简介数学黑洞问题
甘志国(已发表于 数学通讯，2014(10上)：43-44)
高考题 (2014湖北·理·13)设a 是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数，将组成a 的3个数字按从小到大排成的三位数记为()I a ，按从大到小排成的三位数记为()D a (例如815a =，则()158I a =，()851D a =).阅读如图1所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a ，输出的结果b =________.
图1
本题的答案是495(由以下定理1(3)的证明可给出其简洁解答).这道高考题的背景是数学黑洞问题，本文对此作以简单介绍.
n K 变换黑洞的定义]1[ 以下各定义中的记号在全文中通用.
(1)把{}1212(,,,0,1,2,,9)n n a a a a a a ∈
叫做一个∈n n (N *)位数码，定义其大小为12012101010n n n a a a --?+?++? ，把n 位数码的集合组成的集合记作n M ；
(2)设把n 位数码12n a a a 的各位数字重排得到的最大n 位数码是12n i i i a a a (即12n i i i a a a ≥≥≥ )，定义122112()n n n n i i i i i i K a a a a a a a a a =- (所得结果一定要改
写成n 位数码，比如090110)01(2=-=K (也可记作01→09)，所以n K 是n M 的一个变换)；
(3)对任意一个n 位数码12n a a a 连续作n K 变换一定会出现循环(因为n K 变换可不断进行下去，但变换的结果最多只有n
10个，所以必定会出现两个结果相同的情形，这样就
会出现循环了)，比如对01作2K 变换就会出现周期为5的循环：
01→09→81→63→27→45→09→…
这时，把“09→81→63→27→45”叫做对01作2K 变换产生的黑洞(写出黑洞时，数据的个数一般要最少，即一般不把此黑洞写成“09→81→63→27→45→09→81→63→27→45”或更长的形式；当然，09→81→63→27→45，81→63→27→45→09，63→27→45→09→81，27→45→09→81→63，45→09→81→63→27这五种写法都叫做对01作2K 变换产生的黑洞，且对它们不加区别，此黑洞中数据的个数5叫做此黑洞的长度；因为由01开始经过一步变换就开始进入黑洞，所以就把1叫做01到黑洞的路程，简称黑程)；
(4)把集合n M 中所有元素的n K 变换的黑洞组成的集合记作)(n n M DK ，显然)(0000
n n n M DK ∈
个； (5)把集合n M 中所有元素的n K 变换的黑洞的黑程的最大值记作)(n n M lK .
定理1 (1)0)(},0{)(1111==M lK M DK ；
(2)1)(45},27638109,00{)(2222=→→→→=M lK M DK ；
(3)2)(},495,000{)(3333==M lK M DK ；
(4)7)(},6174,0000{)(4444==M lK M DK .
证明 (1)可直接验证.
(2)可不妨设2位数码是)90(≤≤≤b a ab .
当b a <时，得
)(91010)(2a b b a a b ab ba ab K -=--+=-=
因为}9,,2,1{ ∈-a b ，所以}81,72,63,54,45,36,27,18,09{)(2∈ab K .再由n K 变换黑洞的定义(3)中的举例，可得此时欲证成立.
当b a =时，也可得欲证成立.
(3)可不妨设3位数码是)90(≤≤≤≤c b a abc .
当c a <时，得
)(991010010100)(3a c c b a a b c abc cba abc K -=---++=-=
因为}9,,2,1{ ∈-a c ，所以}891,792,693,594,495,396,297,198,099{)(3∈abc K .对于这个集合中的数，除495经过0步3K 变换进入黑洞(且黑洞是495)外，其余的8个数都是经过1
步3K 变换进入黑洞(且黑洞是495)，所以此时欲证成立.
当c a =时，也可得欲证成立.
(4)可不妨设4位数码是)90(≤≤≤≤≤d c b a abcd .
当d a <时，得
)(90)(999)(4b c a d abcd dcba abcd K -+-=-=
因为}9,,2,1,0{},9,,2,1{ ∈-∈-b c a d ，又b c a d -≥-，所以)9,9(,),1,9(),0,9(,),2,2(),1,2(),0,2(),1,1(),0,1{(),( ∈--b c a d (这个集合是54个元素)，接下来可验证这54种情形均成立(比如，由9600经过7步4K 变换进入黑洞)，所以此时欲证成立.
当d a =时，也可得欲证成立.
下面再介绍几种数学黑洞问题
]1[. 1.k CS 变换黑洞
设k 是已知的正整数，121(0)n a a a a ≠ 是已知的n 位正整数，定义
1212()k k k k n n CS a a a a a a =+++ ，
则k CS 是N*的一个变换，把这种变换就叫做k CS 变换，也叫做正整数的各位数字k 次幂之和变换.
文献[1]已证：对于任意已知的正整数k ，由任意已知的正整数m ，均可得到k CS 变换黑洞，水仙花数153就是有名的例子.
2.k U 变换黑洞
设k 是已知的正整数，121(0)n a a a a ≠ 是已知的n 位正整数，
设12,,,n a a a 中被k 除余1,,1,0-k 的数分别为110,,,-k n n n 个(有n n n n k =+++-110 )，把n n n n k ,,,,110- 依序写成一个新数x (数x 前面的0不写)，定义12()k n U a a a x = (比如22(110)123,(111)33U U ==)，则k U 是N*的一个变换，把这种变换就叫做k U 变换.
文献[1]已证：对于任意已知的正整数k ，由任意已知的正整数m ，均可得到k U 变换黑洞，比如1U (N*)={22}，2U (N*)={123}.
3.一个著名猜想——13+x 问题]2[
13+x 问题也称克拉茨问题、叙拉古问题、角谷猜想，是尚未解决的著名数学难题之一.这个问题人人都会演算，但要证明它却像对付坚硬的磐石，它似乎能轻易地挫去你智慧的锋芒.
该问题是这样的：对于任意给定的正整数，连续进行如下运算：如果它是偶数，就除以2，如果还是偶数，就再除以2，……，直至得到一个奇数；再把这个奇数乘以3再加上1，这样就得到了偶数，把这个偶数就再除以2，……这样一直运算下去，比如
17→52→26→13→40→20→10→5→16→8→4→2→1→4→2→1→…
人们由此提出了这样的问题(猜想)：对于任意的正整数，进行上述运算，是不是都能得到黑洞“4→2→1”呢？
题意如此清晰明了，连小学生都能看懂、讲清楚的问题，却难倒了20世纪及新千年的许多大数学家.当时，有许多专家、学者都对这个问题陷入了狂热的迷恋，在东方对这个问题进行传播的日本数学家角谷静夫(1911-2004)曾撰文描写过人们对这个问题狂热迷恋的情景：“据说，耶鲁大学有长达一个月之久，人人都在研究这个问题，但却没有任何结果.”经过几十年的探索与研究，人们似乎接受了大数学家爱尔希特的说法：数学家还没有成熟到足以解决这样的问题.
