第1页（共12页）2012年第十七届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小
高组B卷）
一、填空题（每小题10分，共80分）
1．（10分）算式÷（）的值为．
2．（10分）设a△b和a▽b分别表示取a和b两个数的最小值和最大值，如，3△4＝3，3
▽4＝4，那么对于不同的数x，5▽[4▽（x△4）]的取值共有个．
3．（10分）里山镇到省城的高速路全长189千米，途经县城，里山镇到县城54千米．早上
8：30，一辆客车从里山镇开往县城，9：15到达，停留15分钟后开往省城，11：00到
达．另有一辆客车于同天早上8：50从省城径直开往里山镇，每小时行驶60千米．那么两车相遇的时间为．
4．（10分）有高度相同的一段方木和一段圆木，体积之比是1：1．如果将工成尽可能大的
圆柱，将圆木加工成尽可能大的长方体，则得圆柱体积和长方体的体积的比值为．
5．（10分）用[x]表示不超过x的最大整数，记{x}＝x﹣[x]，则算式{}+{}+{}+…+{}的值为．
6．（10分）某个水池存有其容量的十八分之一的水．两条注水管同时向水池注水，当水池
的水量达到九分之二时，第一条注水管开始单独向水池注水，用时81分钟，所注入的水
量等于第二条注水管已注入水池内的水量．然后第二条注水管单独向水池注水49分钟，
此时，两条注水管注入水池的总水量相同．之后，两条注水管都继续向水池注水．那么两条注水管还需要一起注水分钟，方能将水池注满．
7．（10分）有16位选手参加象棋晋级赛，每两人都只赛一盘．每盘胜者积1分，败者积0
分．如果和棋，每人各积0.5分．比赛全部结束后，积分不少于10分者晋级．那么本次比赛后最多有位选手晋级．
8．（10分）平面内有5个点，其中任意3个点均不在同一条直线上，以这些点为端点连接
线段，则除这5个点外，这些线段至少还有个交点．
二、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）
9．（10分）能否用540个图所示的1×2的小长方形拼成一个6×180的大长方形，使得6第2页（共12页）×180的长方形的每一行、每一列都有奇数个星？请说明理由．
第1页（共12页）2012年第十七届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷
（小高组B卷）
一、填空题（每小题10分，共80分）
1．（10分）算式÷（）的值为．
2．（10分）设a△b和a▽b分别表示取a和b两个数的最小值和最大值，如，3△4＝3，3
▽4＝4，那么对于不同的数x，5▽[4▽（x△4）]的取值共有个．
3．（10分）里山镇到省城的高速路全长189千米，途经县城，里山镇到县城54千米．早上
8：30，一辆客车从里山镇开往县城，9：15到达，停留15分钟后开往省城，11：00到
达．另有一辆客车于同天早上8：50从省城径直开往里山镇，每小时行驶60千米．那么两车相遇的时间为．
4．（10分）有高度相同的一段方木和一段圆木，体积之比是1：1．如果将工成尽可能大的
圆柱，将圆木加工成尽可能大的长方体，则得圆柱体积和长方体的体积的比值为．
5．（10分）用[x]表示不超过x的最大整数，记{x}＝x﹣[x]，则算式{}+{}+{}+…+{}的值为．
6．（10分）某个水池存有其容量的十八分之一的水．两条注水管同时向水池注水，当水池
的水量达到九分之二时，第一条注水管开始单独向水池注水，用时81分钟，所注入的水
量等于第二条注水管已注入水池内的水量．然后第二条注水管单独向水池注水49分钟，
此时，两条注水管注入水池的总水量相同．之后，两条注水管都继续向水池注水．那么两条注水管还需要一起注水分钟，方能将水池注满．
7．（10分）有16位选手参加象棋晋级赛，每两人都只赛一盘．每盘胜者积1分，败者积0
分．如果和棋，每人各积0.5分．比赛全部结束后，积分不少于10分者晋级．那么本次比赛后最多有位选手晋级．
8．（10分）平面内有5个点，其中任意3个点均不在同一条直线上，以这些点为端点连接
线段，则除这5个点外，这些线段至少还有个交点．
二、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）
