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单纯可适变换Lie群无穷小生成元的代数性质

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第３１卷第１期　２００７年１月　江西师范大学学报（自然科学版）　

ＪＯＵＲＮＡＬ　ＯＦ　ＪＩＡＮＧＸＩ　ＮＯＲＭＡＬ　ＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ（ＮＡＴＵＲＡＬ　ＳＣＩＥＮＣＥ）　ＶｏＩ＿３ｌ　ＮＯ．１　

Ｊａｎ．２００７　

文章编号：１０００．５８６２（２００７｝０１．００１０．０４　单纯可适变换Ｌｉｅ群无穷小生成元的代数性质　

岑燕斌　（黔南民族师范学院数学系，贵州都匀５５８０００）　

摘要：给出了作用在ｃ　流形Ｍ上的单纯可迁变换Ｌｉｅ群Ｇ的无穷小生成元的有关概念，得到了与之　相关的若干重要代数性质．　关键词：变换Ｌｉｅ群；无穷小生成元；单纯；可迁．　中图分类号：Ｏ　１５２．５　文献标识码：Ａ　

１预备知识　设Ｇ是一个Ｌｉｅ群，Ｍ是一个Ｃ　流形［　，在Ｇ和Ｍ中引进局部坐标系使ｅ∈Ｇ，　ｏ∈Ｍ分别为坐标　原点，厂：Ｍ×Ｇ—Ｍ是一Ｃ　映射，有表示式　：＝ｆｉ（ｘ１，　２，…，　，ｇ１，ｇ２，…，ｇｎ），　简记为Ｘ　＝ｆ（ｘ，ｇ），此处Ｘ＝（Ｘｌ，２２，…，　，），ｇ＝（ｇ１，ｇ２，…，ｇｎ），其矩阵表示为　［　］＝Ｄ（ｇ）［　］．　（１）　当ｇ＝０时，相应于恒等变换，有　（　，０）＝　，即Ｄ（ｇ＝０）＝Ｊ（几阶单位阵）．因此，Ｌｉｅ群Ｇ的无穷　小变换是　＋ｄｘ　＝　（　，Ａｇ），其矩阵形式为　．　［　＋ｄｘ　］＝Ｄ（Ａｇ）［ｘ￡］．　（２）　显然有　ｄ　ｉ＝　主　ｆ。：。△毋：ｕ　（　）△旬，其中ｕ　（　）：　主　ｆ。：。（　＝ｌ，２，。‘・，几；　：ｌ，　

２，…，ｎ），其矩阵形式为　［ｄｘｉ］＝　ｌｇ＝ｏＡｇｊ　］．　（３）　

记　＝　ｌ。：。，则（３）式中不含参量，这是一个仅由群Ｇ表示所决定的数量矩阵，称为Ｇ的无穷小　生成元的矩阵形式．　一般地，设　（　）是某一函数，当　作无穷小变换时，函数　（　）的相应变换为　

）＝　＝　：△　（　）　）：Ａｇ／ｒ￣（　（　记　’　（　）＝ｕ　（　）　，　（４）　称Ｊ　（　）为Ｌｉｅ群Ｇ的无穷小生成元的微分形式，简称为无穷小生成元．　这是由群Ｇ的性质所决定的，共有ｎ个线性无关的无穷小生成元．　设它们所张成的向量空间记为　ｃ，并赋予ｙ　一个二元运算“［，］”：　ｃ×ｙｃ—ｙｃ称为“换位”运算：Ｖ　Ｉ　（　），Ｊ　（　）∈Ｖｃ有　

收稿日期：２００６．０６．３０　基金项目：国家自然科学基金（１０２６１００２）和贵州省自然科学基金（２００３２２２）资助项目．　作者简介：岑燕斌（１９４９．），男（布依族），贵州独山人，教授，主要从事Ｌｉｅ群理论、奇点理论研究　

