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连通区域的Dirichlet空间上的复合算子

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第７卷　２００８侄　第２期　４月　广州大学学报（自然科学版）　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｇｕａｎｇｚｈｏｕ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｅｄｉｔｉｏｎ）　Ｖｏ１．７　Ａｐｒ．　Ｎｏ．２　２００８　文章编号：１６７１－４２２９（２００８）０２４３０１８－０４　Ｃｏｍｐｏｓｉｔｉ，，ｐｅｒａｔ￣　ｏｆ　Ｄｉｒｉｃｈｌｅｔｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ　ｏｐｅｒａｔｏｒｓ　ｏｆ　Ｄｉｒｉｃｈｌｅｔ　ｓｐａｃｅｓ　ｏｎ　ｃｏｎｎｅｃｔｅｄ　ｄｏｍａｉｎｓ　ｘｌＡ　ｌｉｎ．ＷＡＮＧ　Ｘｉａｏ—ｆｅｎｇ　（Ｓｃｈｏｏｌ　ｏｆ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ　ａｎｄ　Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ　Ｓｃｉｅｎｃｅｓ，Ｇｕａｎｇｚｈｏｕ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｇｕａｎｇｚｈｏｕ　５１０００６，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ　ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ，ｔｈｅ　ａｕｔｈｏｒｓ　ｄｉｓｃｕｓｓ　ｈｏｗ　ａ　ｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ　ｏｐｅｒａｔｏｒ　ｆｒｏｍ　ｏｎｅ　Ｄｉｒｉｃｈｌｅｔ　ｓｐａｃｅ　０ｎ　ｃｏｎｎｅｃｔｅｄ　ｄｏｍａｉｎｓ　ｉｎ　ｃｏｍｐｌｅｘ　ｐｌａｎｅ　ｔｏ　ａｎｏｔｈｅｒ　Ｄｉｒｉｅｈｌｅｔ　ｓｐａｃｅ　ｏｎ　ｃｏｎｎｅｃｔｅｄ　ｄｏｍａｉｎｓ　ｉｎ　ｃｏｍｐ１ｅｘ　ｐｌａｎｅ　ｂｅ　ｉｎｖｅｒｔｉｂｌｅ　ｏｒ　Ｆｒｅｄｈｏｌｍ　ｏｐｅｒａｔｏｒ．Ｔｈｅ　ａｕｔｈｏｒｓ　ａｔｔａｉｎ　ｔｈｅ　ｒｅｓｕｌｔｓ　ｔｈａｔ　ｔｈｅ　ｃｏｍｐｏｓｉｔｉ０ｎ　０Ｄｅｒａｔ０ｒ　ｉｓ　ｉｎｖｅｒｔｉｂｌｅ　ｉｆ　ａｎｄ　ｏｎｌｙ　ｉｆ　ｔｈｅ　ｉｎｄｕｃｉｎｇ　ｍａｐｐｉｎｇ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ　ｏｐｅｒａｔｏｒ　ｉｓ　ａｎ　ｉｎｊｅｃｔｉｖｅ，ａｎｄ　ｔｈｅ　ｒａｎｇｅ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｉｎｄｕｃｉｎｇ　ｍａｐｐｉｎｇ　ｓａｔｉｓｆｉｅｓ　ｓｏｍｅ　ｋｉｎｄ　ｏｆ　ｂｏｕｎｄａｒｙ　ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ．Ｍｏｒｅｏｖｅｒ．ｔｈｅ　ｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ　ｏｐｅｒａｔｏｒ　ｉｓ　Ｆｒｅｄｈｏｌｍ　ｏｐｅｒａｔｏｒ　ｉｆ　ａｎｄ　ｏｎｌｙ　ｉｆ　ｔｈｅ　ｉｎｄｕｃｉｎｇ　ｍａｐｐｉｎｇ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ　ｏｐｅｒａｔｏｒ　ｉｓ　ａｎ　ｉｎ—　ｊｅｃｔｉｖｅ，ａｎｄ　ｔｈｅ　ｒａｎｇｅ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｉｎｄｕｃｉｎｇ　