高等数学教学备课系统 第一章 函数、极限与连续
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高等数学
教学备课系统
与《高等数学多媒体教学系统（经济类）》配套使用
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2005年9月1至2006年1月10
高等数学教学备课系统 第一章 函数、极限与连续
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微积分是近代数学中最伟大的成就,对它的重要性无论做怎样的估计都不会过分.
冯. 诺伊曼
注：冯. 诺依曼（John von Neumann，1903-1957，匈牙利人），20世纪最杰出的数学家之一，在纯粹数学、应用数学、计算数学等许多分支，从集合论、数学基础到量子理论与算子理论等作多方面，他都作出了重要贡献. 他与经济学家合著的《博弈论与经济行为》奠定了对策论的基础，他发明的“流程图”沟通了数学语言与计算机语言，制造了第一台计算机，被人称为“计算机之父”.
第一章 函数、极限与连续
函数是现代数学的基本概念之一，是高等数学的主要研究对象. 极限概念是微积分的理论基础，极限方法是微积分的基本分析方法，因此，掌握、运用好极限方法是学好微积分的关键. 连续是函数的一个重要性态. 本章将介绍函数、极限与连续的基本知识和有关的基本方法，为今后的学习打下必要的基础.
第一节 函数概念
在现实世界中，一切事物都在一定的空间中运动着. 17世纪初，数学首先从对运动（如天文、航海问题等）的研究中引出了函数这个基本概念. 在那以后的二百多年里，这个概念在几乎所有的科学研究工作中占据了中心位置.
本节将介绍函数的概念、函数关系的构建与函数的特性.
内容分布图示
★ 集合的概念 ★ 集合的运算
★ 区间 ★ 例1 ★ 邻域
第一讲函数、极限与连续
二、在自变量不同变化过程中的函数极限及其联系
1. lim f (x)
X x0 A lim f (x)
X x0 lim f (x) A.
X x0
2. lim f (x)
x A lim f (x) x lim f (x) A. X
3. [im f (x) A lim f (x) A.
4.设 lim Xn
n x°,lim f(x)
x x0 A,则 lim f (xn) lim f (x) A.
n xx° 重要公式与结论
一、函数的奇偶性、周期性与导数、积分的联系
1•设f(x)是可导的偶函数，则f (x)为奇函数，且f (0) 0
设f(x)是可导的奇函数，则f(x)为偶函数。
X __
2•设f(x)连续：如f(x)为偶函数，则0f(t)dt为奇函数;
x
数，则对任意的a，o f(t)dt为偶函数。 f (x)为奇函
3.设f (x)在一a,a上连续，贝卩
f(x)dx a
2 f (x)dx, f (x)为偶函数，
0, f (x)为奇函数,
4•可导的周期函数的导函数仍为同周期函数。
5•设f(x)是以T为周期的连续函数，则
f(x)dx f (x)dx T
2 f(x)dx,
2
nT
0 f(x)dx T n 0 f(x)dx. ［评注］由结论3, 4知可利用函数极限求数列极限。
三、连续的隐含条件
如题中给了连续条件，应充分利用以下结论：
1.设 f(x)在 Xo 处连续，则 f(Xo) lim f(x).
X Xo
2•设f(x)在［a,b］上连续，则f(x)在［a,b］上可积，且可构造f(x)的原函 数Xf(t)dt x b)，对f (x)在［a,b］上可应用最值、介值、零点定理。
a
四、 两个重要极限的一般形式
1. 设 a(x) 0，则 limSna勺 1.
a(x)
2. 设 f (x) 1，贝S
lim f(x严 elimg(x)lnf(x) elimg(x)［f(x) 1］
(完整版)微积分公式大全
1. 极限
极限是微积分的基本概念之一，用于描述函数在某一点处的趋近情况。常见的极限公式包括：
- $\lim\limits_{x \to a} f(x) = L$：函数 $f(x)$ 在点 $a$ 处的极限为 $L$。
- $\lim\limits_{x \to \infty} f(x) = L$：函数 $f(x)$ 在正无穷远处的极限为 $L$。
- $\lim\limits_{x \to a^+} f(x) = L$：函数 $f(x)$ 在点 $a$ 的右侧极限为 $L$。
- $\lim\limits_{x \to a^-} f(x) = L$：函数 $f(x)$ 在点 $a$ 的左侧极限为 $L$。
2. 导数
导数用于描述函数在某一点处的斜率，常见的导数公式有：
- $\frac{d}{dx}(f(x) + g(x)) = \frac{d}{dx}f(x) +
\frac{d}{dx}g(x)$：和的导数等于各个函数导数之和。 - $\frac{d}{dx}(k \cdot f(x)) = k \cdot \frac{d}{dx}f(x)$：常数倍的函数导数等于常数与函数导数的乘积。
- $\frac{d}{dx}(f(x) \cdot g(x)) = f(x) \cdot \frac{d}{dx}g(x) + g(x)
\cdot \frac{d}{dx}f(x)$：乘积的导数等于第一个函数乘以第二个函数的导数再加上第二个函数乘以第一个函数的导数。
- $\frac{d}{dx}(f(g(x))) = \frac{df}{dg} \cdot \frac{dg}{dx}$：复合函数的导数等于外函数对内函数的导数乘以内函数对自变量的导数。
3. 积分
积分是导数的逆运算，用于计算曲线与坐标轴之间的面积或曲线的长度。常见的积分公式有：
- $\int f(x) dx$：函数 $f(x)$ 的不定积分。
《微积分》讲义
第一章 极限
一、函数极限的概念：f＝A
要点：⑴ x 为变量；⑵ A 为一常量。
二、函数极限存在的充分必要条件：
f＝A f＝A， f＝A
例：判定 是否存在？
三、极限的四则运算法则
⑴ ＝f± g
⑵ ＝f · g
⑶ ＝ …… g≠0
⑷ k·f＝k· f
四、例：
⑴
⑵
⑶
⑷
五、两个重要极限 ⑴ ＝1 ＝1
⑵ ＝e ＝e ………
型
理论依据：
⑴ 两边夹法则：若f≤g≤h，且 limf＝limh＝A，
则：limg＝A
⑵ 单调有界数列必有极限。
例题：
⑴ ＝
⑵ ＝
⑶ ＝
⑷ ＝
⑸ ＝
六、无穷小量及其比较
1、无穷小量定义：在某个变化过程中趋向于零的变量。
2、无穷大量定义：在某个变化过程中绝对值无限增大的变量。
3、高阶无穷小，低阶无穷小，同阶无穷小，等价无穷小。
4、定理： f＝A f＝A＋a （ a＝0）
七、函数的连续性 1、定义：函数y＝f在点处连续……在点处给自变量x一改变量
x：
⑴ x0时，y0。即： y＝0
⑵ f＝f
⑶ 左连续： f＝f 右连续： f＝f
2、函数y＝f在区间上连续。
3、连续函数的性质：
⑴ 若函数f和g都有在点处连续，则：f±g、f·g、
（g()≠0）在点处连续。
⑵ 若函数u＝j在点处连续，而函数y＝f在点＝j()处连续，
则复合函数 f(j(x)) 在点处连续。
例： ＝
＝
＝
4、函数的间断点：
⑴ 可去间断点： f＝A，但 f 不存在。
⑵ 跳跃间断点： f＝A ， f＝B，但 A≠B。
