12.3.3 含30度直角三角形性质导学案

苏版初二上册第13章含30度角的直角三角形教案一、教学目标：知识与技能：把握30°角的直角三角形的性质与应用。

过程与方法：通过探究30°角的直角三角形的性质，增强学生对专门直角三角形的认识，培养分析问题、解决问题的能力。

情感态度与价值观：通过学习30°角的直角三角形性质，了解等边三角形与30°角互相转化的事实，培养学生用进展变化的思想看问题的价值观。

二、教学重点、难点重点：含30°角的直角三角形的性质定理的发觉与证明。

难点：含30°角的直角三角形的性质定理的探究与证明。

三、教具、学具预备两个全等的含30°角的直角三角尺。

教学过程：一、复习巩固问题1：等边三角形的定义问题2:等边三角形的性质问题3:等边三角形的判定方法二、情形导入（1）等边三角形三边三线合一，让学生在黑板上画出一条高线，同时也是底边上的中线和顶角的角平分线。

（2）高线的一侧是一个直角三角形，那个直角三角形的较短直角边和斜边有什么数量关系？生：较短直角边是斜边的一半如何进行证明呢？斜边的一半。

B已知：如上图，在RT△ABC中，∠C=90°,∠BAC=30°,求证：BC=1 /2AB小组分析，讨论，证明，全班交流证明：延长BC至D，使CD=BC,连接AD在△ABC中，∠ACB=90°,∠BAC=30°,则∠B=60°又∵∠ACB=90°, ∴∠ACD=90°∵AC=AC ∴△ABC≌△ADC(SAS)∴AB=AD（全等三角形的对应边相等）∴△ABD是等边三角形，（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）∴BC=1/2BD=1/2AB已知：如图，在Rt△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°.求证：BC = 1/2 AB．证法2：在BA上截取BE=BC，连接EC.∵∠B= 60°，BE=BC.∴△BCE是等边三角形，∴∠BEC= 60°，BE=EC.∵∠A= 30°，∴∠ECA=∠BEC-∠A=60°-30°= 30°.∴AE=EC，AE=BE=BC，∴AB=AE+BE=2BC.BC = 1/2 AB．教师进行结论：1：第二小组同学合作完成了任务，你们的速度专门快，出乎了老师的意料。

13．3.2 含30°角的直角三角形的性质教学目标:知识目标: 1. 通过拼图，探索，发现，证明含300角的直角三角形的性质。

2.会用含30°角的直角三角形的性质解决简单的问题．能力目标：经历探究含30°角的直角三角形性质的过程，发展学生的逻辑思维能力情感目标：在运用数学知识解答问题的活动中，鼓励学生积极参与数学活动，体验数学活动中的探索与创新，感受数学的严谨性．教学重点：含30°角的直角三角形的性质的探索与应用．教学难点：含30°角的直角三角形性质的推导授课类型：新授课教具：两个相同的含30度角的三角尺，课件教学过程：一．课前小测1.等腰三角形一个角为70°，它的另外两个角为____ ，2.等腰三角形的两边长分别为5cm,8cm ，则第三边为____ cm，3.六边形的内角和为___，4、已知△ABC中，∠A=∠B=60°，AB=3cm ，则△ABC的周长________，△ABC是等腰三角形，周长为15cm且∠A=60°，则BC=_______。

（设计意图：复习巩固上节课的知识点）二．温故知新1.等边三角形的定义：______ 相等的三角形叫做等边三角形。

2.等边三角形性质定理：（1）等边三角形的______，______都相等,且每个角都等于______（2）等边三角形各边上_____ _,______ 和所对角的平分线都三线合一3.等边三角形的判定方法:1. ______都相等的三角形是等边三角形.2. ______都相等的三角形是等边三角形.3. _______________ 的等腰三角形是等边三角形.（设计意图：为新课做好铺垫）三．探究新知1.将两个含有30°的同样的三角尺如图摆放在一起你能借助这个图形,找到Rt△ABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗? （小组动手操作，讨论完成）BC=_____AB2.你会用学过的方法证明吗?3.你能用一句话概括你的结论吗？在直角三角形中,如果一个锐角____________那么它所对的直角边等于_______________。

