高考数学第8章平面解析几何第7节双曲线教学案文(含解析)北师大版

第七节双曲线[最新考纲] 1.了解双曲线的实际背景,了解双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).3.理解数形结合思想.4.了解双曲线的简单应用．(对应学生用书第161页)1．双曲线的定义(1)平面内到两定点F1、F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|的点的集合叫作双曲线,定点F1,F2叫作双曲线的焦点,两个焦点之间的距离叫作双曲线的焦距．(2)集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a},|F1F2|＝2c,其中a,c为常数且a＞0,c＞0.①当2a＜|F1F2|时,M点的轨迹是双曲线；②当2a＝|F1F2|时,M点的轨迹是两条射线；③当2a＞|F1F2|时,M点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a＞0,b＞0)y2a2－x2b2＝1(a＞0,b＞0)图形性质范围x≥a或x≤－a,y∈Rx∈R,y≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点坐标A1(－a,0),A2(a,0)A1(0,－a),A2(0,a) 渐近线y＝±bax y＝±abx离心率e＝ca＝1＋b2a2∈(1,＋∞)实、虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴,它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴,它的长|B1B2|＝2b；a 叫做双曲线的实半轴长,b 叫做双曲线的虚半轴长a ,b ,c 的关系c 2＝a 2＋b 2(c ＞a ＞0,c ＞b ＞0)实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线,其渐近线方程为y ＝±x ,离心率为e ＝ 2. [常用结论]1．过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为2b2a,也叫通径．2．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b .3．若P 是双曲线右支上一点,F 1,F 2分别为双曲线的左、右焦点,则|PF 1|min ＝a ＋c ,|PF 2|min＝c －a .4．与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0,b ＞0)有共同渐近线的方程可表示为x 2a 2－y 2b2＝t (t ≠0)．5．当已知双曲线的渐近线方程为bx ±ay ＝0,求双曲线方程时,可设双曲线方程为b 2x 2－a 2y 2＝λ(λ≠0)．一、思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)平面内到点F 1(0,4),F 2(0,－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( )(2)方程x 2m －y 2n＝1(mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线．( )(3)双曲线x 2m 2－y 2n 2＝λ(m >0,n >0,λ≠0)的渐近线方程是x 2m 2－y 2n 2＝0,即x m ±yn＝0.( )(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直,离心率等于 2. ( )[答案](1)× (2)× (3)√ (4)√ 二、教材改编1．双曲线x 23－y 22＝1的焦距为( ) A ．5 B. 5 C ．2 5 D ．1C [由双曲线x 23－y 22＝1,易知c 2＝3＋2＝5,所以c ＝5,所以双曲线x 23－y 22＝1的焦距为2 5.]2．以椭圆x 24＋y 23＝1的焦点为顶点,顶点为焦点的双曲线方程为( ) A ．x 2－y 23＝1B.x 23－y 2＝1C ．x 2－y 22＝1D.x 24－y 23＝1 A [设要求的双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0,b ＞0),由椭圆x 24＋y 23＝1,得椭圆焦点为(±1,0),在x 轴上的顶点为(±2,0)．所以双曲线的顶点为(±1,0),焦点为(±2,0)． 所以a ＝1,c ＝2, 所以b 2＝c 2－a 2＝3,所以双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1.]3．已知双曲线x 2a 2－y 23＝1(a >0)的离心率为2,则a ＝( )A ．2 B.62C.52D ．1D [依题意,e ＝c a ＝a 2＋3a＝2,∴a 2＋3＝2a ,则a 2＝1,a ＝1.]4．经过点A (5,－3),且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________． x 216－y 216＝1 [设双曲线的方程为x 2－y 2＝λ,把点A (5,－3)代入,得λ＝16,故所求方程为x 216－y 216＝1.](对应学生用书第162页)⊙考点1 双曲线的定义及应用双曲线定义的两个应用(1)判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线,进而根据要求可求出双曲线方程． (2)在“焦点三角形”中,常利用正弦定理、余弦定理,结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ,运用平方的方法,建立与|PF 1|·|PF 2|的关系．(1)设P 是双曲线x 216－y 220＝1上一点,F 1,F 2分别是双曲线的左、右焦点,若|PF 1|＝9,则|PF 2|等于( )A ．1B ．17C ．1或17D ．以上均不对(2)已知动圆M 与圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝2外切,与圆C 2：(x －4)2＋y 2＝2内切,则动圆圆心M 的轨迹方程为( )A.x 22－y 214＝1(x ≥2)B.x 22－y 214＝1(x ≤－2)C.x 22＋y 214＝1(x ≥2) D.x 22＋y 214＝1(x ≤－2) (3)已知F 1,F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点,点P 在C 上,∠F 1PF 2＝60°,则|PF 1|·|PF 2|等于( )A ．2B ．4C ．6D ．8(1)B (2)A (3)B [(1)根据双曲线的定义得||PF 1|－|PF 2||＝8⇒|PF 2|＝1或17. 又|PF 2|≥c －a ＝2,故|PF 2|＝17,故选B.(2)设动圆的半径为r ,由题意可得|MC 1|＝r ＋2,|MC 2|＝r －2,所以|MC 1|－|MC 2|＝22,故由双曲线的定义可知动点M 在以C 1(－4,0),C 2(4,0)为焦点,实轴长为2a ＝22的双曲线的右支上,即a ＝2,c ＝4⇒b 2＝16－2＝14,故动圆圆心M 的轨迹方程为x 22－y 214＝1(x ≥2),故选A.(3)由双曲线的方程得a ＝1,c ＝2, 由双曲线的定义得||PF 1|－|PF 2||＝2. 在△PF 1F 2中,由余弦定理得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos 60°,即(22)2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|PF 1|·|PF 2|＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|＝22＋|PF 1|·|PF 2|,解得|PF 1|·|PF 2|＝4,故选B.] [母题探究]1．本例(3)中,若将条件“∠F 1PF 2＝60°”改为|PF 1|＝2|PF 2|,试求cos∠F 1PF 2的值． [解] 根据双曲线的定义知,|PF 1|－|PF 2|＝|PF 2|＝2,则|PF 1|＝2|PF 2|＝4,又|F 1F 2|＝2 2∴cos∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝42＋22－2222×4×2＝34. 2．本例(3)中,若将条件“∠F 1PF 2＝60°”,改为PF 1→·PF 2→＝0,则△F 1PF 2的面积是多少？ [解] 不妨设点P 在双曲线的右支上． 则|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝2, 由PF 1→·PF 2→＝0,得PF 1→⊥PF 2→.在△F 1PF 2中,|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2,即(|PF 1|－|PF 2|)2＋2|PF 1||PF 2|＝8, ∴|PF 1||PF 2|＝2.∴S △F 1PF 2＝12|PF 1||PF 2|＝1.(1)求双曲线上的点到焦点的距离时,要注意取舍,如本例T (1)；(2)利用定义求双曲线方程时,要注意所求是双曲线一支,还是整个双曲线,如本例T (2)．1.已知点F 1(－3,0)和F 2(3,0),动点P 到F 1,F 2的距离之差为4,则点P 的轨迹方程为( )A.x 24－y 25＝1(y ＞0)B.x 24－y 25＝1(x ＞0)C.y 24－x 25＝1(y ＞0) D.y 24－x 25＝1(x ＞0) B [由题设知点P 的轨迹方程是焦点在x 轴上的双曲线的右支,设其方程为x 2a 2－y 2b2＝1(x＞0,a ＞0,b ＞0),由题设知c ＝3,a ＝2,b 2＝9－4＝5,所以点P 的轨迹方程为x 24－y 25＝1(x ＞0)．]2．已知双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点为F 1,F 2,P 为双曲线右支上一点．若|PF 1|＝43|PF 2|,则△F 1PF 2的面积为( )A ．48B ．24C ．12D ．6 B [由双曲线的定义可得 |PF 1|－|PF 2|＝13|PF 2|＝2a ＝2,解得|PF 2|＝6,故|PF 1|＝8, 又|F 1F 2|＝10,由勾股定理可知三角形PF 1F 2为直角三角形,因此S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝24.]3．