2019届湖南省长沙市雅礼中学高考模拟(二)数学(理)试题(解析版)

2019届湖南省长沙市雅礼中学高三下学期一模数学（理）试题一、单选题1．a 为正实数，i 为虚数单位，，则a=（ ）A ．2B ．C ．D ．1【答案】B 【解析】略2．已知集合123A x z z x ⎧⎫=∈∈⎨⎬+⎩⎭，{}2450B x x x =--≤，则A B =（ ） A ．{}1,0,1,3- B ．1,0,1,2C ．{}1,0,1-D ．{}0,1,2,3【答案】A【解析】分别求解出集合,A B ，再求解A B 即可【详解】{}{}15,9,7,6,5,4,2,1,0,1,3,9,|15A B x x =--------=-≤≤ {}1,0,1,3A B ∴⋂=-故选：A 【点睛】本题主要考查不等式的求解，集合交集的运算，考查学生的运算求解能力，属于基础题. 3．如图是2017年第一季度五省GDP 情况图，则下列陈述中不正确的是（ ）A ．2017年第一季度GDP 增速由高到低排位第5的是浙江省．B ．与去年同期相比，2017年第一季度的GDP 总量实现了增长．C ．2017年第一季度GDP 总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1个D ．去年同期河南省的GDP 总量不超过4000亿元． 【答案】C【解析】利用图表中的数据进行分析即可求解. 【详解】对于A 选项：2017年第一季度5省的GDP 增速由高到低排位分别是：江苏、辽宁、山东、河南、浙江，故A 正确；对于B 选项：与去年同期相比，2017年第一季度5省的GDP 均有不同的增长，所以其总量也实现了增长，故B 正确；对于C 选项：2017年第一季度GDP 总量由高到低排位分别是：江苏、山东、浙江、河南、辽宁，2017年第一季度5省的GDP 增速由高到低排位分别是：江苏、辽宁、山东、河南、浙江，均居同一位的省有2个，故C 错误； 对于D 选项：去年同期河南省的GDP 总量14067.43815.5740001 6.6%⨯≈<+，故D正确. 故选：C. 【点睛】本题考查了图表分析，学生的分析能力，推理能力，属于基础题.4．设02x π≤≤，且sin cos x x =-，则（ ） A ．0x π≤≤ B ．744x ππ≤≤C ．544x ππ≤≤D ．322x ππ≤≤【答案】C【解析】将等式变形后，利用二次根式的性质判断出sin cos x x ，即可求出x 的范围. 【详解】1sin 2-==|sin cos |x x =- sin cos x x =-sin cos 0,x x ∴- 即sin cos x x 02x π544xππ∴故选：C 【点睛】此题考查解三角函数方程，恒等变化后根据sin ,cos x x 的关系即可求解，属于简单题目. 5．设x 、y 、z 是空间中不同的直线或平面，对下列四种情形：①x 、y 、z 均为直线；②x 、y 是直线，z 是平面；③z 是直线，x 、y 是平面；④x 、y 、z 均为平面.其中使“x z ⊥且y z x y ⊥⇒∥”为真命题的是（ ）A ．③④B ．①③C ．②③D ．①②【答案】C【解析】①举反例，如直线x 、y 、z 位于正方体的三条共点棱时②用垂直于同一平面的两直线平行判断.③用垂直于同一直线的两平面平行判断.④举例，如x 、y 、z 位于正方体的三个共点侧面时. 【详解】①当直线x 、y 、z 位于正方体的三条共点棱时,不正确； ②因为垂直于同一平面的两直线平行,正确； ③因为垂直于同一直线的两平面平行,正确； ④如x 、y 、z 位于正方体的三个共点侧面时, 不正确. 故选:C. 【点睛】此题考查立体几何中线面关系，选择题一般可通过特殊值法进行排除，属于简单题目. 6．已知函数()f x 是R 上的偶函数，()g x 是R 的奇函数，且()()1g x f x =-，则()2019f 的值为（ ）A ．2B ．0C ．2-D ．2±【答案】B【解析】根据函数的奇偶性及题设中关于()g x 与()1f x -关系，转换成关于()f x 的关系式，通过变形求解出()f x 的周期，进而算出()2019f . 【详解】()g x 为R 上的奇函数，()()()()010,g f g x g x ∴=-=-=-()()()10,11f f x f x ∴-=--=--，()()2f x f x ∴-=--而函数()f x 是R 上的偶函数，()()f x f x ∴=-，()()2f x f x ∴=--()()24f x f x ∴-=--，()()4f x f x ∴=-故()f x 为周期函数，且周期为4()()201910f f ∴=-=故选：B 【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性，函数的周期性的应用，属于基础题.7．若()*3nx n N ⎛∈ ⎝的展开式中含有常数项，且n 的最小值为a，则aa-=（ ）A ．36πB ．812πC ．252πD ．25π【答案】C【解析】()*3x nn N ∈展开式的通项为()52133,0,1,,rn r n rrn r r r n n T C x C x r n ---+===，因为展开式中含有常数项，所以502n r -=，即25r n =为整数，故n 的最小值为5．所以5252aπ--⎰=⎰=.故选C 点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第1r +项，再由特定项的特点求出r 值即可. (2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第1r +项，由特定项得出r 值，最后求出其参数.8．已知向量a 与b 的夹角为θ，定义a b ⨯为a 与b 的“向量积”，且a b ⨯是一个向量，它的长度sin a b a b θ⨯=，若()2,0u =，(1,3u v -=-，则()u u v ⨯+=（ ） A．BC ．6D ．【答案】D【解析】先根据向量坐标运算求出()3,3u v +=和cos ,u u v +，进而求出sin ,u u v +，代入题中给的定义即可求解.【详解】由题意()(1,3v u u v =--=，则()3,3u v +=，3cos,2u u v +=，得1sin ,2u u v +=，由定义知()1sin ,22u u v u u v u u v ⨯+=⋅++=⨯=， 故选:D. 【点睛】此题考查向量的坐标运算，引入新定义，属于简单题目.9．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，以线段12F F 为直径的圆与双曲线在第二象限的交点为P ，若直线2PF 与圆222:216⎛⎫-+= ⎪⎝⎭c bE x y 相切，则双曲线的渐近线方程是（ ）A ．yx =± B ．2y x =±C ． y =D ．y =【答案】B【解析】先设直线2PF 与圆222:216⎛⎫-+= ⎪⎝⎭c b E x y 相切于点M ，根据题意，得到1//EM PF ，再由22114F E F F =，根据勾股定理求出2b a =，从而可得渐近线方程. 【详解】设直线2PF 与圆222:216⎛⎫-+= ⎪⎝⎭c b E x y 相切于点M ，因为12PF F ∆是以圆O 的直径12F F 为斜边的圆内接三角形，所以1290F PF ∠=， 又因为圆E 与直线2PF 的切点为M ，所以1//EM PF ，又22114F E F F =，所以144b PF b =⋅=， 因此22PF a b =+，因此有222(2)4b a b c ++=，所以2b a =，因此渐近线的方程为2y x =±. 故选B 【点睛】本题主要考查双曲线的渐近线方程，熟记双曲线的简单性质即可，属于常考题型. 10．已知函数()()2sin 1f x x ωϕ=+-（0>ω，0ϕπ<<）的一个零点是3π，函数()y f x =图象的一条对称轴是直线6x π=-，则当ω取得最小值时，函数()f x 的单调递增区间是（ ） A ．3,336k k ππππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ） B ．53,336k k ππππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ） C ．22,236k k ππππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ） D ．2,236k k ππππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ） 【答案】B【解析】根据函数()f x 的一个零点是3x π=，得出03f π⎛⎫=⎪⎝⎭，再根据6x π=-是对称轴，得出,62k k Z ππωϕπ--=+∈，求出w 的最小值与对应的ϕ，写出()f x 即可求出其单调增区间. 【详解】 依题意得，2sin 1033f ππωϕ⎛⎫⎛⎫=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即1sin 32πωϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 解得1236k πωπϕπ+=+或25236k πωπϕπ+=+（其中1k ，2k ∈Z ）.① 又sin 16πωϕ⎛⎫-+=± ⎪⎝⎭，即362k πωπϕπ-+=+（其中3k ∈Z ）.②由①-②得()13223k k πωππ=--或()23223k k πωππ=-+，即()132223k k ω=--或()232223k k ω=-+（其中1k ，2k ，3k ∈Z ），因此ω的最小值为23.因为sin sin 169πωπϕϕ⎛⎫⎛⎫-+=-+=± ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以92k ππϕπ-+=+（k ∈Z ）. 又0ϕπ<<，所以29ππϕ=+，所以()222sin 12cos 132939f x x x πππ⎛⎫⎛⎫=++-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令22239k x k ππππ-≤+≤（k ∈Z ），则53336k x k ππππ-≤≤-（k ∈Z ）. 因此，当ω取得最小值时，()f x 的单调递增区间是53,336k k ππππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ）. 故选：B 【点睛】此题考查三角函数的对称轴和对称点，在对称轴处取得最值，对称点处函数值为零，属于较易题目.11．在边长为23的菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，沿对角线BD 折成二面角A BD C --为120︒的四面体ABCD （如图），则此四面体的外接球表面积为（ ）A ．28πB ．7πC ．14πD ．21π【答案】A【解析】画图取BD 的中点M ，法一：四边形12OO MO 的外接圆直径为OM ，即可求半径从而求外接球表面积；法二：根据13OO ，即可求半径从而求外接球表面积；法三：作出CBD ∆的外接圆直径CE ，求出AC 和sin AEC ∠，即可求半径从而求外接球表面积； 【详解】如图，取BD 的中点M ，CBD ∆和ABD ∆的外接圆半径为122r r ==，CBD ∆和ABD ∆的外心1O ，2O 到弦BD 的距离（弦心距）为121d d ==.法一：四边形12OO MO 的外接圆直径2OM =，7R =28S π=；法二：13OO =7R =28S π=；法三：作出CBD ∆的外接圆直径CE ，则3AM CM ==，4CE =，1ME =，7AE =AC 33=cos 27427AEC∠==⋅⋅，33sin 27AEC ∠=，33227sin 3327AC R AEC ===∠7R =28S π=. 故选：A 【点睛】此题考查三棱锥的外接球表面积，关键点是通过几何关系求得球心位置和球半径，方法较多，属于较易题目.12．已知函数()()222ln 25f x a x ax =+++.设1a <-，若对任意不相等的正数1x ，2x ，恒有()()12128f x f x x x -≥-，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()3,1--B ．()2,1--C ．(],3-∞-D ．(],2-∞-【答案】D【解析】求解()f x 的导函数，研究其单调性，对任意不相等的正数12,x x ，构造新函数，讨论其单调性即可求解. 【详解】()f x 的定义域为()0,∞+，()()2221224ax a a f x ax x x+++'=+=， 当1a <-时，()0f x '<，故()f x 在()0,∞+单调递减；不妨设12x x <，而1a <-，知()f x 在()0,∞+单调递减， 从而对任意1x 、()20,x ∈+∞，恒有()()12128f x f x x x -≥-，即()()12128f x f x x x -≥-，()()()12218f x f x x x -≥-，()()112288f x x f x x ≥++，令()()8g x f x x =+，则()2248a g x ax x+'=++，原不等式等价于()g x 在()0,∞+单调递减，即1240a ax x+++≤， 从而()222214122121x x a x x ---≤=-++，因为()22212221x x --≥-+，所以实数a 的取值范围是(],2-∞- 故选：D. 【点睛】此题考查含参函数研究单调性问题，根据参数范围化简后构造新函数转换为含参恒成立问题，属于一般性题目.二、填空题13．设变量x ，y ，z 满足约束条件3123x y x y x y +⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，则目标函数23z x y =+的最小值是______. 【答案】7【解析】作出不等式组3123x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩表示的平面区域,得到如图的△ABC 及其内部,其中A (2,1),B (1,2),C (4,5)设z =F (x ,y )=2x +3y ，将直线l :z =2x +3y 进行平移， 当l 经过点A 时，目标函数z 达到最小值 ∴z 最小值=F (2,1)=714．齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马.现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为__________． 【答案】13. 【解析】分析：由题意结合古典概型计算公式即可求得题中的概率值. 详解：由题意可知了，比赛可能的方法有339⨯=种，其中田忌可获胜的比赛方法有三种：田忌的中等马对齐王的下等马， 田忌的上等马对齐王的下等马，田忌的上等马对齐王的中等马， 结合古典概型公式可得，田忌的马获胜的概率为3193p ==. 点睛：有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举．(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用. 15．过抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点F 且倾斜角为锐角的直线l 与C 交于A ，B 两点，过线段AB 的中点N 且垂直于l 的直线与C 的准线交于点M ，若MN =，则l 的斜率为______.【解析】分别过A ，B ，N 作抛物线的准线的垂线，垂足分别为A '，B '，N '，根据抛物线定义和MN AB =求得MNN '∠，从而求得直线l 的倾斜角. 【详解】分别过A ，B ，N 作抛物线的准线的垂线，垂足分别为A '，B '，N '，由抛物线的定义知AF AA '=，BF BB ='，()1122NN AA BB AB '''=+=，因为MN =，所以NN '=，所以30MNN '∠=︒，即直线MN 的倾斜角为150︒，又直线MN 与直线l 垂直且直线l 的倾斜角为锐角，所以直线l 的倾斜角为60︒，3AB k =.故答案为：3 【点睛】此题考查抛物线的定义，根据已知条件做出辅助线利用抛物线定义和几何关系即可求解，属于较易题目.16．如图，已知一块半径为2的残缺的半圆形材料ABC ，O 为半圆的圆心，65OC =，残缺部分位于过点C 的竖直线的右侧，现要在这块材料上裁出一个直角三角形，若该直角三角形一条边在BC 上，则裁出三角形面积的最大值为______.【答案】33【解析】分两种情况讨论：（1）斜边在BC 上，设PBC θ∠=，则0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，（2）若在若一条直角边在BC 上，设POH θ∠=，则0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，进一步利用导数的应用和三角函数关系式恒等变形和函数单调性即可求出最大值. 【详解】（1）斜边在BC 上，设PBC θ∠=，则0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则16cos 5PB θ=，16sin 5PC θ=， 从而116166464cos sin sin 22552525S θθθ=⋅⋅=≤. 当4πθ=时，max 6425S =此时85PH =，符合.（2）若一条直角边在BC 上，设POH θ∠=，则0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则2sin PH θ=，2cos OH θ=， 由65OH OC ≤=知3cos 5θ≤. ()()()122cos 2sin 2sin 1cos 2S θθθθθ∴=+⋅=+， ()()()2cos 12cos 1S θθθ'=+-当πθ0,3时，()0S θ'>，()S θ单调递增， 当,32ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0S θ'<，()S θ单调递减， ()3364325S S πθ⎛⎫∴≤=>⎪⎝⎭.当3πθ=，即1cos 2θ=时，()S θ最大. 故答案为：332. 【点睛】此题考查实际问题中导数，三角函数和函数单调性的综合应用，注意分类讨论把所有情况考虑完全，属于一般性题目.三、解答题17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，22181a a =+，公差0d >，1S 、4S 、16S 成等比数列，数列{}n b 满足()22log 1log n n b a x =-（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）已知11n n n c a a +=，求数列{}n n c b +的前n 项和n T . 【答案】（1）21n a n =-，1n n b x-=（0x >）；（2）11112211nn x T n x-⎛⎫=-+⎪+-⎝⎭. 【解析】（1）根据{}n a 是等差数列，22181a a =+，1S 、4S 、16S 成等比数列，列两个方程即可求出1,a d ，从而求得n a ，代入化简即可求得n b ；（2）化简n c 后求和为裂项相消求和，{}n n c b +分组求和即可，注意讨论公比是否为1. 【详解】（1）由题意知11S a =，4146S a d =+，16116120S a d =+，由42116S S S =⋅得()()21114616120a d a a d +=+，解得120d a =>.又()2221181a a d a =+=+，得211981a a =+，解得11a =或119a =-（舍）. 2d ∴=，21n a n =-.又()1222log 22log log n nb n x -=-=（0x >）， 1n n b x -∴=（0x >）.（2）()()111111212122121n n n c a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭，①当1x =时，()()121n n n T c c c b b =++++++111221n n ⎛⎫=-+ ⎪+⎝⎭. ②当1x ≠时，11112211nn x T n x-⎛⎫=-+⎪+-⎝⎭. 【点睛】此题等差数列的通项公式的求解，裂项相消求和等知识点，考查了化归和转化思想，属于一般性题目.18．如图,在四棱锥P ABCD -中,四边形ABCD 是直角梯形,,//,AB AD AB CD PC ⊥⊥底面ABCD 224,2,AB AD CD PC a E ====,是PB的中点.（1）.求证:平面EAC ⊥平面PBC ; （2）.若二面角P AC E --的余弦值为63,求直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值. 【答案】（1）见解析；（2）23. 【解析】试题分析：（1）根据PC ⊥平面ABCD 有PC AC ⊥，利用勾股定理可证明AC BC ⊥，故AC ⊥平面PBC ，再由面面垂直的判定定理可证得结论；（2）在C 点建立空间直角坐标系，利用二面角P AC E --的余弦值为6建立方程求得2PC =，在利用法向量求得PA 和平面EAC 所成角的正弦值. 试题解析：（Ⅰ）PC ⊥ 平面,ABCD AC ⊂平面,ABCD AC PC ∴⊥因为4,2AB AD CD ===,所以2AC BC ==,所以222AC BC AB +=,所以AC BC ⊥,又BC PC C ⋂=，所以AC ⊥平面PBC .因为AC ⊂平面EAC ，所以平面EAC ⊥平面PBC ． （Ⅱ）如图，以点C 为原点， ,,DA CD CP 分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立空间直角坐标系，则()()()0,0,0,2,2,0,2,2,0C A B -.设()0,0,2(0)P a a >，则()1,1,E a -()()()2,2,0,0,0,2,1,1,CA CP a CE a ===-取()1,1,0m =-，则0,m CA m CP m ⋅=⋅=为面PAC 法向量．设(),,n x y z =为面EAC 的法向量，则0n CA n CE ⋅=⋅=，即{x yx y az+=-+=，取,,2x a y a z==-=-，则(),,2n a a=--依题意2cos,3m nm nm n a⋅〈〉===⋅+，则2a=．于是()()2,2,2,2,2,4n PA=--=-．设直线PA与平面EAC所成角为θ，则2 sin cos,3PA nPA nPA nθ⋅=〈〉==⋅即直线PA与平面EAC19．已知圆M：(2264x y++=及定点()N，点A是圆M上的动点，点B在NA上，点G在MA上，且满足2NA NB=，0GB NA⋅=，点G的轨迹为曲线C.（1）求曲线C的方程；（2）设斜率为k的动直线l与曲线C有且只有一个公共点，与直线12y x=和12y x=-分别交于P、Q两点.当12k>时，求OPQ∆（O为坐标原点）面积的取值范围.【答案】（1）221164x y+=；（2）()8,+∞.【解析】（1）根据题意得到GB是线段AN的中垂线，从而GM GN+为定值，根据椭圆定义可知点G的轨迹是以M，N为焦点的椭圆，即可求出曲线C的方程；（2）联立直线方程和椭圆方程，表示处OPQ∆的面积代入韦达定理化简即可求范围.【详解】（1）2NA NBBGB NA⎧=⇒⎨⋅=⎩为AN的中点，且GB AN GB⊥⇒是线段AN的中垂线，AG GN∴=，又8GM GN GM GA AM MN+=+==>=，∴点G的轨迹是以M，N为焦点的椭圆，设椭圆方程为22221x yab+=（0a b>>），则4a=，c=，2b∴==，所以曲线C 的方程为221164x y +=.（2）设直线l ：y kx m =+（12k ≠±）， 由22416y kx m x y =+⎧⎨+=⎩消去y ，可得()2221484160k x kmx m +++-=. 因为直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点， 所以()()2222644144160km k m ∆=-+-=，22164m k =+.①又由20y kx m x y =+⎧⎨-=⎩可得2,1212m m P k k ⎛⎫ ⎪--⎝⎭；同理可得2,1212m m Q k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭.由原点O 到直线PQ的距离为d =P Q PQ x =-，可得22111222222121214OPQP Q m m m S PQ d m x x m k k k ∆=⋅=-=⋅+=-+-.② 将①代入②得222224181441OPQm k S k k ∆+==--， 当214k >时，22241288184141OPQ k S k k ∆⎛⎫+⎛⎫==+> ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭， 综上，OPQ ∆面积的取值范围是()8,+∞. 【点睛】此题考查了轨迹和直线与曲线相交问题，轨迹通过已知条件找到几何关系从而判断轨迹，直线与曲线相交一般联立设而不求韦达定理进行求解即可，属于一般性题目. 20．超级病菌是一种耐药性细菌，产生超级细菌的主要原因是用于抵抗细菌侵蚀的药物越来越多，但是由于滥用抗生素的现象不断的发生，很多致病菌也对相应的抗生素产生了耐药性，更可怕的是，抗生素药物对它起不到什么作用，病人会因为感染而引起可怕的炎症，高烧、痉挛、昏迷直到最后死亡.某药物研究所为筛查某种超级细菌，需要检验血液是否为阳性，现有n （n *∈N ）份血液样本，每个样本取到的可能性均等，有以下两种检验方式：（1）逐份检验，则需要检验n 次；（2）混合检验，将其中k （k *∈N 且2k ≥）份血液样本分别取样混合在一起检验，若检验结果为阴性，这k 份的血液全为阴性，因而这k 份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这k 份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k 份再逐份检验，此时这k 份血液的检验次数总共为1k +次，假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为p （01p <<）.（1）假设有5份血液样本，其中只有2份样本为阳性，若采用逐份检验方式，求恰好经过2次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率；（2）现取其中k （k *∈N 且2k ≥）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为1ξ，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为2ξ.（i ）试运用概率统计的知识，若12E E ξξ=，试求p 关于k 的函数关系式()p f k =； （ii）若1p =-份检验的总次数期望值更少，求k 的最大值.参考数据：ln 20.6931≈，ln3 1.0986≈，ln 4 1.3863≈，ln5 1.6094≈，ln6 1.7918≈ 【答案】（1）110（2）（i ）()111kp f k k ⎛⎫==- ⎪⎝⎭（k *∈N ，且2k ≥）.（ii ）最大值为4.【解析】（1）设恰好经过2次检验能把阳性样本全部检验出来为事件A ,利用古典概型、排列组合求解即可；（2）（i ）由已知得1E k ξ=,2ξ的所有可能取值为1,1k +,则可求得()21P ξ=,()21P k ξ=+,即可得到()2E ξ,进而由()()12E E ξξ=可得到p 关于k 的函数关系式；（ii ）由()()12E E ξξ>可得()11kp k<-,推导出1ln 3k k >,设()1ln 3f x x x =-（0x >）,利用导函数判断()f x 的单调性,由单调性可求出k 的最大值 【详解】（1）设恰好经过2次检验能把阳性样本全部检验出来为事件A ,则()232355A A 1A 10P A ==, ∴恰好经过两次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率为110（2）（i ）由已知得1E k ξ=,2ξ的所有可能取值为1,1k +,()()211k P p ξ∴==-,()()2111kP k p ξ=+=--,()()()()()2111111k k k E p k p k k p ξ⎡⎤∴=-++--=+--⎣⎦,若()()12E E ξξ=,则()11kk k k p =+--,则()11kp k-=, 111k p k ⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭,111kp k ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭,∴p 关于k 的函数关系式为()111kp f k k ⎛⎫==- ⎪⎝⎭（k *∈N ,且2k ≥）（ii ）由题意知()()12E E ξξ>,得()11k p k<-, 31p =-,1kk ∴<,1ln 3k k ∴>, 设()1ln 3f x x x =-（0x >）, 则()113f x x '=-,令()0f x '=,则13x =,∴当3x >时,()0f x '<,即()f x 在()3,+∞上单调增减, 又ln 4 1.3863≈,41.33333≈, 4ln 43∴>, 又ln5 1.6094≈,51.66673≈, 5ln 53∴<,∴k 的最大值为4 【点睛】本题考查古典概型的概率公式的应用,考查随机变量及其分布,考查利用导函数判断函数的单调性21．{}max ,m n 表示m ，n中的最大值，如{max =，己知函数{}2()max 1,2ln f x x x =-，2221()max ln ,242g x x x x a x a a ⎧⎫⎛⎫=+-+-++⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭.（1）设21()()3(1)2h x f x x x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，求函数()h x 在(]0,1上的零点个数；（2）试探讨是否存在实数()2,a ∈-+∞，使得3()42g x x a <+对()2,x a ∈++∞恒成立？若存在，求a 的取值范围；若不存在，说明理由. 【答案】（1）个；（2）存在，ln 21(,2]4-. 【解析】试题分析：（1）设，对其求导，及最小值，从而得到的解析式，进一步求值域即可；（2）分别对和两种情况进行讨论，得到的解析式，进一步构造，通过求导得到最值，得到满足条件的的范围．试题解析：（1）设()()()()2211212ln ,2x x F x x x F x x x x-='+=---=，．．．．．．．．．．．．．1分 令()0F x '>，得()1,x F x >递增；令()0F x '<，得()01,x F x <<递减，．．．．．．．．．．．．．．．．．2分∴()()min 10F x F ==，∴()0F x ≥，即212ln x x -≥，∴()21f x x =-．．．．．．．．．．．．．3分设()()21312G x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，结合()f x 与()G x 在(]0,1上图象可知，这两个函数的图象在(]0,1上有两个交点，即()h x 在(]0,1上零点的个数为2．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（或由方程()()f x G x =在(]0,1上有两根可得） （2）假设存在实数()2,a ∈-+∞，使得()342g x x a <+对()2,x a ∈++∞恒成立， 则2223ln 42{1324422x x x a x a x a a x a+<+⎛⎫-+-++<+ ⎪⎝⎭，对()2,x a ∈++∞恒成立，即()()21ln 42{20x x ax x a -<+->，对()2,x a ∈++∞恒成立 ，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分①设()()1112ln ,222x H x x x H x x x'-=-=-=， 令()0H x '>，得()02,x H x <<递增；令()0H x '<，得()2,x H x >递减， ∴()()max 2ln 21H x h ==-，当022a <+<即20a -<<时，4ln 21a >-，∴ln 214a ->，∵0a <，∴4ln 21,04a -⎛⎫∈⎪⎝⎭． 故当ln 21,04a -⎛⎫∈⎪⎝⎭时，1ln 42x x a -<对()2,x a ∈++∞恒成立，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分当22a +≥即0a ≥时，()H x 在()2,a ++∞上递减，∴()()()12ln 212H x H a a a <+=+--． ∵()111ln 210222a a a '⎛⎫+--=-≤ ⎪+⎝⎭，∴()()20ln 210H a H +≤=-<， 故当0a ≥时，1ln 42x x a -<对()2,x a ∈++∞恒成立．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 ②若()()220x x a+->对()2,x a ∈++∞恒成立，则22a a+≥，∴[]1,2a ∈-．．．．．．．．．．．11分 由①及②得，ln 21,24a -⎛⎤∈⎥⎝⎦．故存在实数()2,a ∈-+∞，使得()342g x x a <+对()2,x a ∈++∞恒成立， 且a 的取值范围为ln 21,24-⎛⎤⎥⎝⎦．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 【考点】导数应用.【思路点睛】本题考查了函数恒成立问题；利用导数来判断函数的单调性，进一步求最值；属于难题．本题考查函数导数与单调性.确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可结合导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象.方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理. 恒成立问题以及可转化为恒成立问题的问题，往往可利用参变分离的方法，转化为求函数最值处理．也可构造新函数然后利用导数来求解.注意利用数形结合的数学思想方法.22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l的的参数方程为4x aty ⎧=⎪⎨=⎪⎩（其中t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点A 的极坐标为2,6π⎛⎫⎪⎝⎭，直线l 经过点A ．曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=.（1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程； （2）过点)P作直线l 的垂线交曲线C 于,D E 两点(D 在x 轴上方)，求11PD PE-的值. 【答案】（1）2y =-，24y x =；（2）12【解析】(1)利用代入法消去参数可得到直线l 的普通方程，利用公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩可得到曲线C 的直角坐标方程；(2)设直线DE的参数方程为12x y t⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（t 为参数），代入24y x =得20t +-=，根据直线参数方程的几何意义，利用韦达定理可得结果. 【详解】（1）由题意得点A的直角坐标为)，将点A代入4x at y ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，得1a t =⎧⎪⎨=⎪⎩，则直线l的普通方程为2y =-.由2sin 4cos ρθθ=得22sin 4cos ρθρθ=，即24y x =. 故曲线C 的直角坐标方程为24y x =.（2）设直线DE的参数方程为12x y t⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（t 为参数），代入24y x =得20t +-=．设D 对应参数为1t ，E 对应参数为2t ．则12t t +=-12t t =-，且120,0t t ><. 121212*********2t t PD PE t t t t t t +∴-=-=+==． 【点睛】参数方程主要通过代入法或者已知恒等式（如22cos sin 1αα+=等三角恒等式）消去参数化为普通方程，通过选取相应的参数可以把普通方程化为参数方程，利用关系式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，222tan x y y xρθ⎧+=⎪⎨=⎪⎩等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题． 23．已知函数()|2||23|f x x a x a =-+-+． （1）当2a =时，解关于x 的不等式()9f x ≤；（2）当2a ≠时，若对任意实数x ，()4f x ≥都成立，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）{|24}x R x ∈-≤≤（2）214(,][,)33-∞-+∞ 【解析】（1）当1a =时，利用含有一个绝对值不等式的解法，求得不等式的解集.（2）对a 分成2a >和2a <两类，利用零点分段法去绝对值，将()f x 表示为分段函数的形式，求得()f x 的最小值，进而求得a 的取值范围. 【详解】（1）当2a =时，()31f x x =- 由()9f x ≤得13x -≤ 由13x -≤得313x -≤-≤ 解：313x -≤-≤，得24x -≤≤∴当2a =时，关于x 的不等式()9f x ≤的解集为{|24}x R x ∈-≤≤（2）①当2a >时，232aa <-，()333,233,232333,2x a x a a f x x a x a a x a x ⎧⎪-+>-⎪⎪=+-≤≤-⎨⎪⎪-+-<⎪⎩所以()f x 在,2a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上是减函数，在,2a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭是增函数，所以()min 3322a af x f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，由题设得3342a -≥，解得143a ≥.②当2a <时，同理求得23a ≤-. 综上所述，a 的取值范围为][214,,33⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭. 【点睛】本小题主要考查含有一个绝对值不等式的求法，考查利用零点分段法解含有两个绝对值的不等式，属于中档题.。

