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高等数学积分公式大全图片素材一、不定积分不定积分是指一类特殊的积分，它的积分常数不确定。
不定积分符号通常表示为∫，其基本形式为∫f(x)dx，其中f(x)是被积函数。
1.基本积分公式•常数函数：∫kdx = kx + C，其中k为常数，C为积分常数。
•幂函数：∫x^n dx = (1/(n+1))x^(n+1) + C，其中n 不等于-1。
•指数函数：∫e^x dx = e^x + C。
•三角函数：∫sin(x)dx = -cos(x) + C；∫cos(x)dx = sin(x) + C。
2.常见运算法则•线性性质：∫[f(x) + g(x)]dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx。
•恒乘法则：∫k f(x)dx = k∫f(x)dx，其中k为常数。
•分部积分：∫udv = uv - ∫vdu，其中u和v是原函数。
二、定积分定积分是在区间上的积分，表示函数在该区间上的“累积”。
定积分通常表示为∫[a,b]f(x)dx。
1.定积分性质•区间无关性：∫[a,b]f(x)dx = ∫[c,d]f(x)dx，积分区间内函数相同则积分值相等。
•微元法：∫[a,b]f(x)dx = lim(n→∞) [Σf(xi)*Δx]，即将区间分成n个小段求和，取极限可得积分结果。
2.定积分应用定积分在几何学、物理学等领域有广泛应用，如计算曲线下面积、求平均值、求体积等，是处理各种积分的基础。
三、常见积分法1.换元法•基本公式：∫u’(x)*u(x)dx = ∫u’(x)du•常见变换：三角代换、指数对数代换、倒代换等2.分部积分法•基本公式：∫u(x)v’(x)dx = u(x)v(x) - ∫u’(x)v(x)dx•常见应用：当被积函数为两个函数的乘积时，可以使用分部积分法简化计算。
四、高阶积分高阶积分是指对不定积分的多次重复，即对多重积分的处理。
常见高阶积分包括二重积分和三重积分，用于求解空间内的体积、质量、重心等问题。
高等数学积分公式大全高等数学是一门非常重要的学科，在很多领域都有应用。
其中，积分学是高等数学中的一个重要章节。
积分可以理解为求解曲线图形下面的面积，不同类型的积分公式有着不同的概念和应用，下面，就为大家整理了一份高等数学积分公式大全，让大家对这个知识点有一个更全面的认识。
1. 常数积分公式$$\int kdx=kx+C$$2. 幂函数积分公式$$\int x^ndx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$$3. 指数函数积分公式$$\int e^xdx=e^x+C$$4. 对数函数积分公式$$\int \frac{1}{x}dx=\ln|x|+C$$5. 三角函数积分公式$$\int \sin xdx=-\cos x+C$$$$\int \cos xdx=\sin x+C$$6. 反三角函数积分公式$$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=\arcsin x+C$$$$\int \frac{1}{1+x^2}dx=\arctan x+C$$$$\int \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}dx=\ln|x+\sqrt{x^2-1}|+C$$7. 换元法积分公式$$\int f(u)du=\int f(u(x))\frac{du}{dx}dx$$8. 分部积分公式$$\int u(x)v'(x)dx=u(x)v(x)-\int v(x)u'(x)dx$$9. 定积分公式$$\int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)$$10. 积分中值定理$$\int_a^bf(x)dx=f(c)(b-a)$$这便是几种高等数学积分公式的介绍，这些公式是数学中不可或缺的知识点，掌握这些公式不仅有助于学生学好数学，还对应用数学的工作有相当多的帮助。
除了这些基本的积分公式之外，高等数学还涉及到一些比较复杂的积分公式，如多重积分、线性代数积分、微积分方程等等。
1. 多重积分公式多重积分是指对多元函数的积分，通常被用于几何问题、概率论问题和物理学问题中。
第九章 二重积分 【本章逻辑框架】
