鸟头模型

互补角鸟头模基本公式一、互补角的概念。

1. 定义。

- 如果两个角的和为180^∘，那么这两个角互为补角。

例如，∠ A = 30^∘，∠ B = 150^∘，因为∠ A+∠ B = 30^∘+150^∘=180^∘，所以∠ A和∠ B互为补角。

二、鸟头模型。

1. 鸟头模型的基本图形。

- 鸟头模型是一种在三角形中常见的比例关系模型。

它由两个三角形组成，这两个三角形有一个公共角。

- 例如，在ABC和ADE中，∠ A是公共角。

2. 鸟头模型基本公式（共角定理）- 对于ABC和ADE，若∠ A=∠ A（公共角），则frac{S_ ADE}{S_ ABC}=(AD× AE)/(AB× AC)。

- 证明（以人教版相似三角形知识为基础）：- 过D作DF∥ BC交AC于F。

- 因为DF∥ BC，所以ADFsim ABC，则(AD)/(AB)=(AF)/(AC)。

- 又因为∠ A=∠ A，∠ AED=∠ ACB（平行得同位角相等），所以ADEsim ABC。

- 设(AD)/(AB) = k_1，(AE)/(AC)=k_2，则S_ ADE=(1)/(2)AD× AE×sin A，S_ ABC=(1)/(2)AB× AC×sin A。

- 所以frac{S_ ADE}{S_ ABC}=(frac{1)/(2)AD× AE×sin A}{(1)/(2)AB×AC×sin A}=(AD× AE)/(AB× AC)。

这里并没有专门针对互补角与鸟头模型结合的特殊公式，如果在具体题目中有涉及互补角的鸟头模型问题，可能是在利用鸟头模型计算面积比例时，三角形的角之间存在互补关系，进而利用互补角的三角函数值关系（如sinα=sin(180^∘-α)）等知识来辅助解题。

数学中的鸟头模型数学中的鸟头模型，这名字一听就挺有意思的，对吧？光听名字你就能想象出一只鸟的头，睁着大眼睛，带着一丝机灵和好奇，像是在看着你，想问你点什么。

其实这个模型啊，跟它的名字一样，看起来挺简单，实际上一点也不简单。

你是不是也在想，鸟头跟数学有什么关系呢？看似毫不相关的东西，竟然能碰到一起。

嘿，说实话，刚开始我也觉得这个模型一定跟一些复杂的公式啥的扯上关系，结果呢，一点也不那么回事。

它说的其实是一个特别直观、特别形象的数学模型，虽然名字让人有点摸不着头脑，但一了解，哎呀，原来这么有趣！所谓鸟头模型，其实是指在某些数学场景中，我们可以用一个形象化的“鸟头”来代表问题的结构。

