“数字黑洞”及其简易证明(作者：芜湖林闯)
- 格式：doc
- 大小：105.00 KB
- 文档页数：5
下载文档原格式
合集下载
数学黑洞定义及实例
数学黑洞定义及实例数学黑洞，无论怎样设值，在规定的处理法则下，最终都将得到固定的一个值，就像宇宙中的黑洞可以将任何物质.今天小编在这给大家整理了数学黑洞，接下来随着小编一起来看看吧！数学黑洞,就像宇宙中的黑洞可以将任何物质，以及运行速度最快的光牢牢吸住，不使它们逃脱一样。
这就对密码的设值解决开辟了一个新的思路。
实例:123数学黑洞123数学黑洞，即西西弗斯串。
西西弗斯串可以用几个函数表达它，我们称它为西西弗斯级数，表达式如下：#FormatImgID_0##FormatImgID_1##FormatImgID_2#F 是一级原函数，k级通项式为它的迭代循环#FormatImgID_3#它的vba程序代码详细底部目录数学黑洞设定一个任意数字串，数出这个数中的偶数个数，奇数个数，及这个数中所包含的所有位数的总数，例如：1234567890，偶：数出该数数字中的偶数个数，在本例中为2，4，6，8，0，总共有 5 个。
奇：数出该数数字中的奇数个数，在本例中为1，3，5，7，9，总共有 5 个。
总：数出该数数字的总个数，本例中为 10 个。
新数：将答案按“偶-奇-总” 的位序，排出得到新数为：5510。
重复：将新数5510按以上算法重复运算，可得到新数：134。
重复：将新数134按以上算法重复运算，可得到新数：123。
结论：对数1234567890，按上述算法，最后必得出123的结果，我们可以用计算机写出程序，测试出对任意一个数经有限次重复后都会是123。
换言之，任何数的最终结果都无法逃逸123黑洞。
为什么有数学黑洞“西西弗斯串”呢？（1）当是一个一位数时，如是奇数，则k=0，n=1，m=1，组成新数011，有k=1，n=2，m=3，得到新数123；如是偶数，则k=1，n=0，m=1，组成新数101，又有k=1，n=2，m=3，得到123。
（2）当是一个两位数时，如是一奇一偶，则k=1，n=1，m=2，组成新数112，则k=1，n=2，m=3，得到123；如是两个奇数，则k=0，n=2，m=2，组成022，则k=3，n=0，m=3，得303，则k=1，n=2，m=3，也得123；如是两个偶数，则k=2，n=0，m=2，得202，则k=3，n=0，m=3，由前面亦得123。
123黑洞
123黑洞（即西西弗斯串）数学中的123就跟英语中的ABC一样平凡和简单。
然而，按以下运算顺序，就可以观察到这个最简单的黑洞值：设定一个任意数字串，数出这个数中的偶数个数，奇数个数，及这个数中所包含的所有位数的总数，例如：1234567890，偶：数出该数数字中的偶数个数，在本例中为2，4，6，8，0，总共有5 个。
奇：数出该数数字中的奇数个数，在本例中为1，3，5，7，9，总共有5 个。
总：数出该数数字的总个数，本例中为 10 个。
新数：将答案按“偶-奇-总” 的位序，排出得到新数为：5510。
重复：将新数5510按以上算法重复运算，可得到新数：134。
重复：将新数134按以上算法重复运算，可得到新数：123。
结论：对数1234567890，按上述算法，最后必得出123的结果，我们可以用计算机写出程序，测试出对任意一个数经有限次重复后都会是123。
换言之，任何数的最终结果都无法逃逸123黑洞。
“123数学黑洞（西西弗斯串）”现象已由中国回族学者秋屏先生于2010年5月18日作出严格的数学证明，请看他的论文：《“数学黑洞（西西弗斯串）”现象与其证明》（正文网址在“扩展阅读”中）。
自此，这一令人百思不解的数学之谜已被彻底破解。
此前，美国宾夕法尼亚大学数学教授米歇尔·埃克先生仅仅对这一现象作过描述介绍，却未能给出令人满意的解答和证明。
