高等数学二重积分详细讲解

二重积分的计算方法二重积分是微积分中的一个重要内容，用于计算平面上各种形状的曲线或曲面与坐标平面的“面积”。

在实际应用中，二重积分常常与物理、几何、概率统计等学科密切相关。

本文将详细介绍二重积分的计算方法，包括定积分的计算、计算面积和质量等应用问题，以及换元积分、极坐标系、重积分等高阶积分方法。

一、定积分的计算定积分是二重积分的基础，因此首先需要掌握如何计算定积分。

定积分可以通过定义式或者积分的性质计算。

1.定义式计算定积分的定义式如下：∫a^b f(x) dx = lim(n→∞) ∑(k=1,n) f(xi)Δx其中[a,b]是定积分的区间，f(x)是被积函数，x_i是区间[a,b]上的等间距点，Δx是x_i与x_i+1之间的距离。

当被积函数f(x)是连续函数时，可以通过定义式计算定积分。

具体方法是将区间[a, b]等分成n个小区间，取每个小区间的中点作为x_i，计算f(xi)Δx的和，然后取极限即可。

2.积分的性质计算定积分具有一些特殊的性质，可以利用这些性质计算定积分。

（1）和函数性质：∫a^b [f(x) + g(x)] dx = ∫a^b f(x) dx + ∫a^b g(x) dx（2）积分常数性质：∫a^b c f(x) dx = c∫a^b f(x) dx（3）分段函数性质：∫a^b ([f(x)]_a^c + [f(x)]_c^b) dx = ∫a^b f(x) dx（4）奇偶函数性质：当f(x)是奇函数时，∫-a^a f(x) dx = 0当f(x)是偶函数时，∫-a^a f(x) dx = 2∫0^a f(x) dx根据这些性质，可以将复杂的定积分化简为简单的定积分来计算。

二、计算面积二重积分还可以用于计算平面上一些特定形状的曲线与坐标平面的“面积”。

具体可以分为以下两种情况。

1.曲线位于坐标平面的上方：设z=f(x,y)是定义在区域D上的连续函数，且在区域D上始终大于等于0，若D的边界由曲线C所围成，则D的面积可以用二重积分来计算：∬D dσ = ∬D dxdy = ∬D dA = ∫∫D dxdy其中，dσ表示微面积元素，dA表示微面积。

高等数学-二重积分二重积分作为高等数学的一部分，是积分学的重要内容之一，也是微积分的一个重要分支。

它可以用来求解平面图形的面积、质心、转动惯量等问题，同时也是理解三重积分和曲线积分的基础。

一、二重积分的定义对于平面直角坐标系中一个有界区域D，若在D内存在一个连续函数f(x,y)，则在D 上的二重积分值记为：∬Df(x,y)dxdy其中，dxdy表示对于(x,y)在D上的每一个点，都有一个微小的面积dxdy。

通常情况下，积分区域D是一个闭合区域，即被有限多条曲线所包围的区域。

1、线性性若f(x,y)和g(x,y)在D上可积，则对于任意实数a和b，有：∬D[af(x,y)+bg(x,y)]dxdy=a∬Df(x,y)dxdy+b∬Dg(x,y)dxdy2、积分的可加性若D可表示成D1和D2的并集，且D1和D2没有交集，则有：4、积分与面积的关系对于常数函数f(x,y)=1，在D上的二重积分值就是D的面积S。

即有：∬D1dxdy=S1、利用基本公式对于二重积分中的f(x,y)，若其为一元函数，则参照一元函数积分的公式进行计算即可。

若其为二元函数，则按照二元函数积分的公式计算。

2、极坐标法当积分区域D具有极轴对称性或者其中的许多边界方程可以转化为极坐标方程时，可以使用极坐标公式来求解。

即有：∬Df(x,y)dxdy=∫θ1θ2dθ∫r1r2f(r,θ)rdr其中，r为极径，θ为极角。

3、换元法当积分区域D无法采用基本公式或者极坐标法求解时，可以采用换元法来简化计算。

具体而言，可以通过将坐标系进行转化，将D映射为一个较为简单的区域，从而进行二重积分的计算。

1、面积计算二重积分可以用来计算平面图形的面积。

对于平面图形D，可设其边界方程为：g1(x)=a, g2(x)=b, h1(y)=c, h2(y)=d则D的面积可以表示为：S=∬Ddxdy=∫a^b∫c^d1dydx2、质心计算x0=∬Dxdxdy/M, y0=∬Dy dxdy/M其中，M为D的面积，x0和y0分别称为D的一阶矩。

