第三章 Hilbert空间与共轭算子1

希伯特空间上的算子理论及应用算子理论是函数分析学中的重要分支，而希伯特空间作为函数分析学的基础概念，与算子理论密切相关。

本文将介绍希伯特空间上的算子理论的基本概念、性质以及应用，并探讨其在数学和工程领域中的重要作用。

一、希伯特空间的基本概念希伯特空间是指具有内积的完备的实数或复数线性空间。

其上的内积满足线性、对称性、正定性三条性质。

希伯特空间上的算子指的是从这个空间到自身的线性映射。

算子理论的研究对象就是这样的映射。

二、算子理论的基本性质1. 算子的线性性：对于希伯特空间上的算子T及标量a和b，有T(a+b) = Ta + Tb，T(ca) = c(Ta)，其中c为标量。

2. 算子的连续性：算子T若满足存在常数M，使得对于任意的向量x，有||Tx|| ≤ M||x||，则称T是有界的。

3. 算子的自伴性：若对于任意的向量x和y，有 <Tx, y> = <x, Ty>，则称算子T是自伴的，也称为厄米算子。

4. 算子的紧性：若对于希伯特空间上的算子T，将x的有界集映射为T(x)的有界集，即有界集保持有界，则称T是紧的。

三、算子理论的应用算子理论广泛应用于数学和工程领域，以下列举几个重要应用：1. 量子力学中的哈密顿算子：在量子力学中，哈密顿算子描述了系统的总能量，并用于求解能级和态函数等。

哈密顿算子是自伴算子，具有特征值和特征向量，它们对应着量子力学中的能级和相应的态函数。

2. 图像处理中的小波变换：小波变换是一种多尺度分析方法，通过用希伯特空间上的小波函数对信号进行分解和重构，可以实现信号的压缩、去噪、边缘检测等图像处理任务。

3. 控制理论中的状态空间表示：在控制理论中，系统的动态行为可以用状态空间表示，其中系统的状态由希伯特空间上的向量表示，系统的演化由希伯特空间上的算子表示。

通过研究算子的性质，可以分析系统的稳定性、可控性和可观测性等。

4. 模式识别中的支持向量机：支持向量机是一种常用的模式识别方法，其基本思想是将输入空间映射到希伯特空间，并在其中构造最优分离超平面，从而实现分类和回归分析。

hilbert空间上的共轭算子
在数学中，Hilbert空间上的共轭算子是指将一个Hilbert空间中的向量映射为另一个向量的线性算子，并且满足一定的条件。

这个算子被称为共轭算子，因为它将原始向量的复共轭映射到新的向量上。

具体来说，设H为一个Hilbert空间，T为H上的一个线性算子，那么T的共轭算子T*定义为：对于任意的x,y∈H，有(Tx,y)=(x,T*y)，其中(Tx,y)表示内积。

