工程力学 第三章 空间力系与重心

若三轮推车如图所示。已知
z
AH=BH=0.5m，CH=1.5m，
EH=0.3m，ED=0.5m，荷载 G=1.5kN。试求A、B、C三轮所 受到的压力。
解 1）作出受力图 2）并标上直角坐标系 3）列力系的平衡方程求解
B
H E
A x
FA
D FB
G
y C FC
∑Mx(F)=0， FC·HC－G·DE=0 取z轴取为小纵车坐为标研，究平对板象为xy平面， FC=G·DE /HC=1.5kN0.5m/1.5m=B0为.5k坐N标原点，BA为x轴。 ∑My(F)=0， G·EB-FC·HB-FA·AB=0 FA=(G·EB-FC·HB)/AB =(1.5kN0.8m-0.5kN0.5m)/1m=0.95kN ∑F若BF=z重=G0物，-F放C置-FFA过A＝+偏F1B.，5+k致FNC-使-0W.F95B=为k0N负-0值.5，kN则=小0.0车5k将N会翻倒。
A x
∑Fy=0 FA－Fcoscos=0
∑Fz=0 Fsin－G=0
DF
B y
FB
O
FA G
解上述方程得
F= G/sin=1.2kN/sin30=2.4kN
FA= Fcoscos=2.4kNcos30cos60=1.04kN FB=Fcossin=2.4kNcos30sin60=1.8kN
第三节 力对轴之矩
一、力对轴之矩的概念 在工程中，常遇到刚体绕定轴转动的情形。 为了度量力对转动刚体的作用效应，必须引入力 对轴之矩的概念。
z
现以关门动作为 例，图中门的一边有 固定轴z。
O
y
x
在A点作用一力F，为度量此力对刚体的转动效应，可将力 F分解为两个互相垂直的分力：一个是与转轴平行的分力 Fz=Fsinβ；另一个是在与转轴z垂直平面上的分力Fxy=Fcosβ。

有各力在任意相互垂直的三个坐标轴的每一个轴上的
投影的代数和等于零，以及力系对于这三个坐标轴的
矩的代数和分别等于零。
Fx 0 Fy 0
Fz 0
Mx F 0 My F 0 Mz F 0
§5.4 空间平行力系的中心和物体的重心
一、空间平行力系的中心
若空间力系各合力的作用线相互平行称为空间平行 力系。若力系为一合力，合力的作用点，即是平行力系 的中心。
式中，Rx、Ry、Rz表示合力在各轴上的投影。
已知各力在坐标轴上的投影，则合力的大小和方 向可按下式求得
R Rx2 Ry2 Rz2
2
2
2
Fx Fy Fz
cos Fx / R cos Fy / R
cos Fz / R
式中，α、β、γ分别表示合力与x、y、z轴正向 的夹角。
二、重心的概念
重力的作用点即是空间平行力系的中心，称为物体 的重心。
三、重心和形心的坐标公式
物体重心C的坐标公式为
xC
x i .Wi W
yC
y i .Wi W
zC
z i.Wi W
四、求重心的方法
几种常用的方法：
1.对称法 2.积分法 3.组合法
（按照右手螺旋法则决定之）
空间力对轴的矩等于零的条件
1、力通过轴线
FLeabharlann Fz2、力与轴线平行
Fy Fx
二、合力矩定理
力对轴的矩的解析表示式为
Mx F Fz.yA Fy.zA My F Fx.zA Fz.xA
Mz F Fy.xA Fx.yA
§ 5.3 空间力系的平衡方程及应用
空间任意力系平衡的必要和充分条件是:力系中所
可求出力F 的大小和方

