Hilbert空间中的线性算子

hilbertschmidt定理Hilbert Schmidt定理：探索于无尽的向量空间中的内积。

Hilbert Schmidt定理是一个重要的经典数学理论，它主要涉及到无穷维向量空间的内积以及线性算子的理论，是数学分析中的一门重要的课程。

本文将引导读者深入了解Hilbert Schmidt定理的内涵和应用。

一、什么是Hilbert Schmidt定理？Hilbert Schmidt理论是一个涉及到有限秩线性算子与安普伯格Hilbert空间的理论，具体说来就是证明了有限维情形下的内积和无限维情形下的内积的等价性。

在数学中，无限维情形下的内积不再等价于一般线性算子，而是引进了Hilbert-Schmidt线性算子的概念，提出了Hilbert Schmidt定理。

在一般性的希尔伯特空间中，任何Hilbert-Schmidt算子总能被趋向于正交归一向量的有限秩算子逼近，并且能够刻画一种等价关系，构成希尔伯特空间的完备性的理论。

同时，Hilbert-Schmidt算子具有普遍的重要性，它在量子力学的建立和量子场论中扮演了一个重要的角色。

二、Hilbert-Schmidt算子的定义及性质在有限维线性空间中，任何一个线性算子都是有限秩的，因此可以被一个确定的矩阵表示，进而可以通过矩阵的转置、或共轭，以及逆等变换来描述其一些最基本的性质。

而在无限维线性空间中，这种情形就不再满足，线性算子不能够通过有限维向量空间矩阵的方式进行描述，因为矩阵的转置、共轭、逆等变换只对有限秩矩阵有意义。

为了描述这种情形下的线性算子，我们可以考虑内积，线性算子T可描述为在无限维向量空间V中选择一个基底和模量，然后给每一个向量赋予一个关于基底、模量的有限表达式。

而对于任一向量$u$, $Tv$，其内积为$<u,Tv>$。

但是类似于有限元素空间的基，无限维向量空间V的基是不存在的，因此，这种描述方法在实际应用中并不方便，于是引出了Hilbert-Schmidt算子的概念。

希伯特空间上的算子理论及应用算子理论是函数分析的重要分支领域之一，它在各个科学领域中都有着广泛的应用。

其中，希伯特空间上的算子理论尤为重要，它是通过研究希伯特空间中的线性算子性质和运算规律，来深入了解和应用算子的性质和特点。

一、希伯特空间的基本概念在介绍算子理论之前，我们首先来了解一下希伯特空间的基本概念。

希伯特空间是指一个具有内积的完备线性空间，它是由一组满足特定条件的向量所组成的。

希伯特空间具有以下几个重要性质：1. 连续性：希伯特空间中的向量和算子都是连续的，这也是它在计算和分析问题中的重要性。

2. 完备性：希伯特空间是一个完备的空间，也就是说，它中的柯西序列都能收敛于某一点。

3. 内积：希伯特空间中的向量之间定义了内积，这决定了向量的长度和夹角。

二、希伯特空间上的算子理论希伯特空间上的算子理论主要研究在希伯特空间中定义的线性算子的性质和运算规律。

线性算子是将一个希伯特空间映射到另一个希伯特空间的操作。

对于希伯特空间上的线性算子，我们有以下几个重要概念：1. 自伴算子：如果一个算子与其共轭转置相等，那么它就是一个自伴算子。

自伴算子在量子力学中具有重要的应用。

2. 酉算子：如果一个算子的逆等于其共轭转置，那么它就是一个酉算子。

酉算子在正交变换和傅里叶变换中有广泛应用。

3. 压缩算子：如果一个算子将希尔伯特空间中的向量映射到一个子空间中，且保持其长度不变，那么它就是一个压缩算子。

算子理论研究了以上概念的性质和运算规律，可以通过分析算子的特征值和特征向量来了解算子的行为和性质。

通过研究这些性质，我们可以更好地掌握希伯特空间上的算子理论，为实际问题的求解提供有力的工具和方法。

三、希伯特空间上算子理论的应用希伯特空间上的算子理论在许多不同的科学领域中都有广泛的应用，下面以几个具体领域为例进行介绍：1. 量子力学：希伯特空间上的算子理论是量子力学的重要基础，通过研究自伴算子和酉算子的性质，可以描述量子体系中的能量和态的演化规律。