共轭算子具有很多重要的性质。

其中最重要的是，如果T是一个有界线性算子，则T*也是有界的，并且||T*||=||T||。

此外，如果T是自伴的，则T*也是自伴的。

这些性质使得共轭算子在Hilbert空间理论中有着广泛的应用。

共轭算子的一个重要应用是在量子力学中。

在量子力学中，物理量被表示为Hilbert空间上的算子，而共轭算子则用于描述物理量的测量。

例如，如果一个算子A表示一个物理量的测量，那么它的共轭算子A*表示这个物理量的共轭测量。

这个概念在量子力学中有着重要的应用，例如在描述粒子的自旋时。

总之，Hilbert空间上的共轭算子是一个非常重要的数学概念，它在Hilbert空间理论和量子力学中都有着广泛的应用。

希伯特空间上的算子理论及应用算子理论是函数分析的重要分支领域之一，它在各个科学领域中都有着广泛的应用。

其中，希伯特空间上的算子理论尤为重要，它是通过研究希伯特空间中的线性算子性质和运算规律，来深入了解和应用算子的性质和特点。

一、希伯特空间的基本概念在介绍算子理论之前，我们首先来了解一下希伯特空间的基本概念。

希伯特空间是指一个具有内积的完备线性空间，它是由一组满足特定条件的向量所组成的。

希伯特空间具有以下几个重要性质：1. 连续性：希伯特空间中的向量和算子都是连续的，这也是它在计算和分析问题中的重要性。

2. 完备性：希伯特空间是一个完备的空间，也就是说，它中的柯西序列都能收敛于某一点。

3. 内积：希伯特空间中的向量之间定义了内积，这决定了向量的长度和夹角。

二、希伯特空间上的算子理论希伯特空间上的算子理论主要研究在希伯特空间中定义的线性算子的性质和运算规律。

线性算子是将一个希伯特空间映射到另一个希伯特空间的操作。

对于希伯特空间上的线性算子，我们有以下几个重要概念：1. 自伴算子：如果一个算子与其共轭转置相等，那么它就是一个自伴算子。

自伴算子在量子力学中具有重要的应用。

2. 酉算子：如果一个算子的逆等于其共轭转置，那么它就是一个酉算子。

酉算子在正交变换和傅里叶变换中有广泛应用。

3. 压缩算子：如果一个算子将希尔伯特空间中的向量映射到一个子空间中，且保持其长度不变，那么它就是一个压缩算子。

算子理论研究了以上概念的性质和运算规律，可以通过分析算子的特征值和特征向量来了解算子的行为和性质。

通过研究这些性质，我们可以更好地掌握希伯特空间上的算子理论，为实际问题的求解提供有力的工具和方法。

三、希伯特空间上算子理论的应用希伯特空间上的算子理论在许多不同的科学领域中都有广泛的应用，下面以几个具体领域为例进行介绍：1. 量子力学：希伯特空间上的算子理论是量子力学的重要基础，通过研究自伴算子和酉算子的性质，可以描述量子体系中的能量和态的演化规律。

自共轭算子的谱定理自共轭算子的谱理论是现代数学中重要的研究内容之一，它既是经典数学理论的延伸与发展，又在很多领域中得到了广泛的应用。

本文将介绍自共轭算子的谱定理的基本概念、性质以及应用。

一、自共轭算子的定义与性质在谈论自共轭算子的谱定理之前，首先需要了解自共轭算子的定义与性质。

1.自共轭算子的定义设H是一个Hilbert空间，T:H→H是一个线性算子。

如果存在一个算子S:H→H，满足对于任意的x,y∈H，都有⟨Tx, y⟨=⟨x, Sy⟨，则称算子T是自共轭的，而S则称为T的共轭算子。

2.自共轭算子的性质（1）自共轭算子是线性的：如果T是一个自共轭算子，那么对于任意的x,y∈H，a,b∈C，有T(ax+by)=aTx+bTy。

（2）共轭算子是封闭的：如果T是一个自共轭算子，那么T的共轭算子S也是一个自共轭算子。

（3）共轭算子的共轭与自共轭算子相等：如果T是一个自共轭算子，那么T的共轭算子S的共轭算子与T相等，即(S*)* =T。

（4）自共轭算子的范数等于原算子的范数：如果T是一个自共轭算子，那么||T||=||T*||，其中||T||表示算子T的范数，||T*||表示算子T的共轭算子的范数。

二、自共轭算子的谱定理的基本概念1.谱对于自共轭算子T，我们定义其谱σ(T)为所有使得(T-λI)不可逆的复数λ的集合，其中I表示H上的单位算子。

2.点谱与连续谱对于自共轭算子T的谱σ(T)，我们可以按照以下方式分类：（1）点谱：对于每一个λ∈σ(T)，都存在一个非零向量u∈H，使得(T-λI)u=0。

称这样的λ为T的特征值，而u称为T相应于特征值λ的特征向量，此时记T的点谱为σp(T)。

（2）连续谱：对于每一个λ∈σ(T)，不存在一个非零向量u∈H，使得(T-λI)u=0。

称这样的λ为T的连续谱，此时记T的连续谱为σc(T)。

（3）剩余谱：对于每一个λ∈σ(T)，存在一个非零向量u∈H，使得(T-λI)u=0，但是(T-λI)u≠0。

一百年前的数学界有两位泰斗：庞加莱和希尔伯特，而尤以后者更加出名，我想主要原因是他曾经在1900年的世界数学家大会上提出了二十三个著名的希尔伯特问题，指引了本世纪前五十年数学的主攻方向，不过还有一个原因呢，我想就是著名的希尔伯特空间了。

希尔伯特空间是希尔伯特在解决无穷维线性方程组时提出的概念，原来的线性代数理论都是基于有限维欧几里得空间的，无法适用，这迫使希尔伯特去思考无穷维欧几里得空间，也就是无穷序列空间的性质。