若双曲线x 24－y 212＝1的左焦点为F ,点P 是双曲线右支上的动点,A (1,4),则|PF |＋|PA |的最小值是( )A ．8B ．9C ．10D ．12B [由题意知,双曲线x 24－y 212＝1的左焦点F 的坐标为(－4,0),设双曲线的右焦点为B ,则B (4,0),由双曲线的定义知|PF |＋|PA |＝4＋|PB |＋|PA |≥4＋|AB |＝4＋4－12＋0－42＝4＋5＝9,当且仅当A ,P ,B 三点共线且P 在A ,B 之间时取等号．]⊙考点2 双曲线的标准方程求双曲线方程的思路(1)如果已知双曲线的中心在原点,且确定了焦点在x 轴上或y 轴上,则设出相应形式的标准方程,然后根据条件确定关于a ,b ,c 的方程组,解出a 2,b 2,从而写出双曲线的标准方程(求得的方程可能是一个,也有可能是两个,注意合理取舍,但不要漏解)．(2)当焦点位置不确定时,有两种方法来解决：一种是分类讨论,注意考虑要全面；另一种是设双曲线的一般方程为mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)求解．(1)(2019·荆门模拟)方程x 2m ＋2＋y 2m －3＝1表示双曲线的一个充分不必要条件是( )A ．－3＜m ＜0B ．－1＜m ＜3C ．－3＜m ＜4D ．－2＜m ＜3(2)[一题多解]已知双曲线过点(2,3),渐近线方程为y ＝±3x ,则该双曲线的标准方程是( )A.7x 216－y212＝1 B.y 23－x 22＝1 C ．x 2－y 23＝1D.3y 223－x223＝1 (3)(2018·天津高考)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0,b >0)的离心率为2,过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A ,B 两点．设A ,B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2,且d 1＋d 2＝6,则双曲线的方程为( )A.x 24－y 212＝1 B.x 212－y 24＝1 C.x 23－y 29＝1 D.x 29－y 23＝1 (1)B (2)C (3)C [(1)方程x 2m ＋2＋y 2m －3＝1表示双曲线,则(m ＋2)(m －3)＜0,解得－2＜m ＜3.∵要求充分不必要条件,∴选项范围是－2＜m ＜3的真子集,只有选项B 符合题意．故选B.(2)法一：当其中的一条渐近线方程y ＝3x 中的x ＝2时,y ＝23＞3,又点(2,3)在第一象限,所以双曲线的焦点在x 轴上,设双曲线的标准方程是x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0,b ＞0),由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a 2－9b 2＝1，b a ＝3，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝3，所以该双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1,故选C.法二：因为双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ,即y3＝±x ,所以可设双曲线的方程是x2－y 23＝λ(λ≠0),将点(2,3)代入,得λ＝1,所以该双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1,故选C. (3)如图,不妨设A 在B 的上方,则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ,B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a .其中的一条渐近线为bx －ay ＝0,则d 1＋d 2＝bc －b 2＋bc ＋b 2a 2＋b 2＝2bcc ＝2b ＝6,∴b ＝3. 又由e ＝c a＝2,知a 2＋b 2＝4a 2,∴a ＝ 3.∴双曲线的方程为x 23－y 29＝1. 故选C.]已知双曲线的渐近线方程,用渐近线方程设出双曲线方程,运算过程较为简单．[教师备选例题]设双曲线与椭圆x 227＋y 236＝1有共同的焦点,且与椭圆相交,其中一个交点的坐标为(15,4),则此双曲线的标准方程是________．y 24－x 25＝1 [法一：椭圆x 227＋y 236＝1的焦点坐标是(0,±3),设双曲线方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0,b >0),根据双曲线的定义知2a ＝|15－02＋4－32－15－02＋4＋32|＝4,故a ＝2.又b 2＝32－22＝5,故所求双曲线的标准方程为y 24－x 25＝1.法二：椭圆x 227＋y 236＝1的焦点坐标是(0,±3)．设双曲线方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0,b >0),则a 2＋b 2＝9,① 又点(15,4)在双曲线上,所以16a2－15b2＝1,②联立①②解得a 2＝4,b 2＝5.故所求双曲线的标准方程为y 24－x 25＝1.1.(2019·湘潭模拟)以双曲线x 24－y 25＝1的焦点为顶点,且渐近线互相垂直的双曲线的标准方程为( )A ．x 2－y 2＝1 B.x 29－y 2＝1 C.x 29－y 23＝1 D.x 29－y 29＝1 D [由题可知,所求双曲线的顶点坐标为(±3,0)．又因为双曲线的渐近线互相垂直,所以a ＝b ＝3,则该双曲线的方程为x 29－y 29＝1.故选D.]2．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0,b ＞0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,点P 在双曲线的右支上,若|PF 1|－|PF 2|＝4b ,且双曲线的焦距为25,则该双曲线的标准方程为( )A.x 24－y 2＝1 B.x 23－y 22＝1 C ．x 2－y 24＝1D.x 22－y 23＝1 A [由题意可得⎩⎨⎧|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝4b ，c 2＝a 2＋b 2，2c ＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1，则该双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.]3．经过点P (3,27),Q (－62,7)的双曲线的标准方程为________． y 225－x 275＝1 [设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0), 因为所求双曲线经过点P (3,27),Q (－62,7),所以⎩⎪⎨⎪⎧9m ＋28n ＝1，72m ＋49n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－175，n ＝125.故所求双曲线方程为y 225－x 275＝1.]⊙考点3 双曲线的几何性质求双曲线的离心率(或其范围) 求双曲线的离心率或其范围的方法(1)求a ,b ,c 的值,由c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a2直接求e .(2)列出含有a ,b ,c 的齐次方程(或不等式),借助于b 2＝c 2－a 2消去b ,然后转化成关于e 的方程(或不等式)求解．(1)(2019·全国卷Ⅱ)设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0,b ＞0)的右焦点,O 为坐标原点,以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2交于P ,Q 两点．若|PQ |＝|OF |,则C 的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2D. 5(2)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0,b ＞0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,点P 在双曲线的右支上,且|PF 1|＝4|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤53，2 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤1，53 C ．(1,2]D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫53，＋∞ (1)A (2)B [(1)令双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0,b >0)的右焦点F 的坐标为(c,0),则c ＝a 2＋b 2.如图所示,由圆的对称性及条件|PQ |＝|OF |可知,PQ 是以OF 为直径的圆的直径,且PQ ⊥OF .设垂足为M ,连接OP ,则|OP |＝a ,|OM |＝|MP |＝c2,由|OM |2＋|MP |2＝|OP |2,得⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＝a 2, ∴c a＝2,即离心率e ＝ 2. 故选A.(2)由双曲线的定义可知|PF 1|－|PF 2|＝2a ,又|PF 1|＝4|PF 2|,所以|PF 2|＝2a3,由双曲线上的点到焦点的最短距离为c －a ,可得2a 3≥c －a ,解得c a ≤53,即e ≤53,又双曲线的离心率e ＞1,故该双曲线离心率的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤1，53,故选B.]本例T (2)利用双曲线右支上的点到右焦点的距离不小于c －a 建立不等式求解,同时应注意双曲线的离心率e ＞1.[教师备选例题](2019·沈阳模拟)设F 1,F 2分别为双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0,b ＞0)的左、右焦点,P 是双曲线C 上一点,若|PF 1|＋|PF 2|＝4a ,且△PF 1F 2的最小内角的正弦值为13,则双曲线C 的离心率为( )A ．2B ．3 C. 2D. 3C [不妨设P 是双曲线右支上的一点,由双曲线的定义可知|PF 1|－|PF 2|＝2a ,|F 1F 2|＝2c ,所以|PF 1|＝3a ,|PF 2|＝a .