（1）()ln123ln22f x x ax x ax′=+−−=−−，又1x=是函数()fx的一个极值点，()10f ∴′=，即220,1a a −−=∴=−.()ln 22f x x x ∴=′+−，令()()1ln 22,20h x x x h x x=+−=+>′， ()()f x h x ∴′=在()0,∞+上单调递增，且()10f ′=，()f x ∴在()0,1上单调递减，在()1,∞+上单调递增，1x ∴=是()f x 的极小值点时，实数a 的值为-1.（2）①()ln 123ln 22f x x ax x ax ′=+−−=−−，由于()()2ln 3f x x x ax x a =−−∈R 有两个极值点12,x x ， 所以方程()0f x ′=在()0,∞+上有两个不同的根，即方程ln 220x ax −−=有两个不同的正数根，转化为函数()ln 2x g x x−=与函数2y a =的图象在()0,∞+上有两个不同交点， 令()23ln x g x x −=′，令()23ln 0x g x x −==′，解得3x e =， 当3e x >时，()()0,g x g x ′<单调递减，当30e x <<时，()()0,g x g x ′>单调递增， 且当2e x >时，()()20,e 0g x g >=，故作出()g x 的图象如下： 由图象可得：3120,e a∈ ，即310,2e a ∈. ②由（1）知：12,x x 是ln 220x ax −−=的两个根，故11222ln 20,2ln 20x ax x ax −+−=−+−=，则1212ln ln 2x x a x x −=−， 不妨设()120,1x t x =∈，则21tx x =，则1222212ln ln ln 2ln 0ln 21x x t x x x x x t −−+−=⇒=+−−， 故由122ln 31ax k x k +>+可得，12122221222ln ln ln ln ln 31ln 31ln 311x x t t t x k x k tx k x k k x k x x tx x t −+>+⇒+>+⇒+>+−−−，ln ln 23111t t t k k t t ++>+ −− ，化简得ln 11ln 11t t t t t k t t −+−− > −− ， 由于01t <<，所以等价于()ln 11ln 0t t t k t t −+−−−<对任意的01t <<恒成立， 令()()ln 11ln F t t t t k t t =−+−−−，故()0F t <对任意的01t <<恒成立， 则()ln k F t t k t=−+′， 设()ln k m t t k t=−+，则()221k t k m t l t t −=−=′， （i ）当0k 时，()()()20,t k m t m t F t t−=>′=′单调遥增，故()()()10,F t F F t =′<′单调递减，故()()10F t F >=，不满足，舍去； （ii ）当1k 时，()()()20,t k m t m t F t t−=<′=′单调递减，故()()()10,F t F F t =′>′单调递增，故()()10F t F <=，故()0F t <恒成立，符合题意；（iii ）当01k <<时，令()20t k m t t−==′，则t k =，当1k t <<时，()()()0,m x m x F t =′>′单调递增，当0t k <<时，()()()0,m x m t F t =′<′单调递减，又()10F ′=，故1k t <<时，()()10F t F ′<=′，此时()F t 单调递减，故()()10F t F >=， 因此当1k t <<时，()0F t >，不符合题意，舍去.综上，实数k 的取值范围为[)1,∞+.19.【解析】（1）2n b n =，对任意的()*,,,2,2,222m n m n m n m n b m b n b b m n m n ∈≠==+=+=+N ， 取k m n =+，则{},m n k n b b b b +=∴是“G 数列”.（2）数列{}n a 为等差数列，①若{}n a 是“G 数列”，*128,a a =∈N ，且*2121,0,a a d a a d >=−>∈N ， 则()81n a n d =+−， 对任意的()()*,,,81,81m n m n m n a m d a n d ∈≠=+−=+−N ， ()882m n a a m n d +=+++−，由题意存在*k ∈N ，使得m n k a a a +=， 即()()88281m n d k d +++−=+−，显然k m n + ，所以()()()281,18m n d k d k m n d +−+=−−−+=， 1k m n −−+∈′N .所以d 是8的正约数，即1,2,4,8d =， 1d =时，29,7a k m n ==++；2d =时2,10,3a k m n ==++；4d =时2,12,1a k m n ==++；8d =时2,16,a k m n ==+. 综上，2a 的可能值为9,10,12,16.②若对任意*n ∈N ，存在*k ∈N ，使得k n a S =成立， 所以存在*122,,3t t a a S a t ∈+==N ，设数列{}n a 公差为d ，则()()11121,2a d a t d a t d +=+−=−， ()()()213n a t d n d t n d =−+−=+−，对任意()()*,,,3,3m n m n m n a m d a n d ιι∈≠=+−=+−N ， ()26m n a a t m n d +=++−，取*3k t m n =++−∈N ，则()()326k m n a t k d t m n d a a =−+=++−=+，所以数列{}n a 是“G 数列”.。

雅礼中学2021届高三月考试卷（七）数 学 第Ⅰ卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集为实数集，集合{}3|6A x x =-<<，{}2|9140B x x x +-=<，则()U A B ⋂=A ．(2,6)B ．(2,7)C ．(]3,2-D ．()3,2-2．若3112i z i i+=⋅-，则z 的虚部为 A ．15B ．15C ．35D ．353．函数2()()1x x x e e f x x --=-的图象大致是 A ． B ．C ．D ．4．某新晋网红一线城市鹅城人口模型近似为0.012250024t P e =，其中0t =表示2020年的人口数量，则鹅城人口数量达到320000的年份大约是（ln20.693≈，ln3 1.099≈，ln5 1.609≈） A ．2040年B ．2045年C ．2030年D ．2050年5．我们打印用的A4，之所以是这个比值，是因为把纸张对折，得到纸张的形状不变．已知圆柱的母线长小于底面圆的直径长（如图所示），它的轴截面ABCD 为一张A4纸，若点E 为上底面圆上弧AB 的中点，则异面直线DE 与AB 所成的角约为A ．6π B ．4π C ．3π D ．23π 6．十二生肖，又称十二属相，与中国传统文化中的十二地支呈现一一对应关系，分别为子鼠、丑牛、寅虎、卯兔、辰龙、巳蛇、午马、未羊、申猴、西鸡、戌狗、亥猪．现有十二生肖吉祥物各一件，甲、乙、丙三位同学分别随机抽取一件作为礼物．甲同学喜欢马、牛，乙同学喜欢马、龙、狗，丙同学除了鼠不喜欢外其他的都喜欢，则这三位同学恰好都抽到各自喜欢的礼物的概率是 A ．388B ．344C ．120D ．9447．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为221x y +≤，若将军从点(2,0)A 处出发，河岸线所在直线方程为3x y +=，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为A ．1B ．1-C ．D ．8．将函数()4sin()22f x x ππ=-和直线()1g x x =-的所有交点从左到右依次记为1A ，2A ，⋅⋅⋅，n A 若P 点坐标为(，则12||n PA PA PA +++=A ．0B ．2C ．6D ．10二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分． 9．某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到如下整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、“90后”从事互联网行业闵位分布条形图，则下列结论中正确的是注：“90后”指1990年及以后出生的人，“80后”指1980—1989年之间出生的人，“80前”指1979年及以前出生的人．A ．互联网行业从业人员中“90后”占一半以上B ．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C ．互联网行业中从事运营岗位的人数“90后”比“80前”多D ．互联网行业中从事技术闵位的人数“90后”比“80后”多 10．设1a b >>，01c <<，则下列不等式中，成立的是A ．c c a b <B ．b c a b >C ．log log b a c c <D ． log log c c b a <11．已知等比数列{}n a 首项11a >，公比为q ，前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，函数127()()()()f x x x a x a x a =+++，若(0)1f '=，则A ．{lg }n a 为单调递增的等差数列B ．01q <<C ．11n a S q --⎧⎫⎨⎬⎩⎭为单调递增的等比数列D ．使得1n T >成立的n 的最大值为612．