早在20世纪80年代，数学家们已经借助电子计算机验证了402以内的正整数对13+x 问题是成立的，究竟何时才能完全解决这个难题，我们将拭目以待.
参考文献
1 甘志国.缩小变换黑洞[J].高等函授学报(自然科学版)，1997(4)：56-59
2 甘志国著.初等数学研究(II)下[M].哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2009.436
b a 05 4 1.3)53(4.2+--- －16 +（16-25）－（15－10） －5.4 + 0.2－0.6 + 0.8 （－261）＋143－1.75－（－33 2） （－6.25）－|－3.75| 1.125＋（－35 2）＋（－8 1）＋（－0．6） 若a =19，b =97，且b a +=a +b ，求a +b 的值． 使等式|x -7|=|x |+|-7|成立的有理数x 是（ ） A.任意一个正数 B.任意一个非正数 C.任意一个小于7的有理数 D.任意一个有理数. 有理数a,b 之间的关系如图所示,借助于数轴和加法法则判断下列各式计算结果与0的大小： (1)a+b 0 (2)a+(－b) 0 (3)(－a)+b 0 (4)(－a)+(－b) 0 一口水井，水面比井口低3米，一只蜗牛从水面沿着井壁往井口爬，第一次往上爬了0.42米 ，却下滑了0.15米；第二次往上爬了0.5米后又往下滑了0.1米；第三次往上爬了0.7米又下滑了0.15米；第四次往上爬了0.75米又下滑0.1米，第五次往上爬了0.55米，没有下滑；第六次蜗牛又往上爬了0.48米没有下滑， 请回答： （1）第二次爬之前，蜗牛离井口还有 米；第四次爬之前，蜗牛离井口还有 米； （2）最后一次蜗牛有没有爬到井口？若没有，那么离井口还有多少米？
下表列出了国外几个城市与北京的时差（带正号的数表示同一时刻比北京时间早的时数） （1）如果现在北京的时间是7∶00，那么现在纽约的时间是多少？ （2）小明现在想给远在巴黎的姑妈打电话，你认为合适吗？ 两点之间的距离表示为当在原点，如图⑴，；；都在原点的左边，；都在原点的两边，；两点之间的距离 . ，如果 那么③若点A 在数轴上表示的数是x ，当4-x =3，则x= ；当3+x =2，则x= 。 若A ，B 两点之间的距离为d ，A ，B 表示的数分别为a 、b ，写出d 与a 、b 之间的关系。 ④若点A 在数轴上表示的数是x ，当点A 在什么位置时，21-++x x 取得最小值？最小
从中学教师到著名数学家 甘志国(已发表于新高考(高二·数学(文科))，2016(4)：15-17) 一位中学教师也可进入高等数学领地攻城掠地、成名成家，比如攻克了斯坦纳系列和寇克曼系列世界难题的包头九中物理教师陆家曦(1935-1983)获得国家自然科学一等奖；开创了机械证明领域的吴文俊(1919- )1940年从上海交通大学毕业，时值抗日战争，因家庭经济原因经朋友介绍到租界里一所育英中学工作，1941年12月珍珠港事件后，日军进驻各租界，而后他又到上海培真中学工作；著名数学家陈景润(1933-1996)也在北京四中任教过；高中数学教师费尔巴哈于1822年也发现了九点圆(也称费尔巴哈圆，最早是欧拉于1765年发现的).其实，从中学数学教师起步一直到成为数学大家在中外数学史上都不乏其人. 本文将再介绍从中学教师成长起来的五位著名数学家. 1 现代分析之父魏尔斯特拉斯 卡尔·特奥多尔·威廉·魏尔斯特拉斯(Karl Theodor Wilhelm Weierstrass，1815-1897)，德国数学家.先在波恩大学读法律，后入明斯特大学研习数学，1854年获哥尼斯堡大学名誉博士学位，1856年当选为柏林科学院院士. 魏尔斯特拉斯 魏尔斯特拉斯作为现代分析之父，工作涵盖幂级数理论、实分析、复变函数、阿贝尔函数、无穷乘积、变分学、双线型与二次型、整函数、椭圆函数论、变分法、代数学等.他的论文与教学影响了整个二十世纪分析学(甚至整个数学)的风貌. 魏尔斯特拉斯于1860年用递增有界数列定义无理数，将实数理论作为数学分析的严格基础，综合波尔查诺(Bernhard Placidus Johann Nepomuk Bolzano，1781-1848)和柯西 ε-方法.严格论证了连(Augustin Louis Cauchy，1789-1857)的成果，提出极限理论中的δ 续函数的性质，1875年指出处处不可导的连续函数的例子，以幂级数的观点发展解析函数论，得出了关于解析开拓的定理，以及关于椭圆函数的新理论等.在变分法、微分几何、线性代数等方面也都有重要贡献.身后编有《全集》八卷. 魏尔斯特拉斯曾于1841年秋至1842年秋在明斯特文科中学见习一年，1842年转至西普鲁士克隆的初级文科中学，除数学、物理外，他还教德文、历史、地理、书法、植物，甚至于在1845年还教体育.著名数学家古德曼(Gudemann)在看到魏尔斯特拉斯的求椭圆函数的幂级数展开式的论文后评价说：“为作者本人，也为科学进展着想，我希望他不会当一名
数学黑洞 数学黑洞 茫茫宇宙之中,存在着这样一种极其神秘的天体叫“黑洞”（black hole）。黑洞的物质密度极大，引力极强，任何物质经过它的附近，都要被它吸引进去，再也不能出来，包括光线也是这样，因此是一个不发光的天体黑洞的名称由此而来。由于不发光，人们无法通过肉眼或观测仪器发觉它的存在，而只能理论计算或根据光线经过其附近时产生的弯曲现象而判断其存在。虽然理论上说，银河系中作为恒星演化终局的黑洞总数估计在几百万到几亿个之间，但至今被科学家确认了的黑洞只有天鹅座X－1、大麦哲伦云X－3、AO602－00等极有限的几个。证认黑洞成为21世纪的科学难题之一。 数学被誉为“科学之母”，在现代科技的发展中起着定海神针般的作用，而现代的战争更是被认为将是一场“数学家和信息学家的战争”。在信息战中，要运用数学作大量的模拟运算，运用数学在空间作精确的定位，运用数学对导弹作精密制导，运用数学来研究保密通信的算法，运用数学作为网络攻击利器。 无独有偶，在数学中也有这种神秘的黑洞现象。 1.123黑洞（即西西弗斯串） 数学中的123就跟英语中的ABC一样平凡和简单。然而，按以下运算顺序，就可以观察到这个最简单的 黑洞值： 设定一个任意数字串，数出这个数中的偶数个数，奇数个数，及这个数中所包含的所有位数的总数，
