高等数学二重积分详解(优课教资)

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高等数学(第三版)课件：二重积分的计算

D
式：0 x π ,0 y 2 所确定的长方形区域. 2
解这题可以不必画积区域.分析被积函数可知，如先
对x积分，需用分部积分法. 如先对y积分则不必，
计算会简单些.因此，我们选择先对y积分，即
π
xy
cos(
xy
2
)dxdy
2
0
dx
2
0
xy
cos(
xy
2
)dy
D
1π
2
2
0
sin( xy 2 )
和
x
π
D
所围成的三角形区域.
2
解法1 先对y积分. 作平行于y轴的直线与积分区域D
相交，沿着y的正方向看，入口曲线为y=0，出口
曲线为y=x，D在x 轴上的投影区间为[0, π] . 2
sin
x
cos
ydxdy
π
2
0
dx
x
0
sin
x
cos
ydy
D
π
02
sin
x
sin
y
x 0
dy
π
02
sin
2
xdx
由 y x, x 2,
得x 2, y 2.
在y轴上的积分区间为12 ,2
当1 y 1时，平行于x轴的直线与区域D相交时，
2 沿x轴正方向看，入口曲线为
x，出1口曲线为x=2.
y
当1 y 2时，平行于x轴的直线与区域D相交时, 沿x轴正方向看，入口曲线为x=y，出口曲线为x=2.
依上述不等式组可作出区域D的图形，
再化为先对y积分后对x积分的二次积分.
01
dy
1y

二重积分的概念省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件

I2 (x2 y2 )3 d ,其中D2 {(x, y) | 0 x 1, 0 y 2} D2 利用二重积分旳几何意义阐明I1和I2之间旳关系
y2
解：
-1
1
x
-2
由二重积分旳几何意义知，I1表达底为D1，顶为曲面z=（x2+y2）3旳曲顶柱体M1旳体积；I2表达底为D2，顶为曲面z=（x2+y2）3旳曲顶柱体M2旳体积；因为位于D1上方旳曲面z=（x2+y2）3有关yox面和zox面均对称，故yoz面和zox面将M1提成四个等积旳部分，其中位于第一卦限旳部分即为M2。由此可知
M 若 (x, y) 非常数 , 仍可用
y D
“分割, ,近似和, 求极限”
处理.
1)“分割”
x
用任意曲线网分D 为 n 个小区域 1, 2, , n ,
相应把薄片也分为小区域 .
2)“近似”
在每个 k 中任取一点 (k ,k ),则第 k 小块旳质量
M k (k , k ) k (k 1, 2,, n)
【附注】
比较 f (x, y) 和 (x, y) 旳大小
先令 f (x, y) (x, y) 得曲线
F (x, y) f (x, y) (x, y) 0
在 F (x, y) 0 旳两侧一般旳有
F (x, y) 0或F (x, y) 0
判断D在曲线旳哪一侧，即可判断 f (x, y) (x, y)
D
⑸ 在D上,若恒有f(x,y)≤g(x,y)，则
f (x, y)d g(x, y)d
D
D
尤其地，在D上若f(x,y)≤0 ( ≥0 ) 恒成立，
则
f (x, y)d 0 ( ≥0 )

高等数学课件D92二重积分的计算

电磁学中电荷分布问题
电荷分布概述
在电磁学中，电荷分布是研究电场和磁场的基础。了解电荷分布对于预测电场强度、电势差以及电磁波的传播等具有重要意义。
二重积分在电荷分布中的应用
二重积分在电磁学中广泛应用于计算电荷分布。通过将电荷区域离散化为微小单元，对每个单元的电荷密度进行积分，并利用二重积分对整个区域进行积分，可以得到总电荷量和电荷分布。
在每个子区域内分别进行积分计算，然后将结果相加得到最终的二重积分值。这种策略可以降低计算难度，提高计算效率。
03 典型例题分析与求解
平面区域上函数积分问题
确定积分区域
根据题目要求，确定需要积分的平面区域，通常是由不等式组或曲线围成。
选择积分次序
根据积分区域的形状和复杂性，选择合适的积分次序，即先对哪个变量进行积分。
图像处理算法与二重积分
在实际应用中，图像处理算法（如直方图均衡化、滤波算法）经常需要利用像素值统计来实现图像增强和特征提取。二重积分作为计算像素值统计的重要工具，在这些算法中发挥着关键作用。
其他领域应用举例
地理学中的地形分析
在地理学中，地形分析是研究地表形态和地貌特征的重要手段。二重积分可以用于计算地表高程、坡度、坡向等地形参数，进而实现地形分类、地貌特征提取等应用。
梯形法
将积分区域划分为若干个小梯形，以梯形的面积近似代替被积函数的面积，通过求和所有梯形的面积得到二重积分的近似值。
辛普森法
在梯形法的基础上，通过采用更精确的插值多项式来逼近被积函数，从而提高二重积分计算的精度。
误差估计及收敛性判断
误差估计
对于不同的数值方法，可以通过理论分析和实际计算来估计其误差的大小，以便更好地控制计算精度。