已知直线l ：220kx y kp --=与抛物线2:2(0)C y px p =>相交于A ，B 两点，点(1,1)M --是抛物线C 的准线与以AB 为直径的圆的公共点，则下列结论正确的是 A ．2p =B ．2k =-C ．MAB 的面积为D ．5AB = 第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．曲线21y x x=+在点(1,2)处的切线方程为_____． 14．在5(12)(2)x x -+展开式中，4x 的系数为_____．15．农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该六面体的体积为_____．16．设双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 直线l 分别与双曲线左、右两支交于M ，N 两点，且22F M F N ⊥，22F M F N =，则双曲线C 的离心率为_____． 四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）从条件①2(1)n n S n a =+(2)n a n =≥，③0n a >，2=2nn n a a S +中任选一个，补充到下面问题中，并给出解答．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，___．若1a ，k a ，2k S +成等比数列，求k 的值． 18．（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为梯形，AB CD ∥，2AB DC ==，AC BD F ⋂=且PAD 与ABD 均为正三角形，G 为PAD 的重心．（1）求证：GF ∥平面PDC ；（2）求平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值． 19．（本小题满分12分）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知(sin cos )0b a C C +-=． （1）求A ；（2）若D 为BC 边上一点，且AD BC ⊥，2)BC AD =，求sin2B ． 20．（本小题满分12分）设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>离心率12e =，椭圆上的点到左焦点1F 的距离的最大值为3．（1）求椭圆C 的方程；（2）求椭圆C 的外切矩形（即矩形的四边所在的直线均与椭圆相切）ABCD 的面积S 的取值范围．21．（本小题满分12分）随着中美贸易战的不断升级，越来越多的国内科技巨头加大了科技研发投入的力度．某科技公司拟对“麒麟”手机芯片进行科技升级，根据市场调研与模拟，得到科技升级投入x （亿元）与科技升级直接收益y （亿元）的数据统计如下模型①：ˆ 4.111.8yx =+；模型②：ˆ14.4y =． 当17x >时，确定y 与x 满足的线性回归方程为ˆ0.7yx a =-+． （1）根据下列表格中的数据，比较当017x <≤时模型①、②的相关指数2R 的大小，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测对“麒麟”手机芯片科技升级的投入为17亿元时的直接收益．（附：刻画回归效果的相关指数22121ˆ()1()ii i n ii yyR yy ==-=--∑∑ 4.1≈）（2）为鼓励科技创新，当科技升级的投入不少于20亿元时，国家给予公司补贴5亿元，以回归方程为预测依据，比较科技升级投入17亿元与20亿元时公司实际收益的大小．（附：用最小二乘法求线性回归方程ˆˆˆybx a =+的系数ˆb =1122211()()ˆ()nni iii i i nniii i x ynx yxx y y bxnx xx ====-⋅--==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =-） （3）科技升级后，“麒麟”芯片效率X 大幅提高，经实际试验得X 大致服从正态分布20.52,0.01)(N ,公司对科技升级团队的奖励方案如下：若芯片的效率不超过50%，不予奖励；若芯片的效率超过50%，但不超过53%，每部芯片奖励2元；若芯片的效率超过53%，每部芯片奖励4元，记Y 为每部芯片获得的奖励，求(Y)E （精确到0.01）． （附：若随机变量）2~(,)(0)P N μσσ>，则()0.6827P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=．22．（本小题满分12分）已知函数()x f x e ax =-，()ln g x x ax =-，a ∈R ． （1）当a e <时，讨论函数()f x 的零点个数；（2）记函数()()()F x f x g x =-的最小值为m ，求()ln 2x m G x e e =-的最小值．雅礼中学2021届高三月考试卷（七）数学参考答案一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．C ∵29140{27}B xx x x x =-+<=<<∣∣，∴ 2 7UB x x x =≤≥∣或，∴(){}32(3,2]U A B x x ⋂=-<≤=-∣．故选C ．2．A 因为3111(1)(12)331()121212(12)(12)555i i i i i i z i i i i i i i i ++--++=⋅=⋅-====+----+， 所以z 的虚部为15，故选A ．3．D ()()22e e e e ()()11x x x x x x f x f x x x ------===--，()f x 是偶函数，排除A ，0x >时，e e x x ->，即e e 0x x-->，当1x >时，又有210x ->，因此()0f x >，排除B ，C ，故选D ．4．A 由已知，得0.012320000ln ln e250024t⎛⎫= ⎪⎝⎭，则320000ln 2500240.012t ⎛⎫ ⎪⎝⎭=， 近似于5ln 22ln 520.5830.012-≈，过20年或21年，结合选项选A ，故选A ．5．C ∵//AB CD ，∴EDC ∠（或补角）为异面直线DE 与AB 所成的角，设CD 的中点为O ，过E 作EF ⊥底面⊙O ，连接OE ，OF ， ∵E 是弧AB 的中点，∴F 是弧CD 的中点，∴CD OF ⊥， 又EF ⊥平面⊙O ，∴EF CD ⊥，EF OF F ⋂=， ∴CD ⊥平面OEF ，∴OD OE ⊥． 设1AD =，则CD =2OF =，1EF =， 于是OE ==∴tan2OEEDOOD∠===，∴3EDOπ∠=．故选C．6．A 依题意可分类：①甲同学选马，则有112918C C=种情况符合要求；②甲同学选牛，则有113927C C=种情况符合要求；三位同学抽取礼物的所有情况有312A种，则这三位同学恰好都抽到各自喜欢的礼物的概率3121827388PA+==．故选A．7．A 设点A关于直线3x y+=的对称点(,)A a b'，AA'的中点为2,22a b+⎛⎫⎪⎝⎭，2AAbka'=-，故(1)1,223,22baa b⎧⋅-=-⎪⎪-⎨+⎪+=⎪⎩解得3,1,ab=⎧⎨=⎩，要使从点A到军营总路程最短，即为点A'到军营最短的距离，1，故选A．8．D 函数()4cos2f x xπ=与()1g x x=-的所有交点从左往右依次记为1A、2A、3A、4A和5A，且1A和5A，2A和4A都关于点3A对称，如图所示：则125355(1,PA PA PA PA +++==， 所以1210n PA PA PA +++=．故选D ．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．互联网行业从业人员中“90后”从事技术岗位的人数占总人数的56%39.6%22.176%⨯=，超过20%，所以互联网行业从业人员（包括“90后”“80后”“80前”）从事技术岗位的人数超过总人数的20%，B 正确； 互联网行业从业人员中“90后”从事运营岗位的人数占总人数的56%17%9.52%⨯=，超过“80前”的人数占总人数的比例，且“80前”中从事运营岗位的比例未知，C 正确；互联网行业从业人员中“90后”从事技术岗位的人数占总人数的56%39.6%22.176%⨯=，小于“80后”的人数占总人数的比例，但“80后”中从事技术岗位的比例未知，D 不一定正确．故选ABC ．10．BC 01c c c a b <<⇒>，故A 错误；因为1a b >>，01c <<，所以b b c a b b >>，故B 正确； 由对数函数的单调性可得log log c c b a >，故D 错误； 因为1log log b c c b =，1log log a a c a=，0log log c c b a >>，所以log log a b c c <，故C 正确．故选BC ．11．BCD 令()()()127()g x x a x a x a =+++，则()()f x xg x =，∴()()()f x g x xg x ''=+，∴127(0)(0)1f g a a a '===，因为{}n a 是等比数列，所以712741a a a a ==，即3411a a q ==，∵11a >，∴01q <<，B 正确； ∵()111lg lg lg (1)lg n n a a q a n q -==+-，∴{}lg n a 是公差为1gq 的递减等差数列，A 错误； ∵()111111111n n n a a a qS q q q q q --=--=⋅---， ∴11n a S q ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭是首项为101a qq <-，公比为q 的递增等比数列，C 正确； ∵11a >，01q <<，41a =，∴3n ≤时，1n a >，5n ≥时，01n a <<， ∴4n ≤时，1n T >， ∵7712741T a a a a ===，∴8n ≥，78971n n T T a a a T =<=，又75671T T a a =>，7671TT a =>，所以使得1n T >成立的n 的最大值为6，D 正确．