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2019届全国高考高三模拟考试卷数学(理）试题（二)(解析版）注意事项：1．答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.一、选择题：本大题共12小题,每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．［2019·南昌一模］已知复数()i2ia z a +=∈R 的实部等于虚部，则a =( ） A ．12-B ．12C ．1-D ．12．［2019·梅州质检］已知集合{}31,A x x n n ==-∈N ,{}6,8,10,12,14B =，则集合A B 中元素的个数为( ) A ．2B ．3C ．4D ．53．[2019·菏泽一模]已知向量()1,1=-a ，()2,3=-b ，且()m ⊥+a a b ，则m =( ) A ．25B ．25-C ．0D ．154．［2019·台州期末］已知圆C ：()()22128x y -+-=,则过点()3,0P 的圆C 的切线方程为( ） A ．30x y +-=B ．30x y --=C ．230x y --=D ．230x y +-=5．［2019·东北三校］中国有十二生肖,又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)中的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取礼物都满意,则选法有（ ） A ．30种B ．50种C ．60种D ．90种6．[2019·汕尾质检]某空间几何体的三视图如图所示，正视图是底边长为3的等腰三角形，侧视图是直角边长为1的等腰直角三角形，俯视图是扇形，则该几何体的体积为（ )A ．π9B ．π3C ．π6D ．π187．[2019合肥质检]将函数()π2sin 16f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象上各点横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)得到函数()g x 的图象,则下列说法正确的是（ ） A ．函数()g x 的图象关于点π,012⎛⎫- ⎪⎝⎭对称 B ．函数()g x 的周期是π2C ．函数()g x 在π0,6⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增D ．函数()g x 在π0,6⎛⎫ ⎪⎝⎭上最大值是18．[2019·临沂质检]执行如图所示的程序框图，输出的值为（ )A ．0B ．12C ．1D ．1-9．[2019·重庆一中]2sin80cos70cos20︒︒-=︒（ ）A ．B ．1CD ．210．[2019·揭阳一模]函数()f x 在[)0,+∞单调递减，且为偶函数．若()21f =-，则满足()31f x -≥-的x 的取值范围是（ ） A ．[]1,5B ．[]1,3C ．[]3,5D ．[]2,2-11．［2019·陕西联考]已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为2F ,若C 的左支上存在点M ,使得直线0bx ay -=是线段2MF 的垂直平分线，则C 的离心率为（ ）AB ．2CD ．512．［2019·临川一中］若函数()f x 在其图象上存在不同的两点()11,A x y ，()22,B x y ，其坐标满足条件:1212x x y y +0，则称()f x 为“柯西函数"，则下列函数:①()()10f x x x x=+>；②()()ln 0e f x x x =<<；③()cos f x x =;④()21f x x =-．其中为“柯西函数”的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题：本大题共4小题,每小题5分，共20分．13．[2019·江门一模］已知a 、b 、c 是锐角ABC △内角A 、B 、C 的对边，S 是ABC △的面积,若8a =,5b =，S =，则c =_________．14．［2019·景山中学]已知a ,b 表示直线，α,β，γ表示不重合平面． ①若a αβ=，b α⊂,a b ⊥，则αβ⊥；②若a α⊂，a 垂直于β内任意一条直线，则αβ⊥； ③若αβ⊥，a αβ=,b αγ=,则a b ⊥；④若a α⊥,b β⊥，a b ∥,则αβ∥．上述命题中,正确命题的序号是__________．15．［2019·林芝二中]某传媒大学的甲、乙、丙、丁四位同学分别从影视配音、广播电视、公共演讲、播音主持四门课程中选修一门，且这四位同学选修的课程互不相同．下面是关于他们选课的一些信息：①甲同学和丙同学均不选播音主持，也不选广播电视；②乙同学不选广播电视，也不选公共演讲；③如果甲同学不选公共演讲,那么丁同学就不选广播电视．若这些信息都是正确的，依据以上信息可推断丙同学选修的课程是_______(填影视配音、广播电视、公共演讲、播音主持）16．[2019·河南联考］若一直线与曲线eln y x =和曲线2y mx =相切于同一点P ,则实数m =________．三、解答题：本大题共6大题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分)[2019·长郡中学]设正项数列{}n a 的前n 项和为n S是n a 与1n a +的等比中项，其中*n ∈N ．(1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设()11211n n n n n a b a a +++=-⋅，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：21n T <．18．（12分）［2019·维吾尔一模]港珠澳大桥是中国建设史上里程最长，投资最多，难度最大的跨海桥梁项目，大桥建设需要许多桥梁构件．从某企业生产的桥梁构件中抽取100件,测量这些桥梁构件的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落（1）求这些桥梁构件质量指标值落在区间[]75,85内的频率；（2）若将频率视为概率,从该企业生产的这种桥梁构件中随机抽取3件,记这3件桥梁构件中质量指标值位于区间[)45,75内的桥梁构件件数为X ，求X 的分布列与数学期望．19．（12分)［2019·淄博模拟］如图,在四棱锥P ABCD -中,AB CD ∥，1AB =，3CD =，2AP =，23DP =60PAD ∠=︒，AB ⊥平面PAD ,点M 在棱PC 上．(1）求证：平面PAB ⊥平面PCD ；20．（12分)［2019·泰安期末]已知椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>的离心率为22,抛物线22:4C y x =-的准线被椭圆1C 截得的线段长为2．（1）求椭圆1C 的方程；（2）如图，点A 、F 分别是椭圆1C 的左顶点、左焦点直线l 与椭圆1C 交于不同的两点M 、N (M 、N 都在x 轴上方）．且AFM OFN ∠=∠．证明：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．21．（12分）［2019·衡水中学]已知函数()23ln f x x ax x =+-，a ∈R ．（1）当13a =-时,求函数()f x 的单调区间；（2)令函数()()2x x f x ϕ'=，若函数()x ϕ的最小值为32-，求实数a 的值．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．(10分）【选修4—4：坐标系与参数方程】［2019·揭阳一模］以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为22cos 2a ρθ=（a ∈R ，a 为常数）），过点()2,1P 、倾斜角为30︒的直线l 的参数方程满足2x =+，(t 为参数)． (1）求曲线C 的普通方程和直线l 的参数方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点（点P 在A 、B 之间），且2PA PB ⋅=，求a 和PA PB -的值．23．（10分）【选修4—5：不等式选讲】［2019·汕尾质检]已知()221f x x x =++-的最小值为t ．求t 的值；若实数a ,b 满足2222a b t +=,求221112a b +++的最小值．2019届高三第三次模拟考试卷理 科 数 学（二）答 案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】C 【解析】∵()2i i i 1i 2i 2i 22a a a z -++===--的实部等于虚部，∴122a=-，即1a =-．故选C ． 2．【答案】A【解析】由题意，集合{}31,A x x n n ==-∈N ，{}6,8,10,12,14B =， ∴{}8,14A B =，∴集合A B 中元素的个数为2．故选A ． 3．【答案】A【解析】()()()1,12,312,31m m m m m +=-+-=--a b ，结合向量垂直判定，建立方程，可得12310m m --+=，解得25m =，故选A ． 4．【答案】B【解析】根据题意，圆C ：()()22128x y -+-=，P 的坐标为()3,0,则有()()2231028-+-=,则P 在圆C 上，此时20113CP K -==--,则切线的斜率1k =，则切线的方程为3y x =-,即30x y --=，故选B ． 5．【答案】B【解析】若同学甲选牛，那么同学乙只能选狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的10中任意选，∴共有11210C C 20⋅=， 若同学甲选马,那么同学乙能选牛、狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的10中任意选,∴共有11310C C 30⋅=,∴共有203050+=种．故选B ．6．【答案】A【解析】由三视图可知，该几何体是圆锥的一部分，正视图是底边长为3的等腰三角形， 侧视图是直角边长为1的等腰直角三角形,圆锥的高为1，底面半径为1， 俯视图是扇形，圆心角为2π3，几何体的体积为112ππ113239⨯⨯⨯⨯=．故选A ． 7．【答案】C【解析】将函数()f x 横坐标缩短到原来的12后,得到()π2sin 216g x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，当π12x =-时，π112f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即函数()g x 的图象关于点π,112⎛⎫-- ⎪⎝⎭对称，故选项A 错误； 周期2ππ2T ==，故选项B 错误； 当π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，πππ2662x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,，∴函数()g x 在π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增,故选项C 正确；∵函数()g x 在π0,6⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，∴()π16g x g ⎛⎫<= ⎪⎝⎭,即函数()g x 在π0,6⎛⎫ ⎪⎝⎭上没有最大值,故选项D 错误．故选C ．8．【答案】A【解析】第一次循环，1k =，cos01S ==，112k =+=，4k >不成立； 第二次循环，2k =，π131cos 1322S =+=+=，213k =+=,4k >不成立； 第三次循环，3k =，32π31cos12322S =+=-=，314k =+=，4k >不成立； 第四次循环，4k =,1cos π110S =+=-=,415k =+=，4k >成立， 退出循环，输出0S =,故选A ． 9．【答案】C 【解析】∵()2sin 6020cos702sin80cos70cos20cos20︒+︒︒-︒-︒=︒︒2sin 60cos202cos60sin 20cos70cos20︒︒+︒︒-︒=︒2sin 60cos20sin 20cos70cos20︒︒+︒-︒=︒2sin 60cos202sin 603cos20︒︒==︒=︒．故选C ． 10．【答案】A【解析】∵函数()f x 为偶函数，∴()()312f x f -≥-=等价于()()32f x f -≥， ∵函数()f x 在[)0,+∞单调递减，∴32x -≤，232x -≤-≤,15x ≤≤，故选A ． 11．【答案】C【解析】()2,0F c ，直线0bx ay -=是线段2MF 的垂直平分线， 可得2F 到渐近线的距离为222F P b b a ==+，即有22OP c b a =-=,由OP 为12MF F △的中位线，可得122MF OP a ==，22MF b =，可得212MF MF a -=，即为222b a a -=，即2b a =，可得221145c b e a a==+=+=．故选C ．12．【答案】B【解析】由柯西不等式得:对任意实数1x ,1y ,2x ，2y ,2222121211220x x y y x y x y +-+⋅+≤恒成立， （当且仅当1221x y x y =取等号）若函数()f x 在其图象上存在不同的两点()11,A x y ,()22,B x y ，其坐标满足条件：222212121122x x y y x y x y +-+⋅+的最大值为0,则函数()f x 在其图象上存在不同的两点()11,A x y ,()22,B x y ，使得OA ，OB 共线， 即存在过原点的直线y kx =与()y f x =的图象有两个不同的交点：对于①,方程()10kx x x x=+>，即()211k x -=，不可能有两个正根，故不存在；对于②，，由图可知不存在；对于③，,由图可知存在；对于④,，由图可知存在，∴“柯西函数”的个数为2，故选B ．二、填空题：本大题共4小题,每小题5分，共20分． 13．【答案】7【解析】根据三角形面积公式得到13sin sin 2S ab C C =⨯⇒= ∵三角形为锐角三角形，故得到角C 为π3，再由余弦定理得到222π1cos 7322a b c c ab+-==⇒=．故答案为7．14．【答案】②④【解析】对于①，根据线面垂直的判定定理，需要一条直线垂直于两条相交的直线，故不正确，对于②，a α⊂，a 垂直于β内任意一条直线,满足线面垂直的定理，即可得到αβ⊥， 又a α⊂，则αβ⊥,故正确，对于③，αβ⊥，a αβ=,b αγ=，则a b ⊥或a b ∥，或相交，故不正确， 对于④，可以证明αβ∥，故正确． 故答案为②④． 15．【答案】影视配音【解析】由①知甲和丙均不选播音主持，也不选广播电视; 由②知乙不选广播电视，也不选公共演讲；由③知如果甲不选公共演讲，那么丁就不选广播电视，综上得甲、乙、丙均不选广播电视，故丁选广播电视，从而甲选公共演讲，丙选影视配音， 故答案为影视配音． 16．【答案】12【解析】曲线eln y x =的导数为e 'y x=,曲线2y mx =的导数为2y mx '=，由e 2mx x=，0x >且0m >，得x =e 2⎫⎪⎪⎭，代入eln y x =得e 2=，解得12m =，故答案为12． 三、解答题:本大题共6大题，共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【答案】（1）n a n =;（2）见解析．【解析】(1n a 与1n a +的等比中项,∴()221n n n n n S a a a a =+=+， 当1n =时，21112a a a =+，∴11a =．当2n ≥时，22111222n n n n n n n a S S a a a a ---=-=+--,整理得()()1110n n n n a a a a --+--=． 又0n a >，∴()112n n a a n --=≥，即数列{}n a 是首项为1，公差为1的等差数列． ∴()()1111n a a n d n n =+-=+-=． （2）()()()1121111111n n n n b n n n n +++⎛⎫=-⋅=-+ ⎪++⎝⎭，∴21232111111111122334212221n n T b b b b n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=+-+++-++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11121n =-<+． 18．【答案】（1）0.05；（2）见解析．【解析】（1）设区间[]75,85内的频率为x ,则区间[)55,65,[)65,75内的频率分别为4x 和2x ． 依题意得()0.0040.0120.0190.0310421x x x +++⨯+++=,解得0.05x =． ∴这些桥梁构件质量指标值落在区间[]75,85内的频率为0.05．（2）从该企业生产的该种桥梁构件中随机抽取3件,相当于进行了3次独立重复实验，∴X 服从二项分布(),B n p ，其中3n =．由(1)得，区间[]45,75内的频率为0.30.20.10.6++=，将频率视为概率得0.6p =．∵X 的所有可能取值为0,1,2，3，且()00330C 0.60.40.064P X ==⨯⨯=，()11231C 0.60.40.288P X ==⨯⨯=，()22132C 0.60.40.432P X ==⨯⨯=,()33033C 0.60.40.216P X ==⨯⨯=．∴X 的分布列为：X P0.0640.2880.4320.216X 服从二项分布(),B n p ,∴X 的数学期望为30.6 1.8EX =⨯=．19．【答案】(1)见解析；（2)219565． 【解析】（1)∵AB ⊥平面PAD ，∴AB DP ⊥， 又∵23DP =，2AP =，60PAD ∠=︒, 由sin sin PD PA PAD PDA =∠∠，可得1sin 2PDA ∠=，∴30PDA ∠=︒，90APD ∠=︒，即DP AP ⊥， ∵AB AP A =，∴DP ⊥平面PAB ， ∵DP ⊂平面PCD ,∴平面PAB ⊥平面PCD ；（2)以点A 为坐标原点,AD 所在的直线为y 轴,AB 所在的直线为z 轴， 如图所示，建立空间直角坐标系，其中()0,0,0A ，()0,0,1B ，()0,4,3C ，()0,4,0D ，)3,1,0P ． 从而()0,4,1BD =-,()3,1,0AP =，()3,3,3PC =-，设PM PC λ=，从而得)33,31,3M λλλ+，()33,31,31BM λλλ=+-，设平面MBD 的法向量为(),,x y z =n ，若直线PA ∥平面MBD ,满足000BM BD AP ⎧⋅=⎪⎪⋅=⎨⎪⋅=⎪⎩n n n，即)()()131310400x y z y z y λλλ-+++-=-=⎨+=， 得14λ=，取)3,12=--n ，且()3,1,1BP =-, 直线BP 与平面MBD所成角的正弦值等于3sin 156BP BPθ⋅-===⋅n n 20．【答案】（1）2212x y +=；(2)直线l 过定点()2,0．【解析】(1）由题意可知，抛物线2C 的准线方程为1x =， 又椭圆1C ，∴点⎛⎝⎭在椭圆上，∴221112a b +=,① 又c e a ==，∴222212a b e a -==，∴222a b =,②，由①②联立，解得22a =,21b =，∴椭圆1C 的标准方程为2212x y +=．(2）设直线:l y kx m =+，设()11,M x y ,()22,N x y ，把直线l 代入椭圆方程，整理可得()222214220k x km m +++-=，()()222222164212216880k m k m k m ∆=-+-=-+>，即22210k m -+>，∴122421kmx x k +=-+，21222221m x x k -=+，∵111FM y k x =+，221FN yk x =+，M 、N 都在x 轴上方，且AFM OFN ∠=∠，∴FM FN k k =-，∴121211y yx x =-++，即()()()()122111kx m x kx m x ++=-++， 整理可得()()1212220kx x k m x x m ++++=，∴()2222242202121m km k k m m k k -⎛⎫⋅++-+= ⎪++⎝⎭,即22224444420km k k m km k m m ---++=，整理可得2m k =， ∴直线l 为()22y kx k k x =+=+，∴直线l 过定点()2,0． 21．【答案】（1）见解析；（2)56-．【解析】（1)13a =-时，()2ln f x x x x =--，则()()()221121x x x x f x x x +---'==， 令()'0f x =，解得12x =-或1x =，而0x >，故1x =，则当()0,1x ∈时，()0f x '<，即()f x 在区间内递减，当()1,x ∈+∞时,()0f x '>,即()f x 在区间内递增．(2）由()23ln f x x ax x =+-，()123f x x a x'=+-，则()()23223x x f x x ax x ϕ'==+-，故()2661x x ax ϕ'=+-,又()()264610a ∆=-⨯⨯->，故方程()0x ϕ'=有2个不同的实根， 不妨记为1x ，2x ，且12x x <， 又∵12106x x =-<，故120x x <<， 当()20,x x ∈时，()0x ϕ'<，()x ϕ递减， 当()2,x x ∈+∞时，()0x ϕ'>，()x ϕ递增， 故()()322222min 23x x x ax x ϕϕ==+-，①又()20x ϕ'=,∴2226610x ax +-=，即222166x a x -=,②将222166x a x -=代入式，得2222222222222233316112323622x x x x x x x x x x x -+⋅⋅-=+--=--, 由题意得3221322x x --=-，即322230x x +-=， 即()()222212230x x x -++=,解得21x =, 将21x =代入式中，得56a =-．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做,则按所做的第一题记分．22．【答案】（1）222x y a -=，3212x t y ==+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩（t 为参数）；（2)2a =±，432． 【解析】（1)由22cos 2a ρθ=得()2222cos sin a ρθθ-=，又cos x ρθ=，sin y ρθ=，得222x y a -=,∴C 的普通方程为222x y a -=， ∵过点()2,1P 、倾斜角为30︒的直线l 的普通方程为)321y x =-+， 由32x =+得112y t =+，∴直线l 的参数方程为3212x t y =+=+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩（t 为参数）．（2）将212x t y =+=+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩代入222x y a -=,得()()2221230t t a +-+-=，依题意知()()2221830a ∆⎡⎤=-->⎣⎦，则上方程的根1t 、2t 就是交点A 、对应的参数, ∵()21223t t a ⋅=-,由参数t 的几何意义知1212PA PB t t t t ⋅=⋅=⋅,得122t t ⋅=， ∵点P 在A 、B 之间，∴120t t ⋅<，∴122t t ⋅=-，即()2232a -=-，解得24a =（满足0∆>)，∴2a =±， ∵1212PA PB t t t t -=-=+，又()1221t t +=-，∴2PA PB -=． 23．【答案】(1）2；（2）1．【解析】（1）()31,12213,1131,1x x f x x x x x x x +≥⎧⎪=++-=+-<<⎨⎪--≤-⎩，故当1x =-时，函数()f x 有最小值2，∴2t =． (2)由（1）可知22222a b +=，故22124a b +++=,∴2222222222212111112121121244b a a b a b a b a b +++++++⎛⎫+++=+⋅=≥ ⎪++++⎝⎭, 当且仅当22122a b +=+=,即21a =，20b =时等号成立，故221112a b +++的最小值为1．。

