直角三角形的性质学案

- 1 -18.1 勾股定理（一） （一）课前预习 1．直角△ABC 的主要性质是：∠C=90°（用几何语言表示） （1）两锐角之间的关系： （2）若∠B=30°，则∠B 的对边和斜边：命题1：如果直角三角形的两直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么 。

（二）、勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，你能否利用右图：赵爽弦图证明呢？1．已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为a 、b 、c 。

求证： 222a b c +=勾股定理的内容是： 。

（三）学以致用 在Rt△ABC 中，已知两边求第三边-------简称“知二求一” 1．在Rt△ABC 中，90C ∠=︒ ， ⑴如果a =6，b =8，求c 的值； ⑵如果a =5，b =12，求c 的值； ⑶如果a =9，c =41，求b 的值； 练习 1．若一个直角三角形的两直角边分别为9和12，则第三边的长为（ ） A.13 B. 13 C. 5 D.15 2．若一个直角三角形的斜边长为26，一条直角边长为24，则另一直角边长为（ ） A.8 B.10 C.50 D.36 3．在Rt △ABC 中，∠C=90°，若a ︰b =3︰4，c=10，求a ，b 的值。

注意：⑴只有在直角三角形中，才能用勾股定理；⑵在用勾股定理求第三边时，要分清直角三角形的斜边和直角边； （四）当堂检测：1.如图,三个正方形中的两个的面积S 1＝25，S 2＝144，则另一个的面积S 3为________．2．在Rt△ABC，∠C=90°；⑴ 已知a =b =5，求c ；⑵已知c =17，b =8，求a ；⑶ 已知a ∶b =1∶2，c=5，求a ； ⑷已知b=15，∠A=30°，求a ，c 。

3．一直角三角形的一直角边长为6，斜边长比另一直角边长大2，求斜边的长？4.一个直角三角形的两边长分别为3cm 和4cm ，求第三边的长？5.已知，如图在正ΔABC 中，AB=BC=CA=2cm ．求ΔABC 的面积．BDbaD C C A- 2 -EFDCBA18.1 勾股定理（二）（一）回顾复习：1.勾股定理：如果直角三角形的两直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么 。