《高数14二重积分》课件

二重积分的奇偶性
要点一
总结词
二重积分的奇偶性是指对于二重积分，如果被积函数是奇函数或偶函数，则其积分结果也具有相应的奇偶性。
要点二
详细描述
如果被积函数$f(x,y)$是关于原点对称的奇函数，即$f(-x,y) = -f(x,y)$，则$int_{D} f(x,y) dsigma = 0$（D关于原点对称）。如果被积函数是关于原点对称的偶函数，即 $f(-x,-y) = f(x,y)$，则$int_{D} f(x,y) dsigma = 2 int_{D/2} f(x,y) dsigma$（D关于x轴对称）。
详细描述
在计算立体的体积时，首先需要将立体离散化成一系列小的立方体。然后，对每个立方体进行二重积分，积分区域为该立方体所对应的平面区域。最后，将所有立方体的体积相加，即可得到整个立体的体积。
平面薄片的质量分布
总结词
利用二重积分，可以计算平面薄片在某个区域内的质量分布情况。通过将平面薄片离散化成一系列小的面积元，对每个面积元进行积分，最后求和得到整个薄片的质量分布情况。
《高数14二重积分》ppt课件
• 二重积分的定义与性质 • 二重积分的计算方法 • 二重积分的几何应用 • 二重积分的物理应用 • 二重积分的性质与定理 • 二重积分的应用案例分析
01
二重积分的定义与性质
二重积分的定义
二重积分的定义
二重积分是定积分在二维空间上的扩展，表示一个函数在平面区域上的面积。
定义方式
通过将积分区域划分为若干个小区域，并在每个小区域内取一个点，将所有这些点的函数值相加并乘以小区域的面积，再求和得到整个区域的面积。
几何意义
二重积分表示的是函数所围成的平面区域的面积。

大学高数下--二重积分的计算课件

D x
解 :原式 2 4 3 3 tad n1 2co d s
A(1, 3) 22
0 法二: 积分区域关于 x 轴对称,
B(1, 3) 22
y关于y为奇函,数 x 原式 0
33
例4写出积分 f(x,y)dxdy的极坐标二次积分形
D
式，其中积分区域
D{(x,y)| 1xy 1x2,0x1}.
x－型区域的特点：穿过区域且平行于y轴的
直线与区域边界相交不多于两个交点.
y－型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的
直线与区域边界相交不多于两个交点.
3、其他情形
1) 如果积分区域 D 可表示为 x－型区域又可表
示为 y－型区域，且 f(x,y)在D 上连续，则有：
D f(x ,y )da b d x 1 2 (( x x ))f(x ,y )d y
2、极点O在D的边界上区域特征如图
()
,
D
0().
o
A
f(co , ssin )dd
D
d 0 ()f(c o ,ss i) n d .
29
二重积分化为二次积分的公式（３）
3、极点O在D的内部区域特征如图
()
D
02, 0(). o
A
f(co , ssin )dd
D
0 2 d 0 ()f(c o ,ss i) n d .
S { x , y ) ( | 0 x R , 0 y R } R 2R
{x0,y0} 显然有 D 1 S D 2
ex2y2 0,
ex2y2dxdy ex2y2dxdy ex2y2dxd.y
25
三、利用极坐标系计算二重积分