这鸟头模型最早是用来描述一些数学图形的，尤其是在组合数学和图论方面。

简单说来，假如你有个图形，点和线就像是小小的颗粒，点之间相连的线就是桥梁。

而这个鸟头模型就像是在描述这些点与线的排列，像是给它们画了个小框框，给数学问题找个形象的家。

是不是觉得有点抽象？那你可得慢慢听。

我得给你讲个例子。

想象一下，你在街头看到了两个小朋友正准备玩跳绳，他们站在不同的地方，绳子一端在一个小朋友手里，另一端则在另一个小朋友手里。

这个绳子就是两点之间的连线，而小朋友就像是“点”。

他们之间的“连线”是不是就像是一个数学模型里的线条？这个鸟头模型的神奇之处就在于，它能帮助我们把这种关系表达得更加简洁而又准确。

你看，数学不就是这么神奇吗？它能把一堆看似杂乱无章的东西，用简简单单的语言表达出来。

你要是理解了这个鸟头模型，它其实并不神秘。

咱们就把它当作一个画图工具，帮助我们更好地了解和分析数学对象之间的关系。

这些点和线，可以说是数学的基本元素，经过鸟头模型的加工、组合，突然间变得有了生命，像是一个个活跃的小家伙在纸上舞动。

是不是觉得又好玩又有点可爱？再说到这鸟头模型的应用，哎呀，那可真不少。

比如在网络结构的分析中，咱们就常常用这种模型来帮助理解和优化网络的连接情况。

数学中鸟头模型例题
鸟头模型是一个经典的数学问题，通常在高中或大学的数学课
程中会遇到。

这个问题涉及到几何学和三角学的知识。

鸟头模型的
例题可以是这样的：
假设有一个鸟头模型，它由一个球和一个圆锥组成。

球的半径
为3厘米，圆锥的高度为4厘米，底部半径为2厘米。

现在要求计
算这个鸟头模型的表面积和体积。

首先，我们可以计算球的表面积和体积。

球的表面积公式为
4πr^2，其中r为球的半径。

代入r=3，得到球的表面积约为113.1
平方厘米。

球的体积公式为(4/3)πr^3，代入r=3，得到球的体积
约为113.1立方厘米。

接下来，我们计算圆锥的表面积和体积。

圆锥的表面积公式为
πr(l+r)，其中r为底部半径，l为斜高。

斜高可以通过勾股定理
计算得到，即l=√(h^2+r^2)，其中h为圆锥的高度。

代入r=2，
h=4，得到圆锥的表面积约为37.7平方厘米。

圆锥的体积公式为
(1/3)πr^2h，代入r=2，h=4，得到圆锥的体积约为16.8立方厘米。

最后，我们将球和圆锥的表面积和体积相加，得到整个鸟头模型的表面积约为150.8平方厘米，体积约为129.9立方厘米。

这样，我们就完成了鸟头模型的例题，计算出了它的表面积和体积。

通过这个例题，我们不仅复习了球和圆锥的表面积和体积的计算公式，还加深了对几何图形的理解和运用。

鸟头模型结论及证明
鸟头模型的结论是：无论是什么种类的鸟类，其头部形态都大致呈现出圆锥体的形状。

证明：
1. 实验观察
对多种鸟类的头部形态进行观察并进行测量，发现它们的头部大多呈现出圆锥形的结构，即从头部基部向头顶逐渐变细。

2. 生物力学分析
圆锥体具有较好的结构稳定性和抗拉强度，这也是许多动物身体部位采用圆锥形状的原因之一。

对于飞行鸟类来说，头部需要快速扭转和重复运动以捕获猎物，而圆锥形头部结构可以提高运动快速性和力量传递效率。

3. 进化优化
在自然选择中，鸟类头部形态的演化也被优化为圆锥形，这可以提供更好的适应力和生存竞争力。

例如，塔巢造型鸟类的头部长而尖，可以更容易地进入或撕扯开树洞，而猛禽类的头部尖而窄，可以更好地穿透猎物。

因此，圆锥体头部结构具有高度适应性和适应性优势。

综上所述，鸟头模型的结论是：无论是什么种类的鸟类，其头部形态都大致呈现出圆锥体的形状。

精品文档鸟头模型讲_几何第02知识图谱-一、鸟头模型三角形中的鸟头四边形中的鸟头02讲_鸟头模型几何第一：鸟头模型知识精讲两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．共角三我们把这样的（相等角或互补角）两夹边的乘积之比．角形的面积比等于对应角．的面积是：ADE的面积比△ABC图形，称为鸟头模型．如图所示，△三点剖析进而利用鸟头模型的结论简单化复杂问题，：复杂图形如何构造鸟头模型，重难点进而解决它们．题模精讲三角形中的鸟头题模一、例1.1.1面积ABCADE，，那么三角形占三角形如图，．________的精品文档．精品文档答案：解析：．根据鸟头模型，1.1.2、例ABC，中，，已知已知三角形，ABC在三角形．的面积是，那么三角形24DEF_______面积是答案：7解析：精品文档．精品文档所占比例分别为根据鸟头模型，、、．因此，、、．1.1.3例、，求阴影部BD=2AD 中，，，AG=2CGABC如图，在△面积的几分之几？分的面积占△ABC答案：解析：，故BG；．，故连结，．同理，，即．面积的ABC，故阴影部分的面积占△精品文档．精品文档四边形中的鸟头题模二、例1.2.1．三角形48，，如图，长方形ABCD的面积是．__________CEF的面积是答案：10解析：面积是△．根据鸟头模型，△CEF是CE连接BD，是BC的，CF的CD．的面积是CEFBCD面积的．那么△、例1.2.2精品文档．精品文档边上，且的面积是如图，长方形ABCD1N，是AD边的中点，在AB．．那么，阴影部分的面积为答案：解析：．．连结例1.2.3、在边DC上，，ADABCD如图，正方形中，点E在边上，点F ．_____的面积的比值是的面积与正方形，则ABCD精品文档．精品文档答案：解析：和、三块空白的面积分别占总面积的的面积的比值是，因此ABCD的面积与正方形．、例1.2.4，那60的面积是，E是CD边上的中点，ABCD 如图所示，长方形．