hilbert空间上线性有界算子关系式ab-
ba≠i的一个证明
空间上的线性有界算子是指在一个Hilbert空间上，用线
性方程组来定义的算子。

这种算子常常用来表达特定的空间性质，比如它可以用来描述空间中物体的运动规律，或者表达某种程度的不变量。

本文将讨论关系式AB-BA≠I这一结论，它
表明空间上线性有界算子AB和BA不等价，这也是Hilbert空间上线性有界算子的一个重要特性。

首先，我们来看看Hilbert空间上线性有界算子的定义。

Hilbert空间上的线性有界算子是指从Hilbert空间到自身的线
性算子，它的特征是它的范数是有限的。

也就是说，它的范数是一个有界的数字，表示它的力量是有限的。

另外，它还有一个特性，即它的力量是越来越大的，但总是有一个上限，即它的范数。

现在我们来看AB-BA≠I这个结论。

由于AB是一个线性
有界算子，因此它的范数是有限的，这意味着它的力量是有限的。

另外，BA也是一个线性有界算子，它的范数也是有限的，但是它的力量可能比AB大，因为它的范数可以比AB大。

因此，AB和BA的力量是不同的，因此AB-BA≠I。

综上所述，AB-BA≠I是空间上线性有界算子的一个重要
性质。

它表明，AB和BA的力量是不同的，因此AB-BA≠I。

这也是Hilbert空间上线性有界算子的特性之
一，它可以帮助我们更好地理解和分析空间中的特性。

第二篇 数学物理方程第一章 希尔伯特空间[]2,L a b 与施斗姆-刘维尔算子§2.2.1希尔伯特（Hilbert ）空间],[2b a L 希尔伯特空间[]2,L a b 是一个函数空间，这里简单地介绍一下，不作专门的理论研究. 2.1.1.1连续函数空间],[b a C 定义在区间[],a b 上的所有连续的复值函数的集合记为，这里区间],[b a C [],a b 可以是无限的. 是一个线性空间，现在在空间引入内积运算.],[b a C ],[b a C 定义1.设()(),f x g x 为空间内的任意两个函数，称在黎曼（Riemann ）意义下的积分],[b a C x x g x f bad ∫)()(为,f g 的内积，记作x x g x f g f bad ∫=)()(),(这里()g x 表示取()g x 的复共轭.根据定义，内积满足以下性质： 1.()(),,f g g f =. 2．对任意复数,αβ都有()()(),,,f g h f h g h αβαβ+=+这里[],,,a b f g h C ∈.3．≥0，当且仅当(f f ,)0f =时，(),0f f =. 可见是一内积空间. [],a b C 引入空间内的范数.[],a b C 定义2.设()f x 为[],a b C ()f x 的范数，记为f .显然范数与内积满足关系式()g f ,≤g f ⋅，它就是Cauchy-Schwarz 不等式.范数⋅具有以下明显的性质. 1．f ≥0，当且仅当0f =时，0f =. 2．对任意复数α，有f f ⋅=αα. 3．成立三角不等式g f +≤g f +.现在引入连续函数空间中函数序列收敛的概念.[],a b C 定义3.设中的一个函数序列[],a b C (){}n f x ，如果有函数()f x ，使得0lim lim 212=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=−∫+∞→+∞→x f f f f ba n n n n d ,则称函数()f x 为函数序列{}n f 的极限，记为lim n n f f →+∞=.这种收敛的概念与高等数学中的序列收敛（点点收敛）的定义是不同的，通常称{}n f 为以范数收敛或平均收敛，为方便，也可简称平均收敛为收敛.高等数学中有一个判定序列收敛的著名的哥西（Cauchy ）准则.称凡是满足哥西准则的中的函数序列[],a b C (){}n f x 为基本列，即如果(){}nf x 是基本列，那么对于任意给定的0ε>，总存在自然数()N N ε=，当时都有,n m N >n m f f ε−<，反之亦然.应当指出，在空间中，基本列[],a b C {}n f 的极限未必是连续函数，即基本列{}n f 在中未必收敛.不能使得每一个基本列都收敛的空间称为不完备空间.可见，空间是不完备的.[,a b C ][],a b C 为了便于极限运算，可以将不完备的内积空间完备化，并且称的完备化空间为[],a b C [],a b C []2,L a b 空间.所谓完备化，就是在中增加所有基本列的极限函数.设函数序列{[],a b C }n f 是中的基本列，则定义函数[],a b C ()f x 为)(lim )(x f x f n n +∞→=.这样，若{}n f 本身在中为收敛于[],a b C 0f 的基本列，则取0f f =.若中两个基本列[],a b C {}n f 与{}n g 满足0→−n n g f （当时），则n →+∞规定lim lim n n n n f g →+∞→+∞=.2.1.1.2[]2,L a b 空间由此可见，函数空间[]2,L a b 中所有函数()f x 都可以表示为连续函数序列{}n f 的极限.于是，可以这样来引入[]2,L a b 中的线性运算与内积运算.定义4.设{}n f ，{}n g 是中的两个基本列，记[],a b C lim n n f f →+∞=，，则定义lim n n g →+∞=g ()lim n n n f g f αβαβ→+∞+=+g ，这里,αβ为复数，()(),lim ,n n n f g f →+∞=g由于{}n n f g αβ+仍是中的基本列，[],a b C (){},n n f g 是复数域中的基本列，因此上面的定义是合理的.由此，[]2,L a b 空间中函数f 的范数定义为f =.显然，成立定理1.定理1.设{}n f 是空间中的基本列，则数列是复平面上的基本列，这里区间[],a b C ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧∫x x f b a n d 11)([]11,a b 是区间[],a b 的任意一个子区间.这样，数列是复平面上的基本列，并且有复数⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧∫x x f ba n d 11)(A 为x x fA b a nn d ∫+∞→=11)(lim.于是我们定义定义5.设{}n f 是空间中的基本列，[],a b C [][]11,a b a b ⊂,，记()()lim n n f x f →+∞=x ，那么我们称数列的极限⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧∫x x f b a n d 11)(A 为函数()f x 在[]11,a b 上的勒贝格(Lebesgue )积分，记为，并说⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧∫x x f ba d 11)(()f x 在[]11,a b 上勒贝格可积.显然，若()f x 在[],a b 上黎曼可积则它的黎曼积分与它的勒贝格积分相等.今后如不特别声明，本书中的积分均指勒贝格积分.注意到中基本列的有界性，因此数列[],a b C {}2nf 也是基本列，这样[]2,L a b 中函数f 的范数也可用积分表示：+∞<⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=∫∫+∞→212212lim x f x f f ba ba n n d d . 同样，[]2,L ab 中的内积用勒贝格积分表示为x x g x f g f bad ∫=)()(),(,其中()()[]2,,f x g x L a b ∈.若函数()f x 的模数()2f x 在[],a b 上勒贝格可积，则称函数()f x 是平方可积的.由此可见，[]2,L a b 中的每一个函数都是平方可积函数.凡是平方可积的函数也必都属于[]2,L a b ，因此也可以把它作为空间[]2,L a b 的定义.如果两个函数[]2,,f g L a b ∈，在[],a b 的任一子区间[]11,a b 上有x x g x x f b a b a d d ∫∫=1111)()(,则说两个函数,f g 是在[],a b 上几乎处处相等的，仍记为f g =.于是，在此意义下，在[]2,L a b 空间中(),f f 0=的必要且充分的条件是.0f =显然，[]2,L a b 是内积空间，满足内积的三条性质与范数的三条性质，同样，保持哥西不等式及内积连续性等性质，是完备的内积空间，因此[]2,L a b 空间是希尔伯特空间. 2.1.1.3[]2,L a b 空间的傅里叶（Fourier ）级数有人曾经指出，希尔伯特空间[]2,L a b 是无穷维的欧氏空间.这反映了[]2,L a b 具有许多类似于欧氏空间的性质：一个n 维欧氏空间n R 中存在标准正交基，对于n R 中的任一向量均可由这组标准正交基线性表示，对于[]2,L a b 空间也有这方面的类似性质.定义6.设[]122,,f f L a b ∈，如果()12,f f 0=则称函数12,f f 是正交的.定义7.若[]2,L a b 中一个可列无穷的函数列{}n ϕ满足{})3,2,1,()(1)(0,L =⎩⎨⎧=≠==j i j i j i ijjiδϕϕ 则称函数列{}n ϕ为[]2,L a b 中的标准正交系.例1：在复的[]2,L ππ−+空间里，函数系()0,1,2,inx n ⎫[] =±±⋅⋅⋅⋅⎬⎭是2,L π−π+中的一个标准正交系.例2：在[]2,L a b 空间里,这里是实数,函数系,a b ()2,1,2n x a n b a π−, =⋅⋅⋅⋅−是[]2,L a b 的一个标准正交系.对于欧氏空间n R 的任一向量均可由它的标准正交基线性表出,也就是说,欧氏空间的标准正交基是完全的.对于[]2,L a b 空间，也可以讨论其标准正交系是否完全的问题以及[]2,L a b 空间中的任一函数由标准正交系线性表示问题.定义8.设{}n ϕ是[]2,L a b 空间的一个标准正交系，如果存在一个非零函数[]2,f L a b ∈，使f 与{}n ϕ中的每一个函数都正交，则称{}n ϕ是不完全的，否则称{}n ϕ是完全的.例3：函数系()()21,2,3,n x a n b a π⎫−⎪=⋅⋅⋅⎬−⎪⎭[是]2,L a b 上一个不完全的标准正交函数系.事实上，函数系()()21,2,3,n x a n b a π⎫−⎪ =⋅⋅⋅⎬−⎪⎭是[]2,L a b 上的一个标准正交系是显然的.因此只要证明它不是完全的.取()[]21,f x L a =∈b，且()21bbaan x a b aπ−−∫0=)(1,2,3,n =⋅⋅⋅⋅，所以函数系()2n x a b a π⎫−⎪⎬−⎪⎭是[]2,L a b 上一个不完全的标准正交系.例4：函数系()()1,2,3,n x a n b a π⎫−⎪ =⋅⋅⋅⎬−⎪⎭[是]2,L a b 上一个完全的标准正交系.应当指出，标准正交系{}n ϕ中任意有限个函数12,,,m n n n ϕϕϕ⋅⋅⋅⋅是线性无关的.定义9.设{}()1,2,n n ϕ =⋅⋅⋅是[]2,L a b 中的一个标准正交系，则把数列(){}(),1,n f n ϕ2, =⋅⋅⋅叫做函数f 关于标准正交系{}n ϕ的傅里叶系数，这里[]2,f L a b ∈.