维普资讯 http://www.cqvip.com 第１期　岑燕斌：单纯可迁变换Ｌｉｅ群无穷小生成元的代数性质　［　（　），Ｊ　（　）］＝Ｉｉ（　）Ｊ　（　）一Ｊ　（　）　（　）．　显然，从群的观点来看，“［，］”运算就是Ｌｉｅ群Ｇ的“不可换性”的线性化．　为导出变换Ｌｉｅ群Ｇ的无穷小生成元的相关性质，还需要给出以下的定义．　定义１　设Ｇ是作用在ｃ　流形　上的变换Ｌｉｅ群，若有　０∈Ｍ，Ｖ　Ｅ　Ｍ，存在ｇ∈Ｇ，使得ｇｘ０＝　

，则称Ｇ是可迁地作用在Ｃ　流形　上的变换Ｌｉｅ群，简称为可迁变换Ｌｉｅ群．　定义２　设Ｇ是作用在Ｃ　流形　上的可迁变换Ｌｉｅ群，Ｊ。（　），Ｊ２（　），…，Ｉ，（　）为Ｇ的无穷小生成　元，若ｖ　∈　，有ｒａｎｋ（ＪＩ‘　（　））＝ｎ（ｉ＝１，２，…，ｎ；　＝１，２，…，ｒ），则称Ｇ为作用在ｃ　流形　上的　单纯可迁变换Ｌｉｅ群．　定义３　设Ｌｉｅ群Ｇ左方作用于Ｃ　流形　，对固定的　０∈　，集合Ｇｘ０＝｛ｇ　Ｉ　ｇｘ０＝戈０，ｇ　Ｅ　Ｇ｝．　易知Ｇ戈０是Ｌｉｅ群Ｇ的闭子集，而且是Ｇ的Ｃ　正则子流形，因而是Ｇ的闭Ｃ　Ｌｉｅ子群，称Ｇ　０为Ｇ的　０　的固定群．　定义４　设ｌ，　是ｌ，Ｇ的一个子空间，若Ｖ　∈ｌ，Ｇ，Ｙ∈ｌ，　总有［　，　］∈ｌ，　，则称ｌ，　为＇，Ｇ的一个理　想．　由以上定义有以下　引理［　］　设Ｇ　是变换Ｌｉｅ群Ｇ的Ｌｉｅ子群，则Ｇ　是Ｇ的正规子群的充要条件是　ｃ是　Ｇ的一个理想．　

２　主要结果及证明　性质１　设Ｊ。（　），Ｉ２（　），…，Ｊ　（　）是作用在Ｃ　流形Ｍ上的变换Ｌｉｅ群Ｇ的无穷小生成元，则　［Ｌ（戈），Ｊ　（　）］＝　．　（　）（其中　．　为Ｌｉｅ群Ｇ的结构常数，　，ｒ，　＝１，２，…，ｒ）．　

证　由Ｌ（　）；　（　）　及［Ｌ（　），　（　）］＝Ｌ（　）Ｊ　（　）一Ｉｔ（戈）Ｌ（　）得　

［Ｌ（　），Ｊ　（戈）］＝　（　）　Ｏｘｉ

（ｕ打（　）最）一“　（戈）最（　（　）　Ｏｘｉ）＝　

）　・蠢＋　）最一㈩　・专一㈩　）最＝　（　）　．一㈩　）．蠢．　

由　，　的定义知　（戈）　一“　）　：　，　“　），故　

［Ｌ（　），Ｉｔ（　）］＝ｃ　，　（　）　＝　，　（　）Ｉ　性质２　设Ｊｌ（　），Ｉ２（　），…，Ｉｒ（　）是变换Ｌｉｅ群Ｇ的无穷小生成元，ｊ。（　），ｊ２（　），…，ｊ　（　）是Ｇ的　Ｌｉｅ子群Ｇ　的无穷小生成元，则Ｇ　是Ｇ的正规子群的充要条件是　［ｊ　（　），Ｊ　（　）］：　．　（　）（其中　．　是常数，ｒ＝１，２，…，ｒ；，　，　＝１，２，…，ｓ）．　