ｍａｐｐｉｎｇ　ｓａｔｉｓｆｉｅｓ　ｓｏｍｅ　ｋｉｎｄ　ｏｆ　ｂｏｕｎｄａｒｙ　ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｃｏｎｎｅｃｔｅｄ　ｄｏｍａｉｎ；ｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ　ｏｐｅｒａｔｏｒ；Ｆｒｅｄｈｏｌｍ　ｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ　ｏｐｅｒａｔｏｒ　ＣＬＣ　ｎｕｍｂｅｒ：０　１７７　Ｄｏｃｕｍｅｎｔ　ｃｏｄｅ：Ａ　Ｌｅｔ　Ｍ，Ⅳｂｅ　ｔｗｏ　ｏｐｅｎ．ｃｏｎｎｅｃｔｅｄ．ｎｏｎ—ｅｍｐｔｙ　ｓｕｂｓｅｔｓ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｃｏｍｐｌｅｘ　ｐｌａｎｅ，ｔｈｅｙ　ａｒｅ　ｓａｉｄ　ｔｏ　ｂｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｅｄ　ｄｏｍａｉｎｓ．　Ｄｉｒｉｃｈｌｅｔ　ｓｐａｃｅｓ　Ｄ（Ｍ）ａｒｅ　ｔｈｅ　ｓｐａｃｅｓ　ｗｈｉｃｈ　ｃｏｎｓｉｓｔ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｃｏｍｐｌｅｘ—ｖａｌｕｅ．ｍｅａｓｕｒａｂｌｅ．ａｎａｌｙｔｉｃ　ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ　ｄｅｆｉｎｅｄ　ｏｎ　Ｍ　ｗｈｏｓｅ　ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅｓ　ａｒｅ　ｓｑｕａｒｅ　ｉｎｔｅｇｒａｂｌｅ　ｗｉｔｈ　ｒｅｓｐｅｃｔ　ｔｏ　ｔｈｅ　ａｒｅａ　ｎｔｅａｓｕｒｅ　ｏｎ　Ｍ．Ｗｅ　ｋｎｏｗ　ｔｈａｔ　Ｄ（Ｍ）ａｒｅ　Ｈｉｌｂｅｎ　ｓｐａｃｅｓ　ｗｈｅｎ　ｔｈｅｙ　ａｒｅ　ｍｏｄｅ　ｂｙ　ｔｈｅ　ｃｏｍｐｌｅｘ　ｎｕｍｂｅｒ　ｓｐａｃｅｓ　Ｃ．Ｉｎ　ｆａｃｔ，ｉｆ　ｆ　∈Ｄ（Ｍ），ｔｈｅｎｆＱ－Ｌｊ（Ｍ），ｗｈｉｃｈ　ａｒｅ　Ｂｅｒｇｍａｎ　ｓｐａｃｅｓ　ｏｎ　Ｍ．　ｉｓ　ｔｈｅ　ｔｏｐｏｌｏｇｉｃａｌ　ｂｏｕｎｄａｒｙ　ｏｆ　Ｍ．ａ　ｐｏｉｎｔ　Ａ∈蝴ｉｓ　ｓａｉｄ　ｔｏ　ｂｅ　ｒｅｍｏｖａｂｌｅ　ｗｉｔｈ　ｒｅｓｐｅｃｔ　ｔｏ　Ｄ（Ｍ）ｉｆ　ｔｈｅｒｅ　ｅｘｉｓｔｓ　ａｎ　ｏｐｅｎ　ｎｅｉｇｈｂｏｒｈｏｏｄ　Ｖ　ｏｆ　ｓｕｃｈ　ｔｈａｔ　ｅｖｅｒｙ．ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ｉｎ　Ｄ（Ｍ）　ｃａｎ　ｂｅ　ｅｘｔｅｎｄｅｄ　ｔｏ　ａｎ　ａｎａｌｙｔｉｃ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ｄｅｆｉｎｅｄ　ｏｎ　Ｍ　Ｕ　Ｔｈｅ　ｓｅｔ　ｏｆ　ａｌｌ　ｐｏｉｎｔｓ　ｏｆ　０Ｍ　ｗｈｉｃｈ　ａｒｅ　ｒｅｍｏｖａｂｌｅ　ｗｉｔｈ　ｒｅｓｐｅｃｔ　ｔｏ　Ｄ　（Ｍ）ｉｓ　ｄｅｎｏｔｅｄ　ｂｙ　Ｏｄ－ｒＭ．Ｓｉｍｉｌａｒｌｙ．ｔｈｅ　ｓｅｔ　ｏｆ　ａｌｌ　ｐｏｉｎｔｓ　ｏｆ　ｗｈｉｃｈ　ａｒｅ　ｒｅｍｏｖａｂｌｅ　ｗｉｔｈ　ｒｅｓｐｅｃｔ　ｔｏ　Ｌｊ（Ｍ）ｉｓ　ｄｅｎｏｔｅｄ　ｂｙ　一，　Ｍ．Ｄｉｒｉｃｈｌｅｔ　ｅｓｓｅｎｔｉａｌ　ｂｏｕｎｄａｒｙ　ｏｆ　Ｍ　ｄｅｎｏｔｅｄ　ｂｙ　Ｍ　ｉｓ　ｔｈｅ　ｓｅｔ　ｏｆ　ａｌｌ　ｐｏｉｎｔｓ　ｏｆ　０Ｍ　ｗｈｉｃｈ　ａｒｅ　ｎｏｔ　ｒｅｍｏｖａｂｌｅ　ｗｉｔｈ　ｒｅｓｐｅｃｔ　ｔｏ　Ｄ（Ｍ）；ｓｏ　ｃｇａ＿￣Ｍ＝ＯＭ—ｃｇ，ｌ＿ｒＭ．　Ｉｆ　Ｍ　ｉｓ　ｆｉｎｉｔｅｌｙ　ｃｏｎｎｅｃｔｅｄ．ｔｈａｔ　ｉｓ，ｔｈｅｒｅ　ａｇｅ　ｆｉｎｉｔｅｌｙ　ｈｏｌｅｓ　ｉｎ　Ｍ，ｔｈｅｎ　ｔｈｅ　Ｄｉｒｉｃｈｌｅｔ　ｒｅｍｏｖａｂｌｅ　ｂｏｕｎｄａｒｙ　ｏｆ　Ｍ　ｉｓ　ｊｕｓｔ　ｔｈｅ　ｓｅｔ　ｏｆ　ｉｓｏｌａｔｅｄ　ｐｏｉｎｔｓ　ｏｆ　ＯＭ．