故选BCD ．12．ABD 由题意知，抛物线C 的准线为1x =-，即12p=，解得2p =，故选项A 正确； 因为2p =，所以抛物线C 的方程为：24y x =，其焦点为(1,0)F ， 又直线l ：220kx y kp -=一，即(1)y k x =-， 所以直线l 恒过抛物线的焦点(1,0)F ，设点()11,A x y ，()22,B x y ，因为A ，B 两点在抛物线C 上，联立方程21122244,,y x y x ⎧=⎨=⎩，两式相减可得，1212124y y k x x y y -==-+， 设AB 的中点为()00,Q x y ，则02y k=， 因为点()00,Q x y 在直线l 上，解得0221x k=+，所以点2221,Q kk ⎛⎫+ ⎪⎝⎭是以AB 为直径的圆的圆心，由抛物线的定义知，圆Q 的半径012222222222x x x AB r k+++====+， 因为2222222||21QM r k k ⎛⎫⎛⎫=+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以22222222212k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得2k =-，故选项B 正确；因为2k =-，所以直线l 为2(1)0y x +-=，由点到直线的距离公式可得， 点M 到直线l 的距离为22512d ==+，所以11||522MABSd AB =⋅⋅==，故选项C 错误； 因为2k =-，所以弦长222||2222254AB r k ⎛⎫⎛⎫==+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选项D 正确；故选ABD ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．1y x =+设()y f x =，则21()2f x x x '=-， 所以(1)211f '=-=， 所以曲线21y x x=+在点(1,2)处的切线方程为21(1)y x -=⨯-，即1y x =+． 14．80555(12)(2)2(12)(12)x x x x x -+=-+-，二项式5(12)x -的展开式的第1r +项为15(2)r r r r T C x +=-， 令3r =，则333345(2)80T C x x =-=-， 令4r =，则444455(2)80T C x x =-=，则5(12)(2)x x -+展开式中，4x 的系数为2808080⨯-=．15．6每个三角形面积是112S =⨯=由对称性可知该六面体是由两个正四面体合成的，可求出该四面体的高为=，故四面体体积1312=，因此该六面体体积是正四面体的2．16如图，作2F D MN ⊥于D ，根据双曲线定义212MF MF a -=，122NF NF a -=， 所以12||22NF NF MN a a -=-=，所以||4MN a =，所以22MF NF ==，12)MF a =，22F D a =，1F D =．在12Rt F F D 中，2224)(2)c a =+，化简得223c a =，所以c e a==四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．若选择①，因为2(1)n n S n a =+，*n ∈N ，所以112(2)n n S n a ++=+，*n ∈N ， 两式相减得112(2)(1)n n n a n a n a ++=+-+，整理得1(1)n n na n a +=+． 即11n n a a n n +=+，*n ∈N ，所以n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为常数列． 111n a a n ==，所以n a n =．（或由11n n a n a n++=，利用相乘相消法，求得n a n =） 所以k a k =，2(2)(12)(2)(3)22k k k k k S ++++++==，又1a ，k a ，2k S +成等比数列，所以2(2)(3)2k k k ++=， 所以2560k k --=，解得6k =或1k =-（舍），所以6k =． 若选择②，(2)n a n =≥1n n S S -=-，=，易知0n S >1=，所以为等差数列．1==n =，2n S n =， ∴121(2)n n n a S S n n -=-=-≥，又1n =时，11a =也满足上式，所以21n a n =-． 因为1a ，k a ，2k S +成等比数列，∴22(2)(21)k k +=-，∴3k =或13k =-，又*k ∈N ，∴3k =．若选择③，因为()2*2n n n a a S n +=∈N ，所以21112(2)n n n a a S n ---+=≥， 两式相减得22111222(2)n n n n n n n a a a a S S a n ----+-=-=≥，整理得()()111(2)n n n n n n a a a a a a n ----+=+≥，因为0n a >，∴11(2)n n a a n --=≥，所以{}n a 是等差数列， 所以1(1)1n a n n =+-⨯=．2(2)(12)(2)(3)22k k k k k S ++++++==．又1a ，k a ，2k S +成等比数列，∴2(2)(3)2k k k ++=， ∴6k =或1k =-，又*k ∈N ，∴6k =．18．（1）设PD 的中点为E ，连接AE ，CE ，GF ．∵//AB CD，=2 AB DC ，=AC BD F ⋂，∴==2AF AB FC CD． 又∵G 为PAD 的重心G ， ∴2AGGE=，∴//GF CE ． 又∵GF ⊄面PDC ，CE ⊂面PDC ， ∴//GF 平面PDC ．（2）设O 为AD 的中点，PAD 为正三角形，则PO AD ⊥． ∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =， ∴PO ⊥平面ABCD ．过O 分别作BC ，AB 的平行线，建系如图.∵(0,0,3)P，32B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，32C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， 易知平面PAD 的法向量1(1,3,0)n =． 设平面PBC 的法向量为()2222,,n x y z =，∴3,322PB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，(3,0,0)BC =-，∴222222330,230,PB n x y z BC n x ⎧⋅=+-=⎪⎨⎪⋅=-=⎩得232n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，121212cos ,721n nn n n n ⋅===， 从而，平面PAD 与平面PBC ．19．（1）因为(sincos )0b a C C +-=，所以sin sin (sin cos )0B A C C +-=，所以sin cos cos sin sin sin sin cos 0A C A C A C A C ++-=， 即cos sin sin sin 0A C A C +=． 因为0C π<<，所以sin 0C ≠， 所以sin cos 0A A +=，则tan 1A =-． 因为0A π<<，所以34A π=…6分 （2）因为AD BC ⊥，所以11sin 22ABCSbc A a AD ==⋅，即2a AD =⋅．因为2)BC AD =，所以AD =，所以2(2a bc =+．由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，则22(2bc b c +=++，整理得2()0b c -=，即b c =，故B C =． 因为34A π=，所以8B π=，所以sin 2sin 42B π==…12分20．（1）由题设条件可得12c a =，3a c +=， 解得2a =，1c =，∴2223b a c =-=，所以椭圆C 的方程为22143x y +=．…4分 （2）当矩形ABCD 的一组对边斜率不存在时，得矩形ABCD的面积S =当矩形ABCD 四边斜率都存在时，不妨设AB ，CD 所在直线斜率为k ，则BC ，AD 斜率为1k-，设直线AB 方程为y kx m =+，与椭圆联立22,1,43y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得()2224384120kx kmx m +++-=，由()()222(8)4434120km k m ∆=-+-=，得2243m k =+． 由对称性知直线CD 的直线方程为y kx m =-，直线AB ，CD间的距离1d === 同理可求得BC ，AD间的距离为2d == 所以四边形ABCD 面积为12ABCD S d d ====14=≤=（等号当且仅当1k =±时成立）．又ABCD S >=故由以上可得外切矩形面积的取值范围是．…12分21．（1）由表格中的数据，182.479.2>，所以()()772211182.479.2iii i y y y y ==>--∑∑，所以()()772211182.479.211iii i y y y y ==-<---∑∑．可见模型①的相关指数21R 小于模型②的相关指数22R ．所以回归模型②的拟合效果更好．