雅礼中学2019届高三月考试卷（二）数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页．时量120分钟．满分150分第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是合题目要求的1.已知集合，则A B＝A. B. (1,2) C. (2, ) D. （，0）【答案】A【解析】【分析】解集合A与集合B，求得集合的交集即可。

【详解】解集合A可得集合B为}所以A B＝所以选A【点睛】本题考查了集合的简单并集运算，属于基础题。

2.设x，y是两个实数，则“x，y中至少有一个数大于1”是“x2＋y2＞2”成立的A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充分必要条件D. 既非充分又非必要条件【答案】D【解析】【分析】根据充分、必要条件的判断，分别作为条件推理即可。

【详解】若x，y中至少有一个数大于1（如x=1.1，y=0.1），则x2＋y2＞2不成立若x2＋y2＞2（如x=-2，y=-2）则x，y中至少有一个数大于1不成立所以“x，y中至少有一个数大于1”是“x2＋y2＞2”成立的既非充分又非必要条件所以选D【点睛】本题考查了充分必要条件的判断，属于基础题。

3.已知直线m，n和平面，满足m⊥n，m⊥，⊥，则A. n⊥B. n∥C. n∥或nD. n∥或n【答案】D【解析】【分析】根据空间几何的垂直平行关系，找出反例即可。

【详解】根据条件，画出示意图反例如下图可分别排除A、B、C所以选D【点睛】本题考查了空间几何垂直平行关系的判断，注意解题方法的选择，属于基础题。

4.△ABC中，点D在AB上，满足．若，则A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用向量的线性运算，化简即可。

【详解】根据向量的线性加法与减法运算，化简得所以选B【点睛】本题考查了向量的线性运算，用基底表示向量的方法，属于基础题。

5.设则A. B.C. D.【答案】B【解析】：因为，所以，那么，所以.视频6.现有四个函数：①，②，③，④的图像（部分）如下，但顺序打乱了，则按照从左到右将图象对应的序号排列正确的组是A. ①③②④B. ②①③④C. ③①④②D. ①④②③【答案】D【解析】试题分析：因为为偶函数,与为奇函数,为非奇非偶函数,所以从左至右第一个图对应的函数为①,第二个图像对应的函数为④.因为当时,恒成立,所以第四个图对应的函数为③.那么第三个图对应的函数为②.故B正确.考点：1函数的奇偶性;2函数的图像.7.数列满足：a1＝1，a2＝－1，a3＝－2，a n＋2＝a n+1－a n（），则数列的前2019项的和为A. 1B. —2C. -1514D. -1516【答案】B【解析】【分析】根据递推公式，求得数列的前几项，发现数列的规律，进而求得前2019项的和。

湖南省长沙市雅礼雨花中学2019年高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设是定义在R上的偶函数，且在上是增函数，设，则的大小关系是（）A. B. C. D.参考答案：B略2. 若实数a，b满足，则ab的最小值为（）A．B．2 C．D．4参考答案：A【考点】基本不等式．【分析】利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：实数满足，∴a，b＞0，∴≥2，化为：ab，当且仅当b=2a=．则ab的最小值为．故选：A．3. 函数的图象大致是（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】函数的图象．【分析】求出函数的零点个数，图象所过象限及极限值，利用排除法，可得答案．【解答】解：令函数=0，则x=0，或x=，即函数有两个零点，故排除B；当0＜x＜时，函数值为负，图象出现在第四象限，故排除C；由=0，可排除D，故选：A4. 已知函数有零点，则实数的取值范围是（）A、B、C、D、参考答案：B5. 已知M是抛物线上一点，F是抛物线C的焦点，若是抛物线的准线与轴的交点，则A. B. C. D.参考答案：B6. 在平面直角坐标系中，方程+=1所表示的曲线是（）A．椭圆B．三角形C．菱形D．两条平行线参考答案：C【考点】曲线与方程．【分析】去掉绝对值，可得方程+=1的曲线围成的封闭图形．【解答】解：x≥0，y≥0方程为+=1；x≥0，y≤0方程为﹣=1；x≤0，y≥0方程为﹣+=1；x≤0，y≤0方程为﹣﹣=1，∴方程+=1的曲线围成的封闭图形是一个以（0，4），（2，0），（0，﹣4），（﹣2，0）为顶点的菱形，故选：C．【点评】本题考查的知识点是曲线与方程，分析出几何体的形状是解答的关键，难度中档．7. 已知函数的反函数. 若的图象过点(3,4)，则a等于A． B． C． D．2参考答案：D8. 执行如图所示的程序框图，若输入的的值为，则输出的的值为（）A．3 B．126 C．127 D．128参考答案：C略9. 若函数则A. B. C.D.参考答案：D10. 设是等比数列{a n}的前n项和，，则的值为（）A．或-1 B．1或C．D．参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知，满足且的最大值为7，最小值为1，则参考答案：略12. 在极坐标系中，直线与圆相交的弦长为＿＿＿＿参考答案：13. 将曲线，上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标缩小到原来的倍后，得到的曲线的焦点坐标为 .参考答案：（±,0）14. 设变量x，y满足约束条件，则z=x﹣3y的最小值．参考答案：﹣8【考点】简单线性规划．【分析】作出变量x，y满足约束条件所对应的平面区域，采用直线平移的方法，将直线l：平移使它经过区域上顶点A（﹣2，2）时，目标函数达到最小值﹣8【解答】解：变量x，y满足约束条件所对应的平面区域为△ABC如图，化目标函数z=x﹣3y为将直线l：平移，因为直线l在y轴上的截距为﹣，所以直线l越向上移，直线l在y轴上的截距越大，目标函数z的值就越小，故当直线经过区域上顶点A时，将x=﹣2代入，直线x+2y=2，得y=2，得A（﹣2，2）将A（﹣2，2）代入目标函数，得达到最小值z min=﹣2﹣3×2=﹣8故答案为：﹣815. 曲线在点(0,1)处的切线方程为__________.参考答案：【分析】利用导数值确定切线斜率，再用点斜式写出切线方程。