学习过程一、复习预习二、知识讲解考点/易错点1等腰直角三角形特有（1）两底角等于45°。

（2）两腰相等。

考点/易错点2等腰直角三角形中的四条特殊的线段：角平分线，中线，高，中位线.中线：顶点与对边中点的连线，平分三角形。

高：顶点到对边垂足的连线。

角平分线；顶点到两边距离相等的点所构成的直线。

中位线：任意两边中点的连线。

考点/易错点3等腰直角三角形常见题型1、多垂直、锐角相等2、通过三线合一构造全等3、利用垂直与等腰构造全等三、例题精析【例题1】【题干】△ABC中, ∠BAC=90°, AB=AC, D为BC 上一点,过B，C做BE⊥AD, CF⊥AD 求证: BE=EF+CF【答案】∵BE⊥AD,∠BAC=90°∴∠EBA=∠CAF易证: △EBA≌△FAC∴AE=FC, BE=AF∴BE=EF+CF【解析】直角三角形中，两锐角互余；结合三角形全等很容易得证【例题2】【题干】△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AB是BC边上中线，∠ABF=∠CAE，求证：EF∥AC【答案】Rt△ABC中，AD为中线∴BD=AD，∠ABD=∠DAC=45°又∵∠ABF=∠CAE∴∠DBF=∠DAE∴易证：△DBF≌△DAE∴DE=DF，∴∠FED=∠C=45°∴EF∥AC【解析】通过三线合一构造全等【例题3】【题干】△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BD F平分∠ABC，CE⊥BD交BD延长线于E求证：BD=2CE【答案】证：∵BD平分∠ABC，且CE⊥BE∴延长CE、BA交于F易证：△FBE≌△CBE∴FE=CE，△ABD≌△ACF∴BD=CF=2CE【解析】利用垂直与等腰构造全等【例题4】【题干】如图，点A的坐标为（1，0），点B在直线y=﹣x上运动，当线段AB最短时，点B 的坐标为（）A、（0，0）B、（，﹣）C、（，﹣）D、（﹣，）【答案】解：过A点作垂直于直线y=﹣x的垂线AB，∵点B在直线y=﹣x上运动，∴∠AOB=45°，∴△AOB为等腰直角三角形，过B作BC垂直x轴垂足为C，则点C为OA的中点，则OC=BC=．作图可知B在x下方，y的右方．∴横坐标正，纵坐标为负．所以当线段AB最短时，点B的坐标为（，﹣）．故选B．【解析】线段AB最短，说明AB此时为点A到y=﹣x的距离．过A点作垂直于直线y=﹣x 的垂线AB，由题意可知：△AOB为等腰直角三角形，过B作BC垂直x轴垂足为C，则点C为OA的中点，有OC=BC=，故可确定出点B的坐标．【例题5】【题干】△ABC和△AEF均为等腰直角三角形，其初始位置如图所示，若△AEF绕A点顺时针旋转，则BE与CF大小关系为（）A、BE＞CFB、BE=CFC、BE＜CFD、无法确定【答案】解：连接BE、CF∵△ABC和△AEF均为等腰直角三角形，∴BA=BC，∠BAC=∠FAE，AF=AE，∴△BAE≌△CAF，∴BE=CF．故选B．【解析】连接BE、CF，证明△BAE≌△CAF即可得到结论．【例题6】【题干】下面的方格图案中的正方形顶点叫做格点，图1中以格点为顶点的等腰直角三角形共有4个，图2中以格点为顶点的等腰直角三角形共有10 个，图3中以格点为顶点的等腰直角三角形共有28 个，图4中以格点为顶点的等腰直角三角形共有50 个．【答案】解答：解：第一空 4 （正方形边长为1，直角边长为1的等腰三角形有4个）；第二空4×2+2=10 （每个正方形都有4个边长为1的等腰直角三角形，还有2个直角边长为的就是以2为斜边）第三空4×4+2×4+4=28 （4个小正方形就是4×4，而相邻的两个小正方形都有2个直角边为的等腰直角三角形，这样相邻的有4对所以是2×4，然后再加上4个直角边长为2的）第四空4×6+2×7+4×2+4=50（正方形边长为1，直角边长为1的等腰三角形有4×6个小正方形，7对相邻的两个小正方形，4对直角边为2的大正方形，4个直角边长为的斜边为．【解析】分析：根据正方形的性质，知图1中，连接2条对角线，可以有4个以格点为顶点的等腰直角三角形；图2中，连接每个正方形的2条对角线，在图1的基础上，则共有4×2+2=10（个）以格点为顶点的等腰直角三角形；图3中，在图1和图2的基础上，则共有10×2+8=28（个）以格点为顶点的等腰直角三角形；图4中，在图2和图3的基础上，分解为几个（2）（3）的图形，然后观察形状不是（2）（3）的四边形中是否存在满足条件的三角形，利用勾股定理的逆定理即可作出判断．四、课堂运用【基础】1.如图，△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于F，若BF=AC，则∠ABC的大小是（）A、40°B、45°C、50°D、60°分析：先利用AAS判定△BDF≌△ADC，从而得出BD=DA，即△ABD为等腰直角三角形．所以得出∠ABC=45°．解答：解：∵AD⊥BC于D，BE⊥AC于E∴∠BEA=∠ADC=90°．∵∠FBD+∠BFD=90°，∠AFE+∠FAE=90°，∠BFD=∠AFE∴∠FBD=∠FAE∵∠BDF=∠ADC=90°，BF=AC∴△BDF≌△ADC（ASA）∴BD=AD∴∠ABC=∠BAD=45°故选B．2.用两个全等的等腰直角三角形拼下列图形：①等腰三角形；②等边三角形；③正方形；④等腰梯形．一定可以拼成的图形有（）A、①③B、②④C、②③D、①④分析：可以将两个直角三角形拼拼，即可得到可以拼成等腰三角形与正方形．解答：解：①如图：∵∠B=∠B′=45°，∴可以拼成等腰三角形；③如图：，∴可以拼成正方形；∴一定可以拼成的图形有①③．故选A．3.如图，△ABC中，∠C=Rt∠，AC=BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为E，若AB=10cm，则△DBE的周长等于（）A、10cmB、8cmC、12cmD、9cm分析：根据角平分线性质求出CD=DE，根据勾股定理求出AC=AE=AB，求出BD+DE=AE，即可求出答案．解答：解：∵AD平分∠CAB，∠C=90°，DE⊥AB，∴CD=DE，由勾股定理得：AC=，AE=，∴AE=AC=BC，∴DE+BD=CD+BE=BC，∵AC=BC，∴BD+DE=AC=AE，∴△BDE的周长是BD+DE+BE=AE+BE=AB=10．故选A．【巩固】1.如图，在把易拉罐中的水倒入一个圆水杯的过程中，若水杯中的水在点P与易拉罐刚好接触，则此时水杯中的水深为（）A、2cmB、4cmC、6cmD、8cm分析：易得易拉罐进入水杯部分为等腰直角三角形，底边长为8，可得底边上的高．让10减去底边上的高即为水深．解答：解：∵易拉罐进入水杯部分为等腰直角三角形，而斜边与圆水杯底相等为8cm．∴P点到杯口距离为4 cm．∴水深为10﹣4=6cm．故选C．2.如下图，△ABC中，∠C=90°，∠B=45°，AD是角平分线，DE⊥AB于E，则下列结论不正确的是（）A、AC=AEB、CD=DEC、CD=DBD、AB=AC+CD分析：根据角平分线性质求出CD=DE，根据勾股定理求出AC=AE，根据三角形的内角和定理求出∠B=∠BDE，推出BE=DE=CD，即可推出AB=AC+CD．解答：解：B、∵AD是角平分线，DE⊥AB，∠C=90°，∴CD=DE，故本选项错误；A、由勾股定理得：AC=，AE=，∴AC=AE，故本选项错误；D、∵∠B=45°，DE⊥AB，∴∠BDE=180°﹣90°﹣45°=45°=∠B，∴BE=DE=CD，∴AB=AE+BE=AC+CD，故本选项错误；C、∵CD=DE，BD＞DE，∴BD＞CD，故本选项正确；故选C．3. 如图，将等腰直角△ABC沿BC方向平移得到△A1B1C1．若BC=3，△ABC与△A1B1C1重叠部分面积为2，则BB1= ．分析：重叠部分为等腰直角三角形，设B1C=2x，则B1C边上的高为x，根据重叠部分的面积列方程求x，再求BB1．解答：解：设B1C=2x，根据等腰三角形的性质可知，重叠部分为等腰直角三角形，则B1C边上的高为x，∴×x×2x=2，解得x=（舍去负值），∴B1C=2，∴BB1=BC﹣B1C=．故答案为．4.如图，以第①个等腰直角三角形的斜边长作为第②个等腰直角三角形的腰，以第②个等腰直角三角形的斜边长做为第③个等腰直角三角形的腰，依次类推，若第⑨个等腰直角三角形的斜边长为厘米，则第①个等腰直角三角形的斜边长为厘米．分析：先设第①个等腰直角三角形的斜边是x，第②个的等腰直角三角形的斜边是x，那么第③个等腰直角三角形的斜边是2x，从而有第n个等腰直角三角形的斜边是（）n﹣1x，根据题意可得（）9﹣1x=16，解即可．解答：解：设第①个等腰直角三角形斜边长是x，根据题意得：（）9﹣1x=16，∴16x=16，∴x=．【拔高】1.以点A和点B为其中两个顶点作位置不同的等腰直角三角形，一共可作出（）A、2个B、4个C、6个D、8个分析：利用等腰直角三角形的性质来作图，要注意分不同的直角顶点来讨论．解答：解：此题应分三种情况：①以AB为腰，点A为直角顶点；可作△ABC1、△ABC2，两个等腰直角三角形；②以AB为腰，点B为直角顶点；可作△BAC3、△BAC4，两个等腰直角三角形；③以AB为底，点C为直角顶点；可作△ABC5、△ABC6，两个等腰直角三角形；综上可知，可作6个等腰直角三角形，故选C．2.己知，如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作三个等腰直角三角形，其中∠H、∠E、∠F是直角，若斜边AB=3，则图中阴影部分的面积为（）A、1B、2C、D、分析：在直角△ABC中，∠C=90°，AB2=AC2+BC2，即可求证：阴影部分面积△ACH和△BCF的面积之和为△ABE的面积，即阴影部分面积为2倍的△ABE的面积，根据此等量关系即可求解．解答：解：在直角△ABC中，∠C=90°，∴AB2=AC2+BC2，根据等腰直角三角形面积计算方法，△AEB的面积为×=，△AHC的面积为×=，△BCF的面积为×=，∴阴影部分面积为（AB2+AC2+BC2）=AB2，∵AB=3，∴阴影部分面积为×32=，故选C．3.如图，以等腰三角形AOB的斜边为直角边向外作第2个等腰直角三角形ABA1，再以等腰直角三角形ABA1的斜边为直角边向外作第3个等腰直角三角形A1BB1，…，如此作下去，若OA=OB=1，则第n个等腰直角三角形的面积S n= ．分析：本题要先根据已知的条件求出S1、S2的值，然后通过这两个面积的求解过程得出一般化规律，进而可得出S n的表达式．解答：解：根据直角三角形的面积公式，得S1==2﹣1；根据勾股定理，得：AB=，则S2=1=20；A1B1=2，则S3=21，依此类推，发现：S n=2n﹣2．4.已知△ABC是边长为1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推，第n个等腰直角三角形的斜边长是．分析：依次、反复运用勾股定理计算，根据计算结果即可得到结论．解答：解：根据勾股定理，第1个等腰直角三角形的斜边长是，第2个等腰直角三角形的斜边长是2=（）2，第3个等腰直角三角形的斜边长是2=（）3，第n个等腰直角三角形的斜边长是（）n．课程小结等腰直角三角形的判定与性质的灵活应用课后作业【基础】1.在△ABC中，BC：AC：AB=1：1：，则△ABC是（）A、等腰三角形B、钝角三角形C、直角三角形D、等腰直角三角形分析：根据题意设出三边分别为k、k、k，然后利用勾股定理的逆定理判定三角形为直角三角形，又有BC、AC边相等，所以三角形为等腰直角三角形．解答：解：设BC、AC、AB分别为k，k，k，∵k2+k2=（k）2，∴BC2+AC2=AB2，∴△ABC是直角三角形，又BC=AC，∴△ABC是等腰直角三角形．故选D．2.等腰直角三角形的一个底角的度数是（）A、30°B、45°C、60°D、90°分析：根据等腰直角三角形的定义可知其顶角为90°，然后可根据三角形内角和定理及等腰三角形的性质求出其底角的度数．解答：解：等腰直角三角形一个底角的度数=（180°﹣90°）÷2=45°．故选B．3.等腰直角三角形的底角为45 度．分析：根据等腰直角三角形的性质和三角形内角和定理解答．解答：解：∵∠C=90°，AC=AB∴∠A=∠B=45°．4.等腰直角三角形一条边长是1 cm，那么它斜边上的高是．分析：题中没有指明该边是直角边不是斜边，则应该分情况进行分析．解答：解：（1）当1cm是斜边，则其高就是斜边1的一半是cm；（2）当其直角边是1cm时，根据勾股定理得其斜边是cm，再根据其高是斜边的一半得高是cm；所以它斜边上的高是cm或cm．【巩固】1.如图，将圆桶中的水倒入一个直径为40cm，高为55cm的圆口容器中，圆桶放置的角度与水平线的夹角为45度．若使容器中的水面与圆桶相接触，则容器中水的深度至少应为（）A、10cmB、20cmC、30cmD、35cm分析：由题可知，进入容器中的三角形ABC可看作是一个斜边为40的等腰直角三角形，所以在此三角形中斜边上的高应该为20，因此若使高为55容器中的水面与圆桶相接触，由此可以求出水深．解答：解：如图，依题意得△ABC是一个斜边为40的等腰直角三角形，∴此三角形中斜边上的高应该为20，∴水深至少应为55﹣20=35cm．故选D．2. 如果等腰三角形底边上的高等于底边的一半，那么这个等腰三角形的顶角等于度．分析：根据等腰直角三角形底边上的“三线合一”的性质，判定等腰直角三角形．解答：解：根据等腰三角形底边上的高也是底边上的中线和顶角的角平分线可知，高把原等腰直角三角形分成两个等腰直角三角形，顶角也就平分成两个45°，故顶角是90°，故填90．3.等腰直角三角形的一边长为2cm，则它的周长为4+2或2+2 ．分析：在等腰直角三角形中，已知了一边的长，但未明确此边是底还是腰，因此要分类讨论．解答：解：当底边长为2cm时，腰长是cm，则周长是2+2（cm）；当腰长为2cm时，底边是2cm，因而周长是：4+（cm）．因此这个等腰直角三角形的周长为4+2或2+2（cm）．4.等腰直角三角形的一条直角边为1cm，则它的斜边上的高为cm．考点：等腰直角三角形。

一、提请学生回忆并整理已经学过的8条基本事实中的5条：1.两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行；2.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等；3.两边夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）；4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）；5.三边对应相等的两个三角形全等（SSS）；在此基础上回忆全等三角形的另一判别条件：1.（推论）两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS），并要求学生利用前面所提到的公理进行证明；2.回忆全等三角形的性质。

二、等腰三角形两个底角的平分线相等；等腰三角形腰上的高相等；等腰三角形腰上的中线相等．通过问题串回顾等腰三角形的性质定理以及证明的思路，要求学生独立思考后再进交流。

问题1.等腰三角形性质定理的内容是什么？这个命题的题设和结论分别是什么？问题2.我们是如何证明上述定理的？问题3.我们把性质定理的条件和结论反过来还成立么？如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等？三、顶角是60°的等腰三角形是等边三角形；底角是60°的等腰三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；三条边都相等的三角形是等边三角形。