二重积分知识点一、引言二重积分是高等数学中的重要内容，是对二元函数在有限区域上的积分运算。

二重积分的概念与求解技巧是深入理解、掌握多元函数的必备工具，也为解决实际问题提供了数学方法。

本文将从二重积分的概念、性质、计算方法和应用等方面，全面详细地介绍二重积分的知识点。

二、概念1. 二重积分的定义设f (x,y )在闭区域D 上有定义，D 由有向闭曲线C 围成，且f (x,y )在D 上有界。

若存在数I ，对于任意给定的正数ε，都存在正数δ，使得对于D 内任意满足Δσ<δ的任意分割σ，对应的任意代点ξij ，总有|∑∑f mj=1n i=1(ξij )Δσij −I|<ε则称I 为函数f (x,y )在闭区域D 上的二重积分，记作I =∬f D(x,y )dσ其中，Δσij 表示第(i,j )个小区域的面积，Δσ表示整个区域D 的面积。

2. 二重积分的几何意义二重积分的几何意义是对二元函数在闭区域上的面积进行逐点求和，即将闭区域D 分割成无穷多个小面积区域，并对每个小面积区域上的函数值进行乘积再求和，最终得到二重积分。

三、性质1. 线性性质设闭区域D上有二重积分∬fD(x,y)dσ，若c为常数，则有∬(cf(x,y)) D dσ=c∬fD(x,y)dσ∬(f(x,y)±g(x,y)) D dσ=∬fD(x,y)dσ±∬gD(x,y)dσ2. 区域可加性设闭区域D可分为非重叠的两部分D1和D2，则有∬fD (x,y)dσ=∬fD1(x,y)dσ+∬fD2(x,y)dσ3. Fubini定理（累次积分）设函数f(x,y)在闭区域D上连续，则有∬f D (x,y)dσ=∫(∫fβ(x)α(x)(x,y)dy)badx=∫(∫fδ(y)γ(y)(x,y)dx)dcdy其中，(x,y)∈D,α(x)≤y≤β(x),γ(y)≤x≤δ(y)。

4. 值定理设函数f(x,y)在闭区域D上一致连续，则存在(ξ,η)∈D，使得∬fD (x,y)dσ=f(ξ,η)∬dDσ=f(ξ,η)σ(D)其中，σ(D)表示闭区域D的面积。

二重积分计算方式二重积分是微积分中的重要概念之一，用来求解平面上某个区域上的某个量的总和。

在本文中，我们将介绍二重积分的计算方式和应用。

一、二重积分的定义及性质二重积分是通过将一个二元函数在一个区域上进行积分来求解该区域上的某个量的总和。

在二重积分中，被积函数的两个自变量分别为x和y，积分区域为D。

1. 定义：设函数f(x,y)在区域D上有定义，D是xy平面上的一个有界闭区域，将D分成许多小区域，记作ΔD。

选取ΔD中任意一点(xi,yi)，作函数值f(xi,yi)与ΔDi的乘积f(xi,yi)ΔAi，其中ΔAi为ΔDi的面积。

如果极限$$\lim_{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i=1}^{n} f(xi,yi) \Delta Ai$$存在且与D和ΔD的选取无关，那么称此极限为函数f(x,y)在D上的二重积分，记作$$\iint_D f(x,y) dxdy$$2. 性质：二重积分具有线性性质和可加性质，即对于任意常数a和b，函数f(x,y)和g(x,y)，以及区域D和E，有以下性质：- 线性性质：$$\iint_D (af(x,y) + bg(x,y)) dxdy = a\iint_D f(x,y) dxdy + b\iint_D g(x,y) dxdy$$- 可加性质：$$\iint_{D \cup E} f(x,y) dxdy = \iint_D f(x,y) dxdy + \iint_E f(x,y) dxdy$$二、二重积分的计算方式在实际计算二重积分时，常常使用直角坐标系和极坐标系来简化计算。

1. 直角坐标系下的计算方式在直角坐标系下，二重积分的计算可以通过迭代积分来进行。

假设被积函数为f(x,y)，积分区域为D，可以将二重积分表示为以下形式：$$\iint_D f(x,y) dxdy = \int_a^b \int_{c(x)}^{d(x)} f(x,y) dy dx$$其中a和b为x的范围，c(x)和d(x)为y的范围。

二重积分的概念与计算二重积分是微积分中的重要概念，在数学和物理学等领域有广泛应用。

本文将介绍二重积分的基本概念和计算方法，帮助读者更好地理解和应用该概念。

一、二重积分的基本概念二重积分是对二元函数在给定区域上的积分运算。

通常表示为∬_Df(x,y)dxdy，其中D为积分区域。

二重积分的结果是一个实数。

二、二重积分的计算方法1. 通过迭代积分计算如果积分区域D可以表示为两个范围有限的连续函数g(x)和h(x)之间的交集，即D={(x,y)|a≤x≤b,g(x)≤y≤h(x)}，则二重积分可以通过先计算内层积分再计算外层积分的方式进行计算。

