伊嘉儿数学五年级春第13讲鸟头模型

三角形等高模型与鸟头模型4-3-1.例题精讲三角形等高模型板块一高底我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积??2?从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积．；)，三角形面积也就越大(小)如果三角形的底不变，高越大(小；，三角形面积也就越大(小)如果三角形的高不变，底越大(小)当三角形的底和高但是，这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．1，则三角同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍，底变为原来的3而不仅仅一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，形面积与原来的一样．这就是说：可以有无数多个不同一个三角形在面积不改变的情况下，取决于高或底的变化．同时也告诉我们：的形状．在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论：等底等高的两个三角形面积相等；①两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；②两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如左图ba:SS:?21BASS21baDC③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图；SS?BCD△△ACD CDAB．反之，如果，则可知直线平行于SS?BCD△△ACD④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．【例1】你有多少种方法将任意一个三角形分成：⑴3个面积相等的三角形；⑵4个面积相等的三角形；⑶6个面积相等的三角形．在同一条直线上．和D厘米，B、C如图，】BD长12厘米，DC长4【例2 ABD面积的多少倍？求三角形ABC的面积是三角形⑴ADC面积的多少倍？求三角形ABD的面积是三角形⑵ABCD厘米，那么图中阴的长是都是矩形，的长是厘米，和【例3】如右图，3CDEFBC4ABABFE平方厘米．影部分的面积是AB FEDC平方厘米，则阴影部如图所示，平行四边形的面积是50【巩固】(2009年四中小升初入学测试题) 平方厘米．分的面积是，的长是20拼成了长方形【巩固】如下图，长方形和长方形，长方形ABCDABCDFDCEAFEB．，则它内部阴影部分的面积是宽是12ABFEDC【例4】如图，长方形的面积是平方厘米，点、、分别是长方形边上的ABCDABCDG56FE中点，为边上的任意一点，求阴影部分的面积．ADHHHDDAAEEGGCCBBFF、、，那三条边的三等分点，如果正方形的边长是分别是正方形【巩固】图中的ABCDG12EF．么阴影部分的面积是HAADD6GG512EE43BBCCFF【例5】长方形的面积为36，、、为各边中点，为边上任意一点，问阴影GABCDADHEF部分面积是多少？HDAEGBCF)(HDA DHAGE EG CBF BCF，将正方形的一组对边二等分，另一组对内任取一点6厘米的正方形【巩固】在边长为ABCDP ,求阴影部分面积．边三等分，分别与点连接PDDD(P)AAAPPCCCBBB的面积垂直E在AD上，ADBC，厘米，ABC厘米．求三角形】【例6如右图，3?DE12AD? EBC 面积的几倍？是三角形AECBD等BECBFAE、、CF、那么与BEACEFABCD7【例】如图，在平行四边形中，平行，连结△积的三角形一共有哪几个三角形？FADEBC等积的、CE，那么与ABED是BC中点，E是AD中点，连结BE中，【巩固】如图，在ABC△△三角形一共有哪几个三角形？AECBD【巩固】如图，在梯形ABCD中，共有八个三角形，其中面积相等的三角形共有哪几对？DAOCB的面积是多，三角形如图，三角形】的面积为1，其中，【例8BC2ABCBD?ABAE?3BDE少？BBEAEACCDD的面积平方厘米，，已知阴影部分面积为如右图，，5】【例9ABC?AEEF?FC?DBAD?平方厘米．是BBDDAACCFEFE倍，长的3的面积是180平方厘米，是的中点，的长是【巩固】图中三角形BCABCEFDADAE3的长是长的倍．那么三角形的面积是多少平方厘米？AEFBF AEFBCD厘米，如果是的中点，【巩固】如图，在长方形中，是的中点，8ABCDBC?24ZABDYYBD?厘米，求三角形的面积．ZCYCDZYBADEF的中点．求三角形分别是BC、AC和ADD【巩固】如图，三角形ABC的面积是24，、E和F 的面积．AEFCBD的中点，那和ACF分别为AB、中，【巩固】如图，在三角形ABC厘米，高是6厘米，E8?BC的面积是多少平方厘米？EBF么三角形AFECB△平方厘米。

小升初几何常考五大模型（等积变换、鸟头、蝴蝶、相似、燕尾）下面给大家整理小升初数学几何常考五大模型（等积变换模型、鸟头定理、蝴蝶定理、相似模型、燕尾定理）（一）等积变换模型性质与应用简介平面几何问题，是历年小升初的必考题目，也在各大杯赛中占有很大比例，这些题目都是以等积变形为主导思想，结合五大模型的变化应用交织而成的，这一期我们讲解了解一下五大模型第一块——等积变换模型。

1.等积变换模型（1）等底等高的两个三角形面积相等；（2）两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；(3)如右图夹在一组平行线之间的等积变形，S△ACD=S△BCD反之，S△ACD=S△BCD，则可知直线AB∥直线CD等积变换模型例题讲解与课后练习题（一）例题讲解与分析【例1】：如右图，在△ABC中，BE=3AE，CD=2AD．若△ADE 的面积是1平方厘米，那么三角形ABC的面积是多少？【解答】连接BD,S△ABD和S△ AED同高，面积比等于底边比，所以三角形ABD的面积是4，S△ABD和S△ABC同高面积比等于底边比，三角形ABC的面积是ABD的3倍，是12.【总结】要找准那两个三角形的高相同。

【例2】：如图，四边形ABCD中，AC和BD相交于O点，三角形ADO的面积=5，三角形DOC的面积=4，三角形AOB的面积=15，求三角形BOC的面积是多少？【解答】S△ADO=5,S△DOC=4根据结论2，△ADO与△DOC同高所以面积比等于底的比,即AO/OC=5:4同理S△AOB/S△BOC=AO/OC=5:4,因为S△AOB=15所以S△BOC=12。

【总结】从这个题目我们可以发现，题目的条件和结论都是三角形的面积比，我们在解题过程中借助结论2，先把面积比转化成线段比，再把线段比用结论2转化成面积比，解决了问题。

事实上，这2次转化的过程就相当于在条件和结论中搭了一座'桥梁'，请同学们体会一下。

（二）鸟头定理（共角定理）模型平面几何问题，是历年小升初的必考题目，也在各大杯赛中占有很大比例，这些题目都是以等积变形为主导思想，结合五大模型的变化应用交织而成的，第二期我们讲解了解一下五大模型第二块——鸟头定理（共角定理）模型。

三角形等高模型与鸟头模型模型二鸟头模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角 )两夹边的乘积之比．如图在△ABC中，D,E分别是AB,AC上的点如图⑴(或D在BA的延伸线上，E在AC上如图2)，则S△ABC:S△ADE(AB AC):(AD AE)ADADEEB C B C图⑴图⑵【例1】如图在△ABC中，D,E分别是AB,AC上的点，且AD:AB2:5，AE:AC4:7，S△ADE16平方厘米，求△ABC的面积．AAD DE EB C B C【分析】连结BE，S△ADE:S△ABE AD:AB2:5(24):(54)，S△ABE:S△ABC AE:AC4:7(45):(75)，所以S△ADE:S△ABC(24):(75)，设S△ADE8份，则△35份，△16平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，△ABC的SABC SADE面积是平方厘米．由此我们获得一个重要的共角定理：共角三角形的面积比等于(相70定理，对应角等角或互补角)两夹边的乘积之比．page1of7【坚固】如图，三角形ABC中，AB是AD的5倍，AC是AE的3倍，假如三角形ADE的面积等于1，那么三角形ABC的面积是多少？A ADE D EB CB C【分析】连结BE．∵EC3AE∴S ABC3S ABE又∵AB5AD∴S ADE S ABE5 S ABC 15，∴S ABC15S ADE15．【坚固】如图，三角形ABC被分红了甲(暗影部分)、乙两部分，BD DC 4，BE 3，AE6，乙部分面积是甲部分面积的几倍？A AEB甲【分析】连结AD．∵BE3，AE6∴AB3BE，SABD乙E乙甲C B CD D3S BDE又∵BD DC4，∴S ABC2S ABD，∴S ABC6S BDE，S乙5S甲．【例2】如图在△ABC中，D在BA的延伸线上，E在AC上，且AB:AD5:2，AE:EC3:2，S△ADE12平方厘米，求△ABC的面积．D DA AEEB C B C【分析】连结BE，S△ADE:S△ABE AD:AB2:5(23):(53)S△ABE:S△ABC AE:AC3:(32)(35):(32)5，所以S△ADE:S△ABC(32):5(32)6:25，设S△ADE6份，则S△ABC25份，S△ADE12平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，△ABC的面积是50平方厘米．由此我们获得一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比【例3】以以下图，在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，AF2CF，三角形AFE(图中暗影部分)的面积为8平方厘米．平行四边形的面积是多少平方厘米？page2of7D CFAEB【分析】连结FB ．三角形AFB 面积是三角形CFB 面积的 2倍，而三角形 AFB 面积是三角形 AEF 面积的2倍，所以三角形ABC 面积是三角形 AEF 面积的3倍；又因为平行四边形的面积是三角形 ABC 面积的2倍，所以平行四边形的面积是三角形AFE面积的（32） 6倍．所以，平行四边形的面积为648(平方厘米)．【例 4】已知△DEF 的面积为7平方厘米，BE CE,AD2BD,CF 3AF ，求△ABC 的面积．AFDBCE【分析】S △BDE :S △ABC(BD BE):(BABC)(1 1):(2 3) 1:6，S△CEF:S△ABC(CE CF):(CBCA)(1 3):(2 4) 3:8S △ADF :S △ABC(AD AF):(AB AC)(21):(3 4)1:6设△ ABC 24份，则 △BDE 4份，△ 4份，△ CEF 9份，△24 4 497份，恰巧是7S S S ADFSS DEF平方厘米，所以S △ABC 24平方厘米【例 5】如图，三角形ABC 的面积为 3平方厘米，此中 AB:BE2:5，BC:CD3:2 ，三角形BDE 的面积是多少？ABEABEC CDD【分析】因为ABC DBE 180，所以能够用共角定理，设 AB2份，BC3份，则BE5份，BD 3 25份，由共角定理 S △ABC :S △BDE (AB BC):(BE BD)(23):(55)6:25，设S△ABC6份，恰巧是 3平方厘米，所以1份是0.5平方厘米，25份就是250.5 12.5平方厘米，三角形BDE 的面积是12.5 平方厘米【例 6】(2007年”走美”五年级初赛试题)以以下图，正方形ABCD 边长为6厘米，AE1AC ，CF1BC ．三角形DEF 的面积为_______平方厘米．3 3ADEBF Cpage3of7【分析】由题意知AES △CEF :S △ABC11 2AC ．依据”共角定理”可得，AC 、CFBC ，可得CE333(CFCE):(CB AC)12:(3 3)2:9；而△ABC662 18；所以△CEF4；SS同理得，S △CDE :S △ACD 2:3;，S △CDE 18 3212，S △CDF 6故△ △ △ △4 126 10(平方厘米)．S DEF S CEF S DEC S DFC【例 7】如图，已知三角形 ABC 面积为1 ，延伸AB 至D ，使BDAB ；延伸BC 至E ，使CE2BC ；延伸CA 至F ，使AF 3AC ，求三角形DEF 的面积．FFA EAEBCBCDD【分析】(法1)此题是性质的频频使用．连结AE 、CD ．S ABC 11 ，∵，S ABCS DBC 1∴S DBC1．同理可得其他，最后三角形 DEF 的面积18．(法2)用共角定理∵在 ABC 和CFE 中，ACB 与FCE 互补，S ABC AC BC 1 11∴FC CE 4 2．SFCE8又S ABC1，所以S FCE 8 ．同理可得S ADF 6，S BDE3．所以S DEF S ABCSFCESADFSBDE 186318．【例 8】如图，平行四边形ABCD ，BE AB ，CF 2CB ，GD 3DC ，HA 4AD ，平行四边形ABCD 的面积是2，求平行四边形 ABCD 与四边形 EFGH 的面积比．HHA B EABEGDCGDCFF【分析】连结AC 、BD ．依据共角定理∵在△ABC 和△BFE 中， ABC 与 FBE 互补，S△ABC AB BC 1 1 1．∴BE BF 1 3 3S△FBE又S △ABC 1，所以S △FBE 3．同理可得S△GCF8，S △DHG 15，S △AEH 8．page4of7所以S EFGH S△AEH S△CFG S△DHG S△BEF S ABCD8815+3+236．SABCD21所以36．SEFGH18【例9】如图，四边形EFGH的面积是66平方米，EAAB，CB BF，DC CG，HD DA，求四边形ABCD 的面积．H HD C GDC GA BF A BFE E【分析】连结BD．由共角定理得S△BCD:S△CGF(CDCB):(CG CF)1:2，即S△CGF2S△CDB同理S△ABD:S△AHE1:2，即S△AHE2S△ABD所以S△AHE S△CGF2(S△CBDS△ADB)2S四边形ABCD连结AC，同理能够获得S△DHG S△BEF2S四边形ABCDS四边形EFGH S△AHES△CGFS△HDGS△BEFS四边形ABCD5S四边形ABCD所以S四边形ABCD66513.2平方米【例10】如图，将四边形ABCD的四条边AB、CB、CD、AD分别延伸两倍至点E、F、G、H，若四边形ABCD的面积为5，则四边形EFGH的面积是．F FE B A E B AG C GCD DH H【分析】连结AC、BD．因为BE2AB，BF2BC，于是S BEF4S ABC，同理S HDG4S ADC．于是S BEF S HDG4S ABC4S ADC4S ABCD．再因为AE3AB，AH3AD，于是S AEH9S ABD，同理S CFG9S CBD．于是S AEH S CFG9S ABD9S CBD9S ABCD．那么S EFGH S BEF S HDG S AEH S CFG S ABCD4S ABCD9S ABCD S ABCD12S ABCD60．【例11】如图，在△ABC中，延伸AB至D，使BD AB，延伸BC至E，使CE 1，F是AC的BC中点，若△ABC的面积是2，则△DEF的面积是多少？2AFB C ED【分析】∵在△ABC和△CFE中，ACB与FCE互补，page5of7∴S△ABC AC BC224．S△FCE FC CE111又S ABC2，所以S FCE0.5．同理可得S△ADF2，S△BDE3．所以S△DEF S△ABC S△CEF S△DEB S△ADF20.5323.5【例12】如图，S△ABC1，BC5BD，AC4EC，DG GS SE，AF FG．求S FGS．AFG SEB CD【分析】此题题目自己很简单，但它把本讲的两个重要知识点交融到一同，既能够看作是”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”的频频运用，也能够看作是找点，最妙的是此中包括了找点的3种状况．最后求得S△432111．FGS的面积为△S FGS4322105【例13】以以下图，正方形ABCD边长为8厘米，E是AD的中点，F是CE的中点，G是BF的中点，三角形ABG的面积是多少平方厘米？A ED AEDF FB GC BGC【分析】连结AF、EG．因为S△BCF1216，依据”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积S△CDE84比等于夹这个角的两边长度的乘积比”SAEF8，S EFG8，再依据”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”，获得S BFC16，S ABFE32，SABF24，所以S ABG12平方厘米．【例14】四个面积为1的正六边形如图摆放，求暗影三角形的面积．F HA EBG CD【分析】如图，将原图扩展成一个大正三角形DEF，则AGF与CEH都是正三角形．假定正六边形的边长为为a，则AGF与CEH的边长都是4a，所以大正三角形DEF的边长为4 2 1 7，那么它的面积为单位小正三角形面积的49倍．而一个正六边形是由6个单位小正三角page6of7形构成的，所以一个单位小正三角形的面积为1，三角形DEF 的面积为49．66因为FA 4a ，FB3a ，所以AFB 与三角形DEF 的面积之比为4 3 12．77 49同理可知BDC 、AEC 与三角形DEF 的面积之比都为12，所以ABC 的面积占三角形DEF 面积49的112 313，所以ABC 的面积的面积为 49 13 13．49 49649 6【坚固】已知图中每个正六边形的面积都是 1，则图中虚线围成的五边形 ABCDE 的面积是．EA DB C【分析】从图中能够看出，虚线AB 和虚线CD 外的图形都等于两个正六边形的一半，也就是都等于一个正六边形的面积；虚线BC 和虚线DE 外的图形都等于一个正六边形的一半，那么它们合起来等于一个正六边形的面积；虚线AE 外的图形是两个三角形，从右图中能够看出，每个三角形都是一个正六边 形面积的 1，所以虚线外图形的面积等于 1 3 1 2 31，所以五边形的面积是10 3162．6 6 333精选文档page7of7。