工 程 力 学
§3-2
平面力系的平衡条件
F1 Fn F3
1、平面任意力系的平衡方程 F2 平面任意力系平衡的充要条件是： 力系的主矢和对任意点的主矩都等于零。
0 FR
第 三 章 力 系 的 平 衡
Mo 0
平面任意力系
FR ( Fx ) 2 ( Fy ) 2
M O M O (F )
2
0
F
x
0,
F
y
0,
F
z
0
即:汇交力系的平衡条件是力系中所有各力在各个坐
标轴中每一轴上的投影的代数和分别等于零。
工 程 力 学
三、空间平行力系的平衡方程
第 三 章 力 系 的 平 衡
F
z
0,
M (F ) 0, M (F ) 0
x
y
工 程 力 学
四、空间力偶系的平衡方程
第 三 章 力 系 的 平 衡
工 程 力 学
例：如图所示为一种起吊装置的结构简图。图中尺寸d , 载荷F， <FAD =60均为已知。若不计各杆自重，试求杆AF与杆AD在各 自的约束处所受的约束力。
第 三 章 力 系 的 平 衡
工 程 力 学
第 三 章 力 系 的 平 衡
工 程 力 学
例：滑轮支架系统如图所示。已知G，a,r,θ ,其余物体重 量不计,试求A和B的约束力。
工 程 力 学
3、平面汇交力系的平衡方程
F
x
0,
F
y
0
4、平面力偶系的平衡条件
第 三 章 力 系 的 平 衡
M 0
即：力偶系各力偶力偶矩的代数和等于零。
工 程 力 学

。CDB平面与水平
面间的夹角
，物重
。如起重杆的重量不计，试求
起重杆所受的压力和绳子的拉力。
解：取起重杆AB与 重物为研究对象。
取坐标轴如图所示。 由已知条件知：
列平衡方程 解得
§3-3 力对轴的矩 力F对z轴的矩就是分力Fxy 对点O的矩， 即
力对轴的矩是力使刚体绕该 轴转动效果的度量、是一个 代数量。
空间力偶系平衡的必要和充分条件是：该力偶系的合力偶矩等 于零，亦即所有力偶矩矢的矢量和等于零，即
由上式，有 欲使上式成立，必须同时满足
空间力偶系未知量）
空间力偶系平衡的必要和充分条件为：该力偶系中所有各力偶 矩矢在三个坐标轴上投影的代数和分别等于零。
§3-5 空间任意力系的平衡方程
可将上述条件写成空间任意力系的平衡方程
注：1.与平面力系相同，空间力系的平衡方程也有其它的形式。 2.六个独立的平衡方程，求解六个未知量。 3.可以从空间任意力系的普遍平衡规律中导出特殊情况的 平衡规律，例如空间平行力系、空间汇交力系和平面任意 力系等平衡方程。
例：设物体受一空间平行力系作用。 令z轴与这些力平行，则
绝对值： 该力在垂直于该轴的平面上的投影对于 这个平面与该轴的交点的矩的大小。
正负号： 从z轴正端来看，若力的这个投影使物体绕该轴 按逆时针转向转动，则取正号，反之取负号。
也可按右手螺旋规则来确定其正负号，如图所 示，姆指指向与z轴一致为正，反之为负。
当力与轴在同一平面时，力对该轴的矩等于零：
(1)当力与轴相交时 (此时h＝0)；
（三个方程，可 求解三个未知量）
空间汇交力系平衡的必要和充分条件为：该力系中所有各力 在三个坐标轴上的投影的代数和分别等于零。

题2-6图
2-7 已知梁AB上作用一力偶，力偶矩为M，梁长为l，梁重不计。求在图a,b,两三种情况下，支座A和B的约束反力。
（a） （b）
题2-7图
（a） (注意，这里，A与B处约束力为负，表示实际方向与假定方向相反，结果应与你的受力图一致，不同的受力图其结果的表现形式也不同)
(b)
2-8 在题图所示结构中二曲杆自重不计，曲杆AB上作用有主动力偶，其力偶矩为M，试求A和C点处的约束反力。
题3-1图
3-2 图示力系中，F1=100N，F2=300N，F3=200N，各力作用线的位置如图所示。将力向原点O简化
题3-2图
3-3 边长为a的等边三角形板，用六根杆支持在水平面位置如图所示。若在板面内作用一力偶，其矩为M，不计板重，试求各杆的内力。
题3-3图
3-4 如图所示的空间构架由三根杆件组成，在D端用球铰链连接，A、B和C端也用球铰链固定在水平地板上。今在D端挂一重物P=10kN，若各杆自重不计，求各杆的内力。
题6-2图
6-3题6-2图所示圆截面杆，已知载荷 ， ， 段的直径 ，如欲使 与 段横截面上的正应力相同，试求 段的直径。
6-4设图示结构的1和2两部分皆为刚体，刚拉杆 的横截面直径为 ，试求拉杆内的应力。
题6-4图
1做受力图
2列平衡方程求解
解得F=6kN, FN=3kN, AB杆的应力为:
6-5某受扭圆管，外径 ，内径 ，横截面上的扭矩 ，试计算距轴心21mm处圆管横截面与纵截面上的扭转切应力。
题2-4图
作BD两节点的受力图
联合解得：
2-5在四连杆机构ABCD的铰链B和C上分别作用有力F1和F2，，机构在图示位置平衡。求平衡时力F1和F2的大小间的关系。