具体计算步骤如下：步骤1：计算内层积分将变量y看作常数，将二元函数f(x,y)带入到内层积分中，进行y 的积分运算。

得到一个关于x的函数。

步骤2：计算外层积分将步骤1得到的关于x的函数带入到外层积分中，进行x的积分运算。

得到最终的结果。

2. 通过坐标变换计算在某些情况下，二重积分的计算可以通过坐标变换来简化。

常见的坐标变换包括极坐标变换和直角坐标变换。

以极坐标变换为例，如果积分区域D可以用极坐标表示，则可以通过将二元函数f(x,y)转化为二元函数g(r,θ)来计算二重积分。

具体计算步骤如下：步骤1：进行坐标变换将二元函数f(x,y)用极坐标变换的公式来表示，并计算坐标变换的Jacobi行列式。

步骤2：计算新函数的二重积分将坐标变换后得到的二元函数g(r,θ)进行二重积分计算，得到最终结果。

三、二重积分的应用二重积分在数学和物理学中有广泛的应用。

以下是一些常见的应用场景：1. 几何体的面积二重积分可以用来计算平面上有界区域的面积。

对于给定区域D和一个常数函数f(x,y)=1，在D上进行二重积分即可得到该区域的面积。

2. 质量和质心的计算已知二元函数f(x,y)表示平面上的质量密度分布，二重积分∬_Df(x,y)dxdy可以用来计算平面上有界区域D的质量。

质心的坐标可以通过以下公式计算：x_0=1/m∬_Dxf(x,y)dxdyy_0=1/m∬_Dyf(x,y)dxdy其中m为区域D的总质量。

二重积分的概念和计算二重积分是微积分中的重要概念之一，用于求解平面区域上的面积、质量、质心等问题。

在本文中，我将详细介绍二重积分的概念和计算方法。

首先，我们来介绍二重积分的概念。

在平面上，一个闭区域可以被划分为无数个面积微元，每个微元的面积可以表示为dA。

如果我们想要求解整个闭区域的面积，我们可以将每个微元的面积相加。

这个过程可以用二重积分来表示。

二重积分的一般形式为∬f(x,y)dA，其中f(x,y)是一个定义在闭区域上的函数。

我们将f(x,y)称为被积函数，表示在闭区域上特定点(x,y)处的函数值。

而dA则表示面积微元，可以视为一个小矩形的面积。

在实际计算中，二重积分的计算可以通过累加的方式进行。

首先，我们需要确定闭区域的边界，并确定积分的次序。

闭区域的边界可以通过给出的条件或图形来确定，而积分的次序可以根据被积函数的性质来确定。

一般来说，二重积分有两种次序，即x先变化后y变化的次序和y先变化后x变化的次序。

根据被积函数的性质，我们可以选择合适的次序来进行积分。

在计算中，我们通常采用迭代的方法，将二重积分转化为两个单变量的积分来计算。

接下来，我们来介绍二重积分的计算方法。

对于一般的二重积分，我们可以将闭区域划分为无数个小矩形，并计算每个小矩形的面积。

然后，我们将每个小矩形的面积与被积函数在相应点上的函数值相乘，并将所有小矩形的面积乘以函数值的乘积相加，即可得到二重积分的值。

对于x先变化后y变化的次序，我们可以将闭区域划分为n个子区域，并将每个子区域划分为m个小矩形。

然后，我们可以选择子区域的边界上的两个点，分别为(xi,yj)和(xi+1,yj+1)，其中i的取值范围为1到n，j的取值范围为1到m。

接下来，我们可以通过计算每个小矩形的面积和被积函数在相应点上的函数值来求得二重积分的近似值。

最后，我们将这些近似值相加，并取极限得到二重积分的精确值。

对于y先变化后x变化的次序，我们的计算方法类似。

二重积分的积分方法和积分公式二重积分是高等数学中一个重要的概念，主要用于求解平面区域上的积分问题。

在实际应用中，二重积分常常伴随着一些积分方法和积分公式，有助于简化计算过程，提高计算效率。

本文将详细介绍二重积分的积分方法和积分公式。

一、二重积分的基本概念首先，我们需要了解二重积分的基本概念。

对于一个平面区域D，如果对于每一个区域内的点(x,y)，都有一个实数f(x,y)与之对应，那么我们称f(x,y)是D上的一个二元函数。

此时，通过对区域D进行分割，我们可以得到很多个小区域，用矩形来近似表达每个小区域，使得这些小矩形的面积的和趋近于区域D的面积，这个和就可以作为表示f(x,y)在区域D上的对应二重积分。