编辑本段6174黑洞（即卡普雷卡尔（Kaprekar)常数）比123黑洞更为引人关注的是6174黑洞值，它的算法如下：取任意一个４位数（４个数字均为同一个数的除外），将该数的４个数字重新组合，形成可能的最大数和可能的最小数，再将两者之间的差求出来；对此差值重复同样过程，最后你总是至达卡普雷卡尔黑洞6174，至达这个黑洞最多需要７个步骤。
例如：大数：取这4个数字能构成的最大数，本例为：4321；小数：取这4个数字能构成的最小数，本例为：1234；差：求出大数与小数之差，本例为：4321-1234=3087；重复：对新数3087按以上算法求得新数为：8730-0378=8352；重复：对新数8352按以上算法求得新数为：8532-2358=6174；结论：对任何只要不是4位数字全相同的4位数，按上述算法，不超过7次计算，最终结果都无法逃出6174黑洞；123数字黑洞数字黑洞运算简单，结论明了，易于理解，故人们乐于研究。
黑洞数及其简单理论
3位陷阱数数证明及陷阱数的简单应用陷阱数又称黑洞数，是类具有奇特转换特性的整数。
任何一个数字不全相同整数，经有限“重排求差”操作，总会得某一个或一些数，这些数即为黑洞数。
“重排求差”操作即把组成该数的数字重排后得到的最大数减去重排后得到的最小数。
三位数的黑洞数为495简易推导过程：随便找个数，如297，三个位上的数从小到大和从大到小各排一次，为972和279，相减，得693按上面做法再做一次，得到594，再做一次，得到495之后反复都得到495再如，四位数的黑洞数有6174五位数的黑洞数有34256下面给出三位数的黑洞数的详细证明：对一个三位都不相同的三位数，记它各个位上的数字为a，b，c，不妨设a>b>c则第一次运算得：100a+10b+c-(100c+10b+a)=99(a-c)即99的一个倍数由于a>b>c∴a≥b+1≥c+2∴a-c≥2又9≥a>c≥0∴a-c≤9∴第一次运算后，可能得到：198，297，396，495，594，693，792，891再让这些数经过运算，分别得到：981-189=792 972-279=693 963-369=594 954-459=495 972-279=693 963-369=594 954-459=495 963-369=594 954-459=495 954-459=495 954-459=495 963-369=594 954-459=495 972-279=693 963-369=594 954-459=495 981-189=792 972-279=693 963-369=594 954-459=495则根据黑洞数的定义，我们可以判定495就是三位数中的黑洞数在日常学习计算中，化简含有未知数的代数式或方程经常会得到x-x=0之结果。
此前，人们只是把这种情况定义为“此算式没有意义”而终结。
黑洞数理论的出现，让人们看到了代数式或方程中未知数可任意取值时的另一层含义。
数字黑洞
数字黑洞有这样一道智力题目：请认真观察每行数的特点，找出规律。
请在空格处填上合适的数：2 111 1212 3112 13 2122 13 （）看起来不知从哪儿下手，但是知道了解法也就很简单了，就像是玩魔术一样。
这道题其实是一个简单的数（shǔ）数（shù）字的题目。
当然，所谓会者不难。
今天，我们要讨论的就是数数字。
如果你有小学二年级一个学困生的数学水平，足够应付了。
如果你只有中国幼儿园大班的数学水平，加上认真，也完全可以得心应手。
一、规则说明数数字的规则是：任意写一行数字（或者说是写一个正整数，位数可多可少，零除外.），如：25472486333。
数一数这一行中各个数字的个数，连同这个数字本身做为一组一起写下来，并且规定，表示数字个数的数写在前面（我们称之为“数量位”），数字本身写在后面（我们称之为“数字位”），每组数字中间最好用空格隔开，做为第二行。
如前例中，数字2、4有两个，3有3个，其余的都只有一个，可写成：22 15 24 17 18 16 33。
第二行中的“数量位”和“数字位”上的各个数字要同时数，做为第三行。
如这个例子中，第二行2出现了3次，1出现了4次，3出现了2次，其余的数字都只出现了1次，所以，第三行就写成：32 41 23 15 17 18 16。
