代数法解题教师版

第三章整式及其加减3．1代数式第1课时用字母表示数1．能用字母表示数量关系．体会字母表示数的意义，形成初步的符号感，提高应用数学的意识；2．理解代数式的概念，能用代数式表示简单实际问题中的数量关系．重点理解代数式的概念，能用代数式表示简单实际问题中的数量关系．难点学会求出代数式的值，并解释它的实际含义．一、导入新课课件出示教材第77页图3－1，提出问题：(1)按图3－1的方式，搭2个正方形需要________根火柴棒，搭3个正方形需要________根火柴棒．(2)搭10个这样的正方形需要多少根火柴棒？(3)搭100个这样的正方形需要多少根火柴棒？你是怎样得到的？(4)如果用x表示所搭正方形的个数，那么搭x个这样的正方形需要多少根火柴棒？与同伴进行交流．学生小组交流后回答，教师讲评，并进一步讲解第(4)题的两种思考方法：第一个正方形用4根，每增加一个正方形增加3根，那么搭x个正方形就需要火柴棒[4＋3(x－1)]根．上面的一排和下面的一排各用了x根火柴棒，竖直方向用了(x＋1)根火柴棒，共用了[x＋x＋(x＋1)]根火柴棒．教师：今天这节课，我们就来学习用字母表示数．二、探究新知1．用含字母的式子表示数量关系教师：通过探究，我们发现字母可以表示任何一个数．(1)在上面的活动中，我们借助字母表示正方形的个数与小棒的根数之间的关系，这样做有什么好处？(2)在以前的学习中还有哪些地方用到了字母？这些字母都表示什么？与同伴进行交流．学生汇报答案后，教师讲评：列代数式时，先找出题目中表示运算关系的词，然后理清关系，分清运算顺序，最后按代数式的书写格式规范地列出代数式．2．代数式的概念(1)今年李华m岁，去年李华________岁，5年后李华________岁．(2)a个人n天完成一项工作，那么平均每人每天的工作量为________.(3)某商店上月的收人为a元，本月收人比上月收入的2倍还多10元，本月收人是________元．(4)如果正方体的棱长是a－1，那么正方体的体积是________，表面积是________.学生独立完成后汇报答案．教师点评、分析：像这样用运算符号把数和字母连接而成的式子叫作代数式．课件出示练习：指出下列各式中哪些是代数式，哪些不是代数式．(1)x－1；(2)－2x＝1；(3)π；(4)5<7；(5)m.学生思考后举手回答．教师：通过以上练习，同学们进一步了解了代数式的概念，那么它与等式、不等式的区别是什么？学生讨论交流，教师指导、评价．3．代数式的书写要求(1)数字与字母、字母与字母相乘，“×”通常用“·”表示或省略不写，并把数字写在字母的前面．带分数与字母相乘时，应把带分数化为假分数；注：数字与数字相乘，“×”不能用“·”表示，也不可省略．(2)除法运算应写成分数的形式；(3)代数式中相同字母或因式的积用乘方形式表示；(4)代数式为和或差的形式，且后面有单位时，要把代数式用括号括起来．三、课堂练习1．教材第78页“随堂练习”．2．填空．(1)一个三角形的三条边的长分别是a，b，c，则这个三角形的周长为a＋b＋c；(2)张强比王华大3岁，当张强a岁时，王华的年龄是(a－3)岁；(3)圆的半径是R厘米，它的面积是πR2．四、课堂小结通过本节课的学习，你有什么收获？先让学生举手分享自己的收获，教师再简单归纳：用字母表示数可以简明地表达问题中的数量关系，也可以简明地表达数和公式，这样给我们研究问题带来了很大的方便．五、课后作业教材第82页习题3.1第1，2，3题．本节课的内容是今后进一步学习代数知识的基础．用字母表示数对学生来说比较抽象，在教学过程中，用实物或生活事例讲解，让学生体会、认识到用字母表示数在实际生活和学习中的广泛应用，感受到数学就在身边，体现了数学与生活的联系．同时，重视引导学生经历用字母表示数的过程，初步感受代数的思想，在解决问题的过程中深化了对数学知识的认识．本节课讲练相结合，鼓励学生参与其中，调动他们的学习积极性．第2课时列代数式1．理解代数式的概念，能用代数式表示简单实际问题中的数量关系；2．在具体情境中，能求出代数式的值，并解释它的实际意义．重点理解代数式的概念，能用代数式表示简单实际问题中的数量关系．难点学会求出代数式的值，并解释它的实际含义．