第十五章轴对称图形与等腰三角形15.3等腰三角形第3课时直角三角形中30°角的性质定理一、教学目标1．探索──发现──猜想──证明直角三角形中有一个角为30°的性质以及简单应用；2．引导学生体会合情推理与演绎推理的相互依赖和相互补充的辩证关系；3．鼓励学生积极参与数学活动，激发学生的好奇心和求知欲．二、教学重点及难点重点：理解并掌握含30°角的直角三角形的性质定理．难点：能灵活运用含30°角的直角三角形的性质定理解决有关问题．三、教学用具多媒体课件．四、相关资料无．五、教学过程【情景引入】我们学习过直角三角形，今天我们先来看一个特殊的直角三角形，看它具有什么性质．大家可能已猜到，我让大家准备好的含30°角的直角三角形，它有什么不同于一般的直角三角形的性质呢？问题：用两个全等的含30°角的直角三角尺，你能拼出一个怎样的三角形？能拼出一个等边三角形吗？说说你的理由．由此你能想到，在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？你能证明你的结论吗？本图片是微课的首页截图，本微课资源讲解了含30度角的直角三角形的相关性质.若需使用，请插入微课【知识点解析】含30度角的直角三角形的相关性质.【典型例题】例题：如图所示，∆ABC ≅ ∆ADE，已知∠CAD＝10°，∠B＝∠D＝25°且∠EAB＝120°，求∠ACB的度数．解析：根据我们今天学习的：全等三角形的对应角相等可知：∠EAB＝∠EAD＋∠CAD ＋∠CAB＝2∠CAB＋10°＝120°，即∠CAB＝55°.然后在∆ACB中利用三角形内角和定理来求∠ACB的度数．答案：∵∆ABC ≅ ∆ADE，∴∠CAB＝∠EAD.∵∠EAB＝120°，∠CAD＝10°，∴∠EAB＝∠EAD＋∠CAD＋∠CAB＝2∠CAB＋10°＝120°，∴∠CAB＝55°.∵∠B＝∠D＝25°，∴∠ACB＝180°－∠CAB－∠B＝180°－55°－25°＝100°，即∠ACB的度数是100°.方法总结：本题将三角形内角和与全等三角形的性质综合考查，解答问题时要将所求的角与已知角通过全等及三角形内角之间的关系联系起来．【新知应用】课本练习P138页1，2，3【随堂检测】1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是斜边AB上的高，AD＝3cm，则AB的长度是( )A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm解析：在Rt△ABC中，∵CD是斜边AB上的高，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝∠B＝30°.在Rt△ACD中，AC＝2AD＝6cm，在Rt△ABC中，AB＝2AC＝12cm.∴AB的长度是12cm.故选D.方法总结：运用含30°角的直角三角形的性质求线段长时，要分清线段所在的直角三角形．2.在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BD是高，且∠ABD＝30°，则CD＝________．解析：因为三角形的高相对于三角形有三种情况：①在三角形的内部；②在三角形的外部；③在三角形的边上．因为此三角形为等腰三角形，第三种情况可以排除．故应分两种情况讨论：如图甲，当△ABC为锐角三角形时，由BD是高，根据直角三角形的性质易得AD ＝12AB＝5cm，CD＝AC－AD＝5cm；如图乙，当△ABC为钝角三角形时，易得AD＝12AB ＝5cm，CD＝AC＋AD＝15cm.故答案为5cm或15cm.方法总结：此题比较简单，解答此题时要注意分类讨论，不要漏解．3.如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA交OB于C，PD⊥OA于D，若PC＝3，则PD等于( )A．3B．2C．1.5D．1解析：如图，过点P作PE⊥OB于E，∵PC∥OA，∴∠AOP＝∠CPO，∴∠PCE＝∠BOP＋∠CPO＝∠BOP＋∠AOP＝∠AOB＝30°.又∵PC＝3，∴PE＝12PC＝12×3＝1.5.∵∠AOP＝∠BOP，PD⊥OA，∴PD＝PE＝1.5.故选C.方法总结：含30°角的直角三角形与角平分线、垂直平分线的综合运用时，关键是寻找或作辅助线构造含30°角的直角三角形．4.