§1.4_条件概率与概率的三个基本公式

概率的公式

概率的公式在数学中是一个非常重要的概念，它可以用来描述一个事件发生的可能性大小。概率的计算方法有很多种，其中最常用的是基本概率公式和条件概率公式。

一、基本概率公式

基本概率公式是指在随机试验中，某个事件发生的概率等于这个事件发生的次数与总次数之比。具体公式如下：

P(A) = n(A) / n(S)

其中，P(A) 表示事件 A 发生的概率，n(A) 表示事件 A 发生的次数，n(S) 表示随机试验总次数。

二、条件概率公式

条件概率公式是指在已知一个事件发生的前提下，另一个事件发生的概率。具体公式如下：

P(B|A) = P(A∩B) / P(A)

其中，P(B|A) 表示在事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的概率，P(A∩B) 表示事件 A 和事件 B 同时发生的概率，P(A) 表示事件 A

发生的概率。

三、概率的应用

概率的应用非常广泛，我们可以用它来解决各种实际问题。例如，在赌场中，我们可以通过计算概率来预测某个游戏的胜率；在保险业中，我们可以通过计算概率来确定保险费的价格；在医学领域中，我们可以通过计算概率来评估某种疾病的患病风险等等。

概率的公式是数学中非常重要的一部分，它可以帮助我们预测和解决各种实际问题。我们需要不断学习和运用概率的知识，才能更好地应对未来的挑战。

条件概率及全概率专题训练

一、考点梳理

知识点一 条件概率的概念

一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(B|A)＝PABPA为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率．

知识点二 概率乘法公式

对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P(AB)＝P(A)P(B|A)为概率的乘法公式．

知识点三 条件概率的性质

设P(A)>0，则

(1)P(Ω|A)＝1.

(2)如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．

(3)设B和B互为对立事件，则P(B|A)＝1－P(B|A)．

知识点四．全概率公式

一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，

则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝iniiABPAP1，我们称这个公式为全概率公式．

二、题型归纳

考点一:条件概率公式

【例1】甲､乙两人向同一目标各射击1次，已知甲命中目标的概率为13，乙命中目标的概率为12，已知目标至少被命中1次，则甲命中目标的概率为（ ）

A．14 B．13 C．12 D．23

【考点精练】

1．下面几种概率是条件概率的是（ ）

A．甲､乙二人投篮命中率分别为0.6，0.7，各投篮一次都投中的概率

B．甲､乙二人投篮命中率分别为0.6，0.7，在甲投中的条件下乙投篮一次命中的概率

C．有10件产品，其中3件次品，抽2件产品进行检验，恰好抽到一件次品的概率

D．小明上学路上要过四个路口，每个路口遇到红灯的概率都是25，小明在一次上学途中遇到红灯的概率

2．若随机事件A，B满足1()3PA，1()2PB，3()4PAB，则()PAB（ ）

A．29 B．23 C．14 D．16

3．从某高中2021名学生中选取50名学生参加数学竞赛，若采用以下方法选取：先用简单随机抽样方法从2021名学生中剔除21名，再从余下的2000名学生中随机抽取50名.则其中学生丙被选取和被剔除的

1 §1.4 条件概率

本节包括条件概率的定义、加法公式、全概率公式和贝叶斯公式等内容，主要介绍条件概率的定义及其三大公式的计算和应用。

一、条件概率的定义

条件概率要涉及两个事件A与B，在事件B已经发生的条件下，事件A再发生的概率称为条件概率，记为P(A|B)。它与前面所讲的无条件概率是两个完全不同的概念。

例1.5.1 某温泉开发商通过网状管道向25个温泉浴场提供矿泉水，每个浴场要安装一个阀门，这25个阀门购自两家生产厂，其中部分还是有缺陷的，具体情况如下：

B：无缺陷 B：有缺陷 合计

A：生产厂1 10 5

15

A：生产厂2 8 2

10

合计 18 7

25

为作试验，随机地从25个阀门中选出一个，考察如下两个事件：

A：“选出的阀门来自厂1”，

B：“选出的阀门有缺陷”

则P(A)=15/25，P(B)=7/25，P(AB)=5/25。那么

P(A|B)=5/7=57/2525=()()PABPB；

P(B|A)=5/15=1/3=515/2525=()()PABPA。

解释：按厂家和有无缺陷做树状图，很容易求得P(B|A)和P(A|B)。

例 1.4.1 考察有两个小孩的家庭，其样本空间是{,,,}bbbggbgg，其中b代表男孩，g代表女孩，bg代表大的是男孩小的是女孩，依次类推……。

讨论：A“家中至少有一个女孩”， B“家中至少有一个男孩”

计算：(),()PAPB

(|),(|)PABPBA

定义1.4.1 设A，B是样本空间中的两事件，若()0PB，则称

()(|)()PABPABPB

为“在B发生下A的条件概率”，简称条件概率。

例1.4.2 设某样本空间含有25个等可能的样本点，事件A含有15个样本点，事件B含有7个样本点，交事件AB含有5个样本点

计算：(),()PAPB，()PAB

(|),(|)PABPBA 2 概率的有关性质对条件概率是否成立？

§14_条件概率与概率的三个基本公式

条件概率和概率的三个基本公式是概率论中非常重要的概念和公式。条件概率指的是在一些条件下事件发生的概率，而概率则是指事件发生的可能性。

三个基本公式分别是全概率公式、贝叶斯公式和乘法规则。下面将详细介绍这三个公式。

一、全概率公式：

全概率公式是概率论中最基本也是最重要的公式之一、它用于计算一个事件在多个互斥且完备的情况下发生的概率。它的数学表示如下：

P(A)=P(A，B1)P(B1)+P(A，B2)P(B2)+...+P(A，Bn)P(Bn)

其中，P(A)表示事件A发生的概率，B1,B2,...Bn是一组互斥且完备的事件，P(Bi)表示事件Bi发生的概率，P(A，Bi)表示在事件Bi发生的条件下事件A发生的概率。

这个公式的直观理解是将事件A分解成多个情况下事件A发生的概率之和。

二、贝叶斯公式：

贝叶斯公式是由英国数学家贝叶斯提出的。它是用于更新事件发生概率的一种方法。贝叶斯公式的数学表示如下：

P(B，A)=P(A，B)P(B)/P(A) 其中，P(B，A)表示在事件A已经发生的条件下事件B发生的概率，P(A，B)表示在事件B已经发生的条件下事件A发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率，P(A)表示事件A发生的概率。

贝叶斯公式的直观理解是根据已知的信息来更新我们对事件发生概率的估计。

三、乘法规则：

乘法规则是概率论中计算一个复合事件发生概率的一个基本公式。它是由条件概率推导而来的。乘法规则的数学表示如下：

P(A∩B)=P(A，B)P(B)=P(B，A)P(A)

其中，P(A∩B)表示事件A与事件B同时发生的概率，P(A，B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率，P(B，A)表示在事件A发生的条件下事件B发生的概率，P(A)和P(B)分别表示事件A和事件B发生的概率。

乘法规则的直观理解是用事件B发生的概率乘以在事件B发生的条件下事件A发生的概率来计算事件A与事件B同时发生的概率。