【本章学习目标】 ⒈理解二重积分的概念与性质，了解二重积分的几何意义以及二重积分与定积分之间的联系，会用性质比较二重积分的大小，估计二重积分的取值范围。 ⒉领会将二重积分化为二次积分时如何确定积分次序和积分限，如何改换二次积分的积分次序，并且如何根据被积函数和积分区域的特征选择坐标系。熟练掌握直角坐标系和极坐标系下重积分的计算方法。 ⒊掌握曲顶柱体体积的求法，会求由曲面围成的空间区域的体积。
9.1 二重积分的概念与性质 【学习方法导引】 1．二重积分定义
为了更好地理解二重积分的定义，必须首先引入二重积分的两个“原型”，
一个是几何的“原型”－曲顶柱体的体积如何计算，另一个是物理的“原型”—平面薄片的质量如何求。从这两个“原型”出发，对所抽象出来的二重积分的定义就易于理解了。 在二重积分的定义中，必须要特别注意其中的两个“任意”，一是将区域D成n个小区域12,,,n的分法要任意，二是在每个小区域i上的点(,)iii的取法也要任意。有了这两个“任意”，如果所对应的积分和当各小区域的直径中的最大值0时总有同一个极限，才能称二元函数(,)fxy在区域D上的二重积分存在。 2．明确二重积分的几何意义。
二重积分的计算 在极坐标系中二重积分的计算 在直角坐标系中二重积分的计算
二重积分的概念与性质
二重积分的应用 (1) 若在D上(,)fxy≥0，则(,)dDfxy表示以区域D为底，以(,)fxy为曲顶的曲顶柱体的体积。特别地，当(,)fxy＝1时，(,)dDfxy表示平面区域D的面积。 (2) 若在D上(,)fxy≤0，则上述曲顶柱体在Oxy面的下方，二重积分(,)dDfxy的值是负的，其绝对值为该曲顶柱体的体积
(3)若(,)fxy在D的某些子区域上为正的，在D的另一些子区域上为负的，则(,)dDfxy表示在这些子区域上曲顶柱体体积的代数和(即在Oxy平面之上
的曲顶柱体体积减去Oxy平面之下的曲顶柱体的体积). 3．二重积分的性质，即线性、区域可加性、有序性、估值不等式、二重积分中值定理都与一元定积分类似。有序性常用于比较两个二重积分的大小，估值不等式常用于估计一个二重积分的取值范围，在用估值不等式对一个二重积分估值的时候，一般情形须按求函数(,)fxy在闭区域D上的最大值、最小值的方法求出其最大值与最小值，再应用估值不等式得到取值范围。 【主要概念梳理】 1.二重积分的定义 设二元函数f(x,y)在闭区域D上有定义且有界. 分割 用任意两组曲线分割D成n个小区域12,,,n，同时用i表示它们的面积，1,2,,.in其中任意两小块i和()jij除边界外无公共点。
i
既表示第i小块,又表示第i小块的面积.
近似、求和 对任意点(,)iii ,作和式1(,).niiiif
取极限 若i为i的直径，记12max{,,,}n,若极限01lim(,)niiiif 存在，且它不依赖于区域D的分法，也不依赖于点(,)ii的取法，称此极限为f(x,y)在D上的二重积分. 记为 称f(x,y)为被积函数，D为积分区域，x、y为积分变元，d为面积微元(或面积元素). 2.二重积分 (,)dDfxy的几何意义
(1) 若在D上f(x,y)≥0，则(,)dDfxy表示以区域D为底，以f(x,y)为曲顶的曲顶柱体的体积. (2) 若在D上f(x,y)≤0，则上述曲顶柱体在Oxy面的下方，二重积分(,)dDfxy 的值是负的，其绝对值为该曲顶柱体的体积
(3)若f(x,y)在D的某些子区域上为正的，在D的另一些子区域上为负的，则(,)dDfxy表示在这些子区域上曲顶柱体体积的代数和(即在Oxy平面之上
的曲顶柱体体积减去Oxy平面之下的曲顶柱体的体积). 3．二重积分的存在定理 3.1若f(x,y)在有界闭区域D上连续，则f(x,y)在D上的二重积分必存在(即f(x,y)在D上必可积). 3.2若有界函数f(x,y)在有界闭区域D上除去有限个点或有限个光滑曲线外都连续，则f(x,y)在D可积. 4．二重积分的性质 二重积分有与定积分类似的性质.假设下面各性质中所涉及的函数f(x,y)，g(x,y)在区域 D上都是可积的. 性质1 有限个可积函数的代数和必定可积，且函数代数和的积分等于各函数积分的代数和，即 性质2 被积函数中的常数因子可以提到积分号前面，即 性质3 若D可以分为两个区域D1,D2，它们除边界外无公共点，则 性质4 若在积分区域D上有f(x,y)=1，且用S(D)表示区域D的面积，则 性质5 若在D上处处有f(x,y)≤g(x,y)，则有 推论 (,)d(,)d.DDfxyfxy 性质6(估值定理) 若在D上处处有m≤f(x,y)≤M，且S(D)为区域D的面积，则 性质7(二重积分中值定理) 设f(x,y)在有界闭区域D上连续，则在D上存在一点(,),使 【基本问题导引】 根据二重积分的几何意义或性质求解下列各题： 1．2dDaxdy ，其中222{(,)|}Dxyxya
