泛函分析之B空间上的有界线性算子

第3章连续线性算子与连续线性泛函本章将介绍赋范线性空间上，特别是Banach空间上的有界线性算子与有界线性泛函的基本理论，涉及到泛函分析的三大基本定理，即共鸣定理，逆算子定理及Hahn-Banach定理。

他们是泛函分析早期最光辉的成果，有广泛的实际背景, 尤其在各种物理系统研究中应用十分广泛。

3.1连续线性算子与有界线性算子在线性代数中，我们曾遇到过把一个”维向量空间E"映射到另一个加维向量空间E"的运算，就是借助于川行”列的矩阵对F中的向量起作用来达到的。

同样，在数学分析中，我们也遇到过一个函数变成另一个函数或者一个数的运算，即微分和积分的运算等。

把上述的所有运算抽象化后，我们就得到一般赋范线性空间中的算子概念。

撇开各类算子的具体属性，我们可以将它们分成两类：一类是线性算子；一类是非线性算子。

本章介绍有界线性算子的基本知识，非线性算子的有关知识留在第5章介绍。

[定义3・1]由赋范线性空间X中的某子集D到赋范线性空间丫中的映射T 称为算子，D称为算子了的定义域，记为D(r),为称像集｛y|y = 7k,xeD(7')｝为算子的值域，记作T(D)或77)。

若算子T满足：(1)T(x+y) = Tx+Ty e£)(T))(2)T(ax) = (/rx(V<zeF,xe£)(r))称了为线性算子。

对线性算子，我们自然要求T(D)是X的子空间。

特别地，如果了是由X到实数(复数)域F的映射时，那么称算子T为泛函。

例3.1设X是赋范线性空间，a是一给定的数，映射T.x^ax是X上的线性算子，称为相似算子；当a = l时，称了为单位算子或者恒等算子，记作/。

例3・2 XfxeC[a,b],定义Tx(t) =由积分的线性知，T是C[a,b]到C[a,列空间中的线性算子。

若令f (x) = [ x(T)dt(Vx e C[a,b])则/是C［a,b］上的线性泛函。

巴拿赫空间上的有界线性算子（一）：巴拿赫空间上的有界线性算子前面两章的内容可以看作是学习泛函分析的准备工作，让我们熟悉了泛函分析研究的主要对象之一：无限维空间。

从本章开始，我们将研究算子理论，而在泛函分析基础中，我们主要研究有界线性泛函，当然我们也会对无界线性泛函做简单的介绍，那么现在就让我们开始新的旅程吧！设及都是实(或复)的线性空间, 是由的某个子空间到线性空间中的映射,如果对任意的 , 有:我们称这样的映射为线性映射或线性算子.给出一些我们常用的记号：映射的定义域常用表示；值域通常用表示.当映射的值域在实数域或者复数域时，我们习惯称其为线性泛函，常用表示.如果是连续(按照空间的范数收敛)则称是连续线性算子；若将任何有界集映射为有界集我们称其为有界线性算子.在本小节中我们主要探索连续和有界的关系！首先，我们做一点说明，我们主要还是在无限维空间中研究.这是为什么呢？因为在有限维空间中：线性连续有界这样的映射我们实在没有兴趣研究(真的没有兴趣吗？哈哈!)比如：在中定义积分算子：这显然是一个线性泛函；并且还是连续有界的.现在我们对有界、连续、线性这几个关系进行探索！设都是实赋范线性空间, 是由的子空间到中的连续可加算子.则满足齐次性,因此是连续线性算子.证明：因为对任意的都有：又因为是连续的，因此我们由柯西引理知道是齐次的，即：推论：设都是复赋范线性空间, 是由的子空间到中的连续可加算子,且 , 则满足齐次性,因此是连续线性算子.下边一个定理是我们对有界映射常用的一种说法：设都是赋范线性空间, 是由的子空间到中的线性算子. 则有界的充分必要条件是存在 , 使得对一切 , 有 .证明：充分性：显然.必要性：考虑单位球面(再一次体现了单位球面的重要性)，,那么对任意的都有：先考虑任意的,那么,所以：因此：命题得证.有了这个等价刻画之后，我们就可以证明在赋范线性空间中连续和有界是一回事：设都是赋范线性空间, 是由的子空间到中的线性算子. 则下列性质等价：(i) 连续;(ii) 在原点处连续;(iii) 有界.证明：显然.注意到线性性并叙述连续定义：对任意的(不妨取为1),存在，使得对任意的,都有：因此对任意的,都有：因此：所以：所以有界.:设且,那么：因此在处连续.故得证.线性算子空间从这里开始，我们应空间表示Banach空间.不做说明时，所说的算子都定义在整个空间上.设都是空间，我们考虑所有从的有界线性泛函，不难发现，如果是线性算子，那么也是线性算子，也是线性算子，这说明线性算子在逐点定义的加法和自然数乘下可以形成数域上的线性空间.我们将这个空间记为：，当时，我们简记为：他已经是一个线性空间了，我们要在其上赋予范数使其具有拓扑结构，可是应该怎么赋予范数呢？这是一个好问题！一方面可以根据有限维空间定义范数的延申，一方面是根据书上的，因为是有界线性泛函，所以定义:显然它可以等价定义为：有限维泛函空间中：如中也是如此定义的.（学过数值的可能会熟悉些...）因为是有界泛函，所以：因此这个定义是合理的，如果是无界泛函那么上确界可能不存在，因此定义就不合理了。