1第9级下·超常-超常123·答案版第五讲 鸟头模型与等积变形【练习1】【分析】 111248DBEABCABC SS S =⨯⨯=，18DEF DBE ABCS S S ==，1204BFDDFCABCS SS ===（平方厘米），所以120804ABCS=÷=（平方厘米）。

【分析】 13ABFABC S S =，111236CDEABCABC SS S =⨯⨯=，所以1862432CDEABFSS ==÷=（平方厘米）。

【练习2】【分析】 111236ECDABC ABC S S S =⨯⨯=，16BCF ABC S S =，所以ECDBCFS S=，四边形DCFO 是它们的共用部分，所以剩余部分EOF BOD S S =。

FAB CDE CABDABCD2第五讲学理科到学而思【练习3】【分析】 梯形总面积为2(25)4214cm +⨯÷=，21124422BCF ABCES Scm ∆==⨯⨯=， 212442ABD S cm ∆=⨯⨯=，所以阴影部分面积为214446S cm =--=。

【练习4】【分析】 连结AH ，设FGH S a ∆=。

因为AF FG =，所以AFH S a ∆=，2AGH S a ∆=。

而DG GH HE ==，所以36ADE AGH S S a ∆∆==。

5AC EC =，45AE AC =，因此47.55ADC ADE S S a ∆∆=÷=。

6BC BD =,所以596ABC ADC S S a ∆∆=÷=。

::91:9FGH ABC S S a a ∆∆==【练习5】【分析】 如右图，将小正方形折叠过去，160302CDGF DHGC S S ==⨯=（平方厘米）。

【练习6】EDBA ABDA【分析】 连结AG 、CG ，如右图所示，AF EC =，有AGFCGESS=，又因为ED BG =，有AEDABGSS=，且CDEBCGSS=由此可见：EFG ∆的三个部分中ABGS补到了EADS，AFGS补到了BCD S ∆，而AEB S ∆的位置不变，由此一来相当于将EFG ∆等积变形到了四边形ABCD ，两者面积相同，即：1EFGS =。

三角形之鸟头模型共角定理（鸟头模型）两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。

共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．如图在△ABC 中，D,E 分别是AB,AC 上的点如图(或D 、E 分别在BA 、CA 延长线上)，则AC AB AE AD AC AE AB AD S S ABC ADE ⨯⨯=⨯=∆∆ (夹角两边：大大小小⨯⨯) 即，共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 例题讲解：1、如图，BD 长12厘米，DC 长4厘米，B 、C 和D 在同一条直线上。

求三角形ABD 的面积是三角形ADC 面积的多少倍？2、如右图，已知在△ABC 中，BE=3AE ，CD=2AD ．若△ADE 的面积为1平方厘米．求三角形ABC的面积．3、如图在△ABC 中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且AB : AD = 5 : 2，AE :EC = 3: 2，平方厘米12=∆ADE S ，求△ABC 的面积．4、 如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB =，:4:7AE AC =，16ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBA【巩固】如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形ADE 的面积等于1，那么三角形ABC 的面积是多少？EDCBA AB CDE【巩固】如图，三角形ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，4BD DC ==，3BE =，6AE =，乙部分面积是甲部分面积的几倍？乙甲E DCBAA BCDE甲乙5、 如图在ABC △中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且:5:2AB AD =，:3:2AE EC =，12ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBAEDCBA6、 如图所示，在平行四边形ABCD 中，E 为AB 的中点，2AF CF =，三角形AFE (图中阴影部分)的面积为8平方厘米．平行四边形的面积是多少平方厘米？7、 已知DEF △的面积为7平方厘米，,2,3BE CE AD BD CF AF ===，求ABC △的面积．FED CBA8、 如图，三角形ABC 的面积为3平方厘米，其中:2:5AB BE =，:3:2BC CD =，三角形BDE 的面积是多少？AB ECDDC EB A9、 (2007年”走美”五年级初赛试题)如图所示，正方形ABCD 边长为6厘米，13AE AC =，13CF BC =．三角形DEF 的面积为_______平方厘米．A10、如图，在三角形ABC 中，D 为BC 的中点，E 为AB 上的一点，且13BE AB =，已知四边形EDAC 的面积是35，求三角形ABC 的面积。

模型二鸟头模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上如图 2)，则:():()ABC ADES S AB AC AD AE △△EDCBAEDCBA图⑴图⑵【例1】如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB，:4:7AE AC，16ADES △平方厘米，求ABC △的面积．EDCBAEDCB A【解析】连接BE ，::2:5(24):(54)ADE ABES S AD AB △△，::4:7(45):(75)ABE ABC S S AE AC△△，所以:(24):(75)ADE ABCS S △△，设8ADES △份，则35ABCS △份，16ADE S △平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，ABC △的面积是70平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．三角形等高模型与鸟头模型【巩固】如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形ADE 的面积等于1，那么三角形ABC 的面积是多少？E D CBA A BCD E【解析】连接BE ．∵3EC AE ∴3ABCABESS又∵5AB AD ∴515ADEABEABCSSS，∴1515ABCADESS．【巩固】如图，三角形ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，4BD DC ，3BE，6AE，乙部分面积是甲部分面积的几倍？乙甲E D CBAABCDE甲乙【解析】连接AD ．∵3BE ，6AE ∴3AB BE ，3ABDBDES S又∵4BD DC ，∴2ABCABDSS，∴6ABCBDE SS ，5S S 乙甲．【例2】如图在ABC △中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且:5:2AB AD，:3:2AE EC ，12ADE S △平方厘米，求ABC △的面积．EDC B A EDCB A【解析】连接BE ，::2:5(23):(53)ADE ABES S AD AB △△::3:(32)(35):(32)5ABE ABCS S AE AC△△，所以:(32):5(32)6:25ADE ABC S S △△，设6ADES △份，则25ABCS △份，12ADES △平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，ABC △的面积是50平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比【例3】如图所示，在平行四边形ABCD 中，E 为AB 的中点，2AFCF ，三角形AFE(图中阴影部分)的面积为8平方厘米．平行四边形的面积是多少平方厘米？EFDCBA【解析】连接FB ．三角形AFB 面积是三角形CFB 面积的2倍，而三角形AFB 面积是三角形AEF 面积的2倍，所以三角形ABC 面积是三角形AEF 面积的3倍；又因为平行四边形的面积是三角形ABC 面积的2倍，所以平行四边形的面积是三角形AFE 面积的326（）倍．因此，平行四边形的面积为8648(平方厘米)．【例4】已知DEF △的面积为7平方厘米，,2,3BECE AD BD CF AF ，求ABC △的面积．FED CBA【解析】:():()(11):(23)1:6BDE ABCS S BD BE BA BC △△，:():()(13):(24)3:8CEF ABC S S CE CF CB CA △△:():()(21):(34)1:6ADF ABC S S ADAF ABAC △△设24ABCS △份，则4BDES △份，4ADF S △份，9CEFS △份，244497DEFS △份，恰好是7平方厘米，所以24ABCS △平方厘米【例5】如图，三角形ABC 的面积为3平方厘米，其中:2:5AB BE，:3:2BC CD，三角形BDE 的面积是多少？AB EC DDC EB A【解析】由于180ABC DBE，所以可以用共角定理，设2AB 份，3BC份，则5BE 份，325BD 份，由共角定理:():()(23):(55)6:25ABC BDES S ABBC BE BD △△，设6ABCS △份，恰好是3平方厘米，所以1份是0.5平方厘米，25份就是250.512.5平方厘米，三角形BDE 的面积是12.5平方厘米【例6】(2007年”走美”五年级初赛试题)如图所示，正方形ABCD 边长为6厘米，13AEAC ，13CF BC ．三角形DEF 的面积为_______平方厘米．FED C BA【解析】由题意知13AEAC 、13CFBC ，可得23CEAC ．根据”共角定理”可得，:():()12:(33)2:9CEF ABC S S CF CE CB AC △△；而66218ABCS △；所以4CEF S △；同理得，:2:3CDE ACD S S △△;，183212CDE S △，6CDF S △故412610DEFCEFDECDFCS S S S △△△△(平方厘米)．【例7】如图，已知三角形ABC 面积为1，延长AB 至D ，使BD AB ；延长BC 至E ，使2CEBC ；延长CA 至F ，使3AF AC ，求三角形DEF 的面积．F EDCB A AB CDEF【解析】(法1)本题是性质的反复使用．连接AE 、CD ．∵11ABC DBC S S ，1ABCS ，∴S1DBC．同理可得其它，最后三角形DEF 的面积18．(法2)用共角定理∵在ABC 和CFE 中，ACB 与FCE 互补，∴111428ABC FCES AC BC SFC CE ．又1ABCS，所以8FCES．同理可得6ADFS ，3BDES．所以186318DEFABCFCEADFBDESS SSS．【例8】如图，平行四边形ABCD ，BE AB ，2CF CB ，3GD DC ，4HA AD ，平行四边形ABCD 的面积是2，求平行四边形ABCD 与四边形EFGH 的面积比．HGAB CD EFHGA B CDEF【解析】连接AC 、BD ．根据共角定理∵在ABC △和BFE △中，ABC 与FBE 互补，∴111133ABC FBES AB BC S BE BF△△．又1ABC S △，所以3FBES △．同理可得8GCF S △，15DHGS △，8AEH S △．所以8815+3+236EFGH AEH CFG DHGBEFABCDS S S S S S △△△△．所以213618ABCD EFGHS S ．【例9】如图，四边形EFGH 的面积是66平方米，EAAB ，CBBF ，DCCG ，HD DA ，求四边形ABCD 的面积．H GFED CB A A BCDEFG H 【解析】连接BD ．由共角定理得:():()1:2BCD CGFS S CD CB CGCF △△，即2CGFCDBS S △△同理:1:2ABD AHE S S △△，即2AHE ABDS S △△所以2()2AHECGFCBDADB ABCDS S S S S △△△△四边形连接AC ，同理可以得到2DHGBEFABCDS S S △△四边形5AHECGFHDGBEFEFGHABCDABCDS S S S S S S △△△△四边形四边形四边形所以66513.2ABCDS 四边形平方米【例10】如图，将四边形ABCD 的四条边AB 、CB 、CD 、AD 分别延长两倍至点E 、F 、G 、H ，若四边形ABCD 的面积为5，则四边形EFGH 的面积是．A B CD EF GHA B CD EFGH【解析】连接AC 、BD ．由于2BE AB ，2BFBC ，于是4BEFABCS S，同理4HDGADCSS．于是444BEFHDGABC ADCABCD SS S SS ．再由于3AE AB ，3AH AD ，于是9AEHABDSS，同理9CFGCBDSS．于是999AEHCFG ABDCBDABCD SS S S S ．那么491260EFGHBEFHDG AEHCFGABCDABCD ABCDABCDABCDS SSSSS S S S S ．【例11】如图，在ABC △中，延长AB 至D ，使BD AB ，延长BC 至E ，使12CEBC ，F 是AC 的中点，若ABC △的面积是2，则DEF △的面积是多少？A BCDEF【解析】∵在ABC △和CFE △中，ACB 与FCE 互补，∴224111ABC FCES AC BC S FC CE △△．又2ABCS，所以0.5FCES．同理可得2ADF S △，3BDES △．所以20.532 3.5DEFABC CEF DEB ADF S S S S S △△△△△【例12】如图，1ABCS △，5BCBD ，4AC EC ，DGGSSE ，AFFG ．求FGSS．SGF E DCBA 【解析】本题题目本身很简单，但它把本讲的两个重要知识点融合到一起，既可以看作是”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”的反复运用，也可以看作是找点，最妙的是其中包含了找点的3种情况．最后求得FGS S △的面积为4321115432210FGSS △．【例13】如图所示，正方形ABCD 边长为8厘米，E 是AD 的中点，F 是CE 的中点，G 是BF 的中点，三角形ABG 的面积是多少平方厘米？ABCDEF GABCDEF G【解析】连接AF 、EG ．因为218164BCFCDES S △△，根据”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”8AEFS，8EFGS，再根据”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”，得到16BFCS，32ABFE S ，24ABFS，所以12ABGS平方厘米．【例14】四个面积为1的正六边形如图摆放，求阴影三角形的面积．HGFEDCB A【解析】如图，将原图扩展成一个大正三角形DEF ，则AGF 与CEH 都是正三角形．假设正六边形的边长为为a ，则AGF 与CEH 的边长都是4a ，所以大正三角形DEF 的边长为4217，那么它的面积为单位小正三角形面积的49倍．而一个正六边形是由6个单位小正三角形组成的，所以一个单位小正三角形的面积为16，三角形DEF 的面积为496．由于4FAa ，3FBa ，所以AFB 与三角形DEF 的面积之比为43127749．同理可知BDC、AEC与三角形DEF的面积之比都为1249，所以ABC的面积占三角形DEF面积的1213134949，所以ABC的面积的面积为4913136496．【巩固】已知图中每个正六边形的面积都是1，则图中虚线围成的五边形ABCDE的面积是．BDCEA【解析】从图中可以看出，虚线AB和虚线CD外的图形都等于两个正六边形的一半，也就是都等于一个正六边形的面积；虚线BC和虚线DE外的图形都等于一个正六边形的一半，那么它们合起来等于一个正六边形的面积；虚线AE外的图形是两个三角形，从右图中可以看出，每个三角形都是一个正六边形面积的16，所以虚线外图形的面积等于11132363，所以五边形的面积是12103633．。