9．（10分）能否用540个图所示的1×2的小长方形拼成一个6×180的大长方形，使得6第2页（共12页）×180的长方形的每一行、每一列都有奇数个星？请说明理由．
1 华杯赛数论专辑
A
1.哥德巴赫猜想是说：“每个大于2的偶数都可以袤示成两个质数之和”。问：168是哪两个两位数的质数之和，并且其中的一个的个位数字是1?【第六届华杯赛初赛试题】
2.任意写一个两位数，再将它依次重复3遍成一个8位数．将此8位数除以该两位数所得到的商再除以9，问：得到的余数是多少？【第九届华杯赛初赛试题】
3．将l999表示为两个质数之和：l999=口+口，在口中填入质数。共有多少种表示法?【第七届华杯赛初赛试题】
4．五个比0大的数它们两两的乘积是1，80，35，1.4，50，56，1.6，2，40，70这十个值，问这五个数中最大数是最小数的多少倍？【第07届华罗庚金杯少年数学邀请赛团体决赛口试试题】
5. 能将1，2，3，4，5，6，7，8，9填在3×3的方格表中（如下图），使得横向与竖向任意相邻两数之和都是质数吗？如果能，请给出一种填法：如果不能，请你说明理由．【第07届华罗庚金杯少年数学邀请赛团体决赛口试试题】
6.将1，2，3，4，5，6，7，8，9九个数排成一行，使得第二个数整除第一个数，第三个数整除前两个数的和，第四个数整除前三个数的和，…，第九个数整除前八个数的和，如果第一个数是6，第四个数是2，第五个数是1．问排在最后的数是几？【第07届华罗庚金杯少年数学邀请赛团体决赛口试试题】
2 7.能否找到自然数a和b，使a2=2002+b2.【第八届华杯赛复赛试题及解答】
8.1到100所有自然数中与100互质各数之和是多少？【第九届华杯赛总决赛一试试题】
9. a，b和c都是二位的自然数，a，b的个位分别是7与5，c的十位是1。如果它们满足等式ab+c=2005，则a+b+c=( )。 【第十届华杯赛决赛试题】
10.小于10且分母为36的最简分数共有多少个? 【第十届华杯赛口赛试题】
11.构成自然数的所有数字互不相同，这些数字的乘积等于360。求n的最大值。【第十届华杯赛口赛试题】
第十届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛 初赛试题
1、2005年是中国伟大航海家郑和首次下西洋600周年，西班牙伟大航海家歌伦布首次远洋航行是在1492年。问这两次远洋航行相差多少年？
2、从冬至之日起每九天分为一段，依次称之为一九，二九，……，九九，2004年的冬至为12月21日，2005年的立春是2月4日。问立春之日是几九的第几天？
3、右下方是一个直三棱柱的表面展开图，其中，黄色和绿色的部分都是边长等于1的正方形。问这个直三棱柱的体积是多少？
4、爸爸、妈妈、客人和我四人围着圆桌喝茶。若只考虑每人左邻的情况，问共有多少种不同的入座方法？
5、在奥运会的铁人三项比赛中，自行车比赛距离是长跑的4倍，游泳的距离是自行车的，长跑与游泳的距离之差为8.5千米。求三项的总距离。
6、如右图，用同样大小的正三角形，向下逐次拼接出更大的正三角形。其中最小的三角形顶点的个数（重合的顶点只计一次）依次为：
3，6，10，15，21，……问这列数中的第9个是多少？ 7、一个圆锥形容器甲与一个半球形容器乙，它们圆形口的直径与容器的高的尺寸如图所示。若用甲容器取水来注满乙容器，问：至少要注水多少次？
8、100名学生参加社会实践，高年级学生两人一组，低年级学生三人一组，共有41组。问：高、低年级学生各多少人？
9、小鸣用48元钱按零售价买了若干练习本。如果按批发价购买，每本便宜2元，恰好多买4本。问：零售价每本多少元？
10、不足100名同学跳集体舞时有两种组合：一种是中间一组5人，其他人按8人一组围在外圈；另一种是中间一组8人，其他人按5人一组围在外圈。问最多有多少名同学？
11、输液100毫升，每分钟输2.5毫升。请你观察第12分钟时吊瓶图像中的数据，回答整个吊瓶的容积是多少毫升？
12、两条直线相交所成的锐角或直角称为两条直线的“夹角”。现平面上有若干条直线，它们两两相交，并且“夹角”只能是30°，60°或90°。问：至多有多少条直线？ 一、选择题（每小题10分）以下每小题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内．