二、1、定理斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．这一定理可以简单地用“斜边、直角边”或“HL”表示．2、在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边就等于斜边的一半3、课堂练习：考点一：等腰三角形【例题】1．如图，已知AD=AE，BE=CD，∠1=∠2=110°，∠BAC=80°，则∠CAE的度数是（）A．20° B．30° C．40° D．50°2．已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1：4，则这个等腰三角形顶角的度数为（）A．20°或100° B．120° C．20°或120° D．36°3．如图所示，△ABC≌△AEF，AB=AE，∠B=∠E，有以下结论：①AC=AE；②∠FAB=∠EAB；③EF=BC；④∠EAB=∠FAC．其中正确的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．（2014秋•西城区校级期中）已知：AD既是△ABC的角平分线又是BC边上的中线，DE⊥AB于E，DF ⊥AC于F，求证：BE=CF．5．（2015•北京）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E．求证：∠CBE=∠BAD．6．（2015•应城市二模）如图，点D、E在△ABC的BC边上，AB=AC，BD=CE．求证：AD=AE．7．如图所示，△ABC是等边三角形，D点是AC的中点，延长BC到E，使CE=CD．（1）用尺规作图的方法，过D 点作DM ⊥BE ，垂足是M （不写作法，保留作图痕迹）；（2）求证：BM=EM ．8．（1）如图1，已知△ABC ，以AB 、AC 为边向△ABC 外作等边△ABD 和等边△ACE ，连接BE ，CD ，判断BE 与CD 的大小关系为：BE_____CD ．（不需说明理由）（2）如图2，已知△ABC ，以AB 、AC 为边向外作等腰△ABD 和等腰△ACE ，且顶角∠BAD ＝∠CAE ，连接BE 、CD ，BE 与CD 有什么数量关系？请说明理由；（3）运用（1）、（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，要测量池塘两岸相对的两点B 、E 的距离．已经测得∠ABC ＝45°，∠CAE ＝90°，AB ＝BC ＝100米，AC ＝AE ，求BE 的长．9．如图，在ABC △中，AC =AB ，120=B AC ∠°，B E =A E ，D 为EC 中点．C D E B A（1）求CAE ∠的度数；（2）求证：A DE △是等边三角形【习题】1．（1）如图，△ACB 和△DCE 均为等边三角形，点A 、D 、E 在同一直线上，连接BE ．求证：AD=BE ．（2）如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在同一直线上，CM 为△DCE边DE上的高，连接BE．①求证：2CM+BE=AE；②若将图2中的△DCE绕点C旋转至图3所示位置，①中的结论还成立吗？若不成立，写出它们之间的数量关系．2．如图，△ABC是等边三角形，BD⊥AC，AE⊥BC，垂足分别为D、E，AE、BD相交于点O，连接DE．（1）判断△CDE的形状，并说明理由．（2）若AO=12，求OE的长．3．（2014秋•嘉鱼县校级月考）如图所示，∠1=∠2，BD=CD，试证明△ABC是等腰三角形．4（2014秋•衡阳县校级月考）已知：如图所示，AD是△ABC的高，E为AD上一点，且BE=EC，求证：△ABC是等腰三角形．5．（2013秋•滨湖区校级期中）把一张对边平行的纸条，如图所示折叠，重合部分是什么形状？说明理由．6．（2012•温州模拟）在下列四个条件中：①AB=DC；②BE=CE；③∠B=∠C；④∠BAE=∠CDE．请选出两个作为条件，得出△AED是等腰三角形（写出一个即可），并加以证明．已知：；求证：△AED是等腰三角形．7．（2012秋•文登市校级期中）如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，P是直线BC上一点，CP=CD．求证：△DBP是等腰三角形．8．（2011秋•西城区校级期中）如图所示，已知Rt△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，CE⊥BD交BD 延长线于E，BA、CE延长线相交于F点．求证：（1）△BCF是等腰三角形；（2）BD=2CE．9．（2010春•福安市期末）如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE=40°，DE交线段AC于E．（1）当∠BDA=115°时，∠BAD=°；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变（填“大”或“小”）；（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状也在改变，判断当∠BDA等于多少度时，△ADE是等腰三角形．10．（2009春•东山县校级期末）△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BE是角平分线，ED⊥BC．①请你写出图中所有的等腰三角形；②若BC=10，求AB+AE的长．11．（2015春•龙口市期末）将一副直角三角板如图摆放，等腰直角板ABC的斜边BC与含30°角的直角三角板DBE的直角边BD长度相同，且斜边BC与BE在同一直线上，AC与BD交于点O，连接CD．求证：△CDO是等腰三角形．考点二：直角三角形【例题】1．（2007春•南阳期末）如图：△ABC中，AD⊥BC于D，点E在AD上，△ADC和△BDE是等腰三角形，EC=5cm，求AB的长．2．（2002•呼和浩特）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AE是BC边上的中线，过C作CF⊥AE，垂足为F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于D．（1）求证：AE=CD；（2）若AC=12cm，求BD的长．3．如图，△ABC的高BD与CE相交于点O，OD=OE，AO的延长线交BC于点M，请你从图中找出几对全等的直角三角形，并说明理由．4．（2014•南岗区模拟）如图，Rt△ABC中，AC⊥BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AD交AB于点E，M为AE中点，连接MD，若BD=2，CD=1．则MD的长为．5．（2015春•白城校级期中）在Rt△ABC中，∠C=90°，D是BC边上一点，且BD=AD=10，∠ADC=60°，求△ABC的面积．6．（2015秋•岳池县期中）如图所示，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC=4，求PD的长．【习题】1．（2010•大连校级自主招生）在锐角△ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，且CD，BE交于点P，若∠A=50°，则∠BPC的度数是度．2．（2007•包头）如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AC=6．沿DE折叠，使得点A与点B重合，则折痕DE的长为．3．（2015春•秦淮区期末）如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，D是AB上一点，且∠ACD=∠B．求证：CD⊥AB．4．（2015秋•武威校级月考）如图，在△ACB中，∠ACB=90゜，CD⊥AB于D．（1）求证：∠ACD=∠B；（2）若AF平分∠CAB分别交CD、BC于E、F，求证：∠CEF=∠CFE．5．（2015秋•周口校级月考）如图所示，将长方形ABCD沿DE折叠，使点C恰好落在BA边上，得到点C′，若∠C′EB=40°，求∠EDC′的度数．6．如图，△ABC中，∠B=∠C，FD⊥BC，DE⊥AB，∠AFD=152°，求∠EDF．7．（2015秋•威海期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交AC于E，交BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，求BE的长．8．（2013秋•龙口市期末）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD平分∠ABC，若AD=6cm，求DC 的长．9．（2012•淮安）如图，△ABC中，∠C=90°，点D在AC上，已知∠BDC=45°，BD=10，AB=20．求∠A的度数．10．（2015秋•建湖县期中）如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，M、N分别是BD、AC的中点（1）求证：MN⊥AC；（2）若∠ADC=120°，求∠1的度数．11．（2015秋•东台市期中）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，M、N分别是AC、BD的中点，试说明：（1）MD=MB；（2）MN⊥BD．12．（2015秋•绍兴校级期中）已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，BE⊥AC，垂足为点E，M为AB边的中点，连接ME、MD、ED．（1）求证：△MED为等腰三角形；（2）若∠EMD=40°，求∠DAC的度数．13．（2014秋•无锡校级期末）已知：如图，∠ABC=∠ADC=90°，E、F分别是AC、BD的中点．求证：EF⊥BD．14．（2014秋•黄浦区期末）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，对角线AC与BD相交于点O，M、N分别是边AC、BD的中点．（1）求证：MN⊥BD；（2）当∠BCA=15°，AC=10cm，OB=OM时，求MN的长．11。

直角三角形的射影定理班级： 姓名：【学知目标】1．掌握直角三角形中成比例的线段的性质，并能初步用它解决“直角三角形斜边上的高”图形中的计算和证明问题；2．通过对射影定理的探究，使学生经历探索数学问题的过程，逐步形成探究问题的意识，发展探究问题的能力；3．能应用相似三角形的性质解决相关的几何问题．【学知生成】1．太阳光线将点A 垂直照射在直线MN 上的影子是 ；太阳光线将线段AB 垂直照射在直线MN 上的影子是 ．2．什么是射影？ 如图1，所谓射影，就是 ．其中，从一点到一条直线所作垂线的垂足，叫做这点在这条直线上的 ．一条线段的两个端点在一 条直线上的 之间的线段，叫做这条线段在这直线上的 ，即射影．【学知探究】已知：如图2，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ．（1）图中有几条线段？（2）图中有几个锐角？数量有何关系？（3）图中有几对相似三角形？可写出几组比例式？（4）观察第（3）题的结果，有几个带有比例中项的比例式？如何用一句话概括叙述这几个比例中项的表达式?（5）由上可得到哪些等积式？【学知总结】直角三角形的射影定理：直角三角形斜边上的高是 比例中项；两直角边分别是 的比例中项．请同学们自己写出已知条件并证明． 已知：求证：证明：A A ′ M N N AA ′B ′ M B （图1） A BCD （图2） A B C D （图3）用勾股定理能证明射影定理吗？写出你的想法．【学知拓展】例1．如图4，在Rt △ABC 中，点C 在斜边AB 上的射影为D ．AD ＝2，DB ＝8．求CD 、AC 和BC 的长． 解：例2．如图5，△ABC 中，顶点C 在AB 边上的射影为D ，且CD 2＝AD ·BD ．求证：△ABC 是直角三角形． 证明：【学知应用】1．已知直角三角形△ABC 中，斜边AB ＝5cm ，BC ＝2cm ，D 为AC 上的一点，DE ⊥AB 交AB 于E ，且AD ＝3.2cm ，则DE ＝（ ）A ．1.24cmB ．1.26cmC ．1.28cmD ．1.3cm2．在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，AD ：BD ＝2：3，则△ACD 与△CBD 的相似比为（ ）A ．2：3B ．4：9C ．6：3D ．不确定3．如图6，在Rt △ABC 中，CD 是斜别AB 上的高，在图中六条线段中，你认为只要知道（ ）线段的长，就可以求其他线段的长． A ．1 B ．2 C ．3 D ．44．在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，若AC AB ＝34，则BD CD ＝（ ） A ．34 B ．43 C ．169 D ．9164．在△ABC 中，∠A ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，AD ＝6，BD ＝12，则CD ＝ ，AC ＝ D C B A （图4） （图5） C B A D DC B A （图6），AB 2︰AC 2＝ ．5．在△ABC 中，∠C ＝90°，CD 是斜边AB 上的高．已知CD ＝60，AD ＝25，求BD 、AB 、AC 、BC 的长．（直接运用射影定理．）6．如图7，已知CD 是△ABC 的高，DE ⊥CA ，DF ⊥CB ，求证：△CEF ∽△CB A ．7．如图8，已知∠CAB ＝90°，AD ⊥CB ，△ACE ，△ABF 是正三角形，求证：DE ⊥DF ．【学知拓展】1．如图，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，AD ＝3，BD ＝2，则AC ：BC 的值是( )A ．3：2B ．9：4C ．3： 2D ．2： 32．在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于D ，若BD ：AD ＝1：4，则BD ︰CD 的值是( )A ．14B ．13C ．12D.2 3．下列命题中，正确的有( )①两个直角三角形是相似三角形；②等边三角形都是相似三角形；③锐角三角形都是相似三角形； A B C D E F （图8） DC BA （第1题） CB A D E F （图7）④两个等腰直角三角形是相似三角形．A．1个 B. 2个 C. 3个D．4个4．已知直角△ABC中，斜边AB＝5cm，BC＝2 cm，D为AC上一点，DE⊥AB交AB于E，且AD＝3.2cm，则DE＝（）A．1.24 cm B．1.26 cm C．1.28cm D．1.3cm5．如图，已知：BD、CE是△ABC的两条高，过点D的直线交BC和BA的延长线于G、H，交CE于F，且∠H＝∠BCF．求证：GD2＝GF·GH．证明：（第5题）6．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，DF⊥AC于F，DE⊥AB于E．试说明：（1）AB·AC＝AD·BC；（2）AD3＝BC·BE·CF．解：（第6题）。

