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第三章布尔代数与逻辑函数化简

第三章布尔代数与逻辑函数化简
F = A B C + BC( A + A) + A C ( B + B) = A B C + ABC + A BC + AB C + A B C
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
和 ( A + A)
_
乘第二项和第三项， ( B + B)
_
(2) 真值表法。将原逻辑函数A、B、C 取不同 值组合起来，得其真值表，而该逻辑函数是将F=1 那些输入变量相或而成的，如表3 - 3所示。
_ _ _ _
_
_
_ _
= A B + A B + ( A B + A B )CD
令 A B + A B = G, 则
F = G + G CD = G + CD = A B + A B + CD
_ _ _
_ _
_
_
_
_
3. 应用多余项定律 ( AB + A C + BC = AB + A C )
例 10 解 化简
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
此例就是用 (C + C ) 和 ( A + A) 分别去乘第三项和第四项， 然后再进行化简。
_
_
6. 添项法
在函数中加入零项因子 x . x 或 x . x f ( AB . ..) ，利用 加进的新项，进一步化简函数。 例 14 化简 = AB C + ABC AB 。 F
第三章 布尔代数与逻辑函数化简
3.1 3.2 3.3 基本公式和规则 逻辑函数的代数法化简 卡诺图化简

第02讲 逻辑函数的化简：代数法

第02讲 逻辑函数的化简：代数法

用与门、或门和非门进行逻辑综合
行号 0 1 2 3 x 0 0 1 1 y 0 1 0 1 f(x,y) 0 1 1 1
f xy xy xy
(1 16)
f x y
(1 17)
优化结果
f xy xy xy
(1 16)
f x y
(1 17)
公式法化简逻辑函数
f1 x2 x3
逻辑代数的基本规则（续）

反演规则：德·摩根定律的一般形式称为反 演规则
x n x n1 ... x i ... x 2 x 1 x n x n1 ... x i ... x 2 x 1
x n x n1 ... x i ... x 2 x 1 x n x n1 ... x i ... x 2 x 1
0 0
x2
0
x3
0 1 0 1
f0
1 0 1 1
x3
0 1 0 1 0 1 0 1
f 0
1 0 1 1 0 0 1 0
0 1 1
0
1 1 0 0
f 0 x2 x3 x2 x3 x2 x3
x1 x2
0
x3
0 1 0 1
f1
0 0 1 0
1
1 1
1
0 1 1
f x1 x2 x3 x1 x2 x3 x1 x2 x3 x1 x2 x3 x（ x（ 1 x2 x3 x2 x3 x2 x3 ） 1 x2 x3） x1 f 0 x1 f1
（配项法，式1 - 5b）
( 结合律，式1 7b ) ( 吸收率，式1 10b）
公式法化简逻辑函数（续）

逻辑函数化简(代数化简法)

逻辑函数化简(代数化简法)
Y=(A+B)(A+C)
4）最第二简章或逻非辑-或代数非基表础达式
非号最少、并且每个非号下面相加的变量也最少的或非-或 非表达式。
Y = AB + AC = (A+B)(A+C) = (A+B)(A+C) = A+B+A+C
②两次取反
①求最简或与-或与表达式
③用摩根定律去 掉下面的大非号
５）最简与或非表达式
第二章 逻辑代数基础
第四讲
逻辑函数表达式的化简
第二章 逻辑代数基础
上讲内容回顾
• 逻辑函数表达式的标准形式
最小项 最大项
• 逻辑函数表达式的转换
第二章 逻辑代数基础
本讲内容
内容： 逻辑函数的公式化简法
目的与要求： 理解化简的意义和标准； 掌握代数化简的几种基本方法并能熟练运用； 掌握用扩充公式化简逻辑函数的方法。
②A+AB＝A ③A+AB＝A+B
· A+AB=A(1+B)=A 1=A · A+AB=(A+A)(A+B)=1 (A+B)=A+B
④AB+AC+BC＝ AB+AC
原式=AB+AC+BC(A+A) =AB+AC+ABC+ABC =AB(1+C)+AC(1+B) AB+AC
第④式的推广：AB+AC+BCDE=AB+AC
第二章 逻辑代数基础
（3）摩根定律 又称为反演律，有下列2种形式（可用真值表证明）。 A•BAB ABA•B
第二章 逻辑代数基础