△PF 1F 2的最小内角的正弦值为13,其余弦值为223,因为|PF 1|＞|PF 2|,|F 1F 2|＞|PF 2|,所以∠PF 1F 2为△PF 1F 2的最小内角．由余弦定理可得|PF 2|2＝|F 1F 2|2＋|PF 1|2－2|F 1F 2||PF 1|cos∠PF 1F 2,即a 2＝4c 2＋9a 2－2×2c ×3a ×223,所以离心率e ＝c a ＝ 2.故选C.]与渐近线有关的问题 与渐近线有关的结论(1)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0,b ＞0)的渐近线方程为y ＝±b a x ,双曲线y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0,b ＞0)的渐近线方程为y ＝±abx .(2)e 2＝1＋b 2a 2⇒b 2a 2＝e 2－1⇒b a＝e 2－1.(1)(2019·武汉模拟)已知双曲线C ：x 2m 2－y 2n 2＝1(m ＞0,n ＞0)的离心率与椭圆x 225＋y 216＝1的离心率互为倒数,则双曲线C 的渐近线方程为( ) A ．4x ±3y ＝0 B ．3x ±4y ＝0C ．4x ±3y ＝0或3x ±4y ＝0D ．4x ±5y ＝0或5x ±4y ＝0(2)(2019·张掖模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0,b ＞0)的顶点到其一条渐近线的距离为1,焦点到其一条渐近线的距离为2,则其一条渐近线的倾斜角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°(1)A (2)B [(1)由题意知,椭圆中a ＝5,b ＝4,∴椭圆的离心率e ＝1－b 2a 2＝35,∴双曲线的离心率为1＋n 2m 2＝53,∴n m ＝43,∴双曲线的渐近线方程为y ＝±n m x ＝±43x ,即4x ±3y ＝0.故选A. (2)设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的右顶点A (a,0),右焦点F 2(c,0)到渐近线y ＝b ax 的距离分别为1和2,则有⎩⎪⎨⎪⎧ ab a 2＋b 2＝1，bc a 2＋b 2＝2，即a c ＝22. 则b 2a 2＝c 2－a 2a 2＝c 2a 2－1＝2－1＝1,即b a＝1. 设渐近线y ＝b a x 的倾斜角为θ,则tan θ＝b a＝1.所以θ＝45°,故选B.]双曲线中,焦点到一条渐近线的距离等于b 是常用的结论．[教师备选例题] (2019·衡水模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0,b ＞0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,过点F 1作圆x 2＋y 2＝a 2的切线,交双曲线右支于点M .若∠F 1MF 2＝45°,则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±3xC ．y ＝±xD ．y ＝±2x A [如图,作OA ⊥F 1M 于点A ,F 2B ⊥F 1M 于点B .因为F 1M 与圆x 2＋y 2＝a 2相切,∠F 1MF 2＝45°,所以|OA |＝a ,|F 2B |＝|BM |＝2a ,|F 2M |＝22a ,|F 1B |＝2b .又点M 在双曲线上,所以|F 1M |－|F 2M |＝2a ＋2b －22a ＝2a ,整理得b ＝2a .所以b a＝ 2.所以双曲线的渐近线方程为y ＝±2x .故选A.] 1.已知双曲线y 2m －x 29＝1(m ＞0)的一个焦点在直线x ＋y ＝5上,则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±34xB ．y ＝±43xC ．y ＝±223xD ．y ＝±324x B [由双曲线y 2m －x 29＝1(m ＞0)的焦点在y 轴上,且在直线x ＋y ＝5上,直线x ＋y ＝5与y 轴的交点为(0,5),有c ＝5,则m ＋9＝25,得m ＝16,所以双曲线的方程为y 216－x 29＝1, 故双曲线的渐近线方程为y ＝±43x .故选B.] 2．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0,b ＞0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,点A (2,2)在双曲线C 上,若AF 2⊥F 1F 2,则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±xB ．y ＝±2xC ．y ＝±2xD ．y ＝±6xA [因为AF 2⊥F 1F 2,A (2,2),所以F 1(－2,0),F 2(2,0),由双曲线的定义可知2a ＝|AF 1|－|AF 2|＝－2－22＋0－22－2＝22,即a ＝2,所以b ＝22－22＝2,故双曲线C 的渐近线方程为y ＝±x ,故选A.]。

第7讲 双曲线1．(2016·石家庄一模)已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4，0)，(4，0)，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 212＝1 B.x 212－y 24＝1 C.x 210－y 26＝1 D.x 26－y 210＝1 解析：选A.已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4，0)，(4，0)，则c ＝4，a ＝2，b 2＝12，双曲线方程为x 24－y 212＝1，故选A.2．(2015·高考福建卷)若双曲线E ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于( )A ．11B ．9C ．5D ．3 解析：选B.由题意知a ＝3，b ＝4，所以c ＝5.由双曲线的定义有||PF 1|－|PF 2||＝|3－|PF 2||＝2a ＝6.所以|PF 2|＝9.3．(2016·惠州调研)若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的离心率为3，则其渐近线的斜率为( )A ．±2B ．± 2C ．±12D ．±22解析：选B.因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为3，所以e ＝ca＝1＋b 2a 2＝3，解得ba＝2，所以其渐近线的斜率为± 2.故选B.4． (2015·高考湖南卷)若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( ) A.73B.54C.43D.53解析：选D.由双曲线的渐近线过点(3，－4)知b a ＝43，所以b 2a 2＝169.又b 2＝c 2－a 2，所以c 2－a 2a 2＝169，即e 2－1＝169，所以e 2＝259，所以e ＝53.5．(2015·高考四川卷)过双曲线x 2－y 23＝1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则|AB |＝( ) A.433B ．2 3C ．6D ．4 3解析：选D.由题意知，双曲线x 2－y 23＝1的渐近线方程为y ＝±3x ，将x ＝c ＝2代入得y＝±23，即A ，B 两点的坐标分别为(2，23)，(2，－23)，所以|AB |＝4 3.6．(2016·太原模拟)已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，点P 在双曲线右支上，且F 1P →·(OF 1→＋OP →)＝0(O 为坐标原点)，若|F 1P |＝2|F 2P |，则该双曲线的离心率为( ) A.6＋ 3 B.6＋32 C.6＋ 2D.6＋22解析：选A.设线段PF 1的中点为D ，则F 1P →·(OF 1→＋OP →)＝F 1P →·(2OD →)＝0，所以F 1P →⊥OD →，又因为点O 为线段F 1F 2的中点，所以OD ∥PF 2，所以F 1P ⊥PF 2，所以|F 1P |2＋|PF 2|2＝4c 2，① 又因为点P 在双曲线的右支上，所以|F 1P |－|PF 2|＝2a ，②又因为|F 1P |＝2|PF 2|，③联立①②③得e 2＝c 2a 2＝33－22，所以e ＝6＋3，故选A.7．已知双曲线x 29－y 2a＝1的右焦点的坐标为(13，0)，则该双曲线的渐近线方程为________．解析：依题意知(13)2＝9＋a ，所以a ＝4， 故双曲线方程为x 29－y 24＝1，则渐近线方程为x 3±y2＝0.即2x ±3y ＝0.答案：2x ＋3y ＝0或2x －3y ＝08．已知双曲线x 2m －y 23m ＝1的一个焦点是(0，2)，椭圆y 2n －x 2m ＝1的焦距等于4，则n ＝________．解析：因为双曲线的焦点(0，2)，所以焦点在y 轴上，所以双曲线的方程为y 2－3m －x 2－m ＝1，即a 2＝－3m ，b 2＝－m ，所以c 2＝－3m －m ＝－4m ＝4，解得m ＝－1.所以椭圆方程为y 2n＋x 2＝1，且n >0，又椭圆的焦距为4，所以c 2＝n －1＝4或1－n ＝4，解得n ＝5或－3(舍去)．答案：59．(2015·高考湖南卷)设F 是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的一个焦点．若C 上存在点P ，使线段PF 的中点恰为其虚轴的一个端点，则C 的离心率为________．解析：不妨设F (－c ，0)，PF 的中点为(0，b )．由中点坐标公式可知P (c ，2b )．又点P 在双曲线上，则c 2a 2－4b 2b 2＝1，故c 2a 2＝5，即e ＝ca＝ 5. 答案： 510．(2016·南昌模拟)过原点的直线l 与双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右两支分别相交于A ，B 两点，F (－3，0)是双曲线C 的左焦点，若|FA |＋|FB |＝4，FA →·FB →＝0，则双曲线C 的方程是________．解析：如图所示，设双曲线的右焦点为F 2(3，0)，连接F 2A ，F 2B ，由双曲线的对称性和FA →·FB →＝0知四边形AFBF 2为矩形，由|FA |＋|FB |＝4得|FA |＋|AF 2|＝4，又因为|FA |－|AF 2|＝2a ，所以|FA |＝2＋a ，|F 2A |＝2－a ，由|F 2A |2＋|FA |2＝(2－a )2＋(2＋a )2＝(23)2，得a 2＝2，b 2＝1，所以双曲线的方程为x 22－y 2＝1.