一、导入新课课件出示问题：如图为一阶梯的纵截面，一只老鼠沿阶梯的两边A －B －C 的路线逃跑，一只猫同时沿阶梯(折线)A －C －B 的路线去追，结果在距离C 点0.6 m 的D 处猫捉住老鼠，已知老鼠的速度是猫的89 ，你能求出阶梯A －C 的长度吗？教师：要想解决这个问题，让我们先来学习本节课的内容．二、探究新知1．列代数式课件出示问题：列代数式，并求值．某景点的门票价格：成人票每张10元，学生票每张5元．(1)一个旅游团有成人x 人、学生y 人，那么该旅游团应付多少门票费？(2)如果该旅游团有37名成人、15名学生，那么他们应付多少门票费？解：(1)该旅游团应付门票费(10x ＋5y )元．(2)把x＝37，y＝15代入代数式10x＋5y，得10×37＋5×15＝445.因此，他们应付门票费445元．学生思考后汇报答案，教师追问：代数式10x＋5y还可以表示什么？.教师：通过上面的练习，同学们思考一下，实际问题中该怎样列代数式呢？关键是什么？学生分小组讨论后汇报答案，教师点评并进一步指出：(1)列代数式，要以不改变原题叙述的数量关系为原则(代数式的形式不唯一)；(2)要善于把较复杂的数量关系，分解成几个基本的数量关系；(3)把用日常生活语言叙述的数量关系列成代数式，是为今后学习列方程解应用题做准备，一定要牢固掌握．课件出示问题：营养学家通常用身体质量指数(简称BMI)衡量人体胖瘦程度，这个指数等于人体体重(单位：kg)与人体身高(单位：m)平方的商．对于成年人来说，BMI在18.5与24之间，体重适中；BMI低于18.5，体重过轻；BMI高于24，体重超重．(1)设一个人的体重为w kg，身高为h m，请用含w，h的代数式表示这个人的BMI.(2)张老师的身高为1.75 m，体重为65 kg，他的体重是否适中？(3)BMI对未成年人的胖瘦程度也有一定参考意义，请计算你的BMI.2．求代数式的值填写下表，并观察5n＋6和n2这两个代数式的值的变化情况．(1)随着n的值逐渐变大，5n＋6和n2这两个代数式的值如何变化？(2)估计一下，哪个代数式的值先超过100?学生举手回答，教师进一步讲解：我们知道，表示数的字母具有任意性和确定性，如5n＋6中n可取任何有理数，当给出未知数(字母)的值时，如n＝5，则5n＋6就是一个确定的值．一般地，用具体数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫作代数式的值．课件出示练习：当x＝7，y＝4，z＝0时，求代数式x(2x－y＋3z)的值．学生解答并写出解答过程，教师点评并提出问题：求代数式的值应分哪几步？学生：求代数式的值的步骤：(1)代入；(2)计算．教师点评，并指出求代数式的值时需注意：(1)格式规范；(2)适当添加括号；(3)灵活运用整体代入．三、课堂练习1．教材第79页“随堂练习”第1～3题．四、课堂小结1．怎样列代数式？2．怎样求代数式的值？3．列代数式时应该注意哪些事项？五、课后作业1．教材第82页习题3.1第2，3，4题．代数式是以后数学学习的基础．本节课通过生动的实例，导入新课．在教学过程中，讲练相结合，使学生深刻了解列代数及求代数式的值的意义．在课堂上，让学生充分观察、思考、分析和讨论，帮助学生在不断地纠错、归纳、创新中学习新知识．利用实际例子，引出代数式在实际背景下所表示的意义，激发了学生的学习兴趣，让学生感受到现实生活离不开数学，从而进一步调动了学生学习数学的积极性．在解题的过程中，注意规范学生的书写格式，对于发现的问题及时处理．第3课时整式1．理解单项式及单项式的系数、次数的概念，会确定一个单项式的系数和次数；2．掌握多项式及其项、次数的概念，会确定一个多项式的项和次数；3．理解整式的概念，会判断一个代数式是否为整式．重点掌握单项式、多项式及其相关概念和整式的概念．难点单项式的系数和次数，多项式的次数与项数．一、导入新课课件出示问题：请用含字母的式子表示：一个组合柜如图3－2所示，内部用隔板纵向分隔成5个独立的小柜子(如图3－3)，柜门由5个完全相同的长方形组成．(1)若要在5个柜门的周边都贴上装饰条，则所需装饰条的总长度是多少？(2)若要给柜门外表面喷漆，则需要喷漆的面积是多少(边框缝隙忽略不计)?(3)设柜子的进深为c(如图3－2)，则整个柜子的容积是多少(柜门、隔板及背板的厚度忽略不计)?二、探究新知1．单项式教师：观察上面所列代数式，它们包含哪些运算？有何共同运算特征？学生小组讨论后，派代表回答，教师适当点拨．