Ｔｈｅ　ｃｏｎｃｅｐｔ　ｏｆ　ｅｓｓｅｎｔｉａｌ　ｂｏｕｎｄａｒｙ　ｉｓ　ｆｉｒｓｔ　ｉｎｄｕｃｅｄ　ｂｙ　Ａｘｌｅｒ　Ｓ，Ｃｏｎｗａｙ　Ｊ　Ｂ　ａｎｄ　Ｍｃｄｏｎａｌｄ　Ｇ　ｌＪ＿　Ｉｎ　Ｓｅｃｔｉｏｎ　２　ｏｆ　ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ，ｗｅ　ｗｉｌｌ　ｇｉｖｅ　ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｚａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｉｎｖｅｒｔｉｂｌｅ　ａｎｄ　Ｆｒｅｄｈｏｌｍ　ｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ　ｏｐｅｒａｔｏｒｓ．　Ｉｎｖｅｒｔｉｂｉｌｉｔｙ　ｏｆ　ｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ　ｏｐｅｒａ－　ｔｏｒｓ　Ｔｈｅ　ｒｅｓｅａｒｃｈ　ｏｎ　ｉｎｖｅｒｔｉｂｉｌｉｔｙ　ｏｉ　ｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ　ｏｐｅｒａｔｏｒｓ　ｏｎ　Ｈａｒｄｙ　ｓｐａｃｅｓ　Ｈ２（Ｄ）ｗａｓ　ｂｅｇｕｎ　ｉｎ　Ｒｅｆ．［２］．Ｈａｔｏｒｉ　Ｏ　，　Ｃａｏ　Ｇ　Ｆ　ａｎｄ　Ｓｕｎ　Ｓ　Ｈｌ　』ｐｒｏｖｅｄ　ａｎ　ａｎａｌｏｇｕｅ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｒｅｓｕｌｔ　ｆｏｒ　ｔｈｅ　ｃａｓｅ　ｏｆ／／２（Ｂ　），ｗｈｅｒｅ　Ｂ　ｉｓ　ｔｈｅ　ｕｎｉｔｅ　ｂａｌｌ　ｏｆ　Ｃ　．Ｆｏｒ　ｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ　ｏｐｅｒａｔｏｒｓ　ｏｎ　ｏｔｈｅｒ　ｓｐａｃｅｓ，ｓｉｍｉｌａｒ　ｒｅｓｕｌｔｓ　ｗｅｒｅ　ｐｒｏｖｅｄ　ｂｙ　Ｂｏｕｒｄｏｎｌ’ｊ　ａｎｄ　Ｓｉｎｇｈ　ａｎｄ　Ｖｅｌｕｃｈａｍｙｌ　．Ｈｉｒｏｙｕｋｉ　Ｔａｋａｇｉ　７ｊ　ｃｏｎｓｉｄｅｒｅｄ　ｔｈｅ　Ｆｒｅｄｈｏｌｍ　ｗｅｉｇｈｔｅｄ　ｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ　ｏｐｅｒ－　ａｔｏｒｓ　ｏｎ　Ｃ（Ｘ）ｏｒ　ＬＰ（Ｘ），ｗｈｅｒｅ　Ｘ　ｉｓ　ａ　ｓｅｔ　ｗｉｔｈ　ｓｏｍｅ　ｒｅｇｕｌａｒ　ｐｒｏｐｅ￣ｙ　ｌｉｋｅ　ｉｎｔｅｒｖａｌｓ　ｏｒ　ｂａｌｌｓ　ｉｎ　Ｒ　．Ｉｎ　Ｒｅｆ．［８］，Ｉｏａｎａ　Ｍｉ—　ｈａｉｌａ　ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ　ｔｈｅ　ｉｎｖｅｒｔｉｂｉｌｉｔｙ　ｏｆ　ｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ　ｏｐｅｒａｔｏｒｓ　ｏｎ　Ｒｉ—　ｅｍａｎｎ　ｓｕｒｆａｃｅｓ．　Ｒｅｃｅｉｖｅｄ　ｄａｔｅ：２００７—０３—２３；Ｒｅｖｉｓｅｄ　ｄａｔｅ：２００７—０６—１５　Ｆｏｕｎｄａｔｉｏｎ　ｉｔｅｍｓ：Ｓｕｐｐｏｓｅｄ　ｂｙ　Ｃｈｉｎｅｓｅ　Ｎａｔｉｏｎａｌ　Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｆｏｕｎｄａｔｉｏｎ　Ｍａｔｈ　Ｔｉａｎｙｕａｎ　Ｆｏｕｎｄａｔｉｏｎ（１０５２６０４０）　Ｂｉｏｇｒａｐｈｙ：ＸＩＡ　Ｊｉｎ（１９７３一），ｆｅｍａｌｅ，ｉｎｓｔｒｕｃｔｏｒ，ｍａｓｔｅｒ，ｍａｉｎｌｙ　ｒｅｓｅａｒｃｈｅｓ　ｏｎ　ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ　ａｎａｌｙｓｉｓ．