答案：x 22－y 2＝111．已知椭圆D ：x 250＋y 225＝1与圆M ：x 2＋(y －5)2＝9，双曲线G 与椭圆D 有相同焦点，它的两条渐近线恰好与圆M 相切，求双曲线G 的方程． 解：椭圆D 的两个焦点坐标为(－5，0)，(5，0)， 因而双曲线中心在原点，焦点在x 轴上，且c ＝5.设双曲线G 的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，所以渐近线方程为bx ±ay ＝0且a 2＋b 2＝25， 又圆心M (0，5)到两条渐近线的距离为r ＝3.所以|5a |b 2＋a 2＝3，得a ＝3，b ＝4，所以双曲线G 的方程为x 29－y 216＝1.12．设A ，B 分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为43，焦点到渐近线的距离为 3. (1)求双曲线的方程；(2)已知直线y ＝33x －2与双曲线的右支交于M 、N 两点，且在双曲线的右支上存在点D ，使OM →＋ON →＝tOD →，求t 的值及点D 的坐标． 解：(1)由题意知a ＝23， 所以一条渐近线方程为y ＝b23x .即bx －23y ＝0.所以|bc |b 2＋12＝ 3.所以b 2＝3，所以双曲线的方程为x 212－y 23＝1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)， 则x 1＋x 2＝tx 0，y 1＋y 2＝ty 0. 将直线方程代入双曲线方程得x 2－163x ＋84＝0，则x 1＋x 2＝163，y 1＋y 2＝12. 所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0y 0＝433，x 2012－y 203＝1，所以⎩⎨⎧x 0＝43，y 0＝3.所以t ＝4，点D 的坐标为(43，3)．1．(2016·南昌调研)已知F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，P 是C上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2最小内角的大小为30°，则双曲线C 的渐近线方程是( )A.2x ±y ＝0 B ．x ±2y ＝0 C ．x ±2y ＝0 D ．2x ±y ＝0解析：选A.由题意，不妨设|PF 1|＞|PF 2|，则根据双曲线的定义得，|PF 1|－|PF 2|＝2a ， 又|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，解得|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a .在△PF 1F 2中，|F 1F 2|＝2c ，而c ＞a ， 所以有|PF 2|＜|F 1F 2|，所以∠PF 1F 2＝30°，所以(2a )2＝(2c )2＋(4a )2－2·2c ·4a cos 30°，得c ＝3a ，所以b ＝c 2－a 2＝2a ，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax ＝±2x ， 即2x ±y ＝0.2．设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，右顶点为A ，过F 作AF 的垂线与双曲线交于B ，C 两点，过B ，C 分别作AC ，AB 的垂线，两垂线交于点D ，若D 到直线BC 的距离小于a ＋a 2＋b 2，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是________．解析：c ＝a 2＋b 2，由题意得A (a ，0)，F (c ，0)，不妨设B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a .由于k AC ＝b 2a （a －c ），k AB ＝b 2a （c －a ），从而过B 且与AC 垂直的直线为y －b 2a ＝a （c －a ）b 2(x－c )①.过C 且与AB 垂直的直线为y ＋b 2a ＝a （a －c ）b 2·(x －c )②.①②联立，解得x ＝b 4a 2（a －c ）＋c .由题意，得c －⎣⎢⎡⎦⎥⎤b 4a 2（a －c ）＋c <a ＋c ，即b 2<a 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2<1. 设该双曲线渐近线的斜率为k ，则k 2<1， 又k ≠0，所以0<k <1或－1<k <0. 答案：(－1，0)∪(0，1)3．(2016·湛江模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F (c ，0)．(1)若双曲线的一条渐近线方程为y ＝x 且c ＝2，求双曲线的方程； (2)以原点O 为圆心，c 为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A ，过A 作圆的切线，斜率为－3，求双曲线的离心率．解：(1)因为双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax ，所以a ＝b ， 所以c 2＝a 2＋b 2＝2a 2＝4，所以a 2＝b 2＝2， 所以双曲线方程为x 22－y 22＝1.(2)设点A 的坐标为(x 0，y 0)，所以直线AO 的斜率满足y 0x 0·(－3)＝－1， 所以x 0＝3y 0，①依题意，圆的方程为x 2＋y 2＝c 2，将①代入圆的方程得3y 20＋y 20＝c 2， 即y 0＝12c ，所以x 0＝32c ， 所以点A 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫32c ，12c ， 代入双曲线方程得34c 2a 2－14c 2b2＝1，即34b 2c 2－14a 2c 2＝a 2b 2，② 又因为a 2＋b 2＝c 2，所以将b 2＝c 2－a 2代入②式，整理得 34c 4－2a 2c 2＋a 4＝0， 所以3⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 4－8⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋4＝0， 所以(3e 2－2)(e 2－2)＝0， 因为e ＞1，所以e ＝2， 所以双曲线的离心率为 2.4．直线l ：y ＝3(x －2)和双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)交于A ，B 两点，且|AB |＝3，又l 关于直线l 1：y ＝b ax 对称的直线l 2与x 轴平行． (1)求双曲线C 的离心率e ； (2)求双曲线C 的方程．解：(1)设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1过一、三象限的渐近线l 1：x a －yb＝0的倾斜角为α.因为l 和l 2关于l 1对称，记它们的交点为P ，l 与x 轴的交点为M .而l 2与x 轴平行，记l 2与y 轴的交点为Q . 依题意有∠QPO ＝∠POM ＝∠OPM ＝α.又l ：y ＝3(x －2)的倾斜角为60°，则2α＝60°，所以tan 30°＝b a ＝33. 于是e 2＝c 2a 2＝1＋b 2a 2＝1＋13＝43，所以e ＝233.(2)由于b a ＝33，于是设双曲线方程为x 23k 2－y 2k 2＝1(k ≠0)，即x 2－3y 2＝3k 2.将y ＝3(x －2)代入x 2－3y 2＝3k 2中，得x 2－3×3(x －2)2＝3k 2.化简得到8x 2－36x ＋36＋3k 2＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则|AB |＝1＋3|x 1－x 2|＝2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝2×362－4×8×（36＋3k 2）8＝9－6k 2＝3，解得k 2＝1.故所求双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1.。

尖子生好方法:听课时应该始终跟着老师的节奏，要善于抓住老师讲解中的关键词，构建自己的知识结构。利用老师讲课的间隙，猜想老师还会讲什么，会怎样讲， 怎样讲会更好，如果让我来讲，我会怎样讲。这种方法适合于听课容易分心的同学。
2019/7/10
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2019/7Βιβλιοθήκη 10 一、“超前思考，比较听课”
什么叫“超前思考，比较听课”？简单地说，就是同学们在上课的时候不仅要跟着老师的思路走，还要力争走在老师思路的前面，用自己的思路和老师的思路进行对 比，从而发现不同之处，优化思维。
比如在讲《林冲棒打洪教头》一文，老师会提出一些问题，如林冲当时为什么要戴着枷锁？林冲、洪教头是什么关系？林冲为什么要棒打洪教头？••••••
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3．从命题思路上看： (1)直线方程与其他知识相结合． (2)圆的方程的求解以及直线与圆的位置关系，弦长以及参数的求解． (3)对圆锥曲线的考查，大多以圆锥曲线的性质为依托，结合运算推理来解 决，要求能够比较熟练地运用性质进行有关数值、代数式的运算及推理． (4)对于直线与圆锥曲线的位置关系的考查，大多数是将直线与圆锥曲线方程 联立求解，还有求三角形面积的值、线段的长度、直线方程、参数值，以及定 点、定值、最值以及探究性问题等．
第八章 平面解析几何
[五年考情]
[重点关注] 综合近5年全国卷高考试题，我们发现高考命题在本章呈现以下规律： 1．从考查题型看：一般有2个客观题，1个解答题；从考查分值看，在22分 左右．基础题主要考查对基础知识和基本方法的掌握程度，中档题主要考查运算 能力和逻辑推理能力，难题考查综合应用能力． 2．从考查知识来看：主要考查直线的方程、圆的方程、直线与圆、圆与圆 的位置关系、圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)的定义、标准方程及性质、直线 与圆锥曲线的位置关系、圆锥曲线的综合应用．突出对数形结合思想、函数与方 程思想、转化与化归思想、分类讨论思想以及探究、创新能力的考查．

