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巴拿赫空间上的有界线性算子（一）：巴拿赫空间上的有界线性算子前面两章的内容可以看作是学习泛函分析的准备工作，让我们熟悉了泛函分析研究的主要对象之一：无限维空间。
从本章开始，我们将研究算子理论，而在泛函分析基础中，我们主要研究有界线性泛函，当然我们也会对无界线性泛函做简单的介绍，那么现在就让我们开始新的旅程吧！设及都是实(或复)的线性空间, 是由的某个子空间到线性空间中的映射,如果对任意的 , 有:我们称这样的映射为线性映射或线性算子.给出一些我们常用的记号：映射的定义域常用表示；值域通常用表示.当映射的值域在实数域或者复数域时，我们习惯称其为线性泛函，常用表示.如果是连续(按照空间的范数收敛)则称是连续线性算子；若将任何有界集映射为有界集我们称其为有界线性算子.在本小节中我们主要探索连续和有界的关系！首先，我们做一点说明，我们主要还是在无限维空间中研究.这是为什么呢？因为在有限维空间中：线性连续有界这样的映射我们实在没有兴趣研究(真的没有兴趣吗？哈哈!)比如：在中定义积分算子：这显然是一个线性泛函；并且还是连续有界的.现在我们对有界、连续、线性这几个关系进行探索！设都是实赋范线性空间, 是由的子空间到中的连续可加算子.则满足齐次性,因此是连续线性算子.证明：因为对任意的都有：又因为是连续的，因此我们由柯西引理知道是齐次的，即：推论：设都是复赋范线性空间, 是由的子空间到中的连续可加算子,且 , 则满足齐次性,因此是连续线性算子.下边一个定理是我们对有界映射常用的一种说法：设都是赋范线性空间, 是由的子空间到中的线性算子. 则有界的充分必要条件是存在 , 使得对一切 , 有 .证明：充分性：显然.必要性：考虑单位球面(再一次体现了单位球面的重要性)，,那么对任意的都有：先考虑任意的,那么,所以：因此：命题得证.有了这个等价刻画之后，我们就可以证明在赋范线性空间中连续和有界是一回事：设都是赋范线性空间, 是由的子空间到中的线性算子. 则下列性质等价：(i) 连续;(ii) 在原点处连续;(iii) 有界.证明：显然.注意到线性性并叙述连续定义：对任意的(不妨取为1),存在，使得对任意的,都有：因此对任意的,都有：因此：所以：所以有界.:设且,那么：因此在处连续.故得证.线性算子空间从这里开始，我们应空间表示Banach空间.不做说明时，所说的算子都定义在整个空间上.设都是空间，我们考虑所有从的有界线性泛函，不难发现，如果是线性算子，那么也是线性算子，也是线性算子，这说明线性算子在逐点定义的加法和自然数乘下可以形成数域上的线性空间.我们将这个空间记为：，当时，我们简记为：他已经是一个线性空间了，我们要在其上赋予范数使其具有拓扑结构，可是应该怎么赋予范数呢？这是一个好问题！一方面可以根据有限维空间定义范数的延申，一方面是根据书上的，因为是有界线性泛函，所以定义:显然它可以等价定义为：有限维泛函空间中：如中也是如此定义的.（学过数值的可能会熟悉些...）因为是有界泛函，所以：因此这个定义是合理的，如果是无界泛函那么上确界可能不存在，因此定义就不合理了。
《Hilbert空间中有界线性算子的几类扩张问题研究》篇一一、引言Hilbert空间作为数学领域中重要的函数空间，为各类数学问题提供了广阔的研究平台。
有界线性算子作为Hilbert空间中的核心研究对象，其扩张问题一直是学术界研究的热点。
本文将重点研究Hilbert空间中有界线性算子的几类扩张问题，以期为相关研究提供新的思路和理论依据。
二、有界线性算子与扩张问题的概述在Hilbert空间中，有界线性算子指具有有限特征向量集合的算子，其在信号处理、控制论和统计力学等领域有着广泛的应用。
然而，有界线性算子在某些特定情况下，需要经过一定的扩展才能在更广泛的范围内使用。
这些扩展问题包括：连续扩张、相似扩张以及混合扩张等。
本文将对这些问题进行深入研究。
三、连续扩张问题的研究连续扩张问题是有界线性算子扩张问题中的重要一环。
本部分将从以下几个方面对连续扩张问题进行研究：1. 问题的数学模型及假设条件的提出；2. 利用函数逼近的方法进行问题求解；3. 分析不同参数条件下解的性质及其在应用领域中的应用；4. 与现有方法进行对比分析，证明所提方法的有效性和优越性。
四、相似扩张问题的研究相似扩张问题与连续扩张问题紧密相关，同样是有界线性算子扩张问题的关键内容。
