贝叶斯网络, 条件概率、全概率公式

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1-4 条件概率,全概率公式,贝叶斯公式

且等于它们的总和：出最终结果. 义： n
P (B )

P ( A i B ).
i1
A2
A1
B
A3
A n 1
An
例4 甲、乙两个箱子,甲箱中装有两个白球,一个黑球;乙箱中装有一个白球,两个黑球.现由甲箱中任取一球放入乙箱,再从乙箱中任取一球, 问取到白球的概率是多少? 解以A1表示事件“从甲箱中取出一个白球”, A2表示“从甲箱中取出一个黑球”这一事件, 以B表示“从乙箱中取出一个白球”这一事件, 则: A1 A 2 , A1 A 2 , 则且
1
第 n1 次取出黑球； A n
A n 表示第 n 次取出红球，则 b P ( A1 ) br
1 1
表示第 n 1 1 次取出红球
P ( A 2 | A1 )
bc brc

P ( A n | A1 A 2 A n
1
1 ) 1

b ( n1 1) c b r ( n1 1) c r b r n1 c rc b r ( n1 1) c
P (B A) P ( AB ) P ( A)
因为 P ( A ) 0 . 8 ,
P ( B ) 0 .4 ,
.
( B A , AB B ) P ( AB ) P ( B ),
所以 P ( B A )
P ( AB ) P ( A)

0 .4 0 .8

1 2
.
3. 条件概率的性质
P ( B ) P ( B ) P(B) P(B) P(B) 1
(3) 可列可加性：

全概率公式和贝叶斯公式

全概率公式和贝叶斯公式全概率公式（Law of Total Probability）和贝叶斯公式（Bayes' theorem）是概率论中的两个重要公式，用于计算复杂概率问题的解法。

在本文中，我们将详细介绍这两个公式的含义、推导过程和应用。

一、全概率公式（Law of Total Probability）设A是样本空间S的一个非空子集，B1,B2,...,Bn是样本空间的一个划分，即B1,B2,...,Bn两两互不相交，且它们的并集是整个样本空间S。

则对任何事件A，有如下公式成立：P(A)=P(A，B1)P(B1)+P(A，B2)P(B2)+…+P(A，Bn)P(Bn)其中，P(A，Bi)是条件概率，表示在事件Bi发生的条件下事件A发生的概率；P(Bi)是事件Bi的概率。

由概率的加法公式可知，P(A)=P(A∩B1)+P(A∩B2)+…+P(A∩Bn)利用条件概率的定义，P(A，Bi)=P(A∩Bi)/P(Bi)，将其带入上式中，有P(A)=P(A∩B1)/P(B1)P(B1)+P(A∩B2)/P(B2)P(B2)+…+P(A∩Bn)/P(B n)P(Bn)全概率公式的应用非常广泛。

例如，在医学诊断中，假设其中一种疾病的发病率与其中一种基因的突变有关，而该基因的突变状态是未知的。

根据现有的数据，可以计算出在其中一种突变状态下患病的概率。

全概率公式可以用来计算该疾病的总发病率，从而为医学诊断提供帮助。

二、贝叶斯公式（Bayes’ theorem）贝叶斯公式是概率论中的另一个重要公式，是在已知条件下计算事件的条件概率的一种方法。

该公式基于贝叶斯理论，可以通过已知的事实来更新假设的概率。

设A是样本空间S的一个非空子集，B1,B2,...,Bn是样本空间的一个划分。

则根据贝叶斯公式，对任何事件A和事件Bi有如下公式成立：P(Bi，A)=P(A，Bi)P(Bi)/[P(A，B1)P(B1)+P(A，B2)P(B2)+…+P(A，Bn)P(Bn)]其中，P(Bi，A)是在事件A发生的条件下事件Bi发生的概率，称为后验概率；P(A，Bi)是在事件Bi发生的条件下事件A发生的概率，称为似然函数；P(Bi)是事件Bi的概率，称为先验概率。