第7讲双曲线一、知识梳理1．双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.(1)当2a<|F1F2|时，P点的轨迹是双曲线．(2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是两条射线．(3)当2a>|F1F2|时，P点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)图形性质X围x≥a或x≤－a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R对称性对称轴：坐标轴，对称中心：原点顶点A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线y＝±bax y＝±abx离心率e＝ca，e∈(1，＋∞)实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴(1)等轴双曲线：实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线，其标准方程可写作：x 2－y 2＝λ(λ≠0)．(2)等轴双曲线⇔离心率e ＝2⇔两条渐近线y ＝±x 互相垂直． 常用结论1．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b .2．若P 是双曲线右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF 1|min ＝a ＋c ，|PF 2|min ＝c －a .3．同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为2b2a，异支的弦中最短的为实轴，其长为2a .4．设P ，A ，B 是双曲线上的三个不同的点，其中A ，B 关于原点对称，直线PA ，PB 斜率存在且不为0，则直线PA 与PB 的斜率之积为b 2a2.5．P 是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则S △PF 1F 2＝b 2·1tanθ2，其中θ为∠F 1PF 2.二、教材衍化1．若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为________．解析：由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长，双曲线的渐近线方程为x a ±y b＝0，即bx ±ay ＝0，所以2a ＝bca 2＋b 2＝b . 又a 2＋b 2＝c 2，所以5a 2＝c 2.所以e 2＝c 2a2＝5，所以e ＝ 5.答案： 52．经过点A (3，－1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________．解析：设双曲线的方程为x 2a 2－y 2a2＝±1(a ＞0)，把点A (3，－1)代入，得a 2＝8(舍负)， 故所求方程为x 28－y 28＝1.答案：x 28－y 28＝13．以椭圆x 24＋y 23＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为________．解析：设要求的双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，由椭圆x 24＋y 23＝1，得焦点为(±1，0)，顶点为(±2，0)．所以双曲线的顶点为(±1，0)，焦点为(±2，0)．所以a ＝1，c ＝2，所以b 2＝c 2－a 2＝3，所以双曲线标准方程为x 2－y 23＝1.答案：x 2－y 23＝1一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内到点F 1(0，4)，F 2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( )(2)椭圆的离心率e ∈(0，1)，双曲线的离心率e ∈(1，＋∞)．( )(3)方程x 2m －y 2n＝1(mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线．( )(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√ 二、易错纠偏常见误区|Ｋ(1)忽视双曲线的定义；(2)忽视双曲线焦点的位置；(3)忽视双曲线的渐近线与离心率的关系．1．平面内到点F 1(0，4)，F 2(0，－4)的距离之差等于6的点的轨迹是________． 解析：由|PF 1|－|PF 2|＝6＜|F 1F 2|＝8，得a ＝3，又c ＝4，则b 2＝c 2－a 2＝7，所以所求点的轨迹是双曲线y 29－x 27＝1的下支．答案：双曲线y 29－x 27＝1的下支2．坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线的倾斜角为π3，则双曲线的离心率为________．解析：若双曲线的焦点在x 轴上，设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，则渐近线的方程为y ＝±b a x ，由题意可得b a ＝tan π3＝3，b ＝3a ，可得c ＝2a ，则e ＝ca ＝2；若双曲线的焦点在y 轴上，设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b 2＝1，则渐近线的方程为y ＝±a b x ，由题意可得a b ＝tan π3＝3，a ＝3b ，可得c ＝233a ，则e ＝233.综上可得e ＝2或e ＝233.答案：2或2333．若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为________．解析：由条件知y ＝－b ax 过点(3，－4)，所以3b a＝4，即3b ＝4a ，所以9b 2＝16a 2，所以9c 2－9a 2＝16a 2，所以25a 2＝9c 2，所以e ＝53.答案：53双曲线的定义(多维探究)角度一 利用定义求轨迹方程已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为____________．【解析】 如图所示，设动圆M 与圆C 1及圆C 2分别外切于点A 和点B .根据两圆外切的条件，得|MC 1|－|AC 1|＝|MA |， |MC 2|－|BC 2|＝|MB |， 因为|MA |＝|MB |，所以 |MC 1|－|AC 1|＝|MC 2|－|BC 2|，即|MC 2|－|MC 1|＝|BC 2|－|AC 1|＝2，所以点M 到两定点C 1、C 2的距离的差是常数且小于|C 1C 2|＝6.又根据双曲线的定义，得动点M 的轨迹为双曲线的左支(点M 与C 2的距离大，与C 1的距离小)，其中a ＝1，c ＝3，则b 2＝8.故点M 的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ≤－1)．【答案】 x 2－y 28＝1(x ≤－1)角度二 利用定义解决“焦点三角形”问题已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左，右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝________．【解析】 由双曲线的定义有 |PF 1|－|PF 2|＝|PF 2|＝2a ＝22， 所以|PF 1|＝2|PF 2|＝42，则cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝（42）2＋（22）2－422×42×22＝34.【答案】 34【迁移探究1】 (变条件)将本例中的条件“|PF 1|＝2|PF 2|”改为“∠F 1PF 2＝60°”，求△F 1PF 2的面积是多少？解：不妨设点P 在双曲线的右支上，则|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22，在△F 1PF 2中，由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝12，所以|PF 1|·|PF 2|＝8，所以S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|sin 60°＝2 3.【迁移探究2】 (变条件)将本例中的条件“|PF 1|＝2|PF 2|”改为“PF 1→·PF 2→＝0”，求△F 1PF 2的面积是多少？解：不妨设点P 在双曲线的右支上，则 |PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22，由于PF 1→·PF 2→＝0， 所以PF 1→⊥PF 2→，所以在△F 1PF 2中，有 |PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，即|PF 1|2＋|PF 2|2＝16，所以|PF 1|·|PF 2|＝4， 所以S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝2.角度三 利用定义求解最值问题若双曲线x 24－y 212＝1的左焦点为F ，点P 是双曲线右支上的动点，A (1，4)，则|PF |＋|PA |的最小值是( )A ．8B ．9C ．10D ．12【解析】 由题意知，双曲线x 24－y 212＝1的左焦点F 的坐标为(－4，0)，设双曲线的右焦点为B ，则B (4，0)，由双曲线的定义知|PF |＋|PA |＝4＋|PB |＋|PA |≥4＋|AB |＝4＋（4－1）2＋（0－4）2＝4＋5＝9，当且仅当A ，P ，B 三点共线且P 在A ，B 之间时取等号． 所以|PF |＋|PA |的最小值为9. 【答案】 B双曲线定义的应用(1)判定满足某条件的平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程． (2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法，建立|PF 1|与|PF 2|的关系．[提醒] 在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支，若是双曲线的一支，则需确定是哪一支．1．(2020·某某非凡联盟4月联考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 29＝1(a ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，一条渐近线与直线4x ＋3y ＝0垂直，点M 在C 上，且|MF 2|＝6，则|MF 1|＝( )A ．2或14B ．2C ．14D ．2或10解析：选C.由题意知3a ＝34，故a ＝4，则c ＝5.