平面几何图形板块一、经典模型回顾知识点1．共高定理共高定理结论：用途：线段比与面积比之间的相互转化。

鸟头模型结论：用途：根据大面积求小面积。

例1如图，三角形ABC的面积为1，且13 ADAB=，14BE BC=，15CF CA=，则三角形DEF的面积是________。

例2知识点2：蝴蝶模型结论：1．2．S1×S3＝S2×S4用途：借助面积比来反求线段比。

例3如图，将四边形ABCD的四条边AB、CB、CD、AD分别延长两倍至点E、F、G、H，若四边形ABCD的面积为5，则四边形EFGH的面积是。

如图，正方形ABCD的面积是64平方厘米，正方形CEFG的面积是36平方厘米，DF与BG相交于O。

则DBO的面积等于多少平米厘米？知识点3：梯形蝴蝶结论：1．S 2＝S 32．S 1×S 4＝S 22＝S 32 3．4．S 1＝a 2份，S 4＝b 2份，S 2＝S 3＝ab 份；S ＝(a ＋b )2份 用途：梯形中的面积比例关系。

例4知识点4：燕尾定理 结论：用途：推面积间的比例关系。

如图所示，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，对角线AC ，BD 相交于点O ，已知AB ＝5，CD ＝3， 且梯形ABCD 的面积为4，求三角形OAB 的面积。

例5【阶段总结1】1．五大模型分别是什么？各有什么妙用？ 2．每个模型中都应注意的小技巧有哪些？板块二、综合运用（一） 例6如图，ABC△中BD DA =2，CE EB =2，AF FC =2，那么ABC △的面积是阴影三角形面积的__________倍。

三条边长分别为5、12、13的直角三角形如图所示，将它的短直角边对折到斜边上去，与斜边相重合，问图中阴影部分的面积是多少？例7如图，在△ABC中，△AEO的面积是1，△ABO的面积是2，△BOD的面积是3，则四边形DCEO的面积是多少？例8如图所示，长方形ABCD内部的阴影部分的面积之和为70，AB＝8，AD＝15，四边形EFGO 的面积为______。

小学奥数-几何五大模型(鸟头模型).模型二 鸟头模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上如图 2)， 则:():()ABCADES S AB AC AD AE =⨯⨯△△三角形等高模型与鸟头模型EDCBAEDCBA图⑴ 图⑵【例 1】如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB =，:4:7AE AC =，16ADES=△平方厘米，求ABC △的面积． EDCBAEDCBA【解析】连接BE ，::2:5(24):(54)ADEABESS AD AB ===⨯⨯△△，::4:7(45):(75)ABE ABC S S AE AC ===⨯⨯△△，所以:(24):(75)ADEABC SS =⨯⨯△△，设8ADES=△份，则35ABCS=△份，16ADES=△平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，ABC △的面积是70平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 ．【巩固】如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形ADE 的面积等于1，那么三角形ABC 的面积是多少？EDCBAABCDE【解析】连接BE ．∵3EC AE = ∴3ABCABESS =V V又∵5AB AD = ∴515ADEABE ABC SS S =÷=÷V V V ，∴1515ABCADE SS ==V V ．【巩固】如图，三角形ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，4BD DC ==，3BE =，6AE =，乙部分面积是甲部分面积的几倍？乙甲E DCBAABCDE 甲乙【解析】 连接AD ．∵3BE =，6AE = ∴3AB BE =，3ABDBDES S =V V又∵4BD DC ==，∴2ABCABDSS =V V ，∴6ABCBDESS =V V ，5SS =乙甲．【例 2】如图在ABC △中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且:5:2AB AD =，:3:2AE EC =，12ADES=△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBAEDCBA【解析】连接BE ，::2:5(23):(53)ADEABESS AD AB ===⨯⨯△△[]::3:(32)(35):(32)5ABE ABC S S AE AC ==+=⨯+⨯△△， 所以[]:(32):5(32)6:25ADEABC S S =⨯⨯+=△△，设6ADES=△份，则25ABCS=△份，12ADES=△平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，ABC △的面积是50平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比【例 3】如图所示，在平行四边形ABCD 中，E 为AB 的中点，2AF CF =，三角形AFE (图中阴影部分)的面积为8平方厘米．平行四边形的面积是多少平方厘米？FDBA【解析】 连接FB ．三角形AFB 面积是三角形CFB 面积的2倍，而三角形AFB 面积是三角形AEF 面积的2倍，所以三角形ABC 面积是三角形AEF 面积的3倍；又因为平行四边形的面积是三角形ABC 面积的2倍，所以平行四边形的面积是三角形AFE 面积的326⨯=（）倍．因此，平行四边形的面积为8648⨯=(平方厘米)．【例 4】已知DEF △的面积为7平方厘米，,2,3BE CE AD BD CF AF ===，求ABC △的面积．FED CBA【解析】 :():()(11):(23)1:6BDE ABC S S BD BE BA BC =⨯⨯=⨯⨯=△△，:():()(13):(24)3:8CEF ABC S S CE CF CB CA =⨯⨯=⨯⨯=△△:():()(21):(34)1:6ADF ABC S S AD AF AB AC =⨯⨯=⨯⨯=△△设24ABCS=△份，则4BDES=△份，4ADFS=△份，9CEFS=△份，244497DEF S =---=△份，恰好是7平方厘米，所以24ABCS=△平方厘米【例 5】如图，三角形ABC 的面积为3平方厘米，其中:2:5AB BE =，:3:2BC CD =，三角形BDE 的面积是多少？AB ECDDC EB A【解析】 由于180ABC DBE ︒∠+∠=，所以可以用共角定理，设2AB =份，3BC =份，则5BE =份，325BD =+=份，由共角定理:():()(23):(55)6:25ABC BDE S S AB BC BE BD =⨯⨯=⨯⨯=△△，设6ABCS=△份，恰好是3平方厘米，所以1份是0.5平方厘米，25份就是250.512.5⨯=平方厘米，三角形BDE 的面积是12.5平方厘米【例 6】(2007年”走美”五年级初赛试题)如图所示，正方形ABCD 边长为6厘米，13AE AC =，13CF BC =．三角形DEF 的面积为_______平方厘米．ECA【解析】由题意知13AE AC =、13CF BC =，可得23CE AC =．根据”共角定理”可得，():():()12:(33)2:9CEF ABC S S CF CE CB AC =⨯⨯=⨯⨯=△△；而66218ABCS =⨯÷=△；所以4CEFS=△；同理得，:2:3CDEACD SS =△△;，183212CDES=÷⨯=△，6CDF S =△故412610DEFCEF DEC DFC SS S S =+-=+-=△△△△(平方厘米)．【例 7】如图，已知三角形ABC 面积为1，延长AB 至D ，使BD AB =；延长BC 至E ，使2CE BC =；延长CA 至F ，使3AF AC =，求三角形DEF 的面积．FEDCB AA BCDEF【解析】 (法1)本题是性质的反复使用．连接AE 、CD ．∵11ABCDBCSS=V V ，1ABCS=V ，∴S1DBC=V ．同理可得其它，最后三角形DEF 的面积18=． (法2)用共角定理∵在ABC V 和CFE V 中，ACB ∠与FCE ∠互补， ∴111428ABC FCESAC BC SFC CE ⋅⨯===⋅⨯V V ．又1ABCS=V ，所以8FCES=V ．同理可得6ADFS =V ，3BDES=V ．所以186318DEFABC FCE ADF BDE SS S S S =+++=+++=V V V V V ．【例 8】如图，平行四边形ABCD ，BE AB =，2CF CB =，3GD DC =，4HA AD =，平行四边形ABCD 的面积是2， 求平行四边形ABCD 与四边形EFGH 的面积比．HGAB CD EFHGAB CD EF【解析】 连接AC 、BD ．根据共角定理∵在ABC △和BFE △中，ABC ∠与FBE ∠互补，∴111133ABC FBESAB BC SBE BF ⋅⨯===⋅⨯△△．又1ABCS=△，所以3FBES=△．同理可得8GCFS =△，15DHGS=△，8AEHS=△．所以8815+3+236EFGHAEH CFG DHG BEF ABCD SS S S S S =++++=++=△△△△．所以213618ABCD EFGHSS==．【例 9】如图，四边形EFGH 的面积是66平方米，EA AB =，CB BF =，DC CG =，HD DA =，求四边形ABCD 的面积．H GFED CB AA B CDEGH【解析】 连接BD ．由共角定理得:():()1:2BCDCGF SS CD CB CG CF =⨯⨯=△△，即2CGF CDBS S =△△同理:1:2ABDAHE S S =△△，即2AHEABDSS =△△ 所以2()2AHECGF CBD ADB ABCDSS S S S +=+=△△△△四边形连接AC ，同理可以得到2DHGBEF ABCDS S S +=△△四边形 5AHE CGF HDG BEF EFGH ABCD ABCDS S S S S S S =++++=△△△△四边形四边形四边形所以66513.2ABCDS=÷=四边形平方米【例 10】如图，将四边形ABCD 的四条边AB 、CB 、CD 、AD 分别延长两倍至点E 、F 、G 、H ，若四边形ABCD 的面积为5，则四边形EFGH 的面积是 ．A B CD E F GHA B CD EF GH【解析】连接AC 、BD ．由于2BE AB =，2BF BC =，于是4BEFABCS S ∆∆=，同理4HDGADCSS ∆∆=． 于是444BEFHDG ABC ADC ABCDS S S S S ∆∆∆∆+=+=．再由于3AE AB =，3AH AD =，于是9AEHABDSS ∆∆=，同理9CFGCBDSS ∆∆=．于是999AEHCFG ABD CBD ABCDS S S S S ∆∆∆∆+=+=．那么491260EFGH BEF HDG AEH CFG ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD S S S S S S S S S S ∆∆∆∆=+++-=+-==．【例 11】如图，在ABC △中，延长AB 至D ，使BD AB =，延长BC 至E ，使12CE BC =，F 是AC 的中点，若ABC △的面积是2，则DEF △的面积是多少？A BCDEF【解析】∵在ABC △和CFE △中，ACB ∠与FCE ∠互补，∴224111ABC FCESAC BC SFC CE ⋅⨯===⋅⨯△△．又2ABCS=V ，所以0.5FCES=V ．同理可得2ADFS =△，3BDES=△．所以20.532 3.5DEFABC CEF DEB ADF SS S S S =++-=++-=△△△△△【例 12】如图，1ABCS=△，5BC BD =，4AC EC =，DG GS SE ==，AF FG =．求FGSS V ．SGF E DCBA【解析】 本题题目本身很简单，但它把本讲的两个重要知识点融合到一起，既可以看作是”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”的反复运用，也可以看作是找点，最妙的是其中包含了找点的3种情况．最后求得FGSS△的面积为4321115432210FGSS=⨯⨯⨯⨯=△．【例 13】如图所示，正方形ABCD 边长为8厘米，E 是AD 的中点，F是CE 的中点，G 是BF 的中点，三角形ABG 的面积是多少平方厘米？ABCD EF GABCDEF G【解析】连接AF 、EG ．因为218164BCFCDE SS ==⨯=△△，根据”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”8AEFS=V ，8EFGS=V ，再根据”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”，得到16BFCS =V ，32ABFES=，24ABFS=V ，所以12ABGS=V 平方厘米．【例 14】四个面积为1的正六边形如图摆放，求阴影三角形的面积．GFCB【解析】 如图，将原图扩展成一个大正三角形DEF ，则AGF ∆与CEH∆都是正三角形．假设正六边形的边长为为a ，则AGF ∆与CEH ∆的边长都是4a ，所以大正三角形DEF 的边长为4217⨯-=，那么它的面积为单位小正三角形面积的49倍．而一个正六边形是由6个单位小正三角形组成的，所以一个单位小正三角形的面积为16，三角形DEF的面积为496． 由于4FA a =，3FB a =，所以AFB ∆与三角形DEF 的面积之比为43127749⨯=． 同理可知BDC ∆、AEC ∆与三角形DEF 的面积之比都为1249，所以ABC ∆的面积占三角形DEF 面积的1213134949-⨯=，所以ABC ∆的面积的面积为4913136496⨯=．【巩固】已知图中每个正六边形的面积都是1，则图中虚线围成的五边形ABCDE 的面积是 ．B DCEA【解析】 从图中可以看出，虚线AB 和虚线CD 外的图形都等于两个正六边形的一半，也就是都等于一个正六边形的面积；虚线BC 和虚线DE 外的图形都等于一个正六边形的一半，那么它们合起来等于一个正六边形的面积；虚线AE 外的图形是两个三角形，从右图中可以看出，每个三角形都是一个正六边形面积的16，所以虚线外图形的面积等于11132363⨯+⨯=，所以五边形的面积是12103633-=．。

鸟头模型，是平面图形中常用的五个模型之一，其特点是通过边与面积的关系来解决问题。

对于初学者来说，最重要的是理解什么是鸟头模型并熟记它的特征。

一、鸟头模型的相关知识1.定义：两个三角形中有一个角相等或互补（相加等于180度），这两个三角形就叫共角三角形。

这个模型就叫鸟头模型。

其中存在的比例关系就叫做共角定理。

2.核心：比例模型有：二、鸟头模型的原理剖析三、鸟头模型的方法运用鸟头模型解题四部曲：第一步：观察：图中是否有鸟头模型第二步：构造：鸟头模型第三步：假设：线段长度或图形面积第四步：转化：将假设的未知数转化到鸟头模型中计算例1：如图，已知AD:BD=2:3，AE:EC=3:1，三角形ADE的面积是6平方厘米，求三角形ABC的面积?第一步：标条件第二步：确定等角位置A小夹边AD×AE(小夹边指的是：小三角形夹着等角A的两边)大夹边AB×AC第三步：利用鸟头模型结论S△ADE：S△ABC=小夹边乘积:大夹边乘积=(2×3):(5×4)=6:20=3:103:10的意思是：三角形ADE的面积是3份，三角形ABC的面积是10份。

第四步：先除后乘算面积三角形ADE的面积是6平方厘米，对应3份，6÷3=2平方厘米/份;所求三角形ABC的面积是10份，2×10=20平方厘米。

例2：如图，已知BC：CD=5:2，AE:EC=1:1，三角形ABC的面积是20平方厘米，求三角形CDE 的面积?第一步：标条件第二步：确定补角位置C小夹边CD×CE(小夹边指的是：小三角形夹着补角C的两边)大夹边CA×CB第三步：利用鸟头模型结论S△CDE：S△ABC=小夹边乘积：大夹边乘积=(2×1):(2×5)=2:10=1:51:5的意思是：三角形CDE的面积是1份，三角形ABC的面积是5份。