大家知道，在一个欧几里得空间R^n上，所有的点可以写成为：X=（x1，x2，x3，...，xn）。

那么类似的，在一个无穷维欧几里得空间上点就是：X= （x1，x2，x3，....xn，.....），一个点的序列。

欧氏空间上有两个重要的性质，一是每个点都有一个范数（绝对值，或者说是一个点到原点的距离），||X||^2=∑xn^2，可是这一重要性质在无穷维时被破坏了：对于无穷多个xn，∑xn^2可以不存在（为无穷大）。

于是希尔伯特将所有∑xn^2为有限的点做成一个子空间，并赋以X*X'=∑xn*xn' 作为两点的内积。

这个空间我们现在叫做l^2，平方和数列空间，这是最早的希尔伯特空间了。

注意到我只提了内积没有提范数，这是因为范数可以由点与自身的内积推出，所以内积是一个更加强的条件，有内积必有范数，反之不然。

只有范数的空间叫做Banach空间，（以后有时间再慢慢讲:-）。

如果光是用来解决无穷维线性方程组的话，泛函就不会被称为现代数学的支柱了。

Hilbert空间中我只提到了一个很自然的泛函空间：在无穷维欧氏空间上∑xn^2为有限的点。

这个最早的Hilbert space叫做l^2（小写的l 上标2，又叫小l2空间），非常类似于有限维的欧氏空间。

数学的发展可以说是一部抽象史。

最早的抽象大概是一个苹果和一头牛在算术运算中可以都被抽象为“一”，也就是“数学”本身的起源（脱离具体物体的数字运算）了，而Hilbert space理论发展就正是如此：“内积+ 线性”这两个性质被抽象出来，这样一大类函数空间就也成为了Hilbert space。

希尔伯特空间量子化学维基，人人都可编辑的量子化学百科全书。

Jump to: navigation, searchTemplate:Zhwp在数学领域，希尔伯特空间是欧几里德空间的一个推广，其不再局限于有限维的情形。

与欧几里德空间相仿，希尔伯特空间也是一个内积空间，其上有距离和角的概念（及由此引伸而来的正交性与垂直性的概念）。

此外，希尔伯特空间还是一个完备的空间，其上所有的柯西列等价于收敛列，从而微积分中的大部分概念都可以无障碍地推广到希尔伯特空间中。

希尔伯特空间为基于任意正交系上的多项式表示的傅立叶级数和傅立叶变换提供了一种有效的表述方式，而这也是泛函分析的核心概念之一。

希尔伯特空间是公式化数学和量子力学的关键性概念之一。

简单介绍希尔伯特空间以大卫·希尔伯特的名字命名，他在对积分方程的研究中研究了希尔伯特空间。

冯·诺伊曼在其1929年出版的关于无界厄米算子的著作中，最早使用了“希尔伯特空间”这个名词。

冯·诺伊曼可能是最早清楚地认识到希尔伯特空间的重要性的数学家之一，他在进行对量子力学的基础性和创造性地研究的时候认识到了这一点。

此项研究由冯·诺伊曼与希尔伯特和朗道展开，随后由尤金·维格纳（Template:Lang）继续深入。

“希尔伯特空间”这个名字迅速被其他科学家所接受，例如在外尔1931年出版的著作《群与量子力学的理论》（Template:Lang）中就使用这一名词，此书的英文平装版ISBN编号为0486602699。