　维普资讯 http://www.cqvip.com 第２期　ＸＩＡ　Ｊｉｎ，ｅｔ　ａｌ：Ｃ。ｍｐ。ｓｉｔｉ。ｎ。ｐｅｒａｔ。ｒｓ。ｆ　Ｄｉｒｉｃｈｌｅｔ　ｓＰａｃｅｓ　ｏｎ　ｅ０ｎｎｅｃｔｅｄ　ｄｏｒａａｉｎｓ　ｌ　９　Ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎ　１　Ｓｕｐｐｏｓｅ　Ｍ．Ｎ　ａｒｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｅｄ　ｄｏｍａｉｎｓ　ｉｎ　Ｃ，ｐ：　Ⅳｉｓ　ａｎ　ａｎａｌｙｔｉｃ　ｍａｐ　ｓｕｃｈ　ｔｈａｔ　ｌＰ　。Ｐ　｝　ｄＡ。Ｐ　≤ｃ（Ｌ４　Ｏｉｌ　Ｎ，ｗｈｅｒｅ　Ｃ　ｉｓ　ａ　ｃｏｍｐｌｅｘ　ｃｏｎｓｔａｎｔ．Ｔｈｅｎ　ｃ口ｉｓ　ａ　ｂｏｕｎｄｅｄ　ｏｐｅｒａｔｏｒ　ｆｒｏｍ　Ｄ（Ｎ）ｔｏ　Ｄ（Ｍ）．　Ｐｒｏｏｆ　Ｂｙ　ｔｈｅ　ｉｄｅｎｔｉｔｙ　Ｊ　Ｉ／Ｉ　Ｉｐ　。Ｐ　Ｊ　ｄＡ。Ｐ～＝　Ｌ　Ｉ／（ｐ）Ｊ　ｄＡ（Ｖ，∈Ｄ（Ⅳ）），　ｏｎｅ　ｃａｎ　ｓｅｅ　ｅａｓｉｌｙ　ｔｈａｔ　Ｃｐ　ｉｓ　ｂｏｕｎｄｅｄ・　Ｔｈｅｏｒｅｍ　２　Ｓｕｐｐｏｓｅ　Ｍ，Ｎ　ａｒｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｅｄ　ｄｏｍａｉｎｓ　ｉｎ　Ｃ，　Ｐ：Ｍ一＇Ｎ　ｉｓ　ａ　ｎｏｎｃｏｎｓｔａｎｔ　ａｎａｌｙｔｉｃ　ｍａｐ　ｓｕｃｈ　ｔｈａｔ　Ｊ（Ｐ　）　。Ｐ　ｌ　ｄＡ。Ｐ≤ＣｄＡ　ｏｎ　Ｍ　ａｎｄ　ｓａｔｉｓｆｙ　Ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎ　１．　Ｔｈｅｎ　Ｃ。ｉｓ　ａｎ　ｉｎｖｅｒｔｉｂｌｅ　ｏｐｅｒａｔｏｒ　ｆｒｏｍ　Ｄ（Ｎ）ｔｏ　Ｄ（Ｍ）ｉｆ　ａｎｄ　ｏｎｌｙ　ｉｆ　（ｉ）ｐ　ｉｓ　ｉｎｊｅｃｔｉｖｅ；　（ｉｉ）Ｎ－ｐ（Ｍ）Ｃ　一　（ｐ（Ｍ））．　Ｐｒｏｏｆ　Ａｓｓｕｍｅ　Ｃ。ｉｓ　ａｎ　ｉｎｖｅｒｔｉｂｌｅ　ｏｐｅｒａｔｏｒ　ｆｒｏｍ　Ｄ（Ⅳ）　ｔｏ　Ｄ（　），ｗｅ　ｆｉｒｓｔ　ｐｒｏｖｅ　ｔｈａｔ　Ｐ　ｉｓ　ｉｎｊｅｃｔｉｖｅ．Ｌｅｔ　（　）ａｎｄ　（ｗ）ｄｅｎｏｔｅ　ｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ　ｔｈｅ　ｒｅｐｒｏｄｕｃｉｎｇ　ｋｅｒｎｅｌｓ　ｏｆ　Ｄ（　）　ａｎｄ　Ｄ（Ｎ），ｉｔ　ｉｓ　ｒｏｕｔｉｎｅ　ｔｏ　ｃｈｅｃｋ　ｔｈａｔ　ｆｏｒ　ａｎｙ　Ｅ－Ｍ，ｗｅ　ｈａｖｅ　Ｃ：Ｋｚ＝Ｋ　１．　