2019届湖南省长沙市雅礼中学高三下学期5月高考适应性考试数学（理）试题一、单选题1．已知集合{2,0,1,3}A =-，{B x x =<<，则集合A B I 子集的个数为（ ） A ．4 B ．8C ．16D ．32【答案】B【解析】首先求出A B I ，再根据含有n 个元素的集合有2n 个子集，计算可得. 【详解】解：{2,0,1,3}A =-Q ，{B x x =<，{2,0,1}A B ∴=-I ，A B ∴I 子集的个数为328=.故选：B . 【点睛】考查列举法、描述法的定义，以及交集的运算，集合子集个数的计算公式，属于基础题．2．设复数z 满足31ii z=+，则z =（ ）A ．1122i + B ．1122-+i C ．1122i - D ．1122i -- 【答案】D【解析】根据复数运算，即可容易求得结果. 【详解】3(1)1111(1)(1)222i i i i z i i i i ----====--++-.故选：D. 【点睛】本题考查复数的四则运算，属基础题.3．新闻出版业不断推进供给侧结构性改革，深入推动优化升级和融合发展，持续提高优质出口产品供给，实现了行业的良性发展.下面是2012年至2016年我国新闻出版业和数字出版业营收增长情况，则下列说法错误的是（ ）A ．2012年至2016年我国新闻出版业和数字出版业营收均逐年增加B ．2016年我国数字出版业营收超过2012年我国数字出版业营收的2倍C ．2016年我国新闻出版业营收超过2012年我国新闻出版业营收的1.5倍D ．2016年我国数字出版营收占新闻出版营收的比例未超过三分之一 【答案】C【解析】通过图表所给数据，逐个选项验证. 【详解】根据图示数据可知选项A 正确；对于选项B ：1935.5238715720.9⨯=<，正确；对于选项C ：16635.3 1.523595.8⨯>，故C 不正确；对于选项D ：123595.878655720.93⨯≈>，正确.选C.【点睛】本题主要考查柱状图是识别和数据分析，题目较为简单. 4．已知等差数列{}n a 的前13项和为52，则68(2)a a +-=（ ）A ．256B ．-256C ．32D ．-32【答案】A【解析】利用等差数列的求和公式及等差数列的性质可以求得结果. 【详解】由1371352S a ==，74a =，得()()68822256a a +-=-=.选A.【点睛】本题主要考查等差数列的求和公式及等差数列的性质，等差数列的等和性应用能快速求得结果.5．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右两个焦点分别为1F ，2F ，若存在点P 满足1212::4:6:5PF PF F F =，则该双曲线的离心率为（ ）A ．2B ．52C ．53D ．5【答案】B【解析】利用双曲线的定义和条件中的比例关系可求. 【详解】122155642F F e PF PF ===--.选B. 【点睛】本题主要考查双曲线的定义及离心率，离心率求解时，一般是把已知条件，转化为a,b,c 的关系式.6．已知函数()cos(2)(0)f x A x ϕϕ=+>的图像向右平移8π个单位长度后，得到的图像关于y 轴对称，(0)1f =，当ϕ取得最小值时，函数()f x 的解析式为（ ）A．())4f x x π=+B ．()cos(2)4f x x π=+ C．())4f x x π=-D ．()cos(2)4f x x π=-【答案】A【解析】先求出平移后的函数解析式，结合图像的对称性和()01f =得到A 和ϕ. 【详解】因为()cos 2cos 284f x A x A x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦关于y 轴对称，所以()4k k Z πϕπ-+=∈，所以4k πϕπ=+，ϕ的最小值是4π.()0cos 14f A π==，则A =()24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.【点睛】本题主要考查三角函数的图像变换及性质.平移图像时需注意x 的系数和平移量之间的关系.7．在菱形ABCD 中，4AC =，2BD =，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，则DE DF ⋅=u u u r u u u r（ ） A ．134-B ．54C ．5D ．154【答案】B【解析】据题意以菱形对角线交点O 为坐标原点建立平面直角坐标系，用坐标表示出,DE DF u u u r u u u r，再根据坐标形式下向量的数量积运算计算出结果.【详解】设AC 与BD 交于点O ，以O 为原点，BD u u u r 的方向为x 轴，CA u u u r的方向为y 轴，建立直角坐标系，则1,12E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,12F ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，(1,0)D ，3,12DE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r ，3,12DF ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u u r ，所以95144DE DF ⋅=-=u u u r u u u r .故选：B. 【点睛】本题考查建立平面直角坐标系解决向量的数量积问题，难度一般.长方形、正方形、菱形中的向量数量积问题，如果直接计算较麻烦可考虑用建系的方法求解.8．已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图是全等的直角三角形，则该几何体的各个面中，最大面的面积为（ ）A ．2B ．5C 13D 22【答案】D【解析】根据三视图还原出几何体，找到最大面，再求面积. 【详解】由三视图可知，该几何体是一个三棱锥，如图所示，将其放在一个长方体中，并记为三棱锥P ABC -.13PAC PABS S ∆∆==，22PAC S ∆=，2ABC S ∆=，故最大面的面积为22.选D.【点睛】本题主要考查三视图的识别，复杂的三视图还原为几何体时，一般借助长方体来实现.9．已知数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是公比为13的等比数列，且10a >，若数列{}n a 是递增数列，则1a 的取值范围为（ ）A ．(1,2)B ．(0,3)C ．(0,2)D ．(0,1)【答案】D【解析】先根据已知条件求解出{}n a 的通项公式，然后根据{}n a 的单调性以及10a >得到1a 满足的不等关系，由此求解出1a 的取值范围. 【详解】由已知得11111113n n a a -⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则11111113n n a a -=⎛⎫⎛⎫-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.因为10a >，数列{}n a 是单调递增数列，所以10n n a a +>>，则111111111111133n n a a ->⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 化简得111110113a a ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭，所以101a <<. 故选：D. 【点睛】本题考查数列通项公式求解以及根据数列单调性求解参数范围，难度一般.已知数列单调性，可根据1,n n a a +之间的大小关系分析问题.10．已知函数2,()5,x x x af x x x a⎧-≤=⎨->⎩（0a >），若函数()()4g x f x x =-有三个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．(0,1)[5,)+∞U B ．6(0,)[5,)5+∞U C ．(1,5] D ．6(,5]5【答案】A【解析】分段求解函数零点，数形结合，分类讨论即可求得结果. 【详解】作出2y x x =-和5y x =-，4y x =的图像如下所示：函数()()4g x f x x =-有三个零点， 等价于()y f x =与4y x =有三个交点， 又因为0a >，且由图可知，当0x ≤时()y f x =与4y x =有两个交点,A O ， 故只需当0x >时，()y f x =与4y x =有一个交点即可. 若当0x >时，()0,1a ∈时，显然y =y (y )与y =4|y |有一个交点y ，故满足题意；1a =时，显然y =y (y )与y =4|y |没有交点，故不满足题意；()1,5a ∈时，显然y =y (y )与y =4|y |也没有交点，故不满足题意； [)5,a ∈+∞时，显然()y f x =与4y x =有一个交点C ，故满足题意.综上所述，要满足题意，只需a ∈(0,1)[5,)+∞U . 故选：A. 【点睛】本题考查由函数零点的个数求参数范围，属中档题.11．已知抛物线C ：24x y =的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，其中点A 在第一象限，若弦AB 的长为254，则AF BF =（ ） A ．2或12B ．3或13C ．4或14D ．5或15【答案】C【解析】先根据弦长求出直线的斜率，再利用抛物线定义可求出,AF BF . 【详解】设直线的倾斜角为θ，则222425cos cos 4p AB θθ===， 所以216cos 25θ=，2219tan 1cos 16θθ=-=，即3tan 4θ=±，所以直线l 的方程为314y x =±+.当直线l 的方程为314y x =+，联立24314x yy x ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，解得11x =-和24x =，所以()40401AF BF -==--； 同理，当直线l 的方程为314y x =-+.14AF BF =，综上，4AF BF =或14.选C. 【点睛】本题主要考查直线和抛物线的位置关系，弦长问题一般是利用弦长公式来处理.出现了到焦点的距离时，一般考虑抛物线的定义.12．已知函数()f x 是奇函数，且22()'()ln(1)ln(1)1f x f x x x x -=+----，若对11[,]62x ∀∈，(1)(1)f ax f x +<-恒成立，则a 的取值范围是（ ）A ．(3,1)--B ．(4,1)--C ．(3,0)-D ．(4,0)-【答案】A【解析】先根据函数奇偶性求得()(),f x f x '，利用导数判断函数单调性，利用函数单调性求解不等式即可. 【详解】因为函数()f x 是奇函数， 所以函数'()f x 是偶函数.22()'()ln(1)ln(1)1f x f x x x x ---=--+--， 即22()'()ln(1)ln(1)1f x f x x x x --=--+--，又22()'()ln(1)ln(1)1f x f x x x x -=+----，所以()ln(1)ln(1)f x x x =+--，22'()1f x x =-. 函数()f x 的定义域为(1,1)-，所以22'()01f x x =>-， 则函数()f x 在(1,1)-上为单调递增函数.又在(0,1)上，()(0)0f x f >=，所以()f x 为偶函数，且在(0,1)上单调递增.由(1)(1)f ax f x +<-，可得11111ax x ax ⎧+<-⎨-<+<⎩，对11[,]62x ∈恒成立，则1120ax x a x ⎧+<-⎪⎨-<<⎪⎩，21120a x a x⎧-<<-⎪⎪⎨⎪-<<⎪⎩对11[,]62x ∈恒成立，，得3140a a -<<-⎧⎨-<<⎩，所以a 的取值范围是(3,1)--. 故选：A. 【点睛】本题考查利用函数单调性求解不等式，根据方程组法求函数解析式，利用导数判断函数单调性，属压轴题.二、填空题13．在区间[6,2]-内任意取一个数0x ，则0x 恰好为非负数的概率是________.【答案】14【解析】先分析非负数对应的区间长度，然后根据几何概型中的长度模型，即可求解出“0x 恰好为非负数”的概率. 【详解】当0x 是非负数时，[]00,2x ∈，区间长度是202-=， 又因为[]6,2-对应的区间长度是()268--=， 所以“0x 恰好为非负数”的概率是2184P ==. 故答案为：14. 【点睛】本题考查几何概型中的长度模型，难度较易.解答问题的关键是能判断出目标事件对应的区间长度.14．设x ，y 满足约束条件2633x y x y y -≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，若3z x y a =++的最大值是10，则a =________.【答案】72-【解析】画出不等式组表示的平面区域，数形结合即可容易求得结果. 【详解】画出不等式组表示的平面区域如下所示：目标函数3z x y a =++可转化为133z a y x -=-+与直线13y x =-平行，数形结合可知当且仅当目标函数过点9,32A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，取得最大值， 故可得91092a =++，解得72a =-. 故答案为：72-.【点睛】本题考查由目标函数的最值求参数值，属基础题.15．某高校开展安全教育活动，安排6名老师到4个班进行讲解，要求1班和2班各安排一名老师，其余两个班各安排两名老师，其中刘老师和王老师不在一起，则不同的安排方案有________种. 【答案】156【解析】先考虑每班安排的老师人数，然后计算出对应的方案数，再考虑刘老师和王老师在同一班级的方案数，两者作差即可得到不同安排的方案数. 【详解】安排6名老师到4个班则每班老师人数为1，1，2，2，共有11226542180C C C C =种， 刘老师和王老师分配到一个班，共有11243224C C A =种，所以18024156-=种. 故答案为：156. 【点睛】本题考查排列组合的综合应用，难度一般.对于分组的问题，首先确定每组的数量，对于其中特殊元素，可通过 “正难则反”的思想进行分析.16．在四面体ABCD 中，ABD ∆与BDC ∆都是边长为2的等边三角形，且平面ABD ⊥平面BDC ，则该四面体外接球的体积为_______．【答案】27【解析】先确定球心的位置，结合勾股定理可求球的半径，进而可得球的面积. 【详解】取BDC ∆的外心为1O ，设O 为球心，连接1OO ，则1OO ⊥平面BDC ，取BD 的中点M ，连接AM ，1O M ，过O 做OG AM ⊥于点G ，易知四边形1OO MG 为矩形，连接OA ，OC ，设OA R =，1OO MG h ==.连接MC ，则1O ，M ，C 三点共线，易知3MA MC ==，所以133OG MO ==，1233CO =.在Rt AGO ∆和1Rt OO C ∆中，222GA GO OA +=，22211O C O O OC +=，即()222333h R ⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭，222233h R ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭，所以33h =，253R =，得153R =.所以342015==327O V R ππ球.【点睛】本题主要考查几何体的外接球问题，外接球的半径的求解一般有两个思路：一是确定球心位置，利用勾股定理求解半径；二是利用熟悉的模型求解半径,比如长方体外接球半径是其对角线的一半.三、解答题17．如图，在四边形ABCD 中，2D B ∠=∠，24AD DC ==，3sin 4B ∠=.（1）求AC 的长；（2）若ABC ∆的面积为6，求sin sin CAB ACB ∠⋅∠的值. 【答案】(1) 22AC =(2) 9sin sin 22CAB ACB ∠⋅∠=【解析】（1）利用余弦定理可得AC 的长；（2）利用面积得出ac ，结合正弦定理可得. 【详解】解：（1）由题可知21cos cos212sin 8D B B ∠=∠=-∠=-. 在ACD ∆中，2222cos 22AC AD CD AC CD D =+-⋅∠=， 所以22AC =（2）1sin 62ABC S AB BC B ∆=⋅=，则16AB BC ⋅=. 又422sin sin sin 3BC AB AC CAB ACB B ===∠∠∠， 所以29sin sin 1622422CAB ACB ∠⋅∠=⨯= ⎪⎝⎭.【点睛】本题主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，已知角较多时一般选用正弦定理，已知边较多时一般选用余弦定理.18．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，ABC V 是边长为2的等边三角形，1BC BB ⊥，12CC =，16AC =.（1）证明：平面ABC ⊥平面11BB C C ；（2）M ，N 分别是BC ，11B C 的中点，P 是线段1AC 上的动点，若二面角P MN C --的平面角的大小为30°，试确定点P 的位置.【答案】（1）证明见解析；（2）P 为线段1AC 上靠近1C 点的四等分点，且坐标为3323,44P ⎛- ⎝⎭【解析】（1）先通过线面垂直的判定定理证明1CC ⊥平面ABC ，再根据面面垂直的判定定理即可证明；（2）分析位置关系并建立空间直角坐标系，根据二面角P MN C --的余弦值与平面法向量夹角的余弦值之间的关系，即可计算出P 的坐标从而位置可确定. 【详解】（1）证明：因为2AC =，12CC ，16AC =所以22211AC CC AC +=，即1AC CC ⊥.又因为1BC BB ⊥，11//BB CC ，所以1BC CC ⊥，AC BC C =I ，所以1CC ⊥平面ABC .因为1CC ⊂平面11BB C C ，所以平面ABC ⊥平面11BB C C.（2）解：连接AM ，因为2AB AC ==，M 是BC 的中点，所以AM BC ⊥. 由（1）知，平面ABC ⊥平面11BB C C ，所以AM ⊥平面11BB C C . 以M 为原点建立如图所示的空间直角坐标系M xyz -，则平面11BB C C 的一个法向量是(0,0,1)m =r，3)A ，2,0)N ，1(12,0)C -.设1(01)AP t AC t =<<u u u r u u u u r，(,,)P x y z ， (,,3)AP x y z =-u u u r，1(12,3)AC =--u u u u r ，代入上式得x t =-，2y t =，3(1)z t =-，所以(233)P t t t --.设平面MNP 的一个法向量为()111,,n x y z =r，2,0)MN =u u u u r ，(233)MP t t t =-u u u r，由00n MN n MP ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u u v v u u u v v ，得11112023(1)0tx ty t z =-+-=⎪⎩. 令1z t =，得33,0,)n t t =r.因为二面角P MN C --的平面角的大小为30︒，所以3||||m n m n ⋅=u r ru r r 22323(1)t t =-+，解得3t 4=. 所以点P 为线段1AC 上靠近1C 点的四等分点，且坐标为3323,44P ⎛- ⎝⎭. 【点睛】本题考查面面垂直的证明以及利用向量法求解二面角有关的问题，难度一般.（1）证明面面垂直，可通过先证明线面垂直，再证明面面垂直；（2）二面角的余弦值不一定等于平面法向量夹角的余弦值，要注意结合图形分析.19．某市环保部门对该市市民进行了一次垃圾分类知识的网络问卷调查，每位市民仅有一次参加机会，通过随机抽样，得到参与问卷调查的100人的得分（满分：100分）数据，统计结果如表所示：(1)若规定问卷得分不低于70分的市民称为“环保关注者”，请完成答题卡中的22⨯列联表，并判断能否在犯错误概率不超过0.05的前提下，认为是否为“环保关注者”与性别有关？①在我市所有“环保达人”中，随机抽取3人，求抽取的3人中，既有男“环保达人”又有女“环保达人”的概率；②为了鼓励市民关注环保，针对此次的调查制定了如下奖励方案：“环保达人”获得两次抽奖活动；其他参与的市民获得一次抽奖活动．每次抽奖获得红包的金额和对应的概率.如下表：现某市民要参加此次问卷调查，记X（单位：元）为该市民参加间卷调查获得的红包金额，求X的分布列及数学期望．附表及公式：22(),()()()()n ad bcK n a b c da b c d a c b d-==+++ ++++【答案】(1)不能；(2) ①1825；②分布列见解析，754.【解析】（1）根据题目所给的数据可求2×2列联表即可；计算K的观测值K2，对照题目中的表格，得出统计结论．（2）由相互独立事件的概率可得男“环保达人”又有女“环保达人”的概率：P ＝1﹣（25）3﹣（35）31825=，解出X 的分布列及数学期望E （X ）754=即可； 【详解】(1)由图中表格可得22⨯列联表如下:将22⨯列联表中的数据代入公式计算得K”的观测值222()100(45153010) 3.030 3.841()()()()25755545n ad bc K a b c d a c b d -⨯-⨯==≈<++++⨯⨯⨯，所以在犯错误的概率不超过0. 05的前提下，不能认为是否为“环保关注者”与性别有关. ①抽取的3名用户中既有男“环保达人”又有女“环保达人”的概率为33231815525P ⎛⎫⎛⎫=--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ②X 的取值为10，20，30，40.133(10)248P X ==⨯=,1113313(20)2424432P X ==⨯+⨯⨯=,121133(30)C 24416P X ==⨯⨯⨯=, 1111(40)24432P X ==⨯⨯=,所以X 的分布列为3133175()1020304083216324E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.【点睛】本题考查了独立性检验的应用问题，考查了概率分布列和期望，计算能力的应用问题，是中档题目．20．已知△ABC 的两个顶点A ,B 的坐标分别为(,0),圆E 是△ABC 的内切圆,在边AC ,BC ,AB 上的切点分别为P ,Q ,R ,|CP |=2,动点C 的轨迹为曲线G . （1）求曲线G 的方程;（2）设直线l 与曲线G 交于M ,N 两点,点D 在曲线G 上,O 是坐标原点OM ON OD +=u u u u r u u u r u u u r,判断四边形OMDN 的面积是否为定值?若为定值,求出该定值;如果不是,请说明理由.【答案】（1）22142x y +=()0y ≠.（2）四边形OMDN 的面积是定值,.【解析】（1）根据三角形内切圆的性质证得4CA CB AB +=>，由此判断出C 点的轨迹为椭圆，并由此求得曲线G 的方程.（2）将直线l 的斜率分成不存在或存在两种情况，求出平行四边形OMDN 的面积，两种情况下四边形OMDN ，由此证得四边形OMDN 的面积为定值. 【详解】（1）因为圆E 为△ABC 的内切圆,所以|CA |+|CB |=|CP |+|CQ |+|P A |+|QB |=2|CP |+|AR |+|BR |=2|CP |+|AB |=4>|AB | 所以点C 的轨迹为以点A 和点B 为焦点的椭圆（点C 不在x 轴上）,所以c =a =2,b =所以曲线G 的方程为22142x y +=()0y ≠,（2）因为OM ON OD +=u u u u r u u u r u u u r，故四边形OMDN 为平行四边形.当直线l 的斜率不存在时，则四边形OMDN 为为菱形， 故直线MN 的方程为x =﹣1或x =1,此时可求得四边形OMDN . 当直线l 的斜率存在时,设直线l 方程是y =kx +m ,代入到22142x y +=,得(1+2k 2)x 2+4kmx +2m 2﹣4=0,∴x 1+x 22412km k -=+,x 1x 2222412m k-=+,△=8(4k 2+2﹣m 2)>0,∴y 1+y 2=k (x 1+x 2)+2m 2212m k =+,|MN|212k=+ 点O 到直线MN 的距离d =,由OM ON OD +=u u u u r u u u r u u u r ,得x D 2412kmk -=+,y D2212m k =+， ∵点D 在曲线C 上,所以将D 点坐标代入椭圆方程得1+2k 2=2m 2, 由题意四边形OMDN 为平行四边形, ∴OMDN 的面积为S 212k ==+, 由1+2k 2=2m 2得S =故四边形OMDN 的面积是定值,. 【点睛】本小题主要考查用定义法求轨迹方程，考查椭圆中四边形面积的计算，考查椭圆中的定值问题，考查运算求解能力，属于中档题. 21．已知函数()ln()(0)x a f x e x a a -=-+>.（1）证明：函数()f x '在(0,)+∞上存在唯一的零点； （2）若函数()f x 在区间(0,)+∞上的最小值为1，求a 的值. 【答案】（1）证明见解析；（2）12【解析】（1）求解出导函数，分析导函数的单调性，再结合零点的存在性定理说明()f x '在(0,)+∞上存在唯一的零点即可；（2）根据导函数零点0x ，判断出()f x 的单调性，从而()min f x 可确定，利用()min 1f x =以及1ln y x x=-的单调性，可确定出0,x a 之间的关系，从而a 的值可求. 【详解】（1）证明：∵()ln()(0)x af x ex a a -=-+>，∴1()x af x e x a-'=-+. ∵x a e -在区间(0,)+∞上单调递增，1x a+在区间(0,)+∞上单调递减， ∴函数()f x '在(0,)+∞上单调递增.又1(0)aaaa e f e a ae--'=-=，令()(0)a g a a e a =->，()10a g a e '=-<， 则()g a 在(0,)+∞上单调递减，()(0)1g a g <=-，故(0)0f '<. 令1m a =+，则1()(1)021f m f a e a ''=+=->+ 所以函数()f x '在(0,)+∞上存在唯一的零点.（2）解：由（1）可知存在唯一的0(0,)x ∈+∞，使得()00010x af x ex a-'=-=+，即001x a e x a-=+（）. 函数1()x af x e x a-'=-+在(0,)+∞上单调递增. ∴当()00,x x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减；当()0,x x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增.∴()()0min 00()ln x af x f x ex a -==-+.由（）式得()()min 0001()ln f x f x x a x a==-++. ∴()001ln 1x a x a-+=+，显然01x a +=是方程的解. 又∵1ln y x x =-是单调递减函数，方程()001ln 1x a x a -+=+有且仅有唯一的解01x a +=，把01x a =-代入（）式，得121a e -=，∴12a =，即所求实数a 的值为12. 【点睛】本题考查函数与导数的综合应用，其中涉及到判断函数在给定区间上的零点个数以及根据函数的最值求解参数，难度较难.（1）判断函数的零点个数时，可结合函数的单调性以及零点的存在性定理进行判断；（2）函数的“隐零点”问题，可通过“设而不求”的思想进行分析.22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos 2sin x t y t αα=⎧⎨=-+⎩（t 为参数，0απ≤<），点(0,2)M -.以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为4πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（1）求曲线2C 的直角坐标方程，并指出其形状； （2）曲线1C 与曲线2C 交于A ，B两点，若11||||4MA MB +=，求sin α的值. 【答案】（1）22(2)(2)8x y -++=，以(2,2)-为圆心，（2）sin 4α=【解析】（1）根据极坐标与直角坐标的互化公式，直接得到2C 的直角坐标方程并判断形状；（2）联立直线参数方程与2C 的直角坐标方程，根据直线参数方程中t的几何意义结合11||||4MA MB +=求解出sin α的值. 【详解】解：（1）由4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭，得4cos 4sin ρθθ=-，所以24cos 4sin ρρθρθ=-，即2244x y x y +=-，22(2)(2)8x y -++=. 所以曲线2C 是以(2,2)-为圆心，.（2）将cos 2sin x t y t αα=⎧⎨=-+⎩代入22(2)(2)8x y -++=，整理得24cos 40t t α--=.设点A ，B 所对应的参数分别为1t ，2t ， 则124cos t t α+=，124t t =-.12121211||||||||||||444t t t t MA MB MA MB MA MB t t +-++======， 解得21cos16α=，则sin 4α==.【点睛】本题考查极坐标与直角坐标的互化以及根据直线参数方程中t 的几何意义求值，难度一般.（1）极坐标与直角坐标的互化公式：cos ,sin x y ραρθ==；（2）若要使用直线参数方程中t 的几何意义，要注意将直线的标准参数方程代入到对应曲线的直角坐标方程中，构成关于t 的一元二次方程并结合韦达定理形式进行分析求解. 23．已知()=|+2|f x ax .（1）当2a =时，求不等式()>3f x x 的解集； （2）若(1)f M …，(2)f M …，证明：23M …. 【答案】(1) (,2)-∞ (2)见证明【解析】（1） 利用零点分段法讨论去掉绝对值求解；（2） 利用绝对值不等式的性质进行证明. 【详解】（1）解：当2a =时，不等式()f x x <可化为223x x +>.当1x ≤-时，223x x -->，25x <-，所以1x ≤-； 当1x >-时，223x x +>，12x -<<. 所以不等式()3f x x >的解集是(),2-∞.（2）证明：由()1f M ≤，()2f M ≤，得2M a ≥+，22M a ≥+，322222M M M a a =+≥+++，又2222422a a +++≥-=， 所以32M ≥，即23M ≥. 【点睛】本题主要考查含有绝对值不等式问题的求解，含有绝对值不等式的解法一般是使用零点分段讨论法.。