所以当17x =亿元时，科技升级直接收益的预测值为ˆ21.314.421.3 4.114.472.93y=≈⨯-=（亿元）．…4分 （2）当17x >时，由已知可得2122232425235x ++++==，68.56867.5666667.25y ++++==．所以0.767.20.72383.3a y x =+=+⨯=．所以当17x >时，y 与x 满足的线性回归方程为ˆ0.783.3yx =-+． 当20x =时，科技升级直接收益的预测值为ˆ0.72083.369.3y=-⨯+=亿元． 当20x =亿元时，实际收益的预测值为69.3574.3+=亿元72.93>亿元， 所以技术升级投入20亿元时，公司的实际收益更大．…8分 （3）因为20.50μσ-=，0.53μσ+=，所以(0.500.53)(2)P X P X μσμσ<≤=-<≤+(2)()P X P X μσμσμσμσ=-<≤-+-<≤+ 0.95450.68270.68270.81862-=+=；10.6827(0.53)()2P X P X μσ->=>+=． 所以10.6827()020.81864 2.2718 2.272E Y -=+⨯+⨯=≈（元）．…12分 22．（1）()f x 的定义域为(,)-∞+∞，()e x f x a '=-．①当0a <时，()e 0x f x a '=->，()f x 单调递增，又(0)1f =，11e 10a f a ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，所以函数()f x 有唯一零点；②当0a =时，()e 0x f x =>恒成立，所以函数()f x 无零点； ③当0a e <<时，令()e 0x f x a '=-=，得ln x a =． 当ln x a <时，()0f x '<，()f x 单调递减； 当ln x a >时，()0f x '>，()f x 单调递增． 所以ln min ()(ln )e ln (1ln )a f x f a a a a a ==-=-， 故当0a e <<时，(ln )0f a >，所以函数()f x 无零点． 综上所述，当0a e ≤<时函数()f x 无零点； 当0a <，函数()f x 有一个零点．…4分（2）由题意得，()ln x F x e x =-，则1()e x F x x'=-，令1()e x h x x =-，则21()e 0x h x x'=+>， 所以()h x 在(0,)+∞上为增函数，即()F x '在(0,)+∞上为增函数．又(1)e 10F '=->，1202F ⎛⎫'=< ⎪⎝⎭，所以()F x '在(0,)+∞上存在唯一零点0x ，且01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0001e 0x F x x '=-=，即001e x x =．当()00,x x ∈时，()0F x '<，()F x 在()00,x 上为减函数， 当()0,x x ∈+∞时，()0F x '>，()F x 在()0,x +∞上为增函数，()F x 的最小值()000e ln x m F x x ==-． 因为001e x x =，所以00ln x x =-，所以0012m x x =+>．由()e e ln xmG x x =-得e ()e mxG x x'=-，易知()G x '在(0,)+∞上为增函数． 因为2m >，所以(1)e e 0m G '=-<，e 1()e e 10m mm G m m m '⎛⎫=-=-> ⎪⎝⎭，所以()G x '在(0,)+∞上存在唯一零点1x ，且1(1,)x m ∈，()111e e 0mx G x x '=-=，当()10,x 时，()0G x '<，()G x 在()10,x 上为减函数， 当()1,x x ∈+∞时，()0G x '>，()G x 在()1,x +∞上为增函数， 所以()G x 的最小值为()11e e ln x m G x x =-，因为11e e mx x =，所以11ln x m x =-，所以11ln m x x =+，又000011e ln ln x m x x x =-=+，所以110011ln ln x x x x +=+， 又函数ln y x x =+在(0,)+∞上为增函数，所以101x x =， ()000000111111ln 1000001111e e ln e e ln e e ln x x x x x x mG x x x x x +=-⋅=-⋅=-⋅⋅()0011000000111e ln e ln x x x x x x x x ⎛⎫=⋅⋅-=⋅⋅+ ⎪⎝⎭．因为00ln 0x x +=，所以()10G x =， 即()G x 在(0,)+∞上的最小值为0．…12分。

雅礼中学2020届高三月考试卷(一)数学(理科)本试卷分第I 卷(选择题)和第I 卷(非选择题)两部分，共8页.时量120分钟，满分150分.第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数z 的共轭复数z 满足：()12i z i -=，则复数z 等于（ ） A. 1i + B. 1i -+ C. 1i - D. 1i --【答案】D 【解析】 【分析】由()12i z i -=得出21iz i=-，利用复数的除法法则求出z ，利用共轭复数的概念可求出复数z .【详解】()12i z i -=Q ，()()()()2121211112i i i i z i i i i +-∴====-+--+，因此，1i z =--， 故选：D.【点睛】本题考查复数的除法运算，同时也考查了共轭复数计算，考查计算能力，属于基础题.2.已知集合{}{}/10,/A x x B x x a =-<<=≤,若A B ⊆,则a 的取值范围为( ) A. (,0]-∞ B. [0,)+∞C. (),0-∞D. ()0,∞+【答案】B 【解析】 【分析】画出集合,A B 的数轴表示,利用数轴解题.【详解】画出集合A,B 的数轴表示,因为A B ⊆,所以0a ≥,故选B. 考点：集合包含关系判断及其应用3.在ABC △中,(BC uuu r +BA u u u r )·AC u u u r =|AC u u u r|2,则ABC △的形状一定是 A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形【答案】C 【解析】由(BC uuu r +BA u u u r)·AC u u u r =|AC u u u r |2,得AC u u u r ·(BC uuu r +BA AC -u u u r u u u r )=0,即AC u u u r ·(BC uuu r +BA u u u r +CA u u u r )=0,∴2AC u u u r ·BA u u u r =0,∴AC u u u r ⊥BA u u u r,∴A =90°.即ABC V 的形状一定是直角三角形. 本题选择C 选项.4.我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在222+++⋅⋅⋅x ，这可以通过方程2x x +=确定出来2x =，类似的不难得到11111+=++⋅⋅⋅（ ）51-- 51- 51+ 51-+ 【答案】C 【解析】分析：通过类比推理的方法，得到求值的方法：列方程，求解（舍去负根）即可.详解：由已知代数式求值方法，列方程，求解，舍负根. 可得 11(0)x x x+=> 解得x x ==（舍） 故选C.点睛：类比推理方法的前提是两种对象部分有共同属性，由特殊点向特殊点推理.通过类比推理考核研究问题的深度、思维散发情况和观察的仔细程度.5.()6211x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为（ ） A. 35- B. 5-C. 5D. 35【答案】A 【解析】 【分析】将二项式()6211x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭表示为()666221111x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得出其通项，令x 的指数为零，求出参数的值，再将参数的值代入通项可得出展开式中的常数项.【详解】()666221111x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭Q ， 展开式通项为()()626628266661111krk r k k r r k k rr C x x C x C x C x x x ----⎛⎫⎛⎫⋅⋅--⋅⋅-=⋅-⋅-⋅-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令620820k r -=⎧⎨-=⎩，得34k r =⎧⎨=⎩，因此，二项式()6211x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为346635C C --=-，故选：A.【点睛】本题考查二项式展开式中指定项系数的计算，解题的关键就是写出二项展开式的通项，根据指数求出参数的值，进而求解，考查计算能力，属于中等题.6.给出三个命题：①直线上有两点到平面的距离相等，则直线平行平面；②夹在两平行平面间的异面直线段的中点的连线平行于这个平面；③过空间一点必有唯一的平面与两异面直线平行.正确的是（ ） A. ②③ B. ①②C. ①②③D. ②【答案】D 【解析】 【分析】通过举反例可判断出命题①的正误；利用平面与平面平行的性质定理以及直线与平面平行的性质定理可判断出命题②的正误；通过实例判断出命题③的正误.【详解】对于命题①，如果这两点在该平面的异侧，则直线与该平面相交，命题①错误； 对于命题②，如下图所示，平面//α平面β，A α∈，C α∈，B β∈，D β∈，且E 、F 分别为AB 、CD 的中点，过点C 作//CG AB 交平面β于点G ，连接BG 、DG .