条件概率、全概率公式、贝叶斯公式

因为 P ( A) 0.8,
P ( B ) 0.4,
P ( AB ) P ( B ),
P ( AB ) 0.4 1 . 所以 P ( B A) 0.8 2 P ( A)
第二节全概率公式
再回忆一下条件概率的定义:
P( AB ) P( B | A) P( A) 要求 P( A) 0 .
第三章
第三章条件概率与事件的独立性
一、条件概率二、全概率公式三、贝叶斯公式四、事件的独立性五、伯努利实验和二项概率
第一节条件概率
前面讲的概率问题没有什么附加条件，但实际中可能会经常遇到许多有条件的概率问题比如： (1)已知某人爱滋病检查为阳性，求他患爱滋病的概率； (2)在摸奖中已知第一人已经或未摸到一等奖，求第二人摸到一等奖的概率。 (3)人寿保险中常常会考虑：已知某人已经活了x岁，求他能再活y岁的概率。
完备事件组（样本空间的一个划分）定义1 设事件Ａ1，Ａ2，…，Ａn为样本空间的一组事件。 … A1 如果 A2 (1) Ai Aj= （i≠j）; (2)
An
A3 …
A
i 1
n
i

则称Ａ1，Ａ2，…，Ａn为样本空间的一个划分。
定理设试验Ｅ的样本空间为Ω，设事件A1，A2，…，An为样本空间Ω的一个划分，且P(Ａi)>0 (i =1,2, …,n)．则对任意事件B，有
古典概型
设 A 表示任取一球，取得白球； B 表示任取一球，取得木球.
所求的概率称为在事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率。记为 P B A
从而有
4 k AB P ( B | A) kA 7 k AB / n 4 /10 k A / n 7 /10

条件概率全概率公式与贝叶斯公式

(1) p 4 2 34 2 .
2 2
27
（2）
342
p
2
2
2
34
5 ? 10片中有5片安慰剂；
(1)从中任取5片，求A:? 其中至少有2片安慰剂”的概率；
解：P(A) 1 P(A) =1
(2)每次取1片，不放回地取，
[
C50C55 C150
C15C54 C150
]
求B:? 前三次都取到安慰剂”的概率；
作业 1、证明：B A AB AB
证明： AB AB ( AB)( AB) ( A U B)( AB) ( AAB) U(BAB) AB B A
2、证明： ( AB) U ( A B ) ( A B)U(B-A ) 证明： ( AB) ( AB ) AB AB
( A U B)( A U B) ( A U B) A U( A U B)B
20 定义
设 A, B 是两个事件,且 P( A) 0,称 P(B A) P( AB) P( A)
为在事件 A 发生的条件下事件B发生的条件概率.
若 P(B) 0，同样可称 P( A | B) P( AB) P(B)
为在事件 B 发生的条件下事件 A 发生的条件概率。
时间上：先后；逻辑上：主从关系
一、条件概率
10 引入
对于古典概型问题，设试验 E 的样本空间为
S={e1,e2 , ,en }，容量为 n
A容量为m，B容量为v, AB容量为k
由古典概率得
S'=A
P( A) m , P( AB) k , P(B) v ,
n
n
n
P(B | A) k ,
m
可以发现 P(B | A) P( AB) , P( A)

条件概率全概公式贝叶斯公式

条件概率全概公式贝叶斯公式1.条件概率条件概率指的是事件A在另一个事件B发生的条件下发生的概率，通常表示为P(A，B)。

条件概率的计算公式为：P(A，B)=P(A∩B)/P(B)其中P(B)不为0。

条件概率可以看作是在已知发生了B的情况下，事件A发生的概率。

2.全概公式全概公式也称为全概率公式，用于计算一个事件发生的概率。

假设有一组互斥且完备的事件B1,B2,...,Bn，全概公式表示为：P(A)=P(A，B1)P(B1)+P(A，B2)P(B2)+...+P(A，Bn)P(Bn)其中P(A，Bi)表示在事件Bi发生的条件下事件A发生的概率，P(Bi)表示事件Bi发生的概率。