1.2 直角三角形第1课时直角三角形的性质与判定学习目标：1、进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力；2、了解勾股定理及其逆定理的证明方法；3、结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立。

学习过程：一、前置准备角1、直角三角形的两个锐角；2、有两个角互余的三角形是.边1、说出你知道的勾股数2、勾股定理的内容是：_____________________________;它的条件是：______________________________________;结论是：__________________________________________。

二、自主学习：将勾股定理的条件和结论分别变成结论和条件，其内容是：下面试着将上述命题证明：已知在△ABC中，AB2+AC2=BC2求证：△ABC是直角三角形。

得出定理：如果三角形两边的__________等于__________，那么这个三角形是直角三角形。

三、合作交流：1、观察勾股定理及上述定理，它们的条件和结论之间有怎样的关系？然后观察下列每组命题，是否也在类似关系（1）如果两个角是对顶角，那么它们相等。

如果两个角相等，那么它们是对顶角。

（2）如果小明患了肺炎，那么他一定会发烧。

如果小明发烧，那么他一定患了肺炎。

（3）三角形中相等的边所对的角相等。

三角形中相等的角所对的边相等。

像上述每组命题我们称为互逆命题，即一个命的条件和结论分别是另一个命题的__________和__________。

2、阅读课本P16“想一想”，回答下列问题：①一个命题是真命题，那么它的逆命题也一定是真命题吗？②什么是互逆定理？③是否任何定理都有逆定理？④思考我们学过哪些互逆定理？四、归纳总结：1、勾股定理和逆定理的内容分别是什么？2、什么是互逆定理，什么是互逆命题？五、当堂训练：1、判断A：每个命题都有逆命题，每个定理也都有逆定理。

课题：1、2直角三角形全等的判定（一）教学目标1．使学生能熟练地应用判定一般三角形全等的方法判定两个直角三角形全等．2．使学生掌握斜边、直角边公理及其应用．教学重点和难点斜边、直角边公理的应用．教学过程：一、情景创设：1、直角三角形全等的条件有哪些？2、你认为具备这样条件的两个直角三角形一定全等吗？为什么？二、合作探索：探究1：我们知道：斜边和一对锐角相等的两个直角三角形，可以根据“AAS”判定它们全等；一对直角边和一对锐角相等的两个直角三角形，可以根据“ASA”或“AAS”判定它们全等；两对直角边相等的两个直角三角形，可以根据“SAS”判定它们全等．如果两个直角三角形的斜边和一对直角边相等(边边角)，这两个三角形是否可能全等呢？如图1 (1)，在△ABC与△A＇B＇C＇中，若AB＝A＇B＇，AC＝A＇C＇，∠C＝∠C＇＝Rt∠，这时Rt△ABC与Rt△A＇B＇C＇是否全等？研究这个问题，我们先做一个实验：把Rt△ABC与Rt△A＇B＇C＇拼合在一起(教师演示)如图1(2)，因为∠ACB＝∠A＇C＇B＇＝Rt∠，所以B、C(C＇)、B＇三点在一条直线上，因此，△ABB＇是一个等腰三角形，可以知道∠B＝∠B＇．根据AAS公理可知Rt△A＇B＇C＇≌Rt△ABC．2．上面的实验和操作，说明“斜边和直角边对应相等的两个直角三角形全等”．这就是判定直角三角形的“斜边、直角边”公理(简称HL)．DBCAE F 探究2：含有30度角的直角三角形思考：如图：如果∠BAC= 030，那么BC = 12AB ，你能证明这个结论吗？三：应用迁移1、如图，在△ABC 中，已知D 是BC 中点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E 、F ，DE ＝DF . 求证：AB=AC四、小结由于直角三角形是特殊三角形，因而不仅可以应用判定一般三角形全等的四种方法，还可以应用“斜边、直角边”公理判定两个直角三角形全等．“HL ”只能用于判定直角三角形全等，不能用于判定一般三角形全等．所以判定两个直角三角形全等的方法有五种：“SAS 、ASA ”、“AAS ”、“SSS ”“HL ”．五、练习巩固1、见课本P10 1、2六、小结本节课所学内容：七、板书设计：八、作业：见课本P12 习题1、2教学反思DCBAA课 题： 1、2直角三角形全等的判定（二）教学目标：1、能证明角平分线的性质定理和逆定理、三角形三条角平分线交与一点；2、从简单的数学例子中体会反证法的含义；3、逐步学会分析的思考方法，发展演绎推理能力。

第06讲 勾股定理的应用温故知新一、上节课重点回顾1、勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

如果用,a b 和c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么有222a b c += 。

2、勾股定理逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形。

最长边所对的角为直角。

3、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。

课堂导入一、 问题导入知识要点一勾股定理的应用1、勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，利用勾股定理可以解决直角三角形的边长问题。

（1）已知直角三角形的两边求第三边；（2）已知三角形的一边及另外两边的关系求未知边。

2、勾股定理的逆定理：在一个三角形中，若有两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形。

勾股定理逆定理是直角三角形的判定定理，是用三角形的三边关系说明三角形为直角三角形，通过数量关系来研究图形中的位置关系。

3、建立勾股定理及逆定理的模型解决实际问题：用勾股定理及其逆定理解决实际问题的关键是建立直角三角形号的模型，即将实际问题转化为数学问题，这里特别要注意弄清楚实际语言与数学语言间的关系。

典例分析例1、如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面5m处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部12m处，旗杆折断之前的高度是（）A．5m B．12mC．13m D．18m例2、如图，池塘边有两点A、B，点C是与BA方向成直角的AC方向上一点，测得CB=60m，AC=20m，则A，B两点间的距离是（）A．200m B．20mC．40m D．50m例3、如图所示，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为0.5米，则梯子顶端A下落了米．例4、一个零件的形状如图所示，已知AC⊥AB，BC⊥BD，AC=3cm，AB=4cm，BD=12cm，求CD的长举一反三1、将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度hcm，则h的取值范围是（）A．h≤17cm B．h≥8cm C．15cm≤h≤16cm D．7cm≤h≤16cm2、放学以后，小明和小华从学校分开，分别向北和东走回家，若小明和小华行走的速度都是50米/分，小明用10分到家，小华用24分到家，小明和小华家的距离为（）A．600米B．800米C．1000米D．1300米3、有两棵树，一棵高5米，另一棵高2米，两树相距5米，一只小鸟从一棵树的树梢的顶端飞到另一棵树的树梢的顶端，至少飞了米（用含根号的式子表示）．4、如图，某会展中心在会展期间准备将高5m，长13m，宽2m的楼道上铺地毯，已知地毯每平方米18元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要元钱．5、台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向AB由A驶向B，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A、B的距离分别为AC=300km，BC=400km，又AB=500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域．（1）海港C受台风影响吗？为什么？（2）若台风的速度为20千米/小时，台风影响该海港持续的时间有多长？学霸说规律方法指导1．勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。

三角形复习学案一、同步知识梳理一、三角形及相关线段1、 定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． 要点：①三条线段；②不在同一直线上；③首尾顺次相接．2、表示：三角形用符号“△”表示，三角形ABC 用符号表示为△ABC .注：顶点A 所对的边BC 用a 表示，顶点B 所对的边AC 用b 表示，顶点C 所对的边AB 用c 表示． 3、分类：①三角形按角分类如下： ②三角形按边的相等关系分类如下：⎪⎩⎪⎨⎧钝角三角形直角三角形锐角三角形三角形 ⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧等边三角形三角形底边和腰不相等的等腰等腰三角形三边都不相等的三角形三角形 4、三角形的三边关系（“两点之间线段最短”是三边关系得出的理论依据。