将上式两边向x、y、z 轴投影，可得平衡方程
F F F
可以求解3个未知量。
x y
z
0 0 0
• 2.平面汇交力系
力系的平衡
• 力偶系的平衡方程 • 1.空间力偶系
平衡的充要条件（几何条件） M Mi 0 将上式两边向x、y、z 轴投影，可得平衡方程
M M M
可以求解3个未知量。
ix iy iz
0 0 0
• 2.平面力偶系
力系的平衡
• 平衡的充要条件:力偶系中各力偶矩的代数和等于零.
m 0
i
• 任意力系的平衡方程 空间任意力系： • 平衡的充要条件:力系的主矢和对任一点的主矩均为零。
FR 0
MO 0
G3 a
e
G 3(a b) FNAb G1e G 2L 0 G 3(a b) G1e G 2L FNA 2 b
由(1)、(2)式 得：
G1 G2 L
G1e G 2L G3 ab
3
A FN A b
B FN B
(2)空载时
不翻倒条件：FNB≥0 (4) 由 mA 0 得：
FAB = 45 kN
600
y B TBC 15 15 30 TBD
0 0 0
x
C
D
150
B
300
TBD=G E
A
E
FAB G
解题技巧及说明：
1、一般地，对于只受三个力作用的物体，且角度特殊时用 几 何法（解力三角形）比较简便。 2、一般对于受多个力作用的物体，且角度不特殊或特殊， 都用解析法。 3、投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程中只有一 个未知数。

第3章 空间力系
49 i i c i i c i i c L x x L L y y L L z z L ⎧=⎪⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎪⎩∑∑∑ （3-8）
用该组公式可计算细长均质杆的重心位置。

图3-8 平板物体受力分析 图3-9 求细长均质杆重心 3.3.3 重心位置的其他确定方法
1．对称法
具有对称面、对称轴线或对称中心的均质物体，其重心必定位于对称面、对称轴线或对称中心上，如图3-10所示。

图3-10 对称法求重心
2．实验法
对于形状复杂、非匀质的物体，可采用实验法来确定其重
心。

方法有悬挂法和称重法。

（1）悬挂法。

如图3-11所示薄板，可采用悬挂法确定其重心。

任选两点
A 、
B 依次悬挂起来，过A 、B 两点铅垂线的交点即为薄板重心
C 的位置。

图3-11 确定薄板重心。

转动的力矩为正，顺时针转动的力矩为负。力矩
的单位为N•m或kN•m。
由上述结论可知，力的作用线与轴相交或平
行时，力对轴之矩等于零。
提
示
3.2.2 合力矩定理
在平面力系中推导出来的合力矩定理对空间力系也同样适用，即空间力系中的合力对某轴之
矩等于力系中各分力对同一轴之矩的代数和，其表达式为
在计算力对轴之矩时，有时应用合力矩定理会使计算变得简单：先将力F沿空间直角坐标轴
Fz=Fsin 60°=600×0.866=520（N）
19
3.2.2 合力矩定理
20
3.2.2 合力矩定理
（2）计算力对轴之矩。先将力F在作用点处沿x、y、z方向分解，得到
三个分量Fx、Fy、Fz，它们的大小分别等于投影Fx、Fy、Fz的大小。
根据合力矩定理，可求得力F对指定的x、y、z轴之矩。
（b）所示。
先将力F向Axy平面和Az轴投影，得到Fxy和Fz；再将Fxy向x、y轴
投影，得到Fx和Fy。于是，有
Fx=Fxycos 45°=Fcos 60°cos 45°=600×0.5×0.707=212（N）
Fy=Fxysin 45°=Fcos 60°sin 45°=600×0.5×0.707=212（N）
力FNA、FNB、FNC的作用下保持平衡，各力的作
用线相互平行，构成空间平行力系。
3.3 空间力系的平衡方程
30
3.3 空间力系的平衡方程
（2）根据各力的作用线方向与几何位置，建立空间直角
坐标系Hxyz（点H为坐标原点）。
（3）列平衡方程并求解。
∑Fz=0，FNA+FNB+FNC-G=0
∑Mx（F）=0，FNC-G=0