度量空间：把距离概念抽象化，对某些一般的集合引进点和点之间的距离，使之成为距离空间，这将是深入研究极限过程的一个有效步骤。

泛函分析中要处理的度量空间，是带有某些代数结构的度量空间，例如赋范线性空间，就是一种带有线性结构的度量空间。

一、度量空间的进一步例子1、度量空间设x 是一个集合，若对于x 中任意两个元素x,y ,都有唯一确定的实数d(x,y)与之对应，而且这一对应关系满足下列条件：1° 的充要条件为x=y2° 对任意的z 都成立，则称 d(x,y) 是 x,y 之间的距离，称 d(x,y)为度量空间或距离空间。

x 中的元素称为点。

2、常见的度量空间（1）离散的度量空间 设 x 是任意的非空集合，对 x 中的任意两点 ，令 称 为离散的度量空间。

（2）序列空间S令S 表示实数列（或复数列）的全体，对S 中的任意两点令 称 为序列空间。

（3）有界函数空间B(A ）设A 是一个给定的集合，令B(A)表示A 上有界实值（或复值）函数全体，对B(A)中任意两点x,y ，定义 （4）可测函数空间设M(X)为X 上实值（或复值）的勒贝格可测函数全体，m 为勒贝格测度，若 ，对任意两个可测函数 及 由于 ，所以这是X 上的可积函数。

令 （5）C[a,b]空间令C[a,b] 表示闭区间[a,b]上实值（或复值）连续函数全体，对 C[a,b]中任意两点x,y ，定义二、度量空间中的极限、稠密集、可分空间1、收敛点列设 是（X ，d ）中点列，如果存在 ，使 则称点列 是（X ，d ） 中的收敛点列，x 是点列 的极限。

收敛点列性质：（1）在度量空间中，任何一个点列最多只有一个极限，即收敛点列的极限是唯一的。

（2）M 是闭集的充要条件是M 中任何收敛点列的极限都在M 中。

(,)0,(,)0d x y d x y ≥=(,)(,)(,)d x y d x z d y z ≤+,x y X ∈1,(,)0,if x y d x y if x y ≠⎧=⎨=⎩(,)X d 1212(,,...,,...),(,,...,,...),n n x y ξξξηηη==1||1(,)21||i i i i i i d x y ξηξη∞=-=+-∑(,)S d (,)sup |()()|t A d x y x t y t ∈=-()m X <∞()f t ()g t |()()|11|()()|f tg t f t g t -<+-|()()|(,)1|()()|X f t g t d f g dt f t g t -=+-⎰(,)max |()()|a t b d x y x t y t ≤≤=-{}n x x X ∈lim (,)0n n d x x →∞={}n x {}n x2、收敛点列在具体空间中的意义（1）n 维欧式空间中：为 中的点列，即： 按欧式距离收敛于x 的充要条件是 依坐标收敛于（2）序列空间S 中：为 S 中的点列，（3）C[a,b]空间设 及X 分别为C[a,b] 中的点列及点，（4）可测函数空间M(X)设 及 f 分别为可测函数空间中的点列及点，3、稠密集，可分空间（1）设X 是度量空间，E 和M 是X 中的两个子集，令 表示M 的闭包，如果 ，那么称集M 在集E 中稠密。