Ｉｆ　ｔｈｅｒｅ　ａｒｅ　Ｉ，　∈Ｍ　ｗｉｔｈ　Ｉ≠　２　ｓｕｃｈ　ｔｈａｔ　Ｐ（　）＝　ｐ（ｚ２），ｔｈｅｎ　ｃ　（　ｌ—　２）＝０．Ｉｔ　ｉｓ　ｏｂｖｉｏｕｓ　ｔｈａｔ　ｌ—　２≠　０，ｔｈｉｓ　ｃｏｎｔｒａｄｉｃｔｓ　ｔｈｅ　ｉｎｖｅｒｔｉｂｉｌｉｔｙ　ｏｆ　．Ｈｅｎｃｅ　Ｐ　ｍｕｓｔ　ｂｅ　ｉｎ—　ｊｅｃｔｉｖｅ．（ｉ）ｉｓ　ｃｏｍｐｌｅｔｅ．　Ｓｉｎｃｅ　ｐ（Ｍ）ＣＮ，ｗｅ　ｓｅｅ　ｔｈａｔ　Ｄ（Ｎ）ＣＤ（ｐ（Ｍ））．ｃＤ　ｉｓ　ａｌｓｏ　ａｎ　ｏｐｅｒａｔｏｒ　ｆｒｏｍ　Ｄ（ｐ（Ｍ））ｔｏ　Ｄ（Ｎ）．Ｗｅ　ｗｒｉｔｅ　ｔｈｅ　ｏｐｅｒ—　ａｔｏｒ　ｂｙ　ｉｓ　ａ　ｂｏｕｎｄｅｄ　ｏｐｅｒａｔｏｒ　ｆｒｏｍ　Ｄ（ｐ（Ｍ））ｔｏ　Ｄ（Ｍ）ｂｙ　Ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎ　ｌ，Ｔｈｉｓ　ｓｈｏｗｓ　ｔｈａｔ　ｃ　。。ｅｐ　ｉｓ　ａ　ｂｏｕｎｄｅｄ　ｏｐｅｒａｔｏｒ　ｆｒｏｍ　Ｄ（ｐ（Ｍ））ｔｏ　Ｄ（Ｎ）．Ｆｏｒ　ａｎｙ　ｇ∈Ｄ（ｐ（Ｍ）），ｗｅ　ｈａｖｅ　。。　ｇＥ－Ｄ（Ｎ）．Ｗｒｉｔｅ　ｈ＝　。　ｇＥ－Ｄ（Ｎ），　ａＪ１ｄ　：ｃｐ—Ｉ　ｉｓ　ｔｈｅ　ｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ　ｏｐｅｒａｔｏｒ　ｆｒｏｍ　Ｒ（ｃｐ）ｔｏ　Ｄ（ｐ　（Ｍ））．Ｔｈｅｎ　ＴｐＣｐｈ：ＴｐＣｐｇ＝ｇ．　Ｆ０ｒ　ａｎｙ　ｗ∈ｐ（Ｍ），ｉｔ　ｉｓ　ｅａｓｙ　ｔｏ　ｓｅｅ　ｔｈａｔ（　）（Ｐ　ｗ）　＝ｇ（ｗ）．Ｈｅｎｃｅ　ｅｖｅｒｙ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ｉｎ　Ｄ（ｐ（Ｍ））ｍａｙ　ｂｅ　ｅｘｔｅｎｄｅｄ　ｔｏ　ａ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ｉｎ　Ｄ（Ｎ）．Ｔｈｉｓ　ｉｍｐｌｉｅｓ（ｉｉ）．　Ｃｏｎｖｅｒｓｅｌｙ，ｉｆ（ｉ）ａｎｄ（ｉｉ）ｉｎ　ｔｈｅ　Ｔｈｅｏｒｅｍ　ｈｏｌｄ，ｔｈｅｎ　ｃＤ：　Ｄ（ｐ（Ｍ））－－￣Ｄ（Ｍ）ｉｓ　ｉｎｖｅｒｔｉｂｌｅ　ｗｉｔｈ　ｉｎｖｅｒｓｅ　Ｃｐ　Ｓｉｎｃｅ　Ｎ—　ｐ（Ｍ）Ｃ０ｄ＿ｒ（ｐ（　）），ｗｅ　ｓｅｅ　ｔｈａｔ　Ｄ＝（Ｐ（　））＝Ｄ（Ⅳ），　Ｔｈｉｓ　ｓｈｏｗｓ　ｔｈａｔ　ｃｐ　ｉｓ　ｉｎｄｅｅｄ　ｉｎｖｅｒｔｉｂｌｅ．　