证　由引理，定义４及性质１可直接推出．　性质３　设Ｊ。（　），Ｉ２（　），…，Ｉｒ（　）是作用在Ｃ　流形Ｍ上的单纯可迁变换Ｌｉｅ群Ｇ的无穷小生成元，　Ｊ　ｌ（　０），Ｊ　２（　０），…，Ｊ　（　０）是Ｇ的固定群Ｇｘ０的无穷小生成元，则Ｉ＇ｉ（　）三０（ｉ＝１，２，…，ｔ）．　证　设Ｊ　ｌ（　），１＇２（　），…，Ｊ　（　）是Ｇ的子群Ｇ　的无穷小生成元，则Ｊ　（　）（ｉ＝１，２，…，ｔ）可由Ｇ　的无穷小生成元Ｊ。（　），Ｉ２（　），…，Ｊ　（　）线性表示　

Ｉ＇ｉ（　）：∑ａｉｋｌｋ（　），此式用分量表示：Ｊ　：　）：∑０　（　），　其中ｒ和ｎ分别是Ｇ和Ｍ的维数，ｉ＝１，２，…，ｔ；．　＝１，２，…，ｎ；Ｊ　：　）是Ｊ　ｌ（　）的分量，Ｊ　（　）是Ｉｋ（　）的　

分量，０　为常数．　当Ｇ　是Ｇ的　的固定群Ｇｘ　时，则有　

维普资讯 http://www.cqvip.com １２　江西师范大学学报（自然科学版）　２００７拄　ｒ　，　｛　ｏ）：∑ｎ　’（　ｏ）　

ｋ＝１　今考虑如下的齐次线性方程组　

∑ｎ　（　０）：０　ｋ：ｌ　

（５）　

由于Ｇ是单纯可迁群，所以ｒ＝ｒｔ，Ｉ，　（　ｏ）Ｉ≠０．故上述齐次线性方程组只有零解，即ａ　：０（ｋ＝　１，２，…，ｎ）代人（５）式则有　，　：　ｏ）＝０，故，　（戈）＝０（ｉ＝１，２，…，ｓ）．　由性质３可得　推论１　若Ｇ　ｏ是作用在ｃ　流形』Ｉ｛『上的单纯可迁变换Ｌｉｅ群Ｇ的　ｏ的固定群，则Ｇ　ｏ是单位元群．　性质４设，１（　），，２（　），…，，　（　）是作用在ｃ　流形　上的单纯可迁变换Ｌｉｅ群Ｇ的无穷小生成元，　，ｌ（　ｏ），ｆ２（　ｏ），…，，　（　ｏ）是线性无关的（ｒ≥凡），则存在ｒ一凡个向量场，　ｌ（　），，　２（　），…，，　一　（　），使　当　＝　ｏ时是Ｇ的　ｏ的固定群Ｇ戈。的无穷小生成元．　证　因为Ｇ是作用在　上的单纯可迁变换Ｌｉｅ群，由定义２知，当　。∈Ｍ时，有　ｒａｎｋ（，　’（　０））＝凡（　：１，２，…，凡；ｋ：１，２，…，ｒ）．　考虑如下的齐次线性方程组　

∑ｎ　’（　ｏ）：０　ｋ＝１　由于其系数矩阵的秩为凡，故有ｒ一凡个线性无关的非零解．又因为，。（　ｏ），，２（　ｏ），…，，　（　ｏ）线性无　

关，故当　＞凡时，令ａ　＝一ｌ，ａｔ＝０，　＝凡＋１，…，ｒ；　≠　，则可得到以上方程组的一个解，取　＝凡＋　１，凡＋２，…，ｒ时，则可得ｒ一凡个线性无关的解，设为　＋Ｊ（　ｏ），　＋２（　０），…，　（　ｏ），于是可得到　