我们不加证明给出傅里叶级数的收敛定理.定理：如果{}n ϕ是[]2,L a b 空间中一个完全标准正交系，则()[]2,f x L a b ∈的傅里叶级数∑收敛于+∞=1)(),(n n n x f ϕϕ()f x ，即()f x =()(1,n n n )f x ϕϕ+∞=∑,并且成立巴塞伐尔(Parseval )等式()221,n n ff ϕ+∞==∑,即[]2,L a b 空间中的勾股定理.类似地，推广到二维上去.设函数系(){}()1,2,n x n ϕ =⋅⋅⋅是[]2,L a b 中的一个标准正交的完全系.那么函数系()(){}m n x y ϕϕ是[][]2,,L a b a b ×上的一个标准正交的完全系，这里,1,2,m n =⋅⋅⋅⋅.于是对于在[][],,a b a b ×上平方可积的函数(,)f x y 有二维傅里叶级数的收敛定理()()(,1,mnm n m n )f x y ax y ϕϕ+∞==∑并且成立()22,1,mn m n f x y a +∞==∑,这里()()()(),,mn m n a f x y x y ϕϕ=是二维的傅里叶系数.2.1.1.4 施斗姆(Sturm )-刘维尔(Liouville )算子通常称算子⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎟⎠⎞⎜⎝⎛−≡)()()()(1x y x q x y x p x x r Ly d d d d 为施斗姆−刘维尔算子.这里系数()(),p x q x 在[],a b 上定义，并且≥)(x p 0const 0>=p ,≥0，≥)(x q )(x r 0const 0>=r .我们考虑空间[]()()2,,L a b r x ，其内积为带权因子()r x 的积分定义，记为 x x g x f x r g f bar d ∫=)()()(),(,从而其范数为212)()(⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=∫x x f x r fba rd . 若(),0f g r =则记,f g 带权因子正交，r 1r =就是通常意义下的正交.2.1.1.5施斗姆−刘维尔本征值问题 称方程Ly y λ=即0)()()()()(=+−⎟⎠⎞⎜⎝⎛x y x r x y x q x y x p x λd d d d为施斗姆−刘维尔方程,是数学物理问题中常见的一种微分方程，这里λ是参数.施斗姆−刘维尔方程Ly y λ=在不同情况下应与如下几种边界条件构成本征值问题：（1）若在端点x a =有()0p a ≠，则在x a =点要附加三类齐次边界条件0)()(=+′a y a y βα，这里220αβ+≠，若0,0αβ=≠为第一类边界条件；若0,0αβ≠=为第二类边界条件.（2）若()0,p a =而0)(≠′a p ,则在x a =有()y a 为有限的条件称之为自然边界条件.（3）若在端点x a =，x b =有()()p a p b =，则在x a =，x b =有称之为周期性的边界条件)()(b y a y =，)()(b y a y ′=.在上述三类条件之一下，求使得方程Ly y λ=有非零解()y x 的值λ的问题称之为本征值问题（又叫固有值问题）.对于此，在空间[]()2,,L a b r 内有① 有可列无穷多个非负的本征值（固有值）0≤1λ≤2λ≤≤L n λ≤L 和相应的本征函数()()()12,,,,n x x x ϕϕϕ⋅⋅⋅⋅⋅⋅满足n n L n ϕλϕ=.② 这些本征函数()()()12,,,,n x x x ϕϕϕ⋅⋅⋅⋅⋅⋅构成[]()2,,L a b r 空间内的标准正交完全系，且有,...)3,2,1,,(,0)()()(=≠=∫m n m n x x x x r bam nd ϕϕ③若()[]()2,,f x L a b r ∈，则有（广义）傅里叶级数()()1n n n f x C ϕ+∞==∑x ，其中 x x x f x r C b anr nn d ∫=)()()(12ϕϕ.例5: 证明施斗姆−刘维尔本征值问题⎩⎨⎧≠+≠+=+′=+′≠≠=0,0,0)()(0)()(0)(,0)(222221212211βαβαβαβαλb y b y a y a y b p a p y Ly 这里的本征函数系{}()1,2,n n ϕ =⋅⋅⋅在区间[],a b 上是带权因子()r x 正交的.证：设(),n m n m λλ≠为两个不相等的本征值，()(,n m )x x ϕϕ分别是它们的对应的本征函数，即n n L n ϕλϕ=，m m L m ϕλϕ=，并且满足0)()(,0)()(2211=+′=+′b b a a n n n nϕβϕαϕβϕα,0)()(,0)()(2211=+′=+′b b a a m m m mϕβϕαϕβϕα. 注意到()()(),,p x q x r x 都是实值函数，所以有,n n n m m rL r rL r m ϕλϕϕλϕ= =用m ϕ乘以第一式，n ϕ乘以第二式，相减，并在[],a b 上积分，注意到算子的特点得：L ()∫−bam n m n x x x x r d )()()(ϕϕλλx x x p x x x x p x x ba n m m n d d d d d d d d d ∫⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=ϕϕϕϕ)()()()( ⎟⎠⎞⎜⎝⎛′−′−⎟⎠⎞⎜⎝⎛′−′=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛′−′=)()()()()()()()()()()()()()()(a a a a a p b b b b b p x x x x x p n m m n n m m n ba n m m n ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ注意到边界条件中11,αβ不同时为零，2,2αβ不同时为零，所以系数行列式0)()()()(=′′a a a a m m n n ϕϕϕϕ， 0)()()()(=′′b b b b m m n nϕϕϕϕ 因此，得： ()0)()()(=−∫ba m n m n x x x x r d ϕϕλλ，而n m λλ≠，故得本征函数系(){}n x ϕ带权因子()r x 正交，即0)()()(=∫bam nx x x x r d ϕϕ.§2.1.2线性常微分方程的级数解法二阶线性齐次常微分方程的一般形式是0)()()()()(=+′+′′z w z q z w z p z w ,其中自变量是复数.z如果函数()(),p z q z 在0z z =点解析，则称此点为方程的常点.如果是0z 0z ()p z 的至多一阶极点，是()q z 的至多二阶极点，即()()()()()20,z z p z q z z z z z ϕψ==−−其中()(),z z ϕψ在点解析，那么点称为方程的正则点. 0z 0z 我们仅讨论方程在常点邻域、正则点邻域内的级数解，给出幂级数的解法.2.1.2.1常点邻域内幂级数解法不失一般性，只讨论0x =点为常点的幂级数解法，如果， 00≠x 就令，化为在原点内讨论了.0x x t −=例6：在0x =点的邻域内求解艾里方程0)()(=−′′x xy x y 的幂级数解.解：设()0,n n n y x c x c +∞=n = ∑是待定的常数.,()111−+∞=−+∞=∑∑==′n n n n n n x nc xnc x y ()()()222111−+∞=−+∞=∑∑−=−=′′n n n n n n x c n n xc n n x y代入方程，有 ()21210n n n n n n n n c xc x +∞+∞−+==−−=∑∑合并同类项，得 ()()()22121210n n n n c n n c c x +∞+−=1⋅+++−∑=3,比较两边同次幂项的系数得：()()0221:20:210,1,2,n n n x c x n n c c n +− = ++−= =⋅⋅⋅由此得 20c =，还有递推关系式 ()()12,1,2,3,21n n c c n n n −+==⋅⋅⋅++当1n =时 0301323!c c c ==⋅ 当2n =时 1412434!c c c ==⋅ 当3n =时 25054c c ==⋅ 当4n =时 36014656!c c c ⋅==⋅ 当5n =时 47125767!c c c ⋅==⋅ 当6n =时 58087c c ==⋅ 于是，易得()()()()303114322531,3!31!m m m m c c c m m +⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅−==+1c故得艾里方程的通解：()()()()()330111147322583113!31!m m m m m m y x c x c x x m m +∞+∞+==⎛⎞⎛⋅⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅⋅−=+++⎜⎟⎜⎜⎟⎜+⎝⎠⎝∑∑1⎞⎟⎟⎠其中为任意实常数.艾里方程的两个线性无关解为：01,c c ()()()()()()3113121147321,3!25831,31!nn n n n y x x x n n y x x x x n +∞=+∞+=⋅⋅⋅⋅⋅−=+ <+∞⋅⋅⋅⋅⋅−=+ <+∞+∑∑例7：在0x =点的邻域内，求解方程()()()()012=−′+′′−x y x y x x y x解：0x =点是此方程的常点，设()0n n n y x c x +∞==∑ ,()11−+∞=∑=′n n n xnc x y ()()221−+∞=∑−=′′n n n x c n n x y代入方程，有()()222111n nnnn n n n n n n n c xn n c x nc x c x +∞+∞+∞+∞−====0n n −−−+−∑∑∑∑=0合并同类项，得()()()()220322232211n n n n c c c x n n c n c x +∞+=⎡⎤−+⋅+++−−=⎣⎦∑比较两边对应次幂的系数，得()()()0120322:20,:60:2110,2,3,4nn n x c c x c x n n c n c n + −= = ++−−= =⋅⋅⋅由此有 2031,02c c c = =递推公式 ()()()()22,12,3,4,21n n n c c n n n + −==⋅++⋅⋅当2n =时 2401434!c c c ==⋅ 当3n =时 2532054c c ==⋅ 当4n =时 22264313656!c c ⋅==⋅0c 当5n =时 2754076c c ==⋅ 当6n =时 0222628!8531785c c c ⋅⋅=⋅= 所以一般地有 ()()()2212023!!0,,2,3,4,2!n n n c c c n n +−⎡⎤⎣⎦= = =⋅⋅⋅ 得解为 ()()()222100223!!1,2!2!nn n x y x c x c x c c n +∞=⎛⎞−⎡⎤⎣⎦⎜⎟=+++ ⎜⎟⎝⎠∑1,为任意常数,此方程的两个线性无关的解是()()()()22212223!!,12!2!n n n x y x x y x x n +∞=−⎡⎤⎣⎦= =++∑.2.1.2.2正则点邻域内的幂级数解法不失一般性，只讨论0x =点为方程正则点的方程的幂级数解法. 