依此类推，一直写下去。
注意，为了更方便、更准确，在下一行记下上一行的数字时，最好按照一定的顺序来写。
比如，可以按照数字的多少顺序，也可以按照从小到大的顺序，或从大到小的顺序，也可以综合两种顺序（后文都是按照先少后多，先小后大的顺序来写）。
这样写，便于发现规律。
在实际数数时，可能会出错。
我们可以将“数量位”上的各个数字相加，这就是上一行的数字的个数；而上一行中出现的各个数字，在下一行“数字位”上都必须出现。
接下来，我们将这一题完成：1)254724863332)15 16 17 18 22 24 33 （1+1+1+1+2+2+3=11）3)14 15 16 17 18 23 32 41 （1+1+1+1+1+2+3+4=14）4)15 16 17 18 22 23 24 61 （1+1+1+1+2+2+2+6=16）5)13 14 15 17 18 26 42 51 （以下略）6)13 16 17 18 22 24 25 617)13 14 15 17 18 26 42 51请认真观察第7步与第5步，可以发现它们是一样的。
奇妙的数学黑洞
奇妙的数学黑洞第一篇：奇妙的数学黑洞数学黑洞数学黑洞茫茫宇宙之中,存在着这样一种极其神秘的天体叫“黑洞”（black hole）。
黑洞的物质密度极大，引力极强，任何物质经过它的附近，都要被它吸引进去，再也不能出来，包括光线也是这样，因此是一个不发光的天体黑洞的名称由此而来。
由于不发光，人们无法通过肉眼或观测仪器发觉它的存在，而只能理论计算或根据光线经过其附近时产生的弯曲现象而判断其存在。
虽然理论上说，银河系中作为恒星演化终局的黑洞总数估计在几百万到几亿个之间，但至今被科学家确认了的黑洞只有天鹅座X－1、大麦哲伦云X－3、AO602－00等极有限的几个。
证认黑洞成为21世纪的科学难题之一。
数学被誉为“科学之母”，在现代科技的发展中起着定海神针般的作用，而现代的战争更是被认为将是一场“数学家和信息学家的战争”。
在信息战中，要运用数学作大量的模拟运算，运用数学在空间作精确的定位，运用数学对导弹作精密制导，运用数学来研究保密通信的算法，运用数学作为网络攻击利器。
无独有偶，在数学中也有这种神秘的黑洞现象。
1.123黑洞（即西西弗斯串）数学中的123就跟英语中的ABC一样平凡和简单。
然而，按以下运算顺序，就可以观察到这个最简单的黑洞值：设定一个任意数字串，数出这个数中的偶数个数，奇数个数，及这个数中所包含的所有位数的总数，例如：1234567890，偶：数出该数数字中的偶数个数，在本例中为2，4，6，8，0，总共有 5 个。
奇：数出该数数字中的奇数个数，在本例中为1，3，5，7，9，总共有 5 个。
总：数出该数数字的总个数，本例中为 10 个。
新数：将答案按“偶-奇-总” 的位序，排出得到新数为：5510。
重复：将新数5510按以上算法重复运算，可得到新数：134。
重复：将新数134按以上算法重复运算，可得到新数：123。
结论：对数1234567890，按上述算法，最后必得出123的结果，我们可以用计算机写出程序，测试出对任意一个数经有限次重复后都会是123。
数字黑洞
数字黑洞【第1篇】今天，我在书上突然看见几个字：什么是“数字黑洞”？我看着题目觉得很有趣，于是，便看了下去：“数字黑洞”是指自然数经过某种数字运算之后陷入了一种循环的境况。
例如，任意选四个不同的数字，组成一个最大的数和最小的数，用大数减去小数。
用所得的四位数重复上述过程，最多七步，必得6174。
即：7641-1467=6174。
仿佛掉进了黑洞，永远也出不来。
开始，我还读不太懂，然后，我又叫妈妈来看，结果，妈妈也看不懂，于是，她叫我去问林老师，第二天，我拿着书去问林老师，说：“林老师，这个我怎么看不懂呀？”林老师说：“这个就是用任意四个数字，组成一个最大和最小的数，用大数减去小数，用所得的商再组成一个最大和最小的数，最多七步，就可以得6174”。