Ai xi xC Ai
Ai yi yC Ai
<2>负面积法： 方法与分割法同，只是除去的面积看作负值。
第三章 空间力系
例1: 已知：Z 形截面，尺寸如图， 求：该截面的形心位置。
解：(1)组合法: 将该截面分割为三部分，
取Oxy直角坐标系，如图
x1 1.5 cm , y1 4.5 cm , A1 3.0 cm2
机械设备中高速旋转的构件，如电机转子、砂轮、飞轮等，都要求
它的重心位于转动轴线上，否则就会使机器产生剧烈的振动，甚至引 起破坏，造成事故。因此，重心与平衡稳定、安全生产有着密切的关
系。另一方面，有时也利用重心的偏移形成振源来制造振动大夯机、
混凝土捣实机等，从而满足了生产上的需要。因此，重心应为有关工 程技术人员所必备的知识之一。
yc
A y ;
A
第三章 空间力系
二、重心的求法：
1、简单几何形状物体的重心(对称法） 若均质物体有对称面，或对称轴，或对称中心，不难看出， 该物体的重心必相应地在这个对称面，或对称轴，或对称中 心上。 简单形状均质物体的重心就是它的几何形状的形心。
第三章 空间力系
2、实验法 如物体的形状复杂或源自量分布不均匀， A第三章 空间力系
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重心和形心的概念
重心 任何物体都可视为由许多微小部分所组成，每一微小部分上都 作用一个指向地球中心的力，这些引力原本应是一空间汇交力系，但 由于地球的半径比所研究物体的尺寸大得多，故可认为这些力为一空 间平行力系(如图)。此力系的合力G为物体的重力，并称重力的作用 点C为物体的重心。 对刚体而言，物体的重心是一个不变的点。 形心 物体几何形状的中心点称为形心。

缺点
计算量大，需要较高的数学水平。
几何法求解空间力系平衡问题
几何法
通过几何图形来描述物体的运动状态和受力 情况，通过观察和计算几何关系得到物体的 运动轨迹和受力情况。
优点
直观易懂，适用于简单运动和受力情况。
缺点
精度低，容易受到主观因素的影响。
代数法求解空间力系平衡问题
1 2
代数法
通过代数方程来描述物体的运动状态和受力情况， 通过解代数方程得到物体的运动轨迹和受力情况。
平衡方程形式
空间力系的平衡方程为三个平衡方程，分别表示力在x、y、z轴上 的平衡。
空间力系的平衡方程应用
解决实际问题
利用空间力系的平衡方程，可以 解决实际工程中的受力分析问题， 如梁的受力分析、结构的稳定性 分析等。
简化问题
通过将复杂的问题简化为简单的 空间力系问题，可以更方便地求 解问题。
验证实验结果
优点
适用范围广，可以用于解决各种复杂问题。
3
缺点
计算量大，需要较高的数学水平。
04
空间力系平衡问题的实例分 析
平面力系的平衡问题实例分析
总结词
平面力系平衡问题实例分析主要涉及二维空间中的受力分析，通过力的合成与分解，确定物体在平面内的平衡状 态。
详细描述
在平面力系中，物体受到的力可以分解为水平和垂直方向的分力。通过分析这些分力的合成与平衡，可以确定物 体在平面内的稳定状态。例如，在桥梁设计中，需要分析桥墩受到的水平风力和垂直压力，以确保桥墩的稳定性。
平衡条件
物体在空间力系作用下，满足力矩平衡、力矢平衡和 力平衡三个条件。
空间力系的简化
01
02
03
力矩
描述力对物体转动效应的 量，由力的大小、与力臂 的乘积决定。