__________的面积是么三角形AEF答案：精品文档．精品文档27解析：的面积ABF，ABCD△CEF的面积占长方形△面积的，连接BD面积的ABCD的面积占长方形ABCD面积的，△ADE占长方形面积的的面积占长方形ABCD．所以△AEF．，面积是例1.2.5、的面的面积相等．△AEFADFABCD如图在长方形中，△ABE、△、四边形AECF面积的几分之几？ABCD积是长方形答案：解析：精品文档．，同ABCD面积的，故与△ABE等底等高的长方形面积占面积的CEF面积占ABCD理．因此，，△．ABCD面积的，△AEF的面积是长方形1.2.6、例平方厘米，右上如图，长方形面积为35平方厘米，左边直角三角形的面积为5__________角直角三角形面积为7那么中间三角形平方厘米．面积是（阴影部分）平方厘米．答案：15.5解析：，由两个直角三角形面积可设，则．阴影得，所以．面积精品文档．精品文档、例1.2.7，DE，分别为，，为正六边形．如图，ABCDEFG，HI，JK，LAB，BCCD，．请问：小正六边形占大正EF，FA边上的三等分点，形成了正六边形GHIJKL六边形面积的几分之几？答案：解析：，根；，S设正六边形ABCDEF的面积为，则；小正六边形是，因此据鸟头模型，，一样的三角形得到的，面积为大正六边形减去六个和．小正六边形占大正六边形面积的精品文档．精品文档随堂练习随练1.1、三倍．倍，中，AD的长度是BD的3AC的长度是EC的3在三角形如图，ABC．角形AED的面积是10，那么三角形ABC的面积是__________答案：20解析：面面积是△ABC是AC．根据鸟头模型，有△的ADE是ADAB的，AE．的面积是ABC20．那么△积的随练1.2、，甲乙两个图形面积的，在右图的三角形ABC中，．比是_________精品文档．精品文档答案：解析：．根据鸟头模型，，所以甲、乙两个图形面积的比是随练1.3、，，，12的面积是．已知△DEF如图所示，的面积是多少？那么△ABC答案：36解析：精品文档．，同理的面积是△ABC面积的根据鸟头模型，△AEF ABCDEF的面积是△CDE的面积都是△ABC面积的．所以△和△可得△BDF．的面积是．所以△面积的ABC、随练1.4．请问：三角形，16如图，已知长方形ADEF的面积是，．__________BCE的面积是答案：3解析：．那么△DEF面积是△面积的BCEDF连接，根据鸟头模型，可知△．BCE的面积是精品文档．精品文档、1.5随练，如果阴影的面积是在长方形如图所示，ABCD6中，，，．的面积是__________ABCD那么长方形答案：18解析：．那么阴影部分的BCD根据鸟头模型，可知△CEF面积是△面积的．阴影的面积是△BCD面积的，是长方形ABCD面积的．ABCD，那么长方形的面积是6面积是1.6随练、精品文档．精品文档的面积是中，ABCD，长方形ABCD如图，在长方形．________AEF48，那么三角形的面积是答案：12解析：ADF的面积是长方形面积的根据一半模型和等高模型，△ABE，△的面积是长方形面积的，△CEF的面积是长方形面积的，面积AEF的面积是长方形面积的，所以△是．课后作业作业1、如图所示，已知，，而且△ABC的面积是60．那．么△__________的面积是ADE 精品文档．精品文档答案：12解析：的面积是，即△的面积是△ABCADE面积的ADE根据鸟头模型，△．、作业2倍．如果△ACBDAB的长度是的4倍，的长度是EC的3中，如图，在△ABC 的面积是多少平方厘米？20平方厘米，那么△ADE的面积为ABC答案：10解析：精品文档．精品文档．由鸟头模型可知，由题意知，，平方厘米．3、作业，上的一点，且中，如右图，在三角形为为的中点，．已知四边形的面积为的面积是35，则三角形_____答案：42解析：．，易知，，故4作业、的值？如图，已知，，试求，精品文档．精品文档答案：解析：，根据鸟头模型，，同理．，因此、5作业点的四等分AAC边上靠近EAB如图所示，D是边上靠近A点的三等分点，是，那么三C是FBC边上靠近点的五等分点．如果三角形ABC的面积是24点，．的面积是DEF__________角形答案：5.6精品文档．精品文档解析：，由鸟头模型可得，，，所以．、作业6是的三等分点，边靠近CF是是如图，三角形ABC中，DAB边的中点，EAC 的面积是多少？三角形ABC边靠近BCB的四等分点，三角形的面积为1．DEF答案：解析：，，同理根据鸟头模型，．的面积是：DEF，所以三角形精品文档．精品文档7、作业如CE中，AF的长度是FD的2倍，的长度等于ED．ABCD如图，在平行四边形的面积是多少平方厘果平行四边形ABCD的面积为FDE120平方厘米，那么△米？答案：10解析：．由鸟头模型可知，，由题意知，AC连接，平方厘米．8、作业点的三等分点，边上靠近DAD96长方形ABCD的面积是平方厘米，E是如图，平方厘米．__________CCDF是边上靠近点的四等分点．阴影部分的面积是精品文档．精品文档答案：平方厘米40解析：，分别求出它们的面积．，△考虑空白△AEB，△BFCEDF，AD的；它的高为AB首先求△AEB的面积．它的底为AE，是长方形的长与长方形的宽相等．的面积是长方形面积的，即AEB所以△平方厘米．，BF 同样可求得平方厘米的面积是长方形面积的平方厘米．，即△EDF的面积是长方形面积的，阴影部分的面积为所以空白部分的总面积为作业9、精品文档．精品文档ACF2，三角形ADBADEF如图，已知长方形的面积是16，三角形的面积是ABC的面积是4．请问：三角形的面积是多少？答案：7解析：，；；，；因此，；．精品文档．。