我认真地听着，回到座位上一算：用1、2、3、4吧！4321-1234=3087 8730-3078=5652 6552-2556=3996 9963-3699=6264 6642-2466=41767641-1467=6174。
这样就得到了6174，只用了6步，我不得不相信书上说的。
今天，我明白了什么是“数学黑洞”，我真高兴呀！【第2篇】任意选一个四位数（数字不能全相同），把所有数字从大到小排列，再把所有数字从小到大排列，用前者减去后者得到一个新的数。
重复对新得到的数进行上述操作，7 步以内必然会得到6174。
例如，选择四位数 6767：7766 - 6677 = 10899810 - 0189 = 96219621 - 1269 = 83528532 - 2358 = 61747641 - 1467 = 6174……6174 这个“黑洞”就叫做 Kaprekar 常数。
对于三位数，也有一个数字黑洞——495。
3x + 1 问题从任意一个正整数开始，重复对其进行下面的操作：如果这个数是偶数，把它除以 2 ；如果这个数是奇数，则把它扩大到原来的 3 倍后再加1 。
数字黑洞
“数字黑洞”小论文黑洞在天文学中指时空曲率大到光都无法逃脱的天体。
但在数学中，数字黑洞指的是某种运算这种运算一般限定从某种整数出发（一般不包括一位数），经过反复迭代后结果必然落入一个点或若干点。
探究过程：例一：①随意举一个数字如24749392记下它的偶数个数、奇数个数及总个数。
偶数个数：2、4、4、2 四个奇数个数：7、9、3、9 四个总个数：2、4、7、4、9、3、9、2 八个可根据奇偶个数及总个数按照偶-奇-总的顺序得一个新的数：448,偶数个数：4、4、8 三个奇数个数：无总个数：4、4、8 三个同上可得出一个数：303偶数个数：0 一个奇数个数：3、3 两个总个数：3、0、3 三个可得出123。
②再举一个数字如92738202记下它的偶数个数、奇数个数及总个数。
偶数个数：2、8、2、0、2 五个奇数个数：9、7、3三个总个数：9、2、7、3、8、2、0、2 八个可根据奇偶个数及总个数按照偶-奇-总的顺序得一个新的数：538,偶数个数：8 一个奇数个数：5、8 两个总个数：5、3、8三个同上可得出一个数：123综上可以有一个大胆的猜想：按照上述方法反复计算出的任意数结果皆为123.实际上这种运算顺序最后得出固定值123叫做希绪弗斯黑洞也称123黑洞。
所以123是任何数经过上述运算的数字黑洞。
例二：①随意举一个两位数（个位数字和十位数字不能相同）如75组成75的两个数字最大能组成两位数75，最小能组成两位数57。
用组成的最大的两位数减去最小的两位数即75-57=18。
组成18的两个数字最大能组成两位数81，最小能组成两位数18。
用得出的最大的两位数减去最小的两位数即81-18=63。
组成63的两个数字最大能组成两位数63，最小能组成两位数36。
用组成的最大的两位数减去组成的最小的两位数即63-36=27。
能组成27的两位数最大能组成两位数72，最小能组成两位数27,。
用组成的最大的两位数减去最小的两位数即72-27=45。
神奇的数字黑洞PPT课件
第2页/共10页
1、四位数黑洞“6174”
请随便写出一个四位数，这个数的四个数字有相同 的也不要紧，但这四个数不准完全相同或有完全相 同趋向（例如 3333、7777、7337等都应该排除）
规则：
①先用这四个数字组成一个最大数; ②再用这四个数字组成一个最小数; ③用最大数减去最小数，求出结果; ④将得到的结果中的四个数字再组成一个最大数和一个最小数，再求出它们的
差; ⑤不断重复步骤④的做法。一定在经过若干次（最多7次）变换之后，得到
6174。
第3页/共10页
数字黑洞“6174”
任选不全相同的四个数字，如：8、7、3、0 8730-3078=5652 6552-2556=3996 9963-3699=6264 6642-2466=4176
7641-1467=6174