一个抽象的希尔伯特空间中的元素往往被称为向量。

在实际应用中，它可能代表了一列复数或是一个函数。

例如在量子力学中，一个物理系统可以被一个复希尔伯特空间所表示，其中的向量是描述系统可能状态的波函数。

详细的资料可以参考量子力学的数学描述相关的内容。

量子力学中由平面波和束缚态所构成的希尔伯特空间，一般被称为装备希尔伯特空间（rigged Hilbert space）。

Hilbert 空间定义：完备的内积空间称为Hilbert 空间 （1）内积线性空间K 上的一个共轭双线性函数(,):v K K K ⋅⨯→ 称为一个内积，如果它满足a: (,)(,)x y y x = (,)x y K ∀∈ (共轭对称性)b: (,)0x x ≥ ()x K ∀∈ (,)0x x x θ=⇔= (正定性)（2）具有内积的线性空间称为内积空间（3）完备 空间中所有基本列都是收敛列就称该空间是完备的Hilbert 空间能将更多的集合概念，如角度、垂直性等成功地引入中线公式 22222()x yx yx y ++-=+证明：,,,x y x y x y x y x y y x +=++=+++ 同理有,,,x y x y x y x y x y y x -=--=+-- 故等式显然成立定义：（1）设,x y X ∈若(,)0x y =，则说x 与y 正交，记作x y ⊥（2）设{:}i x i I X ∈⊂，若当i j ≠时i j x x ⊥，则称{}i x 为正交系（或正交集、正交组），若{}i x 是正交系且1i x =（i I ∀∈）则称{}i x 为标准正交基。

（3）设,A B X ⊂,约定A B ⊥ ,:;{}a A b B a b x A x A ⇔∀∈∈⊥⊥⇔⊥{:}A x X x A ⊥=∈⊥称A ⊥为集A 的正交补★定理：设{:}i e i N ∈是Hilbert 空间X 中的标准正交系，则以下条件互相等价 （1）对每个x X ∈有以下Fourier 展开式1i i i x x e ∞∧==∑，其中,(1,2,)iix x e i ∧∆=<>=⋅⋅⋅称为x关于{}i e 的Fourier 系数 （2）{}i e 是X 的基本集（3）{}i e 是极大正交系，即若i x e ⊥ (1,2,)i =⋅⋅⋅，则必有0x =（4）任给x X ∈，成立以下Parseval 等式：221i i x x ∞∧==∑证 显然（1）⇔（2）（2）⇔（3） 设条件（2）满足，i x e ⊥ (1,2,)i =⋅⋅⋅，取{}n x X ⊂，使n x x → ()n →∞，且每个n x 是{}i e 的有限线性组合，则必有,0n x x <>=(1,2,)n =⋅⋅⋅，从而2l i m ,0n nx x x =<>=，这推出0x = （3）⇒（1）设条件（3）满足。

偏微分方程hilbert空间概述及解释说明1. 引言1.1 概述引言部分将介绍本篇长文的主题以及所讨论的内容。

本文将着重探讨偏微分方程和Hilbert空间的概念，并比较解析解和数值解方法在偏微分方程求解中的优劣势。

通过对问题背景和相关领域的概况进行描述，引言部分将为读者提供整体上下文框架。

1.2 文章结构本文共分为五个主要部分，每个部分都有相应的子节。

以下是各个部分的简要介绍：第二部分“偏微分方程概述”将开始对偏微分方程的定义、常见类型以及与数学建模之间的关系进行全面阐述。

第三部分“Hilbert空间介绍”将详细描述Hilbert空间的定义、性质以及在数学和物理领域中的应用。

第四部分“解析解与数值解方法比较”将重点比较解析解和数值解方法对于偏微分方程求解所具有的特点和优势，并以实际案例进行深入探讨。

最后一部分“结论与展望”则会对整篇文章进行总结，展望未来可能的研究方向和发展趋势。

1.3 目的本文的目的是全面介绍偏微分方程和Hilbert空间，并探讨解析解与数值解方法在求解偏微分方程中的应用。

通过比较不同方法之间的优劣，读者可以对该领域有更深入的了解。

此外，我们还将提供一些未来可能的研究方向，以鼓励读者进一步探索相关领域，并对本文进行总结和结束语部分。

2. 偏微分方程概述：2.1 偏微分方程定义偏微分方程是描述多变量函数与其偏导数之间关系的方程。

它涉及未知函数的各种偏导数，以及独立变量（例如时间和空间）之间的关系。

一般而言，偏微分方程包含了函数本身及其对各个自变量的各阶偏导数。

2.2 常见类型的偏微分方程在实际问题中，我们常遇到几种类型的偏微分方程。

其中，常见的一类是椭圆型偏微分方程，如拉普拉斯方程；另一类是抛物型偏微分方程，如热传导方程；还有一类是双曲型偏微分方程，如波动方程。

每种类型的偏微分方程都具有不同的性质和解法。

2.3 数学建模与偏微分方程在科学研究和工程领域中，往往需要通过建立数学模型来描述实际现象或问题。

希尔伯特空间与算子谱希尔伯特空间是数学分析中重要的一个概念，它在量子力学、信号处理、傅里叶分析等领域都有广泛的应用。

而算子谱则是希尔伯特空间中算子的一个关键特征，它对于解析运算符的性质和特征具有重要意义。

一、希尔伯特空间的定义与性质希尔伯特空间是指在一个复数域上定义的具备内积运算的完备线性空间。

具体而言，对于希尔伯特空间H中的向量x和y，满足以下性质：1. 内积运算满足线性性：对于任意的标量a和向量x，y，成立(a*x + y, z) = a*(x, z) + (y, z)，其中z为H中的任意向量。