一　，　＋　（　ｏ）＝　０　（　ｏ），　（　ｏ）（ｓ＝ｌ，２，…，ｒ一凡），　（６）　

ｌ＝１　作向量场，　（　）：Ｉｎ＋ｓ（　）～∑　（ＸＯ），　（　）．显然，当　：　ｏ时，由（６）式可得，　（ＸＯ）＝０（ｉ＝１，　

２，…，凡），故向量场，　。（　），，　２（　），…，，　一　（　），当　＝　ｏ时是变换Ｌｉｅ群Ｇ的　ｏ的固定群Ｇ　ｏ的无穷　小生成元．　利用上述有关性质可得以下　推论２　作用在ｃ　流形　上的单纯可迁变换Ｌｉｅ群Ｇ的　０的固定群Ｇ　０为正规子群的充要条件是：　

ｃ　一∑　（　ｏ）ｃ　＋∑（ｃ一…ｎ＋２，　一∑　（ＸＯ）ｃ　）・　（ＸＯ）＝０（ｓ：１，２，…，ｒ一凡；　ｌ：１　＾＝１　‘＝１　＝１，２，…，凡；Ｐ＝ｌ，２，…，凡）．　

证　因为，ｌ（　ｏ），，２（　０），…，，　（　ｏ）是线性无关的（性质４），由连续性，存在点　ｏ的邻域　（　ｏ）∈　

，使，ｌ（　ｏ），，２（　ｏ），…，，　（　ｏ）在　（　ｏ）上线性无关．所以，在　（　ｏ）上，　＋　（　）（ｓ＝１，２，…，ｒ一凡）　

可由Ｉｌ（　），Ｉ２（　），…，Ｉ　（　）线性表示：Ｉ　＋　（　）　进而在Ｕ（　ｏ）上有　［，　（　），　（　）］：［，…（　）一∑　（　ｏ）ｆ　（　），Ｉｓ（　）］：　ｔ＝１　

∑（ｃ　一∑　（　。）Ｃ　ｋ）　（　）＝　ｋ＝１　。　ｌ＝１　∑（ｃ　＋　，　一∑　０　（　ｏ）ｃ　），　。（　）＋∑（ｃ　＋　，　一∑　０　（　ｏ）ｃ　），　：（戈）（｜ｌ｝。＋ｋ：＝｜ｌ｝）：　

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Lie代数表示论中的完全可约性

Lie代数表示论中的完全可约性

Lie代数表示论中的完全可约性在Lie代数表示论中，完全可约性是一个重要的概念。

Lie代数是数学中的一个分支，研究了一类特殊的代数结构。

而Lie代数的表示论则是研究如何把这样的代数结构映射到线性空间中。

1. 引言Lie代数表示论是数学中的一个分支，主要研究如何将Lie代数映射到线性空间中，并研究这种映射的性质。

其中一个重要的性质就是完全可约性，本文将对Lie代数表示论中的完全可约性进行详细讨论。

2. 完全可约性的定义在Lie代数表示论中，我们将表示空间分解成一系列不可分解的子空间，如果这些子空间没有进一步分解的可能性，那么我们称这个表示是完全可约的。

换句话说，完全可约性是指表示空间不能再继续分解成更小的不可分解子空间。

3. 完全可约性的判定在Lie代数表示论中，我们通常采用直和分解的方法来判定一个表示是否完全可约。

具体来说，如果一个表示空间可以分解为一系列不可分解子空间的直和，那么这个表示就是完全可约的。

直和分解的意思是表示空间中任意两个不可分解子空间的交集只包含零向量。

4. 完全可约性的性质完全可约性是Lie代数表示论中一个非常重要的性质，它具有以下几个性质：- 完全可约性是一个不变性，即一个表示的完全可约性与选择的基无关。

- 一个表示的子表示仍然是完全可约的。

- 两个完全可约表示的直和仍然是完全可约的。

5. 完全可约性的应用完全可约性在物理学和几何学中有着广泛的应用。

在物理学中，完全可约性可以用来描述粒子系统的对称性，并研究其相应的守恒量。

在几何学中，完全可约性可以用来分类曲面的类型，并研究它们的性质。

6. 总结Lie代数表示论中的完全可约性是一个重要的概念，它研究了如何将Lie代数映射到线性空间中，并研究这种映射的性质。

完全可约性可以通过直和分解的方法来判定，具有不变性和闭合性的性质。

完全可约性在物理学和几何学中有着广泛的应用，对于研究粒子系统的对称性和曲面的分类具有重要意义。

7. 参考文献- Humphreys, J. E. (1972). Introduction to Lie algebras and representation theory (Vol. 9). Springer Science & Business Media.- Fulton, W., & Harris, J. (1991). Representation theory: a first course (Vol. 129). Springer Science & Business Media.。