设H 是CG 的中点，则//EH BG ，BG ⊂Q 平面β，EH ⊄平面β，//EH ∴平面β. 同理可得//HF 平面β，EH HF H =Q I ，∴平面//EFH 平面β. 又Q 平面//α平面β，∴平面//EFH 平面α，EF ⊂Q 平面EFH ，//EF ∴平面α，//EF 平面β，命题②正确；对于命题③，如下图所示，设AB 是异面直线a 、b 的公垂线段，E 为AB 上一点，过点E 作//a a '，//b b '，当点E 不与点A 或点B 重合时，a '、b '确定的平面α即为与a 、b 都平行的平面；若点E 与点A 或点B 重合时，则a α⊂或b α⊂，命题③错误.故选：D.【点睛】本题考查线线、线面、面面平行关系的判定与性质，解题时要注意这三种平行关系的相互转化，考查推理能力与空间想象能力，属于中等题.7.执行如图所示的程序框图,若输出k的值为8,则判断框内可填入的条件是()A. s≤34?B. s≤56?C. s≤11 12?D. s≤25 24?【答案】C 【解析】试题分析：模拟执行程序框图，k的值依次为0,2,4,8,，因此1111124612s=++=（此时6k=），因此可填1112s≤，故选C.考点：程序框图及循环结构.8.若01,22x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，使得200210x x λ-+<成立是假命题，则实数λ的取值范围是（ ）A. (-∞B. (⎤⎦C. 92⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. {}3【答案】A 【解析】 【分析】由题意得知，全称命题“1,22x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，2210x x λ-+≥”是真命题，利用参变量分离法得出12x x λ≤+，然后利用基本不等式求出12x x+的最小值，可得出实数λ的取值范围.【详解】因为01,22x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，使得200210x x λ-+<成立是假命题，所以1,22x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，2210x x λ-+≥恒成立是真命题， 即1,22x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，12x xλ≤+恒成立是真命题， 当1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦时，由基本不等式得12x x +≥=1,222x ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦时，等号成立，λ∴≤λ的取值范围是(-∞，故选：A.【点睛】本题考查利用特称命题的真假求参数的取值范围，在求参数的取值范围时，可灵活利用参变量分离法，转化为函数的最值求解，考查运算求解能力，属于中等题.9.圆锥的母线长为2，其侧面展开图的中心角为θ弧度，过圆锥顶点的截面中，面积的最大值为2，则θ的取值范围是（ ）A. ),2πB. π⎡⎤⎣⎦C.}D. ,2π⎫⎪⎪⎣⎭【答案】A 【解析】 【分析】设轴截面的中心角为α，过圆锥顶点的截面的顶角为β，且βα≤，由过圆锥顶点的截面中，面积的最大值为2，明确β能取到2π，从而明确轴截面的中心角为α的范围，进而得到结果. 【详解】设轴截面的中心角为α，过圆锥顶点的截面的顶角为β，且βα≤ 过圆锥顶点的截面的面积为：122sin β2sin β2⨯⨯⨯=， 又过圆锥顶点的截面中，面积的最大值为2， 故此时β2π=，故απ2π≤＜圆锥底面半径r )2sin22α=∈ ∴侧面展开图的中心角为θ弧度2sin222πsin22απα⨯⨯==∈),2π 故选：A.【点睛】本题考查圆锥侧面展开图扇形圆心角的计算，解题时要弄清楚圆锥底面圆的周长与侧面展开图扇形的互相相等来建立等量关系，考查空间想象能力，属于中等题.10.已知()f x 是定义在实数集R 上的奇函数，a 为非正的常数，且当0x >时，()2f x ax x =-.若存在实数m n <，使得()f x 的定义域与值域都为[],m n ，则实数a 的取值范围是（） A. ∞(-,1) B. (]1,0-C. (],0∞-D. ∅【答案】B 【解析】 【分析】由题意得出函数()y f x =在R 上单调递减，结合题意得出0m n <<，由题意得出22am m nan n m⎧+=⎨-=⎩，两式相加得出0m n +=，可得出1a m =--，从而可得出实数a 的取值范围. 【详解】Q 函数()y f x =为R 上的奇函数，则()00f =，适合()2f x ax x =-.当0a ≤且0x ≥时，函数()2f x ax x =-为减函数.设0x <，则0x ->，()()()22f x a x x x ax -=⋅---=--， 此时，()()2f x f x x ax =--=+，且该函数在(),0-∞上单调递增，所以，函数()y f x =在实数集R 上单调递减，由题意可得()()f m nf n m ⎧=⎪⎨=⎪⎩，则点(),m n 和点(),n m 在函数()y f x =的图象上，且这两点关于直线y x =对称.若0m n <<，则这两点均为第二象限，都在直线y x =的上方，不可能关于直线y x =对称； 若0n m >>，则这两点均为第四象限，都在直线y x =的下方，不可能关于直线y x =对称. 因此，0m n <<.由()()f m n f n m ⎧=⎪⎨=⎪⎩，得22am m n an n m⎧+=⎨-=⎩，两式相加得()()()220a m n m n m n ++--+=， 即()()10m n a m n ++--=，10a n m ∴=-+>（舍去）或0m n +=，则n m =-. 代入2am m n +=，得2am m m +=-，11a m ∴=-->-，又0a ≤Q ，10a ∴-<≤. 因此，实数a 的取值范围是(]1,0-，故选：B.【点睛】本题考查函数单调性的应用，考查函数的定义域与值域问题，解题时要分析出函数的单调性及其他基本性质进行求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.11.椭圆与双曲线共焦点1F 、2F ，它们的交点P 对两公共焦点1F 、2F 的张角为122F PF θ∠=，椭圆与双曲线的离心率分别为1e 、2e ，则（ ）A.222212cos sin 1e e θθ+= B. 222212sin cos 1e e θθ+=C. 2212221cos sin e e θθ+=D. 2212221sin cos e e θθ+=【答案】B 【解析】 【分析】设椭圆的长轴长为12a ，双曲线的实轴长为22a ，并设1PF m =，2PF n =，利用椭圆和双曲线的定义以及余弦定理可得出1a 、2a 关于c 的等式，从而可得出1e 、2e 的关系式. 【详解】设椭圆的长轴长为12a ，双曲线的实轴长为22a ，并设1PF m =，2PF n =，焦距为2c ，在12PF F ∆中，由余弦定理得()2222cos22m n mn c θ+-=， 由椭圆和双曲线的定义得1222m n a m n a +=⎧⎨-=⎩，解得1212m a a n a a =+⎧⎨=-⎩.代入()2222cos22m n mn c θ+-=，得()()()()222121212122cos 24a a a a a a a a c θ++--+-=，即()222221221cos 22a a a a c θ++-=，()()222121cos21cos22a a c θθ∴-++=，即22222122sin 2cos 2a a c θθ+=，22221222sin cos 1a a c c θθ∴+=，因此，222212sin cos 1e e θθ+=. 故选：B.【点睛】本题考查共焦点和共交点的椭圆和双曲线的综合问题，要充分结合椭圆、双曲线的定义以及余弦定理列等式求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.12.在ABC ∆sin sin A B C +的最大值为（ ）12B. 2【答案】B 【解析】 【分析】 解法1：利用()sin sin A C B =+，得出sin sin A B C +=)sin sin cos C C B C B +，然后利用辅助角公式以sin sin A B C +的最大值；解法2：sin sin A B C +=()()cos cos 2B C B C A --++，然后利用()cos 1B C -≤sin sin A B C +的最大值. 【详解】法1：()sin sin sin sin A B C C B B C +=++cos sin sin sin C B C B B C =+)sin sin cos C C B C B =++≤=2=≤=，当且仅当sin sin B C ==sin A 时，等号成立，sin sin A B C +的最大值为2，故选：B ； 法2：()()cos cossin sin 2B C B C A B C A --++=+1cos 111cos 22222A A A A ++=++≤=≤，当且仅当sin sin 3B C ==，sin 3A =时，等号成立，sin sin A B C +的最大值为2，故选：B.【点睛】本题考查三角形中的最值的求解，涉及到三角恒等变换中的一些变形技巧，解题时要注意化异角为同角，充分利用辅助角公式来求解，考查运算求解能力，属于难题.