并讲解单项式的概念：即由数与字母的乘积组成的代数式称为单项式，单独一个数或一个字母也是单项式，如5ab，5abc，3v，6p.课件出示问题：下列代数式中哪些是单项式？(1)abc；(2)b2；(3)－5ab2；(4)y；(5)－xy2；(6)－5.学生完成后举手回答．教师直接引导学生进一步观察单项式的结构，总结出单项式是由数字因数和字母因数两部分组成的．以四个单项式a2h，2πr，abc，－m为例，让学生说出它们的数字因数是什么，从而引入单项式的系数的概念并板书：单项式中的数字因数叫作这个单项式的系数．接着让学生说出以上几个单项式的字母因数是什么，各字母的指数分别是多少，从而引入单项式的次数的概念并板书：单项式中所有字母的指数和叫作单项式的次数．课件出示练习：判断下列说法是否正确．(1)－7xy2的系数是7；(2)－x 2y 3和x 3都没有系数；(3)－ab 3c 2的次数是0＋3＋2；(4)－a 3的系数是－1；(5)－32x 2y 3的次数是7；(6)πr 2h 的系数是π.学生完成后汇报答案，教师点评并强调：(1)圆周率π是常数；(2)当一个单项式的系数是1或－1时，“1”通常省略不写，如x 2，－a 2b 等；(3)单项式的次数只与字母的指数有关．指数是1，省略不写，但求和时不能省略．2．多项式课件出示问题：(1)一个数比x 的2倍小3，则这个数是________；(2)x 的13 与y 的12 的差是________.教师：观察以上两小题所得出的代数式，它们与单项式有何区别与联系？学生思考后举手回答，教师补充完善．教师引导学生自己归纳出多项式的概念，并补充完善：像这样，几个单项式的和叫作多项式．在多项式中，每个单项式叫作多项式的项．其中，不含字母的项，叫作常数项．例如，多项式x 2－2x ＋5有三项，它们是x 2，－2x ，5，其中5是常数项．一个多项式含有几项，就叫作几项式．多项式中次数最高的项的次数，叫作这个多项式的次数．例如，多项式2x2＋3x－1是一个二次三项式．单项式和多项式统称为整式．课件出示练习：判断下列说法是否正确．(1)多项式a3－a2b＋ab2－b3的项为a3，a2b，ab2，b3，次数为12；(2)多项式3n4－2n2＋1的次数为4，常数项为1.学生完成后汇报答案，教师点评并强调：多项式的次数不是所有项的次数之和，而是最高次项的次数．三、课堂练习1．请列出下列问题中的代数式，并指出其中：①哪些是单项式？单项式的系数和次数分别是多少？②哪些是多项式？多项式的次数是多少？(1)如图3－4，一个十字形花坛铺满了草皮，这个花坛草地面积是多少？(2)当水结冰时，其体积大约会比原来增加1/9，x m3的水结成冰后体积是多少？(3)如图3－5，一个长方体的箱子紧靠墙角，它的长、宽、高分别是a ，b ，c .这个箱子露在外面的表面积是多少？(4)某件商品的成本价为a 元，按成本价提高15%标价，后又以八折(即按标价的80%)销售，这件商品的售价为多少元？2．教材第82页“随堂练习”．3．填空．(1)若正方形的边长为a ，则正方形的面积是a 2；(2)若三角形的一边长为a ，且这边上的高为h ，则这个三角形的面积为12 ah ；(3)若正方体的棱长为x ，则正方体的表面积是6x 2；(4)若m 为有理数，则它的相反数是－m ；(5)小明每个月从零花钱中储存x 元钱用来捐款，一年下来小明捐款12x 元．【答案】1.(1)ab －4c 2，多项式，次数是2 (2)109 x ，单项式，次数是1 (3)ab ＋ac ＋bc ，多项式，次数是2 (4)0.92a ，单项式，次数是1四、课堂小结1．单项式及单项式的系数、次数分别是什么？2．多项式及其次数、项数、常数项分别是什么？3．什么是整式？五、课后作业教材第82页习题3.1第5，6，8，9题．“整式”属于“代数式”的领域，是在学习了用字母表示数，用代数式表示实际问题中的数量关系的基础上，进一步研究用含字母的式子表示实际问题的数量关系．整式是代数式中最基本的式子，是实际的需要，也是今后学习分式、一元二次方程等知识的基础，起到承前启后的作用．整式中有些概念，学生刚学时不易理解，比如单项式的系数和次数、多项式的项与次数等，教学时可通过简单生动的事例，帮助学生区分、理解和掌握这些概念．对概念和纯文字的叙述，不要仅追求精确的形式，而是更加去注重其实质的理解与领悟．。