第3章 布尔代数与逻辑函数化简

第3章 布尔代数与逻辑函数化简

布尔代数与逻辑函数化简
(二) 逻辑代数的特殊定理
吸收律 A + AB = A
A + AB = A (1 + B) = A
布尔代数与逻辑函数化简
(二) 逻辑代数的特殊定理
吸收律 A + AB = A 推广公式：
摩根定律(又称反演律) 推广公式： A+B A B A· B A B A+B A · B 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 A 0 0 思考：(1) 若已知 A + B = 1 + C，则 B = C 吗？ 1 0 1 1 1 0 0 0 (2) 若已知 AB = AC，则 B = C 吗？ 1 1 0 0 1 1 0 0
逻辑变量与常量的运算公式
0–1律 0+A=A 1+A=1 1· =A A 0· =0 A
重叠律
A+A=A A· =A A
互补律
还原律
布尔代数与逻辑函数化简
二、基本定律
(一) 与普通代数相似的定律
交换律 结合律 分配律 A+B=B+A (A + B) + C = A + (B + C) A (B + C) = AB + AC A· =B· B A (A · · = A · · B) C (B C) A + BC = (A + B) (A + C) 普通代数没有！ 逻辑等式的 证明方法 利用真值表
例如 A 0 0 0 0 1 1 1 1 B 0 0 1 1 0 0 1 1 C 0 1 0 1 0 1 0 1 Y 1 0 0 0 0 0 0 1
逻辑式为
ABC
布尔代数与逻辑函数化简

逻辑代数基本原理及公式化简

逻辑代数基本原理及公式化简

2.1.3 逻辑代数的基本规则
4、附加公式
附加公式二： 一个包含有变量x、x 的函数f，可展开为 x·f和
x·f的逻辑或。 一个包含有变量x、x 的函数f，可展开为（x+f）和
（x+f）的逻辑与。
利用附加公式一，可以改写为：
2.1.3 逻辑代数的基本规则
4、附加公式
例题：化简函数 AB BD （A B）(A B)(B E)
2.1.2 逻辑代数的基本公式
基本公式验证方法： 真值表 利用基本定理化简公式 例：真值表验证摩根定律
A B A B A＋B A＋B A B 00 1 1 1 1 01 1 1 0 0 10 1 1 0 0 11 0 0 0 0
A______•____B______
__ __
A B
__ __
A B A • B
2.1.2 逻辑代数的基本公式
真值表 利用基本定理化简公式 例：证明包含律
AB AC BC AB AC
证明：
AB（C C） AC(B B ) BC(A A) 1律、互补律 ABC ABC ABC ABC ABC ABC 分配律 ABC ABC ABC ABC 重叠律 AB AC 分配律、互补律
比较两种方法，应用反演规则比较方便。
2.1.3 逻辑代数的基本规则
2、反演规则
例题：求下列函数的反函数 1、F AB CD 2、F A B BCD
2.1.3 逻辑代数的基本规则
3、对偶规则
如果将逻辑函数F 中所有的“”变成“+”,“+”变
成“”,“0”变成“1”,“1”变成“0”, 则所得到的新
A
F
A1 F
非门 （A是输入，F是输出）

逻辑代数及逻辑函数化简

逻辑代数及逻辑函数化简
与或表达式化简
例：
展开： 结合： 互补律： 互补律：
F A(BC BC) ABC ABC ABC ABC ABC ABC (ABC ABC) (ABC ABC) AC(B B) AC(B B) AC AC A
（2）吸收项法：利用吸收律和包含律等公 式来减少“与”项数。
5.或非门
F AB
实现“或非”逻辑
(NOR——NOT-OR)
A+
B
F
A B C
真值表
AB 00 10 01 11
F
F 1 0 0 0
6.“与或非”门
7.异或门
8.同或门
2.2逻辑函数化简
（1）公式化简法 （2）图解化简法 （3）表格法
2.2.1 公式法化简逻辑函数
逻辑函数化简的目的: 省器件！用最少的门实现 相同的逻辑功能，每个门的输入也最少。
例：三变量函数的最小项：
变量的各组取值 对应的最小项及其编号
ABC
000 100 010 110 001 101 011 111
最小项
A BC
AB C
A BC
A BC A BC A BC A BC A BC
编号
mo
m1 m2 m3
m4 m5 m6
m7
编号规则:原变量取1,反变量取0。
最小项(续)
注意：变量的顺序.
因: f ( A1, A2,, An ) f ( A1, A2,, An ) 1
2n 1
而 f ( A1, A2,, An ) f ( A1, A2,, An ) mi
i0 2n 1
所以 mi 1 i0
即n个变量的所有最小项之和恒等于1。
⑵ 最小项的性质 ：