第Ⅱ卷（共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22~23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.函数sin xy e x =的图象在原点处的切线方程是__________． 【答案】0x y -= 【解析】 【分析】易知原点在函数sin xy e x =的图象上，利用导数求出切线的斜率，然后写出直线的点斜式方程，可得出所求切线方程.【详解】易知原点在函数sin xy e x =的图象上，()sin cos xy e x x '=+，当0x =时，1y '=.因此，所求切线方程为y x =，即0x y -=，故答案为：0x y -=.【点睛】本题考查导数的几何意义，考查利用导数求函数图象的切线方程，解题时要熟悉导数求切线方程的基本步骤，考查计算能力，属于中等题.14.已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线与x 轴的交点为,M N 为抛物线上的一点，且满足32NF MN =，则NMF ∠为 . 【答案】【解析】【详解】过N 作NH 垂直准线，垂足为H ， 则|NF|=|NH|，因为32NF =， 所以32NH =， 3cos cos NH NMF MNH MN∴∠=∠==6NMF π∴∠=，故答案为6π.15.已知函数()()2sin 16f x x x R πω⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭的图象的一条对称轴为x π=，其中ω为常数，且()1,2ω∈，则函数()f x 的最小正周期为__________．【答案】65π 【解析】 【分析】 由题意得出()62k k Z ππωππ-=+∈，可得出ω的表达式，结合()1,2ω∈可求出ω的值，然后利用正弦型函数的周期公式2T πω=可得出函数()y f x =的最小正周期.【详解】由函数()()2sin 16f x x x R πω⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭图象的一条对称轴为x π=. 可得62k ππωππ-=+，k Z ∈，23k ω∴=+，又()1,2ω∈，53ω∴=.因此，函数()y f x =的最小正周期为26553T ππ==，故答案为：65π. 【点睛】本题考查利用正弦型函数的对称轴求参数，同时也考查了正弦型函数周期的计算，要结合题意得出参数的表达式，结合参数的取值范围求出参数的值，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.16.已知实数a 、b 、c 满足a b c <<，6.9a b c ab bc ca ++=⎧⎨++=⎩下列命题中：①01a <<；②13b <<；③34c <<；④()()55b c --的最小值是154，所有真命题为__________． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】构造函数()()()()3269x f x x a x b x c x x abc =-+=----，利用导数分析函数()y f x =的单调性，可得出()()()3 0f x f f ==极小值，()()()14f x f f ==极大值，再由a 、b 、c 为函数()y f x =的三个零点可判断出命题①、②、③的正误，由题中条件得出6b c a +=-，()()2963bc a a a =--=-，代入()()55b c --可判断出命题④的正误.【详解】令()()()()f x x a x b x c =---，则()3269f x x x x abc =-+-.()()() '313f x x x =--，()()()3 0f x f abc f ==-=极小值，()()()14 4f x f abc f ==-=极大值，如下图所示：易知函数() y f x =的三个零点分别为a 、b 、c ，由于a b c <<，由图象可知，01a <<，13b <<，34c <<，则命题①、②、③正确；由题中条件可知6b c a +=-，()()2963bc a a a =--=-. 因此()()()()()2255253562545b bc b c a a a a c -=-++=---+=-+-=211515244a ⎛⎫ ⎪+≥⎝⎭-，命题④也为真命题，故答案为：①②③④.【点睛】本题考查不等式真假的判断，解题的关键就是根据等式结构构造新函数求判断，并将参数转化为函数的零点，在考查函数的综合问题时，要充分利用导数研究函数的单调性，考查函数方程思想，属于难题.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22.23题为选考题，考生根据要求作答. (一)必考题:60分.17.已知数列{}n a 是首项为1，公比为12的等比数列，12n n S a a a =+++L . （1）若n S 、98、1n a -成等差数列，求n 的值； （2）证明*n N ∀∈，有312112231222112n n n n a a a S S S S S S ++++++<-L . 【答案】（1）3n =；（2）详见解析. 【解析】 【分析】（1）先利用等比数列的通项公式和前n 项和公式分别求出n a 、n S ，由题意条件得出194n n S a -+=，即为111292224n n ---+=，从而解出n 的值； （2）将112k k k a S S ++裂项为()111112222k k k k k k k k k S S a S S S S S S +++++-==-，利用裂项法求出31212231222n n n a a a S S S S S S +++++L ，再利用放缩法可得出所证不等式. 【详解】（1）由等比数列的通项公式得1111122n n n a --⎛⎫=⨯=⎪⎝⎭， 由等比数列的前n 项和公式得11111221212n n n S -⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭==--， n S Q 、98、1n a -成等差数列，所以，194n n S a -+=，即121192224n n ---+=，化简得11124n -=，解得3n =；（2）()()1111122221,2,3,kkkk k k k k kS SakS S S S S S+++++-==-=⋅⋅⋅Q，且11212nn nS++-=，因此，31212231122311122222222222nn n n n na aaS S S S S S S S S S S S S S++++++⋅⋅⋅+=-+-++-=-L111121121121212nn n n++++=-=-<---.【点睛】本题考查等比数列通项公式与求和公式，同时也考查了裂项求和法，解题时要熟悉裂项求和法对数列通项结构的要求，考查运算求解能力，属于中等题.18.已知在正方体1111ABCD A B C D-中E，F分别是1,DD BD的中点，G在棱CD上，且14CG CD=．（1）求证：1EF B C⊥；（2）求二面角1F EG C--的余弦值．【答案】(1)见解析；（2）二面角1F EG C--的余弦值为1414-.【解析】【详解】试题分析：（1）如图建立空间直角坐标系O xyz-，设正方体棱长为4，则求出相应点和相应向量的坐标可证1EF B C⊥；（2）平面11D DCC的一个法向量为()4,0,0BC=-u u u v，设并求出平面EFG的一个法向量(),,n x y z=v，应用向量的夹角公式，最后由图可知，二面角为钝角，可得到二面角1F EG C--的余弦值．试题解析：（1）如图建立空间直角坐标系O xyz -，设正方体棱长为4，则()()()()()()()110,0,2,2,2,0,0,4,0,4,4,0,0,4,4,4,4,4,0,3,0E F C B C B G ()()12,2,2,4,0,4EF B C =-=--u u u v u u u v，∴()()()12420240EF B C ⋅=⨯-+⨯+-⨯-=u u u v u u u v∴1EF B C ⊥u u u v u u u v，∴1EF B C ⊥（2）平面11D DCC 的一个法向量为()4,0,0BC =-u u u v设平面EFG 的一个法向量为(),,n x y z =v∴00n EF n FG ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v 即020x y z x y +-=⎧⎨-+=⎩∴23y x z x =⎧⎨=⎩令1x =，则2,3y z ==，∴可取()1,2,3n =v∴14cos ,144n BC n BC n BC⋅===-⨯⋅u u u v v u u u v vu u u v v 如图可知，二面角为钝角，∴二面角1F EG C --的余弦值为1414-19.某健身机构统计了去年该机构所有消费者的消费金额（单位：元），如下图所示：（1）将去年的消费金额超过 3200 元的消费者称为“健身达人”，现从所有“健身达人”中随机抽取 2 人，求至少有 1 位消费者，其去年的消费金额超过 4000 元的概率； （2）针对这些消费者，该健身机构今年欲实施入会制，详情如下表：预计去年消费金额在(] 0,1600内的消费者今年都将会申请办理普通会员，消费金额在(]1600,3200内的消费者都将会申请办理银卡会员，消费金额在(] 3200,4800内的消费者都将会申请办理金卡会员. 消费者在申请办理会员时，需-次性缴清相应等级的消费金额.该健身机构在今年底将针对这些消费者举办消费返利活动，现有如下两种预设方案：方案 1：按分层抽样从普通会员， 银卡会员， 金卡会员中总共抽取 25 位“幸运之星”给予奖励: 普通会员中的“幸运之星”每人奖励 500 元； 银卡会员中的“幸运之星”每人奖励 600 元； 金卡会员中的“幸运之星”每人奖励 800 元.方案 2：每位会员均可参加摸奖游戏，游戏规则如下：从-个装有 3 个白球、 2 个红球（球只有颜色不同）的箱子中， 有放回地摸三次球，每次只能摸-个球.若摸到红球的总数消费金额/元为 2，则可获得 200 元奖励金； 若摸到红球的总数为 3，则可获得 300 元奖励金；其他情况不给予奖励. 规定每位普通会员均可参加 1 次摸奖游戏；每位银卡会员均可参加 2 次摸奖游戏；每位金卡会员均可参加 3 次摸奖游戏（每次摸奖的结果相互独立） . 以方案 2 的奖励金的数学期望为依据，请你预测哪-种方案投资较少？并说明理由. 【答案】（1）1933（2）预计方案2投资较少.详见解析 【解析】 【分析】（1）由题意，随机变量X 的可能值为“0,1,2”，得(1)(1)(2)P X P X P X ≥==+=，即可求解。