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB.DE恰好是∠ADB的平分线．CD与DB有怎样的数量关系？请说明由．解析：由条件先证△AED≌△BED，得出∠BAD＝∠CAD＝∠B，求得∠B＝30°，即可得到CD＝12DB.答案：CD＝12DB.理由如下：∵DE⊥AB，∴∠AED＝∠BED＝90°.∵DE是∠ADB的平分线，∴∠ADE＝∠BDE.又∵DE＝DE，∴△AED≌△BED(ASA)，∴AD＝BD，∠DAE ＝∠B.∵∠BAD＝∠CAD＝12∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD＝∠B.∵∠BAD＋∠CAD＋∠B＝90°，∴∠B＝∠BAD＝∠CAD＝30°.在Rt△ACD中，∵∠CAD＝30°，∴CD＝12AD＝12BD，即CD＝12DB.方法总结：含30°角的直角三角形的性质是表示线段倍分关系的一个重要的依据，如果问题中出现探究线段倍分关系的结论时，要联想此性质．5.某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知AC＝50m，AB＝40m，∠BAC＝150°，这种草皮每平方米的售价是a元，求购买这种草皮至少需要多少元？解析：作BD⊥CA交CA的延长线于点D.在Rt△ABD中，利用30°角所对的直角边是斜边的一半求BD，即△ABC的高．运用三角形面积公式计算面积求解．答案：如图所示，作BD⊥CA于D点．∵∠BAC＝150°，∴∠DAB＝30°.∵AB＝40m，∴BD＝12AB＝20m，∴S△ABC＝12×50×20＝500(m2)．已知这种草皮每平方米a元，所以一共需要500a元．方法总结：解此题的关键在于作出CA边上的高，根据相关的性质推出高BD的长度，正确的计算出△ABC的面积．设计意图：通过学生对全等三角形的练习，使教师及时了解学生对知识点的理解情况，以便教师及时对学生进行矫正．六、课堂小结直角三角形中30°角的性质定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．设计意图：将本节课所学的知识点进行集中的梳理，归纳总结出本节课的重点知识．七、板书设计第十五章轴对称图形与等腰三角形15.3等腰三角形第3课时直角三角形中30°角的性质定理直角三角形中30°角的性质定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．。

3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“含30°角的直角三角形在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
实践活动环节，学生们的积极性很高，分组讨论和实验操作都进行得非常顺利。通过实际操作，学生能更直观地感受到含30°角的直角三角形的性质，这也加深了他们对这个知识点的理解。但同时，我也注意到，部分学生在操作过程中还存在一些问题，如对实验数据的处理不够严谨。在今后的教学中，我要加强学生在实验操作方面的指导，提高他们的实践能力。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解含30°角的直角三角形的基本概念。含30°角的直角三角形是指其中一个角为30°的直角三角形。它是特殊的直角三角形，因为30°角所对的直角边是斜边的一半，这一性质在几何学中具有重要意义。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例将展示如何利用含30°角的直角三角形性质解决实际问题，例如计算直角三角形的边长或面积。
-突破方法：通过综合性的练习题，将含30°角的直角三角形性质与勾股定理、相似三角形等其他几何知识结合，提高学生的综合解题能力。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《含30°角的直角三角形的性质》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过直角三角形？”（如楼梯的角度设计等）。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索含30°角的直角三角形的奥秘。