例8:在0x =点的邻域内求方程()()()()0124=−′−+′′x y x y x x y x的幂级数解.解：显然0x =是方程的正则点.为此设方程的解为()0,n n n y x c x ρ+∞+==∑ 不妨设00c ≠求导有()()10−++∞=∑+=′ρρn n n xn c x y , ,()()()201−++∞=∑−++=′′ρρρn n n x n n c x y 代入方程得()()()()110041220n n nn n n n n n n n n c n n xc n x c n x c x ρρρρρρρρ+∞+∞+−+==+∞+∞++==++−++−+−=∑∑∑∑−消去x ρ，合并同类项，得()()()()01122122212210nn n n c n n c n c x ρρρρρ+∞−=−+++−−+−=⎡⎤⎣⎦∑比较同次幂的系数，得()()()()(01221022212210,1,2,3,n n c n n c n c n ρρρρρ−−=++−−+−= =⋅⋅⋅)由于，得到关于00c ≠ρ的一元二次方程()21ρρ0−=，这个方程称之为指标方程，通常取实部较大的那个根为1ρ，较小的那个根为2ρ，这里有121,02ρρ= =将112ρ=代入第二式得递推关系式：1,1,2,321n n c c n n −,= =⋅⋅⋅+当时，有1n =101,3c c =当2n =时有00211,5535!!c c c c ===⋅⋅⋅⋅，一般地有()21!n c c n =+! 从而得 ()()1021!nn x y x c n +∞==+!. 由于1211022ρρ−=−=不为整数，因此找方程的与()1y x 线性无关的解可设为 ()220n n n n n n y x d xd x ρ+∞+∞+====∑∑.这样 , , ()112−+∞=∑=′n n n x nd x y ()()2121−+∞=∑−=′′n n n x d n n x y 代入方程，得()()()()()11211101141222222121n n nnn n n n n n n nn n n n n d xnd xnd x d x d d n n d n d x +∞+∞+∞+∞−−====+∞+=0n −+−−−+++−+=⎡⎤⎣⎦∑∑∑∑∑=比较同次幂的系数得()()()()10120,2221210,1,2,3,n n d d n n d n d n +−= ++−+= =⋅⋅⋅由此得到系数的递推关系式：()()11,2,1,2,3,21nn d d d d n n +== =⋅⋅⋅+当时，有 1n =01244!d d d ==! 当时，有 2n =02366!d d d ==!一般地， 有 ()()0,1,2,32!!n d d n n ,==⋅⋅⋅ 这样得 ()()0202!!nn d y x n +∞==∑, 故得方程通解()()()()()1212000021!!2!n nn n !x x y x y x y x c d n n ++∞+∞===+=++∑∑,这里为任意常数.00,c d 例9:在0x =点邻域内求方程 ()()()0=+′−′′x y x y x x y x 的幂级数解.解：显然0x =是方程的正则点，设方程的解为()0n n n y x c x ρ+∞+==∑,这里,n c ρ都是待定的常数，不失一般性，总假定00c ≠，否则把不为零的那项的x 的幂指数并入ρ内.()()10−++∞=∑+=′ρρn n n xn c x y , ,()()()201−++∞=∑−++=′′ρρρn n n x n n c x y 为方便起见，方程两边乘以x ，得()()()022=+′−′′x xy x y x x y x ,代入上式得()()()11010n n n n n n n c n n xc n xc x ρρρρρ+∞+∞+∞++−==0n n ρ++=++−−++=∑∑∑消去x ρ，合并同类项，化简得()()()()011112nn n n c c n n n c ρρρρρ+∞−=0x −+++−−+−⎡⎤⎣⎦∑=注意到，得指标方程00c ≠()10ρρ−=，与递推关系式()()12,1,2,3,1n n n c c n n n ρρρ−+−==⋅⋅⋅⋅++−指标方程有两个根121,0ρρ= =,将11ρ=代入递推关系式得 ()11,1,2,3,1n n n c c n n n −−==⋅⋅⋅⋅+当时，得1n =10c =，于是得0,1,2,3,n c n = =⋅⋅⋅ 因此得 ()10y x c x =.由于这里121ρρ−=为整数，为了求得与()1y x 线性无关的第二个解，这时设()()()221010ln ln n n n nn n y x gy x x d x gy x x d x ρ+∞+=+∞==+ =+∑∑由于为简单起见，记()1,y x c x =00A gc =，于是有()20ln n n n y x Ax x d x +∞==+∑， ,n A d 为待定常数，于是,()∑+∞=−++=′112ln n n n x nd A x A x y ()()∑+∞=−−+=′′2221n n n x d n n x A x y , 代入变形后的方程中，得()22121211ln ln nn n n n n Ax n n d x Ax Ax x nd xAx x d x +∞+∞+∞++==+−−−−++∑∑0n n n ==∑0合并同类项，化简有()()()()20213212nn n n A d x A d xn n d n d x +∞−=+−−+−−−=⎡⎤⎣⎦∑ 比较同次幂系数得()0210,202,3,4,1n n A d A d n d d n n n −5,+= −=−==⋅⋅⋅−这里，（否则0A ≠()2y x 与()1y x 就线性相关）取1,A =得0211,2d d =− =当时， 3n =32113223!d d ==⋅⋅ 当时 4n =43214334!d d ==⋅⋅ 依次类推得，一般式 ()1,2,3,41!n d n n n ,==⋅⋅⋅−⋅于是得 ()()22ln 11!nn x y x x x n n +∞==−+−⋅∑.故方程的通解为 ()()02ln 11!nn x y x c x A x x n n +∞=⎛⎞=+−+⎜⎟⎜⎟−⋅⎝⎠∑, 这里为任意常数.0,c A 例10: 在0x =点邻域内求方程 ()()()02122=−′′+x y x y x x 的幂级数解.解：显然0x =是方程的正则点，设方程的解为()0,n n n y x c x ρ+∞+==∑ 不妨设00c ≠.()()1−++∞=∑+=′ρρn n n xn c x y , ,()()()201−++∞=∑−++=′′ρρρn n n x n n c x y 因满足方程，代入得()()()()211n n nn n n n n n c xn n c xc x ρρρρρρ+∞+∞+∞+++==++−+++−−=∑∑∑020n n ρ+=消去因子x ρ，合并同类项得()()()()()()()220122222223n n n n c c x n n c n n c x ρρρρρρρρ+∞−=−−++−+⎡⎤0+−+−++−+−=⎣⎦∑由于，得指标方程00c ≠220ρρ−−=,与系数的递推关系式：()()()()()2122320,,2,3,4,21n n n n c c c n n n ρρρρρρ−+−+−+−= ==⋅⋅⋅+−++解指标方程得两个根：122,1ρρ= =−. 将12ρ=代入系数的递推关系式中，有1210,,2,3,4,3n n n c c c n n −−= =−=⋅⋅⋅+ 当时，有 2n =2013553c c =−=−0c ⋅ 当时，有 3n =31206c c =−=当时，有 4n =()24233177c c =−=−05c ⋅当时，有 5n =50c = 依次类推得()()()222022131;232321mm m m m c c c c m m m −+10−=−=− =+++ 由此得()()()()2222212001312321n n n n n n y x c xc x x n n +∞+∞++==⎛⎞==+−⎜⎟⎜⎟++⎝⎠∑∑. 由于123ρρ−=＝整数，为求一个与()1y x 线性无关的第二个解， 设 ,()()()∑∑+∞=−+∞=++=+=011012ln ln 2n n n n n n x d x x gy xd x x gy x y ρ()()()()∑+∞=−−++′=′021121ln n n n x d n x y x gx x y g x y , ()()()()()()∑+∞=−−−+−′+′′=′′0321112212ln n n n x d n n x x y g x y x gx x y g x y , 代入方程有()()()[]()()()()x y x g x y x x g x x gy x y g x x 12131122122ln 21+−′++−′′+()()()()02212101011=−−−+−−+∑∑∑+∞=−+∞=++∞=−n n n n n n n n n x d xd n n xd n n ,注意到()1y x 是方程的解，故上式中含有ln x 的那一项为零，又 , , ()22021++∞=∑=n n n xc x y ()()1202122++∞=∑+=′n n n x c n x y 于是得到()()()()()22241220001043433120n n n n n n n n n n g n c xn c x n n d x n n d x +∞+∞+∞n n ++−===+∞+=⎡⎤++++−⎢⎥⎣⎦+−−=∑∑∑∑合并同类项，有()()()()()()220222111234341312n n n n n n n n n n g c x n c n c x d n n d x n n d x +∞+−=+∞+∞−+==⎡⎤+++−−⎢⎥⎣⎦+−+−−=∑∑∑2120于是()()()()()()()()()222022211212024343412220334n n n n n n n n g c x n c n c x d d d x x n n d n n d x +∞+−=+∞−−=⎡⎤+++−+−⎢⎥⎣⎦+−++⋅+−+−−=∑∑上式中关于2x 项的系数有030,gc =而c 00,≠得0,g =从而有()011022012:20,0:20,4:,4,5,6,7,n n n x d d x d d d d n x d d n n−− −= = −= =− =−=⋅⋅⋅当时， 4n =40,d =当时， 5n =5313553d d 3d −=−=⋅依次类推()()()()1221330;1,2,3,4,2121m m m d d d m m m ++= =− =⋅⋅⋅+−由此得解()24682031333537597y x d x d x x x x x ⎛⎞⎛⎞=++−+−+⋅⋅⋅⎜⎟⎜⋅⋅⋅⎝⎠⎝⎟⎠,最后得方程的通解为：()()()()2220013112321n n n y x c x x d x n n x +∞+=⎛⎞⎛⎞=+−++⎜⎟⎜⎟⎜⎟++⎝⎠⎝⎠∑, 这里为任意常数.00,c d 例11：在0x =点的邻域求方程()()()()()041121=+′−+′′−x y x y x x y x x 的幂级数解.