湖南省雅礼中学2021届高三月考试卷(三)数 学时量120分钟 满分150分.一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2,3,4A =，集合{},2B m m =+，若{}2AB =，则m =( )A.0B.1C.2D.42.已知i 是虚数单位，复数12aii+-为纯虚数，则实数a 为( ) A.2B.2-C.12-D.123.古希腊时期，人们把宽与长之比为51510.618⎛⎫--≈ ⎪ ⎪⎝⎭的矩形称为黄金矩形，把这个比值51-称为黄金分割比例.下图为希腊的一古建筑，其中图中的矩形ABCD ，EBCF ，FGHC ，FGJI ，LGJK ，MNJK 均为黄金矩形，若M 与K 间的距离超过1.7m ，C 与F 间的距离小于12m ，则该古建筑中A 与B 间的距离可能是( )(参考数据：20.6180.382≈，30.6180.236≈，40.6180.146≈，50.6180.090≈，60.6180.056≈，70.6180.034≈)A.28mB.29.2mC.30.8mD.32.5m 4.已知平面向量a ，b 满足(1,1)=-a ，1=b ，22+=a b ，则a 与b 的夹角为( )A.6πB.56πC.4π D.34π 5.两人进行乒乓球比赛，先赢三局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有( )A.30种B.20种C.15种D.10种6.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且10a >，149S S =，则满足0n S >的最大自然数n 的值为( )A.23B.22C.13D.127.已知A 是双曲线()2222:1,0x y C a b a b-=>的右顶点，过左焦点F 与y 轴平行的直线交双曲线于P ，Q 两点，若APQ △是锐角三角形，则双曲线C 的离心率的取值范围是( )A.(B.(C.()1,2D.()2,+∞8.已知实数a ，b 满足0ab >，则2a aa b a b-++的最大值为( )A.3+B.2+C.2-D.3-二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9.已知函数()11sin 2232f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则以下说法中正确的是( ) A.()f x 的最小正周期为πB.()f x 在7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减C.51,62π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的一个对称中心D.当0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 10.已知由样本数据点集合(){},1,2,,ii x y i n =，求得的回归直线方程为ˆ 1.50.5yx =+，且3x =，现发现两个数据点()1.2,2.2和()4.8,7.8误差较大，去除后重新求得的回归直线l 的斜率为1.2，则( )A.变量x 与y 具有正相关关系B.去除后的回归方程为ˆ 1.2 1.4yx =+ C.去除后y 的估计值增加速度变快D.去除后相应于样本点()2,3.75的残差为0.0511.已知三棱锥P ABC -中，O 为AB 中点，PO ⊥平面ABC ，90APB ∠=︒，2PA PB ==，则下列说法中正确的是( )A.若O 为ABC △的外心，则2PC =B.若ABC △为等边三角形，则AP BC ⊥C.当90ACB ∠=︒时，PC 与平面PAB 所成角的范围为0,4π⎛⎤⎥⎝⎦D.当4PC =时，M 为平面PBC 内动点，若OM //平面PAC ，则M 在三角形PBC 内的轨迹长度为2 12.关于函数()2ln f x x x=+，下列说法正确的是( ) A.2x =是()f x 的极大值点B.函数()y f x x =-有且只有1个零点C.存在正整数k ，使得()f x kx >恒成立D.对任意两个正实数1x ，2x ，且12x x ≠，若()()12f x f x =，则124x x +> 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若函数()xf x a =(0a >，且1a ≠)的图象经过点12,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()1f -=________.14.()sin501︒+︒=________.15.O 为坐标原点，F 为抛物线2:4C y x =的焦点，P 为C 上一点，若4PF =，则POF △的面积为________.16.已知三棱锥P ABC -的四个顶点在球O 的球面上，PA PB PC ==，ABC △是边长为2的正三角形，E ，F 分别是PA ，AB 的中点，90CEF ∠=︒，则球O 的体积为________.四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos 2cos 2cos A C c aB b--=. (1)求sin sin CA的值； (2)若1cos 4B =，2b =，求ABC △的面积.18.(本小题满分12分)如图，在四棱锥P ABCD -中，ABD △是边长为2的正三角形，PC ⊥底面ABCD ，AB BP ⊥，233BC =. (1)求证：PA BD ⊥；(2)若PC BC =，求二面角A BP D --的正弦值.19.(本小题满分12分)已知{}n a 为等差数列，1a ，2a ，3a 分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且1a ，2a ，3a 中的任何两个数都不在下表的同一列.请从①12a =，②11a =，③13a =的三个条件中选一个填入上表，使满足以上条件的数列{}n a 存在；并在此存在的数列{}n a 中，试解答下列两个问题.(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设数列{}n b 满足()121n n nb a +=-，求数列{}n b 的前n 项和n T . 20.(本小题满分12分)为了治疗某种疾病，某科研机构研制了甲、乙两种新药，为此进行白鼠试验.试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验.4轮试验后，就停止试验.甲、乙两种药的治愈率分别是25和34,55ββ⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭.(1)若35β=，求2轮试验后乙药治愈的白鼠比甲药治愈的白鼠多1只的概率； (2)已知A 公司打算投资甲、乙这两种新药的试验耗材费用，甲药和乙药一次试验耗材花费分别为3千元和()101β-千元，每轮试验若甲、乙两种药都治愈或都没有治愈，则该科研机构和A 公司各承担该轮试验耗材总费用的50%.若甲药治愈，乙药未治愈，则A 公司承担该轮试验耗材总费用的75%，其余由科研机构承担.若甲药未治愈，乙药治愈，则A 公司承担该轮试验耗材总费用的25%，其余由科研机构承担.以A 公司每轮支付试验耗材费用的期望为标准，求A 公司4轮试验结束后支付试验耗材最少费用为多少元？21.(本小题满分12分)已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为3，其右顶点为A ，下顶点为B ，定点()0,2C ，ABC △的面积为3，过点C 作与y 轴不重合的直线l 交椭圆C 于P ，Q 两点，直线BP ，BQ 分别与x 轴交于M ，N 两点.(1)求椭圆C 的方程；(2)试探究M ，N 的横坐标的乘积是否为定值，说明理由.22.(本小题满分12分)已知函数()()2ln af x ax x a x=--∈R . (1)若()f x 是定义域上的增函数，求a 的取值范围；(2)设35a >，m ，n 分别为()f x 的极大值和极小值，若S m n =-，求S 的取值范围.数学参考答案一、选择题二、填空题14.1三、解答题17.【解析】(1)由正弦定理得2sin a R A =，2sin b R B =，2sin c R C =所以cos 2cos 22sin sin cos sin A C c a C AB b B---==即sin cos 2sin cos 2sin cos sin cos B A B C C B A B -=- 即有()()sin 2sin A B B C +=+，即sin 2sin C A =，所以sin 2sin CA= (2)由(1)知sin 2sin c C a A==，即2c a = 又因为2b =，1cos 4B =，所以由余弦定理得： 2222cos b c a ac B =+-，即222124224a a a a =+-⨯⨯，解得1a =所以2c =，又因为1cos 4B =，所以sin 4B =故ABC △的面积为11sin 1222ac B =⨯⨯⨯=18.