例如：1234567890， 偶：数出该数数字中的偶数个数，在本例中为2，4，6，8，0，总共有5 个。 奇：数出该数数字中的奇数个数，在本例中为1，3，5，7，9，总共有5 个。 总：数出该数数字的总个数，本例中为 10 个。 新数：将答案按“偶-奇-总”的位序，排出得到新数为：5510。 重复：将新数5510按以上算法重复运算，可得到新数：134。 重复：将新数134按以上算法重复运算，可得到新数：123。 结论：对数1234567890，按上述算法，最后必得出123的结果，我们可以用计算机写出程序，测试出对任意一个数经有限次重复后都会是123。换言之，任何数的最终结果都无法逃逸123黑洞。 “123数学黑洞（西西弗斯串）”现象已由中国回族学者秋屏先生于2010年5月18日作出严格的数学证明，请看他的论文：《“数学黑洞（西西弗斯串）”现象与其证明》。自此，这一令人百思不解的数学之谜已被彻底破解。此前，美国宾夕法尼亚大学数学教授米歇尔〃埃克先生仅仅对这一现象作过描述介绍，却未能给出令人满意的解答和证明。 2、6174和395 前苏联的科普作家高基莫夫在他的著作《数学的敏感》一书中，提到了一个奇妙的四位数6174，并把它列作“没有揭开的秘密”。不过，近年来，由于数学爱好者的努力，已经开始拨开浓雾，逐步见天日了。 6174有什么奇妙之处？ 请随便写出一个四位数，这个数的四个数字有相同的也不要紧，但不准这四个数完全相同，例如3333、7777等都应该排除。 写出四位数后，要把它整理一下，其办法是：把这个数中的各位数字按大到小的顺序和从小到大的顺序重新排列，将得到由这四个数字组成的四位数中的最大者和最小者，两者相减，就得到另一个四位数（如果数位不足，就在前面添0补足四位）。将组成这个四位数的四个数字施行同样的变换，又得到一个最大的数和最小的数，两者相减，……这样循环下去，一定在经过若干次（最多7次）变换之后，得到6174。
小学数学论文-浅谈小学数学文化的培养人教版新课标 新课程标准关注的不仅仅是知识与技能，还包括过程、方法和情感、态度、价值观，在数学教学中我们不能仅仅通过教和学的方式方法的转变怎样来贯彻实施，因为，作为过程与方法和情感、态度、价值观是无法由简单教和学的方式方法获得。此时，数学本身所蕴含的文化，就理应成为我们关注的对象。 一什么是数学文化？数学文化对数学教育有何作用？ 美国学者怀特认为，“文化的特征是存在于个人意识之外并不依赖个人意识，个人通过学习其他个群体的习俗、信仰和技术来获得文化。”因此，首要的，数学对象是人类抽象思维的产物，它的抽象性决定数学就是一种文化。 作为人类抽象产物的数学，在最初的应用需要中，由数学语言系统演绎、逻辑系统推理，从而成为由数学史、数学思想、数学著作、数学工具等构成的人类文化的一部分，而其语言、逻辑系统促进思维的发展，形成一定的思维方式，进而实现对行为的影响，最终促进了数学理性精神的形成。 可见，数学从它的产生之日起，无论是作为科学的数学与作为课程的数学无不闪烁着文化的光辉。 美国著名数学史家克莱因（M.Kline）认为，数学是一种精神，一种理性的精神。正是这种精神，激发、促进、鼓舞并驱使人类的思维得以运用到最完善的程度，亦正是这种精神，试图决定性的影响人类的物质、道德和社会生活；试图回答有关人类自身存在提出的问题；努力去理解和控制自然；尽力去探求和确立已经获得的最深刻的核心最完美的内涵。而这正是数学的教育价值。 在小学阶段让学生了解数学与人类社会发展相互作用，体会数学知识的形成过程，体会数学的应用价值、人文价值，开阔视野，寻找数学进步的历史轨迹，受到优秀文化的熏陶，领会数学的美学价值，从而提高自身的文化价值和创新意识。 二新课程中数学文化的开发 结合数学定义和数学文化的分析，在实施作为数学课程的过程中，可以从以下几个方面来挖掘数学的文化内涵： 1．数学的理性精神 这种理性精神的养成与发展有着特别重要的意义，它是人类文明、特别是西
试题 1、数学黑洞（程序文件名maths.c/maths.cpp） 【问题描述】 任给一个4位正整数，其各位数位上的数字不全相同，将数字重新组合成一个最大的数与最小的数相减，重复这个过程，最多7步，必得6174。对任给的4位正整数（各位数位上的数字不全相同），编程输出掉进黑洞的步数。 【输入】 一行，一个4位正整数n（1000< n<9999） 【输出】 掉进黑洞的步数 输入 1234 输出 3 2、进制转换（程序文件名conver.c/conver.cpp） 【问题描述】 任给一个十进制整数n,及正整数m(m<=16且m≠10), 将n转换成m进制并输出。 【输入】 一行，两个整数n，m（0 ≤ n ≤ 500000，2 ≤ m ≤ 16，且m≠10），中间用一个空格隔开，其中n 表示十进制数。 【输出】 转换后的数 【输入输出样例】 输入 255 8 输出 377 3、分数线划定（程序文件名score.c/score.cpp） 【问题描述】 公务员选拔工作正在 A 市如火如荼的进行。为了选拔优秀人才，A 市对所有报名的选手进行了笔试，笔试分数达到面试分数线的选手方可进入面试。面试分数线根据计划录取人数的150%划定，即如果计划录取m名公务员，则面试分数线为排名第m*150%（向下取整）名的选手的分数，而最终进入面试的选手为笔试成绩不低于面试分数线的所有选手。现在就请你编写程序划定面试分数线，并输出所有进入面试的选手的报名号和笔试成绩。 【输入】 第一行，两个整数n，m（5 ≤ n ≤ 5000，3 ≤ m ≤ n），中间用一个空格隔开，其中n 表示报名参加笔试的选手总数，m 表示计划录取的人数。输入数据保证m*150%向下取整后小于等于n。 第二行到第 n+1 行，每行包括两个整数，中间用一个空格隔开，分别是选手的报名号k（1000 ≤ k ≤ 9999）和该选手的笔试成绩s（1 ≤ s ≤ 100）。数据保证选手的报名号各不相同。 【输出】 第一行，有两个整数，用一个空格隔开，第一个整数表示面试分数线；第二个整数为进入面试的选手的实际人数。 从第二行开始，每行包含两个整数，中间用一个空格隔开，分别表示进入面试的选手的报名号和笔试成绩，按照笔试成绩从高到低输出，如果成绩相同，则按报名号由小到大的顺序输出。 【输入输出样例】 输入 6 3 1000 90 3239 88 2390 95 7231 84 1005 95 1001 88