逻辑函数的化简

AB CD 00 01 11 10 00 1 0 0 1 01 1 0 0 1 11 × × × × 10 1 0 × ×
不利用随意项 的化简结果为：
Y AD AC D
利用随意项的化 简结果为：
Y D
3、变量互相排斥的逻辑函数的化简 在一组变量中，如果只要有一个变量取值为1，则其它变量 的值就一定为0，具有这种制约关系的变量叫做互相排斥的变量。 变量互相排斥的逻辑函数也是一种含有随意项的逻辑函数。
ＢＣ的公因子
3、卡诺图的性质 （1）任何两个（21个）标1的相邻最小项，可以合并为一项， 并消去一个变量（消去互为反变量的因子，保留公因子）。
AB C 0 1 00 1 0 01 0 1 11 0 1 10 1 0
A B C AB C BC
A BC ABC
AB CD 00 01 11 10 00 0 0 0 0 01 1 0 0 1 11 0 0 0 0
A BC A BC ABC ABC ( A C A C AC AC) B B
AB CD 00 01 11 10 00 0 1 0 0 01 1 1 1 1 11 0 1 1 0 10 0 1 0 0
CD
AB
AB CD 00 01 11 10 00 0 1 1 0 01 1 0 0 1 11 1 0 0 1 10 0 1 1 0
ＡＤ
ＢＤ
AB CD 00 01 11 10 00 1 0 0 1 01 0 1 1 0 11 0 1 1 0 10 1 0 0 1
ＢＤ
ＢＤ
（3）任何8个（23个）标1的相邻最小 项，可以合并为一项，并消去3个变量。
AB CD 00 01 11 10 00 0 1 1 0 01 0 1 1 0 11 0 1 1 0 10 0 1 1 0

第四课时逻辑函数的代数化简法

1.6.1化简逻辑函数的意义
化 使逻辑式最简，以便设计出最简的逻辑电路， 简 从而节省元器件、优化生产工艺、降低成本和提 意 义 高系统可靠性。 不同形式的逻辑式有不同的最简式，一般先求 取最简与-或式，然后通过变换得到所需最简式。
1.6.2 逻辑函数的公式化简法
运用逻辑代数的基本定律和公式 对逻辑式进行化简。
例如
ABC 011 3 m3
m4 4 100 ABC
三变量逻辑函数的最小项有 23 = 8 个
A B C 最小项 简记符号 输入组合对应 的十进制数 m0 0 0 0 0 ABC m1 1 0 0 1 ABC m2 2 0 1 0 ABC m3 3 0 1 1 ABC m4 4 1 0 0 ABC
三 变 量 最 小 项 表
A B C 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1
最小项值
ABC ABC ABC ABC ABC 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
AB ABC D ABC D ABCD ABC D
=AD AB ABC D ABC D ABCD ABC D =ACD +ACD 2 个相邻项合并消去 1 个变量，化简结果 为相同变量相与。
4 个相邻项合并消去 2 个变量， 化简结果为相同变量相与。
卡诺 图化 简法 步骤
画函数卡诺图
对填 1 的相邻最小项方格画包围圈
AB AB CD
A=0 配项法 通过乘 A+A=1 或加入零项 A· 进行配项，然后再化简。 [例]

1.1 逻辑函数的代数(公式)化简法

逻辑函数的代数（公式）化简法代数化简法的实质就是反复使用逻辑代数的基本公式和常用公式消去多余的乘积项和每个乘积项中多余的因子，以求得函数式的最简与或式。

因此化简时，没有固定的步骤可循。

现将经常使用的方法归纳如下：①吸收法：根据公式A+AB=A 可将AB 项消去，A 和B 同样也可以是任何一个复杂的逻辑式。

()F A A BC A BC D BC =+⋅⋅+++例：化简()()()()()()F A A BC A BC D BCA A BC A BC D BCA BC A BC A BC D A BC=+⋅⋅+++=+++++=+++++=+解:现将经常使用的方法归纳如下：②消因子法：利用公式A+AB=A +B 可将AB 中的因子A 消去。

A 、B 均可是任何复杂的逻辑式。

1F A AB BEA B BE A B E=++=++=++例：2()F AB AB ABCD ABCDAB AB AB AB CDAB AB AB ABCDAB AB CD=+++=+++=+++=++现将经常使用的方法归纳如下：③合并项法(1)：运用公式A B +AB=A 可以把两项合并为一项，并消去B 和B 这两个因子。

根据代入规则，A 和B 可以是任何复杂的逻辑式。

例：化简F BCD BCD BCD BCD=+++()()()()F BCD BCD BCD BCDBCD BCD BCD BCD BC D D BC D D BC BC B=+++=+++=+++=+=现将经常使用的方法归纳如下：③合并项法(2)：利用公式A+A=1可以把两项合并为一项，并消去一个变量。