其数学表达式为：∬Df(x,y)dxdy其中f(x,y)是被积函数，D是被积区域，dxdy表示在x轴和y 轴上的微小增量。

二、二重积分的积分方法1. 变量代换法变量代换法常用于解决被积函数较为复杂的情况。

通过建立一个新的变量，将原式中的变量替换为新的变量，并计算出新的变量的微分值，从而得到新的被积函数和被积区域。

例如，对于二重积分∬Dx^2y dxdy，如果我们令u=xy，v=y，那么在新的变量下，原式可化为∬D(u/v)dvdu。

此时，我们需要通过计算出u和v的微分值，将原被积函数与被积区域进行转化，从而得到简洁的结果。

2. 极坐标法极坐标法常用于解决被积区域的对称性问题。

通过将二维平面上的坐标系转化为极坐标系，可以轻松地描述出各种对称图形的被积区域，并简化计算过程。

例如，对于二重积分∬Dxy dxdy，如果我们将被积区域D转化为极坐标系下的区域，可以得到简化后的被积函数为∫0^πdθ∫0^Rρ^3sinθcosθdρ。

此时，我们只需要进行简单的积分运算，就可以得到最终的结果。

3. 分部积分法分部积分法常用于解决被积函数中的乘积项问题。

通过将乘积项拆分成不同的部分，并对每一部分进行不同的求导和积分操作，可以简化被积函数的形式，并且可以将原式化简为更易于计算的形式。

二重积分计算方法引言二重积分是高等数学中的重要内容，常用于计算平面区域上的面积、质量、重心等问题。

计算二重积分时，需要掌握一些常见的计算方法，本文将介绍三种常见的计算方法：直角坐标系下的累次积分法、极坐标系下的累次积分法以及变量代换法。

直角坐标系下的累次积分法直角坐标系下的累次积分法是最常用的计算二重积分的方法之一。

对于平面上的一个区域D，可以将其分解为若干个小矩形区域，然后通过对每个小矩形区域进行积分求和，从而得到整个区域的二重积分值。

具体步骤如下： 1. 将区域D划分为若干个小矩形区域，每个小矩形区域的面积可以通过计算两个相邻顶点之间的距离得到。

2. 对每个小矩形区域进行积分，积分的上限和下限分别是该小矩形区域在x轴和y轴上的边界。

3. 将每个小矩形区域的积分结果求和，得到整个区域D的二重积分值。

极坐标系下的累次积分法在一些特殊的情况下，采用极坐标系进行计算可以简化计算过程。

极坐标系下，平面上的点由极径和极角两个参数决定，适用于具有旋转对称性的问题。

具体步骤如下： 1. 将直角坐标系下的二重积分转换为极坐标系下的二重积分。

极坐标系下，二重积分的积分变量可以表示为r和θ。

2. 将区域D在极坐标系下表示出来，确定积分的上限和下限。

3. 对每个小区域进行积分，积分的上限和下限分别是在极坐标系下的边界。

4. 将每个小区域的积分结果求和，得到整个区域D的二重积分值。

变量代换法变量代换法是一种常用的计算二重积分的方法，通过引入新的变量进行积分变换，从而简化计算过程。

具体步骤如下： 1. 引入新的变量，将二重积分中的自变量进行变换。

2. 将原来的二重积分转换为新的变量下的二重积分。

3. 对新的二重积分进行计算，可以使用上述的直角坐标系下的累次积分法或者极坐标系下的累次积分法。

4. 将计算得到的结果转换回原来的变量，得到整个区域D的二重积分值。

总结本文介绍了三种常见的二重积分计算方法：直角坐标系下的累次积分法、极坐标系下的累次积分法以及变量代换法。

二重积分的概念和计算
一、二重积分的概念
二重积分也叫做双重积分，是一类高等数学中的一种重要的概念，它
是指将函数关于两个变量进行积分运算，而且是先计算外层的积分，再计
算内层的积分，也可以称之为“先积分后积分”。

所以，二重积分是指把一个二元函数关于x先积分，再把f（x，y）
关于y积分的过程，最后能够得到B（x，y）函数，通常我们可以采用它
来对双变量函数进行积分运算。

二、二重积分的计算
1、在坐标系上绘制图像，判断积分的界限，即a和b的值，以及R
的值；
2、根据及题目要求，写出积分表达式；
3、根据外层和内层的分界，写出外层的积分表达式；
4、根据内层的分界，写出内层的积分表达式；
5、外层积分根据公式进行求解，把外层积分结果代入到内层积分中，计算内层积分的值；
6、把外层积分的值和内层积分的值相乘，得到最终的二重积分的结果。