第四步：先除后乘算面积三角形ABC的面积是20平方厘米，对应5份，20÷5=4平方厘米/份;所求三角形CDE的面积是1份，4×1=4平方厘米。

模型二 鸟头模型如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上如图 2)， 则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△EDCBAEDCB A图⑴ 图⑵【例 1】 如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB =，:4:7AE AC =，16ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBAEDCBA【解析】 连接BE ，::2:5(24):(54)ADE ABE S S AD AB ===⨯⨯△△，::4:7(45):(75)ABE ABC S S AE AC ===⨯⨯△△，所以:(24):(75)ADE ABC S S =⨯⨯△△，设8ADE S =△份，则35ABC S =△份，16ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，ABC △的面积是70平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 ．【巩固】如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形ADE 的面积等于1，那三角形等高模型与鸟头模型么三角形ABC 的面积是多少？EDC B AA B C DE【解析】 连接BE ．∵3EC AE = ∴3ABC ABE S S = 又∵5AB AD =∴515ADE ABE ABC S S S =÷=÷，∴1515ABC ADE S S ==．【巩固】如图，三角形ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，4BD DC ==，3BE =，6AE =，乙部分面积是甲部分面积的几倍？乙甲E DCBAA BCDE甲乙【解析】 连接AD ．∵3BE =，6AE =∴3AB BE =，3ABD BDE S S = 又∵4BD DC ==，∴2ABC ABD S S =，∴6ABC BDES S=，5S S =乙甲．【例 2】 如图在ABC △中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且:5:2AB AD =，:3:2AE EC =，12ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBA EDCBA【解析】 连接BE ，::2:5(23):(53)ADE ABE S S AD AB ===⨯⨯△△[]::3:(32)(35):(32)5ABE ABC S S AE AC ==+=⨯+⨯△△，所以[]:(32):5(32)6:25ADE ABC S S =⨯⨯+=△△，设6ADE S =△份，则25ABC S =△份，12ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，ABC △的面积是50平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比【例 3】 如图所示，在平行四边形ABCD 中，E 为AB 的中点，2AF CF =，三角形AFE (图中阴影部分)的面积为8平方厘米．平行四边形的面积是多少平方厘米？【解析】 连接FB ．三角形AFB 面积是三角形CFB 面积的2倍，而三角形AFB 面积是三角形AEF 面积的2倍，所以三角形ABC 面积是三角形AEF 面积的3倍；又因为平行四边形的面积是三角形ABC 面积的2倍，所以平行四边形的面积是三角形AFE 面积的326⨯=（）倍．因此，平行四边形的面积为8648⨯=(平方厘米)．【例 4】 已知DEF △的面积为7平方厘米，,2,3BE CE AD BD CF AF ===，求ABC △的面积．FED CBA【解析】 :():()(11):(23)1:6BDE ABCS S BD BE BA BC =⨯⨯=⨯⨯=△△，:():()(13):(24)3:8CEF ABC S S CE CF CB CA =⨯⨯=⨯⨯=△△:():()(21):(34)1:6ADF ABC S S AD AF AB AC =⨯⨯=⨯⨯=△△设24ABC S =△份，则4BDE S =△份，4ADF S =△份，9CEF S =△份，244497DEF S =---=△份，恰好是7平方厘米，所以24ABC S =△平方厘米【例 5】 如图，三角形ABC 的面积为3平方厘米，其中:2:5AB BE =，:3:2BC CD =，三角形BDE 的面积是多少？AB EC DDC EB A【解析】 由于180ABC DBE ︒∠+∠=，所以可以用共角定理，设2AB =份，3BC =份，则5BE =份，325BD =+=份，由共角定理:():()(23):(55)6:25ABC BDE S S AB BC BE BD =⨯⨯=⨯⨯=△△，设6ABC S =△份，恰好是3平方厘米，所以1份是0.5平方厘米，25份就是250.512.5⨯=平方厘米，三角形BDE 的面积是12.5平方厘米【例 6】 (2007年”走美”五年级初赛试题)如图所示，正方形ABCD 边长为6厘米，13AE AC =，13CF BC =．三角形DEF 的面积为_______平方厘米．A【解析】 由题意知13AE AC =、13CF BC =，可得23CE AC =．根据”共角定理”可得，():():()12:(33)2:9CEF ABC S S CF CE CB AC =⨯⨯=⨯⨯=△△；而66218ABC S =⨯÷=△；所以4CEF S =△；同理得，:2:3CDE ACD S S =△△;，183212CDE S =÷⨯=△，6CDF S =△ 故412610DEF CEF DEC DFC S S S S =+-=+-=△△△△(平方厘米)．【例 7】 如图，已知三角形ABC 面积为1，延长AB 至D ，使BD AB =；延长BC 至E ，使2CE BC =；延长CA 至F ，使3AF AC =，求三角形DEF 的面积．F EDCB AABCDEF【解析】 (法1)本题是性质的反复使用．连接AE 、CD ． ∵11ABC DBC S S =，1ABC S =， ∴S 1DBC =．同理可得其它，最后三角形DEF 的面积18=．(法2)用共角定理∵在ABC 和CFE 中，ACB ∠与FCE ∠互补， ∴111428ABC FCE S AC BC S FC CE ⋅⨯===⋅⨯． 又1ABCS=，所以8FCES=．同理可得6ADFS =，3BDES=．所以186318DEFABCFCEADFBDESS SS S=+++=+++=．【例 8】 如图，平行四边形ABCD ，BE AB =，2CF CB =，3GD DC =，4HA AD =，平行四边形ABCD 的面积是2， 求平行四边形ABCD 与四边形EFGH 的面积比．HGAB CD EFHGA B CD EF【解析】 连接AC 、BD ．根据共角定理∵在ABC △和BFE △中，ABC ∠与FBE ∠互补，∴111133ABC FBE S AB BC S BE BF ⋅⨯===⋅⨯△△． 又1ABC S =△，所以3FBE S =△．同理可得8GCF S =△，15DHG S =△，8AEH S =△．所以8815+3+236EFGH AEH CFG DHG BEF ABCD S S S S S S =++++=++=△△△△．所以213618ABCD EFGH S S ==．【例 9】 如图，四边形EFGH 的面积是66平方米，EA AB =，CB BF =，DC CG =，HD DA =，求四边形ABCD 的面积．H GFED CBAA BCDEFGH【解析】 连接BD ．由共角定理得:():()1:2BCD CGF S S CD CB CG CF =⨯⨯=△△，即2CGF CDB S S =△△同理:1:2ABD AHE S S =△△，即2AHE ABD S S =△△ 所以2()2AHE CGF CBD ADB ABCD S S S S S +=+=△△△△四边形 连接AC ，同理可以得到2DHG BEF ABCD S S S +=△△四边形5AHE CGF HDG BEF EFGH ABCD ABCD S S S S S S S =++++=△△△△四边形四边形四边形所以66513.2ABCD S =÷=四边形平方米【例 10】 如图，将四边形ABCD 的四条边AB 、CB 、CD 、AD 分别延长两倍至点E 、F 、G 、H ，若四边形ABCD 的面积为5，则四边形EFGH 的面积是 ．A B CD E F GHA B CD EF GH【解析】 连接AC 、BD ．由于2BE AB =，2BF BC =，于是4BEF ABC S S ∆∆=，同理4HDG ADC S S ∆∆=．于是444BEF HDG ABC ADC ABCD S S S S S ∆∆∆∆+=+=．再由于3AE AB =，3AH AD =，于是9AEH ABD S S ∆∆=，同理9CFG CBD S S ∆∆=． 于是999AEH CFG ABD CBD ABCD S S S S S ∆∆∆∆+=+=．那么491260EFGH BEF HDG AEH CFG ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD S S S S S S S S S S ∆∆∆∆=+++-=+-==．【例 11】 如图，在ABC △中，延长AB 至D ，使BD AB =，延长BC 至E ，使12CE BC =，F 是AC 的中点，若ABC △的面积是2，则DEF △的面积是多少？A BCDEF【解析】 ∵在ABC △和CFE △中，ACB ∠与FCE ∠互补，∴224111ABC FCE S AC BC S FC CE ⋅⨯===⋅⨯△△． 又2ABCS=，所以0.5FCES=．同理可得2ADF S =△，3BDE S =△．所以20.532 3.5DEF ABC CEF DEB ADF S S S S S =++-=++-=△△△△△【例 12】 如图，1ABC S =△，5BC BD =，4AC EC =，DG GS SE ==，AF FG =．求FGSS．SGF E DCBA【解析】 本题题目本身很简单，但它把本讲的两个重要知识点融合到一起，既可以看作是”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”的反复运用，也可以看作是找点，最妙的是其中包含了找点的3种情况．最后求得FGS S △的面积为4321115432210FGS S =⨯⨯⨯⨯=△．【例 13】 如图所示，正方形ABCD 边长为8厘米，E 是AD 的中点，F 是CE 的中点，G 是BF 的中点，三角形ABG 的面积是多少平方厘米？ABCD EF GABCDEF G【解析】 连接AF 、EG ．因为218164BCF CDE S S ==⨯=△△，根据”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”8AEF S =，8EFG S =，再根据”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”，得到16BFCS =，32ABFE S =，24ABFS=，所以12ABGS=平方厘米．【例 14】 四个面积为1的正六边形如图摆放，求阴影三角形的面积．【解析】 如图，将原图扩展成一个大正三角形DEF ，则AGF ∆与CEH ∆都是正三角形．假设正六边形的边长为为a ，则AGF ∆与CEH ∆的边长都是4a ，所以大正三角形DEF 的边长为4217⨯-=，那么它的面积为单位小正三角形面积的49倍．而一个正六边形是由6个单位小正三角形组成的，所以一个单位小正三角形的面积为16，三角形DEF 的面积为496．由于4FA a =，3FB a =，所以AFB ∆与三角形DEF 的面积之比为43127749⨯=．同理可知BDC ∆、AEC ∆与三角形DEF 的面积之比都为1249，所以ABC ∆的面积占三角形DEF 面积的1213134949-⨯=，所以ABC ∆的面积的面积为4913136496⨯=．【巩固】已知图中每个正六边形的面积都是1，则图中虚线围成的五边形ABCDE 的面积是 ．B DCEA【解析】 从图中可以看出，虚线AB 和虚线CD 外的图形都等于两个正六边形的一半，也就是都等于一个正六边形的面积；虚线BC 和虚线DE 外的图形都等于一个正六边形的一半，那么它们合起来等于一个正六边形的面积；虚线AE外的图形是两个三角形，从右图中可以看出，每个三角形都是一个正六边形面积的16，所以虚线外图形的面积等于11132363⨯+⨯=，所以五边形的面积是12103633-=．8、这个世界并不是掌握在那些嘲笑者的手中，而恰恰掌握在能够经受得住嘲笑与批忍不断往前走的人手中。