• 数学中的123就跟英语中的ABC一样平凡和简单。然而， 按以下运算顺序，就可以观察到这个最简单的黑洞值：
规则：
①设定一个任意数字串 ，例如：1234567890 ②偶：数出这个数中的偶数个数，在本例中为2，4，6，8，
0，总共有 5 个。 ③奇：数出该数数字中的奇数个数，在本例中为1，3，5，7，
练一练：同学们任选四个数字试一试（可以小组合作完成）
第4页/共10页
2、三位数黑洞495
规则：
①先用这三个数字组成一个最大数; ②再用这三个数字组成一个最小数; ③用最大数减去最小数，求出结果; ④将得到的结果中的三个数字再组成一个最大 数和一个最小数，再求出它们的差; ⑤不断重复步骤④的做法。
第5页/共10页
黑洞原是天文学中的概念，表示这样 一种天体：它的引力场是如此之强， 就连光也不能逃脱出来。数学中借用 这个词，指的是某种运算，这种运算 一般限定从某些整数出发，经过某种 规定的运算后，结果必然落入某个 “数字黑洞”。
“西西弗斯串(数学黑洞)”现象与其证明
由若干个阿拉伯数字从左至右排列而成的一串数字符号，叫做数字串。
如：“0”，“12”，“235”，“333”，“1403765”，“00587465132098”等等，就分别是一个数字串。
显然任意一数字串中均含有若干个由一个阿拉伯数字构成的奇数或偶数。
“数学黑洞”现象：取任意一数字串，（1）先数一下其中所含由一个阿拉伯数字构成的偶数个数，比如个数是“m”，就记作“m”。
（2）再数一下其中所含由一个阿拉伯数字构成的奇数个数，比如个数是“n”，就在“m”后面记作“n”——得出“mn”。
（3）最后算一下其中所含阿拉伯数字的总个数，即把“m”加“n”的和算出，比如和是“l”，就在“mn”后面记作“l”——得出“mnl”。
经过以上三个步骤的程序操作，就将原数字串转变成了“mnl”这个数字串。
此时会发现：也许按本程序操作一次，所转变成的数字串就是数字串“123”；否则，将转变成的数字串继续按本程序操作，这样反复操作下去最终总可将原数字串转变成数字串“123”。
而且一旦将原数字串转变成数字串“123”后，无论再对“123”按本程序操作多少次，所转变成的数字串总还是“123”，而不会是其他形式的数字串。
这就是说对任意一数字串按本程序反复操作下去，最终所转变的数字串总是“123”。
因此对于这个程序以及“数字宇宙（即无限个数字串）”来说，数字串“123”就是一个永远无法逃逸的“数学黑洞”。
数字串“123”也称作西西弗斯串。
西西弗斯的故事出自希腊神话，天神罚科林斯国王西西弗斯将一块巨石推到一座陡峭的山顶上，但无论他怎样努力，这块巨石总是在到达山顶时却又不可避免地滚下来，于是他只得重新再推，永无休止。
之所以把数字串“123”称作西西弗斯串，意思是说对于任意一数字串按本程序反复操作下去，所得的结果都是“123”，而且一旦转变成“123”后，无论再按本程序操作多少次，每次所转变的结果都会永无休止地重复着“123”。
例如：对数字串“235”按本程序反复操作。
“数字黑洞”及其简易证明-
“数字黑洞”及其简易证明近年来，在各级各类数学竞赛或数学考试中屡屡出现一类所谓的“数字黑洞”问题。
这类问题既有趣、又神秘，还很怪异，往往让人琢磨不透.而教辅杂志或互联网上的相关文章大多数总是惊叹这些“数字黑洞”是如何的奇妙，如何的乖巧，却对它们的内在奥秘闭口不提.即使是少数专业杂志上给出了严格的证明，但一般也用到了较高深的数论知识，非普通读者可以轻松阅读.笔者经过仔细研究，对一些常见于书报的“数字黑洞”得到了一些相对浅显的、变通的证明，目的是想让更多的读者不光“知其然”，而且“知其所以然”.通过这些简易的证明，足以让读者承认这些“数字黑洞”的真实存在，并且能够透视出真正操纵它们的“幕后黑手”.下面，笔者就来给读者朋友们介绍几个著名的“数字黑洞”及其简易证明.问题1：（2003年青岛市中考数学试题） 探究数字“黑洞”：“黑洞”原指非常奇怪的天体，它体积小，密度大，吸引力强，任何物体到了它那里都别想再“爬”出来．