2．设D是由x轴，y轴与直线1xy所围成的区域，则21(),DIxyd32()DIxyd
的大小关系
是 . 【巩固拓展提高】 1．若f(x,y)在有界闭区域D上连续，且在D的任一子区域D*上有
*(,)d0Dfxy，试证明在D内恒有f(x,y)＝0
2．估计22(y)dDIxxyxxdy的值，其中{(,)|02,01}.Dxyxy 3．设f(x,y)是有界闭区域D：222xya上的连续函数，则
201lim(,)aDfxydxdya
的值为多少？
【数学思想方法】 二重积分是一元函数定积分的推广与发展，它们都是某种形式的和的极限，即分割求和、取极限，故可用微元法的思想来理解二重积分的概念与性质。
9.2 在直角坐标系中二重积分的计算 【学习方法导引】 本章的重点是二重积分的计算问题，而直角坐标系中二重积分的
计算问题关键是如何确定积分区域及确定X型区域还是Y型区域，这也是本章的难点。 直角坐标系中二重积分计算的基本技巧：
(1)在定积分计算中，如果D的形状不能简单地用类似12()()xyxaxb或
12()()yxycyd
的形式来表示，则我们可以将D分成若干块，并由积分性
质 对右端各式进行计算。 (2)交换积分次序不仅要考虑到区域D的形状，还要考虑被积函数 的特点。如果按照某一积分次序的积分比较困难，若交换积分次序后，由于累次积分的积分函数(一元积分)形式发生变化，可能会使新的积分次序下的积分容易计算，从而完成积分的求解。但是无论是先对x积分，再对y积分，还是先对y积分，再对x积分最终计算的结果应该是相同的。一般的处理方法是由积分限确定积分区域D，并按照新的积分次序将二重积分化成二次积分。具体步骤如下：①确定D的边界曲线，画出D的草图； ②求出D边界曲线的交点坐标； ③将D的边界曲线表示为x或y的单值函数； ④考虑是否要将D分成几块； ⑤用x,y的不等式表示D. 注：在积分次序选择时，应考虑以下几个方面的内容：(ⅰ)保证各层积分的原函数能够求出；(ⅱ)若D为X型(Y型),先对x(y)积分；(ⅲ)若D既为X型又为Y型，且满足(ⅰ)时，要使对D的分块最少。 (3) 利用对称性等公式简化计算 设f(x,y)在区域D上连续，则 ①当区域D关于x轴对称 若(,)(,)fxyfxy，则(,)dDfxy＝0； 若(,)(,)fxyfxy，则(,)dDfxy＝21(,)dDfxy，其中D1为D在x轴上方
部分。 ②当区域D关于y轴对称 若(,)(,)fxyfxy，则(,)dDfxy＝0； 若(,)(,)fxyfxy，则(,)dDfxy＝22(,)dDfxy，其中D2为D在y轴右侧
部分。 ③当区域D关于x轴和y轴都对称 若(,)(,)fxyfxy或(,)(,)fxyfxy，则(,)dDfxy＝0； 若(,)(,)(,)fxyfxyfxy，则(,)dDfxy＝41(,)dDfxy，其中D1为D在第一
象限部分。 ④轮换对称式 设D关于直线yx对称，则(,)dDfxy＝(,)dDfyx. 【基本问题导引】 一．判断题 1．dxdy=Dxy4122221dxdy,:4;:4,0,0DxyDxyDxyxy ( )
2. 若f为连续函数，则 21221001002(,)(,)(,)xxyydxfxydydxfxydydyfxydx
( )
【主要概念梳理】 直角坐标系中二重积分计算 当被积函数f(x,y)0且在D上连续时,
若D为 X - 型区域 12()():xyxDaxb 则 21()()(,)ddd(,)dbxDaxfxyxyxfxyy 若D为Y –型区域12()():yxyDcyd, 则21()()(,)ddd(,)ddyDcyfxyxyyfxyx 说明:若积分区域既是X–型区域又是Y –型区域 , 则有 【巩固拓展提高】 1.(1992)计算112111224.yyyyxxyIdyedxdyedx
2.设1()xxyfxedy，计算10()fxdx. 9.3 在极坐标系中二重积分的计算 【学习方法导引】 极坐标系中二重积分计算的基本技巧：
(1)一般地，如果积分区域是圆域、扇形域或圆环形域，且被积函数为22(),fxy
yxoab
1()yx
D