本文从网络收集而来，上传到平台为了帮到更多的人，如果您需要使用本文档,请点击下载，另外祝您生活愉快，工作顺利，万事如意！2019年高考数学(理)模拟题及答案带解析【满分150分，考试时间为120分钟】一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合 4 = {-2,-1,0,2,3},B = {y | y =对-1, x w 4},则 4 B 中兀素的个数是A. 2B. 3C. 4D. 52.,是虚数单位，复数z = a + i(^a e R)满足z2 + z = l-3i,贝!］忖=A.血或厉 B 2 或5 C. A/5 D. 53.设向量°与〃的夹角为0,且a = (-2,1), a + 2"(2,3),则cos& =A. —E B 2 C. D.5 5 5 2^5__5-A. 7B. -7C.75.《九章算术》中，将底面是直角二角形的直二棱柱称之为"堑堵",已知某"堑堵"的三视图如图所示，则该"堑堵" 的表面积为A. 4B. 6 + 4 血C. 4 + 4^2D. 26.已知数列｛a n｝,｛b n｝满足b n=a n+a n+l,则"数列匕｝为等差数列"是"数列｛$｝为等差数列"的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.即不充分也不必要条件7.执行如图所示的程序框图，则输出的"A. 1 D.-8.在(x-2)10展开式中，二项式系数的最大值为a,含F项的系数为方，则2 = aA. —B. —C.D.21 80 80 21x — 2y— 5 W 09.设实数满足约束条件x+y-4<0 ,贝％ = /+尸的最小值为3.x+y-10>0A. VioB. 10C. 8D. 510.现有一半球形原料，若通过切削将该原料加工成一正方体工件，则所得工件体积与原料体积之比的最大值为A A/6 g V6 c 3V2 D 3V23龙6718^. 2 211.已知O为坐标原点，F是双曲线-与= l(a>0』>0)的左焦a b点，4,B分别为「的左、右顶点，P为厂上一点，且PF丄兀轴，过点4的直线/与线段PF交于点M ,与y轴交于点E,直线BM与y轴交于点N,若|OE\ = 2\ON\ ,则「的离心率为A. 3B. 2C. -D.212.已知函数/(x) = ln(e' +e-') + x2 ,则使得/(2x) >/(x + 3)成立的■x的取值范围是A. (-1,3)B. (^0,-3)(3,+co)C. (-3,3)D. (YO,—1)(3,4W)二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

绝密★启用前2019届湖南省长沙市雅礼中学高考模拟（二）数学（理）试题学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题 1．集合10A x Rx ⎧⎫=∈≤⎨⎬⎩⎭，{}2|10B x R x =∈-<，则A B =U （ ） A ．(]1,0- B ．()1,0-C ．(),1-∞D ．(),1-∞-答案：C求出A 与B 中不等式的解集确定出A 与B ，利用并集定义求A 与B 的并集即可． 解：由题得{|0}A x x =<，{|11}B x x =-<<， 根据并集的定义知：{|1}A B x x ⋃=<， 故选：C ． 点评：本题主要考查了并集及其运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．2．复数()1z i i -=（i 为虚数单位），则z 的共轭复数在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案：C由复数除法求出z ，写出共轭复数，写出共轭复数对应点坐标即得 解： 解析：()()()1111111222i i i i z i i i i +-+====-+--+Q ，1122z i ∴=--， 对应点为11(,)22--，在第三象限． 故选：C ． 点评：本题考查复数的除法运算，共轭复数的概念，复数的几何意义．掌握复数除法法则是解题关键．3．如图是甲、乙两位同学在六次数学小测试（满分100分）中得分情况的茎叶图，则下列说法错误．．的是（ ）A ．甲得分的平均数比乙大B ．甲得分的极差比乙大C ．甲得分的方差比乙小D ．甲得分的中位数和乙相等答案：B由平均数、方差公式和极差、中位数概念，可得所求结论． 解： 对于甲，179888282939185.86x +++++=≈；对于乙，272748189969985.26x +++++=≈，故A 正确；甲的极差为937914-=，乙的极差为997227-=，故B 错误； 对于甲，方差2126S ≈.5，对于乙，方差22106.5S ≈，故C 正确； 甲得分的中位数为8288852+=，乙得分的中位数为8189852+=，故D 正确． 故选：B ． 点评：本题考查茎叶图的应用，考查平均数和方差等概念，培养计算能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题．4．已知向量()1,2a =r ，()2,2b =-r ，(),1c λ=-r，若()//2c a b +r r r ，则λ=（ ）A ．2-B ．1-C ．12-D ．12答案：A根据向量坐标运算求得2a b +rr，由平行关系构造方程可求得结果. 解：()1,2a =r Q ，()2,2b =-r ()24,2a b ∴+=rr ()//2c a b +rr r Q 24λ∴=-，解得：2λ=-故选：A 点评：本题考查根据向量平行关系求解参数值的问题，涉及到平面向量的坐标运算；关键是明确若两向量平行，则12210x y x y -=.5．数列{}n a 满足()*212n n n a a a n +++=∈N ，且1239a a a ++=，48a =，则5a =（ ）A ．212B ．9C ．172D ．7答案：A先由题意可得数列{}n a 为等差数列，再根据1239a a a ++=，48a =，可求出公差，即可求出5a ． 解：数列{}n a 满足*212()n n n a a a n N +++=∈，则数列{}n a 为等差数列， 1239a a a ++=Q ，48a =，1339a d ∴+=，138a d +=，52d ∴=， 54521822a a d ∴=+=+=， 故选：A ． 点评：本题主要考查了等差数列的性质和通项公式的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题．6．如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积为（ ）A ．53π B ．2π C ．52πD ．3π答案：A由三视图还原原几何体如图，该几何体为组合体，上半部分为半球，下半部分为圆柱，半球的半径为1，圆柱的底面半径为1，高为1．再由球与圆柱体积公式求解． 解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为组合体，上半部分为半球，下半部分为圆柱， 半球的半径为1，圆柱的底面半径为1，高为1． 则几何体的体积为32145111233V πππ=⨯⨯+⨯⨯=．故选：A ． 点评：本题主要考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．7．已知命题p ：“关于x 的方程240x x a -+=有实根”，若p ⌝为真命题的充分不必要条件为31a m >+，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[)1,+∞ B ．()1,+?C ．(),1-∞D ．(],1-∞ 答案：B命题p ：4a ≤，p ⌝为4a >，又p ⌝为真命题的充分不必要条件为31a m >+，故3141m m +>⇒>8．抛物线22y x =的焦点为F ，则经过点F 与点()2,2M且与抛物线的准线相切的圆的个数有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．0个D ．无数个答案：B圆心在FM 的中垂线上，经过点F ，M 且与l 相切的圆的圆心到准线的距离与到焦点F 的距离相等，圆心在抛物线上，直线与抛物线交于2个点，得到2个圆． 解：因为点(2,2)M 在抛物线22y x =上， 又焦点1(2F ，0)，由抛物线的定义知，过点F 、M 且与l 相切的圆的圆心即为线段FM 的垂直平分线与抛物线的交点， 这样的交点共有2个，故过点F 、M 且与l 相切的圆的不同情况种数是2种． 故选：B ． 点评：本题主要考查抛物线的简单性质，本题解题的关键是求出圆心的位置，看出圆心必须在抛物线上，且在垂直平分线上．9．对于定义在R 上的函数()y f x =，若下列说法中有且仅有一个是错误的，则错误．．的一个是（ ）A ．()f x 在(],0-∞上是减函数B ．()f x 在()0,∞+上是增函数C ．()f x 不是函数的最小值D ．对于x ∈R ，都有()()11f x f x +=-答案：B根据函数对称性和单调性的关系，进行判断即可． 解：由(1)(1)f x f x +=-得()f x 关于1x =对称，若关于1x =对称，则函数()f x 在(0,)+∞上不可能是单调的， 故错误的可能是B 或者是D ， 若D 错误，则()f x 在(-∞，0]上是减函数，在()f x 在(0,)+∞上是增函数，则(0)f 为函数的最小值，与C 矛盾，此时C 也错误，不满足条件． 故错误的是B ， 故选：B ． 点评：本题主要考查函数性质的综合应用，结合对称性和单调性的关系是解决本题的关键．10．已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，1,03A ⎛⎫ ⎪⎝⎭为()f x 图象的对称中心，若图象上相邻两个极值点1x ，2x 满足121x x -=，则下列区间中存在极值点的是（ ）A ．,06π⎛⎫-⎪⎝⎭B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,3π⎛⎫⎪⎝⎭D ．,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭答案：A结合已知可知，112T =可求T ，进而可求ω，代入()f x ，结合1()03f =，可求ϕ，即可判断． 解：Q 图象上相邻两个极值点1x ，2x 满足12||1x x -=，∴112T =即2T =，ωπ∴=，()sin()f x x πϕ=+，且11()sin()033f πϕ=+=，∴13k πϕπ+=，k Z ∈，1||2ϕπ<Q ，13ϕπ∴=-，1()sin()3f x x ππ=-，当16x =-时，1()16f -=-为函数的一个极小值点，而1(,0)66π-∈-．故选：A ． 点评：本题主要考查了正弦函数的图象及性质的简单应用，解题的关键是性质的灵活应用． 11．一个正三角形的三个顶点都在双曲线221x ay +=的右支上，且其中一个顶点在双曲线的右顶点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()3,+∞B ．)+∞C ．(,-∞D ．(),3-∞-答案：D因为双曲线分左右支，所以0a <，根据双曲线和正三角形的对称性可知：第一象限的顶点坐标为(1t +)(0)t >，将其代入双曲线可解得． 解：因为双曲线分左右支，所以0a <，根据双曲线和正三角形的对称性可知：第一象限的顶点坐标为(1t +)(0)t >，将其代入双曲线方程得：22(1))1t a ++=， 即2113t a -=+，由0t >得3a <-． 故选：D ． 点评：本题考查了双曲线的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．12．已知函数()()1xe a axf x e ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，若()()0f x x R ≥∈恒成立，则满足条件的a的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3答案：C由不等式恒成立问题分类讨论：①当0a =，②当0a <，③当0a >，考查方程1lna ae=-的解的个数，综合①②③得解． 解：①当0a =时，1()00x f x e -=>…，满足题意， ②当0a <时，0x e a ->，01(x ae ∃∈-，)+∞，10ax e+<，故()0()f x x R ∈…不恒成立，③当0a >时，设()xg x e a =-，1()h x ax e=+，令()0xg x e a =-=，得x lna =，1()0h x ax e =+=，得1x ae=-， 下面考查方程1lna ae=-的解的个数， 设ϕ（a ）alna =，则ϕ'（a ）1lna =+ 由导数的应用可得：ϕ（a ）alna =在1(0,)e为减函数，在1(e，)+∞为增函数，则ϕ（a ）1min e=-，即1lna ae=-有一解， 又()xg x e a =-，1()h x ax e=+均为增函数，所以存在1个a 使得()0()f x x R ∈…成立， 综合①②③得：满足条件的a 的个数是2个， 故选：C ． 点评：本题考查了不等式恒成立问题及利用导数研究函数的解得个数，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属难度较大的题型.二、填空题13．设实数x ，y 满足020560x y x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则2z x y =-的最大值是______.答案：3根据目标函数的解析式形式，分析目标函数的几何意义，然后判断求出目标函数取得最优解的点的坐标，即可求解． 解：作出实数x ，y 满足020560x y x y x y +⎧⎪-+⎨⎪--⎩……„表示的平面区域，如图所示： 由2z x y =-可得2y x z =-，则z -表示直线2z x y =-在y 轴上的截距，截距越小，z 越大.由0560x y x y +=⎧⎨--=⎩可得(1,1)C -，此时z 最大为3， 故答案为：3．。

湖南省长沙市雅礼中学2019届高三5月考试题数学（理科）全卷满分150分，考试时间120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题作答用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

答在试卷和草稿纸上无效。

3．非选择题作答用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

答在试卷和草稿纸上无效。

考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，只需上交答题卡。

第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是合题目要求的1.已知集合，则A B＝A. B. (1,2) C. (2, ) D. （，0）【答案】A【解析】【分析】解集合A与集合B，求得集合的交集即可。

【详解】解集合A可得集合B为}所以A B＝所以选A【点睛】本题考查了集合的简单并集运算，属于基础题。

2.设x，y是两个实数，则“x，y中至少有一个数大于1”是“x2＋y2＞2”成立的A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充分必要条件D. 既非充分又非必要条件【答案】D【解析】【分析】根据充分、必要条件的判断，分别作为条件推理即可。

【详解】若x，y中至少有一个数大于1（如x=1.1，y=0.1），则x2＋y2＞2不成立若x2＋y2＞2（如x=-2，y=-2）则x，y中至少有一个数大于1不成立所以“x，y中至少有一个数大于1”是“x2＋y2＞2”成立的既非充分又非必要条件所以选D【点睛】本题考查了充分必要条件的判断，属于基础题。

3.已知直线m，n和平面，满足m⊥n，m⊥，⊥，则A. n⊥B. n∥C. n∥或nD. n∥或n【答案】D【解析】【分析】根据空间几何的垂直平行关系，找出反例即可。

