鸟头模型推导过程

鸟头模型，是平面图形中常用的五个模型之一，其特点是通过边与面积的关系来解决问题。

对于初学者来说，最重要的是理解什么是鸟头模型并熟记它的特征。

一、鸟头模型的相关知识1.定义：两个三角形中有一个角相等或互补（相加等于180度），这两个三角形就叫共角三角形。

这个模型就叫鸟头模型。

其中存在的比例关系就叫做共角定理。

2.核心：比例模型有：二、鸟头模型的原理剖析三、鸟头模型的方法运用鸟头模型解题四部曲：第一步：观察：图中是否有鸟头模型第二步：构造：鸟头模型第三步：假设：线段长度或图形面积第四步：转化：将假设的未知数转化到鸟头模型中计算例1：如图，已知AD:BD=2:3，AE:EC=3:1，三角形ADE的面积是6平方厘米，求三角形ABC的面积?第一步：标条件第二步：确定等角位置A小夹边AD×AE(小夹边指的是：小三角形夹着等角A的两边)大夹边AB×AC第三步：利用鸟头模型结论S△ADE：S△ABC=小夹边乘积:大夹边乘积=(2×3):(5×4)=6:20=3:103:10的意思是：三角形ADE的面积是3份，三角形ABC的面积是10份。

第四步：先除后乘算面积三角形ADE的面积是6平方厘米，对应3份，6÷3=2平方厘米/份;所求三角形ABC的面积是10份，2×10=20平方厘米。

例2：如图，已知BC：CD=5:2，AE:EC=1:1，三角形ABC的面积是20平方厘米，求三角形CDE 的面积?第一步：标条件第二步：确定补角位置C小夹边CD×CE(小夹边指的是：小三角形夹着补角C的两边)大夹边CA×CB第三步：利用鸟头模型结论S△CDE：S△ABC=小夹边乘积：大夹边乘积=(2×1):(2×5)=2:10=1:51:5的意思是：三角形CDE的面积是1份，三角形ABC的面积是5份。

第四步：先除后乘算面积三角形ABC的面积是20平方厘米，对应5份，20÷5=4平方厘米/份;所求三角形CDE的面积是1份，4×1=4平方厘米。

几何五大模型——鸟头模型一 两点都在边上：鸟头定理：（现出“鸟头模型”。

然后按一下出现一个鸟头，勾勒出鸟头的轮廓，出现如图的鸟头几何模型。

最后真实的鸟头隐去，只留下几何模型。

最后按一下，出公式。

）△ADE △ABC S AD ×AE=S AB ×ACED C B A二 一点在边上，一点在边的延长线上：△CDE△ABC S CD ×CE =S BC ×AC例 1 如图，AD=DB ，AE=EF=FC ，已知阴影部分面积为5平方厘米，△ ABC的面积是平方厘米．例2 （1）如图在△ABC中，D、E分别是AB，AC上的点，且AD:AB=2:5, AE:AC=4:7,△ABC的面积是16平方厘米，求△ABC的面积。

（2）如图在△ABC中，D在BA的延长线上，E在AC上，且AB:AD=5:2，AE:EC=3:2,△ADE的面积是12平方厘米，求△ABC的面积。

例3 已知△DEF的面积为12平方厘米，BE=CE,AD=2BD,CF=3AF,求△ABC的面积。

例4 三角形ABC 面积为1，AB 边延长一倍到D ，BC 延长2倍到E ，CA 延长3倍到F ，问三角形DEF 的面积为多少？FEDC BA例5 长方形ABCD 面积为120，EF 为AD 上的三等分点，G 、H 、I 为DC 上的四等分点，阴影面积是多大？例6 如图，过平行四边形ABCD内的一点P作边AD、BC的平行线EF、GH，若PBD 的面积为8平方分米，求平行四边形PHCF的面积比平行四边形PGAE的面积大多少平方分米？作业：1. 如下左图，在ABC △中，D 、E 分别是BC 、AB 的三等分点，且ABC △的面积是54，求CDE △的面积。

2. 如图，长方形ABCD 的面积是1，M 是AD 边的中点，N 在AB 边上，且12AN BN．那么，阴影部分的面积等于 ．AB CD M N 图13. 如图以ABC △的三边分别向外做三个正方形ABIH 、ACFG 、BCED ,连接HG 、EF 、BID ，又得到三个三角形，已知六边形DEFGHI 的面积是77平方厘米，三个正方形的面积分别是9、16、36平方厘米，则三角形ABC 的面积是多少？I HGFED CB A4. 如图，已知三角形ABC 面积为1，延长AB 至D ，使BD AB =；延长BC 至E ，使2CE BC =；延长CA 至F ，使3AF AC =，求三角形DEF 的面积。