由|MF 2|＝6＜a ＋c ＝9，知点M 在C 的右支上，由双曲线的定义知|MF 1|－|MF 2|＝2a ＝8，所以|MF 1|＝14.2．(2020·某某某某省级示X 学校联考)设F 1，F 2分别为双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b＞0)的左、右焦点，过F 1的直线交双曲线C 的左支于A ，B 两点，且|AF 2|＝3，|BF 2|＝5，|AB |＝4，则△BF 1F 2的面积为________．解析：因为|AF 2|＝3，|BF 2|＝5， |AF 2|－|AF 1|＝2a ，|BF 2|－|BF 1|＝2a ， 所以|AF 2|＋|BF 2|－|AB |＝4a ＝3＋5－4＝4， 所以a ＝1，所以|BF 1|＝3，又|AF 2|2＋|AB |2＝|BF 2|2， 所以∠F 2AB ＝90°，所以sin B ＝35，所以S △BF 1F 2＝12×5×3×sin B ＝12×5×3×35＝92.答案：92双曲线的标准方程(师生共研)(1)(一题多解)与椭圆x 24＋y 2＝1共焦点且过点P (2，1)的双曲线方程是( )A.x 24－y 2＝1 B ．x 22－y 2＝1C.x 23－y 23＝1 D ．x 2－y 22＝1(2)(一题多解)若双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，且经过点(4，3)，则双曲线的方程为________．【解析】 (1)法一：椭圆x 24＋y 2＝1的焦点坐标是(±3，0)．设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，所以4a 2－1b 2＝1，a 2＋b 2＝3，解得a 2＝2，b 2＝1，所以所求双曲线方程是x 22－y 2＝1.法二：设所求双曲线方程为x 24－λ＋y 21－λ＝1(1<λ<4)，将点P (2，1)的坐标代入可得44－λ＋11－λ＝1，解得λ＝2(λ＝－2舍去)，所以所求双曲线方程为x 22－y 2＝1. (2)法一：因为双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，所以可设双曲线的方程为x 2－4y 2＝λ(λ≠0)． 因为双曲线过点(4，3)，所以λ＝16－4×(3)2＝4， 所以双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.法二：因为渐近线y ＝12x 过点(4，2)，而3<2，所以点(4，3)在渐近线y ＝12x 的下方，在y ＝－12x 的上方(如图)．所以双曲线的焦点在x 轴上，故可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．由已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝12，16a 2－3b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1，所以双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.【答案】 (1)B (2)x 24－y 2＝1(1)求双曲线标准方程的答题模板(2)利用待定系数法求双曲线方程的常用方法①与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的方程可设为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0)；②若双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，则双曲线的方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)；③若双曲线过两个已知点，则双曲线的方程可设为x 2m ＋y 2n＝1(mn <0)或mx 2＋ny 2＝1(mn <0)．1．(2020·某某模拟)过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点F (c ，0)作其渐近线y＝32x 的垂线，垂足为M ，若S △OMF ＝43(O 为坐标原点)，则双曲线的标准方程为( ) A.x 24－y 23＝1 B ．x 28－y 26＝1C.x 216－y 212＝1 D ．x 232－y 224＝1 解析：选C.由题意易得⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝32，12ab ＝43，解得⎩⎨⎧a ＝4，b ＝23，所以双曲线的标准方程为x 216－y 212＝1，故选C.2．过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的右顶点作x 轴的垂线，与C 的一条渐近线相交于点A .若以C 的右焦点F 为圆心、半径为4的圆经过A ，O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的方程为( )A.x 24－y 212＝1B ．x 27－y 29＝1C.x 28－y 28＝1 D ．x 212－y 24＝1 解析：选A.因为渐近线y ＝bax 与直线x ＝a 交于点A (a ，b )，c ＝4且（4－a ）2＋b 2＝4，解得a 2＝4，b 2＝12，因此双曲线的标准方程为x 24－y 212＝1.3．经过点P (3，27)，Q (－62，7)的双曲线的标准方程为________．解析：设双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)，因为所求双曲线经过点P (3，27)，Q (－62，7)，所以⎩⎪⎨⎪⎧9m ＋28n ＝1，72m ＋49n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－175，n ＝125.故所求双曲线方程为y 225－x 275＝1.答案：y 225－x 275＝1双曲线的几何性质(多维探究) 角度一 求双曲线的焦点(距)、实、虚轴长已知离心率为52的双曲线C ：x 2a 2－y2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，M 是双曲线C 的一条渐近线上的点，且OM ⊥MF 2，O 为坐标原点，若S △OMF 2＝16，则双曲线的实轴长是( )A ．32B ．16C ．84D ．4【解析】 由题意知F 2(c ，0)，不妨令点M 在渐近线y ＝bax 上，由题意可知|F 2M |＝bc a 2＋b 2＝b ，所以|OM |＝c 2－b 2＝a .由S △OMF 2＝16，可得12ab ＝16，即ab ＝32，又a 2＋b 2＝c 2，c a ＝52，所以a ＝8，b ＝4，c ＝45，所以双曲线C 的实轴长为16.故选B.【答案】 B角度二 求双曲线的渐近线方程(1)(2020·某某某某一模)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点为F ，点A ，B 是C 的一条渐近线上关于原点对称的两点，以AB 为直径的圆过F 且交C 的左支于M ，N 两点，若|MN |＝2，△ABF 的面积为8，则C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±3xB ．y ＝±33x C ．y ＝±2xD ．y ＝±12x(2)过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 作圆O ：x 2＋y 2＝a 2的两条切线，切点为A ，B ，双曲线的左顶点为C ，若∠ACB ＝120°，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±3xB ．y ＝±33x C ．y ＝±2x D ．y ＝±22x 【解析】 (1)设双曲线的另一个焦点为F ′，由双曲线的对称性，可得四边形AFBF ′是矩形，所以S △ABF ＝S △ABF ′， 即bc ＝8，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝c 2，x 2a 2－y 2b2＝1可得y ＝±b 2c ，则|MN |＝2b 2c＝2，即b 2＝c ，所以b ＝2，c ＝4， 所以a ＝c 2－b 2＝23， 所以C 的渐近线方程为y ＝±33x ， 故选B.(2)如图所示，连接OA ，OB ，设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的焦距为2c (c >0)，则C (－a ，0)，F (－c ，0)．由双曲线和圆的对称性知，点A 与点B 关于x 轴对称，则∠ACO ＝∠BCO ＝12∠ACB ＝12×120°＝60°.因为|OA |＝|OC |＝a ，所以△ACO 为等边三角形，所以∠AOC ＝60°. 因为FA 与圆O 相切于点A ，所以OA ⊥FA ，在Rt △AOF 中，∠AFO ＝90°－∠AOF ＝90°－60°＝30°，所以|OF |＝2|OA |，即c ＝2a ，所以b ＝c 2－a 2＝（2a ）2－a 2＝3a ，故双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±bax ，即y ＝±3x .【答案】 (1)B (2)A角度三 求双曲线的离心率(或X 围)(2019·高考全国卷Ⅱ)设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2交于 P ，Q 两点．若|PQ |＝|OF |，则C 的离心率为( )A. 2 B ． 3 C ．2D ． 5【解析】 如图，由题意，知以OF 为直径的圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －c 22＋y 2＝c 24①，将x 2＋y2＝a 2记为②式，①－②得x ＝a 2c，则以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2的相交弦所在直线的方程为x ＝a 2c，所以|PQ |＝2a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c 2.由|PQ |＝|OF |，得2a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c 2＝c ，整理得c 4－4a 2c 2＋4a 4＝0，即e 4－4e 2＋4＝0，解得e ＝2，故选A.【答案】 A与双曲线几何性质有关问题的解题策略(1)求双曲线的离心率(或X 围)：依据题设条件，将问题转化为关于a ，c 的等式(或不等式)，解方程(或不等式)即可求得．