中考数学专题复习第一轮第二讲代数式★重点★代数式的有关概念及性质，代数式的运算一、重要概念分类：1.代数式、有理式、无理式用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。

单独的一个数或字母。

没有根号的代数式叫有理式。

如：a、。

22a b+2.整式和分式分母中含有字母的代数式叫做分式。

如：。

分母中不含有字母的代数式叫做整式。

1a整式和分式统称有理式，或含有加、减、乘、除、乘方运算的代数式叫做有理式。

3.单项式与多项式数字和字母之间，字母和字母之间只有乘除运算的代数式叫单项式。

如：，23a bc 。

单独的一个数或字母也是单项式。

如：、0、-3。

几个单项式的和或差，叫213a bc a做多项式。

说明：①根据除式中有否字母，将整式和分式区别开;根据整式中有否加减运算，把单项式、多项式区分开。

②进行代数式分类时，是以所给的代数式为对象，而非以变形后的代数式为对象。

划分代数式类别时，是从外形来看。

如为分式。

xx4.系数与指数区别与联系：①从位置上看;②从表示的意义上看5.同类项及其合并条件：①字母相同;②相同字母的指数相同。

合并依据：乘法分配律6.根式表示方根的代数式叫做根式。

含有关于字母开方运算的代数式叫做无理式。

注意：①从外形上判断;②区别：、是根式，但不是无理式，是无理数。

377.各种方根的概念1.平方根:如果一个数的平方等于另一个数,那么这个数叫另一个数的平方根.即:2,a aχχχ==叫的平方根记作2.算术平方根：一个正数的平方等于另一个数，这个正数叫另个一数的算术平方根。

a单项式多项式整式分有理式无理式代数式配还发兄弟体活⑴正数a 的正的平方根（[a≥0—与“平方根”的区别]）;a ⑵算术平方根与绝对值①联系：都是非负数，=│a│2a ②区别：│a│中，a 为一切实数;中，a 为非负数。

a 3.立方根：一个数的立方等于另一个数，这个数叫另个一数的立方根。

如：3,a a χχχ==叫的立方根 记作 8.同类二次根式、最简二次根式、分母有理化化为最简二次根式以后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。