数列求和的七种基本方法 甘志国部分内容(已发表于 数理天地(高中)，2014(11)：14-15) 数列求和是数列问题中的基本题型，但具有复杂多变、综合性强、解法灵活等特点，本文将通过例题(这些例题涵盖了2014年高考卷中的数列求和大题)简单介绍数列求和的七种基本方法. 1 运用公式法 很多数列的前n 项和n S 的求法，就是套等差、等比数列n S 的公式，因此以下常用公式应当熟记： 还要记住一些正整数的幂和公式： 例1 已知数列}{n a 的前n 项和232n n S n -=，求数列}{n a 的前n 项和n T . 解 由232n n S n -=,可得n a n 233-=,160≤?>n a n ，所以： (1)当16≤n 时,n T =232n n S n -=. (2)当17≥n 时， 所以 2 2 32(1,2,,16)32512 (17,) n n n n T n n n n * ?-=?=?-+≥∈??N L 且 例2 求1)2(3)1(21?++-?+-?+?=n n n n S n Λ. 解 设2 )1()1(k n k k n k a k -+=-+=，本题即求数列}{k a 的前n 项和. 高考题1 (2014年高考浙江卷文科第19题(部分))求数列{}21n -的前n 项和n S . 答案：2n S n =. 高考题2 (2014年高考四川卷理科第19题(部分))求数列{}24n -的前n 项和n S . 答案：23n S n n =-. 高考题3 (2014年高考福建卷文科第17题)在等比数列{}n a 中，253,81a a ==. (1)求n a ； (2)设3log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S . 答案：(1)1 3 n n a -=；(2)22 n n n S -=. 高考题4 (2014年高考重庆卷文科第16题)已知{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，
什么是数学黑洞数学黑洞的实例 即西西弗斯串 数学中的123就跟英语中的ABC一样平凡和简单。然而，你按以下运算顺序，就可以观察到这个最简单的黑洞值： 设定一个任意数字串，数出这个数中的偶数个数，奇数个数，及这个数中所包含的所有位数的总数， 例如：1234567890， 偶：数出该数数字中的偶数个数，在本例中为2，4，6，8，0，总共有 5 个。 奇：数出该数数字中的奇数个数，在本例中为1，3，5，7，9，总共有 5 个。 总：数出该数数字的总个数，本例中为 10 个。 新数：将答案按“偶-奇-总” 的位序，排出得到新数为：5510。 重复：将新数5510按以上算法重复运算，可得到新数：134。 重复：将新数134按以上算法重复运算，可得到新数：123。 结论：对数1234567890，按上述算法，最后必得出123的结果，我们可以用计算机写出程序，测试出对任意一个数经有限次重复后都会是123。换言之，任何数的最终结果都无法逃逸123黑洞。 为什么有数学黑洞“西西弗斯串”呢? 1当是一个一位数时，如是奇数，则k=0，n=1，m=1，组成新数011，有k=1，n=2，m=3，得到新数123; 如是偶数，则k=1，n=0，m=1，组成新数101，又有k=1，n=2，m=3，得到123。 2当是一个两位数时，如是一奇一偶，则k=1，n=1，m=2，组成新数112，则k=1， n=2，m=3，得到123; 如是两个奇数，则k=0，n=2，m=2，组成022，则k=3，n=0，m=3，得303，则k=1，n=2，m=3，也得123; 如是两个偶数，则k=2，n=0，m=2，得202，则k=3，n=0，m=3，由前面亦得123。
打开数学之窗领略无限风光 ——对知识窗“你知道吗”的研究思考 【摘要：】 新教材中“你知道吗？”这一知识窗，已成为新课改中一道亮丽的风景线。它的呈现形式生动活泼、图文并茂，有利于培养学生的阅读兴趣。但在实际工作中，很多教师对这一部分教材的认识不够，仅仅要求学生自己阅读，甚至根本不闻不问，因为考试是不考的。这就背离了教材的编写目的。笔者认为：应该利用好“你知道吗”栏目，让“你知道吗”成为数学教学中的一扇“新窗”，让学生领略窗外的无限风光，从而提高学生的数学素养。 【关键字：】你知道吗知识窗研究探索 实践新课程的教师不难发现：在人教版小学数学教材里，编排了一个以知识窗的形式呈现的板块——“你知道吗？”。它结合学习内容，贯穿于全套教材，成为新课程中一道亮丽的风景线。它内容丰富多彩，饶有生趣。然而我们教师并没有充分认识到其蕴涵的价值和隐性的教育目标，因此结合教学进行有机渗透的不多；深度挖掘内涵，将其开发利用的罕见；搭建平台，引领学生拓展研究的更是少为。因此，“你知道吗”是被课堂遗忘的学习材料，然而如何打开这扇融智慧与魅力于一体的数学之窗，让学生领略窗外的无限风光，是我一直探索并思考的问题。以下所述是自己对实践研究中的一些感悟的初步整理。 一、“你知道吗”，精彩让你知道
“你知道吗？”这一神秘而又充满诱惑的话语到底包含了哪些我们急欲探求的知识，蕴藏了多少我们未曾探知的精彩呢？以下是笔者对“你知道吗”在人教版中的分布与次数的统计。 册别一年级二年级三年级四年级五年级六年级 总 计上 册 下 册 上 册 下 册 上 册 下 册 上 册 下 册 上 册 下 册 上 册 下 册 次 数 1256716135450表1为“你知道吗”在人教版中的分布与次数在通读了数学课程标准试验教材中“你知道吗”部分内容后，笔者大致将其分为以下几个部分。 1.相关数学概念。例如五年级上册介绍了“循环节”的概念，让学生知道什么叫做循环小数的“循环节”，循环节可以怎 样表示；六年级上册介绍了“扇形”和“圆心角”的概念，让 学生初步懂得弧、扇形和圆心角之间的关系。此外，“你知道吗” 还在很多地方介绍了诸如图形的符号表示方法，单位、公式的 字母表示方法等，如四年级上册介绍了我国“量和单位”国家 标准规定的写多位数的方法，直线、射线和线段怎样用字母表示，平行和垂直如何用符号表示等。学生了解这些数学概念的 通用标准，有利于与中学数学学习接轨和避免在课外阅读时造 成理解障碍。 2.数学史内容。例如三年级讲述了“＋”、“－”、“×”、“÷” 符号的由来；五年级介绍了“方程的由来”“分数的发展史”； 六年级下册展示了“负数的发展史”等。教科书中或用文字， 或用图示向学生展现了数学发展的历史知识。 3.数论的知识。例如五年级上册中的什么是“数学黑洞”； 五年级下册中的“完全数”等，让学生尝试着了解神奇的数字 世界。