(2)求双曲线的渐近线方程：依据题设条件，求双曲线中a ，b 的值或a 与b 的比值，进而得出双曲线的渐近线方程．(3)求双曲线方程：依据题设条件，求出a ，b 的值或依据双曲线的定义，即可求双曲线的方程．(4)求双曲线焦点(焦距)、实虚轴的长：依题设条件及a ，b ，c 之间的关系求解．1．(2019·高考全国卷Ⅲ)双曲线C ：x 24－y 22＝1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点．若|PO |＝|PF |，则△PFO 的面积为( )A.324B ．322C ．2 2D ．3 2解析：选A.不妨设点P 在第一象限，根据题意可知c 2＝6，所以|OF |＝ 6. 又tan ∠POF ＝ba ＝22，所以等腰三角形POF 的高h ＝62×22＝32，所以S △PFO ＝12×6×32＝324. 2．(2020·某某某某一模)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，F 是双曲线C 的右焦点，A 是双曲线C 的右顶点，过F 作x 轴的垂线，交双曲线于M ，N 两点．若tan ∠MAN ＝－34，则双曲线C 的离心率为( )A ．3B ．2C.43D ． 2解析：选B.由题意可知tan ∠MAN ＝－34＝2tan ∠MAF1－tan 2∠MAF ， 解得tan ∠MAF ＝3，可得b 2ac －a＝3，可得c 2＋2a 2－3ac ＝0，e 2＋2－3e ＝0，因为e ＞1，所以解得e ＝2. 故选B.[基础题组练]1．“k <9”是“方程x 225－k ＋y 2k －9＝1表示双曲线”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.因为方程x 225－k ＋y 2k －9＝1表示双曲线，所以(25－k )(k －9)<0，所以k <9或k >25，所以“k <9”是“方程x 225－k ＋y 2k －9＝1表示双曲线”的充分不必要条件，故选A.2．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±3xC ．y ＝±22x D ．y ＝±32x解析：选A.法一：由题意知，e ＝c a＝3，所以c ＝3a ，所以b ＝c 2－a 2＝2a ，所以b a ＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±bax ＝±2x ，故选A. 法二：由e ＝ca＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝3，得b a ＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±2x ，故选A.3．(2020·某某揭阳一模)过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两焦点且与x 轴垂直的直线与双曲线的四个交点组成一个正方形，则该双曲线的离心率为( )A.5－1 B ．5＋12C.32D ．2解析：选B.将x ＝±c 代入双曲线的方程得y 2＝b 4a 2⇒y ＝±b 2a ，则2c ＝2b 2a，即有ac ＝b2＝c 2－a 2，由e ＝ca，可得e 2－e －1＝0，解得e ＝5＋12(舍负)．故选B. 4．设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点是F ，左、右顶点分别是A 1，A 2，过F 作A 1A 2的垂线与双曲线交于B ，C 两点．若A 1B ⊥A 2C ，则该双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±12xB ．y ＝±22x C ．y ＝±x D ．y ＝±2x解析：选C.如图，不妨令B 在x 轴上方，因为BC 过右焦点F (c ，0)，且垂直于x 轴，所以可求得B ，C 两点的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，⎝⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a .又A 1，A 2的坐标分别为(－a ，0)，(a ，0)．所以A 1B →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋a ，b 2a ，A 2C →＝⎝⎛⎭⎪⎫c －a ，－b 2a .因为A 1B ⊥A 2C ，所以A 1B →·A 2C →＝0，即(c ＋a )(c －a )－b 2a ·b 2a ＝0，即c 2－a 2－b 4a2＝0，所以b 2－b 4a 2＝0，故b 2a 2＝1，即ba＝1.又双曲线的渐近线的斜率为±ba， 故该双曲线的渐近线的方程为y ＝±x .5．(2020·某某某某三模)过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点F (5，0)作斜率为k (k ＜－1)的直线与双曲线过第一象限的渐近线垂直，且垂足为A ，交另一条渐近线于点B ，若S △BOF ＝53(O 为坐标原点)，则k 的值为( )A ．－ 2B ．－2C ．－ 3D ．－ 5解析：选B.由题意得双曲线过第一象限的渐近线方程为y ＝－1kx ，过第二象限的渐近线的方程为y ＝1kx ，直线FB 的方程为y ＝k (x －5)，联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －5），y ＝1kx ⇒x ＝5k2k 2－1，所以y ＝5k k 2－1，所以S △BOF ＝12|OF |×|y B |＝12×5×⎪⎪⎪⎪⎪⎪5k k 2－1＝52⎝ ⎛⎭⎪⎫－k k 2－1.令52⎝ ⎛⎭⎪⎫－k k 2－1＝53，得k ＝－2或k ＝12(舍)．故选B. 6．(2020·某某模拟)过双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点(－5，0)，作圆(x －5)2＋y 2＝4的切线，切点在双曲线E 上，则E 的离心率等于( )A ．2 5B ． 5 C.53D ．52解析：选B.设圆的圆心为G ，双曲线的左焦点为F .由圆的方程(x －5)2＋y 2＝4，知圆心坐标为G (5，0)，半径R ＝2，则FG ＝2 5.设切点为P ，则GP ⊥FP ，PG ＝2，PF ＝2＋2a ， 由|PF |2＋|PG |2＝|FG |2， 即(2＋2a )2＋4＝20，即(2＋2a )2＝16，得2＋2a ＝4，a ＝1，又c ＝5， 所以双曲线的离心率e ＝c a＝5，故选B.7．设F 为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，若线段OF 的垂直平分线与双曲线的渐近线在第一象限内的交点到另一条渐近线的距离为12|OF |，则双曲线的离心率为( )A ．2 2B ．233C ．2 3D ．3解析：选B.双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±bax ，线段OF 的垂直平分线为直线x ＝c 2，将x ＝c 2代入y ＝b a x ，则y ＝bc 2a ，则交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2，bc2a ，点⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2，bc 2a 到直线y ＝－ba x ，即bx ＋ay ＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪bc 2＋bc 2a 2＋b 2＝12|OF |＝c2，得c ＝2b ＝2c 2－a 2，即4a 2＝3c 2，所以双曲线的离心率e ＝c a ＝233，故选B.8．已知双曲线C ：x 23－y 2＝1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N .若△OMN 为直角三角形，则|MN |＝( )A.32 B ．3 C ．2 3D ．4解析：选B.因为双曲线x 23－y 2＝1的渐近线方程为y ＝±33x ，所以∠MON ＝60°.不妨设过点F 的直线与直线y ＝33x 交于点M ，由△OMN 为直角三角形，不妨设∠OMN ＝90°，则∠MFO ＝60°，又直线MN 过点F (2，0)，所以直线MN 的方程为y ＝－3(x －2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3（x －2），y ＝33x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝32，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，所以|OM |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝3，所以|MN |＝3|OM |＝3，故选B.9．(2020·某某模拟)设F 为双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ，b ＞0)的右焦点，过E 的右顶点作x 轴的垂线与E 的渐近线相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，四边形OAFB 为菱形，圆x 2＋y 2＝c 2(c 2＝a 2＋b 2)与E 在第一象限的交点是P ，且|PF |＝7－1，则双曲线E 的方程是( )A.x 26－y 22＝1 B ．x 22－y 26＝1C.x 23－y 2＝1 D ．x 2－y 23＝1解析：选D.双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±bax ，因为四边形OAFB 为菱形，所以对角线互相垂直平分，所以c ＝2a ，∠AOF ＝60°， 所以ba＝ 3.则有⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 23a 2＝1，x 2＋y 2＝c 2＝4a 2，解得P ⎝⎛⎭⎪⎫72a ，32a . 因为|PF |＝7－1，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫72a －2a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32a 2＝(7－1)2，解得a ＝1，则b ＝3，故双曲线E 的方程为x 2－y 23＝1.故选D.10．