空间力系和重心空间力系和重心各力的作用线不在同一平面内的力系，称为空间力系。

与平面力系类似，空间力系可分为空间汇交力系、空间力偶系和空间任意力系来研究。

空间力系和重心6.1空间力沿坐标轴的分解与投影直接投影法zF= Fx+ Fy+ Fz= Xi+ Yj+ Zk其中，FzαγZkFxFβ Y FyX= F cosα Y= F cosβ Z= F cosγXjixy空间力系和重心二次投影法zX= Fxy cos = F sinγ cos Y= Fxy sin = F sinγ sin Z= F cosγZγkFYj i X Fxyy注意，力在轴上的投影是代数量，而力在平面上的投影是矢量。

x空间力系和重心力的大小和方向余弦：zF= X 2+Y 2+ Z2X cos( F, i )= F Y cos( F, j )= F Z cos( F, k )= FZγkFYj i X Fxyyx空间力系和重心6.2力对点之矩和力对轴的矩6.2.1力对点之矩力对点的力矩矢等于矩心到该力作用点的矢径与该力的矢量积，表示为，M O (F )FOrMO ( F )= r× F空间力系和重心若矢径rz和力F分别为M O (F )B Fr= xi+ yj+ zk F= Xi+ Yj+ Zki则，M O ( F )= r× F= x X j y Y k z Z kOrA( x, y, z )ijyx= ( yZ zY )i+ ( zX xZ ) j+ ( xY yX )k空间力系和重心由此可知力矩矢M O (F )在三个坐标轴上的投影分别为：M Ox ( F )= yZ zY M Oy ( F )= zX xZ M Oz ( F )= xY yX(6 1)力矩矢的始端必须在矩心，不可任意移动，为一定位矢量。

空间力系和重心6.2.2力对轴之矩为度量力对绕定轴转动刚体的作用效应，引入力对轴的矩的概念。

空间力系和重心力对轴的矩的概念作用于刚体的力F对z轴的定义为：M Z ( F )= M O ( Fxy )=± Fxy hM z (F )F这样，空间力对轴之矩归结为平面上的力对点之矩，即力F对任一轴z之矩，等于这力在垂直于z轴的平面内的分量Fxy对该平面和z轴交点O之矩。

轴上的力和力矩平衡条件。只有当这六个方程同时满足时，空间一般力
系才处于平衡状态。
04
重心位置确定方法
几何法确定重心位置
01
02
03
悬挂法
将物体悬挂于一点，通过 测量悬线的长度和方向， 利用几何关系确定重心位 置。
支撑法
将物体支撑于两点，测量 支撑点的位置和支撑力的 大小，通过几何关系求解 重心位置。
度的基础。
06
重心在工程中应用举例
建筑结构稳定性分析
重心位置与结构稳定性
案例分析
在建筑设计中，通过调整结构布局和 构件尺寸，可以改变结构的重心位置， 从而提高结构的稳定性。
以高层建筑为例，通过优化结构布局 和构件设计，降低重心高度，提高结 构的整体稳定性。
地震作用下的重心影响
地震时，建筑物受到水平地震力的作 用，重心位置的高低直接影响结构的 抗震性能。
THANKS
感谢观看
航空航天领域应用
重心与飞行器稳定性
在航空航天领域，飞行器的重心位置对其稳定性和操控性 具有重要影响。合理设计重心位置可以提高飞行器的稳定 性和操控性。
重心与燃料消耗
飞行器的重心位置不仅影响稳定性和操控性，还影响燃料 消耗。通过优化重心位置可以降低飞行器的燃料消耗。
案例分析
以飞机设计为例，通过精确计算和调整机身、机翼等部件 的质量和布局，实现重心的合理分布，提高飞机的稳定性 和经济性。
力多边形封闭
如果将各力矢量按照一定顺序首 尾相接，可以形成一个封闭的力 多边形，这也是空间汇交力系平 衡的一个必要条件。
空间平行力系平衡条件
各力在任意轴上的投影之和为零
对于空间平行力系，所有力在任意选定的轴上的投影之和必须为零，这是平衡 的一个必要条件。