例：1()1F ABC ABC BCA A BC BCBC BC =++=++=+=现将经常使用的方法归纳如下：③合并项法(2)：利用公式A+A=1可以把两项合并为一项，并消去一个变量。

例：2()()()()F A BC BC A BC BC ABC ABC ABC ABCAB C C AB C C AB AB A=+++=+++=+++=+=现将经常使用的方法归纳如下：例：1()()()()()(1)(1)()F AB AB BC BCAB AB C C BC A A BCAB ABC ABC BC ABC ABCAB ABC BC ABC ABC ABC AB C BC A AC B B AB BC AC=+++=+++++=+++++=+++++=+++++=++④配项法:将式中的某一项乘以A+A 或加A A ，然后拆成两项分别与其它项合并，进行化简。

6、逻辑代数的化简（公式法和卡诺图法）

6、逻辑代数的化简（公式法和卡诺图法）⼀、逻辑函数的化简将⼀个逻辑表达式变得最简单、运算量最少的形式就叫做化简。

由于运算量越少，实现逻辑关系所需要的门电路就越少，成本越低，可靠性相对较⾼，因此在设计逻辑电路时，需要求出逻辑函数的最简表达式。

由此可以看到，函数化简是为了简化电路，以便⽤最少的门实现它们，从⽽降低系统的成本，提⾼电路的可靠性。

通常来说，我们化简的结果会有以下五种形式为什么是这五种情况，这个跟我们实现的逻辑电路的元器件是有关系的。

在所有的逻辑电路中，都是通过与、或、⾮三种逻辑电路来实现的，之前说过逻辑“与或”、“或与”、“与或⾮”组合逻辑电路是具有完备性的，也就是说能够通过它们不同数量的组合能够实现任何电路。

通过不同的“与或”电路组成的电路，最后化简的表达式就是“与或”表达式，其他同理。

⼆、将使⽤“与或”表达式的化简表达式中乘积项的个数应该是最少的表达了最后要⽤到的与门是最少的，因为每⼀个乘积项都需要⼀个与门来实现。

同时也对应了或门输⼊端的个数变少，有2个与项或门就有2个输⼊端，有3个与项或门就有3个输⼊端。

所以第⼀个条件是为了我们的与门和或门最少。

每⼀个乘积项中所含的变量个数最少它是解决每⼀个与门的输⼊端最少。

逻辑函授的化简有三种⽅法三、逻辑函数的代数化简法3.1 并项法并项法就是将两个逻辑相邻（互补）的项合并成⼀个项，这⾥就⽤到了“合并律”将公因⼦A提取出来合并成⼀项，b和b⾮相或的结果就等于1，所以最后的结果就是A。

吸收法是利⽤公式“吸收律”来消去多余的项3.3 消项法消项法⼜称为吸收律消项法3.4 消因⼦法（消元法）3.4 配项法左边的例⼦⽤到了⽅法1，右边的例⼦⽤到了⽅法2。