板块一 三角形等高模型我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积=底⨯高2÷从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积． 如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小)； 如果三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小)；这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍，底变为原来的13，则三角形面积与原来的一样．这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状． 在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论： ①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如左图12::S S a b =s 2s 1baDCBA③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图ACD BCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ．④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．板块二 鸟头模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上)， 则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△EDCBADECBA图⑴ 图⑵【例 1】 如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB =，:4:7AE AC =，16ADE S =△平例题精讲4-3-2.三角形等高模型与鸟头模型方厘米，求ABC △的面积．EDCBAEDCBA【考点】三角形的鸟头模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 连接BE ，::2:5(24):(54)ADE ABE S S AD AB ===⨯⨯△△，::4:7(45):(75)ABE ABC S S AE AC ===⨯⨯△△，所以:(24):(75)ADE ABC S S =⨯⨯△△，设8ADE S =△份，则35ABC S =△份，16ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，ABC △的面积是70平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 ．【答案】70【巩固】如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形ADE 的面积等于1，那么三角形ABC 的面积是多少？E DC B A AB C DE【考点】三角形的鸟头模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 连接BE ．∵3EC AE = ∴3ABC ABE S S = 又∵5AB AD =∴515ADE ABE ABC S S S =÷=÷，∴1515ABC ADE S S ==．【答案】15【巩固】如图，三角形ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，4BD DC ==，3BE =，6AE =，乙部分面积是甲部分面积的几倍？乙甲E D CBAA BCDE甲乙【考点】三角形的鸟头模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 连接AD ．∵3BE =，6AE =∴3AB BE =，3ABD BDE S S =又∵4BD DC ==， ∴2ABC ABD S S =，∴6ABCBDESS=，5S S =乙甲．【答案】5【例 2】 如图在ABC △中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且:5:2AB AD =，:3:2AE EC =，12ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．ED CBA EDCBA【考点】三角形的鸟头模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 连接BE ，::2:5(23):(53)ADE ABE S S AD AB ===⨯⨯△△[]::3:(32)(35):(32)5ABE ABC S S AE AC ==+=⨯+⨯△△，所以[]:(32):5(32)6:25ADE ABC S S =⨯⨯+=△△，设6ADE S =△份，则25ABC S =△份，12ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，ABC △的面积是50平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比【答案】50【例 3】 如图所示，在平行四边形ABCD 中，E 为AB 的中点，2AF CF =，三角形AFE(图中阴影部分)的面积为8平方厘米．平行四边形的面积是多少平方厘米？【考点】三角形的鸟头模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 连接FB ．三角形AFB 面积是三角形CFB 面积的2倍，而三角形AFB 面积是三角形AEF 面积的2倍，所以三角形ABC 面积是三角形AEF 面积的3倍；又因为平行四边形的面积是三角形ABC 面积的2倍，所以平行四边形的面积是三角形AFE 面积的326⨯=（）倍．因此，平行四边形的面积为8648⨯=(平方厘米)．【答案】48【例 4】 已知DEF △的面积为7平方厘米，,2,3BE CE AD BD CF AF ===，求ABC △的面积．FED CBA【考点】三角形的鸟头模型 【难度】3星 【题型】解答【解析】:():()(11):(23)1:6BDE ABC S S BD BE BA BC =⨯⨯=⨯⨯=△△，:():()(13):(24)3:8CEF ABC S S CE CF CB CA =⨯⨯=⨯⨯=△△:():()(21):(34)1:6ADF ABC S S AD AF AB AC =⨯⨯=⨯⨯=△△设24ABC S =△份，则4BDE S =△份，4ADF S =△份，9CEF S =△份，244497DEF S =---=△份，恰好是7平方厘米，所以24ABC S =△平方厘米【答案】24【例 5】 如图16-4，已知．AE=15AC ，CD=14BC ，BF=16AB ，那么DEF ABC 三角形的面积三角形的面积等于多少?【考点】三角形的鸟头模型 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】迎春杯，决赛，第一题，9题 【解析】 如下图，连接AD ，BE ，CF.有△ABE ，△ABC 的高相等，面积比为底的比，则有ABE ABCSS=AEAC，所以ABE S =AEAC×ABC S =15ABC S同理有AEF S=AFABABE S ,即=AEF S=15×56ABC S =16ABC S . 类似的还可以得到CDE S =14×45ABC S =15ABC S ，BDF S =16×13ABC S =18ABC S ．所以有DEF S =ABC S -(AEF S +CDE S +BDF S )=(1-16-15-18)ABC S =61120ABC S ． 即DEF ABC 三角形的面积三角形的面积为61120． 【答案】61120【例 6】 如图，三角形ABC 的面积为3平方厘米，其中:2:5AB BE =，:3:2BC CD =，三角形BDE 的面积是多少？AB EC DDC EB A【考点】三角形的鸟头模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 由于180ABC DBE ︒∠+∠=，所以可以用共角定理，设2AB =份，3BC =份，则5BE =份，325BD =+=份，由共角定理:():()(23):(55)6:25ABC BDE S S AB BC BE BD =⨯⨯=⨯⨯=△△，设6ABC S =△份，恰好是3平方厘米，所以1份是0.5平方厘米，25份就是250.512.5⨯=平方厘米，三角形BDE 的面积是12.5平方厘米【答案】12.5【例 7】 如图所示，正方形ABCD 边长为6厘米，13AE AC =，13CF BC =．三角形DEF 的面积为_______平方厘米．EDC3【关键词】走美杯，五年级，初赛【解析】由题意知13AE AC=、13CF BC=，可得23CE AC=．根据”共角定理”可得，():():()12:(33)2:9CEF ABCS S CF CE CB AC=⨯⨯=⨯⨯=△△；而66218ABCS=⨯÷=△；所以4CEFS=△；同理得，:2:3CDE ACDS S=△△;，183212CDES=÷⨯=△，6CDFS=△故412610DEF CEF DEC DFCS S S S=+-=+-=△△△△(平方厘米)．【答案】10【例 8】如图，已知三角形ABC面积为1，延长AB至D，使BD AB=；延长BC至E，使2CE BC=；延长CA至F，使3AF AC=，求三角形DEF的面积．FEDCBA ABCDEF【考点】三角形的鸟头模型【难度】3星【题型】解答【解析】(法1)本题是性质的反复使用．连接AE、CD．∵11ABCDBCSS=，1ABCS=，∴S1DBC=．同理可得其它，最后三角形DEF的面积18=．(法2)用共角定理∵在ABC和CFE中，ACB∠与FCE∠互补，∴111428ABCFCES AC BCS FC CE⋅⨯===⋅⨯．又1ABCS=，所以8FCES=．同理可得6ADFS=，3BDES=．所以186318DEF ABC FCE ADF BDES S S S S=+++=+++=．【答案】18【例 9】如图，把四边形ABCD的各边都延长2倍，得到一个新四边形EFGH如果ABCD的面积是5平方厘米，则EFGH的面积是多少平方厘米?【考点】三角形的鸟头模型【难度】4星【题型】解答【解析】方法一：如下图，连接BD，ED，BG，有EAD、ADB同高，所以面积比为底的比，有2EAD ABD ABDEAS S SAB==．同理36EAH EAD EAD ABDAHS S S SAD===．类似的，还可得6FCG BCDS S=，有()66EAH FCG ABD BCD ABCDS S S S S+=+==30平方厘米．连接AC，AF，HC，还可得6EFB ABCS S=，6DHG ACDS S=，有()66EFBDHG ABC ACD ABCDS S S S S+=+==30平方厘米.有四边形EFGH的面积为EAH,FCG,EFB,DHG,ABCD的面积和，即为30+30+5=65(平方厘米.) 方法二：连接BD，有EAH 、△ABD中∠EAD+∠BAD=180°又夹成两角的边EA、AH，AB、AD的乘积比，EA AHAB AD⨯⨯=2×3=6，所以EAHS=6ABDS．类似的，还可得FCGS=6BCDS，有EAHS+FCGS=6（ABDS+BCDS)=6ABCDS=30平方厘米．连接AC，还可得EFBS=6ABCS，DHGS=6ACDS，有EFBS+DHGS=6（ABCS+ACDS）=6ABCDS=30平方厘米．有四边形EFGH的面积为△EAH，△FCG，△EFB，△DHG，ABCD的面积和，即为30+30+5=65平方厘米．【答案】65【例 10】如图，平行四边形ABCD，BE AB=，2CF CB=，3GD DC=，4HA AD=，平行四边形ABCD的面积是2，求平行四边形ABCD与四边形EFGH的面积比．HGA BCDEFHGA BCDEF【考点】三角形的鸟头模型【难度】4星【题型】解答【解析】连接AC、BD．根据共角定理∵在ABC△和BFE△中，ABC∠与FBE∠互补，∴111133ABCFBES AB BCS BE BF⋅⨯===⋅⨯△△．又1ABCS=△，所以3FBES=△．同理可得8GCFS=△，15DHGS=△，8AEHS=△．所以8815+3+236EFGH AEH CFG DHG BEF ABCDS S S S S S=++++=++=△△△△．所以213618ABCDEFGHSS==．【答案】118【例 11】 如图，四边形EFGH 的面积是66平方米，EA AB =，CB BF =，DC CG =，HD DA =，求四边形ABCD 的面积．H GFED CB A A B CDEFGH【考点】三角形的鸟头模型 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 连接BD ．由共角定理得:():()1:2BCD CGF S S CD CB CG CF =⨯⨯=△△，即2CGF CDB S S =△△同理:1:2ABD AHE S S =△△，即2AHE ABD S S =△△ 所以2()2AHE CGF CBD ADB ABCD S S S S S +=+=△△△△四边形 连接AC ，同理可以得到2DHG BEF ABCD S S S +=△△四边形5AHE CGF HDG BEF EFGH ABCD ABCD S S S S S S S =++++=△△△△四边形四边形四边形所以66513.2ABCD S =÷=四边形平方米【答案】13.2【例 12】 如图，将四边形ABCD 的四条边AB 、CB 、CD 、AD 分别延长两倍至点E 、F 、G 、H ，若四边形ABCD 的面积为5，则四边形EFGH 的面积是 ．A B CD E F GHA B CDEF GH【考点】三角形的鸟头模型 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 连接AC 、BD ．由于2BE AB =，2BF BC =，于是4BEF ABC S S ∆∆=，同理4HDG ADC S S ∆∆=．于是444BEF HDG ABC ADC ABCD S S S S S ∆∆∆∆+=+=．再由于3AE AB =，3AH AD =，于是9AEH ABD S S ∆∆=，同理9CFG CBD S S ∆∆=． 于是999AEH CFG ABD CBD ABCD S S S S S ∆∆∆∆+=+=．那么491260EFGH BEF HDG AEH CFG ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD S S S S S S S S S S ∆∆∆∆=+++-=+-==．【答案】60【例 13】 如图，在ABC △中，延长AB 至D ，使BD AB =，延长BC 至E ，使12CE BC =，F 是AC 的中点，若ABC △的面积是2，则DEF △的面积是多少？A BCDEF【考点】三角形的鸟头模型 【难度】3星 【题型】解答【解析】 ∵在ABC △和CFE △中，ACB ∠与FCE ∠互补，∴224111ABC FCE S AC BC S FC CE ⋅⨯===⋅⨯△△． 又2ABCS=，所以0.5FCES=．同理可得2ADF S =△，3BDE S =△．所以20.532 3.5DEF ABC CEF DEB ADF S S S S S =++-=++-=△△△△△【答案】3.5【例 14】 如图，1ABC S =△，5BC BD =，4AC EC =，DG GS SE ==，AF FG =．求FGSS．SGF E DCBA【考点】三角形的鸟头模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 本题题目本身很简单，但它把本讲的两个重要知识点融合到一起，既可以看作是”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”的反复运用，也可以看作是找点，最妙的是其中包含了找点的3种情况．最后求得FGS S △的面积为4321115432210FGS S =⨯⨯⨯⨯=△．【答案】110【例 15】 如图所示，正方形ABCD 边长为8厘米，E 是AD 的中点，F 是CE 的中点，G 是BF 的中点，三角形ABG 的面积是多少平方厘米？ABCD EF GABC DEF G【考点】三角形的鸟头模型 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 连接AF 、EG ．因为218164BCF CDE S S ==⨯=△△，根据”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”8AEF S =，8EFG S =，再根据”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”，得到16BFCS=，32ABFE S =，24ABF S =，所以12ABG S =平方厘米．【答案】12【例 16】 四个面积为1的正六边形如图摆放，求阴影三角形的面积．【考点】三角形的鸟头模型【难度】4星【题型】解答【解析】如图，将原图扩展成一个大正三角形DEF，则AGF∆与CEH∆都是正三角形．假设正六边形的边长为为a，则AGF∆与CEH∆的边长都是4a，所以大正三角形DEF的边长为4217⨯-=，那么它的面积为单位小正三角形面积的49倍．而一个正六边形是由6个单位小正三角形组成的，所以一个单位小正三角形的面积为16，三角形DEF的面积为496．由于4FA a=，3FB a=，所以AFB∆与三角形DEF的面积之比为4312 7749⨯=．同理可知BDC∆、AEC∆与三角形DEF的面积之比都为1249，所以ABC∆的面积占三角形DEF面积的1213134949-⨯=，所以ABC∆的面积的面积为4913136496⨯=．【答案】13 6【巩固】已知图中每个正六边形的面积都是1，则图中虚线围成的五边形ABCDE的面积是．BDCEA【考点】三角形的鸟头模型【难度】4星【题型】解答【解析】从图中可以看出，虚线AB和虚线CD外的图形都等于两个正六边形的一半，也就是都等于一个正六边形的面积；虚线BC和虚线DE外的图形都等于一个正六边形的一半，那么它们合起来等于一个正六边形的面积；虚线AE外的图形是两个三角形，从右图中可以看出，每个三角形都是一个正六边形面积的16，所以虚线外图形的面积等于11132363⨯+⨯=，所以五边形的面积是12103633-=．【答案】2 6 3【例 17】仅用下图这把刻度尺，最少测量次，就能得出三角形ABC和三角形BCD的面积比。

三角形之鸟头模型共角定理（鸟头模型）两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。

共角三角形的面积比 等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比.如图在△ ABC 中，D,E 分别是AB,AC 上的点如图（或D 、E 分别在BA 、CA 延长线上），则 鼻二AD£ AD AE (夹角两边:S A BC AB AC AB AC即，共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比 例题讲解： 1如图，BD 长12厘米，DC 长4厘米，B 、C 和D 在同一条直线上。

求三角形 ABD 的面积是 三角形ADC 面积的多少倍?2、如右图，已知在厶 ABC 中, BE=3AE CD=2AD 若厶ADE 的面积为1平方厘米.求三角形 ABC3、如图在△ ABC 中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且AB : AD = 5 : 2，AE : EC = 3: 2，S.ADE =12平方厘米，求△ ABC 的面积.的面积.4、如图在 △ ABC 中，D,E 分别是AB,AC 上的点，且 AD : AB =2:5 , AE:AC=4:7 , S A ADE =16平方厘米, 求厶ABC 的面积.【巩固】如图，三角形 ABC 被分成了甲（阴影部分）、乙两部分，BD =DC =4 , BE =3 , AE =6，乙部分面 积是甲部分面积的几倍？5、如图在 △ ABC 中，D 在BA 的延长线上， E 在AC 上，且 AB:AD=5:2 , AE ：EC=3：2 , S AADE =12平方厘米，求 △ ABC的面积.【巩固】如图，三角形 ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形 么三角形ABC 的面积是多少？ADE 的面积等于1，那PD8平方厘米•平行四边形的面积是多少平方厘米?7、已知 △ DEF 的面积为7平方厘米， BE =CE, AD =2BD,CF =3AF ，求 △ ABC 的面积.1 19、（2007年”走美”五年级初赛试题）如图所示，正方形 ABCD 边长为6厘米，AE =1 AC , CF =丄BC •33角形DEF 的面积为 ____________ 平方厘米.10、如图，在三角形ABC 中, D 为BC 的中点，E 为AB 上的一点，且BE,已知四边形EDAC3的面积是35,求三角形ABC 的面积。

