理论力学-空间力系与重心

理论力学章节重点内容总结静力学静力学是研究物体在力系作用下平衡的科学。

第一章、静力学公理和物体的受力分析1、基本概念：力、刚体、约束和约束力的概念。

2、静力学公理：（1）力的平行四边形法则；（三角形法则、多边形法则）注意：与力偶的区别（2）二力平衡公理；（二力构件）（3）加减平衡力系公理；（推论：力的可传性、三力平衡汇交定理）（4）作用与反作用定律；（5）刚化原理。

3、常见约束类型与其约束力：（1）光滑接触约束——约束力沿接触处的公法线；（2）柔性约束——对被约束物体与柔性体本身约束力为拉力；（3）铰链约束——约束力一般画为正交两个力，也可画为一个力；（4）活动铰支座——约束力为一个力也画为一个力；（5）球铰链——约束力一般画为正交三个力，也可画为一个力；（6）止推轴承——约束力一般画为正交三个力；（7）固定端约束——两个正交约束力，一个约束力偶。

4、物体受力分析和受力图：（1）画出所要研究的物体的草图；（2）对所要研究的物体进行受力分析；（3）严格按约束的性质画出物体的受力。

意点：（1）画全主动力和约束力；（2）画简图时，不要把各个构件混在一起画受力图；（3）灵活利用二力平衡公理（二力构件）和三力平衡汇交定理；（4）作用力与反作用力。

第二章、平面汇交力系与平面力偶系1、平面汇交力系： （1）几何法（合成：力多边形法则；平衡：力多边形自行封闭）（2）解析法（合成：合力大小与方向用解析式；平衡：平衡方程0x F =∑，0yF=∑）意点：（1）投影轴尽量与未知力垂直；（投影轴不一定相互垂直）2、简化的中间结果： （1）主矢R 'F ——大小：R F '=；方向：cos Rix R (),/R iy R F F ''=∑F j 。

（2）主矩()O O i M M =∑F3、简化的最后结果：（1）主矢0R'≠F ——[1]、0O M =，合力，作用在O 点；[2]、0O M ≠，合力，作用线距O 点为/O R M F '。

c ) 一般主矢和主矩矢既不平行也不垂直 由共点矢量知，它们在同一平面内， 假设两矢量正向夹角为α。 ' FR 1) 将 M O分解为垂直于 ' ' ' 的 及平行于 F M R MO MO O " 的 MO ， ' ' O M O 的大小： " FR ' MO M O M O sin
' b) 若主矢平行于主矩：FR // M o
O
MO
' 由一个力和一个力偶(且力 FR 垂直于力偶作用面)组成的
力系，称为力螺旋。 力和力偶都是基本力学量， 力螺旋不能再简化。
力偶矩矢与力矢同方向的称为右螺旋(力偶的转 向与力的方向符合右手关系)；反之称左螺旋。 但一般主矢和主矩矢既不平行也不垂直。
§4-4 空间任意力系向一点简化
一、空间任意力系向一点简化 与平面任意力系向一点简化相似，空间任意力 系也是利用力的平移定理将各力平移到简化中 心 O 处，并附加矢量表示的空间力偶，则原力 系与空间汇交力系＋空间力偶系等效。
MO m m1 n
F2 F’2
F’R
O
F’n
Fn
F’1 m2
F 又由于力偶矩矢是自由矢量，再将平行于 的 R '' 力偶矩矢 M o 平行移动与FR 重合，成为力螺旋。 一般情况下，空间力系简化结果是一个力螺旋。
约束类型
约束反力
数量
空 间 约 束 类 型 和 约 束 反 力
3
4
5 6
MO
F’R
对于空间汇交力系的合 ' 力FR ：
O
' FR 等于该力系各力的矢量和， 称其为该力系的主矢； 对于空间力偶系的合力偶，其力偶矩矢 M O等于 各附加力偶矩的矢量和，也是力系中各力对点O 力矩矢的矢量和： MO mi mO ( Fi ) 称为该力系对简化中心O点的主矩。

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理论力学· 静力学
例1：(i)求力系对A点的简化结果， (ii)力系对O点的力矩之和。
F1 F2 600N , M 400Nm, l 1m, b 0.5m
F Fi - F1 i - F2 j -600 i j N
i


l M A F1l - F2 - M k 0 3
FO MO ri FC ' rCO O ri MC C rCO FO
Fi


主矢与主矩的点积也是一个不 变量，与简化中心无关。
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理论力学· 静力学
三、合力矩定理
Varignon(伐里农)合力矩定理
F1 Fi MO F
同一物理的两种思路
' ri Fi rO Fn MO M O M O ' ( F ) M O ' ( Fi )
MO -b i F 300k
Nm
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四、空间力系简化的最终结果
1. F 0, MO 0 2. F 0, MO 0
[重点· 难点]
平衡力系 合力
（此时与简化中心有关，换个简化中 心，主矩不为零）
3. F 0, MO 0
4. F 0, MO 0
(1) F MO
合力偶 此时主矩与简化中心的位置无关。(?) F MO 0 F MO F // MO F MO 0 合力
F与MO 不平行也不垂直
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M O F d , d
作用在刚体上力为滑移矢量 汇交力系 c F3 d F4 e

M (F ) 0 F 0 平 ②二矩式： F 0 M (F ) 0 M (F ) 0 衡 ③三矩式： M (F ) 0 M (F ) 0 M (F ) 0
y o x A B A B C
①一矩式： Fx 0
M x F 0, M y F 0, M z F 0
力对点之矩矢在通过该 点的任意轴上的投影等 于力对于该轴之矩。
|MO(F)| cosγ = Mz(F)= [MO(F) ]z
C LY
系 列 一
理论力学 2、力对坐标轴之矩的解析表达式 由于 F=Fxi+Fyj+Fzk ， r=xi+yj+zk
i j y Fy k z Fz
z MO(F)
B F
k O i x j
F Fx2 Fy2 Fz2
cos Fy F Fx , cos , cos z F F F
3、空间力沿坐标轴的分解表达式 F=Fx+Fy+Fz=Fxi+Fyj+Fzk
C LY
系 列 一
理论力学
例6-1 长方体上作用有三个力,F1 =500N, F2=1000N, F3=1500N, 方向及尺寸 如图所示，求各力在坐标轴上的投影。
系 列 一
FRz FR
理论力学 四、空间汇交力系平衡的充要条件
平衡充要条件是：力系的合力为零，
FR=∑F =0
几何法平衡的充要条件是力系的力多边形自行封闭。 解析形式表示的平衡充要条件为：
∑Fx =0, ∑Fy =0, ∑Fz =0
即力系中所有各力在三个坐标轴的每个坐标轴上的投影的代数和均为零。
C LY