2. 内积运算满足共轭对称性：对于任意的向量x，y，成立(x, y) = (y, x)*。

3. 内积运算满足正定性：对于任意的非零向量x，有(x, x) > 0。

二、算子谱的概念与性质在希尔伯特空间H中，线性算子A被称为H上的算子。

算子谱是指线性算子A的特征值的集合，并且可以分为点谱、几何谱和连续谱三种类型。

1. 点谱是指A的所有特征值组成的集合Σ(A)。

对于A的每一个特征值λ，其对应的特征子空间是所有满足(A - λI)x = 0的向量x构成的空间。

2. 几何谱是指A的特征子空间的维数与线性算子A的特征子空间的欠定性与超定性的差异。

当特征子空间的维数大于A的特征值的个数时，对应的特征值属于几何谱。

3. 连续谱是指A的特征子空间的维数等于A的特征值的个数，并且这些特征值构成一个连续区间。

三、算子谱的应用与意义算子谱的研究在数学分析和物理学中具有重要意义。

具体而言，算子谱可用于以下方面：1. 稳定性分析：通过研究算子的谱结构，可以得到关于算子的稳定性和收敛性的性质。

特别地，在控制论和动力系统领域，谱理论被广泛应用于分析线性和非线性控制系统的稳定性。

2. 泛函分析：算子谱的理论为泛函分析提供了基础，特别是在无界算子和复杂分析的研究中有重要应用。

通过研究算子谱，可以得到关于算子的共轭算子、逆算子、谱投影等重要概念。

共轭算子的定义
嘿，朋友们！今天咱来聊聊共轭算子呀！这玩意儿听起来是不是挺玄乎的？其实啊，没那么复杂啦！
你看啊，共轭算子就好像是一个数学世界里的小魔术。

想象一下，你有一堆数字和运算，就像你有一堆玩具，而共轭算子呢，就是那个能把这些玩具变个样的神奇魔法棒！它能让一些东西翻转、颠倒，但又有着奇妙的规律。

比如说，在复数的世界里，一个复数乘以它的共轭，就会得到一个特别的结果。

这就好像你有一面镜子，把东西放进去，就会看到一个特别的影像。

是不是挺有意思的？
再打个比方，共轭算子就像是一个贴心的小伙伴，总是能在关键时刻给你一些特别的反馈。

比如说，在信号处理中，共轭算子可以帮助我们更好地理解和处理信号，就像一个聪明的小助手，能帮我们把复杂的事情变得简单一点。

它可不是那种只知道死板干活的家伙哦！它充满了灵活性和变化。

有时候，你觉得某个问题很难搞，但是一旦引入共轭算子，嘿，说不定就迎刃而解啦！
你说它神奇不神奇？而且啊，它在很多领域都大显身手呢！比如在量子力学里，共轭算子可是有着重要的地位，就像一个厉害的大侠，在那个奇妙的世界里闯荡。

那它到底是怎么发挥作用的呢？嗯，这就需要我们更深入地去了解和探索啦！就像你要了解一个新朋友，需要花时间去相处、去发现他的优点和特点一样。

共轭算子就是这样一个有趣又有用的东西，它不是那种高高在上、遥不可及的概念，而是我们可以亲近、可以掌握的数学工具。

只要我们用心去学，去感受，就一定能发现它的魅力所在呀！
所以啊，别被共轭算子这个名字吓到啦！它其实就是数学世界里的一个小精灵，等着我们去和它玩耍、去发现它的奇妙之处呢！大家加油哦，相信你们一定能和共轭算子成为好朋友的！。