全概公式可以通过将事件A分解成一组互斥且完备的事件的条件概率的和来计算事件A的概率。

贝叶斯公式是一种根据先验概率和条件概率来计算后验概率的公式，对于两个事件A和B，贝叶斯公式表示为：P(A，B)=(P(B，A)P(A))/P(B)贝叶斯公式可以通过先验概率P(A)和条件概率P(B，A)来计算后验概率P(A，B)。

在实际应用中，贝叶斯公式常用于基于已知结果来更新先前猜测或估计的概率。

在机器学习中，条件概率、全概公式和贝叶斯公式被用于分类问题。

通过计算不同类别的条件概率和先验概率，可以使用贝叶斯公式来计算后验概率，进而进行分类。

在数据挖掘中，贝叶斯网络是一种常用的建模工具，通过条件概率和全概公式来描述变量之间的依赖关系。

贝叶斯网络可以用于概率推断、预测和填补缺失数据等任务。

在金融建模中，贝叶斯公式被用于计算风险概率和投资决策。

通过将已知的市场信息和先验概率结合起来，可以使用贝叶斯公式来更新投资决策的风险概率。

总结而言，条件概率、全概公式和贝叶斯公式是概率论中的基本概念和公式，它们在各个领域的实际应用中发挥着重要的作用。

理解和掌握这些概念和公式对于数据分析和决策具有重要的意义。

条件概率全概率公式和贝叶斯公式.ppt

(4) 一般地， P(B | A) P(A | B) ．
2020年10月7日星期三
6
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【例 11】某疾病 D 的医学检验结果可能为阳性(+)和阴性 ( )，其概率如下：
D
D
+
0.009
0.099
不要
0.001
0.891
轻
由条件概率的定义可得易Fra bibliotekP( | D) P( D) 0.009 0.9, P(D) 0.009 0.001
5
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关于条件概率，作如下几点说明：
(3) 计算条件概率可选择如下两种方法之一：① 在原样本空间中，先计算 P(AB), P(A) ，再按公式 P(B | A) P(AB) 计算；②由于事件 A 已经出现，它可以
P( A) 看成新的样本空间，因此可以在缩小后的样本空间 A 中计算事件 B 发生的概率 P(B | A) ．
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事实上，设试验中样本点的总数为 n ，事件 A 所包
含的样本点的个数为 m(m 0) ，AB 所包含的样本点的个
数为 k ，则有
k
P(B
|
A)
k m
n m
P(AB) ． P( A)
n 一般地，人们将上述关系式作为条件概率的定义．
2020年10月7日星期三
3
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一、条件概率
11
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a (m 1)c P( Am | A1A2 Am1) a b (m 1)c ,
b P( Am1 | A1A2 Am ) a b mc ,

概率基础和贝叶斯公式

全概率公式
A AS A ( B1 B2 Bn ) AB1 AB2 ABn . 由 Bi B j ( ABi )( AB j )
证明
P ( A) P ( AB1 ) P ( AB2 ) P ( ABn )
P ( A B1 ) P ( B1 ) P ( A B2 ) P ( B2 ) P ( A Bn ) P ( Bn ).
P ( ABi ) P ( A Bi ) P ( Bi )
每一原因Bi都可能导致A发生，故 A发生的概率是各原因引起A发生概率的总和，即全概率公式.
P ( A) P ( A Bi ) P ( Bi )
i 1 n
再看引例１有三个罐子,1号装有 2 红 1 黑球 , 2号装有 3 红 1 黑球，3号装有 2 红 2 黑球. 某人从中随机取一罐，再从中任意取出一球，求取得红球的概率. 解记 Bi ={ 球取自 i 号罐 } i=1, 2, 3; A ={ 取得红球 } 1 2
3. 全概率公式与贝叶斯公式
(1) 样本空间的划分
定义设 S 为试验E的样本空间, B1 , B2 ,, Bn 为 E 的一组事件, 若 (i ) Bi B j , i j , i , j 1, 2,, n ; (ii ) B1 B2 Bn S . 则称 B1 , B2 ,, Bn 为样本空间 S 的一个划分.
贝叶斯公式 P ( A Bi ) P ( Bi ) P ( Bi A) n , i 1, 2,, n P( A B j )P(B j )
j 1
( 2) 条件概率 P ( A B) 与积事件概率 P ( AB) 的区别.
P ( AB ) 表示在样本空间S 中, AB 发生的概率, 而 P ( A B ) 表示在缩小的样本空间 S B B 中 , AB 发生的概率. 用古典概率公式 ,则 N ( AB ) P ( B A) , N ( SB ) N ( AB ) P ( AB ) , N (S) 一般来说, P ( B A) 比 P ( AB ) 大 .