本部分将研究以下内容：1. 相似扩张的数学模型及其求解方法；2. 相似扩张在不同类型有界线性算子中的应用；3. 结合具体实例，分析相似扩张的优点和局限性；4. 提出改进相似扩张方法的新思路。
五、混合扩张问题的研究混合扩张问题是有界线性算子在特定条件下需要同时考虑连续和相似扩张的复杂问题。
本部分将探讨以下内容：1. 混合扩张的数学模型及其求解策略；2. 混合扩张在多领域应用中的实际效果；3. 分析混合扩张与其他扩张方法的异同点；4. 提出针对混合扩张问题的优化策略。
六、结论与展望本部分将对本文的研究成果进行总结，并展望未来可能的研究方向。
具体包括：1. 对本文所研究的几类有界线性算子的扩张问题进行归纳总结；2. 分析本文方法的优点和局限性，并指出进一步改进的方向；3. 探讨Hilbert空间中有界线性算子扩张问题在未来可能的研究趋势和挑战；4. 提出针对未来研究的建议和展望。
Hirbert空间上的有界线性算子LISE定理：H空间U上的每个有界线性泛函f 1∃ u∈U,ST,f(x)=(x,u)，||f||=||u|| 伴随算子：(Tx,y)=(x,T*y) ||T||=||T*||定理：T1,T2是H空间上的自伴算子，则T1T2是自伴算子的的充要条件是T1与T2可交换定理：T是H空间U上的自伴算子，M为T的值域，N为T的零空间，则N=M⊥定理：T是H空间U上的自伴算子，则T的任一特征值必为实数，且对应与不同特征值的特征向量相互正交定理：T是H空间U上的自伴算子，令m=inf{(Tx,x):x∈U,||x||=1}M=sup{(Tx,x):x∈U,||x||=1}则||T||=max{|m|,|M|}推论：T是H空间U上的自伴算子，则||T||=sup{|(Tx,x)|:x∈U,||x||=1}定义：U是实H空间，T∈B(U)为自伴算子，IF任意x∈U,(Tx,x)≥0,则T为正算子，记T≥0定义：{Tn}为自伴算子列，if任意n有Tn≤Tn+1,则{Tn}是单调上升列，单调上升及单调下降的自伴算子列统称为单调算子列。
定理：{Tn}为一致有界的单调自伴算子列，则1∃自伴算子T，ST,{Tn}按强算子拓扑收敛于T定理：T为正算子，则1∃正算子S,S2=T,S是T的某一多项式按强算子拓扑收敛的极限。
推论：T为正算子，x0∈U,if (Tx0,x0)=0,则Tx0=0推论：自伴算子T1≥T2正算子T与T1,T2均可换，则TT1≥TT2.特别的，T2=0时TT1≥0定义：U是内积空间，A()是定义在U的二元泛函，IF 任意x,y,z∈U,αβ∈C有A(αx+βy,z)=αA(x,z)+βA(y,z)A(x,αy+βz)=α~A(x,y)+β~A(x,z)则A()是U上的一个双线性泛函，IF任意x,y∈U,A(x,y)=A(x,y)~则A()是U上的一个双线性埃尔米特泛函定义：A()是内积空间U上的双线性泛函，IF 存在C>0,ST,|A(x,y)|≤C||x||||y|| 则A()是有界的，令||A||=sup|A(x,y)|称为其范数定理：T是H空间U上的有界线性算子，则由等式A(x,y)=(Tx,y)定义了U上的一个有界线性泛函且||A||=||T||推论：A是有界埃尔米特泛函的充要条件是任意x∈U,A()为实数且A()有界。
第十一章 线性算子的谱1． 设[0,1],()()(),X C Ax t tx t x X ==∈。
证明()[0,1]A σ=，且其中没有特征值。
证明 当[0,1]λ∈时，常值函数1不在I A λ-的值域中，因此I A λ-不是满射，这样()A λσ∈。
反之若[0,1]λ∈，定义算子1:()R R x t tλλλ=-。
则由于[0,1]λ∈，且 11max()(,[0,1])a t bR x x t x t d λλλ≤≤=≤- 因此R λ是C[0，1]中有界线性算子。
易验证()()R I A I A R I λλλλ-=-=，所以()A λσ∈。
总之()[0,1]A σ=，若Af f λ=，则对任意t λ≠，()()tf t f t λ=，可推得()0f t =。
由于()[0,1]f t C ∈，必有()0f t ≡，所以A 无特征值。
证毕。
2． 设[0,2],()()(),.itX C Ax t e x t x X π==∈，证明(){1}A σλλ==。
证明 对任意000,()()()()it itit it e e I A x t e e x t -=-。
因为常值函数1不在0ite I A -的值域中，因此0()ite A σ∈。
这样{1}()A λλσ=⊂。
反之，若1λ≠，定义1:()()()itR R x t x t eλλλ=-。