【详解】根据条件，画出示意图反例如下图可分别排除A、B、C所以选D【点睛】本题考查了空间几何垂直平行关系的判断，注意解题方法的选择，属于基础题。

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2019届全国高考高三模拟考试卷数学（理）试题(二）(解析版）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2019·南昌一模］已知复数()i2ia z a +=∈R 的实部等于虚部，则a =（ ） A ．12-B ．12C ．1-D ．12．[2019·梅州质检］已知集合{}31,A x x n n ==-∈N ，{}6,8,10,12,14B =，则集合A B 中元素的个数为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．53．［2019·菏泽一模］已知向量()1,1=-a ,()2,3=-b ，且()m ⊥+a a b ,则m =( ） A ．25B ．25-C ．0D ．154．［2019·台州期末］已知圆C ：()()22128x y -+-=，则过点()3,0P 的圆C 的切线方程为（ ） A ．30x y +-=B ．30x y --=C ．230x y --=D ．230x y +-=5．[2019·东北三校]中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊,丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取礼物都满意，则选法有（ ） A ．30种B ．50种C ．60种D ．90种6．［2019·汕尾质检］某空间几何体的三视图如图所示，正视图是底边长为3的等腰三角形,侧视图是直角边长为1的等腰直角三角形，俯视图是扇形，则该几何体的体积为（ ）A ．π9B ．π3C ．π6D ．π187．[2019合肥质检］将函数()π2sin 16f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象上各点横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变）得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（ ） A ．函数()g x 的图象关于点π,012⎛⎫- ⎪⎝⎭对称 B ．函数()g x 的周期是π2C ．函数()g x 在π0,6⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增D ．函数()g x 在π0,6⎛⎫ ⎪⎝⎭上最大值是18．[2019·临沂质检]执行如图所示的程序框图，输出的值为( )A ．0B ．12C ．1D ．1-9．［2019·重庆一中］2sin80cos70cos20︒︒-=︒( )A ．B ．1CD ．210．[2019·揭阳一模]函数()f x 在[)0,+∞单调递减，且为偶函数．若()21f =-,则满足()31f x -≥-的x 的取值范围是（ ） A ．[]1,5B ．[]1,3C ．[]3,5D ．[]2,2-11．［2019·陕西联考］已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为2F ,若C 的左支上存在点M ，使得直线0bx ay -=是线段2MF 的垂直平分线，则C 的离心率为( ) AB ．2CD ．512．［2019·临川一中]若函数()f x 在其图象上存在不同的两点()11,A x y ，()22,B x y ，其坐标满足条件:1212x x y y +0，则称()f x 为“柯西函数”，则下列函数：①()()10f x x x x=+>;②()()ln 0e f x x x =<<；③()cos f x x =；④()21f x x =-．其中为“柯西函数"的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题:本大题共4小题，每小题5分,共20分．13．［2019·江门一模］已知a 、b 、c 是锐角ABC △内角A 、B 、C 的对边,S 是ABC △的面积，若8a =，5b =，S =，则c =_________．14．[2019·景山中学]已知a ,b 表示直线，α，β，γ表示不重合平面． ①若a αβ=，b α⊂，a b ⊥，则αβ⊥；②若a α⊂，a 垂直于β内任意一条直线，则αβ⊥； ③若αβ⊥，a αβ=，b αγ=，则a b ⊥；④若a α⊥，b β⊥,a b ∥，则αβ∥．上述命题中，正确命题的序号是__________．15．[2019·林芝二中]某传媒大学的甲、乙、丙、丁四位同学分别从影视配音、广播电视、公共演讲、播音主持四门课程中选修一门,且这四位同学选修的课程互不相同．下面是关于他们选课的一些信息：①甲同学和丙同学均不选播音主持，也不选广播电视；②乙同学不选广播电视，也不选公共演讲；③如果甲同学不选公共演讲，那么丁同学就不选广播电视．若这些信息都是正确的，依据以上信息可推断丙同学选修的课程是_______（填影视配音、广播电视、公共演讲、播音主持）16．［2019·河南联考］若一直线与曲线eln y x =和曲线2y mx =相切于同一点P ，则实数m =________．三、解答题：本大题共6大题，共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）[2019·长郡中学]设正项数列{}n a 的前n 项和为n S是n a 与1n a +的等比中项,其中*n ∈N ．（1）求数列{}n a 的通项公式; （2）设()11211n n n n n a b a a +++=-⋅,记数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：21n T <．18．（12分）[2019·维吾尔一模］港珠澳大桥是中国建设史上里程最长，投资最多，难度最大的跨海桥梁项目，大桥建设需要许多桥梁构件．从某企业生产的桥梁构件中抽取100件，测量这些桥梁构件的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图,质量指标值落在（1）求这些桥梁构件质量指标值落在区间[]75,85内的频率；（2）若将频率视为概率,从该企业生产的这种桥梁构件中随机抽取3件，记这3件桥梁构件中质量指标值位于区间[)45,75内的桥梁构件件数为X ，求X 的分布列与数学期望．19．（12分）[2019·淄博模拟]如图，在四棱锥P ABCD -中，AB CD ∥,1AB =，3CD =，2AP =，23DP =60PAD ∠=︒，AB ⊥平面PAD ，点M 在棱PC 上．（1）求证：平面PAB ⊥平面PCD ；20．(12分）［2019·泰安期末］已知椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>的离心率为22，抛物线22:4C y x =-的准线被椭圆1C 截得的线段长为2．（1）求椭圆1C 的方程;（2）如图，点A 、F 分别是椭圆1C 的左顶点、左焦点直线l 与椭圆1C 交于不同的两点M 、N （M 、N 都在x 轴上方）．且AFM OFN ∠=∠．证明：直线l 过定点,并求出该定点的坐标．21．（12分)[2019·衡水中学］已知函数()23ln f x x ax x =+-，a ∈R ．（1）当13a =-时,求函数()f x 的单调区间;（2）令函数()()2x x f x ϕ'=，若函数()x ϕ的最小值为32-，求实数a 的值．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】[2019·揭阳一模]以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C 的极坐标方程为22cos 2a ρθ=（a ∈R ,a 为常数）),过点()2,1P 、倾斜角为30︒的直线l 的参数方程满足2x =，（t 为参数）． （1）求曲线C 的普通方程和直线l 的参数方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点（点P 在A 、B 之间），且2PA PB ⋅=，求a 和PA PB -的值．23．（10分)【选修4—5:不等式选讲】[2019·汕尾质检]已知()221f x x x =++-的最小值为t ．求t 的值；若实数a ，b 满足2222a b t +=,求221112a b +++的最小值．2019届高三第三次模拟考试卷理 科 数 学（二)答 案一、选择题：本大题共12小题,每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】C 【解析】∵()2i i i 1i 2i 2i 22a a a z -++===--的实部等于虚部，∴122a=-，即1a =-．故选C ． 2．【答案】A【解析】由题意,集合{}31,A x x n n ==-∈N ，{}6,8,10,12,14B =， ∴{}8,14A B =,∴集合A B 中元素的个数为2．故选A ． 3．【答案】A【解析】()()()1,12,312,31m m m m m +=-+-=--a b ,结合向量垂直判定，建立方程，可得12310m m --+=，解得25m =，故选A ． 4．【答案】B【解析】根据题意，圆C :()()22128x y -+-=，P 的坐标为()3,0，则有()()2231028-+-=，则P 在圆C 上,此时20113CP K -==--，则切线的斜率1k =，则切线的方程为3y x =-，即30x y --=，故选B ． 5．【答案】B【解析】若同学甲选牛，那么同学乙只能选狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的10中任意选,∴共有11210C C 20⋅=， 若同学甲选马，那么同学乙能选牛、狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的10中任意选，∴共有11310C C 30⋅=，∴共有203050+=种．故选B ．6．【答案】A【解析】由三视图可知,该几何体是圆锥的一部分，正视图是底边长为3的等腰三角形, 侧视图是直角边长为1的等腰直角三角形，圆锥的高为1,底面半径为1， 俯视图是扇形，圆心角为2π3，几何体的体积为112ππ113239⨯⨯⨯⨯=．故选A ． 7．【答案】C【解析】将函数()f x 横坐标缩短到原来的12后,得到()π2sin 216g x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭,当π12x =-时，π112f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,即函数()g x 的图象关于点π,112⎛⎫-- ⎪⎝⎭对称,故选项A 错误; 周期2ππ2T ==，故选项B 错误; 当π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，πππ2662x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,,∴函数()g x 在π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增,故选项C 正确；∵函数()g x 在π0,6⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，∴()π16g x g ⎛⎫<= ⎪⎝⎭，即函数()g x 在π0,6⎛⎫ ⎪⎝⎭上没有最大值，故选项D 错误．故选C ．8．【答案】A【解析】第一次循环，1k =，cos01S ==，112k =+=，4k >不成立； 第二次循环，2k =，π131cos 1322S =+=+=，213k =+=，4k >不成立； 第三次循环，3k =，32π31cos12322S =+=-=，314k =+=，4k >不成立； 第四次循环，4k =，1cos π110S =+=-=，415k =+=，4k >成立， 退出循环，输出0S =，故选A ． 9．【答案】C 【解析】∵()2sin 6020cos702sin80cos70cos20cos20︒+︒︒-︒-︒=︒︒2sin 60cos202cos60sin 20cos70cos20︒︒+︒︒-︒=︒2sin 60cos20sin 20cos70cos20︒︒+︒-︒=︒2sin 60cos202sin 603cos20︒︒==︒=︒．故选C ． 10．【答案】A【解析】∵函数()f x 为偶函数,∴()()312f x f -≥-=等价于()()32f x f -≥， ∵函数()f x 在[)0,+∞单调递减，∴32x -≤,232x -≤-≤，15x ≤≤，故选A ． 11．【答案】C【解析】()2,0F c ，直线0bx ay -=是线段2MF 的垂直平分线, 可得2F 到渐近线的距离为222F P b b a ==+,即有22OP c b a =-=,由OP 为12MF F △的中位线，可得122MF OP a ==，22MF b =，可得212MF MF a -=，即为222b a a -=，即2b a =，可得221145c b e a a==+=+=．故选C ．12．【答案】B【解析】由柯西不等式得：对任意实数1x ,1y ,2x ，2y ，2222121211220x x y y x y x y +-+⋅+≤恒成立, （当且仅当1221x y x y =取等号)若函数()f x 在其图象上存在不同的两点()11,A x y ，()22,B x y ,其坐标满足条件：222212121122x x y y x y x y +-+⋅+的最大值为0，则函数()f x 在其图象上存在不同的两点()11,A x y ，()22,B x y ，使得OA ,OB 共线， 即存在过原点的直线y kx =与()y f x =的图象有两个不同的交点:对于①，方程()10kx x x x=+>，即()211k x -=,不可能有两个正根,故不存在；对于②，，由图可知不存在；对于③，,由图可知存在;对于④，，由图可知存在，∴“柯西函数”的个数为2，故选B ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．【答案】7【解析】根据三角形面积公式得到13sin sin 2S ab C C =⨯⇒= ∵三角形为锐角三角形，故得到角C 为π3，再由余弦定理得到222π1cos 7322a b c c ab+-==⇒=．故答案为7．14．【答案】②④【解析】对于①，根据线面垂直的判定定理,需要一条直线垂直于两条相交的直线，故不正确， 对于②，a α⊂，a 垂直于β内任意一条直线，满足线面垂直的定理，即可得到αβ⊥, 又a α⊂，则αβ⊥，故正确，对于③，αβ⊥，a αβ=，b αγ=，则a b ⊥或a b ∥，或相交，故不正确， 对于④,可以证明αβ∥，故正确． 故答案为②④． 15．【答案】影视配音【解析】由①知甲和丙均不选播音主持，也不选广播电视; 由②知乙不选广播电视，也不选公共演讲；由③知如果甲不选公共演讲,那么丁就不选广播电视，综上得甲、乙、丙均不选广播电视，故丁选广播电视，从而甲选公共演讲，丙选影视配音, 故答案为影视配音． 16．【答案】12【解析】曲线eln y x =的导数为e 'y x=,曲线2y mx =的导数为2y mx '=,由e 2mx x=，0x >且0m >,得x =e 2⎫⎪⎪⎭,代入eln y x =得e 2=，解得12m =，故答案为12． 三、解答题:本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【答案】（1)n a n =；（2）见解析．【解析】(1)是n a 与1n a +的等比中项，∴()221n n n n n S a a a a =+=+， 当1n =时，21112a a a =+，∴11a =．当2n ≥时,22111222n n n n n n n a S S a a a a ---=-=+--，整理得()()1110n n n n a a a a --+--=． 又0n a >，∴()112n n a a n --=≥，即数列{}n a 是首项为1，公差为1的等差数列． ∴()()1111n a a n d n n =+-=+-=． （2）()()()1121111111n n n n b n n n n +++⎛⎫=-⋅=-+ ⎪++⎝⎭,∴21232111111111122334212221n n T b b b b n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=+-+++-++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11121n =-<+． 18．【答案】（1）0.05;（2)见解析．【解析】（1）设区间[]75,85内的频率为x ，则区间[)55,65,[)65,75内的频率分别为4x 和2x ． 依题意得()0.0040.0120.0190.0310421x x x +++⨯+++=，解得0.05x =． ∴这些桥梁构件质量指标值落在区间[]75,85内的频率为0.05．(2）从该企业生产的该种桥梁构件中随机抽取3件，相当于进行了3次独立重复实验， ∴X 服从二项分布(),B n p ，其中3n =．由（1）得，区间[]45,75内的频率为0.30.20.10.6++=，将频率视为概率得0.6p =．∵X 的所有可能取值为0，1，2，3，且()00330C 0.60.40.064P X ==⨯⨯=，()11231C 0.60.40.288P X ==⨯⨯=，()22132C 0.60.40.432P X ==⨯⨯=，()33033C 0.60.40.216P X ==⨯⨯=．∴X 的分布列为：X P0.0640.2880.4320.216X 服从二项分布(),B n p ,∴X 的数学期望为30.6 1.8EX =⨯=．19．【答案】（1)见解析；（2）219565． 【解析】（1）∵AB ⊥平面PAD ，∴AB DP ⊥， 又∵23DP =，2AP =，60PAD ∠=︒, 由sin sin PD PA PAD PDA =∠∠,可得1sin 2PDA ∠=，∴30PDA ∠=︒，90APD ∠=︒,即DP AP ⊥， ∵AB AP A =，∴DP ⊥平面PAB ， ∵DP ⊂平面PCD ，∴平面PAB ⊥平面PCD ;（2)以点A 为坐标原点，AD 所在的直线为y 轴，AB 所在的直线为z 轴， 如图所示，建立空间直角坐标系，其中()0,0,0A ，()0,0,1B ,()0,4,3C ，()0,4,0D ，()3,1,0P ． 从而()0,4,1BD =-,()3,1,0AP =，()3,3,3PC =-，设PM PC λ=，从而得)33,31,3M λλλ+,()33,31,31BM λλλ=+-, 设平面MBD 的法向量为(),,x y z =n ，若直线PA ∥平面MBD ，满足000BM BD AP ⎧⋅=⎪⎪⋅=⎨⎪⋅=⎪⎩n n n，即)()()131310400x y z y z y λλλ-+++-=-=⎨+=， 得14λ=，取)3,12=--n ，且()3,1,1BP =-， 直线BP 与平面MBD所成角的正弦值等于3sin 156BP BPθ⋅-===⋅n n 20．【答案】（1）2212x y +=；（2）直线l 过定点()2,0．【解析】(1)由题意可知，抛物线2C 的准线方程为1x =， 又椭圆1C ,∴点⎛⎝⎭在椭圆上，∴221112a b +=,① 又c e a ==，∴222212a b e a -==，∴222a b =，②，由①②联立,解得22a =，21b =，∴椭圆1C 的标准方程为2212x y +=．（2)设直线:l y kx m =+，设()11,M x y ，()22,N x y ，把直线l 代入椭圆方程，整理可得()222214220k x km m +++-=,()()222222164212216880k m k m k m ∆=-+-=-+>,即22210k m -+>，∴122421kmx x k +=-+，21222221m x x k -=+，∵111FM y k x =+，221FN yk x =+，M 、N 都在x 轴上方，且AFM OFN ∠=∠，∴FM FN k k =-，∴121211y yx x =-++,即()()()()122111kx m x kx m x ++=-++, 整理可得()()1212220kx x k m x x m ++++=，∴()2222242202121m km k k m m k k -⎛⎫⋅++-+= ⎪++⎝⎭，即22224444420km k k m km k m m ---++=，整理可得2m k =, ∴直线l 为()22y kx k k x =+=+,∴直线l 过定点()2,0． 21．【答案】（1）见解析；（2）56-．【解析】（1)13a =-时，()2ln f x x x x =--,则()()()221121x x x x f x x x +---'==， 令()'0f x =，解得12x =-或1x =，而0x >，故1x =,则当()0,1x ∈时，()0f x '<，即()f x 在区间内递减， 当()1,x ∈+∞时，()0f x '>，即()f x 在区间内递增．（2）由()23ln f x x ax x =+-,()123f x x a x'=+-，则()()23223x x f x x ax x ϕ'==+-，故()2661x x ax ϕ'=+-，又()()264610a ∆=-⨯⨯->，故方程()0x ϕ'=有2个不同的实根， 不妨记为1x ,2x ,且12x x <， 又∵12106x x =-<，故120x x <<， 当()20,x x ∈时，()0x ϕ'<，()x ϕ递减， 当()2,x x ∈+∞时，()0x ϕ'>,()x ϕ递增， 故()()322222min 23x x x ax x ϕϕ==+-，①又()20x ϕ'=，∴2226610x ax +-=，即222166x a x -=，②将222166x a x -=代入式,得2222222222222233316112323622x x x x x x x x x x x -+⋅⋅-=+--=--， 由题意得3221322x x --=-，即322230x x +-=， 即()()222212230x x x -++=,解得21x =， 将21x =代入式中，得56a =-．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做,则按所做的第一题记分．22．【答案】（1）222x y a -=，3212x t y ==+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩（t 为参数)；（2）2a =±，432．【解析】（1）由22cos 2a ρθ=得()2222cos sin a ρθθ-=，又cos x ρθ=,sin y ρθ=，得222x y a -=，∴C 的普通方程为222x y a -=， ∵过点()2,1P 、倾斜角为30︒的直线l 的普通方程为)321y x =-+， 由32x =+得112y t =+，∴直线l 的参数方程为3212x ty =+=+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩（t 为参数）．（2)将212x t y ==+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩代入222x y a -=，得()()2221230t t a +-+-=，依题意知()()2221830a ∆⎡⎤=-->⎣⎦，则上方程的根1t 、2t 就是交点A 、对应的参数， ∵()21223t t a ⋅=-，由参数t 的几何意义知1212PA PB t t t t ⋅=⋅=⋅，得122t t ⋅=, ∵点P 在A 、B 之间，∴120t t ⋅<，∴122t t ⋅=-，即()2232a -=-，解得24a =(满足0∆>），∴2a =±， ∵1212PA PB t t t t -=-=+，又()1221t t +=-，∴2PA PB -=． 23．【答案】（1）2;（2)1．【解析】（1）()31,12213,1131,1x x f x x x x x x x +≥⎧⎪=++-=+-<<⎨⎪--≤-⎩，故当1x =-时，函数()f x 有最小值2，∴2t =． (2）由（1）可知22222a b +=，故22124a b +++=,∴2222222222212111112121121244b a a b a b a b a b +++++++⎛⎫+++=+⋅=≥ ⎪++++⎝⎭， 当且仅当22122a b +=+=，即21a =，20b =时等号成立,故221112a b +++的最小值为1．。

