向量组的线性相关性ppt

证 （方法1） 设 B 1, 2,L n , 且
有数x1,x2,…,xn，使得 x11 x22 L xnn 0,
即
x1
1, 2,L
,
n
x2
M
0,
xn
右边等式两边同时左乘矩阵A，得
ABx 0, 即 Ex 0, 所以 x 0, 即 x1 x2 L xn 0, 故由定义可知，
0
0
1
证 令 A (1,2,L ,n ),
则A恰为单位矩阵E，故R(A)=n。 根据判定定理，单位向量组线性无关。
例8
已知向量组 , ,
1
2
3
线性无关， 1
1
2
, ,
2
2
3
3
3
1
证明向量组 , ,
1
2
3
也线性无关.(典型考题,典型方法）
证明：（方法 1: 根据定义) 设有数k1,k2,k3,使得
则称向量组A 线性相关，否则称它线性无关。
当且仅当k1 k2 L ks =0时，
表达式 k11 k22 L kss 0成立。
定理2
线性相关和无关的判定定理
1,2 ,L ,s 线性无关
x11 x22 L xss 0 仅有零解
对矩阵 A=(1,2,L ,s ), R( A) 向量的个数s.
例2 零向量是任何一个同维向量组的线性组合
Q 0 01 02 L 0m
线性表示的表示系数可以是零
例3 向量组中的任何一个向量都是该向量组的线性组合。
i 01 02 L 1i L 0m
例4 对如下向量
(0,1,2)T ,1 (1,1,0)T ,2 (0,1,1)T ,3 (3, 4,0)T ,

T 1 2 n
5.3 矩阵的秩与向量组的秩
定义5.5 在 m n矩阵A中任取K行K列 2 (k n, k m),位于这些行列交叉处的 k 个元 素，不改变它们在矩阵A所处的位置次序而得 到的K阶行列式，称为矩阵A的K阶子式。矩 阵的A最高阶非零子式 的阶数称为矩阵A的 R T （ R(A) r。显然， (A ) R A) 秩，记为 推论：R(A) r D 是矩阵 A 的一个非零r 设 阶子式，而 A 所有r 1 阶子式全为零。
T T
(2) a
(3)
a1 , a2 , an
T
a1 a1b1 a a b abT 2 [b1 , b2 , , bn ] 2 1 (4) an a n b1
b1 b a Tb a1 , a2 , , an 2 a1b1 a2b2 anbn bn
a1 a 2 a an
或
a a1, a2 ,, an
为列向量和行向量，并规定列向量与行向 量都按矩阵的运算规则进行运算.本书中若 没有指明是列向量还是行向量时，都当作 列向量。为了节省篇幅，常把列向量写成
a a1 , a2 , , an
T
分量全为实数的向量称为实向量，分量 为复数的向量称为复向量. 分量全为零的向 量称为零向量，记为 0.
设a a1 , a2 , , an ， b b1 , b2 , , bn 为列 向量，是一个数，则有 T (1) a + b a1 b1 , a2 b2 , , an bn
其中， βi ai1, ai 2 ,, ain , i 1,2,, m.

方程组线性组合 方程组有解 方程组由方程组表 示方程组等价（同解）
R (A ) R (B ) R (A ,B )
n
方程组 A: ajixi bj(j1,2, m), 有解 i1 常数项列向量可由未知数的系数列向量组线性表示
增广矩阵与系数矩阵的列向量组等价
两个方程组等价（同解）
P80.19、证明
b R(A)1存在非零列向量a 及非零行向量 T ，
使得 A abT .
证
" "
R(A)1A
1
1 O
O O

可逆矩阵P,Q,
1

A PO1
其中
1

O
1
O O




0 0

1
0
0

A
P
1、 一 个 向 量 可 由 向 量 组 A : 1 ,2 ,,m 线 性 表 示 ，
存 在 数 k 1 ,k 2 ， ,k m ,使 得 k 11 k 22 k mm
方 程 组 x 1 1 x 2 2 x m m 有 解
R(A)R(B).其 A 中 (a 1 ,a 2 , ,a m )B,A
1
7

,
其标准型
2
1
F


0
0
0 1 0
0
0

,
0
R(A) 2 R(F) 2
但
R(A,F)3
A
R

F


3
所以 A F , 但其列、行组都不等价
反之 设 有 n 维 向 量 组 A : 1 ,2 , m 及 B : 1 ,2 , l ,

2) A含两个向量时:
a1,a2线性相关 向量a1,a2共线(平行) a1 ka2
3) A含三个向量时:
a1,a2,a3线性相关 向量a1,a2,a3共面.
2.等价定义
向量组 1 , 2 ,,（当 m 2 时）线性相关 m 的充分必要条件是 1 , 2 , , m 中至少有一个向 量可由其余 m 1个向量线性表示． 证明 充分性 设 a1 , a2 , , am 中有一个向量（比如 能由其余向量线性表示. 即有
由R( A) R( B ) m , 知方程组 ( 1 , 2 ,, m ) x b有唯一解，即向量 能由向量 b 组A线性表示，且表示式唯 . 一
例 设 向 量 组 1 , a 2 , a 3线 性 相 关 ， 向 量 组 , a 3 , a 4 a a2 线性无关，证明 : (1) a1能 由a 2 , a 3线 性 表 示 ； ( 2 ) a 4不 能 由 1 , a 2 , a 3 线 性 表 示 a .
am）
am 1 1 2 2 m1 m1
故
1 1 2 2 m1 m1 1am 0
因 1 , 2 , , m 1 , 1 这 m 个数不全为0，
故 1 , 2 , , m 线性相关. 必要性 设 1 , 2 , , m 线性相关， 则有不全为0的数 k1 , k 2 ,, k m , 使
第二节
向量组的线性相关性
一、线性相关、线性无关
1.定义4 给定向量组 A : 1 , 2 ,, m , 如果存在不
全为零的数 k1 , k 2 ,, k m 使 k1 1 k 2 2 k m m 0
则称向量组A是么意思?