高中数学解决代数问题教案
课时安排：1课时
教学内容：代数问题的解决方法
教学目标：学生掌握代数问题的解决方法，培养学生的数学思维和解决问题的能力。

教学重点：代数问题的解决方法
教学难点：具体问题的分析和解答
教学步骤：
一、导入（5分钟）
老师通过一个简单的代数问题引入本课的内容，激发学生对代数问题解决方法的兴趣。

二、讲解代数问题的解决方法（15分钟）
1. 代数问题的基本形式
2. 代数问题的解题步骤
3. 代数问题的常见解题技巧
三、练习（25分钟）
老师出示几个代数问题，让学生独立解答并给出解题思路，引导学生灵活应用代数知识解决问题。

四、总结（5分钟）
对今天的学习内容进行总结，强调代数问题解决方法的重要性，鼓励学生多加练习，提高解题能力。

五、作业布置（5分钟）
布置相关代数问题的作业，巩固学生所学的知识。

教学反思：
通过本节课的教学，学生能够清晰地了解代数问题的解决方法，提高了解决代数问题的能力和灵活运用代数知识的能力。

教师应该多引导学生多进行实际操作，增加解题的能力和信心。

3.6 整式的加减【教学目标】知识与技能：用整式加减的运算法则进行整式加减运算.过程与方法：经历探索整式的加减运算的法则的过程.情感态度与价值观：培养学生观察、归纳、类比、概括等能力.【重难点】重点：会进行整式加减的运算，并能说明其中的道理.难点：灵活准确的运用整式的加减的步骤进行运算．【教学过程】活动一：创设情境，导入新课教师：今天我们来做个游戏.按照下面的步骤做一做：（1）任意写一个两位数；（2）交换这个两位数的十位数字和个位数字，又得到一个数；（3）求这两个数的和.再写几个两位数重复上面的过程.这些和有什么规律？这个规律对任意一个两位数都成立吗？如果用a，b分别表示一个两位数的十位数字和个位数字，那么这个两位数可以表示为10a+b.交换这个两位数的十位数字和个位数字，得到的数是10b+a.这两个数相加为（10a+b）+（10b+a）= .根据运算结果，你能解决上面的问题吗？活动二：实践探究，交流新知【探究】【探究】整式加减的法则学生自己解答上面的问题，得到（10a+b）+（10b+a）=11a+11b.让学生一起来看以下问题：两个数相减后的结果有什么规律？这个规律对任意一个三位数都成立吗？学生：按照步骤可以列出式子（100a+10b+c）-（100c+10b+a）=99a-99c=99（a-c）.也就是，任意一个三位数，经过上述运算程序后结果一定是99的倍数.教师提问：在上面的两个问题中，分别涉及整式的什么运算？说一说你是如何运算的.学生：分别涉及整式的加法运算和减法运算，在运算的过程中，如果有括号先去括号，再合并同类项.教师归纳整式加减的法则：一般地，进行整式加减运算时，如果遇到括号要先去括号，再合并同类项.活动三：例题讲解例1 求2a2－4a＋1与－3a2＋2a－5的差．解：（2a2－4a＋1）－（－3a2＋2a－5）＝2a2－4a＋1＋3a2－2a＋5＝5a2－6a＋6．处理方式：本题首先带领学生根据题意列出式子，强调要把两个代数式看成整体，列式时应加上括号.例2 求12x-2（x-13y2）+（-32x+13y2）的值，其中x=-2，y=23．解：12x-2（x-13y2）+（-32x+13y2）=12x-2x+23y2-32x+13y2=（12-2-32）x+（23+13）y2=-3x+y2当x=-2，y=23时，原式=-3×（-2）+（23）2=6+49=649.处理方式：学生计算，请学生板书解题过程，教师提示：先去括号，合并同类项化简后，再代入数值进行计算比较简便，去括号时，特别注意符号问题．最后教师归纳总结：求代数式的值时，应先将代数式进行去括号、合并同类项等化简，再代值进行计算.【当堂反馈】1.求下列各式的值：（1）(－3x2－x＋2)＋(4x2＋3x－5)；（2）(4a2－3a)＋(2a2＋a－1)；（3）(x2＋5xy－y2)－(x2＋3xy－2y2)；（4）2(1－a＋a2)－3(2－a－a2)．2.求5(3a2b－ab2)－4(－ab2＋3a2b)的值，其中a＝－2，b＝3．【课后小结】1．怎样进行整式的加减？2．通过本节课的学习你还有哪些疑问？3．本节课涉及哪些数学思想方法？【教学反思】。

