5章 空间力系和重心

工程力学重点总结—期末考试、考研必备！！第一章静力学的基本概念和公理受力图一、刚体P2刚体：在力的作用下不会发生形变的物体。

力的三要素：大小、方向、作用点。

平衡：物体相对于惯性参考系处于静止或作匀速直线运动。

二、静力学公理1、力的平行四边形法则：作用在物体上同一点的两个力，可以合成为仍作用于改点的一个合力，合力的大小和方向由这两个力为边构成的平行四边形的对角线矢量确定。

2、二力平衡条件：作用在同一刚体上的两个力使刚体保持平衡的必要和充分条件是：这两个力的大小相等、方向相反，并且作用在同一直线上。

3、加减平衡力系原理：作用于刚体的任何一个力系中，加上或减去任意一个平衡力系，并不改变原来力系对刚体的作用。

（1）力的可传性原理：作用在刚体上某点的力可沿其作用线移动到该刚体内的任意一点，而不改变该力对刚体的作用。

（2）三力平衡汇交定理：作用于刚体上三个相互平衡的力，若其中两个力的作用线汇于一点，则此三个力必在同一平面内，且第三个力的作用线通过汇交点。

4、作用与反作用定律：两个物体间相互作用的力，即作用力和反作用力，总是大小相等，方向相反，作用线重合，并分别作用在两个物体上。

5、刚化原理：变形体在某一力系作用下处于平衡状态时，如假想将其刚化为刚体，则其平衡状态保持不变。

三、约束和约束反力1、柔索约束：柔索只能承受拉力，只能阻碍物体沿着柔索伸长的方向运动，故约束反力通过柔索与物体的连接点，方位沿柔索本身，指向背离物体。

2、光滑面约束：约束反力通过接触点，沿接触面在接触点的公法线，并指向物体，即约束反力为压力。

3、光滑圆柱铰链约束：①圆柱、②固定铰链、③向心轴承：通过圆孔中心或轴心，方向不定的力，可正交分解为两个方向、大小不定的力；④辊轴支座：垂直于支撑面，通过圆孔中心，方向不定。

4、链杆约束（二力杆）：工程中将仅在两端通过光滑铰链与其他物体连接，中间又不受力作用的直杆或曲杆称为连杆或二力杆，当连杆仅受两铰链的约束力作用而处于平衡时，这两个约束反力必定大小相等、方向相反、沿着两端铰链中心的连线作用，具体指向待定。

空间力系和重心空间力系和重心各力的作用线不在同一平面内的力系，称为空间力系。

与平面力系类似，空间力系可分为空间汇交力系、空间力偶系和空间任意力系来研究。

空间力系和重心6.1空间力沿坐标轴的分解与投影直接投影法zF= Fx+ Fy+ Fz= Xi+ Yj+ Zk其中，FzαγZkFxFβ Y FyX= F cosα Y= F cosβ Z= F cosγXjixy空间力系和重心二次投影法zX= Fxy cos = F sinγ cos Y= Fxy sin = F sinγ sin Z= F cosγZγkFYj i X Fxyy注意，力在轴上的投影是代数量，而力在平面上的投影是矢量。

x空间力系和重心力的大小和方向余弦：zF= X 2+Y 2+ Z2X cos( F, i )= F Y cos( F, j )= F Z cos( F, k )= FZγkFYj i X Fxyyx空间力系和重心6.2力对点之矩和力对轴的矩6.2.1力对点之矩力对点的力矩矢等于矩心到该力作用点的矢径与该力的矢量积，表示为，M O (F )FOrMO ( F )= r× F空间力系和重心若矢径rz和力F分别为M O (F )B Fr= xi+ yj+ zk F= Xi+ Yj+ Zki则，M O ( F )= r× F= x X j y Y k z Z kOrA( x, y, z )ijyx= ( yZ zY )i+ ( zX xZ ) j+ ( xY yX )k空间力系和重心由此可知力矩矢M O (F )在三个坐标轴上的投影分别为：M Ox ( F )= yZ zY M Oy ( F )= zX xZ M Oz ( F )= xY yX(6 1)力矩矢的始端必须在矩心，不可任意移动，为一定位矢量。

空间力系和重心6.2.2力对轴之矩为度量力对绕定轴转动刚体的作用效应，引入力对轴的矩的概念。

空间力系和重心力对轴的矩的概念作用于刚体的力F对z轴的定义为：M Z ( F )= M O ( Fxy )=± Fxy hM z (F )F这样，空间力对轴之矩归结为平面上的力对点之矩，即力F对任一轴z之矩，等于这力在垂直于z轴的平面内的分量Fxy对该平面和z轴交点O之矩。