3.5 逻辑函数的代数法化简的优缺点优点：对变量的个数没有限制。

在对定律掌控熟练的情况下，能把⽆穷多变量的函数化成最简。

缺点：需要掌握多个定律，在使⽤时需要能够灵活应⽤，才能把函数化到最简，使⽤门槛较⾼。

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AB AC (A A)BC
AB AC ABC ABC
AB(1 C) AC(1 B)
AB A C
2.1 逻辑代数
三.逻辑代数的基本规则：
u 1.代入规则：任何一个逻辑等式，若将等式两边出现的同一个 变量代之以一个逻辑函数，则等式依然成立。
例 分配律 C (A B) A C B C
如 L= A+BC 则 L´= A B C
F=A+BC F ' A B C
对偶规则的基本内容是：如果两个逻辑函数表达式相等， 那么它们的对偶式也一定相等。
即：若 F = L ,则 F´= L´
下面公式中的公式l和公式2就互为对偶式。
2.1 逻辑代数
2.1 逻辑代数
四.异或的运算定律 与或式
2.1 逻辑代数
u2.反演规则 将一个逻辑函数 L 进行下列变换： ·→＋，＋ →· 0 → 1，1 → 0 原变量 → 反变量，反变量 → 原变量。
所得新函数表达式叫做L的反函数→ L
利用反演规则，可以非常方便地求得一个函数的反函数的表达式
例 F AC B D 解： F (A C)(B D)
2.1 逻辑代数
吸收定律 A+AB=A
A AB A B
A·(A+B)=A
AA B AB
例 证明吸收律 A AB A B
证： A AB A(B B) AB AB AB AB
AB AB AB AB
A(B B) B(A A) A B
冗余律
例ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
AB+AC+BC=AB+AC ;
证明 ∵ A⊕ B=C ∴A⊕ B⊕ B=C⊕ B ∴A⊕ 0=C⊕ B ∴C⊕ B=A
2.1 逻辑代数
五.逻辑函数的代数变换和化简
1.变换
例 L A B A B A B A AB B AB
A B
& ≥1
A
L
B
A& B
&
&
L
&
2.1 逻辑代数
2.化简 一个逻辑函数的表达式不是唯一的，可以有多种形式， 并且能互相转换。
L ABCD
L A B C D
在应用反演规则求反函数时要注意以下两点： （1）保持运算的优先顺序不变，必要时加括号表明。 （2）变换中，几个变量（一个以上）的公共非号保持不变。
u3. 对偶规则
2.1 逻辑代数
将一个逻辑函数L进行下列变换 ·→＋，＋ →· 0 → 1，1 → 0
不改变运算顺序，所得新函数表达式叫做L的对偶式，用 L’ 表示。
第二章 逻辑代数
2.1 逻辑代数 2.2 逻辑函数的卡诺图化简法
2.1 逻辑代数
二.基本定律和恒等式
1. 基本公式 （公理）
与运算： 0۰0=0 或运算： 0+0=0
0۰1=0 0+1=1
1۰0=0 1+0=1
非运算： 0 1 1 0
2. 定律
常量与变量 运算律：
互补律：
重叠律： A+A=A
A۰ A=A
2.1 逻辑代数
例3化简： L AB AC BC CB BD DB ADE(F G) L ABC BC CB BD DB ADE(F G) （利用摩根律 ）
其中，与—或表达式是逻辑函数的基本形式 u 逻辑函数的最简“与—或表达式” 的标准
（1）与项最少，即表达式中“+”号最少。 （2）每个与项中的变量数最少，即表达式中“·”号最少。
2.1 逻辑代数
u常用化简法
（1）并项法。
运用公式 A A1 ，将两项合并为一项，消去一个变量。如 L A(BC BC ) A(BC BC ) ABC ABC ABC ABC
另外，也可运用第三项公式 AB AC AB AC BC
2.1 逻辑代数
例1：证明 AB AB A AB B AB
证明： AB AB AB AA AB BB A A B B A B
A AB B AB A AB B AB
A AB B AB
若用函数 F＝C＋D 代替等式中的变量C，则 (C D ) ( A B ) A (C D) B (C D)
AC AD BC BD
摩根定律 A B A B 若用函数F＝B＋C代替等式中的变量B A BC ABC ABC
A B C D A B C D A B C D A B C D
AB(C C) AB(C C) AB AB A
（2）吸收法。
运用吸收律 A+AB=A，消去多余的与项。如 L A B A B (C DE ) A B
（3）消去法。
运用吸收律 A AB A B 消去多余的因子。如
L A AB BE A B BE A B E
A ⊕ B=AB+AB
A☉B=AB+AB
A ⊕ B = AB AB A B A B A B AB =A☉B
交换律 A⊕ B = B⊕ A
结合律 (A⊕ B)⊕ C = A⊕ (B⊕ C)
分配律 A(B⊕ C)=AB⊕ AC
变量与常量的运算律 A 0 A
A A0
A1 A
A A1
因果交换律 若A⊕ B=C 则 A⊕ C=B ； B⊕ C=A
双重否定律： A A
1۰1=1 1+1=1
2.1 逻辑代数
结合律 (A+B)+C=A+(B+C) ; (AB)·C=A·(BC)
交换律 A+B=B+A ;
AB=BA
分配律 A·(B+C)=AB+AC ; A+BC=(A+B)(A+C)
摩根定律 A B A B ; A B A B
例 用真值表法证明摩根定律（反演律）：A B A B
例2：化简逻辑函数为最简与或式 （与项中的因子只能是原变量和反变量）
L AD AD AB AC BD ABEF BEF
L A AB AC BD ABEF BEF （利用 AA1 ）
A AC BD BEF （利用A+AB=A）
A C BD BEF （利用 AAB AB ）
L AB AC BC AB A B C AB ABC AB C
2.1 逻辑代数
（4）配项法 先通过乘以 A A 或加上 A A ，增加必要的乘积项，
在进行化简。如
L AB AC BCD AB AC BCD ( A A) AB AC ABCD ABCD AB AC