【解析】(1)证明：连接AC 交BD 于O∵PC ⊥底面ABCD ，∴PC AB ⊥ ∵AB BP ⊥，BPCP P =，∴AB ⊥平面PBC ，则AB BC ⊥∵233BC =，∴3tan 3BAC ∠=，即30BAC ∠=︒ ∵60ABD ∠=︒，∴90AOB ∠=︒即AC BD ⊥，∵PC BD ⊥，∴BD ⊥平面ACP ，∴PA BD ⊥(2)由(1)知O 是BD 的中点，过O 作OF //PC 交AP 于F ，以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系则()0,1,0B ，()0,1,0D -，3,0,03C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，323,0,33P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭则()0,2,0DB =，323,1,33PB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭.设平面PBD 的一个法向量(),,x y z =n则00DB PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即20323033y x y z =⎧⎪⎨+-=⎪⎩，令1z =，则2x =，∴()2,0,1=n 取PB 的中点313,,623E ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，连接CE∵PC BC =，∴CE PB ⊥，则CE ⊥平面ABP∴向量313,,623CE ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭是平面ABP 一个法向量∴23103cos ,5253CE CE CE⋅〈〉===⨯n n n∴二面角A BP D --的正弦值为519.【解析】(1)若选择条件①，当第一行第一列为1a 时，由题意知，可能的组合有：12a =，26a =，37a =不是等差数列，12a =，29a =，38a =不是等差数列当第一行第二列为1a 时，由题意知，可能的组合有，12a =，24a =，37a =不是等差数列12a =，29a =，312a =不是等差数列；当第一行第三列为1a 时，由题意知，可能的组合有： 12a =，24a =，38a =不是等差数列，12a =，26a =，312a =不是等差数列则放在第一行的任何一列，满足条件的等差数列{}n a 都不存在若选择条件②，则放在第一行第二列，结合条件可知11a =，24a =，37a = 则公差213d a a =-=，所以()1132n a a n d n =+-=-，*n ∈N 若选择条件③，当第一行第一列为1a 时，由题意知，可能的组合有：13a =，26a =，37a =不是等差数列，13a =，29a =，38a =不是等差数列；当第一行第二列为1a 时，由题意知，可能的组合有，13a =，24a =，37a =不是等差数列，13a =，29a =，312a =不是等差数列；当第一行第三列为1a 时，由题意知，可能的组合有： 13a =，24a =，38a =不是等差数列，13a =，26a =，312a =不是等差数列则放在第一行的任何一列，满足条件的等差数列{}n a 都不存在综上可知：32n a n =-，*n ∈N .(2)由(1)知，()()12132n n b n +=--，所以当n 为偶数时22222212312341n n n n T b b b b a a a a a a -=++++=-+-++-()()()()()()1212343411n n n n a a a a a a a a a a a a --=+-++-+++-()()21231329333222n n n a a a a n n +-=-++++=-⨯=-+当n 为奇数时，()()()22219393113222222n n n T T b n n n n n -=+=--+-+-=-- ∴2*2*93,2,22932,21,22n n n n k k T n n n k k ⎧-+=∈⎪⎪=⎨⎪--=-∈⎪⎩N N .20.【解析】(1)记事件A 为“2轮试验后，乙药治愈的白鼠比甲药治愈的白鼠多1只”，事件B 为“2轮试验后，乙药治愈1只白鼠，甲药治愈0只白鼠”，事件C 为“2轮试验后，乙药治愈2只白鼠，甲药治愈1只白鼠”，则()1232331085555625P B C ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()212233231085555625P C C C ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴()()()108108216625625625P A P B P C =+=+=(2)一次实验耗材总费用为()102β+千元.设随机变量X 为每轮试验A 公司需要支付的试验耗材费用的取值， 则()11024X β=+，()11022β+，()31024β+ ()1310245P X ββ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭()()122311*********P X ββββ⎛⎫⎛⎫=+=+-⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()32102145P X ββ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭随机变量X 的分布列如下：()()()()()313112310210211025455254E X ββββββ⎛⎫=⋅++-⋅++-⋅+ ⎪⎝⎭25116225ββ=-++.令()25116225 f βββ=-++，34,55β⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. 易知()fβ在区间34,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 ∴()min 31855f f β⎛⎫==⎪⎝⎭(千元). 则A 公司4轮试验结束后支付实验耗材最少费用为1872414.455⨯==(千元). 即14400元.21.【解析】(1)由已知A ，B 的坐标分别是(),0A a ，()0,B b -，由于ABC △的面积为3∴1(2)32b a +=，又由e =2a b =，解得：1b =，或3b =-(舍去) ∴2a =，1b =∴椭圆C 的方程为2214x y +=. (2)设直线PQ 的方程为2y kx =+，P ，Q 的坐标分别为()11,P x y ，()22,Q x y则直线BP 的方程为1111y y x x +=-，令0y =，得点M 的横坐标111M xx y =+ 直线BQ 的方程为2211y y x x +=-，令0y =，得点N 的横坐标221N x x y =+ ∴()()()()()121212212121212113339M N x x x x x x x x y y kx kx k x x k x x ⋅===+++++++把直线2y kx =+代入椭圆2214x y +=，得()221416120k x kx +++=， ()22(16)41412k k ∆=-⋅+⋅0>，234k >由韦达定理得1221214x x k =+，1221614kx x k +=-+ ∴22222222121241412481248936391414M N k x x k k k k k k k +===-++-+++，是定值. 22.【解析】(1)()f x 的定义域为()0,+∞，()22222a ax x af x a x x x -+'=+-=∵()f x 在定义域内单调递增∴()0f x '≥，即220ax x a -+≥对0x >恒成立，则221xa x ≥+恒成立 ∴2max21x a x ⎛⎫≥⎪+⎝⎭∵2211xx ≤+，∴1a ≥. 所以a 的取值范围是[)1,+∞. (2)由2440a ∆=->且35a >，得315a << 设方程()0f x '=，即220ax x a -+=得两根为1x ，2x ，且120x x <<. 则()1m f x =，()2n f x = ∵121x x =，122x x a+=∴11121023x x a <+=< ∴1113x <<， 将S 表示为关于1x 的函数，112211212ln 2ln a a aS m n ax x ax x ax x x x ⎛⎫=-=-----=- ⎪⎝⎭11111112ln 2ln 22ln a ax ax x ax x x x ⎛⎫⎛⎫---+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵21120ax x a -+=∴12121x a x =+，代入得222111122111114ln 4ln 112x x S x x x x ⎛⎫⎛⎫--=-=- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭令21x t =，则119t <<，得()11ln 12t g t t t -=-+，119t <<，则()4S g t =，()()()221021t g t t t --'=<+， ∴()g t 在1,19⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，从而()()119g g t g ⎛⎫<< ⎪⎝⎭即()40ln35g t <<-∴16 04ln35S<<-.。