2019届湖南省长沙市高三下学期第二次模拟考试数学（理）试题一、单选题1．设全集，集合，，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】先求再求即可【详解】因为，，所以，.故选：D【点睛】本题考查集合的运算，熟记并集与补集的定义，准确计算是关键，是基础题2．已知复数，则复数在复平面内对应点的坐标为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】先化简z,再求即可【详解】因为，所以，对应点的坐标为.故选：A【点睛】本题考查复数的运算及几何意义，熟记定义，准确计算是关键，是基础题3．若双曲线的一条渐近线与直线垂直，则该双曲线的离心率为（）A．2 B．C．D．【答案】C【解析】先求渐近线的斜率，再求e即可【详解】依题意可得，则，所以.故选：C【点睛】本题考查双曲线的几何性质，渐近线，熟记性质，准确计算是关键，是基础题4．高铁、扫码支付、共享单车、网购并称中国“新四大发明”，近日对全国100个城市的共享单车和扫码支付的使用人数进行大数据分析，其中共享单车使用的人数分别为，它们的平均数为，方差为；其中扫码支付使用的人数分别为，，，，，它们的平均数为，方差为，则，分别为（）A．，B．，C．，D．，【答案】C【解析】由样本数据的平均数和方差的公式，化简、运算，即可求解，得到答案.【详解】由平均数的计算公式，可得数据的平均数为数据的平均数为：，数据的方差为，数据的方差为：故选C.【点睛】本题主要考查了样本数据的平均数和方差的计算与应用，其中解答中熟记样本数据的平均数和方差的计算公式，合理化简与计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.5．已知变量满足约束条件，则的最小值为（）A．9 B．8 C．7 D．6【答案】A【解析】先画出可行域，再结合z的几何意义，数形结合求解即可【详解】作出可行区域（如图阴影所示），化直线为,可知当直线经过点A取得最小值,此时解得A，∴的最小值为6故选：D【点睛】本题考查线性规划，数形结合思想，准确作图，熟练计算是关键，是基础题6．已知数列为等比数列，首项，数列满足，且，则（）A．8 B．16 C．32 D．64【答案】C【解析】先确定为等差数列，由等差的性质得进而求得的通项公式和的通项公式，则可求【详解】由题意知为等差数列，因为，所以，因为，所以公差，则，即，故，于是.故选：C【点睛】本题考查等差与等比的通项公式，等差与等比数列性质，熟记公式与性质，准确计算是关键，是基础题7．已知是函数的极值点，则（）A．B．1 C．D．2【答案】B【解析】对函数求导，利用已知条件求得a,得到导函数，由极值点的定义求解即可【详解】，由，得.又，当x>0<x<故是函数的极值点，故成立故选：B【点睛】本题考查极值的定义，熟练计算是关键，注意检验，是基础题8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意首先确定几何体的结构特征，然后结合体积公式求解其体积即可.【详解】由三视图可知，该几何体是一个底面半径为1，高为4的圆柱挖掉右上半柱而形成的几何体.故该几何体的体积为.故选：A.【点睛】(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．9．已知，则的值域为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】化为利用二次函数求值域即可【详解】因为，所以，由，得，所以.故选：B【点睛】本题考查二倍角公式，二次型函数求值域，熟记公式，准确计算是关键，是基础题10．2002年在北京召开的国际数学家大会的会标是以我国古代数学家的弦图为基础设计的.弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）.设其中直角三角形中较小的锐角为，且，如果在弦图内随机抛掷1000米黑芝麻（大小差别忽略不计），则落在小正方形内的黑芝麻数大约为（）A．350 B．300 C．250 D．200【答案】D【解析】由二倍角的正切公式推导出，设大正方形为ABCD，小正方形为EFGH 边长为a，由tanθ，得大正方形边长为2a,利用大小正方形的面积比能求出落在小正方形内的黑芝麻数【详解】由，得，设大正方形为ABCD，小正方形为EFGH，且，由，得，，则，.落在小正方形内的黑芝麻数大约为.故选：D【点睛】本题考查三角函数的实际应用，二倍角的正切公式，直角三角形计算，熟记公式，准确计算是关键，是基础题11．已知函数，若实数满足，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题,得为奇函数且单调递增，化为利用单调性求解即可【详解】由题，可知则为奇函数又,当x>0,故在单调递增，又为奇函数且连续，故在R上单调递增，所以可化为，∴，所以的取值范围是.故选：A【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性，考查抽象不等式的解法，熟练运用函数性质是关键，是中档题12．直线与抛物线C：交于A，B两点，直线，且l与C相切，切点为P，记的面积为S，则的最小值为A．B．C．D．【答案】D【解析】设出坐标，联立直线方程与抛物线方程，利用弦长公式求得，再由点到直线的距离公式求得到的距离，得到的面积为，作差后利用导数求最值．【详解】设，，联立，得则，则由，得设，则，则点到直线的距离从而．令当时，；当时，故，即的最小值为本题正确选项：【点睛】本题考查直线与抛物线位置关系的应用，考查利用导数求最值的问题．解决圆锥曲线中的面积类最值问题，通常采用构造函数关系的方式，然后结合导数或者利用函数值域的方法来求解最值.二、填空题13．已知，若的展开式中的系数比x的系数大30，则______．【答案】2【解析】利用二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，求得的值．【详解】展开式通项为：且的展开式中的系数比的系数大，即：解得：（舍去）或本题正确结果：【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．14．已知两个单位向量和的夹角为，则在方向上的投影为__________．【答案】【解析】运用向量数量积的定义和性质，先求的值，再利用向量的投影公式，计算即可得到所求值．【详解】因为，所以在方向上的投影为.故答案为【点睛】本题考查向量的投影，数量积运算，数量积定义，熟记公式，准确计算是关键，是基础题15．已知函数的图像在点处的切线与直线垂直，若数列的前项和为，则__________．【答案】【解析】利用导数的几何意义求a，然后通过数列{}的通项公式，利用裂项法进行求和即可求出．【详解】由题意知，则，，故，，故，.故答案为【点睛】本题考查数列求和，切线的应用，熟记求和基本方法，准确计算是关键，是基础题16．如图，在长方体中，，，点在棱上，当取得最小值时，，则棱的长为__________.【答案】【解析】把长方形展开到长方形所在平面，利用三点共线时取得最小值，利用勾股定理列方程组，解方程组求得的值.【详解】把长方形展开到长方形所在平面，如图，当，，在同一条直线上时，取得最小值，此时，令，，，则，得.【点睛】本小题主要考查空间中的最短距离问题，考查化归与转化的数学思想方法，考查空间想象能力，属于中档题.三、解答题17．在中，内角，，的对边分别为，，，且.（1）求；（2）若，的面积为，求的周长.【答案】（1）；（2）【解析】（1）根据余弦定理直接求解可得，进而可得；（2）由正弦定理角化边可得，再利用面积公式求解即可.【详解】（1）因为，所以，所以，从而.（2）因为，所以，即.因为的面积为，所以，即，所以，解得.【点睛】本题主要考查了正余弦定理及面积公式求解三角形，属于基础题.18．如图，四棱锥的底面是直角梯形，，，和是两个边长为2的正三角形，，为的中点，为的中点.（1）证明：平面.（2）在线段上是否存在一点，使直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由.【答案】（1）见解析；（2）当时，直线与平面所成角的正弦值为. 【解析】（1）设为的中点，连接，，证明OE为三角形BPF的中位线，得即可证明（2）证明平面，由，过分别作，的平行线，分别以它们作为轴，以为轴建立如图所示的空间直角坐标系，求平面的法向量，假设线段上存在一点，设，得，由直线与平面所成角的正弦值为列的方程求解即可【详解】（1）证明：设为的中点，连接，，则.∵，，，∴四边形为正方形.∵为的中点，∴为，的交点，∴为的中点，即OE为三角形BPF的中位线∴.∵平面，平面，∴平面.（2）∵，为的中点，∴.∵，∴，∴，.在中，，∴.又∵，∴平面.又因为，所以过分别作，的平行线，分别以它们作为轴，以为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，.假设线段上存在一点，使直线与平面所成角的正弦值为.设，则，即.设平面的一个法向量为，则，即.取，得平面的一个法向量为.设直线与平面所成角为，令，得，化简并整理得，解得（舍去），或.所以，当时，直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题考查线面平行的判定，空间向量求线面角，空间想象力和推理能力，准确计算是关键，是中档题19．唐三彩是中国古代陶瓷烧制工艺的珍品，它吸取了中国国画、雕塑等工艺美术的特点，在中国文化中占有重要的历史地位，在陶瓷史上留下了浓墨重彩的一笔.唐三彩的生产至今已有1300多年的历史，制作工艺十分复杂，而且优质品检验异常严格，检验方案是：先从烧制的这批唐三彩中任取3件作检验，这3件唐三彩中优质品的件数记为.如果，再从这批唐三彩中任取3件作检验，若都为优质品，则这批唐三彩通过检验；如果，再从这批唐三彩中任取1件作检验，若为优质品，则这批唐三彩通过检验；其他情况下，这批唐三彩都不能通过检验.假设这批唐三彩的优质品概率为，即取出的每件唐三彩是优质品的概率都为，且各件唐三彩是否为优质品相互独立.（1）求这批唐三彩通过优质品检验的概率；（2）已知每件唐三彩的检验费用为100元，且抽取的每件唐三彩都需要检验，对这批唐三彩作质量检验所需的总费用记为元，求的分布列及数学期望.【答案】（1）.（2）见解析.【解析】（1）分两种情况研究唐三彩通过检验的概率相加即可求解（2）先列出可能的取值，再分别求概率列出分布列求解即可【详解】（1）设第一次取出的3件唐三彩中恰有2件优质品为事件，第一次取出的3件唐三彩全是优质品为事件，第二次取出的3件唐三彩都是优质品为事件，第二次取出的1件唐三彩是优质品为事件，这批唐三彩通过检验为事件，依题意有，所以.（2）可能的取值为300，400，600，，，.所以的分布列为.【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列，概率加法公式，理解题意准确计算是关键，是基础题20．设是圆上的任意一点，是过点且与轴垂直的直线，是直线与轴的交点，点在直线上，且满足.当点在圆上运动时，记点的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）已知点，过的直线交曲线于两点，交直线于点.判定直线的斜率是否依次构成等差数列？并说明理由.【答案】（1）；（2）见解析【解析】（1）设点，，由条件的线段比例可得，，代入圆的方程中即可得解；（2）设直线的方程为，与椭圆联立得得，设，，由，结合韦达定理代入求解即可. 【详解】（1）设点，，因为，点在直线上，所以，.①因为点在圆：上运动，所以.②将①式代入②式，得曲线的方程为.（2）由题意可知的斜率存在，设直线的方程为，令，得的坐标为.由，得.设，，则有，.③记直线，，的斜率分别为，，，从而，，.因为直线的方程为，所以，，所以.④把③代入④，得.又，所以，故直线，，的斜率成等差数列.【点睛】本题主要考查了直线与椭圆的位置关系，斜率的坐标表示，设而不求的数学思想，考查了计算能力，属于中档题.21．设函数，.（1）证明：.（2）若恒成立，求的取值范围；（3）证明：当时，.【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析.【解析】（1）令函数，证明其最小值大于等于0即可（2）原题转化为恒成立，令，求导求其最小值即可；（3）由（1），令，得，裂项相消求和得即可【详解】（1）证明：令函数，，，所以为单调递增函数，，故.（2），即为，令，即恒成立，，令，即，得.当，即时，在上单调递增，，所以当时，在上恒成立；当，即时，在上单调递增，在上单调递减，所以，所以不恒成立.综上所述：的取值范围为.（3）证明：由（1）知，令，，，，即，故有，，…，上述各式相加可得.因为，，，所以.【点睛】本题考查导数与函数的最值，利用导数求解恒成立问题，利用导数证明不等式，分类讨论思想，分析求解能力，第三问关键是利用（1）令,裂项求和，是中档题22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），其中，.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程.（1）求曲线和曲线的直角坐标方程；（2）已知曲线与曲线交于两点，点，求的取值范围.【答案】（1）曲线的普通方程，其中，；曲线的直角坐标方程.（2）【解析】（1）根据参数方程与普通方程的互化，可得曲线的普通方程；根据极坐标与直角坐标的互化公式，即可得曲线的直角坐标方程.（2）将直线的参数方程代入曲线，利用韦达定理和参数的几何意义，即可求解，得到答案.【详解】（1）曲线的普通方程，其中，；曲线的直角坐标方程.（2）将代入，化简得，因为，所以.设两点对应的参数分别为，，则有，，，所以的取值范围是.【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程，极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及直线参数方程的应用，其中解答中熟记参数方程与普通方程，极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及合理利用直线参数方程参数的几何意义是解答的关键，着重考查了推理与运算能力属于基础题.23．已知函数.（1）解不等式；（2）若，，.证明：.【答案】(1) 或(2)见解析【解析】（1）根据不等式，分类讨论，即可求解不等式的解集，得到答案.（2）转化为证明，根据，即可得到证明. 【详解】（1）由题意，函数当时，由，解得；当时，不成立；当时，由，解得.所以原不等式的解集为.（2）证明：要证，即证.因为，，所以，所以.故所证不等式成立.【点睛】本题主要考查了含绝对值不等式的求解，以及不等式的证明问题，其中解答中熟记含绝对值的不等式的求解方法，以及合理转化不等式的证明是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.。

2019年湖南师大附中高考数学模拟试卷（理科）（二）（5月份）注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、试室号和座位号。

用2B型铅笔把答题卡上试室号、座位号对应的信息点涂黑。

2．选择题每小题选出答案后，用2B型铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合M＝{x|x＝+，k∈Z}，N＝{x|x＝+，k∈Z}，则（）A．M＝N B．M⫋N C．N⫋M D．M∩N＝～2．（5分）若复数z＝（1﹣ai）（a+2i）在复平面内对应的点在第一象限，其中a∈R，i为虚数单位，则实数a取值范围是（）A．（0，）B．（，+∞）C．（﹣∞，﹣）D．（﹣，0）3．（5分）如果a1，a2，…，a8为各项都大于零的等差数列，公差d≠0，则正确的关系为（）A．a1a8＞a4a5B．a1a8＜a4a5C．a1+a8＞a4+a5D．a1a8＝a4a54．（5分）若函数的一个对称中心是，则ω的最小值为（）A．1 B．2 C．4 D．85．（5分）学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50，60）元的同学有30人，则n的值为（）A．100 B．1000 C．90 D．9006．（5分）已知一个几何体的三视图如图所示（正方形的边长为1），则该几何体的体积为（）A．B．C．D．7．（5分）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，在不超过20的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于20的概率是（）A．B．C．D．8．（5分）下列图象可以作为函数f（x）＝的图象的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个9．（5分）已知点集M＝{（x，y）|≥xy}，则平面直角坐标系中区域M的面积是（）A．1 B．3+C．πD．2+10．（5分）已知向量＝（），＝（0，5）的起点均为原点，而终点依次对应点A，B，线段AB边上的点P，若⊥，＝xa+yb，则x，y的值分别为（）A．，B．，﹣C．，D．﹣，11．（5分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，|AB|＝|AD|＝，|AA1|＝1，而对角线A1B 上存在一点P，使得|AP|+|D1P|取得最小值，则此最小值为（）A．2 B．3 C．1+D．12．（5分）已知a＞0，函数f（x）＝e x﹣a﹣ln（x+a）﹣1（x＞0）的最小值为0，则实数a 的取值范围是（）A．（0，] B．[）C．{}二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．请把答案填在答题卷对应题号后的横线上．13．（5分）定积分（e x﹣e﹣x）dx＝．14．（5分）（x﹣y）（x+y）8的展开式中x2y7的系数为．（用数字填写答案）15．（5分）已知椭圆C1：+＝1（a＞b＞0）与双曲线C2：x2﹣y2＝4有相同的右焦点F2，点P是椭圆C1与双曲线C2在第一象限的公共点，若|PF2|＝2，则椭圆C1的离心率等于．16．（5分）已知数列{a n}，{b n}均为等差数列，且a1b1＝m，a2b2＝4，a3b3＝8，a4b4＝16，则m＝．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知在△ABC中，D，E分别为边AB，BC的中点，2•＝||•||，（1）若2•＝•，且△ABC的面积为3，求边AC的长；（2）若BC＝，求线段AE长的最大值．18．（12分）如图1，四边形ABCD为直角梯形，AD∥BC，AD⊥AB，AD＝1，BC＝2，E 为CD上一点，F为BE的中点，且DE＝1，EC＝2，现将梯形沿BE折叠（如图2），使平面BCE⊥ABED．（1）求证：平面ACE⊥平面BCE；（2）能否在边AB上找到一点P（端点除外）使平面ACE与平面PCF所成角的余弦值为？若存在，试确定点P的位置，若不存在，请说明理由．19．（12分）近期，济南公交公司分别推出支付宝和微信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用扫码支付．某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次，用x表示活动推出的天数，y表示每天使用扫码支付的人次（单位：十人次），统计数据如表1所示：表1：根据以上数据，绘制了散点图．（1）根据散点图判断，在推广期内，y＝a+bx与c•d x（c，d均为大于零的常数）哪一个适宜作为扫码支付的人次y关于活动推出天数x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）；（2）根据（1）的判断结果及表1中的数据，建立y关于x的回归方程，并预测活动推出第8天使用扫码支付的人次；（3）推广期结束后，车队对乘客的支付方式进行统计，结果如下表2：车队为缓解周边居民出行压力，以80万元的单价购进了一批新车，根据以往的经验可知，每辆车每个月的运营成本约为0.66万元．已知该线路公交车票价为2元，使用现金支付的乘客无优惠，使用乘车卡支付的乘客享受8折优惠，扫码支付的乘客随机优惠，根据统计结果得知，使用扫码支付的乘客中有的概率享受7折优惠，有的概率享受8折优惠，有的概率享受9折优惠．预计该车队每辆车每个月有1万人次乘车，根据给数据以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，在不考虑其它因素的条件下，按照上述收费标准，假设这批车需要n（n∈N n）年才能开始盈利，求n的值．参考数据：x i y i x i u i其中其中参考公式：对于一组数据（u i，υi），（u2，υ2），…，（u n，υn），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，．20．（12分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率e＝，以上顶点和右焦点为直径端点的圆与直线x+y﹣2＝0相切．（1）求椭圆C的标准方程；（2）是否存在斜率为2的直线，使得当直线与椭圆C有两个不同的交点M，N时，能在直线y＝上找到一点P，在椭圆C上找到一点Q，满足＝？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．21．（12分）已知函数f（x）＝lnx，g（x）＝e x（1）若函数φ（x）＝﹣x+f（﹣x），当x∈[﹣e，0）时，求φ（x）的值域．（2）设直线l为函数f（x）的图象上一点A（x0，f（x0））处切线．证明：在区间（1，+∞）上存在唯一的x0使得直线l与曲线y＝g（x）相切．（二）选考题：共10分．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：极坐标与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系中，将曲线C1向左平移2个单位，再将得到的曲线上的每一个点的横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的，得到曲线C2，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，C1的极坐标方程为ρ＝4cosα．（1）求曲线C2的参数方程；（2）直线l的参数方程为（t为参数），求曲线C2上到直线l的距离最短的点的直角坐标．[选修4-5：不等式选讲]23．设f（x）＝|x﹣1|+|x+1|．（1）求f（x）≤x+2的解集；（2）若不等式，对任意实数a≠0恒成立，求实数x的取值范围．2019年湖南师大附中高考数学模拟试卷（理科）（二）（5月份）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【分析】将集合M，N中的表达式形式改为一致，由N的元素都是M的元素，即可得出结论．【解答】解：M＝{x|x＝+，k∈Z}＝{x|，k∈Z}，N＝{x|x＝+，k∈Z}＝{x|，k∈Z}，∵k+2（k∈Z）为整数，而2k+1（k∈Z）为奇数，∴集合M、N的关系为N⊊M．故选：C．【点评】本题考查集合的关系判断，考查学生分析解决问题的能力，属基础题．2．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部与虚部均大于0列式求解．【解答】解：∵z＝（1﹣ai）（a+2i）＝3a+（2﹣a2）i在复平面内对应的点在第一象限，∴，解得0＜a＜．∴实数a取值范围是（0，）．故选：A．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3．【分析】先根据等差中项的性质可排除C；然后可令a n＝n一个具体的数列进而可验证D、A不对，得到答案．【解答】解：∵1+8＝4+5，∴a1+a8＝a4+a5，∴排除C；若令a n＝n，则a1a8＝1•8＜20＝4•5＝a4a5，∴排除D，A．故选：B．【点评】此题考查了等差数列的性质，利用了排除法，熟练掌握等差数列的性质是解本题的关键．4．【分析】由题意可得cos（ω×+）＝0，故有ω×+＝kπ+，k∈z，再由ω为正整数可得ω的最小值．【解答】解：∵函数的一个对称中心是，∴cos（ω×+）＝0，∴ω×+＝kπ+，k∈z，即ω＝6k+2，k∈z．再由ω为正整数可得ω的最小值为2，故选：B．【点评】本题主要考查由函数y＝A sin（ωx+φ）的部分图象求解析式，属于中档题．5．【分析】根据频率直方图的意义，由前三个小组的频率可得样本在[50，60）元的频率，计算可得样本容量．【解答】解：由题意可知：前三个小组的频率之和＝（0.01+0.024+0.036）×10＝0.7，∴支出在[50，60）元的频率为1﹣0.7＝0.3，∴n的值＝；故选：A．【点评】本题是对频率、频数灵活运用的综合考查，各小组频数之和等于数据总和，各小组频率之和等于1．频率、频数的关系：频率＝．6．【分析】画出三视图表示的几何体的形状，利用三视图的数据求解几何体的体积即可．【解答】解：由题意可知几何体的形状如图：是长方体中截出的棱锥（底面是梯形，高为，底面边长1，上底边长为，高为1）的剩余部分；，所以几何体的体积为：1﹣．故选：B．【点评】本题考查空间几何体的三视图的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．7．【分析】随机选取两个不同的数共有C＝28种，随机选取两个不同的数，其和等于20有2种，由此能求出随机选取两个不同的数，其和等于20的概率．【解答】解：在不超过20的素数中有2，3，5，7，11，13，17，19共8个，随机选取两个不同的数共有C＝28种，随机选取两个不同的数，其和等于20有2种，故可得随机选取两个不同的数，其和等于20的概率P＝，故选：D．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8．【分析】通过a与0的大小，分类讨论，通过函数的奇偶性判断求解即可．【解答】解：当a＜0时，如取a＝﹣4，则f（x）＝，其定义域为：{x|x≠±2}，它是奇函数，图象是③，所以③选项是正确的；当a＞0时，如取a＝1，其定义域为R，它是奇函数，图象是②．所以②选项是正确的；当a＝0时，则f（x）＝，其定义域为：{x|x≠0}，它是奇函数，图象是④，所以④选项是正确的．故选：C．【点评】本题考查函数的图象的判断，考查分类讨论思想的应用，函数的奇偶性的判断，是中档题．9．【分析】通过xy的符号，画出曲线方程对应的图象，然后求解面积．【解答】解：当xy≤0时，只需要满足x2≤1，y2≤1即可；当xy＞0时，对不等式两边平方整理得到x2+y2≤1，所以区域M如下图．易知其面积为2+．故选：D．【点评】本题就餐曲线方程的应用，考查数形结合以及计算能力．10．【分析】求出＝（），＝﹣＝（﹣），由⊥，得x＝4y，A，B，P三点共线，得x+y＝1，由此能求出结果．【解答】解：＝x+y＝x（）+y（0，5）＝（），＝﹣＝（﹣），∵⊥，∴﹣x+25y＝0，解得x＝4y，①又∵A，B，P三点共线，∴x+y＝1，②由①②得x＝，y＝．故选：C．【点评】本题考查实数值的求法，考查向量的坐标运算、向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．11．【分析】把面AA1B绕A1B旋转至AA1M使其与对角面A1BCD1在同一平面上，连接MD1′并求出，就是最小值．【解答】解：把面AA1B绕A1B旋转至AA1M使其与对角面A1BCD1在同一平面上，连接MD1′．MD1就是|AP|+|D1P|的最小值，∵，|AB|＝|AD|＝，|AA1|＝1，∴．∴MD1＝＝故选：D．【点评】本题考查棱柱的结构特征，考查计算能力，空间想象能力，解决此类问题常通过转化，转化为在同一平面内两点之间的距离问题，是中档题．12．【分析】根据条件可得f（a）＝e a﹣a﹣ln（a+a）﹣1≥0，即0＜a≤，然后分0＜a＜和a＝两种讨论即可．【解答】解：由题意知f（a）＝e a﹣a﹣ln（a+a）﹣1≥0，即0＜a≤．由于当x∈R时，不等式e x≥x+1；当x＞0时，不等式lnx≤x﹣1，因此①当0＜a＜时，f（x）＝e x﹣a﹣ln（x+a）﹣1≥[（x﹣a）+1]﹣[（x+a）﹣1]﹣1＝﹣2a+1＞0不符合题意，舍去；②当a＝时，f（x）＝ex﹣﹣ln（x+）﹣1≥[（x﹣）+1]﹣[（x+）﹣1]﹣1＝0（当x＝时取等号）则a＝，故选：C．【点评】本题考查了函数的最值及其应用，关键是合理使用放缩法，属中档题．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．请把答案填在答题卷对应题号后的横线上．13．【分析】根据题意，设f（x）＝e x﹣e﹣x，x∈（﹣1，1），分析可得f（x）在区间（﹣1，1）上为奇函数，由定积分的性质分析可得答案．【解答】解：根据题意，设f（x）＝e x﹣e﹣x，x∈（﹣1，1），f（﹣x）＝e﹣x﹣e x＝﹣f（x），即函数f（x）在区间（﹣1，1）上为奇函数，则（e x﹣e﹣x）dx＝0；故答案为：0【点评】本题考查定积分的计算以及性质，注意定积分与函数奇偶性的关系，属于基础题．14．【分析】由题意依次求出（x+y）8中xy7，x2y6，项的系数，求和即可．【解答】解：（x+y）8的展开式中，含xy7的系数是：8．含x2y6的系数是28，∴（x﹣y）（x+y）8的展开式中x2y7的系数为：8﹣28＝﹣20．故答案为：﹣20【点评】本题考查二项式定理系数的性质，二项式定理的应用，考查计算能力．15．【分析】利用双曲线、椭圆的定义，求出a，利用双曲线的性质，求出c，即可求出椭圆C1的离心率【解答】解：由题意，不妨设P在第一象限，由双曲线C2：x2﹣y2＝4的标准方程，则|PF1|﹣|PF2|＝4，c＝2∵|PF2|＝2，∴|PF1|＝6，∴2a＝|PF2|+|PF2|＝8，∴a＝4．∵椭圆C1：+＝1（a＞b＞0）与双曲线C2：x2﹣y2＝4有相同的右焦点F2，c＝2，∴椭圆C1的离心率为e＝＝，故答案为：．【点评】本题考查椭圆与双曲线的几何性质，解题的关键是正确运用离心率的定义，属于中档题．16．【分析】因为数列{a n}，{b n}均为等差数列，故设a n＝an+b，b n＝cn+d，则a n b n＝（an+b）（cn+d）＝acn2+（bc+ad）n+bd，令c n＝a n b n，则令c n＝anbn，d n＝c n+1﹣c n为等差数列，求出公差即可得到c1．【解答】解：设a n＝an+b，b n＝cn+d，则a n b n＝（an+b）（cn+d）＝acn2+（bc+ad）n+bd，令c n＝a n b n，则d n＝c n+1﹣c n＝2acn+（ac+ad+bc）构成一个等差数列，故由已给出的a2b2＝4，a3b3＝8，a4b4＝16，所以d3＝c3﹣c2＝4，d4＝c4﹣c3＝16﹣8＝8，∴d2＝c2﹣c1＝4﹣c1＝0，所以c1＝4，即m＝4．故填：4．【点评】本题考查了等差数列与函数的关系，考查了等差数列的通项公式．属于基础题．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．【分析】（1）由平面向量数量积的运算得：2bc cos A＝bc，所以cos A＝，因此A＝．由2•＝•，即2•＝•（+），得3bc＝c2，即3b＝c．又因为S△ABC ＝bc sin A＝b2＝3，所以b＝2，（2）由余弦定理及重要不等式得：＝（+），即2＝（+）2＝（b2+c2+bc），又因为BC＝，则a2＝b2+c2﹣2bc•cos A，即bc≤3，所以2＝（3+2bc）≤，即||，得解．【解答】解：（1）设BC＝a，AC＝b，AB＝c，由•＝||||cos A，得2bc cos A＝bc，所以cos A＝，又A∈（0，π），因此A＝．由2•＝•，即2•＝•（+），得3bc＝c2，即3b＝c．又因为S△ABC＝bc sin A＝b2＝3，所以b＝2，即边AC的长为2．（2）因为E为边BC的中点，所以＝（+），即2＝（+）2＝（b2+c2+bc），又因为BC＝，所以由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bc•cos A，即b2+c2＝a2+bc＝3+bc≥2bc，即bc≤3，所以2＝（3+2bc）≤，（当且仅当b＝c时取等号），即||所以线段AE长的最大值为．【点评】本题考查了平面向量数量积的运算、余弦定理及重要不等式，属中档题．18．【分析】（1）根据线面垂直的判定定理即可证明AE⊥平面BCE；（2）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法建立方程关系即可得到结论．【解答】（1）证明：在直角梯形ABCD中，作DM⊥BC于M，连接AE，则CM＝2﹣1＝1，CD＝DE+CE＝1+2＝3，则DM＝AB＝2，cos C＝，则BE＝＝，sin∠CDM＝，则AE＝＝，（2分）∴AE2+BE2＝AB2，故AE⊥BE，且折叠后AE与BE位置关系不变…（4分）又∵面BCE⊥面ABED，且面BCE∩面ABED＝BE，∴AE⊥面BCE，∵AE⊂平面ACE，∴平面ACE⊥平面BCE…（6分）（2）解：∵在△BCE中，BC＝CE＝2，F为BE的中点∴CF⊥BE又∵面BCE⊥面ABED，且面BCE∩面ABED＝BE，∴CF⊥面ABED，故可以F为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系则A（，﹣，0），C（0，0，），E（0，﹣，0），易求得面ACE的法向量为＝（0，﹣，1）…（8分）假设在AB上存在一点P使平面ACE与平面PCF，所成角的余弦值为，且，（λ∈R），∵B（0，，0），∴＝（﹣，，0），故＝（﹣λ，λ，0），又＝（，﹣，﹣），∴＝（（1﹣λ），（2λ﹣1），﹣），又＝（0，0，），设面PCF的法向量为＝（x，y，z），∴令x＝2λ﹣1得＝（2λ﹣1，（λ﹣1），0）…（10分）∴|cos＜＞|＝＝，解得…（12分）因此存在点P且P为线段AB中点时使得平面ACE与平面PCF所成角的余弦值为．…（13分）【点评】本题主要考查空间线面垂直的判定以及空间二面角的计算和应用，建立空间坐标系利用向量法是解决本题的关键．19．【分析】（1）通过散点图，判断y＝c•d x适宜作为扫码支付的人数y关于活动推出天数x 的回归方程类型；（2）通过对数运算法则，利用回归直线方程相关系数，求出回归直线方程，然后求解第8天使用扫码支付的人次；（3）记一名乘客乘车支付的费用为Z，则Z的取值可能为：2，1.8，1.6，1.4；求出概率，计算期望，然后推出结果．【解答】解：（1）根据散点图判断，y＝c•d x适宜作为扫码支付的人数y关于活动推出天数x的回归方程类型；（2）∵y＝c•d x，两边同时取常用对数得：1gy＝1g（c•d x）＝1gc+1gd•x；设1gy＝v，∴v＝1gc+1gd•x，∵，，∴＝，把样本中心点（4，1.54）代入v＝1gc+1gd•x，得：lgd＝0.54，∴，∴1gy＝0.54+0.25x，∴y关于x的回归方程式：；把x＝8代入上式：∴＝102.54＝102×100.54＝347；活动推出第8天使用扫码支付的人次为3470；（3）记一名乘客乘车支付的费用为Z，则Z的取值可能为：2，1.8，1.6，1.4；P（Z＝2）＝0.1；；P（Z＝ 1.6）＝；所以，一名乘客一次乘车的平均费用为：2×0.1+1.8×0.15+1.6×0.7+1.4×0.05＝1.66（元）由题意可知：1.66×1×12•n﹣0.66×12•n﹣80＞0，，所以，n取7；估计这批车大概需要7年才能开始盈利．【点评】本题考查了线性回归方程的求法及应用，数学期望的应用，考查计算能力，属于基础题．20．【分析】（1）运用离心率，上顶点和右焦点为直径端点的圆与直线x+y﹣2＝0相切，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；（2）设直线l的方程为y＝2x+t，设M（x1，y1），N（x2，y2），P（x3，），Q（x4，y4），MN的中点为D（x0，y0），联立椭圆方程，运用判别式大于0及韦达定理和中点坐标公式，由向量相等可得四边形为平行四边形，D为线段MN的中点，则D为线段PQ的中点，求得y4的范围，即可判断．【解答】解：（1）由椭圆的离心率e＝，得＝＝，得b＝c．上顶点为（0，b），右焦点为（b，0），以上顶点和右焦点为直径端点的圆的方程为（x﹣）2+（y﹣）2＝（）2＝，∴＝b，即|b﹣2|＝b，得b＝c＝1，a＝∴椭圆的标准方程为+y2＝1．（2）椭圆C上不存在这样的点Q，理由如下：设直线的方程为y＝2x+t，设M（x1，y1），N（x2，y2），P（x3，），Q（x4，y4），MN的中点为D（x0，y0），由消去x，得9y2﹣2ty+t2﹣8＝0，所以y1+y2＝，且△＝4t2﹣36（t2﹣8）＞0，7分故y0＝＝，且﹣3＜t＜3．由＝，得（x1﹣x3，y1﹣）＝（x4﹣x2，y4﹣y2），所以有y1﹣＝y4﹣y2，y4＝y1+y2﹣＝t﹣．（也可由＝知四边形PMQN为平行四边形，而D为线段MN的中点，因此，D也为线段PQ的中点，所以y0＝＝，可得y4＝．）又﹣3＜t＜3，所以﹣＜y4＜﹣1，与椭圆上点的纵坐标的取值范围是[﹣1，1]矛盾．故椭圆C上不存在这样的点Q．【点评】本题考查椭圆方程的求法，注意运用椭圆的定义和点满足椭圆方程，考查存在性问题的解法，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和中点坐标公式，考查向量共线的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．21．【分析】（1）求出原函数的导函数，由x的范围得到导函数的符号，进一步得到原函数的单调性，从而求得函数的值域；（2）：由，求得切线l的方程，设直线l与曲线y＝g（x）相切于点，由说明l也为函数y＝g（x）的切线，然后证明在区间（1，+∞）上x0存在且唯一即可．【解答】（1）解：当x∈[﹣e，0）时，φ（x）＝﹣x+f（﹣x），，∵x∈[﹣e，0），＜0，∴φ（x）在[﹣e，0）上单调递减，∴φ（x）∈（﹣∞，e+1]；（2）证明：∵，∴，∴切线l的方程，即①，设直线l与曲线y＝g（x）相切于点，∵g′（x）＝e x，∴，则x1＝﹣lnx0，∴直线l也为，即②，由①②得，，∴．下面证明在区间（1，+∞）上x0存在且唯一．．∵x＞0且x≠1，∴φ′（x）＞0．∴函数φ（x）的单调递增区间为（0，1），（1，+∞），可知，φ（x）＝lnx﹣在区间（1，+∞）上递增．又＝．结合零点存在性定理，说明方程φ（x）＝0必在区间（e，e2）上有唯一的根，这个根就是所求的唯一x0．故结论成立．【点评】本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，过曲线上某点处的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，考查了存在性和唯一性的证明问题，是压轴题．（二）选考题：共10分．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：极坐标与参数方程]22．【分析】（1）把曲线C1的极坐标方程两边同时乘以ρ，结合x＝ρcosθ，ρ2＝x2+y2求曲线C1的直角坐标方程，再利用坐标变换求得曲线C2的普通方程，进一步转化为参数方程；（2）把直线l的参数方程化为普通方程，设曲线C2上的点为P（2cosθ，sinθ），0≤θ≤2π，利用点到直线的距离公式写出点P到直线l的距离，利用三角函数求最值，并求得点的直角坐标．【解答】解：（1）由ρ＝4cosα，得ρ2＝4ρcosα将ρ2＝x2+y2，ρ•cosα＝x代入整理得：曲线C1的普通方程为（x﹣2）2+y2＝4．设曲线C1上的点为（x′，y′），变换后的点为（x，y），由题可知坐标变换为，即，代入曲线C1的普通方程，整理得曲线C2的普通方程为，∴曲线C2的参数方程为（θ为参数）；（2）直线l的参数方程为（t为参数），直线l的直角坐标方程为x﹣y+2＝0，设曲线C2上的点为P（2cosθ，sinθ），0≤θ≤2π，则点P到直线l的距离为d＝＝，其中cosφ＝，sinφ＝，当θ+φ＝π时，d min＝＝，此时2cosθ＝2cos（π﹣φ）＝﹣＝﹣，sinθ＝sin（π﹣φ）＝＝，即此时点P的直角坐标为（，），∴曲线C2上到直线l的距离最短的点的直角坐标为（，）．【点评】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查点到直线的距离公式的应用，训练了三角函数最值的求法，是中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．【分析】（1）通过讨论x的范围，得到关于x的不等式组，解出即可；（2）求出的最小值，问题转化为|x﹣1|+|x+1|≥3，解出即可．【解答】解：（1）由f（x）≤x+2有…（3分）解得0≤x≤2，∴所求解集为[0，2]…（5分）（2）…（7分）当且仅当时取等号，由不等式对任意实数a≠0恒成立，可得|x﹣1|+|x+1|≥3，解得…（10分）【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．。