Ｃｏｒｏｌｌａｒｙ　Ｓｕｐｐｏｓｅ　Ｍ　ａｎｄ　Ｎ　ａｒｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｅｄ　ｄｏｍａｉｎｓ　ｉｎ　Ｃ，ｐ：　Ⅳｉｓ　ａｎ　ａｎａｌｙｔｉｃ　ｍａｐ　ｓｕｃｈ　ｔｈａｔ　０ｄ，（ｐ（　））：　・　Ｔｈｅｎ　Ｃｐ　ｉｓ　ａｎ　ｉｎｖｅｒｔｉｂｌｅ　ｏｐｅｒａｔｏｒ　ｆｒｏｍ　Ｄ（ｆｖ）。ｎｔ。Ｄ（Ｍ）ｉｆ　ａｎｄ　ｏｎｌｙ　ｉｆ　ｐ　ｉｓ　ｉｎｖｅａｉｂｌｅ．　２　Ｆｒｅｄｈｏｌｍｎｅｓｓ　ｏｆ　ｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ　０ｐ－　ｅｒａｔｏｒｓ　ｗｅ　ｋｎｏｗ　ｔｈａｔ　ｏｎ　ａｌｍｏｓｔ　ａｌｌ　ｓｐａｃｅｓ　ｏｆ　ａｎａｌｙｔｉｃ　ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ，　ｔｈｅ　ｉｎｖｅｒｔｉｂｉｌｉｔｙ　ｏｆ　ａ　ｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ　ｏｐｅｒａｔｏｒ　ｉｓ　ｅｑｕｉｖａｌｅｎｔ　ｔｏ　ｉｔ　ｂｅ—　ｉｎｇ　Ｆｒｅｄｈｏｌｍ．Ｉｔ　ｉｓ　ｎａｔｕｒａｌ　ｔｏ　ｃｏｎｓｉｄｅｒ　ｔｈｅ　Ｆｒｅｄｈｏｌｍｎｅｓｓ　ｏｆ　ｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ　ｏｐｅｒａｔｏｒｓ　ｏｎ　ｃｏｎｎｅｃｔｅｄ　ｄｏｍａｉｎｓ．　Ｌｅｍｍａ　３　Ｆｏｒ　ａｎｙ　ｃｏｎｎｅｃｔｅｄ　ｄｏｍａｉｎ　Ｍ　ｉｎ　Ｃ，ｔｈｅ　ａｒｅａ　ｍｅａｓｕｒｅ　ｏｆ　ＯｄｒＭ　ｉｓ　ｚｅｒｏ．　Ｐｒｏｏｆ　Ｌｅｔ　Ｋ　ｂｅ　ａ　ｃｏｍｐａｃｔ　ｓｕｂｓｅｔ　ｏｆ　０ｄ，Ｍ．Ｓｕｐｐｏｓｅ　ｔｈａｔ　Ｋ　ｈａｄ　ｐｏｓｉｔｉｖｅ　ａｒｅａ　ｍｅａｓｕｒｅ．Ｔｈｅｎ　ｔｈｅｒｅ　ｗｏｕｌｄ　ｅｘｉｓｔ　ａ　ｎｏｎ—ｃ０ｎｓｔａｎｔ　ｂｏｕｎｄｅｄ　ａｎａｌｙｔｉｃ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ｈ　ｄｅｆｉｎｅｄ　ｏｎ　Ｃ—Ｋ　（Ｇａｒｎｅｔｔ　Ｊ　）．Ｉｎ　ｐａｒｔｉｃｕｌａｒ，ｈＩＭ∈Ｄ（Ｍ）ＣＬ：（Ｍ），ａｎｄ　ＳＯ　ｈ　ｗｏｕｌｄ　ｅｘｔｅｎｄ　ｔｏ　ａ　ｎｏｎ—ｃｏｎｓｔａｎｔ　ｂｏｕｎｄｅｄ　ａｎａｌｙｔｉｃ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ｄｅｆｉｎｅｄ　ｏｎ　ａｌｌ　ｏｆ　Ｃ（Ａｘｌｅｒ　Ｓ，Ｃｏｎｗａｙ　Ｊ　Ｂ　ａｎｄ　ＭｃＤｏｎａｌｄ　Ｇ【　）．