甘肃省嘉峪关市第一中学2017-2018学年高二上学期期末考试数学(理)试题+Word版含答案

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高二数学(理科)试题

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是( )

A．不存在x∈R，x3－x2＋1≤0 B．存在x∈R，x3－x2＋1≤0

C．存在x∈R，x3－x2＋1>0 D．对任意的x∈R，x3－x2＋1>0

2．抛物线x2＝12y的焦点到准线的距离是( )

A．2 B．1 C．12 D．14

3．设曲线y＝x＋1x－1在点(3,2)处的切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，则实数a等于( )

A．2 B．12 C．－12 D．－2

4．“x>0”是“3x2>0”成立的( )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．既不充分也不必要条件 D．充要条件

5.如图所示，正四棱锥P－ABCD的底面积为3，体积为22，E为侧棱PC的中点，则PA与BE所成的角为( )

A．π6 B．π4

C．π3 D．π2

6．若命题“∃x0∈R，使得x20＋mx0＋2m－3<0”为假命题，则实数m的取值范围是( )

A．[2,6] B．[－6，－2] C．(2,6) D．(－6，－2)

7．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱BB1中点，G是DD1中点，F是BC上一点且FB＝14BC，则GB与EF所成的角为( )

A．30° B．120° C．60° D．90°

8．已知双曲线x2a2－y2b2＝1的一个焦点与抛物线y2＝410x的焦点重合，且双曲线的离心率等于103，则该双曲线的方程为( ) A．x2－y29＝1 B．x29－y2＝1 C．x2－y2＝1 D．x29－y29＝1

9．若双曲线x26－y23＝1的渐近线与圆(x－3)2＋y2＝r2(r>0)相切，则r＝( )

A.3 B．2 C．3 D．6

10．函数y＝xex的单调递增区间是( )

A．[－1，＋∞) B．(－∞，－1] C．[1，＋∞) D．(－∞，1]

11．已知抛物线y2＝2px(p>0)与椭圆x2a2＋y2b2＝1有相同的焦点F，点A是两曲线的交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为( )

A．5＋12 B．2－1 C．3＋1 D．22＋12

12．已知f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝(12)x－m，若对∀x1∈[0,3]，∃x2∈[1,2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是( )

A．[14，＋∞) B．(－∞，14] C．[12，＋∞) D．(－∞，－12]

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．

13．“tanθ≠1”是“θ≠π4”的________条件．

14．已知曲线y＝－13x3＋2与曲线y＝4x2－1在x＝x0处的切线互相垂直，则x0的值为________．

15．已知正方形ABCD，则以A，B为焦点，且过C，D两点的椭圆的离心率为________．

16．已知以y＝±3x为渐近线的双曲线D：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，若P为双曲线D右支上任意一点，则|PF1|－|PF2||PF1|＋|PF2|的取值范围是________．

三、解答题：解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

17．(本小题满分10分)

已知命题p：方程22121xymm表示焦点在y轴上的椭圆；命题q：双曲线2215yxm的离心率(1,2)e，若pq是真命题，求实数m的取值范围．

18．(本小题满分12分)

已知动点P(x，y)与两定点M(－1,0)，N(1,0)连线的斜率之积等于常数λ(λ≠0)．

(1)求动点P的轨迹C的方程；

(2)讨论轨迹C的形状．

19．(本小题满分12分)

如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC＝45°，AD＝AC＝1，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD，PO＝2，M为PD的中点．

(1)证明：PB∥平面ACM；

(2)证明：AD⊥平面PAC；

(3)求直线AM与平面ABCD所成角的正切值．

20．(本小题满分12分)

已知在△ABC中，点A，B的坐标分别为(－2，0)，B(2，0)，点C在x轴上方．

(1)若点C坐标为(2，1)，求以A，B为焦点且经过点C的椭圆的方程；

(2)过点P(m,0)作倾斜角为34π的直线l交(1)中曲线于M，N两点，若点Q(1,0)恰在以线段MN为直径的圆上，求实数m的值．

21．(本小题满分12分)

如图所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长是2，侧棱长是3，D是AC的中点．

(1)求证：B1C∥平面A1BD； (2)求二面角A1－BD－A的大小；

(3)在线段AA1上是否存在一点E，使得平面B1C1E⊥平面A1BD？若存在，求出AE的长；若不存在，说明理由．

22．(本题满分12分)

已知函数f(x)＝12x2－mlnx．

(1)若函数f(x)在(12，＋∞)上是单调递增的，求实数m的取值范围；

(2)当m＝2时，求函数f(x)在[1，e]上的最大值和最小值．

1C

2D

3D

4A

5C

6A

7D

8B

9A

10A

11B

12A

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．

13．充分不必要 14．12 15．2－1 16．0，12

三、解答题：解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

17．(本小题满分10分) 已知命题p：方程22121xymm表示焦点在y轴上的椭圆；命题q：双曲线2215yxm的离心率(1,2)e，若pq是真命题，求实数m的取值范围．