湖南省长郡中学2019届高三下学期第二次模拟考试试题数学（理）一、选择题：本题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题目要求的. 1.设全集，则 （ ） A.B.C.D.【答案】C 【解析】 【分析】求出集合A 中的元素，从而求出A 的补集即可．或者将分别代入检验.【详解】解法1：，故 ，所以选C. 解法2：将分别代入检验，可得，故，所以选C.【点睛】本题考查了集合的运算，考查不等式解法，是基础题．2.若为第二象限角．则复数 （为虚数单位）对应的点在（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B 【解析】 【分析】根据复数对应复平面的点，然后判断对应三角函数的符号即可得到答案. 【详解】解：因为为第二象限角．所以，即复数的实部为负数，虚部为正数，所以对应的点在第二象限． 故选：B ．【点睛】本题主要考查复数对应的复平面的点的相关概念，难度较小.3.已知等差数列前9项的和为27，，则A. 100B. 99C. 98D. 97【答案】C【解析】试题分析：由已知，所以故选C.【考点】等差数列及其运算【名师点睛】等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化为解关于基本量的方程（组）,因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法.4.条件，条件，则是的（）A. 充分非必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要的条件【答案】A【解析】试题分析：条件等价于，条件等价于集合，因为，且，所以是的充分不必要条件，即是的充分不必要条件．考点：充分必要条件．5.设函数，则使成立的的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】通过判断原函数单调性和奇偶性脱离f，建立不等式关系解出即可.【详解】解：根据题意，函数，则，即函数为偶函数，当时，易得为增函数，则，变形可得：，解可得或，即的取值范围为故选：D．【点睛】本题主要考查函数的单调性，奇偶性以及通过函数性质解不等式问题，难度中等.6.如图所示，半径为1的圆是正方形的内切圆，将一颗豆子随机地扔到正方形内，用表示事件“豆子落在圆内”，表示事件“豆子落在扇形（阴影部分）内”，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用几何概型先求出，，再由条件概率公式求出．【详解】如图所示，半径为1的圆O是正方形MNPQ的内切圆，将一颗豆子随机地扔到正方形MNPQ内，用A表示事件“豆子落在圆O内”，B表示事件“豆子落在扇形阴影部分内”，则，，．故选：B．【点睛】本题考查概率的求法，考查几何概型、条件概率能等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7.某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】分析：根据三视图还原几何体，利用勾股定理求出棱长，再利用勾股定理逆定理判断直角三角形的个数. 详解：由三视图可得四棱锥，在四棱锥中，，由勾股定理可知：，则在四棱锥中，直角三角形有：共三个，故选C.点睛：此题考查三视图相关知识，解题时可将简单几何体放在正方体或长方体中进行还原，分析线面、线线垂直关系，利用勾股定理求出每条棱长，进而可进行棱长、表面积、体积等相关问题的求解.8.已知，则的展开式中的系数为（）A. B. 15 C. D. 5【答案】D【解析】由题意得，故求的展开式中的系数．∵，展开式的通项为．∴展开式中的系数为．选D．9.把函数的图象向左平移个单位长度，再把所得的图象上每个点的横、纵坐标都变为原来的2倍，得到函数的图象，并且的图象如图所示，则的表达式可以为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据条件先求出φ和ω，结合函数图象变换关系进行求解即可．【详解】∵g（0）＝2sinφ＝1，即sinφ，∴φ或φ（舍去）则g（x）＝2sin（ωx），又当k=1,即g（x）＝2sin（x），把函数g（x）的图象上所有点的横坐标缩短到到原来的，得到y＝2sin（4x），再把纵坐标缩短到到原来的，得到y＝sin（4x），再把所得曲线向右平移个单位长度得到函数g（x）的图象，即g（x）＝sin[（x-）]＝故选：B．【点睛】本题主要考查三角函数图象的应用，根据条件求出ω和φ的值以及利用三角函数图象平移变换关系是解决本题的关键．10.已知是双曲线的左、右焦点，若点关于双曲线渐近线的对称点满足（为坐标原点），则双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先利用对称求出点的坐标，根据可得，再利用两点间距离得出关于方程，从而解得渐近线方程.【详解】解：设因为点关于渐近线的对称点为，不妨设渐近线方程为，故有，解得，因为，所以，根据两点间距离可得，，即，即，即，即，可得，所以，故渐近线方程为，故选B.【点睛】本题考查了点关于直线对称点的知识，考查了双曲线渐近线方程、两点间距离公式等知识，解题时需要有较强的运算能力.11.电子计算机诞生于20世纪中叶，是人类最伟大的技术发明之一．计算机利用二进制存储信息，其中最基本单位是“位（bit）”，1位只能存放2种不同的信息：0或l，分别通过电路的断或通实现．“字节（Byte）”是更大的存储单位，，因此1字节可存放从至共256种不同的信息．将这256个二进制数中，所有恰有相邻两位数是1其余各位数均是0的所有数相加，则计算结果用十进制表示为（）A. 254B. 381C. 510D. 765【答案】B【解析】【分析】将符合题意的二进制数列出，转化为十进制，然后相加得出结果.【详解】恰有相邻两位数是1其余各位数均是0的二进制数为，，，，，，，共个.转化为十进制并相加得，故选B.【点睛】本小题主要考查二进制转化为十进制，阅读与理解能力，属于基础题.12.已知函数有唯一零点，则a=A. B. C. D. 1【答案】C【解析】函数的零点满足，设，则，当时，；当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，当时，函数取得最小值，为.设，当时，函数取得最小值，为，若，函数与函数没有交点；若，当时，函数和有一个交点，即，解得.故选C.【名师点睛】利用函数零点的情况求参数的值或取值范围的方法：（1）利用零点存在性定理构建不等式求解.（2）分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.（3）转化为两个熟悉的函数图像的上、下关系问题，从而构建不等式求解.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量满足，且，则在方向上的投影为_____．【答案】1【解析】【分析】通过向量的数量积及投影的相关概念建立方程即可得到答案.【详解】解：向量满足，且，则在方向上的投影为：．故答案为：1．【点睛】本题主要考查向量的数量积，及投影的相关概念，难度较小.14.设满足约束条，则目标函数的最大值为_____．【答案】4【解析】【分析】画出不等式表示的平面区域，通过目标函数表示的斜率式观察图像即可得到答案.【详解】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．目标函数的几何意义为区域内的动点到定点的斜率，由图象知的斜率最大，由得，此时的斜率，即的最大值为4．故答案为：4．【点睛】本题主要考查线性规划问题，在于考查学生的作图能力及转化能力，此题只需将目标函数化为斜率式即可得到答案.15.已知直线与抛物线相交于两点，为的焦点，若，则_____．【答案】【解析】【分析】画出几何图像，建立几何关系，通过建立方程即可得到答案.【详解】解：由题意利用定义，结合其他几何性质可得抛物线的焦点，准线．又直线过定点，因为，所以为中点，连接，所以．设，所以，．作，则垂足为的中点，设，则，，求得、，所以，故答案为：．【点睛】本题主要考查抛物线的几何性质及学生的计算能力，难度中等.16.某工厂现将一棱长为的正四面体毛坯件切割成一个圆柱体零件，则该圆柱体体积的最大值为_____．【答案】【解析】【分析】找出正四面体中内接圆柱的最大值的临界条件，通过体积公式即可得到答案.【详解】解：圆柱体体积最大时，圆柱的底面圆心为正四面体的底面中心，圆柱的上底面与棱锥侧面的交点在侧面的中线上．∵正四面体棱长为，∴，，，∴，设圆柱的底面半径为，高为，则．由三角形相似得：，即，圆柱的体积，∵，当且仅当即时取等号．∴圆柱的最大体积为．故答案为：．【点睛】本题主要考查学生的空间想象能力,以及分析问题的能力，基本不等式的运用,难度较大.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知分别是的三个内角的对边，若，角是最小的内角，且．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若的面积为42，求的值．【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ) .【解析】【分析】(Ⅰ)由正弦定理，三角形内角和定理可得，结合，整理可得，又，利用同角三角函数基本关系式可求的值．(Ⅱ)由(Ⅰ)及三角形的面积公式可求的值，利用同角三角函数基本关系式可求的值，根据余弦定理可求的值．【详解】(Ⅰ) 由、，及正弦定理可得：，由于，整理可得：，又，因此得：．(Ⅱ)由(Ⅰ)知，又的面积为42，且，从而有，解得，又角是最小的内角，所以，且，得，由余弦定理得，即．【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想。