鸟头模型练习题互补角藉由数学练习题，我们可以培养我们的推理能力和数学思维。

今天，我们将来讨论一个特定的数学概念：鸟头模型练习题互补角。

在几何学中，互补角是指两个角的度数之和为90度。

我们将使用鸟头模型来解决一些互补角的练习题。

首先，让我们回顾一下鸟头模型。

鸟头模型是一个简单的方法，用来解决几何学中的问题。

这个模型的形状就像一只鸟的头部。

该模型有一个尖端和两个侧边，构成一个直角三角形。

通过将问题转化为鸟头模型，我们可以更容易地解决几何问题。

现在，让我们来看一些具体的练习题。

假设我们有一个鸟头模型，在其中一个角的度数是30度。

我们需要找到与这个角互补的角。

根据互补角的定义，我们知道两个角的度数之和为90度。

所以，我们可以用90度减去这个角的度数，来得到互补角的度数。

在这种情况下，互补角的度数应该是60度。

接下来，让我们看一个稍微复杂一些的例子。

假设我们有一个鸟头模型，其中一个角的度数是45度。

我们需要找到与这个角互补的角。

同样地，我们可以应用互补角的定义，通过将90度减去这个角的度数，来推算出互补角的度数。

在这种情况下，互补角的度数是45度。

通过这些例子，我们可以看到互补角的特点。

无论初始角的度数是多少，它与互补角的度数之和始终为90度。

这是因为互补角的定义规定了这个关系。

除了互补角的性质，我们还可以使用鸟头模型来解决其他几何问题。

例如，如果我们知道两个角是互补角，并且其中一个角的度数是35度，那么我们可以通过90度减去这个角的度数，来找到另一个角的度数。

在这种情况下，另一个角的度数将是55度。

通过将问题转化为鸟头模型，我们可以更轻松地解决几何问题。

总之，鸟头模型是一个有用的工具，可以帮助我们解决几何问题，特别是涉及互补角的问题。

通过将问题转化为鸟头模型，我们可以更好地理解角度之间的关系，并找到正确的解答。

无论是初学者还是经验丰富的数学家，都可以从练习使用鸟头模型来提高他们的几何推理能力。

小学奥数平面几何五种模型（等积，鸟头，蝶形，相似，共边）目标：熟练掌握五大面积模型等积，鸟头，蝶形，相似（含金字塔模型和沙漏模型），共边（含燕尾模型和风筝模型）， 掌握五大面积模型的各种变形知识点拨 一、等积模型①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如右图12::S S a b =③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图ACD BCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ．④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．二、鸟头定理两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．ba S 2S 1DC BA共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△图⑴ 图⑵三、蝶形定理任意四边形中的比例关系(“蝶形定理”)：①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．梯形中比例关系(“梯形蝶形定理”)：①2213::S S a b =②221324::::::S S S S a b ab ab =；③S 的对应份数为()2a b +．四、相似模型(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型A BCDO ba S 3S 2S 1S 4①AD AE DE AFAB AC BC AG===； ②22:ADE ABC S S AF AG =△△：．所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半．相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具．在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形．五、共边定理（燕尾模型和风筝模型）在三角形ABC 中，AD ，BE ，CF 相交于同一点O ，那么::ABO ACO S S BD DC ∆∆=．上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为ABO ∆和ACO ∆的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.OFEDCBA典型例题【例 1】 如图，正方形ABCD 的边长为6，AE =1.5，CF =2．长方形EFGH 的面积为 ．【解析】 连接DE ，DF ，则长方形EFGH 的面积是三角形DEF 面积的二倍．三角形DEF 的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积，66 1.562262 4.54216.5DEF S =⨯-⨯÷-⨯÷-⨯÷=△,所以长方形EFGH 面积为33．【巩固】如图所示，正方形ABCD 的边长为8厘米，长方形EBGF 的长BG 为10厘米，那么长方形的宽为几厘米【解析】 本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)．三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半．_A_B_G_C_E_F _D _A _B_G_C_E _F _D _A _B_C_D _E _F _G _H _H _G _F _E _D _C_B_A证明：连接AG ．(我们通过ABG △把这两个长方形和正方形联系在一起)．∵在正方形ABCD 中，G 12AB S AB AB =⨯⨯△边上的高，∴12ABG ABCD S S =W △(三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半) 同理，12ABG EFGB S S =△．∴正方形ABCD 与长方形EFGB 面积相等． 长方形的宽8810 6.4=⨯÷=(厘米)．【例 2】 长方形ABCD 的面积为362cm ，E 、F 、G 为各边中点，H 为AD 边上任意一点，问阴影部分面积是多少【解析】 解法一：寻找可利用的条件，连接BH 、HC ，如下图：可得：12EHB AHB S S ∆∆=、12FHB CHB S S ∆∆=、12DHG DHCS S ∆∆=，而36ABCD AHB CHB CHD S S S S ∆∆∆=++=即11()361822EHB BHF DHG AHB CHB CHD S S S S S S ∆∆∆∆∆∆++=++=⨯=；而EHB BHF DHG EBFS S S S S ∆∆∆∆++=+阴影，11111()()36 4.522228EBF S BE BF AB BC ∆=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯=．所以阴影部分的面积是：1818 4.513.5EBF S S ∆=-=-=阴影解法二：特殊点法．找H 的特殊点，把H 点与D 点重合，那么图形就可变成右图：这样阴影部分的面积就是DEF ∆的面积，根据鸟头定理，则有：11111113636363613.52222222ABCD AED BEF CFD S S S S S ∆∆∆=---=-⨯⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯=阴影．【巩固】在边长为6厘米的正方形ABCD 内任取一点P ，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，分别与P 点连接,求阴影部分面积．【解析】 （法1）特殊点法．由于P 是正方形内部任意一点，可采用特殊点法，假设P 点与A 点重合，则阴影部分变为如上中图所示，图中的两个阴影三角形的面积分别占正方形面积的14和16，所以阴影部分的面积为2116()1546⨯+=平方厘米．（法2）连接PA 、PC ．由于PAD ∆与PBC ∆的面积之和等于正方形ABCD 面积的一半，所以上、下两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD 面积的14，同理可知左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD 面积的16，所以阴影部分的面积为2116()1546⨯+=平方厘米．【例 3】 如图所示，长方形ABCD 内的阴影部分的面积之和为70，8AB =，15AD =，四边形EFGO 的面积为 ．【解析】 利用图形中的包含关系可以先求出三角形AOE 、DOG 和四边形EFGO 的面积之和，以及三角形AOE 和DOG 的面积之和，进而求出四边形EFGO 的面积．由于长方形ABCD 的面积为158120⨯=，所以三角形BOC 的面积为1120304⨯=，所以三角形AOE 和DOG 的面积之和为312070204⨯-=；又三角形AOE 、DOG 和四边形EFGO 的面积之和为111203024⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭，所以四边形EFGO 的面积为302010-=．另解：从整体上来看，四边形EFGO 的面积=三角形AFC 面积+三角形BFD 面积-白色部分的面积，而三角形AFC 面积+三角形BFD 面积为长方形面积的一半，即60，白色部分的面积等于长方形面积减去阴影部分的面积，即1207050-=，所以四边形的面积为605010-=．【巩固】如图，长方形ABCD 的面积是36，E 是AD 的三等分点，2AE ED =，则阴影部分的面积为 ．【解析】 如图，连接OE ．根据蝶形定理，1:::1:12COE CDE CAE CDE ON ND S S S S ∆∆∆∆===，所以12OEN OED S S ∆∆=；1:::1:42BOE BAE BDE BAE OM MA S S S S ∆∆∆∆===，所以15OEM OEA S S ∆∆=．又11334OED ABCD S S ∆=⨯=矩形，26OEA OED S S ∆∆==，所以阴影部分面积为：1136 2.725⨯+⨯=． 【例 4】 已知ABC 为等边三角形，面积为400，D 、E 、F 分别为三边的中点，已知甲、乙、丙面积和为143，求阴影五边形的面积．(丙是三角形HBC )【解析】 因为D 、E 、F 分别为三边的中点，所以DE 、DF 、EF 是三角形ABC 的中位线，也就与对应的边平行，根据面积比例模型，三角形ABN 和三角形AMC 的面积都等于三角形ABC 的一半，即为200．根据图形的容斥关系，有ABC ABN AMC AMHN S S S S S ∆∆∆-=+-丙，即400 200200AMHN S S -=+-丙，所以AMHN S S =丙．又ADF AMHN S S S S S ∆+=++乙甲阴影，所以1143400434ADF S S S S S ∆=++-=-⨯=乙甲丙阴影．【例 5】 如图，已知5CD =，7DE =，15EF =，6FG =，线段AB 将图形分成两部分，左边部分面积是38，右边部分面积是65，那么三角形ADG 的面积是 ．【解析】 连接AF ，BD ．根据题意可知，571527CF =++=；715628DG =++=；所以，1527BE CBF F S S ∆∆=，1227BE CBF C S S ∆∆=，2128AEG ADG S S ∆∆=，728AED ADG S S ∆∆=，于是：2115652827ADG CBF S S ∆∆+=；712382827ADG CBF S S ∆∆+=； 可得40ADG S ∆=．故三角形ADG 的面积是40．【例 6】 如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB =，:4:7AE AC =，16ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．【解析】 连接BE ，::2:5(24):(54)ADE ABE S S AD AB ===⨯⨯△△，::4:7(45):(75)ABE ABC S S AE AC ===⨯⨯△△，所以:(24):(75)ADE ABC S S =⨯⨯△△，设8ADE S =△份，则35ABC S =△份，16ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，ABC △的面积是70平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 ．【巩固】如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形ADE 的面积等于1，那么三角形ABC 的面积是多少【解析】 连接BE ．∵3EC AE =∴3ABC ABE S S =V V又∵5AB AD =∴515ADE ABE ABC S S S =÷=÷V V V ，∴1515ABC ADE S S ==V V ．【巩固】如图，三角形ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，4BD DC ==，3BE =，6AE =，乙部分面积是甲部分面积的几倍【解析】 连接AD ．∵3BE =，6AE =∴3AB BE =，3ABD BDE S S =V V又∵4BD DC ==，∴2ABC ABD S S =V V ，∴6ABC BDE S S =V V ，5S S =乙甲．【例 7】 如图在ABC △中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且:5:2AB AD =，:3:2AE EC =，12ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．【解析】 连接BE ，::2:5(23):(53)ADE ABE S S AD AB ===⨯⨯△△[]::3:(32)(35):(32)5ABE ABC S S AE AC ==+=⨯+⨯△△，所以[]:(32):5(32)6:25ADE ABC S S =⨯⨯+=△△，设6ADE S =△份，则25ABC S =△份，12ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，ABC △的面积是50平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比【例 8】 如图，平行四边形ABCD ，BE AB =，2CF CB =，3GD DC =，4HA AD =，平行四边形ABCD 的面积是2， 求平行四边形ABCD 与四边形EFGH 的面积比．【解析】 连接AC 、BD ．根据共角定理∵在ABC △和BFE △中，ABC ∠与FBE ∠互补，∴111133ABC FBE S AB BC S BE BF ⋅⨯===⋅⨯△△． 又1ABC S =△，所以3FBE S =△．同理可得8GCF S =△，15DHG S =△，8AEH S =△．所以8815+3+236EFGH AEH CFG DHG BEF ABCD S S S S S S =++++=++=△△△△．所以213618ABCD EFGH S S ==． 【例 9】 如图所示的四边形的面积等于多少【解析】 题目中要求的四边形既不是正方形也不是长方形，难以运用公式直接求面积.我们可以利用旋转的方法对图形实施变换：把三角形OAB 绕顶点O 逆时针旋转，使长为13的两条边重合，此时三角形OAB 将旋转到三角形OCD 的位置.这样，通过旋转后所得到的新图形是一个边长为12的正方形，且这个正方形的面积就是原来四边形的面积.因此，原来四边形的面积为1212144⨯=.(也可以用勾股定理)【例 10】 如图所示，ABC ∆中，90ABC ∠=︒，3AB =，5BC =，以AC 为一边向ABC ∆外作正方形ACDE ，中心为O ，求OBC ∆的面积．【解析】 如图，将OAB ∆沿着O 点顺时针旋转90︒，到达OCF ∆的位置．由于90ABC ∠=︒，90AOC ∠=︒，所以180OAB OCB ∠+∠=︒．而OCF OAB ∠=∠，所以180OCF OCB ∠+∠=︒，那么B 、C 、F 三点在一条直线上．由于OB OF =，90BOF AOC ∠=∠=︒，所以BOF ∆是等腰直角三角形，且斜边BF 为538+=，所以它的面积为218164⨯=．根据面积比例模型，OBC ∆的面积为516108⨯=．【例 11】 如图，以正方形的边AB 为斜边在正方形内作直角三角形ABE ，90AEB ∠=︒，AC 、BD 交于O ．已知AE 、BE 的长分别为3cm 、5cm ，求三角形OBE 的面积．【解析】 如图，连接DE ，以A 点为中心，将ADE ∆顺时针旋转90︒到ABF ∆的位置．那么90EAF EAB BAF EAB DAE ∠=∠+∠=∠+∠=︒，而AEB ∠也是90︒，所以四边形AFBE 是直角梯形，且3AF AE ==，所以梯形AFBE 的面积为：()1353122+⨯⨯=(2cm )． 又因为ABE ∆是直角三角形，根据勾股定理，222223534AB AE BE =+=+=，所以21172ABD S AB ∆==(2cm )． 那么()17125BDE ABD ABE ADE ABD AFBE S S S S S S ∆∆∆∆∆=-+=-=-=(2cm )，所以12.52OBE BDE S S ∆∆==(2cm )． 【例 12】 如下图，六边形ABCDEF 中，AB ED =，AF CD =，BC EF =，且有AB 平行于ED ，AF 平行于CD ，BC 平行于EF ，对角线FD 垂直于BD ，已知24FD =厘米，18BD =厘米，请问六边形ABCDEF 的面积是多少平方厘米【解析】 如图，我们将BCD ∆平移使得CD 与AF 重合，将DEF ∆平移使得ED 与AB 重合，这样EF 、BC 都重合到图中的AG 了．这样就组成了一个长方形BGFD ，它的面积与原六边形的面积相等，显然长方形BGFD 的面积为2418432⨯=平方厘米，所以六边形ABCDEF 的面积为432平方厘米．【例 13】 如图，三角形ABC 的面积是1，E 是AC 的中点，点D 在BC 上，且:1:2BD DC =，AD 与BE 交于点F ．则四边形DFEC 的面积等于 ．【解析】 方法一：连接CF ，根据燕尾定理，12ABF ACF S BD S DC ==△△，1ABF CBF S AE S EC ==△△, 设1BDF S =△份，则2DCF S =△份，3ABF S =△份，3AEF EFC S S ==△△份，如图所标所以551212DCEF ABC S S ==△ 方法二：连接DE ，由题目条件可得到1133ABD ABCS S ==△△， 11212233ADE ADC ABC S S S ==⨯=△△△，所以11ABD ADES BF FE S ==△△，111111122323212DEF DEB BEC ABC S S S S =⨯=⨯⨯=⨯⨯⨯=△△△△，而211323CDE ABC S S =⨯⨯=△△．所以则四边形DFEC 的面积等于512．【巩固】如图，长方形ABCD 的面积是2平方厘米，2EC DE =，F 是DG 的中点．阴影部分的面积是多少平方厘米?【解析】 设1DEF S =△份，则根据燕尾定理其他面积如图所示551212BCD S S ==△阴影平方厘米.【例 14】 四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O (如图所示)．如果三角形ABD 的面积等于三角形BCD 的面积的13，且2AO =，3DO =，那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍．【解析】 在本题中，四边形ABCD 为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形．看到题目中给出条件:1:3ABD BCD S S =V V ，这可以向模型一蝶形定理靠拢，于是得出一种解法．又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”，于是可以作AH 垂直BD 于H ，CG 垂直BD 于G ，面积比转化为高之比．再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果．请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝶形定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝶形定理解决问题．解法一：∵::1:3ABD BDC AO OC S S ∆∆==，∴236OC =⨯=，∴:6:32:1OC OD ==．解法二：作AH BD ⊥于H ，CG BD ⊥于G ．∵13ABDBCD S S ∆∆=，∴13AH CG =，∴13AODDOC S S ∆∆=， ∴13AO CO =，∴236OC =⨯=，∴:6:32:1OC OD ==．【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：⑴三角形BGC 的面积；⑵:AG GC =【解析】 ⑴根据蝶形定理，123BGC S ⨯=⨯V ，那么6BGC S =V ；⑵根据蝶形定理，()():12:361:3AG GC =++=．【例 15】 如图，平行四边形ABCD 的对角线交于O 点，CEF △、OEF △、ODF △、BOE△的面积依次是2、4、4和6．求：⑴求OCF △的面积；⑵求GCE △的面积．【解析】 ⑴根据题意可知，BCD △的面积为244616+++=，那么BCO △和CDO ∆的面积都是1628÷=，所以OCF △的面积为844-=；⑵由于BCO △的面积为8，BOE △的面积为6，所以OCE △的面积为862-=，根据蝶形定理，::2:41:2COE COF EG FG S S ∆∆===，所以::1:2GCE GCF S S EG FG ∆∆==，那么11221233GCE CEF S S ∆∆==⨯=+． 【例 16】 如图，长方形ABCD 中，:2:3BE EC =，:1:2DF FC =，三角形DFG 的面积为2平方厘米，求长方形ABCD 的面积．【解析】 连接AE ，FE ．因为:2:3BE EC =，:1:2DF FC =，所以3111()53210DEF ABCD ABCD S S S =⨯⨯=V 长方形长方形．因为12AED ABCD S S =V 长方形，11::5:1210AG GF ==，所以510AGD GDF S S ==V V 平方厘米，所以12AFDS =V 平方厘米．因为16AFD ABCD S S =V 长方形，所以长方形ABCD 的面积是72平方厘米．【例 17】 如图，正方形ABCD 面积为3平方厘米，M 是AD 边上的中点．求图中阴影部分的面积．【解析】 因为M 是AD 边上的中点，所以:1:2AM BC =，根据梯形蝶形定理可以知道22:::1:12:12:21:2:2:4AMG ABG MCG BCG S S S S =⨯⨯=△△△△（）（），设1AGM S =△份，则123MCD S =+=△ 份，所以正方形的面积为1224312++++=份，224S =+=阴影份，所以:1:3S S =阴影正方形，所以1S =阴影平方厘米．【巩固】在下图的正方形ABCD 中，E 是BC 边的中点，AE 与BD 相交于F 点，三角形BEF 的面积为1平方厘米，那么正方形ABCD 面积是 平方厘米．【解析】 连接DE ，根据题意可知:1:2BE AD =，根据蝶形定理得2129S =+=梯形（）(平方厘米)，3ECD S =△(平方厘米)，那么12ABCD S =W (平方厘米)．【例 18】 已知ABCD 是平行四边形，:3:2BC CE =，三角形ODE 的面积为6平方厘米．则阴影部分的面积是 平方厘米．【解析】 连接AC ．