无独有偶，数字中也有类似的“黑洞”，满足某种条件的所有数，通过一种运算，都能被它“吸”进去，无一能逃脱它的魔掌．譬如：任意找一个3的倍数的数，先把这个数的每一个数位上的数字都立方，再相加，得到一个新数，然后把这个新数的每一个数位上的数字再立方、求和，…，重复运算下去，就能得到一个固定的数T＝ ，我们称它为数字“黑洞”．T 为何具有如此魔力？通过认真的观察、分析，你一定能发现它的奥秘！分析：如果我们先取18，首先我们得到5138133=+，然后是153315333=++，接下去又是153，于是就陷在“153153−→−F ” （F 代表上述的变换规则，下同）这个循环中了。
再举个例子，最开始的数取756，我们得到下面的序列：Λ1535131080792684756F −→−−→−−→−−→−−→−F F F F这次复杂了一点，但是我们最终还是陷在“153153−→−F ”这个循环中。
随便取一个其他的3的倍数的数，对它进行这一系列的变换，或迟或早，你总会掉到“153153−→−F ”这个“死循环”中，或者说，你总会得到153.于是我们可以猜想“黑洞”T ＝153. 现在要讨论的问题是：是否对于所有的符合条件的自然数都是如此呢？西方把153称作“圣经数”。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
“数字黑洞”及其简易证明安徽省芜湖市万春中学 林闯近年来，在各级各类数学竞赛或数学考试中屡屡出现一类所谓的“数字黑洞”问题。
这类问题既有趣、又神秘，还很怪异，往往让人琢磨不透.而教辅杂志或互联网上的相关文章大多数总是惊叹这些“数字黑洞”是如何的奇妙，如何的乖巧，却对它们的内在奥秘闭口不提.即使是少数专业杂志上给出了严格的证明，但一般也用到了较高深的数论知识，非普通读者可以轻松阅读.笔者经过仔细研究，对一些常见于书报的“数字黑洞”得到了一些相对浅显的、变通的证明，目的是想让更多的读者不光“知其然”，而且“知其所以然”.通过这些简易的证明，足以让读者承认这些“数字黑洞”的真实存在，并且能够透视出真正操纵它们的“幕后黑手”.下面，笔者就来给读者朋友们介绍几个著名的“数字黑洞”及其简易证明.问题1：（2003年青岛市中考数学试题） 探究数字“黑洞”：“黑洞”原指非常奇怪的天体，它体积小，密度大，吸引力强，任何物体到了它那里都别想再“爬”出来．无独有偶，数字中也有类似的“黑洞”，满足某种条件的所有数，通过一种运算，都能被它“吸”进去，无一能逃脱它的魔掌．譬如：任意找一个3的倍数的数，先把这个数的每一个数位上的数字都立方，再相加，得到一个新数，然后把这个新数的每一个数位上的数字再立方、求和，…，重复运算下去，就能得到一个固定的数T ＝ ，我们称它为数字“黑洞”．T 为何具有如此魔力？通过认真的观察、分析，你一定能发现它的奥秘！分析：如果我们先取18，首先我们得到5138133=+，然后是153315333=++，接下去又是153，于是就陷在“153153−→−F ” （F 代表上述的变换规则，下同）这个循环中了。
再举个例子，最开始的数取756，我们得到下面的序列：1535131080792684756F −→−−→−−→−−→−−→−F F F F这次复杂了一点，但是我们最终还是陷在“153153−→−F ”这个循环中。
随便取一个其他的3的倍数的数，对它进行这一系列的变换，或迟或早，你总会掉到“153153−→−F ”这个“死循环”中，或者说，你总会得到153.于是我们可以猜想“黑洞”T ＝153. 现在要讨论的问题是：是否对于所有的符合条件的自然数都是如此呢？西方把153称作“圣经数”。
这个美妙的名称出自圣经《新约全书》约翰福音第21章.其中写道：耶稣对他们说：“把刚才打的鱼拿几条来.” 西门· 彼得就去把网拉到岸上.那网网满了大鱼，共一百五十三条；鱼虽这样多，网却没有破.圣经数这一奇妙的性质是以色列人科恩发现的。