泛函分析知识总结与举例、应用学习泛函分析主要学习了五大主要内容：一、度量空间和赋范线性空间；二、有界线性算子和连续线性泛函；三、内积空间和希尔伯特空间；四、巴拿赫空间中的基本定理；五、线性算子的谱。

本文主要对前面两大内容进行总结、举例、应用。

一、 度量空间和赋范线性空间（一）度量空间度量空间在泛函分析中是最基本的概念，它是n 维欧氏空间n R （有限维空间）的推 广，所以学好它有助于后面知识的学习和理解。

1．度量定义：设X 是一个集合，若对于X 中任意两个元素x ，y,都有唯一确定的实数d(x,y)与之对应，而且这一对应关系满足下列条件：1°d(x,y)≥0 ，d(x,y)=0 ⇔ x=y （非负性）2°d(x,y)= d(y,x) （对称性）3°对∀z ，都有d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y) （三点不等式）则称d(x,y)是x 、y 之间的度量或距离（matric 或distance ），称为(X,d)度量空间或距离空间(metric space )。

（这个定义是证明度量空间常用的方法）注意:⑴ 定义在X 中任意两个元素x ，y 确定的实数d(x,y)，只要满足1°、2°、3°都称为度量。

这里“度量”这个名称已由现实生活中的意义引申到一般情况，它用来描述X 中两个事物接近的程度，而条件1°、2°、3°被认为是作为一个度量所必须满足的最本质的性质。

⑵ 度量空间中由集合X 和度量函数d 所组成，在同一个集合X 上若有两个不同的度量函数1d 和2d ，则我们认为(X, 1d )和(X, 2d )是两个不同的度量空间。

⑶ 集合X 不一定是数集，也不一定是代数结构。

为直观起见，今后称度量空间(X,d)中的元素为“点” ，例如若x X ∈，则称为“X 中的点” 。

⑷ 在称呼度量空间(X,d)时可以省略度量函数d ，而称“度量空间X ” 。

《泛函分析》复习与总结第一部分 空间及其性质泛函分析的主要内容分为空间和算子两大部分. 空间包括泛函分析所学过的各种抽象空间, 函数空间, 向量空间等, 也包括空间的性质, 例如完备性, 紧性, 线性性质, 空间中集合的各种性质等等。

以下几点是对第一部分内容的归纳和总结。

一．空间（1）距离空间 （集合+距离）！验证距离的三个条件：(,)X ρ称为是距离空间，如果对于,,x y z X ∈(i) 【非负性】(,)0x y ρ≥，并且(,)0x y ρ=当且仅当x y =【正定性】；(ii) 【对称性】(,)(,)x y y x ρρ=；(iii) 【三角不等式】(,)(,)(,)x y x y y z ρρρ≤+。

距离空间的典型代表：s 空间、S 空间、所有的赋范线性空间、所有的内积空间。

（2）赋范线性空间 （线性空间 + 范数）！验证范数的三个条件：(,||||)X ⋅称为是赋范线性空间，如果X是数域K =¡（或K =£）上的线性空间，对于a K ∈和,x y X ∈，成立(i) 【非负性】||||0x ≥，并且||||0x =当且仅当0x =【正定性】； (ii) 【齐次性】||||||||||ax a x =⋅；(iii) 【三角不等式】||||||||||||x y x y +≤+。

赋范线性空间的典型代表：n ¡空间（1,2,3,n =L ）、n £空间（1,2,3,n =L ）、p l 空间（1p ≤≤∞）、([,])p L ab 空间（1p ≤≤∞）、[,]Cab 空间、[,]k C a b 空间、Banach 空间、所有的内积空间（范数是由内积导出的范数）。

（3）内积空间 （线性空间 + 内积）！验证内积的四个条件：(,(,))X ⋅⋅称为是内积空间，如果X 是数域K =¡（或K =£）上的线性空间，对于a K ∈和,,x y z X ∈，成立(i) 【非负性】(,)0x x ≥，并且(,)0x x =当且仅当0x =【正定性】；(ii) 【第一变元可加性】(,)(,)(,)x y z x z x z +=+；(iii) 【第一变元齐次性】(,)(,)ax z a x z =；(iv) 【共轭对称性】(,)(,)x z z x =。