类似第1题可证R λ是有界线性算子，且()()R I A I A R I λλλλ-=-=。
即()A λσ∈。
因此(){1}A σλλ==。
证毕。
3． 设21223,(,,,)(,,,)n n X l Ax A x x x x x x ===，试求()A σ。
解对任意λ，若1λ<，定义(1,,,,)n x λλλ=，显然22,(,,,,)(1,,,,)n n x l Ax x λλλλλλλλλλ∈===，因此{1}λλ=的内点都是A 的点谱，由于()A σ是闭集，则{1}()A λλσ=⊂。
《泛函分析》题库建设填空题（120个空）一、填空题（120个空）1、在度量空间],[d X 的定义中，X 不等于 集，距离d 应满足 ； ； 三个条件，度量空间X 的完备的充要条件是 。
2、设Y X ,是两个线性空间，若存在X 到Y 的双射T 满足条件： ； ；则称T 为X 到Y 同构映射，这时Y X ,两个空间 同构。
3、在赋范线性空间X 中，对于X 中的任意两个元素y x ,，由范数导出的距离=),(y x d ；完备的赋范线性空间称为 空间。
4、设Y X ,是两个赋范线性空间，T 是X 的线性子空间)(T D 到Y 中的线性算子，集合}),(|),{()(Tx y T D x y x T G =∈=称为线性算子T 的 。
如果)(T G 是Y X ⨯中的闭集，则称T 是 算子。
5、设X 施一个内积空间，若X y x ∈,，则y x 与直交的充要条件是 ；若X N X x ⊂∈,，则x 与N 直交的充要条件是 ；若X N M ⊂,，则N M 与直交的充要条件是 。
6、在离散空间X 中，y x ,两点的距离=),(y x d ；],[b a C 空间中两点y x ,的距离=),(y x d ；在有界函数空间)(A B 中，两点y x ,的距离=),(y x d ；7、巴拿赫空间中的基本定理有 定理； 定理； 定理； 定理。
8、在复内积空间X 中，内积具有如下三个基本属性① ；② ；③ ；9、设Y X ,是两个线性空间，T 是X 的线性子空间)(T D 到Y 中的映射，若)(,T D y x ∈∀以及数α满足① ；② ；则称T 为)(T D 到Y 中的线性算子，)(T D 称为T 的 ；Y 称为T 的 域。
10、设),(d X 为度量空间，X x ∈0，集合}),(,|{0ε<∈x x d X x x 称为 ；又若X M ⊂，则),()(sup ,y x d M My x ∈=δ称为 ；若+∞<)(M δ，称M 为 集。
第4章 线性算子与线性泛函4.1 有界线性算子4.1.1 线性算子与线性泛函算子概念起源于运算。
例如，代数运算、求导运算、求不定积分和定积分、把平面上的向量绕坐标原点旋转一个角度等等。
在泛函分析中，通常把映射称为算子，而取值于实数域或复数域的算子也称为泛函数，简称为泛函。
本章着重考察赋范线性空间上的线性算子，它是出现在各个数学领域中具有线性性质的运算（例如线性代数中的线性变换；微分方程论、积分方程论中大量出现的微分、积分运算、积分变换等）的抽象概括。
它是线性泛函分析研究的重要对象。
关于线性算子的理论不仅在数学的许多分支中有很好的应用，同时也是量子物理的数学基础之一。
中国物理学界习惯上把算子称为算符。
定义4.1.1 设F 是实数域或复数域，,X Y 是F 上的两个线性空间，D 是X 的线性子空间，:T D Y →是一个映射.对x D ∈，记x 经T 映射后的象为 Tx 或 ()T x . 若对,x y D ∀∈及数,αβ∈F , 有()()()T x y T x T y αβαβ+=+（或 Tx Ty αβ=+） (4.1.1)则称T 是线性算子.称D 是T 的定义域，记为()T D ;称集(){}T D Tx x D =∈（或TD ）为T 的值域（或象域），记为()T R .取值为实数或复数的线性算子T （即：()T ⊂F R , 1=F R 或1C ）分别称为实的或复的线性泛函，统称为线性泛函。
注 今后所讨论的算子（泛函）都是线性算子（线性泛函）。
例4.1.1 设1[0,1],[0,1]X C Y B ==([0,1]上有界函数全体)，定义d()()()d Tx t x t t=, 则T 是X 到Y 的线性算子。
例4.1.2 设[,]X C a b =，(,)K t s 是[,][,]a b a b ⨯上的二元连续函数，定义()()(,)()d baTx t K t s x s s =⎰,则T 是X 到X 的线性算子。