三角形之鸟头模型共角定理（鸟头模型）两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。

共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．如图在△ABC 中，D,E 分别是AB,AC 上的点如图(或D 、E 分别在BA 、CA 延长线上)，则ACAB AEAD AC AE AB AD S S ABC ADE ⨯⨯=⨯=∆∆ (夹角两边：大大小小⨯⨯) 即，共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 例题讲解：1、如图，BD 长12厘米，DC 长4厘米，B 、C 和D 在同一条直线上。

求三角形ABD 的面积是三角形ADC 面积的多少倍？2、如右图，已知在△ABC 中，BE=3AE ，CD=2AD ．若△ADE 的面积为1平方厘米．求三角形ABC的面积．3、如图在△ABC 中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且AB : AD = 5 : 2，AE :EC = 3: 2，平方厘米12=∆ADE S ，求△ABC 的面积．4、 如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB =，:4:7AE AC =，16ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBA【巩固】如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形ADE 的面积等于1，那么三角形ABC 的面积是多少？E D CB A A BCD E【巩固】如图，三角形ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，4BD DC ==，3BE =，6AE =，乙部分面积是甲部分面积的几倍？乙甲E DCBAA BCDE甲乙5、 如图在ABC △中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且:5:2AB AD =，:3:2AE EC =，12ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBAEDCBA6、 如图所示，在平行四边形ABCD 中，E 为AB 的中点，2AF CF =，三角形AFE (图中阴影部分)的面积为8平方厘米．平行四边形的面积是多少平方厘米？7、 已知DEF △的面积为7平方厘米，,2,3BE CE AD BD CF AF ===，求ABC △的面积．FED CBA8、 如图，三角形ABC 的面积为3平方厘米，其中:2:5AB BE =，:3:2BC CD =，三角形BDE 的面积是多少？AB ECDC EB A9、 (2007年”走美”五年级初赛试题)如图所示，正方形ABCD 边长为6厘米，13AE AC =，13CF BC =．三角形DEF 的面积为_______平方厘米．A10、如图，在三角形ABC 中，D 为BC 的中点，E 为AB 上的一点，且13BE AB =，已知四边形EDAC 的面积是35，求三角形ABC 的面积。

风筝蝴蝶鸟头燕尾模型及证明过程Wind Kite Model:In the wind kite model。

we have four triangles: △ABD。

△BCD。

△ABC。

and △ADC。

We also have four line segments: AO。

OC。

BO。

and OD。

We know that AO:OC = S1:S3 and BO:OD = want to find the。

of S1+S2 to S3+ing the fact that S1:S2 = can simplify the。

to AO:OC = can also multiply S1 by S4 and S2 by S3 to get AO×OD = BO×OC.___:In the trapezoidal butterfly model。

we have four areas:S1.S2.S3.and S4.We know that S1+S2 = S1+S4 (due to having the same base and height)。

so S2 = S4.We also know that S1:S2 =S1×S3 = S2×S4.Bird Head Model:In the bird head model。

we have two triangles: △ABC and △ADE。

We also have two line segments: AB and AD。

as well as two segments: AC and AE。

We want to find the。

of the areas of △ABC and △ADE。

Using the fact that AB:AD = can simplify the。

to (AB×AC):(AD×AE).___:___。

几何五大模型之二鸟头定理WTD standardization office【WTD 5AB- WTDK 08- WTD 2C】三角形之鸟头模型 共角定理（鸟头模型） 两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。

共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．如图在△ABC 中，D,E 分别是AB,AC 上的点如图(或D 、E 分别在BA 、CA 延长线上)，则AC AB AE AD AC AE AB AD S S ABC ADE ⨯⨯=⨯=∆∆ (夹角两边：大大小小⨯⨯) 即，共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比例题讲解：1、如图，BD 长12厘米，DC 长4厘米，B 、C 和D 在同一条直线上。

求三角形ABD 的面积是三角形ADC 面积的多少倍？2、如右图，已知在△ABC 中，BE=3AE ，CD=2AD ．若△ADE 的面积为1平方厘米．求三角形ABC 的面积．3、如图在△ABC 中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且AB : AD = 5 : 2，AE :EC = 3: 2， 平方厘米12=∆ADE S ，求△ABC 的面积．4、 如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB =，:4:7AE AC =，16ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．【巩固】如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形ADE的面积等于1，那么三角形ABC 的面积是多少？【巩固】如图，三角形ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，4BD DC ==，3BE =，6AE =，乙部分面积是甲部分面积的几倍？5、 如图在ABC △中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且:5:2AB AD =，:3:2AE EC =，12ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．6、 如图所示，在平行四边形ABCD 中，E 为AB 的中点，2AF CF =，三角形AFE (图中阴影部分)的面积为8平方厘米．平行四边形的面积是多少平方厘米？7、 已知DEF △的面积为7平方厘米，,2,3BE CE AD BD CF AF ===，求ABC △的面积．8、 如图，三角形ABC 的面积为3平方厘米，其中:2:5AB BE =，:3:2BC CD =，三角形BDE 的面积是多少？9、 (2007年”走美”五年级初赛试题)如图所示，正方形ABCD 边长为6厘米，13AE AC =，13CF BC =．三角形DEF 的面积为_______平方厘米．10、如图，在三角形ABC 中，D为BC的中点，E为AB上的一点，且13BE AB，已知四边形EDAC的面积是35，求三角形ABC的面积。