鸟头模型，是平面图形中常用的五个模型之一，其特点是通过边与面积的关系来解决问题。

对于初学者来说，最重要的是理解什么是鸟头模型并熟记它的特征。

一、鸟头模型的相关知识1.定义：两个三角形中有一个角相等或互补（相加等于180度），这两个三角形就叫共角三角形。

这个模型就叫鸟头模型。

其中存在的比例关系就叫做共角定理。

2.核心：比例模型有：二、鸟头模型的原理剖析三、鸟头模型的方法运用鸟头模型解题四部曲：第一步：观察：图中是否有鸟头模型第二步：构造：鸟头模型第三步：假设：线段长度或图形面积第四步：转化：将假设的未知数转化到鸟头模型中计算例1：如图，已知AD:BD=2:3，AE:EC=3:1，三角形ADE的面积是6平方厘米，求三角形ABC的面积?第一步：标条件第二步：确定等角位置A小夹边AD×AE(小夹边指的是：小三角形夹着等角A的两边)大夹边AB×AC第三步：利用鸟头模型结论S△ADE：S△ABC=小夹边乘积:大夹边乘积=(2×3):(5×4)=6:20=3:103:10的意思是：三角形ADE的面积是3份，三角形ABC的面积是10份。

第四步：先除后乘算面积三角形ADE的面积是6平方厘米，对应3份，6÷3=2平方厘米/份;所求三角形ABC的面积是10份，2×10=20平方厘米。

例2：如图，已知BC：CD=5:2，AE:EC=1:1，三角形ABC的面积是20平方厘米，求三角形CDE的面积?第一步：标条件第二步：确定补角位置C小夹边CD×CE(小夹边指的是：小三角形夹着补角C的两边)大夹边CA×CB第三步：利用鸟头模型结论S△CDE：S△ABC=小夹边乘积：大夹边乘积=(2×1):(2×5)=2:10=1:51:5的意思是：三角形CDE的面积是1份，三角形ABC的面积是5份。