绝对值与代数式运算1．当a ，b ，c 同号时，求||||||a b c a b c ++的值． 【答案】解：当a ，b ，c 都为正数时，原式3a b c a b c =++=； 当a ，b ，c 都为负数时，原式3a b c a b c=---=-， 所以||||||a b c a b c ++的值为3或3-． 2．已知：a ，b ，c 均为非零有理数，求||||||a b c a b c ++的值． 【答案】解：对a ，b ，c 的取值情况分类讨论如下：①当a ，b ，c 都是正数时，3||||||a b c a b c ++=； ②当a ，b ，c 都是负数时，1||||||a b c a b c ++=-，所以和为3-； ③当a ，b ，c 中有两个正数，一个负数时，||a a 、||b b 、||c c 中有两个1，一个1-，所以和为1．④当a ，b ，c 中有一个正数、两个负数时，||a a 、||b b 、||c c 中有两个1-，一个1+，所以和为1-． 总之，1||||||a b c a b c ++=±或3±． 3．若0ab >，求||||||a b ab a b ab ++的值． 【答案】解：当0a >，0b >时，1113||||||a b ab a b ab ++=++=； 当0a <，0b <时，1111||||||a b ab a b ab ++=--+=-． 4．已知0abc ≠，那么||||||a b c a b c ++的可能的值有 ；0abc ≠，0a b c ++=，则||||||||a b c abc a b c abc +++= ． 【答案】解：a ，b ，c 是非零有理数，∴（1）当0a >，0b >，0c >时，1113||||||a b c a b c ++=++=； （2）当0a <，0b <，0c <时，1113||||||a b c a b c ++=---=-； （3）当0a >，0b >，0c <时，1111||||||a b c a b c ++=+-=；同理，0a >，0b <，0c >；0a <，0b >，0c >时原式的值均为1．（4）当0a <，0b <，0c >时，1111||||||a b c a b c ++=--+=-； 同理，当0a <，0b >，0c <；0a >，0b <，0c <时原式的值均为1-． 故||||||a b c a b c ++的可能的值有3±，1±； 由已知可得：a ，b ，c 为两正一负或两负一正．①当a ，b ，c 为两正一负时：1||||||a b c a b c ++=，1||abc abc =-，故0||||||||a b c abc a b c abc +++=， ②当a ，b ，c 为两负一正时：1||||||a b c a b c ++=-，1||abc abc =．故0||||||||a b c abc a b c abc +++= 由①②知0||||||||a b c abc a b c abc +++=． 故答案为：3±，1±；0．5．阅读下列材料完成相关问题：已知a ，b 、c 是有理数（1）当0ab >，0a b +<时，求||||a b a b +的值； （2）当0abc ≠时，求||||||a b c a b c ++的值； （3）当0a b c ++=，0abc <，||||||b c a c a b a b c ++++-的值． 【答案】解：（1）0ab >，0a b +<，0a ∴<，0b < ∴112||||a b a b +=--=-； （2）当a 、b 、c 同正时，1113||||||a b c a b c ++=++=； 当a 、b 、c 两正一负时，1111||||||a b c a b c ++=+-=； 当a 、b 、c 一正两负时，1111||||||a b c a b c ++=--+=-； 当a 、b 、c 同负时，1113||||||a b c a b c ++=---=-； （3）0a b c ++=， b c a ∴+=-，a c b +=-，a b c +=- ∴||||||b c a c a b a b c ++++- ||||||a b c a b c ---=+-||||||a b c a b c =--+ 又0abc <，∴当0c <，0a >，0b >时，原式||||||a b c a b c =--+ 1113=---=-；当0c >，0a >，0b <时，原式||||||a b c a b c =--+ 1111=-++=；当0c >，0a <，0b >时，原式||||||a b c a b c =--+ 1111=-+=．6．分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简||a 时，可以这样分类：当0a >时，||a a =；当0a =时，||0a =；当0a <时，||a a =-．用这种方法解决下列问题：（1）当5a =时，求||a a的值． （2）当2a =-时，求||a a 的值． （3）若有理数a 不等于零，求||a a的值． （4）若有理数a 、b 均不等于零，试求||||a b a b +的值． 【答案】解：（1）当5a =时，||1a a=；（2）当2a =-时，1||a a =-； （3）若有理数a 不等于零，当0a >时，||1a a=，当0a <时，||1a a =-； （4）若有理数a 、b 均不等于零，当a ，b 是同正数，||2||a b a b +=， 当a ，b 是同负数，||2||a b a b +=-， 当a ，b 是异号，||0||a b a b+=．