高等数学二重积分详解

高等数学-二重积分二重积分作为高等数学的一部分，是积分学的重要内容之一，也是微积分的一个重要分支。

它可以用来求解平面图形的面积、质心、转动惯量等问题，同时也是理解三重积分和曲线积分的基础。

一、二重积分的定义对于平面直角坐标系中一个有界区域D，若在D内存在一个连续函数f(x,y)，则在D 上的二重积分值记为：∬Df(x,y)dxdy其中，dxdy表示对于(x,y)在D上的每一个点，都有一个微小的面积dxdy。

通常情况下，积分区域D是一个闭合区域，即被有限多条曲线所包围的区域。

1、线性性若f(x,y)和g(x,y)在D上可积，则对于任意实数a和b，有：∬D[af(x,y)+bg(x,y)]dxdy=a∬Df(x,y)dxdy+b∬Dg(x,y)dxdy2、积分的可加性若D可表示成D1和D2的并集，且D1和D2没有交集，则有：4、积分与面积的关系对于常数函数f(x,y)=1，在D上的二重积分值就是D的面积S。

即有：∬D1dxdy=S1、利用基本公式对于二重积分中的f(x,y)，若其为一元函数，则参照一元函数积分的公式进行计算即可。

若其为二元函数，则按照二元函数积分的公式计算。

2、极坐标法当积分区域D具有极轴对称性或者其中的许多边界方程可以转化为极坐标方程时，可以使用极坐标公式来求解。

即有：∬Df(x,y)dxdy=∫θ1θ2dθ∫r1r2f(r,θ)rdr其中，r为极径，θ为极角。

3、换元法当积分区域D无法采用基本公式或者极坐标法求解时，可以采用换元法来简化计算。

具体而言，可以通过将坐标系进行转化，将D映射为一个较为简单的区域，从而进行二重积分的计算。

1、面积计算二重积分可以用来计算平面图形的面积。

对于平面图形D，可设其边界方程为：g1(x)=a, g2(x)=b, h1(y)=c, h2(y)=d则D的面积可以表示为：S=∬Ddxdy=∫a^b∫c^d1dydx2、质心计算x0=∬Dxdxdy/M, y0=∬Dy dxdy/M其中，M为D的面积，x0和y0分别称为D的一阶矩。

二重积分知识点一、引言二重积分是高等数学中的重要内容，是对二元函数在有限区域上的积分运算。

二重积分的概念与求解技巧是深入理解、掌握多元函数的必备工具，也为解决实际问题提供了数学方法。

本文将从二重积分的概念、性质、计算方法和应用等方面，全面详细地介绍二重积分的知识点。

二、概念1. 二重积分的定义设f (x,y )在闭区域D 上有定义，D 由有向闭曲线C 围成，且f (x,y )在D 上有界。

若存在数I ，对于任意给定的正数ε，都存在正数δ，使得对于D 内任意满足Δσ<δ的任意分割σ，对应的任意代点ξij ，总有|∑∑f mj=1n i=1(ξij )Δσij −I|<ε则称I 为函数f (x,y )在闭区域D 上的二重积分，记作I =∬f D(x,y )dσ其中，Δσij 表示第(i,j )个小区域的面积，Δσ表示整个区域D 的面积。

2. 二重积分的几何意义二重积分的几何意义是对二元函数在闭区域上的面积进行逐点求和，即将闭区域D 分割成无穷多个小面积区域，并对每个小面积区域上的函数值进行乘积再求和，最终得到二重积分。

三、性质1. 线性性质设闭区域D上有二重积分∬fD(x,y)dσ，若c为常数，则有∬(cf(x,y)) D dσ=c∬fD(x,y)dσ∬(f(x,y)±g(x,y)) D dσ=∬fD(x,y)dσ±∬gD(x,y)dσ2. 区域可加性设闭区域D可分为非重叠的两部分D1和D2，则有∬fD (x,y)dσ=∬fD1(x,y)dσ+∬fD2(x,y)dσ3. Fubini定理（累次积分）设函数f(x,y)在闭区域D上连续，则有∬f D (x,y)dσ=∫(∫fβ(x)α(x)(x,y)dy)badx=∫(∫fδ(y)γ(y)(x,y)dx)dcdy其中，(x,y)∈D,α(x)≤y≤β(x),γ(y)≤x≤δ(y)。

4. 值定理设函数f(x,y)在闭区域D上一致连续，则存在(ξ,η)∈D，使得∬fD (x,y)dσ=f(ξ,η)∬dDσ=f(ξ,η)σ(D)其中，σ(D)表示闭区域D的面积。

二重积分的积分方法和积分公式二重积分是高等数学中一个重要的概念，主要用于求解平面区域上的积分问题。

在实际应用中，二重积分常常伴随着一些积分方法和积分公式，有助于简化计算过程，提高计算效率。

本文将详细介绍二重积分的积分方法和积分公式。

一、二重积分的基本概念首先，我们需要了解二重积分的基本概念。

对于一个平面区域D，如果对于每一个区域内的点(x,y)，都有一个实数f(x,y)与之对应，那么我们称f(x,y)是D上的一个二元函数。

此时，通过对区域D进行分割，我们可以得到很多个小区域，用矩形来近似表达每个小区域，使得这些小矩形的面积的和趋近于区域D的面积，这个和就可以作为表示f(x,y)在区域D上的对应二重积分。