高数课件27二重积分

二重积分的物理应用
重力场中的质点位移
重力场：地球表面或天体表
面的重力场
质点：质量集中于一点的物
体
位移：质点在重力场中的位
置变化
二重积分：计算质点在重力场中的位移所需的数学工具
电场中的电势计算
电势的定义：电场中单位电荷所具有的电势能
电势的计算公式： U=∫Edx
电势的应用：计算电场中的电势分布，分析电场特性
电势的物理意义：描述电场中电荷所具有的能量状态
磁场中的磁通量计算
磁通量：磁场穿过一个平面的磁力线数量
计算公式：Φ=B·S，其中B为磁感应强度，S为平面面积
应用：计算磁场中的磁通量，了解磁场分布情况
实例：计算一个圆形线圈中的磁通量，了解线圈磁场的分布情况
感谢您的耐心观看
汇报人：
极坐标系下的计算方法
极坐标系下的二重积分定义极坐标系下的二重积分计算公式极坐标系下的二重积分计算步骤极坐标系下的二重积分应用实例
参数方程下的计算方法
确定参数方程的形式
计算参数方程的偏导数
计算参数方程的雅可比矩阵
计算二重积分的值
二重积分的几何应用
计算平面图形的面积计算旋转体的体积计算曲面的面积计算曲线的长度
二重积分的性质
积分区域的可加性
积分区域的可加性是指，如果两个积分区域的可加性是二重积分的一个重要性质，它使得我们可以将复杂的积分区域分解为若干个简单的积分区域，从而简化计算
积分区域的可加性还可以用于证明一些积分公式，如格林公式、高斯公式等
积分区域的可加性还可以用于求解一些复杂的积分问题，如曲面积分、曲线积分等
二重积分是计算曲面面积的一种方法

高等数学课件D101二重积分概念

则其体积可按如下两次积分计算 y
V f(x,y)d
d

D
d
[
2(y)
f(x,y)dx]dy
x1(y)
y
x2(y)
c 1(y)
c

d
d
y
2(y) f(x,y)dx
c
1(y)
o
x
b
a d x
2019/9/16
高等数学课件
机动目录上页下页返回结束
n
Ml i0m k 1(k,k)k
2019/9/16
高等数学课件
x
(k,k) k
机动目录上页下页返回结束
两个问题的共性：
(1) 解决问题的步骤相同 “大化小, 常代变, 近似和,取极限”
(2) 所求量的结构式相同
曲顶柱体体积:
n
Vl i0 m k1f(k,k)k
1
D
解: 积分域 D 的边界为圆周
(x2)2(y1)22
o1 2 3 x xy1
它与 x 轴交于点 (1,0) , 与直 xy线 1相.切而域 D 位
于直线的上方, 故在 D 上 xy1,从而 (xy)2(xy)3
D ( x y )2 d D ( x y )3 d
D (sixn 2cox2s)d 2D six n2 (4)d
三、二重积分的性质
1.D kf(x,y)dkD f(x,y)d ( k 为常数)
2 .D [f(x,y)g(x,y)d ]
D f(x ,y )d D g (x ,y )d
3 .D f ( x ,y ) d D 1 f ( x ,y ) d D 2 f( x ,y ) d

高等数学课件D91二重积分概念

实际应用背景：二重积分在物理、工程、经济等领域有广泛应用，如计算面积、体积、质量等
添加标题限制条件：二重积源自的计算需要满足一定的条件，如函数在积分区域上连续、可积等
添加标题
积分区域：二重积分的计算需要确定积分区域，积分区域可以是平面区域、曲面区域等
添加标题
积分顺序：二重积分的计算需要确定积分顺序，积分顺序可以是先对x积分，再对y积分，也可以是先对y积分，再对x积分
添加标题
积分方法：二重积分的计算可以使用不同的积分方法，如直接积分法、换元积分法、分部积分法等
添加标题
积分技巧：二重积分的计算需要掌握一些积分技巧，如对称性、周期性、奇偶性等
感谢您的观看
汇报人：
二重积分在几何上的应用
计算曲面的面积
计算曲面的体积
计算曲面的旋转体体积
计算曲面的旋转体表面积
二重积分在物理上的应用
计算曲面的面积和体积
计算流体的压力和流量
计算电场的强度和分布
计算热传导和扩散问题
二重积分在经济学上的应用
计算边际成本：二重积分可以用来计算边际成本，从而帮助企业进行成本控制和优化。
注意二重积分的计算精度和误差控制
计算精度：选择合适的积分方法，如矩形法、梯形法、辛普森法等误差控制：通过增加积分区间的划分，提高计算精度数值稳定性：避免在积分过程中出现数值不稳定的情况计算结果验证：通过与其他方法或已知结果进行比较，验证计算结果的准确性
注意二重积分的实际应用背景和限制条件
添加标题
极坐标变换法：适用于积分区域为圆形或扇形的情况
换元积分法：适用于积分区域为圆环或椭圆的情况
分部积分法：适用于积分区域为不规则图形的情况