7．在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的“探究”【提出问题】三个有理数a、b、c满足0abc>，求||||||a b ca b c++的值．【解决问题】解：由题意得：a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数．①当a，b，c都是正数，即0a>，0b>，0c>时，则：||||||1113a b c a b ca b c a b c++=++=++=；②当a，b，c有一个为正数，另两个为负数时，设0a>，0b<，0c<，则：||||||1111 a b c a b ca b c a b c--++=++=--=-所以：||||||a b ca b c++的值为3或1-．【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题：（1）三个有理数a，b，c满足0abc<，求||||||a b ca b c++的值；（2）已知||3a=，||1b=，且a b<，求a b+的值．【答案】解：（1）0abc<，a∴，b，c都是负数或其中一个为负数，另两个为正数，①当a，b，c都是负数，即0a<，0b<，0c<时，则：||||||1113a b c a b ca b c a b c---++=++=---=-；②a，b，c有一个为负数，另两个为正数时，设0a<，0b>，0c>，则||||||1111a b ca b c++=+-=．（2）||3a=，||1b=，且a b<，3a∴=-，1b=或1-，则2a b+=-或4-．8．（1）【问题发现】数学小组遇到这样一个问题：若a ，b 均不为零，求||||a b x a b =+的值． 小明说：“考虑到要去掉绝对值符号，必须对字母a ，b 的正负作出讨论，又注意到a ，b 在问题中的平等性，可从一般角度考虑两个字母的取值情况．” 解：①当两个字母a ，b 中有2个正，0个负时，||||112a b x a b =+=+=； ②当两个字母a ，b 中有1个正，1个负时，无论谁正谁负，x 都等于0； ③当两个字母a ，b 中有0个正，2个负时，||||112a b x a b =+=--=-； 综上，当a ，b 均不为零，求x 的值为2-，0，2．（2）【拓展探究】若a ，b ，c 均不为零，求||||||a b c x a b c =+-的值． （3）【问题解决】若a ，b ，c 均不为零，且0a b c ++=，直接写出代数式||||||b c a c a b a b c +++++的值． 【答案】解：（2）①当a ，b ，c 都为正数时：||||||1111a b c x a b c =+-=+-=． ②当a ，b 为正，c 为负时：||||||1113a b c x a b c =+-=++=． 当a ，c 为正，b 为负时：||||||1111a b c x a b c =+-=--=-． 当b ，c 为正，a 为负时：||||||1111a b c x a b c=+-=-+-=-． ③当a ，b 为负，c 为正时：||||||1113a b c x a b c =+-=---=-． 当a ，c 为负，b 为正时：||||||1111a b c x a b c =+-=-++=． 当b ，c 为负，a 为正时：||||||1111a b c x a b c=+-=-+=． ④当a ，b ，c 都为负数时：||||||1111a b c x a b c =+-=--+=-． 综上所述||||||a b c x a b c=+-的值为1或3或3-或1-． （3）a ，b ，c 均不为零，且0a b c ++=，a ∴，b ，c 为两正一负或两负一正．∴①当a ，b ，c 为两正一负时：1111||||||||||||b c a c a b a b c a b c a b c +++++=---=--+=-．②当a ，b ，c 为两负一正时：1111||||||||||||b c a c a b a b c a b c a b c +++++=---=+-=． 9．已知a ，b ，c 都不等于零，且||||||||a b c abc a b c abc ++-的最大值是m ，最小值为n ，求m n mn的值．【答案】解：当a ，b ，c 三个都大于0，可得2||||||||a b c abc a b c abc ++-= 当a ，b ，c ，都小于0，可得2||||||||a b c abc a b c abc ++-=- 当a ，b ，c 一正二负，可得2||||||||a b c abc a b c abc ++-=- 当a ，b ，c 二正一负可得2||||||||a b c abc a b c abc ++-= 2m ∴=，2n =-∴原式1=- 10．有理数a 、b 在数轴上的对应点位置如图所示（1）用“<”连接0、a -、b -、1-（2）化简：1||2|1||1|3a ab b a -+---- （3）若2(1)0c a +<，且0c b +>，求|1||1|||11c c a b c c c a b c+--++-+--+的值．【答案】解：（1）由数轴可得： 10b a -<-<<-；（2）原式12(1)(1)3a ab b a =-++---- 455333a b =+-； （3）2(1)0c a +<，且0c b +>， 0c ∴<，10b >>，||c b ∴<，原式1(1)()11c c a b c c c a b c +----+=+-+--+ 111=-+1=．。