Ｔｈｉｓ　ｃｏｎｔｒａｄｉｃｔｓ　Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ’Ｓ　Ｔｈｅｏｒｅｍ，ａｎｄ　ｓｏ　Ｋ　ｍｕｓｔ　ｈａｖｅ　ｚｅｒｏ　ａｒｅａ　ｍｅａｓｕｒｅ．Ｓｉｎｃｅ　ｅｖｅｒｙ　ｃｏｍｐａｃｔ　ｓｕｂｓｅｔ　ｏｆ　Ｇ￣ｄｒＭ　ｈａｓ　ｚｅｒｏ　ｍｅａｓｕｒｅ，ｗｅ　ｃａｎ　ｃｏｎｃｌｕｄｅ　ｔｈａｔ　Ｍ　ｈａｓ　ｚｅｒｏ　ａｒｅａ　ｍｅａｓｕｒｅ．　Ｔｈｅｏｒｅｍ　４　Ｓｕｐｐｏｓｅ　Ｍ．Ｎ　ａｒｅ　ｂｏｕｎｄｅｄ　ｃｏｎｎｅｃｔｅｄ　ｄｏ－　ｍａｉｎ　ｉｎ　Ｃ，ｐ：Ｍ＿Ｎ　ｉｓ　ａ　ｎｏｎｃｏｎｓｔａｎｔ　ａｎａｌｙｔｉｃ　ｍａｐ　ｓｕｃｈ　ｔｈａｔ　ｌ（ｐ　）　。ｐｌ　ｄＡ。Ｐ≤ＣｄＡ　ｏｎ　Ｍ　ａｎｄ　ｓａｔｉｓｆｙ　ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎ　１．　Ｔｈｅｎ　Ｃ。ｉｓ　ａ　Ｆｒｅｄｈｏｌｍ　ｏｐｅｒａｔｏｒ　ｆｒｏｍ　Ｄ（Ｎ）ｔｏ　Ｄ（Ｍ）ｉｆ　ａｎｄ　ｏｎｌｙ　ｉｆ　（ｉ）ｐ　ｉｓ　ｉｎｊｅｃｔｉｖｅ；　（ｉｉ）Ｎ－ｐ（Ｍ）Ｃ０ｄ一，（ｐ（　））．　Ｐｒｏｏｆ　Ｂｙ　Ｔｈｅｏｒｅｍ　２，ｗｅ　ｈａｖｅ　ｏｎｌｙ　ｔｏ　ｐｒｏｖｅ　ｔｈｅ　ｎｅｃｅｓｓｉ—　ｔｙ．Ａｓｓｕｍｅ　ｃＤ　ｉｓ　Ｆｒｅｄｈｏｌｍ　ｏｐｅｒａｔｏｒ，ｗｅ　ｆｉｒｓｔ　ｐｒｏｖｅ　ｔｈａｔ　Ｐ　ｉｓ　ｉｎｊｅｃｔｉｖｅ．Ｉｎ　ｆａｃｔ，ｉｆ　ｚ１，ｚ２∈Ｍ　ｗｉｔｈ　ｚ１≠ｚ２　ｓｕｃｈ　ｔｈａｔｐ（ｚ１）：　ｐ（ｚ２），ｔｈｅｎ　ｔｈｅｒｅ　ｅｘｉｓｔｓ　ｏｐｅｎ　ｓｕｂｓｅｔｓ　Ｕ１，Ｕ２　ｏｆ　Ｍ　ｓｕｃｈ　ｔｈａｔ　Ｚ　∈Ｕ　ａｎｄ　Ｕｌ　ｎＵ２＝　．Ｗｒｉｔｅ　ｗ　＝ｐ（　）。ＳｉｎｃｅＰ　ｉｓ　ａｎ　ｏｐｅｎ　ｍａｐ，ｂｏｔｈ　Ｐ（Ｕ１）ａｎｄ　Ｐ（Ｕ２）ａｒｅ　ｏｐｅｎ　ｓｅｔｓ　ｗｈｉｃｈ　ｃｏｎｔａｉｎ　ｗ．　Ｔｈｕｓ　Ｐ（Ｕ１）ｎ　Ｐ（　）ｉｓ　ａ　ｎｏｎ—ｅｍｐｔｙ　ｏｐｅｎ　ｓｕｂｓｅｔ　ｏｆ　Ｎ．　Ｃｈｏｏｓｅ　ａ　ｓｅｑｕｅｎｃｅ｛ｗ　｝ｉｎＰ（Ｕ１）Ｍｐ（Ｕ２）ｗｉｔｈ　ｗ　≠　，（　≠　，）’ｔｈｅｎ　ｔｈｅｒｅ　ａｒｅ　ｓｅｑｕｅｎｃｅｓ　’｝ＣＵＩ　ａｎｄ　’｝ＣＵ２　ｓｕｃｈ　ｔｈａｔｐ（　）：　（ｉ＝１，２）．Ｓｅｔ　＝　｝　）一　｝　），ｔｈｅｎ　｛　｝ｉｓ　ａ　ｌｉｎｅａｒ　ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ　ｓｅｑｕｅｎｃｅ　ｉｎ　Ｄ（Ｍ）ｓｉｎｃｅ　