课题: 第5章空间力系和重心一、教学目的：会计算空间力对轴之距，掌握空间力系平衡问题分解为三个平面的平面力系平衡问题求解，会利用组合法求解稍复杂图形的重心和形心。

二、教学重点：力对轴之距。

三、教学难点：空间利力系的平衡问题。

四、教学时数：4 学时，其中实践性教学4 学时。

五、习题：六、教学后记：教学内容：5．1 力在空间直角坐标系上的投影一．一次投影法已知力F 与x 、y 、z 三个从标的正向夹角分别为γβα,,。

⎪⎩⎪⎨⎧===γβαcos cos cos F Z F Y F X F Z F Y F X ===γβαcos ,cos ,cos二．二次投影法 先将F 投影到期xoy 平面内Fxy 。

（Fxy 与x 夹角ϕ）F 与Z 夹角γ。

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===γϕγϕγcos sin sin cos sin F Z F Y F XF 可沿X ，Y ，Z 三轴分别为F x ，F y ，F z 。

5．2 力对轴之距一．力对轴的矩：即此力在垂直于该轴的平面上的投影对轴与平面交点之矩。

表示力：()()d F F M F M S S O Z ⋅±===符号规定。

讨论：二．合力矩定理合力对任一轴的矩等于各分力对同一轴之矩的代教和，()()Fi M R M Z Z ∑=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⇒⇒为负负向为正正向轴的姆指力的转动方向四指右手螺旋法则M M ::⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧==.,200:1面的交点的矩平面上的分力对轴和平的可以看成力在垂直于轴力时轴的矩平行相交当力与转轴共面时Z Z M M5．3 空间力系的平衡方程及应用一．空间力系向任一点消化结果主矢：F R ∑=0 主矩： ()F M m 00∑= 用投影表示（常用）⎪⎩⎪⎨⎧∑=∑=∑=Z R YR X R z y x 000 ⎪⎩⎪⎨⎧∑=∑=∑=mz M my M mx M Z Y X 000（三个坐标轴上的投影） （外力对轴之矩的代数和）二．空间一般力系的平衡条件()⎩⎨⎧=∑==∑=00000F M M F R即： ⎩⎨⎧=∑=∑=∑=∑=∑=∑000000z y x M M M Z Y X充分必要条件：力系中各力在三个坐标轴上的投影的代数和以及对三个坐标轴之矩的代数和分别等于零。

第5章空间力系与重心教学提示：本章介绍空间力系和重心、包括空间力的投影与分解、力对轴之矩、空间力系的平衡、物体的重心.是静力学重要内容之一。

教学要求：本章是学生掌握以下内容，并学会实际应用。

(1) 空间汇交力系的概念(2) 力对轴之矩和力对点之矩概念和计算(3) 空间力偶系(4) 空间力系的简化(5) 空间力系的平衡条件和平衡方程(6) 物体的重心5.1力在直角坐标轴上的投影已知力F与x轴如图5.1(a)所示，过力F的两端点A、B分别作垂直于x轴的平面M及N ，与x轴交于a、b，则线段ab冠以正号或负号称为力F在x轴上的投影，即F x＝±ab符号规定：若从a到b的方向与x轴的正向一致取正号，反之取负号。

已知力F与平面Q，如图5.1(b)所示。

过力的两端点A、B分别作平面Q的'称为力F在平面Q上的投影。

应注意的是力在垂直线AA′、BB′，则矢量BA'平面上的投影是矢量，而力在轴上的投影是代数量。

(a) (b)图5.1图5.2现在讨论力F 在空间直角坐标系Oxy 中的情况。

如图5.2(a)所示，过力F的端点A 、B 分别作x 、y 、z 三轴的垂直平面，则由力在轴上的投影的定义知，OA 、OB 、O C 就是力F 在x 、y 、z 轴上的投影。

设力F 与x 、y 、z 所夹的角分别是α、β、γ，则力F 在空间直角坐标轴上的投影为：⎪⎭⎪⎬⎫±=±=±=γβαc o s c o s c o s F F F F F F z y x (5－1)用这种方法计算力在轴上的投影的方法称为直接投影法。

一般情况下，不易全部找到力与三个轴的夹角，设已知力F 与z 轴夹角为γ ,可先将力投影到坐标平面Oxy 上，然后再投影到坐标轴x 、y 上，如图5.2（b ）所示。

设力F 在Oxy 平面上的投影为F xy 与x 轴间的夹角为θ，则⎪⎭⎪⎬⎫±=±=±=γθγθγc o s s i n s i n c o s s i n F F F F F F z y x (5－2)用这种方法计算力在轴上的投影称为二次投影法。