）三边关系：三角形两边的和大于第三边，用字母表示：a ＋b ＞c ，c ＋b ＞a ，a ＋c ＞b.三角形两边的差小于第三边，用字母表示：c －b<a ，b －a<c ，c －a<b. 应用:①当线段a ，b ，c 满足最短的两条线段之和大于最长的线段时就可构成三角形；②已知两条线段，可根据第三条线段大于这两边之差，小于这两边之和，来确定第 三条线段的取值范围． 5、三角形的高、中线与角平分线 （1）三角形的高定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。

性质：“三角形的三条高(所在直线)交于一点”，当是锐角三角形时，这点在三角形内部；当是直角三角形时，这点在三角形直角顶点上；当是钝角三角形时，这点在三角形外部。

应用：求面积问题，高是垂线段，也是点到直线的距离，是求三角形的面积所必须知道的长度； 高是垂线段，因而一定有直角，根据所有直角都相等或互余关系进行解题。

（2）三角形的中线定义：三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。

性质：一个三角形有三条中线，每条边上各有一条，三角形的三条中线交于一点．三角形三条中线的交点叫做三角形的重心。

11．1与三角形有关的线段（1）学习目标：1、通过观察、操作、想象、推理、交流等活动，发掌空间观念、推理能力和有条理地表达能力；2、结合具体实例，进一步认识三角形的概念及其基本要素，掌握三角形三边之间的不等关系.学习重点：三角形三边之间的不等关系.学习难点：应用三角形的三边之间的不等关系判断三条线段能否组成三角形教学过程：一、学前准备1.三角形是我们早已熟悉的图形，你能列举出日常生活中有什么物体是三角形吗？2.能从右图中找出4个不同的三角形吗？二、探究新知：1、你所知道的三角形的定义是什么？问题：根据你的理解，下列的图形是三角形吗？三角形的定义：2、三角形的有关概念：①边：。

②角：。

③顶点：。

问题：右图中三角形的三个顶点分别是，三条边分别是，三个内角分别是。

3、三角形的表示：ABCD EF GABCabc A B DC E如右图，以A、B、C为顶点的三角形记作，读作。

4、边都相等的三角形叫做等边三角形；有条边相等的三角形叫做等腰三角形。

问题：那么等边三角形是否属于等腰三角形呢？三角形的分类：①按三个内角的大小分类：、和。

②按边进行分类。

三角形5、自主探究（1）任意画一个△ABC，从点B出发，沿边到点C，有几条路线？（2）各条路线的长有什么关系？说明理由.结论：三角形任意两边之和；三角形任意两边之差。

6.例题讲解例：有一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形(1)如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长是多少？（2）能围成有一边的长为4cm的等腰三角形吗？为什么？三、练习内容1、课本4页练习1,22、等腰三角形的两边长分别为3cm，5cm.(1) 求这个三角形的周长。

（2）若两边分别为2cm，5cm呢?四、小结：本节课的收获：你还有什么疑惑？五、当堂清1.用木棒钉成一个三角架，两根小棒分别是7cm和10cm，第三根小棒可取（）A、20ｃｍB、 3ｃｍC、11ｃｍD、2ｃｍ2.下列三条线段，不能组成三角形的是（）A、 3 4 6 B 、8 9 15 C 、20 18 5 D、16 30 143.已知等腰三角形一边等于5cm，一边等于10cm，另一边应等于（）A、5ｃｍB、 10ｃｍC、5或10ｃｍD、 12ｃｍ4.一个三角形的两边分别是5cm和11cm，第三边的长是一个偶数，则第三边的长是（）A、2ｃｍB、 4ｃｍC、6ｃｍD、8ｃｍ5、已知一个三角形的两边长分别是3cm和4cm，则第三边长x的取值范围。

D C A B 直角三角形（含30度角）的性质学习目标：1会用直角三角形中，30度角所对直角边等于斜边的一半解决相关问题。

2、通过抽象模型，图形变换，变式类比等方法提高综合解题能力一、追本溯源 巧建模型课前知识准备：请写出此性质的几何语言请你利用此性质编题并解答。

（做好展示准备）二、迁移应用 玩转模型：1、已知：如图，在Rt △ABC 中，AB 的垂直平分线交BC 边于点E 。

若BE=2，∠B =15°则AC 的长=3、已知：如图，△ABC 中，∠ACB=90°，CD 是高，∠A=30°．求证：BD=14AB ．（想改为填空题）3．如图，△ABC 中，AB=AC ，∠A=120°，AB 的垂直平分线EF 交AB 于E ，交BC 于F 。

求证：CF=2BF 。

三、畅谈收获 回味模型AE DC BD C A B 四、当堂达标 享受模型：1、加一道简单题2.等腰三角形的底角为15°，腰长为2a ，则腰上的高为3：如图，△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=120°，AD ⊥AC 交BC 于点D ，求证：BC=3AD.4、如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠BAC=2∠B ，AD 是∠BAC 的平分线，请说明CD 与BC 的数量关系。

五、追求卓越 挑战模型： 2.如图，AB=AC ，DE⊥AB 于E ，DF⊥AC 于F ，∠BAC=120o ，BC=6，则DE+DF= 3、如图，△ABC 为等边三角形，D 、E 分别是AC 、BC 上的点，且AD=CE ，AE 与BD 相交于点P ， BF ⊥AE 于点F 。

求证:BP=2PFFE C B。

19.8(2)直角三角形的性质-学案(总4页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--(2)直角三角形的性质一、课前练习1.已知:如图,在△ABC中,AD⊥BC,E、F分别是AB、AC的中点,则∠EDF与∠EAF 相等吗根据什么2.已知:如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD是斜边AB上的中线,BE⊥CD,垂足为F,则图中哪些角与∠A相等为什么二、阅读理解1.阅读教材P117～119.2.直角三角形性质定理2的推论推论1是推论2是3.尝试:有一个角为30°的直角三角形,其斜边上的中线,把它分成了两个怎样的三角形?4.阅读中遇到的问题有三、新课探索探索 在直角三角形ABC 中,∠ACB=90°,CD 是斜边AB 的中线,若∠A=30°,你又可得到哪些结论?已知:在Rt △ABC 中,∠ACB=90°,∠A=30°.求证:BC=21AB.例题1 已知:如图,在△ABC 中,AB=AC,∠B=30°,AD ⊥AC.求证:BD=21CD.例题2 已知:如图,在Rt △ABC 中,∠ACB=90°,CD ⊥AB,CE 是斜边AB 上的中线,且ED=BD. 求证:∠A=30°.四、课内练习1.下列命题正确的在括号内打“√”,错误的打“×”.(1)在Rt △ABC 中,∠C=90°,BC=21AC,则∠A=30°. ( )(2)在Rt △ABC 中,∠C=90°,∠B=30°,则AC=21BC. ( )(3)在△ABC 中,BC=21AB,则∠A=30°.( )2.已知:如图,在△ABC 中,∠BAC=120°,AB=AC,AB 边上的垂直平分线交BC 于点F,交AB 于点E,联结AF.求证:CF=2BF.3.如图,已知△ABC 中,AB=AC,点D 在BC 边上,∠DAC=90°,AD=21CD.求:∠BAC的度数.4.已知:如图,在Rt △ABC 中,∠C=90°,∠B=15°,AB 的垂直平分线分别与AB 、BC 相交于点N 、M,联结AM,AC=6,求BM 的长.5.如图,已知∠BAC=30°,AP 平分∠BAC,PM ∥AB,AM=5,PD ⊥AB,求PD 的长.（2）直角三角形的性质一、填空题1、若等腰三角形腰上的高等于腰长的一半，那么等腰三角形的顶角等于____________2、如图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边上AB 上的高，CD=21AC ，若BD=2，则AD=_________ABC二、简答题1、已知：如图，∠BAC=30°,G 为∠BAC 平分线上一点，EG ∥AC ，EG 交AB 于点E ；GD ⊥AC ，垂足为点D求证：GD=21EG2、已知：如图，已知△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，BD 平分∠CBA ，且交AC 于点D ，AC=1，求AD 的长3、已知：如图，△ABC 是等边三角形，AD=21BC ，CD ⊥AD ，求证：AD ∥BCABCG DEDBACDB AC D。