Fz F cos
F
Fxy
F sin
Fx Fy
Fxy cos F sin cos Fxy sin F sin sin
（3-2）
反之，如果已知力F在x、y、z三个坐标轴上的投影 Fx 、Fy 、Fz
F Fx2y Fz2 Fx2 Fy2 Fz2
，也可以求出F的大小和方向。其形式为 （3-3）
FX 0, F1 sin 45 F2 sin 45 0 FY 0, FA sin 30 F1 cos45 cos30 F2 cos45 cos30 0 FZ 0, F1 cos45 sin 30 F2 cos45 sin 30 FA cos30 P 0
求解上面的三个平衡方程，得
所以
zc
Gi zi G
由以上得到重心坐标的一般公式为：
xc
Gi xi G
yc
Gi yi G
zc
Gi zi G
（3-12）
xc
mi xi M
在式（3-12）中，如以
Gi
mi g、G Mg
代入，在分子和分母中消去g，即得到公式：
yc
mi
M
yi
zc
mi zi M
设有一个空间力F，作用点A的坐标为（x，y，z）,该力在三个坐标轴上的分力大小（即该力在x，y，z轴
上的投影）分别为Fx , Fy , Fz ，则该力对三个坐标轴的矩为（证明从略）
M M
x y
(F (F
) )
yFz zFx
zFy xFz
M
z
(F
)
xFy
yFx
（3-8）
例3-3 如图3-5所示，手柄ABCD在平面内，在D点作用一个力F，该力平行于xz平面，已知F=200N， 30，AB＝ 20cm，BC＝30cm，CD＝15cm，试求F对x，y，z轴之矩。

Fy 0 力
Fz 0
偶 系
空
Mx 0 间
My 0
平 行
Mz 0
力 系
Fx 0 My 0 Mz 0
鞍山科技大学机械工程与自动化学院工程力学系
理论力学
第三章 空间力系
例题六 不计重量的正方形薄板,由六根直杆支
第 五 节
持如图所示 .假设这六根杆都可以看作两力杆 ,求
yc
A ydA A
鞍山科技大学机械工程与自动化学院工程力学系
理论力学
第三章 空间力系
四、确定物体重心的方法
（1） 利用对称性
第 六 节
重
C
心
C C
鞍山科技大学机械工程与自动化学院工程力学系
理论力学
第三章 空间力系
四、确定物体重心的方法
半径为R，顶角为2
的均质圆弧
（2） 积分法
第 六
解：由于对称关系，该圆弧重心必在Ox 轴上，即yC=0。
a
2 2
S3

S4

2 2
S5

S6


0
衡 方 程
㊁ My(F) = 0
a
2 2
S3

S6


0
㊂ Mz(F) = 0
2 2
aS3
S5 0
鞍山科技大学机械工程与自动化学院工程力学系
理论力学
第三章
例题六
第
五
节
S1 = S6 = - P
空
间
任 意
S2 = S3 = 2 P
力
系
的 平
S4= P
衡
方

8
例题3-1 如图所示，已知手柄的A点作用力F＝500N。求力F在三个坐标轴上
的投影及对三个坐标轴之矩。（单位：mm）
解：
作辅助坐标系Ax'y'z'，先将 F 沿z'
轴和Ax'y'面分解，再将Fxy沿 x'、y'轴 分解。根据分力和投影的关系可得力F 在三个坐标轴上的投影：
Fz ＝Fsin 60 ＝433.01N
3.1.1 直接投影法
z
已知力与 x、y、z 轴夹角、、。
若把力沿直角坐标轴分解，
90
Fz

x
i
k
分力与投影之间的关系： F β
j
Fy
y
Fx Fxi
Fy Fy j
Fz Fz k
Fx
O
力的解析表达式为：
F F x i F y j Fz k
试求匀速提升重为10kN的物体时，皮带的张力和两个轴承的约束力。
解：
研究对象： 皮带轮、鼓轮、轴以及重物
F
x
0
FA x FB x FT 1 co s 3 0 FT 2 co s 3 0 0 F A z F B z FT 1 sin 3 0 FT 2 sin 3 0 P 0
P
Q
2Q a 3r
300N
在载荷Q作用下，圆桌要翻倒时，C腿将离开地面，使FC＝0。 因此，若要圆桌不翻到，必须FC≥0。 解得：
a
FC
1 3
P Q
2Q a 3r
0
P
Qr 2Q