英国学者奥皮亚奈，对此作出了证明.《美国数学月刊》对有关问题还进行了深入的探讨.以下笔者给出一种中学生可以看得懂的验证方法.具体探究步骤是：1. 设k x x x n 21=,当5≥k 时，有()()()k F x x x F n F k 3219999=≤= ＜k 310又由指数函数的性质（上高中时会学到），可得，k ＜410-k ，所以 k 310＜143101010--=⨯k k 即()()k x x x F n F 21=＜110-k ，也就是对于5位以上的整数，每做一次变换它的数位都会减少若干位，所以经过有限次变换后其数位必然收缩到五位以下.2. 现在的问题归结为探讨4位及4位以下的整数n 的“黑洞”是否存在的问题，于是问题就变得简单的多了.对于1位数和2位数我们可以很轻松地验证不存在“黑洞”，而对于任意一个3位数或4位数，因为每个数的操作步骤的不确定性和无法预测性，所以很难用一个纯粹的、数学的方法来证明它一定会掉进“153153−→−F ”这个循环中，笔者也没有见到可以浅显地证明它的相关文章.但是，因为我们所要验证的数字的个数是有限个，所需要进行的推算也应该是有限步（如果不出意外的话），所以我们完全可以让计算机来完成这有限步的验算工作.对计算机编程感兴趣的读者可以自己动手（或向计算机老师请教）来编制一个简单的程序：对所有4位数以内的3的倍数，即从3到9999这3333个自然数进行一一验证，最后你会惊奇地发现，所有的3的倍数经过一系列的规定运算后无一例外地都会掉进153这个数字“黑洞”之中.这也应该算是一个“人机联手”的证明范例吧！问题2：（西西弗斯串）任取一个自然数数串，例如35962，数出这数中的偶数字个数、奇数字个数及所有数字的个数，就可得到2、3、5，用这3个数组成下一个数字串235.对235重复上述程序，就会得到1、2、3，将数串123再重复进行，仍得123.于是123就是一个数字黑洞.分析：读者肯定会问，是否对于每一个数最后都能得到123呢？用一个大数试试看。
例如：88883337777444992222，在这个数中偶数字、奇数字及全部数字个数分别为11、9、20，将这3个数合起来得到11920，对11920这个数串重复这个程序得到235，再重复这个程序得到123，于是便进入“黑洞”了.这就是的数字黑洞“西西弗斯串”.它也是因为一个著名的古希腊神话而得名.我国大多数数学爱好者最早了解这个数字黑洞，大概是得益于美国宾夕法尼亚大学教授米歇尔∙埃克的《数学黑洞》一文，此文曾被连载在《参考消息》1993年3月14日—17日的报纸上.然而遗憾的是，连这位著名的大数学家米老师也不能给出一个让人信服的证明.但令人振奋的是，9年后的2002年，我国北京师范大学附属中学的王雪琴老师却给出了一个巧妙的、简洁的证明.有兴趣的读者可以去研读文[1].问题3：（角谷猜想）任取一个自然数，如果它是偶数，我们就把它除以2，如果它是奇数，我们就把它乘3再加上1.在这样一个变换下，我们就得到了一个新的自然数.如果反复使用这个变换，我们就会得到一串自然数.或迟或早，你总会掉到4→2→1这个循环中，或者说，你总会得到1.分析：这个问题大约是在二十世纪五十年代被提出来的.在西方它常被称为西拉古斯(Syracuse)猜想，因为据说这个问题首先是在美国的西拉古斯大学被研究的；而在东方，这个问题由将它带到日本的日本数学家角谷静夫的名字命名，被称作角谷猜想.角谷静夫在谈到这个猜想的历史时讲：“一个月里，耶鲁大学的所有人都着力于解决这个问题，毫无结果。
同样的事情好象也在芝加哥大学发生了.有人猜想，这个问题是苏联克格勃（前苏联特工组织——作者注）的阴谋，目的是要阻碍美国数学的发展。