初三中考第一轮复习课题22：勾股定理与直角三角形【知识点一】勾股定理与勾股定理逆定理概念勾股定理适用范围勾股定理的证明常见的勾股数勾股定理勾股数含字母代数式的勾股数勾股定理逆定理勾股定理逆定理勾股定理与勾股定理逆定理的联系与区别1.利用直角三角形的性质解题2.含30°角的直角三角形解题方法3.利用勾股定理求几何体表面最短距离4.利用勾股定理解决实际问题勾股定理考查题型 5.构造直角三角形利用勾股定理解题6.利用勾股定理解决翻折问题7.利用勾股定理解决几何图形面积问题8.利用勾股定理逆定理判断三角形的形状9.勾股定理逆定理的实际应用【精讲精练】考点1 勾股定理与勾股定理逆定理1.有两根木棒，分别长6cm，5cm，要再在7cm的木棒上取一段，用这三根木棒为边做成直角三角形，则第三根木棒要取的长度是 cm．2.△ABC三边长a，b，c+|b－a－1|+(c－5)2=0，则△ABC是 .3.（2018•无锡市）已知△ABC中，AB=10，AC=，∠B=30°，则△ABC的面积等于．4. （2019•衢州）一块圆形宣传标志牌如图所示，点A，B，C在⊙O上，CD垂直平分AB于点D．现测得AB＝8dm，DC＝2dm，则圆形标志牌的半径为（）A．6dm B．5dm C．4dm D．3dm（4）（5）5.（2018•湘潭）《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，△ABC中，∠ACB ＝90°，AC+AB＝10，BC＝3，求AC的长，如果设AC＝x，则可列方程为．6.若CD是△ABC的高，AB＝10，AC＝6，BC＝8，求CD的长．7.△ABC在方格纸中的位置如图1，方格纸中的每个小正方形的边长为1个单位长度.（1）图1中线段AB的长是______，AC的长是_______，BC的长是_______；（2）判断△ABC的形状，并说明理由；（3）在图2中画出△DEF，使DE，EF，DF三边的长分别为2，8，10，并求DF边上的高.考点2双勾股问题1.（2009•抚顺）将一个含30°角的三角板和一个含45°角的三角板如图摆放，∠ACB与∠DCE完全重合，∠C＝90°，∠A＝45°，∠EDC＝60°，AB＝4，DE＝6，则EB＝．（1）（2）（3）2.（2009•深圳）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是BC上一点，AD＝BD，若AB＝8，BD＝5，则CD＝．3.在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6．若点P在边AC上移动，则BP的最小值是．4.已知BD垂直平分AC，∠BCD＝∠ADF，AF⊥AC，（1）证明四边形ABDF是平行四边形；（2）若AF＝DF＝5，AD＝6，求AC的长．考点3 利用勾股定理求最值1. 如图所示，圆柱的高AB=3，底面直径BC=3，现在有一只蚂蚁想要从A处沿圆柱表面爬到对角C处捕食，则它爬行的最短距离是 .2.如图，已知长方体的三条棱AB、BC、BD分别为4，5，2，蚂蚁从A点出发沿长方体的表面爬行到M的最短路程的平方是_____.3.（2018•南通）如图，正方形ABCD中，AB＝2，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE，CF．（1）求证：AE＝CF；（2）求线段OF长的最小值．【知识点二】直角三角形的性质与判定①直角三角形两个锐角互余。

特殊三角形复习课标要求（1）了解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两底角相等；底边上的高线、中线及顶角平分线重合。

探索并掌握等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形。

探索等边三角形的性质定理：等边三角形的各角都等于60°，及等边三角形的判定定理：三个角都相等的三角形（或有一个角是60°的等腰三角形）是等边三角形。

（2）了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

掌握有两个角互余的三角形是直角三角形。

（3）探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题。

课标分析从知识与技能、数学思考、问题解决、情感与态度等四个方面阐述（1）、知识与技能掌握基本的证明方法和基本的作图等技能；掌握基本的推理技能。

(2)、数学思考在研究图形性质和运动、确定物体位置等过程中，进一步发展空间观念；经历借助图形思考问题的过程，初步建立几何直观。

体会通过合情推理探索数学结论，运用演绎推理加以证明的过程，在多种形式的数学活动中，发展合情推理与演绎推理的能力。

能独立思考，体会数学的基本思想和思维方式（3）、问题解决尝试从不同角度寻求解决问题的方法并能有效地解决问题；在与他人合作和交流过程中，能较好地理解他人的思考方法和结论。

经历借助图形思考问题的过程，初步建立几何直观。

（4）、情感与态度感受成功的快乐，体验独自克服困难、解决数学问题的过程，有克服困难的勇气，具备学好数学的信心。

在运用数学表述和解决问题的过程中，认识数学具有抽象、严谨和应用广泛的特点，体会数学的价值。

教学目标：1、知道等腰三角形的轴对称性及对称轴；2、掌握等腰三角形和等边三角形的有关性质和判定，能运用这些性质及判定进行有关计算和证明。

3、掌握直角三角形的性质和判定，能运用这些性质及判定进行有关计算和证明。

4、掌握勾股定理及其逆定理，进一步理解数形之间的联系。

三角形的认识教学目的1、认识三角形的角、边以及角平分线、中线和高线；2、会根据边的关系判断能否组成三角形，以及会画角平分线、中线和高线；3、利用三角形的性质解决问题。

教学内容一．【知识梳理】知识点一：认识三角形1.概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺序相接所组成的图形叫三角形。

“三角形”用符号“△”表示。

如图：顶点是A,B,C的三角形记做“△ABC”∠A, ∠B, ∠C是在三角形,由相邻两边组成的角，称为“三角形的内角”，简称“三角形的角”。

线段AB ,BC,CA是三角形的三条边。

2.知识回顾（1）、三角形三个内角和等于180°（2）、三角形按内角的大小进行分类三个内角都是锐角的三角形是“锐角三角形”（3）、三角形有一个内角是直角的三角形是“直角三角形”有一个内角是钝角的三角形是“钝角三角形”（4）、三角形任何两边的和大于第三边（5）、三角形任何两边之差小于第三边例题一：（一）填空题。

1、在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝∠C，则∠C＝．2、小华要从长度分别为5cm、6cm、11cm、16cm的四根小木棒中选出三根摆成一个三角形，那么他选的三根木棒的长度分别是3、三角形的一边为5 cm，一边为7 cm，则第三边的取值范围是4、△ABC中，若∠A＝35°,∠B＝65°,则∠C＝；若∠A＝120°,∠B＝2∠C，则∠C＝。

（二）选择题1.如果三角形的三个内角的度数比是2:3:4,则它是( )A.锐角三角形B.钝角三角形;C.直角三角形D.钝角或直角三角形2.若三角形中最大内角是60°，则这个三角形是（ ） A 、不等边三角形B 、等腰三角形C 、等边三角形D 、不能确定3.已知△ABC 中,∠A=2(∠B+∠C),则∠A 的度数为( )A.100°B.120°C.140°D.160°4．在下列条件中：①∠A+∠B=∠C ，②∠A ∶∠B ∶∠C=1∶2∶3，③∠A=90°－∠B ，④∠A=∠B=½ ∠C 中，能确定△ABC 是直角三角形的条件有（ ）A ．1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个小结：1、判断能组成三角形的三条线段只需满足较小两边之和大于最大边，或最大边与任意较小边之差小于第三边即可；2、三角形的内角之和满足180°即可知识点二：三角形的高线定义：过一个三角形的顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高。