由于ABCD 是平行四边形，:3:2BC CE =，所以:2:3CE AD =，根据梯形蝶形定理，22:::2:23:23:34:6:6:9COE AOC DOE AOD S S S S =⨯⨯=V V V V ，所以6AOC S =V (平方厘米)，9AOD S =V (平方厘米)，又6915ABC ACD S S ==+=V V (平方厘米)，阴影部分面积为61521+=(平方厘米)．【巩固】右图中ABCD 是梯形，ABED 是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是 平方厘米．【分析】 连接AE ．由于AD 与BC 是平行的，所以AECD 也是梯形，那么OCD OAE S S ∆∆=．根据蝶形定理，4936OCD OAE OCE OAD S S S S ∆∆∆∆⨯=⨯=⨯=，故236OCD S ∆=，所以6OCD S ∆=(平方厘米)．【巩固】右图中ABCD 是梯形，ABED 是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是 平方厘米．【解析】 连接AE ．由于AD 与BC 是平行的，所以AECD 也是梯形，那么OCD OAE S S ∆∆=．根据蝶形定理，2816OCD OAE OCE OAD S S S S ∆∆∆∆⨯=⨯=⨯=，故216OCD S ∆=，所以4OCD S ∆=(平方厘米)．另解：在平行四边形ABED 中，()111681222ADE ABED S S ∆==⨯+=Y (平方厘米)，所以1284AOE ADE AOD S S S ∆∆∆=-=-=(平方厘米)，根据蝶形定理，阴影部分的面积为8244⨯÷=(平方厘米)．【例 19】 如图，长方形ABCD 被CE 、DF 分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形OFBC 的面积为___________平方厘米．【解析】 连接DE 、CF ．四边形EDCF 为梯形，所以EOD FOC S S ∆=V ，又根据蝶形定理，EOD FOC EOF COD S S S S ∆∆∆∆⋅=⋅，所以2816EOD FOC EOF COD S S S S ∆∆∆∆⋅=⋅=⨯=，所以4EOD S ∆=(平方厘米)，4812ECD S ∆=+=(平方厘米)．那么长方形ABCD 的面积为12224⨯=平方厘米，四边形OFBC 的面积为245289---=(平方厘米)．【例 20】 如图，ABC ∆是等腰直角三角形，DEFG 是正方形，线段AB 与CD 相交于K 点．已知正方形DEFG 的面积48，:1:3AK KB =，则BKD ∆的面积是多少【解析】 由于DEFG 是正方形，所以DA 与BC 平行，那么四边形ADBC 是梯形．在梯形ADBC 中，BDK ∆和ACK ∆的面积是相等的．而:1:3AK KB =，所以ACK ∆的面积是ABC ∆面积的11134=+，那么BDK ∆的面积也是ABC ∆面积的14． 由于ABC ∆是等腰直角三角形，如果过A 作BC 的垂线，M 为垂足，那么M 是BC 的中点，而且AM DE =，可见ABM ∆和ACM ∆的面积都等于正方形DEFG 面积的一半，所以ABC ∆的面积与正方形DEFG 的面积相等，为48．那么BDK ∆的面积为148124⨯=．【例 21】 下图中，四边形ABCD 都是边长为1的正方形，E 、F 、G 、H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分数mn，那么，()m n +的值等于 ． 【解析】 左、右两个图中的阴影部分都是不规则图形，不方便直接求面积，观察发现两个图中的空白部分面积都比较好求，所以可以先求出空白部分的面积，再求阴影部分的面积．如下图所示，在左图中连接EG ．设AG 与DE 的交点为M ．左图中AEGD 为长方形，可知AMD ∆的面积为长方形AEGD 面积的14，所以三角形AMD 的面积为21111248⨯⨯=．又左图中四个空白三角形的面积是相等的，所以左图中阴影部分的面积为111482-⨯=．如上图所示，在右图中连接AC 、EF ．设AF 、EC 的交点为N ．可知EF ∥AC 且2AC EF =．那么三角形BEF 的面积为三角形ABC 面积的14，所以三角形BEF 的面积为21111248⨯⨯=，梯形AEFC 的面积为113288-=．在梯形AEFC 中，由于:1:2EF AC =，根据梯形蝶形定理，其四部分的面积比为：221:12:12:21:2:2:4⨯⨯=，所以三角形EFN 的面积为3118122424⨯=+++，那么四边形BENF 的面积为1118246+=．而右图中四个空白四边形的面积是相等的，所以右图中阴影部分的面积为111463-⨯=．那么左图中阴影部分面积与右图中阴影部分面积之比为11:3:223=，即32m n =， 那么325m n +=+=．【例 22】 如图， ABC △中，DE ，FG ，BC 互相平行，AD DF FB ==，则::ADE DEGF FGCB S S S =△四边形四边形 ．【解析】 设1ADE S =△份，根据面积比等于相似比的平方，所以22::1:4ADE AFG S S AD AF ==△△，22::1:9ADE ABC S S AD AB ==△△，因此4AFG S =△份，9ABC S =△份，进而有3DEGF S =四边形份，5FGCB S =四边形份，所以::1:3:5ADE DEGF FGCB S S S =△四边形四边形【巩固】如图，DE 平行BC ，且2AD =，5AB =，4AE =，求AC 的长．【解析】 由金字塔模型得:::2:5AD AB AE AC DE BC ===，所以42510AC =÷⨯=【巩固】如图， ABC △中，DE ，FG ，MN ，PQ ，BC 互相平行，Q E GNMF PADCBAD DF FM MP PB ====，则::::ADE DEGF FGNM MNQP PQCB S S S S S =△四边形四边形四边形四边形 ．【解析】 设1ADE S =△份，22::1:4ADE AFG S S AD AF ==△△，因此4AFG S =△份，进而有3DEGF S =四边形份，同理有5FGNM S =四边形份，7MNQP S =四边形份，9PQCB S =四边形份．所以有【例 23】 如图，已知正方形ABCD 的边长为4，F 是BC 边的中点，E 是DC 边上的点，且:1:3DE EC =，AF 与BE 相交于点G ，求ABG S △【解析】 方法一：连接AE ，延长AF ，DC 两条线交于点M ，构造出两个沙漏，所以有::1:1AB CM BF FC ==，因此4CM =，根据题意有3CE =，再根据另一个沙漏有::4:7GB GE AB EM ==，所以4432(442)471111ABG ABE S S ==⨯⨯÷=+△△． 方法二：连接,AE EF，分别求4224ABF S =⨯÷=△，4441232247AEF S =⨯-⨯÷-⨯÷-=△，根据蝶形定理::4:7ABF AEF S S BG GE ==△△，所以4432(442)471111ABG ABE S S ==⨯⨯÷=+△△． 【例 24】 如图所示，已知平行四边形ABCD 的面积是1，E 、F 是AB 、AD 的中点， BF交EC 于M ，求BMG ∆的面积．【解析】 解法一：由题意可得，E 、F 是AB 、AD 的中点，得//EF BD ，而::1:2FD BC FH HC ==，::1:2EB CD BG GD ==所以::2:3CH CF GH EF ==，并得G 、H 是BD 的三等分点，所以BG GH =，所以::2:3BG EF BM MF ==，所以25BM BF =，11112224BFD ABD ABCD S S S ∆∆==⨯=Y ；又因为13BG BD =，所以1212113535430BMG BFD S S ∆∆=⨯⨯=⨯⨯=．解法二：延长CE 交DA 于I ，如右图，可得，::1:1AI BC AE EB ==，从而可以确定M 的点的位置，::2:3BM MF BC IF ==，25BM BF =，13BG BD =(鸟头定理)，可得2121115353430BMG BDF ABCD S S S ∆∆=⨯=⨯⨯=Y 【例 25】 如图，ABCD 为正方形，1cm AM NB DE FC ====且2cm MN =，请问四边形PQRS的面积为多少【解析】 (法1)由//AB CD ，有MP PCMN DC=，所以2PC PM =，又MQ MB QC EC =，所以 12MQ QC MC ==，所以111236PQ MC MC MC =-=，所以SPQR S 占AMCF S 的16，所以121(112)63SPQR S =⨯⨯++=2(cm )． (法2)如图，连结AE ，则14482ABE S ∆=⨯⨯=(2cm )，而RB ER AB EF =，所以2RB AB EF EF ==，22168333ABR ABE S S ∆∆==⨯=(2cm )．而1134322MBQ ANS S S ∆∆==⨯⨯⨯=(2cm )，因为MN MPDC PC=， 所以13MP MC =，则11424233MNP S ∆=⨯⨯⨯=(2cm )，阴影部分面积等于164233333ABR ANS MBQ MNP S S S S ∆∆∆∆--+=--+=(2cm )． 【例 26】 如右图，三角形ABC 中，:4:9BD DC =，:4:3CE EA =，求:AF FB ．【解析】 根据燕尾定理得::4:912:27AOB AOC S S BD CD ===△△（都有AOB △的面积要统一，所以找最小公倍数）所以:27:16:AOC BOC S S AF FB ==△△【点评】本题关键是把AOB △的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！【巩固】如右图，三角形ABC 中，:3:4BD DC =，:5:6AE CE =，求:AF FB .【解析】 根据燕尾定理得::3:415:20AOB AOC S S BD CD ===△△（都有AOB △的面积要统一，所以找最小公倍数）所以:20:1810:9:AOC BOC S S AF FB ===△△【巩固】如右图，三角形ABC 中，:2:3BD DC =，:5:4EA CE =，求:AF FB .【解析】 根据燕尾定理得::2:310:15AOB AOC S S BD CD ===△△（都有AOB △的面积要统一，所以找最小公倍数）所以:15:8:AOC BOC S S AF FB ==△△【点评】本题关键是把AOB △的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！【例 27】 如右图，三角形ABC 中，:::3:2AF FB BD DC CE AE ===，且三角形ABC 的面积是1，则三角形ABE 的面积为______，三角形AGE 的面积为________，三角形GHI 的面积为______．【分析】 连接AH 、BI 、CG ．由于:3:2CE AE =，所以25AE AC =，故2255ABE ABC S S ∆∆==；根据燕尾定理，::2:3ACG ABG S S CD BD ∆∆==，::3:2BCG ABG S S CE EA ∆∆==，所以::4:6:9ACG ABG BCG S S S ∆∆∆=，则419ACG S ∆=，919BCG S ∆=； 那么2248551995AGE AGC S S ∆∆==⨯=； 同样分析可得919ACH S ∆=，则::4:9ACG ACH EG EH S S ∆∆==，::4:19ACG ACB EG EB S S ∆∆==，所以::4:5:10EG GH HB =，同样分析可得::10:5:4AG GI ID =，所以5521101055BIE BAE S S ∆∆==⨯=，55111919519GHI BIE S S ∆∆==⨯=． 【巩固】 如右图，三角形ABC 中，:::3:2AF FB BD DC CE AE ===，且三角形GHI 的面积是1，求三角形ABC 的面积．【解析】 连接BG ，AGC S △=6份根据燕尾定理，::3:26:4AGC BGC S S AF FB ===△△，::3:29:6ABG AGC S S BD DC ===△△得4BGC S =△(份)，9ABG S =△(份)，则19ABC S =△(份)，因此619AGC ABC S S =△△, 同理连接AI 、CH 得619ABH ABC S S =△△,619BIC ABC S S =△△,所以1966611919GHI ABC S S ---==△△三角形GHI 的面积是1，所以三角形ABC 的面积是19【巩固】如图，ABC ∆中2BD DA =，2CE EB =，2AF FC =，那么ABC ∆的面积是阴影三角形面积的 倍．【分析】 如图，连接AI ．根据燕尾定理，::2:1BCI ACI S S BD AD ∆∆==，::1:2BCI ABI S S CF AF ∆∆==，所以，::1:2:4ACI BCI ABI S S S ∆∆∆=，那么，221247BCI ABC ABC S S S ∆∆∆==++． 同理可知ACG ∆和ABH ∆的面积也都等于ABC ∆面积的27，所以阴影三角形的面积等于ABC ∆面积的211377-⨯=，所以ABC ∆的面积是阴影三角形面积的7倍．【巩固】如图在ABC △中，12DC EA FB DB EC FA ===,求GHI ABC △的面积△的面积的值． 【解析】 连接BG ,设BGC S △=1份，根据燕尾定理::2:1AGC BGC S S AF FB ==△△,::2:1ABG AGC S S BD DC ==△△,得2AGC S =△(份)，4ABG S =△(份),则7ABC S =△(份)，因此27AGC ABC S S =△△,同理连接AI 、CH 得27ABH ABC S S =△△,27BIC ABC S S =△△,所以7222177GHI ABC S S ---==△△ 【点评】如果任意一个三角形各边被分成的比是相同的，那么在同样的位置上的图形，虽然形状千变万化，但面积是相等的，这在这讲里面很多题目都是用“同理得到”的，即再重复一次解题思路，因此我们有对称法作辅助线.【例 28】 如图，三角形ABC 的面积是1，BD DE EC ==，CF FG GA ==，三角形ABC 被分成9部分，请写出这9部分的面积各是多少?【解析】 设BG 与AD 交于点P ，BG 与AE 交于点Q ，BF 与AD 交于点M ，BF 与AE 交于点N ．连接CP ，CQ ，CM ，CN ．根据燕尾定理，::1:2ABP CBP S S AG GC ==△△，::1:2ABP ACP S S BD CD ==△△，设1ABP S =△(份)，则1225ABC S =++=△(份)，所以15ABP S =△ 同理可得，27ABQ S =△,12ABN S =△,而13ABG S =△，所以2137535APQ S =-=△，1213721AQG S =-=△．同理，335BPM S =△121BDM S =△,所以1239273570PQMN S =--=四边形，139********MNED S =--=四边形,1151321426NFCE S =--=四边形,1115321642GFNQ S =--=四边形 【巩固】如图，ABC ∆的面积为1，点D 、E 是BC 边的三等分点，点F 、G 是AC 边的三等分点，那么四边形JKIH 的面积是多少【解析】 连接CK 、CI 、CJ ．根据燕尾定理，::1:2ACK ABK S S CD BD ∆∆==，::1:2ABK CBK S S AG CG ∆∆==，所以::1:2:4ACK ABK CBK S S S ∆∆∆=，那么111247ACK S ∆==++，11321AGK ACK S S ∆∆==． 类似分析可得215AGI S ∆=． 又::2:1ABJ CBJ S S AF CF ∆∆==，::2:1ABJ ACJ S S BD CD ∆∆==，可得14ACJ S ∆=．那么，111742184CGKJ S =-=． 根据对称性，可知四边形CEHJ 的面积也为1784，那么四边形JKIH 周围的图形的面积之和为172161228415370CGKJ AGI ABE S S S ∆∆⨯++=⨯++=，所以四边形JKIH 的面积为61917070-=．【例 29】 右图，ABC △中，G 是AC 的中点，D 、E 、F 是BC 边上的四等分点，AD 与BG交于M ，AF 与BG 交于N ，已知ABM △的面积比四边形FCGN 的面积大7.2平方厘米，则ABC △的面积是多少平方厘米【解析】 连接CM 、CN ．根据燕尾定理，::1:1ABM CBM S S AG GC ==△△，::1:3ABM ACM S S BD CD ==△△，所以15ABM ABC S S =△△；再根据燕尾定理，::1:1ABN CBN S S AG GC ==△△，所以::4:3ABN FBN CBN FBN S S S S ==△△△△，所以:4:3AN NF =，那么1422437ANG AFC S S =⨯=+△△，所以2515177428FCGN AFC ABC ABC S S S S ⎛⎫=-=⨯= ⎪⎝⎭△△△．根据题意，有157.2528ABC ABC S S -=△△，可得336ABC S =△(平方厘米) 【例 30】 如图，面积为l 的三角形ABC 中，D 、E 、F 、G 、H 、I 分别是AB 、BC 、CA 的三等分点,求阴影部分面积.【解析】 三角形在开会，那么就好好利用三角形中最好用的比例和燕尾定理吧！令BI 与CD 的交点为M ，AF 与CD 的交点为N ，BI 与AF 的交点为P ,BI 与CE 的交点为Q ,连接AM 、BN 、CP⑴求ADMI S 四边形：在ABC △中，根据燕尾定理，::1:2ABM CBM S S AI CI ==△△::1:2ACM CBM S S AD BD ==△△设1ABM S =△(份)，则2CBM S =△(份),1ACM S =△(份),4ABC S =△(份),所以14ABM ACM ABC S S S ==△△△，所以11312ADM ABM ABC S S S ==△△△,112AIM ABC S S =△△, 所以111()12126ABC ABC ADMI S S S =+=△△四边形, 同理可得另外两个顶点的四边形面积也分别是ABC △面积的16⑵求DNPQE S 五边形：在ABC △中，根据燕尾定理::1:2ABN ACN S S BF CF ==△△::1:2ACN BCN S S AD BD ==△△,所以111133721ADN ABN ABC ABC S S S S ==⨯=△△△△,同理121BEQ ABC S S =△△ 在ABC △中，根据燕尾定理::1:2ABP ACP S S BF CF ==△△,::1:2ABP CBP S S AI CI ==△△所以15ABP ABCS S =△△，所以1111152121105ABP ADN BEP ABC ABC DNPQE S S S S S S ⎛⎫=--=--= ⎪⎝⎭△△△△△五边形同理另外两个五边形面积是ABC △面积的11105，所以11113133610570S =-⨯-⨯=阴影 【例 31】 如图，面积为l 的三角形ABC 中，D 、E 、F 、G 、H 、I 分别是AB 、BC 、CA 的三等分点,求中心六边形面积.【解析】 设深黑色六个三角形的顶点分别为N 、R 、P 、S 、M 、Q ，连接CR在ABC △中根据燕尾定理，::.2:1ABR ACR S S BG CG ==△△,所以27ABR ABC S S =△△,同理27ACS ABC S S =△△,27CQB ABC S S =△△所以222117777RQS S =---=△，同理17MNP S =△根据容斥原理，和上题结果11131777010S =+-=六边形 课后练习：练习1. 已知DEF △的面积为7平方厘米，,2,3BE CE AD BD CF AF ===，求ABC △的面积．【解析】 :():()(11):(23)1:6BDE ABC S S BD BE BA BC =⨯⨯=⨯⨯=△△，:():()(13):(24)3:8CEF ABC S S CE CF CB CA =⨯⨯=⨯⨯=△△:():()(21):(34)1:6ADF ABC S S AD AF AB AC =⨯⨯=⨯⨯=△△设24ABC S =△份，则4BDE S =△份，4ADF S =△份，9CEF S =△份，244497DEF S =---=△份，恰好是7平方厘米，所以24ABC S =△平方厘米练习2. 如图，四边形EFGH 的面积是66平方米，EA AB =，CB BF =，DC CG =，HD DA =，求四边形ABCD 的面积．【解析】 连接BD ．由共角定理得:():()1:2BCD CGF S S CD CB CG CF =⨯⨯=△△，即2CGF CDB S S =△△同理:1:2ABD AHE S S =△△，即2AHE ABD S S =△△所以2()2AHE CGF CBD ADB ABCD S S S S S +=+=△△△△四边形连接AC ，同理可以得到2DHG BEF ABCD S S S +=△△四边形所以66513.2ABCD S =÷=四边形平方米练习3. 正方形ABCD 的面积是120平方厘米，E 是AB 的中点，F 是BC 的中点，四边形BGHF 的面积是 平方厘米．【解析】 欲求四边形BGHF 的面积须求出EBG ∆和CHF ∆的面积．由题意可得到：::1:2EG GC EB CD ==，所以可得：13EBG BCE S S ∆∆=将AB 、DF 延长交于M 点，可得：:::1:1BM DC MF FD BF FC ===，而1::():3:22EH HC EM CD AB AB CD ==+=，得25CH CE =，而12CF BC =，所以121255CHF BCE BCE S S S ∆∆∆=⨯=11773014351515EBC EBC EBC EBC BGHF S S S S S ∆∆∆∆=--==⨯=四边形．EF ，确定H 的位置(也就是:FH HD )，同样也能解出．练习4. 如图，已知4cm AB AE ==，BC DC =，90BAE BCD ∠=∠=︒，10cm AC =，则S ABC ACE CDE S S ∆∆∆++= 2cm ．【解析】 将三角形ABC 绕A 点和C 点分别顺时针和逆时针旋转90o ，构成三角形'AEC 和'A DC ，再连接''A C ，显然'AC AC ⊥，'AC A C ⊥，''AC A C AC ==，所以''ACA C 是正方形．三角形'AEC 和三角形'A DC 关于正方形的中心O 中心对称，在中心对称图形''ACA C 中有如下等量关系：''AEC A DC S S ∆∆=；''AEC A DC S S ∆∆=；'CED C DE S S ∆∆=．所以2'''11101050cm 22ABC ACE CDE AEC ACE CDE ACA C S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆++=++==⨯⨯=W ．练习5. 如图，正方形ABCD 的面积是120平方厘米，E 是AB 的中点，F 是BC 的中点，四边形BGHF 的面积是_____平方厘米．【解析】 连接BH ,根据沙漏模型得:1:2BG GD =,设1BHC S =△份，根据燕尾定理2CHD S =△份，2BHD S =△份，因此122)210S =++⨯=正方形（份，127236BFHG S =+=，所以712010146BFHG S =÷⨯=(平方厘米). 练习6. 如图，ABC ∆中，点D 是边AC 的中点，点E 、F 是边BC 的三等分点，若ABC ∆的面积为1，那么四边形CDMF 的面积是_________．【解析】 由于点D 是边AC 的中点，点E 、F 是边BC 的三等分点，如果能求出BN 、NM 、MD 三段的比，那么所分成的六小块的面积都可以求出来，其中当然也包括四边形CDMF 的面积．连接CM 、CN ．根据燕尾定理，::2:1ABM ACM S S BF CF ∆∆==，而2ACM ADM S S ∆∆=，所以。