斜抛运动的最佳抛射角 甘志国（该文已发表数学通报，2011（12）: 35-36） 文献［1］介绍了球星德拉普（Rory John Delap）: 斯托克城属于英超中的一支中下游足球队，但是该队参加的每一场比赛，往往都能成 为人们关注的焦点，因为它拥有一位擅长掷远距离界外球、最远距离为48.17米的世界记录 创造者，他就是后卫德拉普（图1）.阿森纳主帅温格曾在一场比赛前说：“德拉普的手臂太可怕了，上天保佑这场比赛中他没有掷界外球的机会.” 图1 界外球怎样才能掷得更远呢？ 图2 通常会认为，以初速度v0、抛射角「（0 ：：： : <90 ）掷出的球在不计空气阻力时的运动是斜抛运动（图2），其运动轨迹的参数方程为 X = V0 COS-：： t ? - + 1 +2 ①y =v0si na 1 - -gt （其中X, y分别表示球在时刻t飞行的水平距离和竖直高度，g为重力加速度）由此可得球的 射程为 2 V0 s —si n2- ② g 公式②说明，球的射程S与初速度V0及抛射角〉均有关，当V0 一定时，当且仅当 =45时射程s最大. 但文献［1］还说，英国物理学家尼克?林斯纳尔却给出了否定的答案：球员把求掷得最 远时，出手时的初速度与水平方向的夹角并不是45，而是25至30 .
xta n : 由文献［3］的结论立知，其焦点 为 产生这一结果的原因是：对于公式②，当 V 。为定值时，：? =45时s 最大；而当:-为 定值时，v 越大s 就越大?可见球的飞行距离与初速度 V o 及抛射角：?均有关.而在〉=45时 V o 不能达到最大值， 所以在〉=25 ~30时，V o 可达到最大值，所以s 取到最大值也是可 能的? 早在2003年，笔者就在文献［2］中阐述了这样的观点：掷球的最佳抛射角应小于 45 . 文献［1］的出现，使笔者重新研究“斜抛运动的最佳抛射角” ，并得到了漂亮的结论： 定理 如图3，以初速度vo 、抛射角：?（0 ：：： : ::: 90 ）使物体作斜抛运动，当射程 s 最 大时（也即起点O 到落点A 的距离最大（因为在图3（a ）中OA = S ，在图3（b ）, （c ）中 OA 2 =s 2h 2,h 为定值），此时的抛射角：?叫做最佳抛射角，此时的抛射方向是起点 O 竖 直向上的方向OB 与OA 形成的角.BOA 的平分线，且 OA 是问题运动轨迹（抛物线OCA ） 的焦点弦? 证 明 易知图3中抛物线 OCA 的参数方程为①（其中x,y,t,g 的意义也同①中诸字母 的意义） x=v °cos ： t y =v °sin : t 一如2 （其中x, y 分别表示球在时刻t 飞行的水平距离和竖直高度， g 为重力加速度）化为普通方程, 得 2 y <2 x 2v 0 cos a / 2 2 v 0sin 2。 v 0cos 2a l 2g ' 2g 即证 N BOA = 2Zv 0O 代 F E OA . 图3
《有趣的数字黑洞》教学设计 人教版数学五年级上册教材，在学完循环小数和用计算器探索规律后，教材31页有一个补充的数学小知识“你知道吗？——数学黑洞。笔者查阅相关资料后，感到“数字黑洞”知识非常有趣，有必要让学生进行初步的了解，进而来感受数学的神奇和不可思议。 一、游戏导入，自主尝试。 师：同学们喜欢玩游戏吗？今天我们就来玩一个有关数字的游戏。 游戏规则： 1、任选不完全相同的三个数字。 2、用三个数字分别组成一个最大数和最小数，求出两数之差（如果差不够三位数，用0补足）。 3、对差不断重复上面的运算。 师：谁来读一读游戏规则。（生读） 师：不完全相同的三个数字是什么意思？ 生：就是三个数字不能都一样。（能不能举个例子来说明？） 生：比如：1、2、3；2、3、4；这都可以说是不完全相同的三个数字。 师：他举的例子是三个数字都不一样，还可以是那类的数字？ 生：还可以是像2、2、3这样的，有两个数字一样。 师：同意吗？（生回：同意！） 师：有两个数字相同的也可以，比如5、5、0三个数字。需要给大家补充说明一点，如果你选用的是像5、5、0这样其中有数字是0的三个数字的话，组成的最大数是550，这个没有疑问，组成的最小数应该是055或者说是55，而不是505。 师：那么游戏规则的第3条，对差重复上面的运算是什么意思呢？ 生：就是把差看成三个数字，再组成最大数和最小数相减求差。 师：大家的理解很正确。那下面我们举例子来看看这个游戏怎么玩，选那几个数字呢？我们是五年级8班，那就取数字5和8再选一个0,0比较特殊，好不好？（生回：好）师板书如下： （此处教师板书和引导的目的是：1、让学生明确游戏规则的第3条。2、用标序号和列竖式的形式来让学生明白，怎样有序记录游戏的每一步。3、用省略号表示不断重复计算下去。） 师：如果一直这样计算下去，你就会有一个有趣而重大的发现，到底是什么发现呢？下面大家接着玩这个游戏！ 师：谁有了发现？ 生1：我有发现，我的发现是，计算下去，就会得到一个差永远是495，再重复还是495，我举了好几个例子都是这样。 师：哦，他的发现是，计算下去会得到一个数495，继续重复还是495。请你给我们展示展示你的发现过程，好不好？（学生把计算过程用投影展示出来，同时讲解） 师：这位同学讲的很清楚并且特别会学习数学。他发现规律之后，害怕是一种巧合，就又举了几个例子来验证，发现都是这样！老师觉得我们大家都要学习他的这种严谨的学习态度。 师：刚才他举得例子中三个数字都不相同，有谁和他举得例子不一样？ 生2：我的和他的不一样，我选的是0、0、1三个数字，但我的发现和他的一样，也得到了495。 师：数学真奇妙，选的数字不同，但结果是一样的。 生3：我选的三个数字是7、8、9，我计算了6次，第5次就得到了495. 师：通过刚才大家的发现，我们知道了，只要选择不完全相同的三个数字，按照游戏的规则进行计算，最终我们一定会得到一个数，这个数就是495，再重复还是495，仿佛掉进了黑洞，永远出不来一样。 师：是不是很有趣，很神奇啊？ 生：是！（生齐答） 师：这种现象，在数学上叫做“数字黑洞”（师课件出示） 师：像刚才发现的495，它就是一个数字黑洞，因为是选取不完全相同的三个数字得到