三相似三角形的判定及性质[学习目标]1.理解相似三角形的定义.2.理解预备定理的本质.3.会证明判定定理1，2，3，理解这些定理的内容，能应用这些定理证明相关的几何问题.4.掌握直角三角形相似的判定定理，会应用定理证明相关的几何问题.[知识链接]1.在初中我们学习过相似三角形，想一想，相似三角形及相似比是如何定义的？提示对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形.相似三角形对应边的比值叫做相似比(或相似系数).2.判断下列各命题的正确性，正确的打“√”，错误的打“×”(1)两个等边三角形相似(√)(2)两个直角三角形相似(×)(3)两个等腰直角三角形相似(√)(4)有一个角为50°的两个等腰三角形相似(×)(5)有一个角为100°的两个等腰三角形相似(√)[预习导引]1.相似三角形(1)定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫作相似三角形，相似三角形对应边的比值叫作相似比(或相似系数).(2)记法：两个三角形相似，用符号“∽”表示，例如△ABC与△A′B′C′相似，记作△ABC∽△A′B′C′.2.相似三角形的判定3.(1)如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似.(2)如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似.(3)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似.4.相似三角形的性质定理(1)相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比. (2)相似三角形周长的比等于相似比. (3)相似三角形面积的比等于相似比的平方.5.两个相似三角形外接(内切)圆的直径比、周长比、面积比与相似比的关系相似三角形外接(内切)圆的直径比、周长比等于相似比，外接(内切)圆的面积比等于相似比的平方. 6.相似三角形的性质和全等三角形的性质比较要点一 相似三角形的判定例1 如图所示，∠ABC ＝∠D ＝90°，AC ＝a ，BC ＝b ，当BD 与a ，b 之间满足怎样的关系时，△ABC 与△CDB 相似？解 (1)∵∠ABC ＝∠CDB ＝90°，∴当AC BC ＝BC BD时，△ABC ∽△CDB .即a b ＝b BD，∴BD ＝b 2a时，△ABC ∽△CDB .(2)∵∠ABC ＝∠BDC ＝90°，∴当AC BC ＝ABBD时，△ABC ∽△BDC ，即a b ＝a 2－b 2BD， ∴BD ＝b a 2－b 2a时，△ABC ∽△BDC .综上，当BD ＝b 2a 或BD ＝b a 2－b 2a时，△ABC 与△CDB 相似.规律方法 解决此类问题，重点应放在“对应关系”上，根据“对应关系”进行合理的讨论是解题的关键.跟踪演练1 如图所示，等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，D 为CB 延长线上一点，E 为BC 延长线上一点，满足AB 2＝DB ·CE . (1)求证：△ADB ∽△EAC ；(2)若∠BAC ＝40°，求∠DAE 的度数. (1)证明 ∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ，∴∠ABD ＝∠ECA .又∵AB 2＝DB ·CE ，∴AB DB ＝CE AB ＝CEAC，∴AB CE ＝DB AC，∴△ADB ∽△EAC .(2)解 ∵AB ＝AC ，∠BAC ＝40°，∴∠ABC ＝70°. 又∵△ADB ∽△EAC ，∴∠D ＝∠EAC ，∴∠DAE ＝∠DAB ＋∠BAC ＋∠EAC ＝∠DAB ＋∠BAC ＋∠D ＝∠ABC ＋∠BAC ＝70°＋40°＝110°. 要点二 直角三角形的判定例2 如图所示，矩形ABCD 中，AB ∶BC ＝5∶6，点E 在BC 上，点F 在CD 上，且EC ＝16BC ，FC ＝35CD .求证：△AFD ∽△FEC .证明 设EC ＝x ，则BC ＝AD ＝6x ，AB ＝DC ＝5x ，∴FC ＝3x ，FD ＝2x ，∴AD FC ＝6x 3x ＝2，FD EC ＝2xx ＝2， ∴AD FC ＝FDEC，又∵∠D ＝∠C ＝90°， ∴△AFD ∽△FEC .规律方法 直角三角形相似的判定方法很多，既可根据一般三角形相似的判定方法，又有其独特的判定方法，在求证、识别的过程中可由已知条件结合图形特征，确定合适的方法.跟踪演练2 如图所示，直线EF 交AB ，AC 于点F ，E ，交BC 的延长线于点D ，AC ⊥BC ，且AB ·CD ＝DE ·AC .求证：AE ·CE ＝DE ·EF . 证明 ∵AB ·CD ＝DE ·AC ，∴AB DE ＝ACCD. ∵AC ⊥BC ，∴∠ACB ＝∠DCE ＝90°， ∴Rt △ACB ∽Rt △DCE ， ∴∠A ＝∠D . 又∵∠AEF ＝∠DEC ， ∴△AEF ∽△DEC ，∴AE DE ＝EFCE，∴AE ·CE ＝DE ·EF . 要点三 相似三角形的性质例3 如图所示，在△ABC 和△DBE 中，AB DB ＝BC BE ＝AC DE ＝53.(1)若△ABC 与△DBE 的周长之差为10 cm ，求△ABC 的周长； (2)若△ABC 与△DBE 的面积之和为170 cm 2，求△DBE 的面积.解 (1)∵AB DB ＝BC BE ＝ACDE，∴△ABC ∽△DBE .∴△ABC 的周长△DBE 的周长＝AB DB ＝53.设△ABC 的周长为5x cm ， 则△DBE 的周长为3x cm ，依题意，得5x －3x ＝10，解得x ＝5. ∴△ABC 的周长为25 cm. (2)∵△ABC ∽△DBE ，∴S △ABC S △DBE ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB DB 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫532＝259. 设S △ABC ＝25y cm 2， 则S △DBE ＝9y cm 2，依题意，得25y ＋9y ＝170，解得y ＝5. ∴△DBE 的面积为45 cm 2.规律方法 在利用相似三角形的性质建立比例式时，一定要注意比的顺序，才能得出正确的结果.跟踪演练3 如图所示，在△ABC 中，DE ∥BC ，S △ADE ∶S △ABC ＝4∶9. 求：(1)AE ∶EC ； (2)S △ADE ∶S △CDE .解 (1)∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC .S △ADE S △ABC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AE AC 2＝49，∴AE AC ＝23，AE EC ＝21.(2)如图所示，作DF ⊥AC 于F ，则S △ADE ＝12DF ·AE ，S △CDE ＝12DF ·EC ，∴S △ADE S △CDE ＝12DF ·AE12DF ·EC ＝AE EC ＝21.1.相似三角形判定定理的作用 (1)可以用来判定两个三角形相似； (2)间接证明角相等，线段长成比例； (3)为计算线段的长度及角的大小创造条件.2.三角形相似的判定定理的一些常见推论 推论1：顶角或底角相等的两个等腰三角形相似； 推论2：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似；推论3：如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似. 推论4：如果一个三角形的两边和第三边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似. 3.相似三角形的性质定理的内容归纳起来主要有两个方面：一是相似三角形的对应线段(高、中线、角平分线以及周长)的比等于相似比；二是相似三角形面积的比等于相似比的平方，运用性质定理，拓宽思路，可以探讨得到：两个相似三角形中的所有对应图形(所有对应线段如等分线段，等分角线以及外接圆与内切圆的直径、周长、面积等)与相似比都有一定的关系.1.如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，点F 是BC 上的一点，AF 交DE 于点G ，则与△ADG 相似的是( ) A.△AEG B.△ABF C.△AFCD.△ABC解析 在△ABF 中，DG ∥BF ，则△ADG ∽△ABF . 答案 B2.如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC ，垂足为D ，DE ⊥AB ，垂足为E ，则图中与Rt△ADE 相似的三角形个数为( )A.1B.2C.3D.4解析 图中Rt △CBA ，Rt △CAD ，Rt △ABD ，Rt △DBE 均与Rt △ADE 相似. 答案 D3.(2016·深圳调考)如图所示，∠BAC ＝∠DCB ，∠CDB ＝∠ABC ＝90°，AC ＝a ，BC ＝b .则BD ＝________(用a ，b 表示).解析 由题意可得△ABC ∽△CDB ，∴AC BC ＝BC BD ，∴BD ＝BC 2AC ＝b 2a .答案 b 2a4.(2016·天津南开中学检测)如图所示，已知点D 是△ABC 中AB 上的一点，DE ∥BC 且交AC 于点E ，EF ∥AB 且交BC 于点F ，且S △ADE ＝1，S △EFC ＝4，求四边形BFED 的面积. 解 ∵AB ∥EF ，DE ∥BC ， ∴△ADE ∽△ABC ，△EFC ∽△ABC ， ∴△ADE ∽△EFC . 又S △ADE ∶S △EFC ＝1∶4， ∴AE ∶EC ＝1∶2， ∴AE ∶AC ＝1∶3. ∴S △ADE ∶S △ABC ＝1∶9. ∵S △ADE ＝1，∴S △ABC ＝9.∴S 四边形BFED ＝S △ABC －S △ADE －S △EFC ＝9－1－4＝4.一、基础达标1.在△ABC 中，P 为AB 上一点，在下列四个条件中：①∠ACP ＝∠B ；②∠APC ＝∠ACB ；③AC 2＝AP ·AB ；④AB ·CP ＝AP ·CB .其中，能判定△APC 与△ACB 相似的条件是( ) A.①②④ B.①③④ C.②③④D.①②③解析 如图，∵∠A ＝∠A ，∴①∠ACP ＝∠B ，②∠APC ＝∠ACB 时，都满足三角形相似的条件； 当AC 2＝AP ·AB 时，即AC AB ＝APAC，∴③也满足相似条件；④中两个对应边的夹角不是∠A ，故不相似. 答案 D2.如图所示，△ABC ∽△AED ∽△AFG ，DE 是△ABC 的中位线，△ABC 与△AFG 的相似比是3∶2，则△AED 与△AFG 的相似比是( ) A.3∶4 B.4∶3 C.8∶9D.9∶8解析 因为△ABC 与△AFG 的相似比是3∶2，故AB ∶AF ＝3∶2，又△ABC 与△AED 的相似比是2∶1，即AB ∶AE ＝2∶1，故△AED 与△AFG 的相似比k ＝AE ∶AF ＝AB AF ·AE AB ＝32×12＝34.故选A.答案 A3.在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 上的点，且DE ∥BC ，△ADE 的面积是2 cm 2，梯形DBCE 的面积为6 cm 2，则DE ∶BC 的值为( )A.1∶ 3B.1∶2C.1∶3D.1∶4解析 如图，∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴S △ADE ∶S △ABC ＝2∶(6＋2)＝1∶4，∴DE ∶BC ＝1∶2. 答案 B4.(2016·黄冈调考)如图，在▱ABCD 中，AE ∶EB ＝1∶2，△AEF 的面积为6，则△ADF 的面积为________. 解析 ∵AE ∥DC ，AE ∶EB ＝1∶2，∴△AEF ∽△CDF ，且相似比EF FD ＝AE DC ＝AE AB ＝AE AE ＋EB ＝13，又△AEF 的边EF 上的高与△ADF 的边DF 上的高相等，∴S △AEF S △ADF ＝EF FD ＝13. 又S △AEF ＝6，∴S △ADF ＝18. 答案 185.如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥AD ，对角线BD ⊥DC ，AD ＝3，BC ＝7，则BD 2＝________. 解析 ∵∠ADC ＋∠BCD ＝180°，∠BDC ＝90°， ∴∠ADB ＋∠BCD ＝90°. 而∠ADB ＋∠ABD ＝90°， ∴∠ABD ＝∠BCD . 又∠BAD ＝∠BDC ＝90°， ∴Rt △ABD ∽Rt △DCB .∴AD BD ＝BD BC.∴BD 2＝AD ·BC ＝3×7＝21. 答案 216.如图所示，在▱ABCD 中E ，F 分别在AD 与CB 的延长线上，请写出图中所有的相似三角形. 解 ∵AB ∥CD ，∴△EDH ∽△EAG ，△CHM ∽△AGM ，△FBG ∽△FCH . 又∵AD ∥BC ，∴△AEM ∽△CFM ，△EDH ∽△FCH ，△AEG ∽△BFG ，△ABC ∽△CDA .∴图中的相似三角形有△AEM ∽△CFM ，△AGM ∽△CHM ，△EDH ∽△EAG ∽△FBG ∽△FCH ， △ABC ∽△CDA . 二、能力提升7.在△ABC 中，AB ＝9，AC ＝12，BC ＝18，点D 为AC 上一点，DC ＝23AC ，在AB 上取一点E ，得到△ADE ，若△ADE与△ABC 相似，则DE 的长为( ) A.6 B.8 C.6或8D.14解析 当△ADE ∽△ACB 时，则AD AC ＝DE BC ，∴DE ＝18×412＝6，当△ADE ∽△ABC 时，则AD AB ＝DEBC，∴DE ＝18×49＝8.答案 C8.如图，BD ⊥AE ，∠C ＝90°，AB ＝4，BC ＝2，AD ＝3.则DE ＝________，CE ＝________. 解析 在Rt △ACE 和Rt △ADB 中，∠A 是公共角，∴△ACE ∽△ADB ，∴AB AE ＝AD AC. ∴AE ＝AB ·AC AD ＝AB ·（AB ＋BC ）AD ＝4×（4＋2）3＝8. 则DE ＝AE －AD ＝8－3＝5.在Rt △ACE 中，CE ＝AE 2－AC 2＝82－（4＋2）2＝27.答案 5 279.如图所示，∠B ＝∠D ，AE ⊥BC ，∠ACD ＝90°，且AB ＝6，AC ＝4，AD ＝12，则BE ＝________. 解析 ∵∠B ＝∠D ，∠AEB ＝∠ACD ＝90°，∴△AEB ∽△ACD ，从而得AB AD ＝AE AC ，612＝AE 4，解得AE ＝2，故BE ＝AB 2－AE 2＝4 2.答案 4 210.如图，已知在正方形ABCD 中，P 是BC 上的点，有BP ＝3PC ，Q 是CD 的中点. 求证：△ADQ ∽△QCP .证明 在正方形ABCD 中，∵Q 是CD 的中点，∴AD QC＝2. ∵BP PC ＝3，∴BC PC＝4. 又BC ＝2DQ ，∴DQ CP ＝2.在△ADQ 和△QCP 中，AD QC ＝DQ CP＝2，∠C ＝∠D ＝90°， ∴△ADQ ∽△QCP .11.如图所示，△ABC 为正三角形，D ，E 分别是AC ，BC 边上的点(不在顶点)，∠BDE ＝60°.(1)求证：△DEC ∽△BDA ；(2)若正三角形ABC 的边长为6，当D 点在什么位置时，可使BE 最短，此时BE 长是多少？(1)证明 ∵∠BDE ＝60°，∴∠BDC ＝∠BDE ＋∠CDE ＝60°＋∠CDE .又∠BDC 是△ABD 的一个外角，且∠A ＝60°，∴∠BDC ＝∠A ＋∠ABD ＝60°＋∠ABD ，∴∠CDE ＝∠ABD .又∵∠A ＝∠C ＝60°，∴△DEC ∽△BDA .(2)解 设DC ＝x ，BE ＝y ，则EC ＝6－y ，AD ＝6－x .由(1)可得EC AD ＝DC AB ，整理得6－y 6－x ＝x 6，即y ＝16x 2－x ＋6(0<x <6)，配方得y ＝16(x －3)2＋92.∵0<x <6，∴当x ＝3时，y min ＝92，即DC ＝3，也就是D 是边AC 的中点时，BE 最短，此时BE 的长是92.三、探究与创新12.如图所示，在矩形ABCD 中，E 为AD 中点，EF ⊥EC 交AB 于F ，连接FC (AB >AE ).(1)△AEF 与△ECF 是否相似，若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由.(2)设AB BC ＝k ，是否存在这样的k 值，使得△AEF 与△BCF 相似，若存在，证明你的结论，并求出k 的值；若不存在，请说明理由.解 (1)相似.在矩形ABCD 中，∠A ＝∠D ＝90°.∵EF⊥EC，A，D，E共线，∴∠AEF＋∠DEC＝90°. 又∵∠DEC＋∠DCE＝90°，∴∠AEF＝∠DCE.∴△AEF∽△DCE.∴EFEC＝AFDE.∵AE＝DE，∴EFEC＝AFAE.又∵∠A＝∠FEC＝90°，∴△AEF∽△ECF.(2)存在.由于∠AEF＝90°－∠AFE<180°－∠CFE－∠AFE＝∠BFC，∴只能是△AEF∽△BCF.∠AEF＝∠BCF.由(1)知△AEF∽△DCE∽△ECF，∴∠AEF＝∠DCE＝∠ECF＝∠BCF，又∵∠DCE＋∠ECF＋∠BCF＝90°，∴∠DCE＝30°，∴ABBC＝CDBC＝CD2DE＝32，即k＝32.反过来，当k＝32时，DECD＝13，∠DCE＝30°，∠AEF＝∠DCE＝30°，∠ECF＝∠AEF＝30°，∴∠BCF＝90°－30°－30°＝30°＝∠AEF. ∴△AEF∽△BCF.。