解：0x =点是方程的正则点.设方程的解为()0n n n y x c x ρ+∞+==∑这里,n c ρ都是待定的常数，不失一般性设00c ≠()()10−++∞=∑+=′ρρn n n xn c x y ,()()()201−++∞=∑−++=′′ρρρn n n x n n c x y 代入方程，有()()()()()()110112104n n n nn n n n n n n n n n n n n c xn n c xn c x n c xc x ρρρρρρρρρρρ+∞+∞+∞++−+===+∞+∞+−+==++−−++−++−++=∑∑∑∑∑消去因子x ρ，得()()()22100104n n n n n n n n c x n c x ρρρ+∞+∞−==⎡⎤++++−+=⎢⎥⎣⎦∑∑ 上式两边乘以x ，有()222011102n n n n c n c n c x ρρρ+∞−=⎡⎤⎛⎞−++−−+⎢⎥⎜⎟⎝⎠⎢⎥⎣⎦∑=由于，得到指标方程 00c ≠20ρ=, 与系数的递推关系式()()()22112212212,1,2,3,2n n n n n c c c n n n ρρρρ−−⎛⎞+−⎜⎟+−⎝⎠== =⋅⋅⋅++⎡⎤⎣⎦由此得指标方程的两个根：120ρρ==，将10ρ=代入上式有()()21221,1,2,32n n n c c n n −−= =⋅⋅⋅从而得到，()()2021!!,1,2,32!!n n c c n n ⎛⎞−= =⋅⋅⋅⎜⎟⎜⎟⎝⎠于是有()()()221!!1nn y x c x +∞⎛⎞⎡⎤−⎜⎟=+⎢⎥∑1012!!n n =⎜⎟⎣⎦⎝⎠,这里由于120ρρ==；要求一个与()1y x 线性无关的解()2y x ，可设()()()∑∑+∞=+∞=++=+=01012ln ln 2n n n n n n x d x x gy xd x x gy x y ρ,其中，为待定的常数.,n g d ()()()∑+∞=−++′=′11112ln n n n x nd x y x gx x y g x y , ()()()()()∑+∞=−−+−′+′′=′′222111212ln n n n x d n n x x y g x y x gx x y g x y , 代入方程，有()()()()()()()()[]x y x y x g x x y x y x x y x x g 1111112ln 1121+′−+⎥⎤⎢⎡+′−+′′−4⎦⎣ ()()0412110111212=+−+−−−+∑∑∑∑∑+∞=+∞=−+∞=+∞=−+∞=n n n n n n n nn n n n n nn x d xnd x nd xd n n x d n n 注意到()1y x 是方程的解，所以上式中含有ln x 的那一项实际上是零，而含有的那一项，由于g ()()()210121!!12!!nn n y x c x n +∞=⎛⎞⎡⎤−⎜⎟=+⎢⎥⎜⎟⎣⎦⎝⎠∑,()()()12101!!2!!12−∞+=∑⎦⎤⎢⎣⎡−=′n n nx n n c x y 有 ()()()[]()()⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+++=+′−∑∞+=n n x n n n n gc x y x y x g 12011!!2!!1222122112 ()()⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−++++=∑∞+=n n x n n n n x gc 2220!!2!!1222124321 这样，得到()()()2002222121221!!1321124222!!4914142nn n n n n n n gc x x d d n n d d x n d n d x +∞=+∞+=⎛⎞⎛⎞−+⎛⎞⎜⎟+++−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟+⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎡⎤⎛⎞⎛⎞+−++−+=⎢⎥⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎢⎥⎣⎦∑∑10合并同类项，有()()()()00120122222201211024********21!!212110,2,3,4222!!2n n gc d d gc d d n n n gc d n d n n n ++−=⋅+−=⎛⎞−++,+−+==⋅⋅⎜⎟⎜⎟+⎝⎠⋅于是，得()()()()()10022222201102222222222102211221343313432442243242121!!121,2,3,4,222!!221n n d gc d d gc d d gc n n n d d gc n n n n n +=+=⋅+⋅=⋅+⋅⋅⋅⋅⎛⎞+−+=+⋅ =⎜⎟⎜⎟+++⎝⎠⋅⋅⋅当时2n =222232010225153!!5!!5!!2246364!!6!!6!!2335d d gc d gc ⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛=+⋅=⋅++⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎞⎟⋅⋅⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠当时3n =222243010227175!!7!!7!!22248486!!8!!8!!23354d d gc d gc ⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛=+⋅=⋅+++⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜7⎞⎟⋅⋅⋅⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠()()依次类推，得()()()221021!!21!!1111422!!2!!23354721n n n d d gc n n n n ⎛⎞⎛⎞⎛⎞−−=⋅++++⋅⋅⋅+⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⋅⋅⋅⋅−⎝⎠⎝⎠⎝⎠于是有()()()()()()()22101120221!!ln 42!!21!!11112233547212!!nn n n n y x gy x x d d x n n gc x n n n +∞=+∞=⎛⎞−=++⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎛⎞− ++++⋅⋅⋅+⎜⎟⎜⎟⋅⋅⋅−⎝⎠∑∑⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎝⎠所以方程的通解为 ()()()12y x y x y x =+.§2.1.3勒让德方程与勒让德多项式2.1.3.1勒让德（Legendre ）方程形如 ()()()()0212=+′−′′−x y x y x x y x μ的方程称为勒让德方程，这里μ是一个参数.0x =点是勒让德方程的常点.设方程0x =点领域内的解为()0n n n y x c x +∞==∑求导数()∑+∞=−=′11n n n nxc x y ，()()∑+∞=−−=′′221n n n x n n c x y 代入方程中，有()()2221112n nnn n n n n n n c n n xc n n x c nx c x μ+∞+∞+∞+∞−====0n n −−−−+∑∑∑∑=()()[]()()()()[]0112122312221302=−+−++−⋅−⋅++⋅∑∞+=+n n n n x c n n c n n xc c c c μμμ比较两边同次幂的系数得()()()()20312210322102110,2,3,n n c c c c n n c n n c n μμμ+⋅+=⋅−⋅−=++−+−= =⋅⋅⋅⎡⎤⎣⎦由此得到()()()20321021,21321,2,3,21n n c c c n n c c n n n 1c μμμ+⋅−⋅= =⋅⋅+⋅−−= =⋅⋅⋅+⋅+当时，有2n =m ()()()()()2021223210,0,1,2,2!m m m c c m μμμ−⋅−−⋅⋅⋅⋅−⋅−⎡⎤⎣⎦= =⋅⋅⋅m 1 当时，有2n m =+()()()()2112214321,21!m m m c c m μμ+⋅−−⋅⋅⋅⋅−⋅−⎡⎤⎣⎦=+μ因此，勒让德方程的通解可写为()()()()()()()()()()2002110212232102!221432121!m m m m m m y x c m m m c x m μμμμμμ+∞=+∞+=−−−⋅⋅⋅⋅−⋅−⎡⎤⎣⎦=−−⋅⋅⋅⋅−⋅−⎡⎤⎣⎦ ++∑∑不难证明，勒让德方程的两个线性无关的特解()()12,y x y x()()()()()()()()()()()2102120212232102!221432121!mm m m m m y x m m m y x x m μμμμμμ+∞=+∞+=−−−⋅⋅⋅⋅−⋅−⎡⎤⎣⎦=−−⋅⋅⋅⋅−⋅−⎡⎤⎣⎦=+∑∑当 时，级数都是发散的，即1x →±1x =±这两点一般是勒让德方程 的解的奇点.2.1.3.2勒让德方程的本征值与本征函数显然，由()()12,y x y x 的表达式可知，勒让德方程的本征值问题的提法是，求在闭区间[]1,1−+上有有界解，只有当其中的参数时，()1,0,1,2,l l l μ=+ =⋅⋅⋅()()12,y x y x 中将有一个退化为多项式，成为[]1,1−+上的有界解.因此，()1,0,1,2,3,l l l μ=+ =⋅⋅⋅是勒让德方程在有界条件下的本征值，相应的多项式解是本征函数.对于每一个确定的值就有唯一的一个多项式，通常把这种多项式的最高次方l l x 的系数规定为()()22!2!l l l c l =⋅称为勒让德多项式，记作.的明显表达式为)(x P l )(x P l nl l n lnl x n l n l n n l x P 220)!2()!(!2)!22()1()(−⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∑−−⋅−−=其中2l ⎡⎤⎢⎥⎣⎦表示不大于2l 的最大整数.勒让德多项式还可以作为称之的生成函数())(x P l 12212xt t −−+关于展开式的系数，即l t ∑+∞=−=+−0212)()21(l l l t x P t xt .利用牛顿二项式展开式可以将勒让德多项式表示为微分形式－罗巨格(Rodrigues )公式lll l l x xl x P )1(!21)(2−⋅=d d 事实上，()()()()()()()()()222222220!!111!1!!!1!!1!!!!lrl l rll l r r l l g x x x x x l r l l l x l l r r l r −−−==−=−+⋅⋅⋅+−−−− +−=−−∑l rr因此)()!2()!