3.6李代数

3.6李代数


李代数线性表示或模：若李代数L '的元素是矩阵，且 L ' ≈L 或 L '~L，则 L '称为L 的线性表示或模 局域意义上，李群和李代数，实李代数和复李代数有共 同的线性表示 李代数的等价表示：两个表示的基（生成元）可通过同 一相似变换联系 李代数的不可约表示：李代数表示空间对此李代数不存 在非平庸不变子空间 李代数的伴随表示：表示的基（生成元）满足
3.6
一、几组概念
生成元定义
g
李代数
D(A) j
D(A) 1 i jI j , I j i
j1
0
其中引入虚数单位，是为了使幺正表示生成元厄米
[I j , I k ] i Clj kIl 相应的代价是生成元对易关系中出现系数i
l
在数学文献中，通常取(-iIj)作为生成元
高于一阶的单纯李群：都半单李群，相应的李代数为半 单李代数 李群是单纯李群，李代数是单纯李代数的充要条件： 李群的伴随表示是不可约表示 如：SU(2)，SO(3)伴随表示是SO(3)自身表示，不可约， 因此SU(2)，SO(3)是单纯李群，相应李代数是单纯李代数 子代数的直和：若在李代数中，两个子代数L1和L2满足： L1+L2=L，L1∩L2=Ф，[L1,L2]=0，则L 称为两个子代数的直 和L =L1 + L2，显然L1，L2都是L 的理想
T2(λ )与C2(λ )是什么关系？
将 Tjk Tr (I I ) jk T2 () 取j=k，并对j求和 j k
Tr(I I ) T2 () g jj
j
不可约表示Dλ 的维数
将 I I C2 () I 取迹 j j
j
近世代数 第8讲

近世代数 第8讲

第8 讲§5 变换群(Transformation group) （2课时）本讲的教学目的和要求:在本讲中我们将进一步熟悉另一种重要理论意义的群─变换群。

变换群的重要特点在于，一方面可以说它是一种非常具体的群。

它的元素都具有明确的具体的意义，从而使得元素之间的运算方法也有相当明确的具体的意义；另一方面，这种非常具体的群具有普遍的意义：它代表了一切可能的群，这一点是靠凯莱定理来完成的。