解：将方程22121xymm改写为22121xymm，只有当120mm，即103m时，方程表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆，所以命题p等价于103m；

因为双曲线2215yxm的离心率(1,2)e，所以0m，且5145m，解得015m，所以命题q等价于015m．

p或q为真，则015m．

18．(本小题满分12分)

已知动点P(x，y)与两定点M(－1,0)，N(1,0)连线的斜率之积等于常数λ(λ≠0)．

(1)求动点P的轨迹C的方程；

(2)讨论轨迹C的形状．

答案 (1)x2－y2λ＝1(λ≠0，x≠±1) (2)略

解析 (1)由题设知直线PM与PN的斜率存在且均不为零，所以kPM·kPN＝yx＋1·yx－1＝λ.

整理，得x2－y2λ＝1(λ≠0，x≠±1)．

(2)①当λ>0时，轨迹C为中心在原点，焦点在x轴上的双曲线(除去顶点)；

②当－1

③当λ＝－1时，轨迹C为以原点为圆心，1为半径的圆除去点(－1,0)，(1,0)；

④当λ<－1时，轨迹C为中心在原点，焦点在y轴上的椭圆(除去短轴的两个端点)．

19．(本小题满分12分)

如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC＝45°，AD＝AC＝1，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD，PO＝2，M为PD的中点．

(1)证明：PB∥平面ACM；

(2)证明：AD⊥平面PAC；

(3)求直线AM与平面ABCD所成角的正切值．

答案 (1)略 (2)略 (3)455

解析 (1)连接BD，MO，在平行四边形ABCD中，因为O为AC的中点，所以O为BD的中点．又M为PD的中点，所以PB∥MO.因为PB⊄平面ACM，MO⊂平面ACM，所以PB∥平面ACM.

(2)因为∠ADC＝45°，且

AD＝AC＝1，

所以∠DAC＝90°，即AD⊥AC.又PO⊥平面ABCD，

AD⊂平面ABCD，所以PO⊥AD.而AC∩PO＝O，所以AD⊥平面PAC.

(3)取DO中点N，连接MN，AN.因为M为PD的中点，所以MN∥PO，且MN＝12PO＝1.由PO⊥平面ABCD，得MN⊥平面ABCD，所以∠MAN是直线AM与平面ABCD所成的角．在Rt△DAO中，AD＝1，AO＝12，所以DO＝52.从而AN＝12DO＝54.在Rt△ANM中，tan∠MAN＝MNAN＝154＝455，即直线AM与平面ABCD所成角的正切值为455.

20．(本小题满分12分)

已知在△ABC中，点A，B的坐标分别为(－2，0)，B(2，0)，点C在x轴上方．

(1)若点C坐标为(2，1)，求以A，B为焦点且经过点C的椭圆的方程；

(2)过点P(m,0)作倾斜角为34π的直线l交(1)中曲线于M，N两点，若点Q(1,0)恰在以线段MN为直径的圆上，求实数m的值．

答案 (1)x24＋y22＝1 (2)m＝2±193

解析 (1)设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1，c＝2，2a＝|AC|＋|BC|＝4，b＝2，所以椭圆方程为x24＋y22＝1.

(2)直线l的方程为y＝－(x－m)，令M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立方程解得3x2－4mx＋2m2－4＝0.

∴ x1＋x2＝4m3，x1x2＝2m2－43.若Q恰在以MN为直径的圆上， 则y1x1－1·y2x2－1＝－1，即m2＋1－(m＋1)(x1＋x2)＋2x1x2＝0,3m2－4m－5＝0，解得m＝2±193.

21．(本小题满分12分)如图所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长是2，侧棱长是3，D是AC的中点．

(1)求证：B1C∥平面A1BD；

(2)求二面角A1－BD－A的大小；

(3)在线段AA1上是否存在一点E，使得平面B1C1E⊥平面A1BD？若存在，求出AE的长；若不存在，说明理由．

答案 (1)略 (2)π3 (3)存在且AE＝33

解析 (1)如图①所示，连接AB1交A1B于点M，连接B1C，DM.

因为三棱柱ABC－A1B1C1是正三棱柱，所以四边形AA1B1B是矩形，所以M为AB1的中点．

因为D是AC的中点，所以MD是三角形AB1C的中位线，所以MD∥B1C.

因为MD⊂平面A1BD，B1C⊄平面A1BD，所以B1C∥平面A1BD.

(2)作CO⊥AB于点O，所以CO⊥平面ABB1A1，所以在正三棱柱ABC－A1B1C1中建立如图②所示的空间直角坐标系O－xyz.

因为AB＝2，AA1＝3，D是AC的中点，所以A(1,0,0)，B(－1,0,0)，C(0,0，3)，A1(1，3，0)．

所以D(12，0，32)，BD→＝(32，0，32)，BA1→＝(2，3，0)．

设n＝(x，y，z)是平面A1BD的法向量，