(!)!22()1(21])12(2[)122)(22()!(!!)1(!21)1(!212202202x P x r l r l r r l x l r l r l r l r l r l l x xl l r l l r rlr l l r r l ll l =−−−−=−−−−−−−−⋅=−⋅−⎥⎦⎤⎢⎣⎡=−⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∑∑L d d 由勒让德多项式的表达式，显然有)()1()(x P x P l n l −=−, 0)0(12=+n P222)!(2)!2()1()0(n n P n nn ⋅−=0)()()12()()1(11=++−+−+x lP x xP l x P l l l l ,)3,2,1(L =l )()1()()(1x P l x P x x P l l l ++′=′+)()12()()(11x P l x P x P l l l +=′−′−+, )3,2,1(L =l给出勒让德多项式的前八个的表达式： 1)(0=x P , ,x x P =)(1)13(21)(22−=x x P , )35(21)(33x x x P −=,)33035(81)(244+−=x x x P ,)157063(81)(355x x x x P +−=,)5105315231(161)(2466−+−=x x x x P ,)35315693429(161)(3577x x x x x P −+−=2.1.3.3勒让德多项式的完全性、正交性、以及它的范数不难证明，勒让德多项式, )(x P l ),2,1,0(L =l 构成[]21,1L −+空间 内的一个完全的正交的函数系.函数系的完全性证明从略.现在证明它的正交性.设()f x 是一个次多项式，如果m m l <时，则()f x 与正交：)(x P l 0)()(11=∫+−x x p x f ld事实上，记()()21lg x x =−，显然1x =±是()g x 的阶零点，即，而l 0)1()1()1()1(=±==±′=±−l g g g L )(!21)()(x g l x P l ll ⋅=.利用分部积分法，有[])()1()()()()(!21)()(!21)()(11)1()2()1()(1111=−++′−⋅=⋅=+−−−−−+−+−∫∫x g x g x f x g x f l x x g x f l x x P x f k l k l l l l l L d d 由此得...2,1,0,,,0)()(11=≠=∫+−l m l m x x P x P lmd现在计算的范数)(x P l []()])()()1()()()1()()()()([)!2(1)()(!21)()(11)2(11)12(1)2()1()1()(211)()(22112x x g x g x g x g x g x g x g x g l x x g x g l x x P x P l ll l l l l l l l l l l l d d d ∫∫∫+−+−−−−+−+−+−−+−+−⋅=⎟⎠⎞⎜⎝⎛⋅==L 2112211221122)1()1()2)(1()1(11)1()!(2)!2()1()1()1()!(2)!2()1()()!2()1()!(21+−++−+−+−++−⎜⎜⎝⎛⎢⎣⎡++⋅−−=+−−=−=∫∫l l l l l ll l l l l l x x l l l x l x l l x x x l l x x g l l d d12212)1()!2()!()!(2)!2()1()2()2)(1(!)1()1()2()2)(1(1)1(2)1(11122221121121+=++⋅⋅=⎟⎟⎠⎞+++−+⎥⎦⎤+++−−+++−++−+−−∫l l x l l l l x x l l l l x l l l x l l l l ll l d L L L L 得 122)(+=l x P l , ),2,1,0(L =l 展开定理：设()[]21,1f x L ∈−+，则有傅里叶级数)()(0x P f x f l l l ∑+∞==这里傅里叶系数xx P x f l l x x P x f x p f ll l d d ∫∫+−+−⎟⎠⎞⎜⎝⎛+===1121121)()(2122,1,0,)()()(1L§2.1.4连带的勒让德方程和连带的勒让德函数 连带的勒让德方程()011222=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−+⎥⎦⎤⎢⎣⎡−y x m x y x x μd d d d , 显然时它就是勒让德方程.0m =连带的勒让德方程的本征值问题，就是求出它在[]1,1−+上的有界解那些μ的值.同样，()L 2,1,0,1=+=l l l μ是它的本征值，它的相应的本征函数系可以通过变换()()()221m y x xv x =−得()v x 的方程0)]1([)1(2)1(2=+−+′+−′′−v m m v x m v x μ上式两边对x 求导数，得0))](2)(1([)()2(2))(1(2=′++−+′′+−′′′−v m m v x m v x μ与前一式比较，只是将m 变成1m +，变成v v ′.注意到时，就是勒让德方程，由此可知，前一式可以从勒让德方程通过求导次推得，也就是它的解就是勒让德方程的解的阶导数.由于0m =m m ()1l l μ=+，因此它的一个解是),()(x P xx v l m md d =0(≤≤m )l 于是得到连带勒让德方程在[]1,1−+上有界的解：l m x P x x x P l mmm ml L ,2,1,0),()1()(22=−=d d通常称为阶次（第一类）连带勒让德函数.)(x P m l m l 容易知道，有连带勒让德函数的正交性：L 2,1,0,,0)()(11=≠=∫+−n l n l x x P x P m n m ld并且[]12)!(1−l m l 2)!()()(122+⋅−+==∫+m l x x Px P mlml d .§2.1.5贝塞耳（Bessel ）方程和贝塞耳函数2.1.5.1贝塞耳方程所谓贝塞耳方程是 011222=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−++y x x y x x y νd d d d 2, 它是应用中常见的常微分方程，这里是参数.显然，v 0x =是方程的 正则点，为了便于求它的幂级数解，把方程化为0)()()()(222=−+′+′′x y x x y x x y x ν设方程的解 ()00,0n n n y x c x c ρ+∞+== ≠∑求导有∑+∞=−++=′01)()(n n n xc n x y ρρ,∑+∞=−+−++=′′02)1)(()(n n n x c n n x y ρρρ代入方程，得()()()22010n n n n n n n n n n c n n xn c xc xc x ρρρρρρν+∞+∞+∞+∞+++===++−++−+=∑∑∑∑0n n ρ++=消去因子x ρ得：()222000n n n n n n n c x c x ρν+∞+∞+==⎡⎤+−+⎣⎦∑∑= 合并同类项，有()()()()22222201210n n n n cc x n c c ρνρνρν+∞−=⎡⎤⎡⎤−++−++−+=⎣⎦⎣⎦∑2x 由此得到0)(022=−c νρ, ()0)1(122=−+c νρ,[]0)(222=−−+−n n c c n νρ,),4,3,2(L =n由于，得指标方程00c ≠220ρν−=它的两个根是ρν=±，设νRe ≥0，取12,ρνρν= =−(1)设122ρρν−=≠整数，将νρ=1代入上面的系数的递推关系式，有()1210c ν,+=得, 10c =并且 ()()2,2,3,4,2n n c c n n n ν−−==⋅⋅⋅+因，便得10c =020202)2(2)1()1()1(2)1()22(21c ΓΓc ΓΓc c ++−=+++−=+=νννννν04202224)12(2!2)1()1()2(22)2(4)1()1()42(41c ΓΓc ΓΓc c νννννν++⋅+−=+⋅+⋅+−=+−=02m 222)1(!2)1()1()22(21c m Γm Γc m m c m m m ννν++⋅+−=+−=−,),5,4,3(L =m 这里用了公式)()1(z Γz z Γ=+，其中∫+∞−−>=010Re ,)(z t t e z z t d Γ便得到nn nx n ΓΓn c x x y 20012)1()1(!1)1()(⎟⎠⎞⎜⎝⎛+++−=∑+∞=ννν.同样，在122ρρν−=≠整数时，与()1y x 线性无关的解()2y x 可设为()20nn n y x xd xν+∞−==∑类似得到nn n x n ΓΓn d x x y 20022)1()1(!1)1()(⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+−−=∑+∞=−ννν,通常取νν⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=21)1(10Γc ,νν−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=21)1(10Γd 得到的称为ν±阶贝塞耳函数：ννν++∞=⎟⎠⎞⎜⎝⎛++−=∑n n n x n Γn x J 202)1(1!1)1()(,ννν−∞+=−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+−=∑n n nx n Γn x J 202)1(1!1)1()(.因νν−≠，故与线性无关.显然，在方程的正则点处，)(x J ν)(x J ν−0x =()00J ν,=而()0J ν−=∞.(2)对于==−νρρ221整数时，除了第一个解()1y x （或者）相同外，第二个解则一般应为()J x ν()()210ln nn n y x gy x x xd xν+∞−==+∑同样也可以求得，这里从略.2.1.5.2贝塞耳方程的本征值问题和本征函数对于贝塞耳方程在第一、二、三类边界条件下的本征值问题提法是求⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+⎟⎠⎞⎜⎝⎛==0)(0)(10222a r r R rR r R r R r m k r R r r r βαd d d d d d 有界其中k 是待定参数，是固定的非负整数，m βα,不同时为零的非负实数.令x kr =，求贝塞耳方程在0r =（即0x =）的有界解应是m 阶贝塞耳函数，即()()m R r J kr =,由满足边界条件得k 满足的超越方程r a =()()0=+′ka J ka J k m mβα, 所以这个本征值问题的本征值应是这个超越方程的根的平方.可以证明它有可列无穷多个单根，用()1,2,i k i =⋅⋅⋅表示正数根，有120i k k k <<<⋅⋅⋅<<⋅⋅⋅相应的本征函数为)()(r k J r R i m i =，),3,2,1(L =i2.1.5.3本征函数()i R r 在区间[]0,a 上带权因子r 正交的完全系 现在来证明带权因子r 的正交性,即。