概率论与数理统计随机事件与概率全概率公式与贝叶斯公式

概率论与数理统计随机事件与概率全概率公式与贝叶斯公式全概率公式和贝叶斯公式是概率论与数理统计中常用的工具，用来计算事件的概率。

下面将分别介绍这两个公式。

全概率公式是概率论中的一个重要定理，用来计算条件概率。

它指出，如果有一组互斥且完备的事件A1，A2，…，An，即这些事件两两互斥且它们的并集等于全样本空间，那么对于任意一个事件B，可以通过以下公式计算其条件概率P(B)：P(B)=P(A1)P(B，A1)+P(A2)P(B，A2)+…+P(An)P(B，An)其中，P(Ai)表示事件Ai发生的概率，P(B，Ai)表示在事件Ai发生的条件下事件B发生的概率。

全概率公式的应用非常广泛，特别在贝叶斯定理的推导中非常有用。

贝叶斯公式是概率论与数理统计中一种常用的计算概率的方法，它使用了全概率公式的思想。

贝叶斯公式可以用来计算在已知其中一事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。

P(A，B)=P(B，A)P(A)/P(B)其中，P(A，B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率，P(B，A)表示在事件A发生的条件下事件B发生的概率，P(A)和P(B)分别表示事件A和事件B发生的概率。

贝叶斯公式通常用于处理具有不完备信息的问题，根据已知的信息更新先验概率得到后验概率，并基于后验概率进行进一步的推断和决策。

全概率公式和贝叶斯公式是概率论与数理统计中两个重要且相互关联的公式。

全概率公式通过将一个事件分解为多个互斥且完备的小事件，计算条件概率；而贝叶斯公式则通过已知信息计算先验概率，并根据新的信息更新概率。

这两个公式在实际问题的求解中经常起到至关重要的作用。

通过灵活应用全概率公式和贝叶斯公式，我们可以更好地理解随机事件的发生规律，并进行统计数据的分析与预测。

全概率公式、贝叶斯公式推导过程

全概率公式、贝叶斯公式推导过程（1）条件概率公式设A,B是两个事件，且P(B)>0,则在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率（conditional probability)为：P(A|B)=P(AB)/P(B)（2）乘法公式1.由条件概率公式得：P(AB)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)上式即为乘法公式；2.乘法公式的推广：对于任何正整数n≥全概率公式、贝叶斯公式推导过程（1）条件概率公式设A,B是两个事件，且P(B)>0,则在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率（conditional probability)为：P(A|B)=P(AB)/P(B)（2）乘法公式1.由条件概率公式得：P(AB)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)上式即为乘法公式；2.乘法公式的推广：对于任何正整数n≥2，当P(A1A2...A n-1) > 0 时，有：P(A1A2...A n-1A n)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)...P(A n|A1A2...A n-1)（3）全概率公式1. 如果事件组B1，B2，.... 满足1.B1，B2....两两互斥，即B i ∩ B j = ∅，i≠j ，i,j=1，2，....，且P(B i)>0,i=1,2,....;2.B1∪B2∪....=Ω ，则称事件组B1,B2,...是样本空间Ω的一个划分设 B1,B2,...是样本空间Ω的一个划分，A为任一事件，则：上式即为全概率公式（formula of total probability)2.全概率公式的意义在于，当直接计算P(A)较为困难,而P(B i),P(A|B i) (i=1,2,...)的计算较为简单时，可以利用全概率公式计算P(A)。