直角三角形的性质教学案直角三角形是初中数学中的重要概念，它具有独特的性质和特点。

本教学案旨在帮助学生理解直角三角形的性质，并能够应用这些性质解决相关问题。

以下是本教学案的内容安排：引言：教师简要介绍直角三角形的概念和重要性，并引出直角三角形的性质。

引言部分不仅能激发学生的学习兴趣，还能帮助他们明确学习目标。

性质一：直角三角形的定义直角三角形是指其中一个角为直角（90度）的三角形。

教师向学生介绍直角三角形的定义，并通过图示和实例让学生在视觉上理解直角三角形的形状。

性质二：勾股定理教师向学生引入勾股定理的概念，并解释为何直角三角形中恒成立。

教师可以通过提供多个实例，以及演示勾股定理的证明过程加深学生的理解。

性质三：三角形的边长关系教师介绍直角三角形的特殊边长关系，包括斜边长度与直角边长度的关系，以及两直角边长度之间的关系。

性质四：三角形的角度关系教师向学生介绍直角三角形中角度的关系，包括直角边与斜边和另一直角边的角度关系。

性质五：特殊直角三角形教师介绍两个特殊直角三角形——45-45-90三角形和30-60-90三角形，并分别讲解它们的边长比例和角度关系。

教师可以通过图片和实例帮助学生更好地理解这两种特殊直角三角形。

应用示例：教师提供几个具体应用示例，并引导学生运用所学的性质解决实际问题。

示例可以涉及房屋设计、地理测量等方面，以增加学生的实际应用能力。

总结：教师对本节课内容进行总结，并强调直角三角形的重要性和应用价值。

同时，鼓励学生积极运用所学知识解决实际问题，并展示自己的学习成果。

本教学案通过逐步引入直角三角形的性质，帮助学生逐渐理解和应用相关知识。

通过清晰的表述和整洁美观的排版，帮助学生更好地理解和吸收知识。

同时，教师可以根据具体情况调整教学方法，以适应学生的学习需求。

七年级下册数学提高讲义第09讲-认识三角形-学案第09讲认识三角形温故知新变量相关的定义1.变量在某一变化过程中，可以取不同数值的量。

2.自变量和因变量。

（1）在某一变化过程中，有两个变量，当其中一个变量在一定范围内取一个数值时，另一个变量也有唯一一个数值与其对应，通常把前一个变量叫做自变量，后一个变量叫做因变量。

（2）自变量和因变量的区别和联系。

联系两者都是某一变化过程中的变量，两者因研究的侧重点或先后顺序不同可以互相转化，比如当路程一定时，时间随速度的变化而变化，这时速度为自变量，时间为因变量。

而当速度一定时，路程随时间的变化而变化，这时时间为自变量，路程为因变量。

区别因变量随自变量的变化为变化。

3.常量在变化过程中数值始终不变的量。

智慧乐园生活中还有哪些三角形形状的物体呢，简单举例知识要点一。

三角形（一）三角形的定义及分类（1）三角形的定义由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

三角形有三边条.三个内角和三个顶点。

“三角形”可以用符号“”表示，如图中顶点是A，B，C的三角形，记作ABC，三个字母之间并无顺序关系。

ABC的三边，有时也用来表示。

如图，顶点A.B.C所对的边分别是BC.AC.AB，分别用来表示。

（2）三角形的分类按角分类（3）三角形内角的和等于180，这个定理可以结合右边的图形，利用平行线的性质证明。

（二）直角三角形（1）通常我们用“RtABC”表示“直角三角形ABC”。

直角所对的边叫做直角三角形的斜边，夹直角的两条边叫做直角边。

（2）直角三角形的性质直角三角形的两个锐角互余，用几何语言表示在RtABC中，C90，则AB90典例分析例1.如图，图中以AB为边的三角形的个数是（）A3B4C5D6例2.下列说法中正确的是（）A三角形的内角中至少有两个锐角B三角形的内角中至少有两个钝角C三角形的内角中至少有一个直角D三角形的内角中至少有一个钝角例3.已知如图，ABC中，ABCCBDC，AABD，则A______例4.ABC中，若AC2B，则B______例5.ABC中，若ABC123，则它们的相应邻补角的比为______例6.如图，ACB90，CDAB，垂足为D，下列结论错误的是（）A图中有三个直角三角形B12C1和B都是A的余角D2A例6.如图，在ABC中，BAC90，ACAB，AD是斜边BC上的高，DEAC，DFAB，垂足分别为E.F，则图中与C（C除外）相等的角的个数是（）A3个B4个C5个D6个学霸说（1）任意一个三角形，最多有三个锐角，最少有两个锐角，最多有一个钝角，最多有一个直角。