一百年前的数学界有两位泰斗：庞加莱和希尔伯特，而尤此后者更为有名，我想主要原由是他以前在 1900 年的世界数学家大会上提出了二十三个有名的希尔伯特问题，引导了本世纪前五十年数学的主攻方向，可是还有一个原由呢，我想就是有名的希尔伯特空间了。

希尔伯特空间是希尔伯特在解决无量维线性方程组时提出的观点，本来的线性代数理论都是鉴于有限维欧几里得空间的，没法合用，这迫使希尔伯特去思虑无量维欧几里得空间，也就是无量序列空间的性质。

大家知道，在一个欧几里得空间 R^n 上，全部的点能够写成为： X= （ x1，x2，x3，...，xn ）。

那么近似的，在一个无量维欧几里得空间上点就是： X= （ x1， x2， x3 ， ....xn， .....），一个点的序列。

欧氏空间上有两个重要的性质，一是每个点都有一个范数（绝对值，或许说是一个点到原点的距离），||X||^2= ∑ xn^2 ，但是这一重要性质在无量维时被损坏了：关于无量多个 xn，∑ xn^2能够不存在（为无量大）。

于是希尔伯特将全部∑ xn^2 为有限的点做成一个子空间，并赋以∑xn*xn' 作为两点的内积。

这个空间我们此刻叫做 l^2 ，平方和数列空间，这是最早 X*X'=的希尔伯特空间了。

注意到我只提了内积没有提范数，这是因为范数能够由点与自己的内积推出，所之内积是一个更为强的条件，有内积必有范数，反之否则。

只有范数的空间叫做 Banach 空间，（此后有时间再慢慢讲 :- ）。

假如光是用来解决无量维线性方程组的话，泛函就不会被称为现代数学的支柱了。

Hilbert 空间中我只提到了一个很自然的泛函空间：在无量维欧氏空间上∑xn^2 为有限的点。

这个最早的 Hilbert space 叫做 l^2（小写的 l 上标 2，又叫小 l2 空间），特别近似于有限维的欧氏空间。

数学的发展能够说是一部抽象史。

最早的抽象大体是一个苹果和一头牛在算术运算中能够都被抽象为“一”，也就是“数学”自己的发源（离开详细物体的数字运算）了，而Hilbert space理论发展就正是这样：“内积 + 线性”这两个性质被抽象出来，这样一大类函数空间就也成为了 Hilbert space。

moore-aronszajn定理Moore-Aronszajn定理是关于Hilbert空间和有界线性算子的重要定理之一。

它的主要内容是证明一个有界算子T如果是一个紧算子，则它的伴随算子T*也是紧算子。

Hilbert空间是数学中极为重要的一个概念，它是由一个内积定义的完备的线性空间。

有界线性算子是Hilbert空间上的一类特殊算子，它们保持空间之间的相对距离和大小不变。

紧算子是一类比较特殊的有界线性算子，它们可以将一个无限维空间中的向量集合映射为一个有限维向量集合。

紧算子是Hilbert空间中非常重要的一类算子，它有着广泛的应用，例如在量子力学和微积分等领域中都有很好的应用。

在证明Moore-Aronszajn定理之前，我们需要先了解一些基本的定义和定理。

定义1：一个算子T：X→Y是一个有界算子，如果存在一个常数C使得对于任意的x∈X，都有||Tx||≤C||x||。

定义2：一个算子T：X→Y是一个紧算子，如果对于空间中的每一个有界序列{x_n} ，都存在一个收敛子序列{T(x_n)}。

定义3：一个Hilbert空间X是可分的，如果存在一个可数的Hilbert空间基。

定理1：Hilbert空间上的有界算子是可分的。

定理2：如果T是一个Hilbert空间上的有界算子，那么T*也是一个有界算子，并且||T*||=||T||。

设T是一个紧算子，我们来证明T*也是一个紧算子。

首先，根据定义3，可分Hilbert 空间的性质，我们可以将Hilbert空间X分解为一个可数的Hilbert空间基{e_n}的线性组合。

令Sn=span{e_1,e_2,…,e_n}，则Sn是X的一个有限维子空间，也就是说Sn内的每个向量可以表示为线性组合：x=a_1e_1+a_2e_2+…+a_ne_n。