不过我对克格勃有如此远大的数学眼光表示怀疑.这种形式如此简单，解决起来却又如此困难的问题，实在是可遇而不可求.”比如说我们先取5，首先我们得到3×5+1=16，然后是16÷2=8，接下去是4，2和1，由1我们又得到4，于是我们就陷在4→2→1这个循环中了. 再举个例子，最开始的数取7，我们就会得到下面的序列：7→22→11→34→17→52→26→13→40→20→10→5→16→8→4→2→1这次复杂了一点，但是我们最终还是陷在4→2→1这个循环中.随便取一个其他的自然数，对它进行这一系列的变换，或迟或早，你总会掉到4→2→1这个循环中，或者说， 你总会得到1.已经有人用计算机对所有小于100×250=112589990684262400的自然数进行验算，无一例外.那么，是否对于所有的自然数都是如此呢？这看起来是个多么简单的问题啊！但读者朋友们可千万别小看这个“简单”得连小学二、三年级学生都能看懂的问题，要想证明它却是非常之难！二十多年前，有人向伟大的匈牙利数论学家保尔·厄尔多斯(Paul Erdos)介绍了这个问题，并且问他怎么看待现代数学对这个问题无能为力的现象，厄尔多斯回答说：“数学还没有准备好来回答这样的问题.”这种神奇的力量不知来自何方，是否可解释为一个很大的或很小的输入，最终都能得到一个稳定的输出，使一个无限的宇宙缩小为一个可控制的有限的宇宙呢.多么有趣的数字黑洞呀！这里给读者提供一个QBASIC 小程序，用来快速验证角谷猜想。
REM──验证角谷猜想──INPUT “N=”；NPRINT N ； “→”；40 IF N=1 THEN PRINT 1: ENDIF N/2=INT(N/2) THEN N=N/2 ELSEN=3*N+1IF N>1 THEN PRINT N ；“→”；:GOTO 40RUN问题4：（2004年全国初中数学联赛CASIO 杯武汉选拔赛试题）重排任一个三位数三个数位上的数字（三个数字不完全相同），得到一个最大的数和一个最小的数，它们的差构成另一个三位数（允许百位数字为零）。
再重复以上过程，问重复2003次后所得的数是多少？证明你的结论.分析：例如 103， 310-013=297，972-279=693，963-369=594，954-459=495.再比如518，851-158=693，963-369=594，954-459=495.这显然是一个三位数的数字“黑洞”问题，这个“黑洞”就是495.所以原问题的答案是495.简证：任取一个三位数()的数字到为、、90c b a abc n =，不妨设a ≤b ≤c.因为a 、b 、c 不完全相同，所以两个等号不可能同时取到.即1≤c-a ≤9.∴ ()()()()()a c c b a a b c abc cba abc F n F -=++-++=-==991010010100∴ ()=n F 099，198，297，396，495，594，693，792，891.而 495495594693792891099F −→−−→−−→−−→−−→−−→−F F F F F495594693792198−→−−→−−→−−→−F F F F495594693297−→−−→−−→−F F F495594396−→−−→−F F 证毕.问题5：（卡布列卡猜想）印度数学家卡布列卡在研究数学问题时发现一个有趣的现象：用不完全相同的四个数字组成一个四位数，将组成这个四位数的四个数字重新排序，组成一个最大的数和一个最小的数，并用最大的数减去最小的数，对减得的差再重复上述操作，差如果不够四位数时，用零补位。
不断地做下去，最后变成了一个固定不变的数：6174.卡布列卡做过大量的试验，结果不论从任何满足条件的四位数开始，最后总能变成6174.因此，卡布列卡风趣地把6174叫做卡布列卡常数.分析：例如，我们从4231开始，首先把4231重新排列成4321和1234，两数相减得3087；再把3087重新排列成8730和0378，两数相减得8352；再把8352重新排列成8532和2358，相减得6174；再把6174重新排列成7641和1467，两数相减仍然得6174.4231：4321-1234=3087 3087：8730-0378=8352；8352：8532-2358=6174； 6174：7641-1467=6174.再比如对于3109，9310-0139=9171，9711-1179=8532，8532 - 2358 =6174。