因此，要求：1、理解什么是变换群；变换群的理论意义。

2、凯莱定理的内容以及定理的证明过程。

本讲的重点和难点：研究一种代数体系就是要解决这种代数体系的下面三个问题：存在问题；数量问题以及结构问题。

如果这些问题都得到完满的解答就算达到了目的。

关于数量问题，指的是彼此不同构的代数体系的数量，因为同构的代数体系抽象地看可以认为是相同的代数体系。

凯莱定理告诉我们，如果将所有变换群都研究清楚了，也就等于把所有群都研究清楚了，无论是否如此简单，但至少从理论上知道凯莱定理的重要性。

故此，本讲中自然以凯来定理为重点，而其难点是有下列二个方面：（1）通过教材中定理1、定理2的论述对变换以及有关性质有一个清醒的认识。

（2）撑握凯来定理（定理3）的证明手法。

注意：本讲的教材在对映射的表示形式上有所改变：)(:x x x ττ= 将改成:.:ττx x x = 也就是说,过去我们的记法 “)(x τ”将变为“τx ”于是要当心：τλλτλττλ)())(())((x x x x =→= 用教材的话是说：当B A →:τ是映射时，用“)(a τ”. 当A A →:τ是变换时，使用“τa ”.一、变换群的概念和基本性质 （1） 集合A 的变换和表示形式定义1 设A 是一个非空集合，若τ是到A 的任一子映射.:A A →τ那就称τ是A 的一个变换（注：这个定义在第一章中曾出现过）.在表示形式方面，若':a a τ，现将')(a a =τ改写为'a a =τ.这样一改，在变换的合成方面，尤其要注意：如果21,ττ都是A 的变换，那么21ττ也显然是的变换，并且这时要注意：":21a a →ττ应该是1212)("ττττa a a ==（而过去是写成：))(()(2121a a ττττ=在合成的表示形式上，要习惯这种改变.例1． 设=A ｛１，２｝．现取出A 的几个变换12,21:1 τ （即 12,1111==ττ　） 22,21:2 τ（即 22,2122==ττ） 22,11:3 τ（即22,1133==ττ）12,21:4 τ （即 12,2144==ττ）可以看出．4321,,,ττττ是A 的全部变换．其中3τ和4τ是双射．并且3τ是恒等变换．习惯上记 .3ετ= （或 A 13=τ）利用例１．可以换算一下它们的合成（乘积）21ττ：1 ２；２ ２．即 1.212;2122122====ττττττ这表明 .221τττ= ·同理知442τττ=．利用3τ是恒等变换．则i i i τττττ==33（)4,3,2,1=i ．这是因为i i i i i i i i τττττττττττττ=⇒⎪⎭⎪⎬⎫====32)2(21)1(13333 并且又有i i i i i i i i τττττττττττττ=⇒⎪⎭⎪⎬⎫====32)2(21)1(13333． 定义２．设A 是一个非空集合，而ε是A 的恒等映射，那么，对A 的任一个变换τ，都有 .ττεετ==二．变换群的概念设A 是一个非空集合，而A 的一些变换能否形成一个群呢？ 就以例1做比方。

数学专业的群论

数学专业的群论

数学专业的群论群论是数学中一个重要的分支领域，它主要研究群的定义、性质和应用。

群论在数学中起到了举足轻重的作用，被广泛应用于代数、几何、物理和密码学等领域。

本文将对群论的概念、性质和应用进行介绍。

一、群的定义与性质在群论中，群是一种代数结构，由一个集合和一个二元运算组成。

群的定义需要满足四个条件：封闭性、结合性、单位元存在性和逆元存在性。

具体地说，设G是一个集合，*表示G上的二元运算。

若集合G满足以下条件，则称G为一个群：1. 封闭性：对于任意的a、b∈G，a*b仍然属于G；2. 结合性：对于任意的a、b、c∈G，(a*b)*c=a*(b*c)；3. 单位元存在性：存在一个元素e∈G，对于任意的a∈G，有a*e=e*a=a；4. 逆元存在性：对于任意的a∈G，存在一个元素b∈G，使得a*b=b*a=e。

群的性质主要有唯一性、消去律和子群的定义等。

群的唯一性指的是一个集合上可能存在多个群结构，但这些群结构之间具有一一对应的关系。

消去律是指若群G中的元素a*b=a*c，则可以推出b=c。

二、群的应用1. 代数学应用群论在代数学中扮演着核心的角色。

它被广泛应用于线性代数、数论和域论等领域。

群的概念和性质为这些领域提供了基础，通过群论的方法可以研究和解决各种代数结构的问题。

2. 几何学应用几何学是另一个重要的应用领域。

群论在点群、对称群和Lie群等几何结构的研究中发挥着重要作用。

通过群论的方法可以研究几何对象的对称性和变换性质，从而深化对几何学的理解。

3. 物理学应用群论在物理学中也有广泛的应用。

在量子力学、粒子物理学和宇宙学等领域，群论被用来研究物理系统的对称性和变换规律。

通过群论的方法可以建立描述物理系统的数学模型，推导出物理定律。

4. 密码学应用群论在密码学中的应用得到了广泛的认可。

通过利用群的性质，可以设计和分析各种密码算法，保障信息的安全性。

群论可以用来研究离散对数问题，并构造一些具有强安全性的密码体制。