高数二重积分习题加答案

高数基础-二重积分
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正确(正确答案)错误不会
11.
[单选题] *
A(正确答案)B C D不会
12.
[单选题] *
A B C(正确答案)D不会
[单选题] *
A B(正确答案)C D不会
14.
[单选题] *
A B(正确答案)C D不会
15.
[单选题] *
A(正确答案)B C D不会
[单选题] *
A B(正确答案)C D不会
17.
[单选题] *
A B C(正确答案)D不会
18.
[单选题] *
A B C D(正确答案)不会
[单选题] *
A B C D(正确答案)不会
20.
[单选题] *
A(正确答案)B C D不会。

二重积分的练习题
O3
直角坐标系下的练习题
计算$int_{0}^{1}int_{0}^{2}xy^{2}dxdy$
计算$int_{0}^{1}int_{0}^{2}(x + y)dxdy$
计算$int_{0}^{1}int_{0}^{2}(x - y)dxdy$
极坐标系下的练习题
计算$int_{0}^{frac{pi}{2}}int_{0}^{1}r^{2}costheta dtheta dr$
确定积分区域
拆分积分
逐个积分
极坐标系下的计算方法
将直角坐标转换为极坐标，即$x = rho cos theta, y = rho sin theta$。
将二重积分拆分为两个定积分，即$int int f(rho,theta) dA = int drho int f(rho,theta) dtheta$。
二重积分的几何意义
二重积分表示二维平面上的曲顶柱体的体积。 当f(x,y) > 0时，二重积分表示曲顶柱体的体积，其中f(x,y)是曲顶的函数。 当f(x,y) < 0时，二重积分表示曲顶柱体的体积的负值，即该体积的负值。 当f(x,y) = 0时，二重积分表示曲顶柱体的边界形状的面积。
二重积分的计算方法
二重积分的综合应用
O4
1
2
3
利用二重积分可以计算由平面曲线围成的平面区域的面积。
计算面积
利用二重积分可以计算由曲面围成的三维空间的体积。
计算体积
通过二重积分可以求出平面薄片的重心坐标。
计算平面薄片的重心
在几何中的应用
在物理中的应用
利用二重积分可以计算分布不均匀的物体的质量。 计算质量 通过二重积分可以求出两个质点之间的引力。 计算引力 利用二重积分可以计算空间中电荷分布产生的电场强度。 计算电场强度

（完整版）⾼等数学II练习册-第10章答案习题10-1 ⼆重积分的概念与性质1.根据⼆重积分的性质，⽐较下列积分的⼤⼩：（1）2()D x y d σ+??与3()Dx y d σ+??，其中积分区域D 是圆周22(2)(1)2x y -+-=所围成；（2）ln()Dx y d σ+??与2[ln()]Dx y d σ+??，其中D 是三⾓形闭区域，三顶点分别为(1,0)，(1,1)，(2,0)；2.利⽤⼆重积分的性质估计下列积分的值：（1）22sin sin DI x yd σ=，其中{(,)|0,0}D x y x y ππ=≤≤≤≤；（2）22(49)DI x y d σ=++??，其中22{(,)|4}D x y x y =+≤.（3）.DI =，其中{(,)|01,02}D x y x y =≤≤≤≤解 (),f x y =Q 2，在D 上(),f x y 的最⼤值()14M x y ===，最⼩值()11,25m x y ====故0.40.5I ≤≤习题10-2 ⼆重积分的计算法1.计算下列⼆重积分：（1）22()Dx y d σ+??，其中{(,)|||1,||1}D x y x y =≤≤；（2）cos()Dx x y d σ+??，其中D 是顶点分别为(0,0)，(,0)π和(,)ππ的三⾓形闭区域。

2.画出积分区域，并计算下列⼆重积分：（1）x y De d σ+??，其中{(,)|||1}D x y x y =+≤（2）22()Dxy x d σ+-??，其中D 是由直线2y =，y x =及2y x =所围成的闭区域。

3.化⼆重积分(,)DI f x y d σ=为⼆次积分（分别列出对两个变量先后次序不同的两个⼆次积分），其中积分区域D 是：（1）由直线y x =及抛物线24y x =所围成的闭区域；（2）由直线y x =，2x =及双曲线1(0)y x x=>所围成的闭区域。

r O
图3
D {(r, ) | 0 r r( ), 0 2}
f
(r cos , r sin )rdrd
2
0
d r( ) 0
f
(r cos , r sin )rdr
D
2o 极点在区域 D 的边界上，如图 8-10 所示.
O
r
图4
D {(r, ) | 0 r r( ), }
r( )
D
D
大小. 先判断 f (x, y) 和 g(x, y) 在 D 上的大小关系，再应用二重积分的比较性质比较两个二
重积分的大小.
解: 由 (x 1)2 ( y 1)2 2 ，可得
y
x y 1 (x2 y2 2x 3) 1 [(x 1)2 y2 ] 1 1
2
2
x
如图 8-22.
o
图 8-22
成的在第一卦限内的立体体积. R3 arctan K
y
3
z x2 y2 z2 1
y
O Dxy
y
x
x2 y2 1
O
x
o
x
图6
2. 求由曲面 z x2 2 y2 及 z 6 2x2 y2 所围成的立体的体积. 6 3. 求由曲面 z x2 y 2 及 z x 2 y 2 所围成的立体的体积
D
[思路] 利用二重积分的估值性质估计二重积分，先计算被积函数在积分区域上的最大、 最小值和积分区域的面积，应用估值性质来估计二重积分的值.
解: 因为在积分区域 D 上， 0 x 1,0 y 2 ，所以 0 xy 2, 1 x y 1 4
于是可得 0 xy(x y 1) 8 ，而 D 的面积 1 2 2 ，应用估值性质有