此外，在积分运算中，我们还可以通过Green-Haddam公式来把二重
积分转化为一次积分，计算更加快捷方便。

Green-Haddam公式：∫ab∫f(x,y)dxdy=∫(R∫f(x,y)dxdy)dR
三、示例说明
下面通过举例来详细讲解一下二重积分的计算：求解：∫0,3∫0,2x2dy dx。

山东专升本高数《二重积分》超全知识
点（二）
引言概述：
本文旨在分享山东专升本高数《二重积分》的超全知识点。

二重积分是高等数学中重要的概念之一，掌握好相关知识点对于学习和理解高数知识具有重要意义。

本文将从五个大点出发，深入阐述二重积分的各个方面，帮助读者更好地理解和应用该知识。

1. 二重积分的定义和基本性质
- 二重积分的定义及其几何意义
- 二重积分的性质：线性性、积分区域可加性、积分次序可交换性等
- 二重积分的计算：换元法、分部积分法等基本计算方法
2. 二重积分的应用
- 平面区域的面积计算
- 平面曲线的弧长计算
- 质心和形心的计算
- 平面曲线的面积计算
- 二重积分在物理问题中的应用：质量、电荷、质心等
3. 二重积分的坐标变换
- 极坐标系下的二重积分
- 变量替换法与雅可比行列式
- 在极坐标下的面积计算及应用
4. 二重积分的应用之曲面体积
- 二重积分求解曲面体积的方法
- 旋转体的体积计算
- 平面区域所围成的曲面体积计算
- 利用二重积分计算空间区域的体积
5. 二重积分在概率统计中的应用
- 联合概率分布函数及其性质
- 边缘概率密度函数及相关计算
- 二维连续随机变量的期望与方差计算
- 多维连续随机变量的矩计算
总结：
通过本文的介绍，我们系统地学习了山东专升本高数《二重积分》的超全知识点。

这些知识点包括二重积分的定义和基本性质、应用、坐标变换、曲面体积计算以及在概率统计中的应用等。

希望读者通过学习和理解这些知识点，能够更好地应用于实际问题中，并在专升本考试中取得优异的成绩。

二重积分计算方法总结二重积分是微积分中的重要概念，用于求解平面区域上的面积、质量、重心等物理量。

本文将总结二重积分的计算方法，并介绍其应用领域和注意事项。

一、二重积分的基本概念二重积分是将一个二元函数在一个有界的平面区域上进行积分运算。

具体地说，对于定义在平面区域D上的函数f(x,y)，其二重积分可以表示为：∬D f(x,y) dA其中，dA表示平面区域D上的面积元素。

二重积分的计算方法有多种，下面将分别介绍。

二、二重积分的计算方法1. 基本方法：将平面区域D划分为若干个小矩形，计算每个小矩形上函数值与面积的乘积，再将所有小矩形的乘积求和即可得到二重积分的近似值。

当小矩形的数量无限增加时，近似值趋近于准确值。

2. 极坐标法：对于具有极坐标方程的平面区域D，可以通过转换成极坐标系来简化计算。

具体做法是将二重积分转化为极坐标下的二重积分，并利用极坐标的相关性质进行计算。

3. 变量代换法：对于某些具有特殊形式的平面区域D，可以通过变量代换来简化计算。

常见的变量代换方法有矩形坐标系到极坐标系、直角坐标系到柱坐标系等。

4. 先y后x法：当被积函数的表达式较为复杂时，可以通过先对y 进行积分，再对x进行积分的方法来简化计算。

这种方法常用于计算面积和质心等物理量。

三、二重积分的应用领域二重积分在物理学、工程学、经济学等领域具有广泛的应用。

以下列举几个常见的应用场景：1. 计算平面区域的面积：通过对二维平面区域上的函数进行二重积分，可以得到该区域的面积。

2. 计算平面区域的质量：假设平面区域上每个点的密度为ρ(x,y)，则通过对ρ(x,y)与面积元素dA进行二重积分，可以计算出该区域的质量。

3. 计算平面区域的重心：通过对二维平面区域上的函数f(x,y)与x、y的乘积进行二重积分，可以求解出该区域的重心坐标。

4. 计算平面区域的矩：通过对二维平面区域上的函数f(x,y)与x的幂次进行二重积分，可以计算出该区域的各阶矩。