第三讲 鸟头模型一、 复习比和比例1、 比表示两个数相除的关系。

比的结果叫做比值。

2、 比与除法的对应关系3、 比的基本性质比的前项和后项同时乘以或除以相同的一个数（0除外），比值大小不变。

应用：化简比。

4、 比例表示两个相等比的等式。

a ∶b =c ∶da ×d =b ×c二、 比例模型1、 等底等高的两个三角形面积相等。

2、 等高的两个三角形，面积之比等于底之比。

3、 等底的两个三角形，面积之比等于高之比。

三、 鸟头模型1、 共角定理：共角三角形的面积之比等于共角夹边乘积之比。

（适用于角相等或互补两种情况）2、 四种基本的鸟头模型（1）情况一，S △ADE S △ABC = AD ×AEAB ×ACB DC E A B DCEA【证明】连接BE ，在△ABE 中，△ABE 与△ADE 以AB 为底同高，S △ADES △AB E = AD AB …… ①在△ABC 中，△ABE 与△ABC 以AC 为底同高，S △A B E S △AB C = AEAC …… ②①×②得，S △ADE S △AB E ×S △A B E S △AB C = AD AB ×AEACS △ADE S △AB C = AD×AEAB×AC（2）情况二，S △ADE S △ABC = AD ×AEAB ×AC【证明】将△ADE 绕点A 顺时针旋转180度得右图，后面证明方法与情况一相同。

（3）情况三，S △ADE S △ABC = AD ×AEAB ×ACB DC E A E'D'B DCEAA B D C E FAB DC E【证明】在AB 边上取一边AF ，使AF=AE ，则S △ADE =S △ADF 。

则将证明S △ADE S △ABC = AD ×AE AB ×AC，转化成证明S △AD F S △ABC = AD ×AFAB ×AC 。

三角形之鸟头模型共角定理（鸟头模型）两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。

共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．如图在△ABC中，D,E分别是AB,AC上的点如图(或D、E分别在BA、CA延伸线上)，则SSADEABC AD AE AD AE(夹角两边：小小AB AC AB AC)大大即，共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比例题解说：1、如图，BD长12厘米，DC长4厘米，B、C和D在同一条直线上。

求三角形ABD的面积是三角形ADC面积的多少倍？2、如右图，已知在△ABC中，BE=3AE，CD=2AD．若△ADE的面积为1平方厘米．求三角形ABC的面积．3、如图在△ABC中，D在BA的延伸线上，E在AC上，且AB: AD=5:2，AE:EC=3:2，S ADE12平方厘米，求△ABC 的面积．4、如图在△ABC 中，D,E 分别是AB,AC 上的点，且AD:AB2:5，AE:AC4:7，S △ADE16平方厘米，求△ABC 的面积．AD EBC【稳固】如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，假如三角形ADE 的面积等于 1，那么三角形ABC 的面积是多少？A A D ED EBCBC【稳固】如图，三角形 ABC 被分红了甲(暗影部分)、乙两部分， BD DC 4，BE 3，AE6，乙部分面积是甲部分面积的几倍？A AE 乙E 乙甲甲CCBDBD5、如图在△ABC 中，D 在BA 的延伸线上， E 在AC 上，且AB:AD5:2，AE:EC3:2，S △ADE 12平方厘米，求△ABC 的面积．DDAAEEBCBC89106、以下图，在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，AF 2CF，三角形AFE(图中暗影部分)的面积为11平方厘米．平行四边形的面积是多少平方厘米？D CFA E B7、已知△DEF的面积为7平方厘米，BE CE,AD 2BD,CF 3AF，求△ABC的面积．AFDBEC8、如图，三角形ABC的面积为3平方厘米，此中AB:BE2:5，BC:CD3:2，三角形BDE的面积是多少？ABE ABEC CD D9、(2007年”走美”五年级初赛试题)以下图，正方形ABCD边长为6厘米，AE 1AC，CF1BC．三角形DEF的面积为_______平方厘米．33A DEBF C10、如图，在三角形ABC中，D为BC的中点，E为AB上的一点，且BE1AB，已知四边形EDAC3的面积是35，求三角形ABC的面积。