希尔伯特空间的共轭空间希尔伯特空间是现代数学中的一个非常重要的概念。

它是由德国数学家希尔伯特在20世纪初提出的，用于描述多元空间的一类向量空间。

在实际应用中，希尔伯特空间通常被用于描述物理量、信号和波函数等。

而希尔伯特空间的共轭空间也是一个非常重要的概念。

它是在希尔伯特空间中，所有线性连续函数所构成的向量空间。

一个是自己的共轭空间就是一个自反空间，而希尔伯特空间就是自反空间的一个重要例子。

下面我们来分步骤阐述希尔伯特空间的共轭空间。

第一步，了解线性连续函数的概念。

线性连续函数即是一个线性变换，而且连续。

这个概念从字面意思上也很容易理解：它是一个既保留向量空间的线性性质，同时又满足某种连续性质的函数。

线性性质即是对于任意的标量和向量，都满足加法和乘法的结合律、交换律和分配律等性质。

连续性质则可以被解释为这样一个性质：当向量在向量空间中逐渐接近另一个向量时，那么函数值也应逐渐接近相应的函数值。

第二步，了解共轭空间的概念。

在希尔伯特空间的情形下，所有线性连续函数所构成的向量空间称为希尔伯特空间的共轭空间。

准确地说，这些函数的定义域都是希尔伯特空间中的向量，而定义域是标量的函数（即内积）称为线性连续函数。

第三步，确定共轭空间的维度。

在一般的有限维向量空间中，任意一个向量空间的共轭空间的维度等于这个向量空间的维度，但是在无限维向量空间中，共轭空间的维度可能无限大。

而对于希尔伯特空间来说，则一定与它自身的维度相等。

第四步，了解共轭空间的性质。

在希尔伯特空间中，共轭空间同样具有向量空间的结构，且它也是希尔伯特空间的完备空间。

它们是互为共轭的。

事实上，对于每一个线性连续函数f，都有唯一的向量h 与之对应，满足h的内积与f在其定义域上的取值相等。

这种对应关系被称为共轭作用。

通过以上步骤的了解，我们可以得出结论：希尔伯特空间的共轭空间是一个与其自身维度相等的完备向量空间，它是由希尔伯特空间中所有线性连续函数所构成的向量空间。

希尔伯特空间上的算子理论发展1. 引言算子理论是数学中的一个重要分支，它研究的是线性算子在函数空间或者向量空间中的性质和行为。

在20世纪初，德国数学家希尔伯特提出的希尔伯特空间为算子理论的发展提供了坚实的理论基础。

本文将介绍希尔伯特空间上的算子理论的重要进展和发展历程。

2. 希尔伯特空间的基本概念希尔伯特空间是指具有内积结构和完备性的线性向量空间。

内积结构赋予了希尔伯特空间内向量之间的距离和角度的概念，完备性则保证了该空间内的柯西序列收敛于该空间中的向量。

希尔伯特空间的典型例子包括欧几里得空间和$L^2$空间。

3. 算子的定义和性质在希尔伯特空间上，算子可以看作是将一个向量映射为另一个向量的函数。

一般来说，算子可以是有界算子、紧算子或者无界算子。

有界算子的性质相对较易研究，而紧算子和无界算子则更加复杂。

算子的性质包括线性性、闭性、有界性、紧性等等。

4. 算子理论的基本定理在希尔伯特空间上的算子理论中，有几个基本定理对于算子的研究起到了重要的引导作用。

其中包括Riesz表示定理、开放映射定理、闭图像定理、谱理论等等。

这些定理为研究算子的性质提供了有力的工具。

5. 算子理论的应用算子理论在数学的各个领域中有着广泛的应用。

其中，在量子力学中，算子理论被广泛运用于描述物理系统的性质和演化规律；在信号处理领域，算子理论被用于信号分析和滤波等方面；在泛函分析中，算子理论为研究函数空间和算子的关系提供了理论依据。

6. 发展现状和前景随着数学和物理学的不断发展，希尔伯特空间上的算子理论也得到了进一步的完善和发展。

在现代数学领域中，算子理论已经成为了一个独立而且重要的研究方向。

未来，随着数学和物理学的深入研究，希尔伯特空间上的算子理论将继续为数学家和物理学家提供新的洞察和突破。

7. 结论希尔伯特空间上的算子理论是数学中的一个重要分支，它研究的是线性算子在函数空间或者向量空间中的性质和行为。

通过对希尔伯特空间的定义和性质的介绍，我们可以更好地理解算子理论的基本思想和应用。