思想就是，将事件A分解成几个小事件，通过求小事件的概率，然后相加从而求得事件A的概率，而将事件A进行分割的时候，不是直接对A进行分割，而是先找到样本空间Ω的一个个划分B1,B2,...B n,这样事件A就被事件AB1,AB2,...AB n分解成了n部分，即A=AB1+AB2+...+AB n, 每一B i发生都可能导致A发生相应的概率是P(A|B i)，由加法公式得P(A)=P(AB1)+P(AB2)+....+P(AB n)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+...+P(A|B n)P(PB n)3.实例：某车间用甲、乙、丙三台机床进行生产，各台机床次品率分别为5%，4%，2%，它们各自的产品分别占总量的25%，35%，40%，将它们的产品混在一起，求任取一个产品是次品的概率。

§14_条件概率与概率的三个基本公式

§14_条件概率与概率的三个基本公式条件概率和概率的三个基本公式是概率论中非常重要的概念和公式。

条件概率指的是在一些条件下事件发生的概率，而概率则是指事件发生的可能性。

三个基本公式分别是全概率公式、贝叶斯公式和乘法规则。

下面将详细介绍这三个公式。

一、全概率公式：全概率公式是概率论中最基本也是最重要的公式之一、它用于计算一个事件在多个互斥且完备的情况下发生的概率。

它的数学表示如下：P(A)=P(A，B1)P(B1)+P(A，B2)P(B2)+...+P(A，Bn)P(Bn)其中，P(A)表示事件A发生的概率，B1,B2,...Bn是一组互斥且完备的事件，P(Bi)表示事件Bi发生的概率，P(A，Bi)表示在事件Bi发生的条件下事件A发生的概率。

这个公式的直观理解是将事件A分解成多个情况下事件A发生的概率之和。

二、贝叶斯公式：贝叶斯公式是由英国数学家贝叶斯提出的。

它是用于更新事件发生概率的一种方法。

贝叶斯公式的数学表示如下：P(B，A)=P(A，B)P(B)/P(A)其中，P(B，A)表示在事件A已经发生的条件下事件B发生的概率，P(A，B)表示在事件B已经发生的条件下事件A发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率，P(A)表示事件A发生的概率。

贝叶斯公式的直观理解是根据已知的信息来更新我们对事件发生概率的估计。

三、乘法规则：乘法规则是概率论中计算一个复合事件发生概率的一个基本公式。

它是由条件概率推导而来的。

乘法规则的数学表示如下：P(A∩B)=P(A，B)P(B)=P(B，A)P(A)其中，P(A∩B)表示事件A与事件B同时发生的概率，P(A，B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率，P(B，A)表示在事件A发生的条件下事件B发生的概率，P(A)和P(B)分别表示事件A和事件B发生的概率。

乘法规则的直观理解是用事件B发生的概率乘以在事件B发生的条件下事件A发生的概率来计算事件A与事件B同时发生的概率。

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对事件发生的可能性做出的重新认识，体现了已有信息带来的知识更新.
贝叶斯公式给出了‘结果’事件B
已发生的条件下，‘原因’事件的条件概率.
从这个意义上讲，它是一个“执果索因”
为先验概率（PriorProbability），而把称为后验概率（ Posterior Probability），这是
在已有附加信息（即事件B已发生）之后
§1.5 条件概率、全概率公式和贝叶斯公式
一、条件概率
简单地说，条件概率就是在一定附加条件之下的事件概率.
从广义上看，任何概率都是条件概率，因为任何事件都产生于一定条件下的试验或观察，但我们这里所说的“附加条件”是指除试验条件之外的附加信息，这种附加信息通常表现为 “已知某某事件发生了”
这一公式最早发表于1763年，当时贝叶斯已经去世，其结果没有受到应有的重视. 后来，人们才逐渐认识到了这个著名概率公式的重要性. 现在，贝叶斯公式以及根据它发展起来的贝叶斯统计已成为机器学习、人工智能、知识发现等领域的重要工具.