高等数学(第二版)课件：二重积分的计算法

所求立体在第一卦限部分可以看成是一个曲顶柱体，它的底为
D (x, y) | 0 y R2 x2 , 0 x R
如图所示。它的顶是柱面 z R2 x2。于是
V1 R2 x2 d.
D
V1 D
R2 x2 d
R
R2 X 2
0 0
R2 x2 dydx
R 0
d
dy
2 y
f (x, y)dx
c
1 y
D
如果积分区域D是非简单区域，即D的边界与穿过D的内部且平行于坐标轴的直线的交点多于两个，则可把D分成若干部分，使每个部分都是简单区域。再在每个区域上用前面两个公式来计算。
定理 (富比尼定理)设 f x, y在平面闭区域 D 上连续，
（1）若闭区域 D 可表示为：a x b, 1 x y 2 x ，其中 1(x) 和 2 (x) 在 a,b 上连续，则
且穿过区域D内部平行于 y 轴的直线与D的边界至多交于两点。
2．水平型区域设区域D为由介于上下两条自变量为 y 的单值连续曲线 x 1( y)与 x 2 ( y) 和两条竖直线 y c与y d 之间所构成的，即可表示为
D (x, y) | c y d,1( y) x 2 ( y)
f
cos ,
sin
d d
d
0
f
cos ,
sin
d
D
(3)极点O 在积分区域 D 的内部，如图所示，这时区域 D可表示为
D , | 0 ( ),0 2
f cos, sin dd
D
2
d
f cos , sin d
0
0
由二重积分的性质3可知，闭区域 D 的面积可表示为

高等数学二重积分详解ppt课件

S(x) 2 (x) f (x, y)dy 1 ( x)
所以根据平行截面面积为已知的立体的立体公式，
得
V
b
S(x)dx
b
[
2 (x)
f (x, y)dy]dx
a
a 1 ( x)
4
于是，得二重积分的计算公式：
f (x, y)dxdy
b
[
2 (x) f (x, y)dy]dx
a 1 ( x)
c
D
D

b
dx
2 (x) f (x, y)dy
a
1 ( x)
o
x 2(y)
x
5
总结：二重积分的计算就是转化为二次定积
分，显然，确定积分次序和积分上、下限是关
键。这主要由积分区域D所确定。所谓
先积线，后积点
以第一种情况为例加以说明：
如图：
y
y 2(x)
区间[a,b]是x的取值范围。 D
2
(8,4)
4
o -2
(2,2)
y x4
y2 2x
x
小结：显然1）较2）麻烦。
12
例3 计算 I x2ey2 dxdy, 其中D由 x 0,
D
y 1及y x 围成。
解：此三条直线的交点分别为(1,1)，(0,1)， (0,0)，所围区域如右。
先对x后对y积分：
I
例4 交换下列二重积分的积分次序：
0
2 x
2
2x
I dx 2 f (x, y)dy dx 2 f (x, y)dy
2 0
0
0
解：这是先对y后对x的积分，积分区域为