《泛函分析》作业1、对,x y R ∀∈，令21(,)()d x y x y =-，2(,)d x y =，问1(,)d x y ，2(,)d x y 是度量空间吗？2、)(2E L 表可测集E 的平方L e b e s g u 可积函数，2,()x y L E ∀∈令{}122(,)()()Ed x y x t y t dt=-⎰，证明2((),)L E d 是度量空间。

3、S 表示所有数列组成的集， S y x ∈∀,,}{},{i i y y x x ==，令||1||21),(1i i i i i iy x y x y x d -+-=∑∞=，则S 是度量空间。

4、}|{122∞<=∑∞=i i i x x l ，2,l y x ∈∀，2121})({),(i i i y x y x d -=∑∞=，证明),(2d l 是度量空间。

5、度量空间的收敛点列是有界的。

6、设),(2d R 是度量空间，,n x y R ∈，1(,)n x x x = ，1(,)n y y y = ，||max ),(1i i ni y x y x d -=≤≤，{}()(,),(1,2,)m n x R d m ⊂= ，()1(,)m m m n x x x = ，),....,()0()0(1)0(n x x x=，(,)n x R d ∈，，证明()()(1)m x x m i i x →→∞⇔∀≤≤，()()m ii x x m →→∞。

7、证明,0),,(,0>∃∈∀r r x s x 使),(),(0,0r x s r x s ⊂。

8、证明：,),(,0O ≠⋂>∀⇔∈-A x s A x εε用此结论证,AB A B = 。

9、证明（1）任意闭集交是闭集。

（2）有限个闭集的并是闭集。

10、证明开球是开集，闭球是闭集。

11、设(,)X d 是度量空间，A B C X ⊆，，，若B 在A 中稠密，C 在B 中稠密，，证明C 在A 中稠密。

Hirbert空间上的有界线性算子LISE定理：H空间U上的每个有界线性泛函f 1∃ u∈U,ST,f(x)=(x,u)，||f||=||u|| 伴随算子：(Tx,y)=(x,T*y) ||T||=||T*||定理：T1,T2是H空间上的自伴算子，则T1T2是自伴算子的的充要条件是T1与T2可交换定理：T是H空间U上的自伴算子，M为T的值域，N为T的零空间，则N=M⊥定理：T是H空间U上的自伴算子，则T的任一特征值必为实数，且对应与不同特征值的特征向量相互正交定理：T是H空间U上的自伴算子，令m=inf{(Tx,x):x∈U,||x||=1}M=sup{(Tx,x):x∈U,||x||=1}则||T||=max{|m|,|M|}推论：T是H空间U上的自伴算子，则||T||=sup{|(Tx,x)|:x∈U,||x||=1}定义：U是实H空间，T∈B(U)为自伴算子，IF任意x∈U,(Tx,x)≥0,则T为正算子，记T≥0定义：{Tn}为自伴算子列，if任意n有Tn≤Tn+1,则{Tn}是单调上升列，单调上升及单调下降的自伴算子列统称为单调算子列。

定理：{Tn}为一致有界的单调自伴算子列，则1∃自伴算子T，ST,{Tn}按强算子拓扑收敛于T定理：T为正算子，则1∃正算子S,S2=T,S是T的某一多项式按强算子拓扑收敛的极限。

推论：T为正算子，x0∈U,if (Tx0,x0)=0,则Tx0=0推论：自伴算子T1≥T2正算子T与T1,T2均可换，则TT1≥TT2.特别的，T2=0时TT1≥0定义：U是内积空间，A()是定义在U的二元泛函，IF 任意x,y,z∈U,αβ∈C有A(αx+βy,z)=αA(x,z)+βA(y,z)A(x,αy+βz)=α~A(x,y)+β~A(x,z)则A()是U上的一个双线性泛函，IF任意x,y∈U,A(x,y)=A(x,y)~则A()是U上的一个双线性埃尔米特泛函定义：A()是内积空间U上的双线性泛函，IF 存在C>0,ST,|A(x,y)|≤C||x||||y|| 则A()是有界的，令||A||=sup|A(x,y)|称为其范数定理：T是H空间U上的有界线性算子，则由等式A(x,y)=(Tx,y)定义了U上的一个有界线性泛函且||A||=||T||推论：A是有界埃尔米特泛函的充要条件是任意x∈U,A()为实数且A()有界。