谈谈人教版教材中函数极值的定义 甘志国(该文已发表 中学数学杂志2011(5)：15-16) 普通高中课程标准实验教科书《数学·选修2-2·A 版》(人民教育出版社，2007年第2版) (下简称《选修2-2》)第27页给出了函数极值的定义： 定义1 如图1，以b a ,两点为例，我们可以发现，函数)(x f y =在点a x =的函数值)(a f 比它在点a x =附近其他点的函数值都小，0)(='a f ；而且在点点a x =附近的左侧0)(<'x f ，右侧0)(>'x f .类似地，函数)(x f y =在点b x =的函数值)(b f 比它在点a x =附近其他点的函数值都大，0)(='b f ；而且在点点b x =附近的左侧0)(>'x f ，右侧0)(<'x f . 图1 我们把点a 叫做函数)(x f y =的极小值点，)(a f 叫做函数)(x f y =的极小值；点b 叫做函数)(x f y =的极大值点，)(b f 叫做函数)(x f y =的极大值.极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值点统称为极值. 极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质. 《选修2-2》第29页又作了以下说明： 导数值为0的点不一定是函数的极值点.例如，对于函数3)(x x f =，……所以0=x 不 是函数3)(x x f =的极值点.一般地，函数)(x f y =在一点的导数值为0是函数)(x f y =在 这点取极值的必要条件，而非充分条件. 一般地，求函数)(x f y =的极值的方法是： 解方程0)(='x f .当0)(0='x f 时： (1)如果在0x 附近的左侧0)(>'x f ，右侧0)(<'x f ，那么)(0x f 是极大值； (2)如果在0x 附近的左侧0)(<'x f ，右侧0)(>'x f ，那么)(0x f 是极小值. 显然，以上函数极值的定义是针对可导函数的，而在某些点不可导的函数也可以有极
吟雅斋赋 高枕滔滔春申江①浦②，卧临脉脉樱桃河③畔，此乃 华师新府④。沧桑蒋公桥，治罂窦之水溢⑤，福万世之 交通⑥；璀璨图书馆⑦，蕴天地之玄机，藏万物之妙理； 巍巍大师石⑧，率九州之师表，举五洲之瞩望；煌煌文 脉廊⑨，缅华夏之先贤，达神州之宏志。春观雨香，夏 赏荷娇，秋眺叶旋，冬望雪舞。氤氲高雅，涤胸荡怀， 飘飘然有凌云之意！ 是岁癸巳，季秋之望。云舒秋暮，鱼游鹭翔，吟雅斋剙⑩。开斋伊始，一站到底?；科普万圣，寻觅卧底?；组四队，争苹果?；讲十一，道缺八?；说感恩，话黑洞?；玩数独，赏数学?；谈镶嵌，论无限?；言博弈，叙情书?；窥零点之神奇?，探音乐之魅力?；研水仙数之俊秀，究完全数之巧美?。 吟雅斋者，吟古之经典而思今之寰宇；雅君子之居而迎鸿儒之宾?;斋心之忧虑而听道之积虚?。吾斋之中，不尚虚礼，凡入此斋，均为知己。随分款留，忘形笑语，不言是非，不侈荣利，闲谈古今，静玩山水，清茶好酒，以适幽趣，臭味之交，如斯而已?。 今日雅斋，行将期年。承师大之腾飞，循孟院而向前?。遨游数海，观其会通?，求实创造，为人师表?。智求创获，性倚陶熔?，吟雅斋人，桃李芬芳。壮哉雅斋！与时俱进，馨香杏坛?。梦中偷笔，成斯雅赋。
浅释 ①春申江——即申江，指上海市境的黄浦江，旧传楚春申君黄歇疏浚此江，上海因此也被成为“申城”。 ②浦，水边。 ③樱桃河，邢窦湖位于今闵行区南中塘湾镇。南宋时，湖面积约2平方公里，到16世纪初已成一狭长河道。明宣德年间(1426～1435年)，曾在中段建石拱桥一座，称尚义桥。旧有邢、窦两姓居住湖畔，故名。亦称莺窦湖、莺脰湖，讹称樱桃汇，现习称樱桃河。北起俞塘，南迄黄浦江，长约7公里。水深1米多，宽4～8米，可通航15吨级以下船舶。这里指流经华师大闵行校区的樱桃河，与中北校区丽娃河遥相呼应，水流涨落之间流逝的也是无限的韶华。 ④华师新府，华师大有两个校区：中北校区和闵行校区，这里指闵行新校区。 ⑤沧桑蒋公桥，治罂窦之水溢。闵行校区西南一角，有一座明代单孔青石拱桥，名月“尚义桥”。在樱桃河尚名莺窦湖之时，湖畔有蒋家老宅一座，老宅的主人就是明代进士，兵科给事中蒋性格中。蒋性中，字用和，号检庵。明宣德二年登进士后，有司要为他建造进士牌坊，蒋性中说：“罂窦湖水溢，民方病涉，与其荣我家，无宁以吾乡父老。”于是，他将御赐建进士牌坊的钱财在莺窦湖上建了一座石拱桥，跨度10丈，宽8尺许，题名尚义桥，俗称环龙桥，乡人习称蒋公桥。此桥历五百余年沧桑，至今尚存，成为今天师大校园里一出美丽的风景。 ⑥福万世之交通，这里有三个含义：一指尚义桥方便人们的出行；二指尚义桥见证了各路英才在尚义桥旁交汇沟通以及师大的成长；三指尚义桥给华东师范大学以及对面的上海交通大学带来了福气。 ⑦图书馆，“一品端砚，一支画笔，一卷竹筒”，静静地倚在樱桃河畔，坐落在华师大闵行校区的中心，折射着金色夕阳，散发着微微暖光。这是师大的美景之一。图书馆的主楼高12层，似笔筒，似竹筒，裙楼共5层，形如一方砚台。图书馆馆藏丰富的古今中外各类文献，尤以教育学、地理学、文史哲等学校重点学科领域的文献见长，遂形成其“综合性，研究性”大学图书馆馆藏特有之风格。 ⑧大师石，师大者，大师之肇造也。从淞江之浦几十载春风化雨到申江之浒新千年气象一新，大师石与大学林见证着师大迈出的历史脚步。大师石坐落于华东师大闵行校区南北中轴线正中，正面刻“师大”二字，也可读作“大师”，寓意师大出大师。时刻背面刻有闵行校区勒石铭，记载了闵行校区的建设历程和学校的发展理念。大师石背后，即是一片清幽而又不乏的银杏林，名曰“大学林”。由远观之，茫茫一片，风格别致；徜徉其中，更是神清气爽，涤胸荡怀。 ⑨文脉廊，依樱桃河曲折而筑，以造型艺术展现华师大数十年的风雨历程、辉煌业绩，由会通碑、杏坛、梅苑、松坡、兰亭、竹巷及华师门七景点构成。华师大校石雕标志居于杏坛之中，十八石琢坛座环其外，上面组建华东师大诸校名。会通碑上镌华师大教授、史学大师吕思勉先生所书“观其会通”四大字，取自《周易·系辞》，悬为治学鹄的。华师门的结构一横两竖，简洁明了而中涵山河大地之形。煌煌吾校，华夏名庠。源深泽远，文脉绵长。欲瞻伟迹，请循次廊。