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【浙江省自然科学基金】_充要条件_期刊发文热词逐年推荐_20140811

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(整理)清华大学微积分A笔记(上)

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精品文档 多元函数、多元向量值函数

f(X) F(X)

多元函数的切平面、全微分、偏导

有多元函数f(X)，若存在向量A=(a1,a2,…,an)使得f(X)-f(X0)-A(X-X0)=o(||X-X0||)，则称g(X)=A(X-X0)是f在X0处的切平面

df=AdX=a1dx1+a2dx2+…+andxn是f的全微分

bk=∂(f)/∂(xk)是将X的其他分量视为常数时f的导数，称为f的偏微分

可以证明若A存在，ak=bk=∂f/ ∂xk

Nabla算子∇=(∂/∂x1,…, ∂/∂xn)

∇A=Grad(f)=A称为f的梯度，∇ (f○g) = g∇f+f∇g

若有单位向量e=(cosθ1, cosθ2,…, cosθn)，则称A.e是f沿e方向的方向导数，

A.e=∂f/∂l 其中l与e平行

若f在X0可微：

X0处f各一阶偏导存在

X0处f有梯度

X0处f连续

X0处f的各方向导数均存在

若f在X0处各一阶偏导函数连续，则f在X0可微 精品文档

精品文档 A=∇ f是向量值函数，可以观察，e与A平行时，f的方向导数最大，且大小A.e=||A||，称A是f的梯度场

向量值函数的切平面、微分、偏导

F(X)=(f1(X),f2(X),…,fm(X))，若所有fi在X0处可微，则称F在X0处可微，即

F(X)=F(X0)+A(X-X0)+o(||X-X0||)，其中

A=(aij)m*n=∂F/ ∂X=∂(f1,f2,…,fm)/ ∂(x1,x2,…,xn)=J(F(X0)))称为F在X0处的Jacobian

(F的Jacobian的第i行是F的Fi分量的梯度，

aij := ∂Fi / ∂xj)

F的全微分dF=AdX

当m=n时，F有散度Div(F)和旋度Curl(F)

Div(F) = ∇.F=∂f1/∂x1 +…+∂fm/ ∂xm

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