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如图。
y
所以
I f (x, y)d
D
4
y4
dy
2
y2
f (x, y)dx
2
(8,4)
4
o -2
(2,2)
y x4
y2 2x
x
小结：显然1）较2）麻烦。
谷风课件A
12
例3 计算 I x2ey2 dxdy, 其中D由 x 0,
D
y 1及y x 围成。
解：此三条直线的交点分别为(1,1)，(0,1)， (0,0)，所围区域如右。
a
1 ( x)
类似地，若积分区域为
D : c y d, 1(y) x 2(y) 如右图所示，则二重积分的计算 y
公式为
d
f (x, y)dxdy
b
[
2 (x) f (x, y)dy]dx
x 1(y)
a 1 ( x)
c
D
D
b
dx
2 (x) f (x, y)dy
a
1 ( x)
o
x 2(y)
D
D
其中dxdy称为面积元素。
谷风课件A
2
利用二重积分的几何意义化二重积分为二次积分
以下均设函数 f (x, y) 0且在D上连续。
（1）当积分区域为
a x b, 1(x) y 2 (x)
如图所示：
z f (x, y)
y
y 2(x)
z
D y
y 1(x)
oa
bx
o
相应的曲顶柱体如右图。
x y 为x的上限，于是
谷风课件A
9
D : 0 y 1, y x y.
所以
I
1
dy
0
y x2 ydx
y
11 [ 03
x3
y]y
y
dy
1 3
5
1
(
y
2
y4 )dy
1
0
35
小结：在二重积分的计算中，有时积分次
序的选择显得相当重要，因而具体计算时，应注
意观察积分区域的特征和被积函数的特点，选择
o
8
x
(2,2)
得 D : 0 x 2, 2x y 2x及2 x 8, x 4 y 2x
所以
2
2x
8
2x
I dx f (x, y)dy dx f (x, y)dy
0
2x
2
x4
谷风课件A
11
2）先对x后对y积分：
得
D : 2 y 4, y2 x y 4
2
2
2
所围成，如下图：
谷风课件A
14
y
故改变积分次序后得
1
1
22 y
I dy f (x, y)dx
0
2 y2
-2
o
2x
二、极坐标系中的计算方法
1 直角坐标系中的二重积分化为极坐标系中的二重积分
如图所示的极坐标系中
的积分区域D，过极点O引
例4 交换下列二重积分的积分次序：
0
2 x
2
2x
I dx 2 f (x, y)dy dx 2 f (x, y)dy
2 0
0
0
解：这是先对y后对x的积分，积分区域为
D : 2 x 0, 0 y 2 x 及由 y 0, y 2 x , y 2 x
第二节二重积分的计算
一直角坐标系中的计算方法二极坐标系中的计算方法
谷风课件A
1
计算二重积分的基本思想：化为两次定积分
一直角坐标系中的计算方法
分别用平行于x轴和y y
轴的直线对区域进行分
d
割，如图。可见，除边缘
外，其余均为矩形，其面 Δy
积为
xy
c
可以证明：
oa
Δx
Δσ bx
f (x, y)d f (x, y)dxdy
x
谷风课件A
5
总结：二重积分的计算就是转化为二次定积
分，显然，确定积分次序和积分上、下限是关
键。这主要由积分区域D所确定。所谓先积线，后积点
以第一种情况为例加以说明：
如图：
y
y 2(x)
区间[a,b]是x的取值范围。 D
在此区间内任取一点x，
过该点自下而上作一条平行于y轴的射线，先穿过的边界
所以根据平行截面面积为已知的立体的立体公式，
得
V
b
S(x)dx
b
[
2 (x)
f (x, y)dy]dx
a
a 1 ( x)
谷风课件A
4
于是，得二重积分的计算公式：
f (x, y)dxdy
b
[
2 (x) f (x, y)dy]dx
b
dx
2 (x) f (x, y)dy
D
a 1 ( x)
先对x后对y积分：
I
1
dy
y x2e y2 dx
0
0
y
y 1
yx
1
11 [ 03
x3e y2
]0y
dy
o
x
1 1 y3e y2 dy 1 1
30
6 3e
注意：若先对y后对x积分：
谷风课件A
13
e
y
2
I
1
dx
1 x2ey2 dy
0
x
的原函数无法用初等函数表示出来，因而
此二重积分不能计算出来。
恰当的积分次序，以便使计算尽可能简单。
谷风课件A
10
例2 将 I f (x, y)d化成二次积分，其中D由
D
y x 4 , y2 2x 围成。
解：解方程组
y x 4
y
2
2x
得这条直线和抛物线的交点为
(8,4),(2,-2)，如右图。 1）先对y后对x积分：
y
y x4
(8,4)
y2 2x
D
y x2 所围的区域。
不妨用两种情形分别进行计算，加以比较。
解：积分区域D如图。
y
法一先y后x。
将积分区域投影到x轴上，
得到x的范围[0，1].
D
在[0，1]上任取一点x，
o
x1
x
过该点作一条平行于y轴的射线，先穿过的边界
y x2 作y的积分下限，后穿过的边界 y x 作y的上
限，这样就有
y 1(x)
oax
bx
y 1(x) 是y的积分下限，
谷风课件A
6
后穿过的边界 y 2 (x) 是y的积分上限。
第二种情形可同理讨论。
对于其他情形，都可化为这两种情况加以转化。如下图：
y
D2 D1
D3
o
x
y
D2
D3
D1
o
x
谷风课件A
7
例1 计算 I x2 ydxdy, D为直线 y x与抛物线
谷风课件A
y 2 (x)
D
y 1(x)
a
bx
3
在区间[a，b]
内任取一点x，过此
z
点作与yoz面平行
的平面，它与曲顶
柱体相交得到一个
一个曲边梯形：
y
z f (x, y)
y 2(x)
D
y 1(x)
底为 1(x) y 2 (x)
高为 z f (x, y)
o
a
x
bx
其面积为
S(x) 2 (x) f (x, y)dy 1 ( x)
谷风课件A
8
D : 0 x 1, x2 y x
所以
I
1
dx
0
x x2 ydy
x2
11 [ 02
x
2
y
2
]x x
2
1 2
1
(
x4
x6
)dx
1
0
35
法二
y
将积分区域投影到y轴上， 1
得到y的范围[0，1].
在[0，1]上任取一点y，
y D
过该点作一条平行于x轴的射线， o
x
则先穿过的边界 x y为x的下限，后穿过的边界