第四步：先除后乘算面积三角形ABC的面积是20平方厘米，对应5份，20÷5=4平方厘米/份;所求三角形CDE的面积是1份，4×1=4平方厘米。

---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------4几何五大模型——鸟头模型几何五大模型鸟头模型一两点都在边上：鸟头定理：（现出鸟头模型。

然后按一下出现一个鸟头，勾勒出鸟头的轮廓，出现如图的鸟头几何模型。

最后真实的鸟头隐去，只留下几何模型。

最后按一下，出公式。

）△ADE△ABCS ADAE=S ABAC EDC BA 二一点在边上，一点在边的延长线上：△CDE△ABCS CDCE=S BCAC EDCBA 本讲要点如图，AD=DB ，AE=EF=FC ，已知阴影部分面积为 5 平方厘米，△ ABC 的面积是平方厘米．例例 2 （1 ）如图在△ABC 中，D 、E 分别是AB ，AC 上的点，且AD:AB=2:5, AE:AC=4:7, △ABC 的面积是的面积是 16 平方厘米，求△ABC 的面积。

（2 ）如图在△ABC 中，D 在 BA 的延长线上，E 在在 AC 上，且 AB:AD=5:2 ，AE:EC=3:2, △ADE 的面积是的面积是 12 平方厘米，求△ABC 的面积。

已知△DEF 的面积为12 平方厘米，BE=CE,AD=2BD,CF=3AF,求△ABC 的面积。

1 / 22例例 1 例例 2 例例 3 三角形 ABC 面积为 1，AB 边延长一倍到 D，BC 延长 2 倍到 E，CA 延长 3 倍到 F，问三角形 DEF 的面积为多少？三角形 ABC 面积为 1，AB 边延长一倍到 D，BC 延长 2 倍到 E，CA 延长 3 倍到 F，问三角形 DEF 的面积为多少？ FEDCBA 例例 4 例例 5 长方形ABCD 面积为 120，EF 为 AD 上的三等分点，G、H、I 为 DC 上的四等分点，阴影面积是多大？长方形 ABCD 面积为 120，EF 为 AD 上的三等分点，G、H、I 为 DC 上的四等分点，阴影面积是多大？如图，过平行四边形 ABCD 内的一点 P 边作边 AD 、 BC 的平行线 EF 、 GH ，若PBD 为的面积为 8平方分米，求平行四边形 PHCF 的面积比平行四边形 PGAE 的面积大多少平方分米？ AB CDEFGHP 例例 61. 如下左图，在ABC △ 中，D 、E 分别是 BC 、AB 的三等分点，且ABC △ 的面积是 54 ，求CDE △ 的面积。

鸟头模型推导过程
鸟头模型是这六大模型中稍微有点难度的模型，初学者一定要从概念入手，充分理解其内涵，准确区分出所给图形中是否存在鸟头模型，并用鸟头定理解决面积与边之间的比例关系问题。

那么什么是鸟头模型(鸟头定理)呢?
一、定义
★两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形.共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比.这个模型就叫鸟头模型。

其中存在的比例关系就叫做共角定理。

举例:如图在S△ABC中D,E分别是AB,AC上的点或D在BA 的延长线上，E在AC上。

则S△ABC：S△ADE=(ABXAC)：(ADXAE)
记忆方法:?先判断是否是鸟头模型(角相等或互补)
如果是鸟头模型，找到角(相等角或互补角)所对应的两组
夹边，则两个三角形面积之比等于两夹边的乘积之比。

二、主要类型
鸟头模型主要有以下4种类型
三、鸟头原理的证明方法
四、利用鸟头模型解题步骤
第1步：观察：看图中是否有鸟头模型
第2步：构造：通过添加辅助线构造等角或补角，建立起鸟头模型
第3步：假设：根据题目要求，假设所求的线段长度或图形面积
第4步：转化：将假设的未知数转化到鸟头模型的比例关系中计算。

五、例题。