根据定义1，对于任意的x∈X，我们可以将其表示为x=x_n+x'_n，其中x_n属于Sn，x'_n属于Sn的正交补空间。

hilbert空间上的有界线性算子
在现代科技日益发展的今天，随着普及化程度不断提高的信息技术，在相关领
域取得了巨大的进步。

其中，Hilbert空间上的有界线性算子是一种重要的技术，
具有极其重要的应用价值。

Hilbert空间上的有界线性算子是指在一个完备的Hilbert空间上的线性算子，它的特性是，具有有限的特征值，另外，它的算子是自保持的，即算子在输入相同的输入时，得出的输出也是一致的。

此外，算子也是有界的，即其范围刚好满足给定的条件。

它具有很明显的优势：一是收敛性很强，求解中偏差及其状态变化会很快收敛；二是方便地形成简单的数值性结果，可以在计算机上任意操纵这种逻辑关系并获得数值性结果。

由于Hilbert空间上的有界线性算子所具备的优良性质，使它在多个领域有着广泛的应用，特别是在互联网环境中，它可以用来控制站点访
问频率，可以解决网站负载均衡问题，更可以用于实施网络攻击检测，从而提高网络安全性。

总而言之，Hilbert空间上的有界线性算子是一项具有重要应用价值的技术，
在实践中可以发挥出其卓越的性能。

因此，我们应加强对这一技术的研究和开发，实现其在互联网环境中的拓展，同时解决相关的技术难题，提高网络的安全性，并使它有效的应用于多个领域当中。

Hilbert空间是数学中的一个重要概念，它在函数分析和量子力学等领域中都有广泛的应用。

对称算子是Hilbert空间中一个重要的概念，它在量子力学中有着重要的意义。

而对称算子正交基分解则是Hilbert空间理论中一个重要的定理，它在函数分析和量子力学中都有着重要的应用。

本文将从Hilbert空间、对称算子和对称算子正交基分解三个方面来系统地阐述这一定理的相关内容。

一、Hilbert空间的基本概念Hilbert空间是20世纪初由德国数学家Hilbert提出的一种特殊的内积空间，它是由一个正定内积所衍生的完备的实或复数向量空间。

Hilbert空间不仅仅是一个向量空间，它还拥有一个内积结构，这使得我们可以在Hilbert空间中定义向量的长度和夹角等概念。

Hilbert空间的完备性使得我们可以在其中进行收敛性的讨论，这使得Hilbert空间成为了分析学和函数论中重要的研究对象。

二、对称算子的定义与性质在Hilbert空间中，算子是一种将一个向量映射到另一个向量的数学对象。

对称算子是指在Hilbert空间中，其定义域和值域相同，并且满足内积的对称性。

对称算子在量子力学中有着重要的作用，它描述了一类物理系统中的观测量的性质。

对称算子的重要性质有：谱定理、正定性、正交性等。

三、对称算子正交基分解的定理对称算子正交基分解定理是Hilbert空间理论中的一个重要的定理，它在量子力学中有着重要的应用。

对称算子正交基分解定理指出，对于Hilbert空间中的一个对称算子，存在一组正交归一的特征向量构成的正交基，使得这个对称算子可以分解成特征值和特征向量的线性组合。

这个定理的证明需要借助谱定理、正交归一基的存在性等Hilbert空间理论的一些基本定理。

四、对称算子正交基分解在量子力学中的应用在量子力学中，对称算子正交基分解定理是量子力学中的一个重要定理，它为我们理解量子系统的性质提供了重要的数学工具。

通过对称算子正交基分解定理，我们可以得到量子系统的能级和态函数，从而可以对量子系统进行更深入的研究。

Hilbert班级：15级自动化三班姓名：谢洪涛学号：115110001090指导老师：姚洪亮[《现代分析基础》读书报告——HILBERT 空间]摘要：本文从初学者的角度详细介绍了Hilbert空间的引出与定义，直交性与投影定理，内积空间的直交系以及Hilbert空间在量子力学中的引用。

其中包括了详细的定义定理阐述与证明，以及相应问题的典型举例。

在文章最后给出了Hilbert个人的一些介绍，可以感受到Hilbert空间理论的深刻的背景，加深对理论的学习和理解，同时也向伟大的数学家致敬。

目录1. 内积与H ILBERT空间 (1)1.1 内积的定义与性质 (1)1.2 Hilbert空间的定义 (3)2. 直交性与投影定理 (4)2.1 直交性 (4)2.2 投影定理 (5)3. 内积空间中的直交系 (8)3.1 标准直交系 (8)3.2 标准直交系的一些性质 (11)4.H ILBERT空间在量子力学中的应用 (13)4.1 对Hilbert空间的描述 (13)4.2 量子力学中对Hilbert空间的描述 (13)4.3 为何要引进Hilbert空间来描述态矢量所在空间 (14)5. 附录 (14)5.1 Hilbert简介 (14)5.3 感想与致谢 (15)5.2 参考文献 (16)1. 内积与Hilbert 空间1.1 内积的定义与性质在欧式空间中有一些重要的基本概念，如向量的内积、夹角、正交以及投影等，这些概念在欧式空间几何学中起着重要的作用。

为此，我们将把这些概念抽象化、引入到线性空间中去，就得到Hilbert 空间。

首先回顾解析几何中的有关概念：例如，在R^2中，任意两个向量),(),,(2121y y y x x x ==的内积为2211),(y x y x y x +=x 与y 的夹角为||||),(cos y x y x =α 当x=y 时，1cos =α，),(||2x x x =，从而向量长度为),(||x x x =当x 与y 正交，2πα=，0cos =α−→−0),(=y x 。

Hilbert空间中的有界线性算子的几类扩张问题研究
刘淑雅;吴德玉
【期刊名称】《内蒙古大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2024(55)1
【摘要】研究了Hilbert空间中有界线性算子的扩张,给出了有界线性算子数值域与其正常扩张、酉扩张数值域的关系式,并给出了可交换扩张的存在性。

【总页数】6页(P1-6)
【作者】刘淑雅;吴德玉
【作者单位】内蒙古大学数学科学学院
【正文语种】中文
【中图分类】O175.3
【相关文献】
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《Hilbert空间中有界线性算子的几类扩张问题研究》篇一摘要：本文将深入探讨Hilbert空间中有界线性算子的几类扩张问题。

我们将从Hilbert空间的基本性质和有界线性算子的定义出发，逐步探讨不同扩张问题的研究现状和解决策略。

通过研究和分析，我们希望为Hilbert空间中算子扩张问题的理论和实践提供一定的参考和借鉴。

一、引言Hilbert空间是数学领域中一种重要的空间类型，它为研究各种问题提供了强有力的工具。

有界线性算子是Hilbert空间中的一个重要概念，对于理解和分析各种问题具有重要意义。

然而，在实际应用中，常常会遇到需要对现有算子进行扩张的问题。

因此，研究Hilbert空间中有界线性算子的几类扩张问题具有重要的理论和实践意义。

二、Hilbert空间及有界线性算子的基本性质Hilbert空间是一种特殊的线性空间，具有内积和范数等性质。

有界线性算子是定义在Hilbert空间上的线性映射，具有保范性和保内积等性质。

这些基本性质为后续的扩张问题研究提供了基础。

三、有界线性算子的扩张问题1. 自伴算子的扩张问题自伴算子是Hilbert空间中一类特殊的算子，具有实谱和正交基等性质。

对于自伴算子的扩张问题，我们可以通过研究其谱性质和基性质，寻找合适的扩张方法和条件。

2. 保范扩张问题保范扩张是指保持原有算子范数不变的扩张。

对于有界线性算子的保范扩张问题，我们可以利用Hilbert空间的性质和有界线性算子的保范性，通过构造适当的扩张空间和映射关系，找到保范扩张的充分条件和必要条件。

3. 逼近扩张问题逼近扩张是指通过逼近原有算子的方式来实现扩张。

对于逼近扩张问题，我们可以利用Hilbert空间中的逼近理论和有界线性算子的性质，通过构造适当的逼近序列和收敛条件，找到逼近扩张的有效方法和算法。

四、研究现状与展望目前，对于Hilbert空间中有界线性算子的扩张问题，已经有许多学者进行了研究。

然而，仍存在许多问题和挑战需要解决。