第13讲 代数法解题一、知识要点有一些数量关系比较复杂的分数应用题，用算术方法解答比较繁、难，甚至无法列式算式，这时我们可根据题中的等量关系列方程解答。

二、精讲精练【例题1】某车间生产甲、乙两种零件，生产的甲种零件比乙种零件多12个，乙种零件全部合格，甲种零件只有54合格，两种零件合格的共有42个，两种零件个生产了多少个？练习1：1、某校参加数学竞赛的女生比男生多28人，男生全部得优，女生的43得优，男、女生得优的一共有42人，男、女生参赛的各有多少人？2、有两盒球，第一盒比第二盒多15个，第二盒中全部是红球，第一盒中的52是红球，已知红球一共有69个，两盒球共有多少个？3、六年级甲班比乙班少4人，甲班有31的人、乙班有41的人参加课外数学组，两个班参加课外数学组的共有29人，甲、乙两班共有多少人？【例题2】阅览室看书的学生中，男生比女生多10人，后来男生减少41，女生减少61，剩下的男、女生人数相等，原来一共有多少名学生在阅览室看书？练习2：1、某小学去年参加无线电小组的同学比参加航模小组的同学多5人。

今年参加无线电小组的同学减少51，参加航模小组的人数减少101，这样，两个组的同学一样多。

去年两个小组各有多少人？2、原来甲、乙两个书架上共有图书900本，将甲书架上的书增加85，乙书架上的书增加103，这样，两个书架上的书就一样多。

原来甲、乙两个书架各有图书多少本？【例题3】甲、乙两校共有22人参加竞赛，甲校参加人数的51比乙校参加人数的41少1人，甲、乙两校各有多少人参加？练习3：1、学校图书馆买来文艺书和连环画共126本，文艺书的比连环画的少7本，图书馆买来的文艺书和连环画各是多少本？2、某小有学生465人，其中女生的23比男生的45少20人，男、女生各有多少人？【例题4】甲书架上的书是乙书架上的65，两个书架上各借出154本后，甲书架上的书是乙书架上的74，甲、乙两书架上原有书各多少本？练习4：1、儿子今年的年龄是父亲的61，4年后儿子的年龄是父亲的41，父亲今年多少岁？2、某校六年级男生是女生人数的32，后来转进2名男生，转走3名女生，这时男生人数是女生的43。