谈谈2010年高考数学江西卷理科压轴题 甘志国(该文已发表 数理天地(高中版)，2010(9)：19，21) 本文将谈谈2010年的全国普通高考数学江西卷理科压轴题： 高考题 证明以下命题： (1)对任一正整数a ，都存在正整数)(,c b c b <，使得222,,c b a 成等差数列； (2)存在无穷多个互不相似的三角形n ?，其边长n n n c b a ,,为正整数且2 22,,n n n c b a 成等差数列. 参考答案 (1)易知2227,5,1成等差数列，所以222)7(,)5(,a a a 也成等差数列，即对任一正整数a ，都存在正整数)(7,5c b a c a b <==，使得222,,c b a 成等差数列. (2)若222,,n n n c b a 成等差数列，得 2222n n n n b c a b -=- ))(())((n n n n n n n n b c b c a b a b +-=+-① 选取关于n 的一个多项式，例如)1(42 -n n ，使得它可按两种方式分解因式，由于 )22)(22()22)(22()1(4222n n n n n n n n +-=-+=- 所以，可令 ???????+=+-=--=++=-n n b c n b c n n a b n a b n n n n n n n n 2222222222 即 )4(121 12222≥?? ???-+=+=--=n n n c n b n n a n n n 易证n n n c b a ,,满足①，所以2 22,,n n n c b a 成等差数列. 当4≥n 时，n n n c b a <<，且0142>+-=-+n n c b a n n n ，所以以n n n c b a ,,为边长可以构成三角形，将此三角形记为)4(≥?n n . 任取正整数),4,4(,n m n m n m ≠≥≥，若m ?与n ?相似，得
什么是数学黑洞 在数学中也有这种神秘的黑洞现象，对于数学黑洞，无论怎样设值，在规定的处理法则下，最终都将得到固定的一个值，再也跳不出去了,就像宇宙中的黑洞可以将任何物质（包括运行速度最快的光）牢牢吸住，不使它们逃脱一样。这就对密码的设值破解开辟了一个新的思路。 【一】123黑洞 （即西西弗斯串） 数学中的123就跟英语中的ABC一样平凡和简单。然而，按以下运算顺序，就可以观察到这个最简单的 黑洞值： 设定一个任意数字串，数出这个数中的偶数个数，奇数个数，及这个数中所包含的所有位数的总数， 例如：1234567890， 偶：数出该数数字中的偶数个数，在本例中为2，4，6，8，0，总共有5 个。奇：数出该数数字中的奇数个数，在本例中为1，3，5，7，9，总共有5 个。总：数出该数数字的总个数，本例中为10 个。 新数：将答案按“偶-奇-总” 的位序，排出得到新数为：5510。 重复：将新数5510按以上算法重复运算，可得到新数：134。 重复：将新数134按以上算法重复运算，可得到新数：123。 结论：对数1234567890，按上述算法，最后必得出123的结果，我们可以用计算机写出程序，测试出对任意一个数经有限次重复后都会是123。换言之，任何数的最终结果都无法逃逸123黑洞。 【二】任意N位数的归敛的卡普雷卡尔黑洞 取任何一个4位数（4个数字均为同一个数字的例外），将组成该数的4个数字重新组合成可能的最大数和可能的最小数，再将两者的差求出来；对此差值重复同样的过程（例如：开始时取数8028，最大的重新组合数为8820，最小的为0288，二者的差8532。重复上述过程得出8532－2358＝6174），最后总是达到卡普雷卡尔黑洞：6174。称之“黑洞”是指再继续运算，都重复这个数，“逃”不出去。把以上计算过程称为卡普雷卡尔运算，这个现象称归敛，其结果6174称归敛结果。 一, 任意N位数都会类似4位数那样归敛(1、2位数无意义) . 3位数归敛到唯一一个数495; 4位数归敛到唯一一个数6174; 7位数归敛到唯一一个数组( 8个7位数组成的循环数组______称归敛组);其它每个位数的数归敛结果分别有若 干个,归敛数和归敛组兼而有之(如14位数____共有9×10的13次方个数____的归敛结果有6个归敛数,21个归敛组). 一旦进入归敛结果,继续卡普雷卡尔运算就在归敛结果反复循环,再也“逃”不出
“数字黑洞”及其简易证明 安徽省芜湖市万春中学 林闯 近年来，在各级各类数学竞赛或数学考试中屡屡出现一类所谓的“数字黑洞”问 题。这类问题既有趣、又神秘，还很怪异，往往让人琢磨不透.而教辅杂志或互联网上的相关文章大多数总是惊叹这些“数字黑洞”是如何的奇妙，如何的乖巧，却对它们的内在奥秘闭口不提.即使是少数专业杂志上给出了严格的证明，但一般也用到了较高深的数论知识，非普通读者可以轻松阅读.笔者经过仔细研究，对一些常见于书报的“数字黑洞”得到了一些相对浅显的、变通的证明，目的是想让更多的读者不光“知其然”，而且“知其所以然”.通过这些简易的证明，足以让读者承认这些“数字黑洞”的真实存在，并且能够透视出真正操纵它们的“幕后黑手”.下面，笔者就来给读者朋友们介绍几个著名的“数字黑洞”及其简易证明. 问题1：（2003年青岛市中考数学试题） 探究数字“黑洞”：“黑洞”原指非常 奇怪的天体，它体积小，密度大，吸引力强，任何物体到了它那里都别想再“爬”出来．无独有偶，数字中也有类似的“黑洞”，满足某种条件的所有数，通过一种运算，都能被它“吸”进去，无一能逃脱它的魔掌．