600 1500 500
2 1500

∑X =0 ∑Y = 0 ∑M = 0
O
3.2
力系的平衡条件和平衡方程 ∑X =0
∑Y = 0 ∑F = 0
z
y
F1 F2
4 5 3
F3
∑M
x
=0
y
O
x
∑M ∑M
平面汇交力系
=0
=0
z
∑ ∑
X = 0
Y = 0
Y = 0
M
O
平面平行力系
∑ ∑
( Fi ) = 0
3.2
力系的平衡条件和平衡方程
四、平面任意力系平衡方程的其他形式 (1)二力矩式 二力矩式
3.2
力系的平衡条件和平衡方程
平面平行力系的平衡方程
∑ ∑ ∑
Fx = 0
∑ M ∑ M
A B
(F i ) = 0 (Fi ) = 0
Fy = 0
M
O
(Fi ) = 0
∑
Fx = 0
A
B
∑Y ∑M
= 0
O
∑ M
(F i ) = 0
(Fi ) = 0
∑
M
(Fi ) = 0
AB连线与力不平行 连线与力不平行 只有两个独立方程，只能求解两个独立的未知数。 只有两个独立方程，只能求解两个独立的未知数。
h h
γy (1 × dy )
dy
= γy
1 2 γh 2
由合力矩定理， 由合力矩定理，有
1 Qd = ∫ yqdy = ∫ γy dy = γh 3 0 0 3
h h 2
d=
2 h 3
3.1
力系向一点简化
y A
2m
在长方形平板的O 例题 3-2 在长方形平板的 、A、 B、C 点上分别作用着有四个力： 点上分别作用着有四个力： F1=1kN，F2=2kN，F3=F4=3kN ， ， 如图）， ），试求以上四个力构成 （如图），试求以上四个力构成 的力系对点O 的简化结果， 的力系对点 的简化结果，以及 该力系的最后的合成结果。 该力系的最后的合成结果。 取坐标系Oxy。 解：取坐标系 。 1、求向 点简化结果： 点简化结果： 、求向O点简化结果 求主矢R′ ①求主矢 ′：

课时授课计戈I 」第三章空间力系与重心掌握力在空间直角坐标系上的投影的计算 掌握力对轴的矩的计算 掌握空间力系的平衡条件 掌握重心的概念空间力系的平衡条件力对轴的矩的计算第三章 空间力系与重心第一节力在空间直角坐标系上的投影 第二节力对轴的矩第三节 空间力系的平衡条件 第四节物体的重心课本教学方法 课堂教学授课日期2011.10.22 1044-3目 的 要 求教学过程：复习：1、复习约束与约束反力概念。

2、复习物体受力图的绘制。

课:第三章 空间力系与重心 第一节力在空间直角坐标系上的投影1. 力在直角坐标轴上的投影和力沿直角坐标轴的分解若已知力F 与正交坐标系Oxyz 三轴间的夹角分别为a 、p 、丫， 如图4-1所示，则力在三个轴上的投影等于力F 的大小乘以与各轴夹角的余弦, 即X=F cos a Y=W cos p Z=F cos 丫当力F 与坐标轴Ox Oy 间的夹角不易确定时，可把力 F 先投影到坐标平面Oxy 上，得到力F 砂，然后再把这个力投影到x 、y 轴上。

在图4-2 中, 已知角丫和卩，则力F 在三个坐标轴上的投影分别为(4-1)O图4一1書Zjr乙ZX=F sin 丫 COS 0 Y=F sin 丫 sin W Z=F cos 丫若以人、人、人表示力F 沿直角坐标轴X 、y 、z 的正交分量，以i 、 j 、k分别表示沿X 、y 、z 坐标轴方向的单位矢量，如图4-3所示，则 图4-2 戸=人+尸$+巧=为+Y +Zk由此，力F 在坐标轴上的投影和力沿坐标轴的正交分矢量间的关系可表示为 人=X ，人=Y ，人=zk(4-4)如果己知力F 在正交轴系Oxyz 的三个投影，则力F 的大小和方向余弦为F =J 护+尸+0 £ cos( F , i)= F(4-5)例：图4-4所示的圆柱斜齿轮，其上受啮合力 E 的作用。

已知斜齿轮的齿倾角(螺旋角)P 和压力角a ，试求力E 沿x 、y 和z 轴的分力。