直线形面积计算的五个模型知识点精讲一、等积变换模型〔1〕等底等高的两个三角形面积相等；〔2〕两个三角形的底相等，面积比等于他们高的比；〔或者两个三角形的高相等，面积比等于他们底的比〕AB为公共边，所以s:sh:hABCABD21h为公共的高，所以s1:s2BD:DC1〔3〕两个三角形面积的比等于这两个三角形底与各自对应高的乘积的比。

底和高均不同，所以ABD:CDEBD:(DCh)ssh21比方：两个三角形的底的比是5:3，与各自底对应的高的比是7:6，那么他们的面积的比是〔5×7〕：〔3×6〕二、鸟头模型〔共角模型〕两个三角形中有一个角相等或者互补，这两个三角形叫做共角三角形。

共角三角形的面积比等于对应角〔相等角或互补角〕两条夹边的乘积之比。

DAC和BAC互补，::sDACsBACDAACBAAC所以A为公共角，所以s DAE:sBACDAAE:BAAC推理过程：连接BE，运用等积变换模型证明。

三、蝴蝶定理模型1．任意四边形中的比例关系〔蝴蝶定理〕高思学校顶级教研团队为您量身定制最适合的课程-1-s1:s2s4:s3或者ssss1342AO:OCs：ss：s〔ss〕：〔s+s〕14231+243蝴蝶定理为我们提供了解决不规那么四边形的面积问题的一个途径。

通过构造模型，一方面可以是不规那么四边形的面积关系与四边形内三角形相联系；另一方面也可以得到与面积对应的对角线被分割的两段之间的比例关系。

2．梯形中比例关系〔梯形蝴蝶定理〕22s1：s3a:b22s1：s3:s2：s4a:b：ab：ab整个梯形对应的面积份数为：(a+b)2四、相似模型相似三角形性质：〔金字塔模型〕〔沙漏模型〕下面的比例关系适用如上两种模型：1、A DAEDEAFABACBCAG2、22s:sAF:AGADEABC所谓的相似三角形，就是形状一样，大小不同的三角形〔只要其形状不改变，不管大小怎样改变，他们都是相似的〕，与相似三角形相关的常用的性质以及定理如下：〔1〕相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于他们的相似比；〔2〕相似三角形的面积比等于他们的相似比的平方。

范文范例 指导参考 学习资料整理 模型二鸟头模型 两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形. 共角三角形的面积比等于对应角 (相等角或互补角)两夹边的乘积之比.

如图在△ ABC中，D,E分别是AB,AC上的点如图(1)(或D在BA的延长线上，E在AC上如图2)， 则 S ABC： SA ADE (AB AC)： (AD AE)

厘米，求△ ABC的面积. 【解析】 连接 BE , SA ADE : SA ABE AD： AB 2 :5 (2 4): (5 4), SA ABE : SA ABC AE : AC 4 : 7 (4 5) : (7 5)，所以 SAADE : SA ABC (2 4) :(7 5)，设 SA ADE 8

份，

则SA ABC 35份，SA ADE 16平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，△ ABC的 面积是70平方厘米.由此我们得到一个重要的定理， 共角定理：共角三角形的面积比等于对应角 (相

等角或互补角)两夹边的乘积之比

【巩固】如图，三角形 ABC中，AB是AD的5倍，AC是AE的3倍，如果三角形 ADE的面积等于1，那

【例1】如图在△ ABC中, D,E 分别是 AB,AC 上的点，且 AD: AB 2:5 , AE: AC 4：7 ,

SA ADE

16平方

图⑵ 范文范例 指导参考

学习资料整理 么三角形ABC的面积是多少?

EC 3AE

【解析】连接FB.三角形AFB面积是三角形CFE面积的2倍，而三角形AFB面积是三角形AEF面积的2倍， 所以三角形 ABC面积是三角形 AEF面积的3倍；又因为平行四边形的面积是三角形 ABC面积的2倍,

【巩固】 【解析】 【例2】 【解析】 二 SV ABC 3SVABE 又••• AB 5AD …SV ADE SVABE 5 SVABC 15，…SV ABC 15SVA DE 如图，三角形 ABC被分成了甲（阴影部分）、乙两部分，BD 积是甲部分面积的几倍？ DC 4, BE 3 , AE 6，乙部分面 连接AD . T BE 3 , AE 6

平面几何五种模型等积,鸟头,蝶形,相似,共边1、等积模型等底等高的2个三角形面积相等2个三角形高相等,面积比=底之比2个三角形底相等,面积比=高之比夹在一组平行线之间的等积变形方方模型等积模型是基本应用应是烂熟于心的都是利用面积公式得到的推定比例如下：1等底等高的2个平行四边形面积相等2三角形面积等于它等底等高的平行四边形面积的一半3 2个平行四边形高相等,面积比=底之比；2个平行四边形底相等,面积比=高之比2、鸟头模型共角定理鸟头定理：2个三角形中,有一个角相等或互补,这2个三角形叫做共角三角形;共角三角形的面积比等于对应角相等角或互补角两夹边的乘积之比夹角2边鸟头定理的使用要火眼金睛,经常需要自己补一条辅助线同时经过2次以上转换对应才能得到结果;A B C DE如图,浅紫色的三角形ADE 跟大三角形ABC 是公用A 角的,等于浅紫色三角形是“嵌入”在大三角形ABC 里面,注意,鸟头定理用的是乘积比不是单独的线段比~记忆上用夹角2边 最好记,这里等于鸟头定理的证明,写出来是因为很多题目的解题过程,都需要补这么一条辅助线来过度连接2个看起来无关的图形;证明的途径其实跟我们日常解题途径重合,所以写出来,仔细看;经由媒介的ABE,联系了ADE 和大三角形ABCBE 辅助线很重要鸟头定理是用等高等于是用等积推算而得第二种的证明方式将对顶角压回来ABC 内,对顶角性质是相等的,所以压回来的新跟ADE 是全等,再做一条辅助线就能用共角的方式证明出对角的鸟头定理互补角的鸟头定理证明S△ADE=S△AD'E,因为同底等高AD=AD',高相等，所以面积相等D'A B C D E 写了这几个证明,其实说的目的只有一个：连接小三角形和大三角形过度的那条辅助线,特别重要3蝴蝶模型任意四边形中的比例关系“蝴蝶定理”任蝴蝶①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++ 上下比= = = 上上比 = ==由上述比例可以按数学运算原则推出很多规则：如面积交叉相乘的乘积相等 == 1324S S S S ⨯=⨯ 梯形蝴蝶定理梯蝴蝶①2213::S S a b =→上：下=22:a b②221324::::::S S S S a b ab ab =→上：下：左：右=22:::a b ab ab ③S 的对应份数为()2a b +→a 2+2ab+b 2=a 2+b 2+ab+ab 有木有↑4 相似三角形形状相同,大小不同的三角形,只要形状不变,无论大小怎么改变,他们都相似;1 相似三角形的一切对应线段的长度成比例,并且=它们的相似比2 相似三角形的面积比=相似比的平方3 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线三角形中位线定理：三角形的中位线长=它所对应的底边长的一半 就是三角形任2边中点连出来的中位线就是第三边长的一半 出题几率：多产生于2条平行线造成的相似三角形 金字塔模型 沙漏模型 SADE ：SABC=AF 2：AG 2特别注意相似三角形的面积比是等于相似比的平方5 共边定理燕尾模型、风筝模型、塞瓦定理共边定理说明如图一想知道PAB 和QAB 的面积比 我们就如图二做个高,因为同底就是共用一个边所以面积比=髙之比,再想办法偷懒,延长PQ 、AB 的线相交于M,那么刚学的相似三角形可以派上用场,因为PDM QEM 如图三E D 图三QPA B M所以=共边定理：若直线AB 和PQ 相交于点M 4种情况则有=图一MPQAB图二QMPA B图三燕尾定理（共边定理图3）MQPA B图四MQPA B最常应用到的其实是图一,无论在三角形或四边形上我们喜欢用共边2方的不同三角形面积比来比出线段比;图形不重叠图二的比例图形有重叠,所以线段长度也是重叠比~图三就是“燕尾定理”图形不重叠,所以线段比不重叠;图四是四边形,做比的三角形有重叠,而比值是四边形的顶：延长线段QM切记,唯一对比线段不在图形内的哈共边定理的证明=1,M点是PQ和AB延长后的交点2,取N,使得MN长度=AB3、==PNM和QNM是等高,塞瓦定理燕尾定理模型补充三边比例互乘为1在△ABC内任取一点O,直线AO、BO、CO分别交对边于E、F、D,则得出×× = 1特殊题：参考共边定理2图重叠可得三角形一边上之点到三边线交点O的长度：同边线全长的比值,3边比值相加=1+ + =1。