譬如：任意找一个3的倍数的数，先把这个数的每一个数位上的数字都立方，再相加，得到一个新数，然后把这个新数的每一个数位上的数字再立方、求和，…，重复运算下去，就能得到一个固定的数T ＝ ，我们称它为数字“黑洞”．T 为何具有如此魔力？通过认真的观察、分析，你一定能发现它的奥秘！ 分析：如果我们先取18，首先我们得到5138133=+，然后是153315333=++， 接下去又是153，于是就陷在“153153?→?F ” （F 代表上述的变换规则，下同）这个 循环中了。 再举个例子，最开始的数取756，我们得到下面的序列： 1535131080792684756F ?→??→??→??→??→?F F F F 这次复杂了一点，但是我们最终还是陷在“153153?→?F ”这个循环中。 随便取一个其他的3的倍数的数，对它进行这一系列的变换，或迟或早，你总会掉到 “153153?→?F ”这个“死循环”中，或者说，你总会得到153.于是我们可以猜想“黑 洞”T ＝153. 现在要讨论的问题是：是否对于所有的符合条件的自然数都是如此呢？ 西方把153称作“圣经数”。这个美妙的名称出自圣经《新约全书》约翰福音第21 章.其中写道：耶稣对他们说：“把刚才打的鱼拿几条来.” 西门· 彼得就去把网拉到岸上.那网网满了大鱼，共一百五十三条；鱼虽这样多，网却没有破.圣经数这一奇妙的性质是以色列人科恩发现的。英国学者奥皮亚奈，对此作出了证明.《美国数学月刊》对有关问题还进行了深入的探讨. 以下笔者给出一种中学生可以看得懂的验证方法.具体探究步骤是： 1. 设k x x x n 21=,当5≥k 时，有()()() k F x x x F n F k 3219999=≤= ＜k 310 又由指数函数的性质（上高中时会学到），可得，k ＜410-k ，
数学科学学院 数学中的奥秘 A31214018 周融 2013/5/19 数学的逻辑结构的一个特殊的和最重要的要素就是数学思想，整个数学科学就是建立在这些思想的基础上，并按照这些思想发展起来的（例如，数学公理体系的思想，集合论思想等等）．……数学的各种方法是数学最重要的部 分．——弗利德曼
数学中充满着各种矛盾，如繁和简、难和易、一般和特殊、未知和已知等。通过转化可以化繁为简、化难为易、化一般为特殊，化未知为已知，使矛盾得到解决。数学问题解决的过程，实际上是由条件向结论转化的过程，由条件先得出过渡的结论、然后一步一步转化，得到最后的结论。因此转化是数学中最基本的思想。具体地分析，有加法和减法的转化、乘法和除法的转化、乘方和开方的转化、指数和对数的转化，高次向低次转化、多元向一元转化、三维向二维转化等。一，英语中的正值数 1947年，悉尼.克拉伊兹发表了一篇奇妙论文《幸运的语言》中发现一种独特的映射，揭露了英语单词的极限问题，他的发现如下： 用英语写出任意一个数词，数一下它的字母个数，得到一个自然数，称为原先的数词在这种特殊映射下的像。然后再把该数换为与之等价的英语数词，再重新数一下其字母个数，从而又能得到一个新的数词……反复执行这两类操作（英语单词变为自然数，自然数变为英语单词）的结果，最后一定会收敛于4，因此，4是数列的“极限”。 我们可以用一个映射来表示 映射f:A→B:英语单词变为自然数; g:B→A:自然数变为英语单词; 例如，先任意写出一个英语单词Twenty-three,数一下它的字母有
11个，以表示此映射f，于是我们得到 （Twenty-three）=11 与11等价的英语单词是eleven,用表示此种映射g，则 （11）= eleven 显然，eleven不是(11)的逆映射。 反复执行这两类操作的情况如下： eleven→6→six→3→three→5→five→4→four→4 读者不妨写个数字，自己尝试一下，定会感到其味无穷。 （以上摘自baidu论坛网） 自己论证：由于刚刚学了C语言，这让我想起了用数组求字符串长度的方法。 假设这个数在20以内吧! //因为无论一个英文数字有多长，就算是几千上万亿，其字母的长度也不会很长。如two-thousand and one hundred seventy- five billion, 其字母的长度也不超过二十。所以设这个数在20以内，可以看成是经过几次英语单词和数字之间的转换后的数字。 #include
刍甍、羨除、刍童及楔形四棱台的体积公式 见甘志国著《立体几何与组合》(哈工大出版社，2014)第48-52页 高考题1 (2013·湖北·文·20)如图1，某地质队自水平地面A ，B ，C 三处垂直向地下钻探，自A 点向下钻到A 1处发现矿藏，再继续下钻到A 2处后下面已无矿，从而得到在A 处正下方的矿层厚度为121A A d =．同样可得在B ，C 处正下方的矿层厚度分别为122B B d =，123C C d =，且123d d d <<.过AB ，AC 的中点M ，N 且与直线2AA 平行的平面截多面体111222A B C A B C -所 得的截面DEFG 为该多面体的一个中截面，其面积记为S 中． (I)证明：中截面DEFG 是梯形； (II)在△ABC 中，记BC a =，BC 边上的高为h ，面积为S . 在估测三角形ABC 区域内正下方的矿藏储量（即多面体111222A B C A B C -的体积V ）时，可用近似公式V S h =?估中来估 算. 已知1231 ()3 V d d d S =++，试判断V 估与V 的大小关系，并加以证明. 请问，该题中的1231 ()3V d d d S =++即)(6 1321d d d ah V ++=是怎么来的呢？这由下面 推导的羨除体积公式立得. 《九章算术·商功》篇有部分题目涉及到刍甍、羨除、刍童及楔形四棱台的体积公式， 这些公式秦汉时人都已掌握，下面来推导它们. 1.刍甍 刍甍是图2中的五面体ABCDEF ，其中EF DC AB ////，底面ABCD 是平行四边形.设a AB =，直线CD AB 、之间的距离是h ，直线EF 与平面ABCD 之间的距离是H ，则其体积)2(6 c a Hh V += . 图2 图3 证明 如图3.设点F E ,在面ABCD 上的射影分别是点F E '',. 图 1