其数学表达式为：∬Df(x,y)dxdy其中f(x,y)是被积函数，D是被积区域，dxdy表示在x轴和y 轴上的微小增量。

二、二重积分的积分方法1. 变量代换法变量代换法常用于解决被积函数较为复杂的情况。

通过建立一个新的变量，将原式中的变量替换为新的变量，并计算出新的变量的微分值，从而得到新的被积函数和被积区域。

例如，对于二重积分∬Dx^2y dxdy，如果我们令u=xy，v=y，那么在新的变量下，原式可化为∬D(u/v)dvdu。

此时，我们需要通过计算出u和v的微分值，将原被积函数与被积区域进行转化，从而得到简洁的结果。

2. 极坐标法极坐标法常用于解决被积区域的对称性问题。

通过将二维平面上的坐标系转化为极坐标系，可以轻松地描述出各种对称图形的被积区域，并简化计算过程。

例如，对于二重积分∬Dxy dxdy，如果我们将被积区域D转化为极坐标系下的区域，可以得到简化后的被积函数为∫0^πdθ∫0^Rρ^3sinθcosθdρ。

此时，我们只需要进行简单的积分运算，就可以得到最终的结果。

3. 分部积分法分部积分法常用于解决被积函数中的乘积项问题。

通过将乘积项拆分成不同的部分，并对每一部分进行不同的求导和积分操作，可以简化被积函数的形式，并且可以将原式化简为更易于计算的形式。

二重积分的概念和计算
一、二重积分的概念
二重积分也叫做双重积分，是一类高等数学中的一种重要的概念，它
是指将函数关于两个变量进行积分运算，而且是先计算外层的积分，再计
算内层的积分，也可以称之为“先积分后积分”。

所以，二重积分是指把一个二元函数关于x先积分，再把f（x，y）
关于y积分的过程，最后能够得到B（x，y）函数，通常我们可以采用它
来对双变量函数进行积分运算。

二、二重积分的计算
1、在坐标系上绘制图像，判断积分的界限，即a和b的值，以及R
的值；
2、根据及题目要求，写出积分表达式；
3、根据外层和内层的分界，写出外层的积分表达式；
4、根据内层的分界，写出内层的积分表达式；
5、外层积分根据公式进行求解，把外层积分结果代入到内层积分中，计算内层积分的值；
6、把外层积分的值和内层积分的值相乘，得到最终的二重积分的结果。

此外，在积分运算中，我们还可以通过Green-Haddam公式来把二重
积分转化为一次积分，计算更加快捷方便。

Green-Haddam公式：∫ab∫f(x,y)dxdy=∫(R∫f(x,y)dxdy)dR
三、示例说明
下面通过举例来详细讲解一下二重积分的计算：求解：∫0,3∫0,2x2dy dx。

二重积分的例题及解析二重积分是微积分中的重要概念，用于求解平面上的面积、质量、质心等物理量。

下面将介绍一些常见的二重积分例题，并进行解析。

例题1：计算二重积分D (x+y) dA，其中D为由直线y=x和y=2x以及y=4所围成的区域。

解析：首先，我们需要确定积分的上下限。

由于D区域被直线y=x和y=2x以及y=4所围成，因此x的取值范围为2到4，而y的取值范围为x到4。

因此，我们可以将积分式写为：D (x+y) dA = ∫2^4 ∫x^4 (x+y) dy dx接下来，我们对y进行积分，得到：∫2^4 (xy + y^2/2) |x^4 dx对于这个积分式，我们先计算内层的积分：∫(xy + y^2/2) |x^4 = x(x^4) + (x^4)^2/2 - x(x^2/2) -(x^2/2)^2/2= x^5 + x^8/2 - x^3/2 - x^4/8接下来，我们对x进行积分，得到：∫2^4 (x^5 + x^8/2 - x^3/2 - x^4/8) dx= 1/6 x^6 + 1/16 x^9 - 1/8 x^4 - 1/32 x^5 |2^4= (1/6 * 4^6 + 1/16 * 4^9 - 1/8 * 4^4 - 1/32 * 4^5) - (1/6 * 2^6 + 1/16 * 2^9 - 1/8 * 2^4 - 1/32 * 2^5)= 138.75因此，二重积分D (x+y) dA的结果为138.75。

例题2：计算二重积分D (x^2 + y^2) dA，其中D为单位圆盘x^2 + y^2 ≤ 1。

解析：由于D为单位圆盘，即x^2 + y^2 ≤ 1，我们可以将积分式写为：D (x^2 + y^2) dA = D r^2 dA其中，r为点(x, y)到原点的距离，即r = √(x^2 + y^2)。

因此，我们可以将积分式转化为极坐标形式：D r^2 dA = D r^3 dr dθ由于D为单位圆盘，θ的取值范围为0到2π，r的取值范围为0到1。