已知双曲线x 29－y 2b2＝1(b ＞0)的左顶点为A ，虚轴长为8，右焦点为F ，且⊙F 与双曲线的渐近线相切，若过点A 作⊙F 的两条切线，切点分别为M ，N ，则|MN |＝( )A ．8B ．4 2C ．2 3D ．4 3解析：选D.因为双曲线x 29－y 2b2＝1(b ＞0)的虚轴长为8，所以2b ＝8，解得b ＝4， 因为a ＝3，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±43x ，c 2＝a 2＋b 2＝25，A (－3，0)，所以c ＝5，所以F (5，0)，因为⊙F 与双曲线的渐近线相切， 所以⊙F 的半径为|4×5＋0|42＋32＝4， 所以|MF |＝4，因为|AF |＝a ＋c ＝3＋5＝8， 所以|AM |＝82－42＝43，因为S 四边形AMFN ＝2×12|AM |·|MF |＝12|AF |·|MN |，所以2×12×43×4＝12×8|MN |，解得|MN |＝43，故选D.11．(2020·某某模拟)过双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点F 作圆x 2＋y 2＝a2的切线FM (切点为M )，交y 轴于点P ，若PM →＝2MF →，则双曲线的离心率为( )A. 2 B ．62C. 3D ．2解析：选B.设P (0，3m )，由PM →＝2MF →，可得点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23c ，m ，因为OM ⊥PF ，所以m23c ·3m －c ＝－1，所以m 2＝29c 2，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫23c ，± 2c 29，由|OM |2＋|MF |2＝|OF |2，|OM |＝a ，|OF |＝c 得，a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c 32＋2c 29＝c 2，a 2＝23c 2，所以e ＝c a ＝62，故选B.12．过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，D 为虚轴上的一个端点，且△ABD 为钝角三角形，则此双曲线离心率的取值X 围为( )A ．(1，2)B ．(2，2＋2)C ．(2，2)D ．(1，2)∪(2＋2，＋∞)解析：选D.设双曲线：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点为F 1(－c ，0)，令x ＝－c ，可得y ＝±b 2a ，可设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，－b 2a . 又设D (0，b )，可得AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b －b 2a ，DA →＝⎝⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a－b ，AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－2b 2a ，DB →＝⎝⎛⎭⎪⎫－c ，－b －b 2a .由△ABD 为钝角三角形，可得∠DAB 为钝角或∠ADB 为钝角．当∠DAB 为钝角时，可得AD →·AB →<0，即为0－2b 2a·⎝ ⎛⎭⎪⎫b －b 2a <0，化为a >b ，即有a 2>b 2＝c2－a 2.可得c 2<2a 2，即e ＝c a< 2.又e >1，可得1<e <2；当∠ADB 为钝角时，可得DA →·DB →<0，即为c 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a ＋b ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a －b <0，化为c 4－4a 2c 2＋2a 4>0，由e ＝c a ，可得e 4－4e 2＋2>0.又e >1，可得e >2＋ 2.综上可得，e 的X 围为(1，2)∪(2＋2，＋∞)．故选D.13．焦点在x 轴上，焦距为10，且与双曲线y 24－x 2＝1有相同渐近线的双曲线的标准方程是________．解析：设所求双曲线的标准方程为y 24－x 2＝－λ(λ>0)，即x 2λ－y 24λ＝1，则有4λ＋λ＝25，解得λ＝5，所以所求双曲线的标准方程为x 25－y 220＝1.答案：x 25－y 220＝114．过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点F 1作圆x 2＋y 2＝a 2的切线交双曲线的右支于点P ，且切点为T ，已知O 为坐标原点，M 为线段PF 1的中点(点M 在切点T 的右侧)，若△OTM 的周长为4a ，则双曲线的渐近线方程为________．解析：连接OT ，则OT ⊥F 1T ，在直角三角形OTF 1中，|F 1T |＝OF 21－OT 2＝c 2－a 2＝b .设双曲线的右焦点为F 2，连接PF 2，M 为线段F 1P 的中点，O 为坐标原点， 所以OM ＝12PF 2，所以|MO |－|MT |＝12|PF 2|－⎝ ⎛⎭⎪⎫12|PF 1|－|F 1T | ＝12(|PF 2|－|PF 1|)＋b ＝12×(－2a )＋b ＝b －a . 又|MO |＋|MT |＋|TO |＝4a ，即|MO |＋|MT |＝3a ， 故|MO |＝b ＋2a2，|MT |＝4a －b2，由勾股定理可得a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4a －b 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋2a 22，即b a ＝43，所以渐近线方程为y ＝±43x .答案：y ＝±43x15．已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是双曲线C 的两个焦点．若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值X 围是________．解析：由题意知a ＝2，b ＝1，c ＝3， 设F 1(－3，0)，F 2(3，0)，则MF 1→＝(－3－x 0，－y 0)，MF 2→＝(3－x 0，－y 0)． 因为MF 1→·MF 2→<0，所以(－3－x 0)(3－x 0)＋y 20<0， 即x 20－3＋y 20<0.因为点M (x 0，y 0)在双曲线C 上， 所以x 202－y 20＝1，即x 20＝2＋2y 20，所以2＋2y 20－3＋y 20<0，所以－33<y 0<33. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33 16．如图，F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右两个焦点，若直线y ＝x与双曲线C 交于P ，Q 两点，且四边形PF 1QF 2为矩形，则双曲线的离心率为________．解析：由题意可得，矩形的对角线长相等，将直线y ＝x 代入双曲线C 方程，可得x ＝±a 2b 2b 2－a 2，所以2·a 2b 2b 2－a2＝c ，所以2a 2b 2＝c 2(b 2－a 2)，即2(e 2－1)＝e 4－2e 2，所以e 4－4e 2＋2＝0.因为e >1，所以e 2＝2＋2，所以e ＝2＋ 2.答案：2＋ 2[综合题组练]1．过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点F (－c ，0)作圆O ：x 2＋y 2＝a 2的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线于点P ，若E 为线段FP 的中点，则双曲线的离心率为( )A. 5 B ．52 C.5＋1 D ．5＋12解析：选A.法一：如图所示，不妨设E 在x 轴上方，F ′为双曲线的右焦点，连接OE ，PF ′，因为PF 是圆O 的切线，所以OE ⊥PE ，又E ，O 分别为PF ，FF ′的中点，所以|OE |＝12|PF ′|，又|OE |＝a ，所以|PF ′|＝2a ，根据双曲线的性质，|PF |－|PF ′|＝2a ，所以|PF |＝4a ，所以|EF |＝2a ，在Rt △OEF 中，|OE |2＋|EF |2＝|OF |2，即a 2＋4a 2＝c 2，所以e ＝5，故选A.法二：连接OE ，因为|OF |＝c ，|OE |＝a ，OE ⊥EF ，所以|EF |＝b ，设F ′为双曲线的右焦点，连接PF ′，因为O ，E 分别为线段FF ′，FP 的中点，所以|PF |＝2b ，|PF ′|＝2a ，所以|PF |－|PF ′|＝2a ，所以b ＝2a ，所以e ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝ 5. 2．(2020·某某模拟)设F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左，右焦点，点P 是C 右支上异于顶点的任意一点，PQ 是∠F 1PF 2的平分线，过点F 1作PQ 的垂线，垂足为Q ，O 为坐标原点，则|OQ |( )A ．为定值aB ．为定值bC ．为定值cD ．不确定，随P 点位置变化而变化解析：选A.延长F 1Q ，PF 2交于点M ，则三角形PF 1M 为等腰三角形，可得Q 为F 1M 的中点，由双曲线的定义可得|PF 1|－|PF 2|＝|F 2M |＝2a ，由三角形中位线定理可得|OQ |＝12|F 2M |＝a ，故选A.3．以椭圆x 29＋y 25＝1的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线C ，其左、右焦点分别是F 1，F 2.已知点M 的坐标为(2，1)，双曲线C 上的点P (x 0，y 0)(x 0>0，y 0>0)满足PF 1→·MF 1→|PF 1→|＝F 2F 1→·MF 1→|F 2F 1→|，则S △PMF 1－S △PMF 2＝( )A ．2B ．4C ．1D ．－1解析：选A.由题意，知双曲线方程为x 24－y 25＝1，|PF 1|－|PF 2|＝4，由PF 1→·MF 1→|PF 1→|＝F 2F 1→·MF 1→|F 2F 1→|，可得F 1P →·F 1M→|MF 1→||F 1P →|＝F 1F 2→·F 1M→|MF 1→||F 1F 2→|，即F 1M 平分∠PF 1F 2.又结合平面几何知识可得，△F 1PF 2的内心在直线x ＝2上，所以点M (2，1)就是△F 1PF 2的内心．故S △PMF 1－S △PMF 2＝12×(|PF 1|－|PF 2|)×1＝12×4×1＝2.4．(2019·高考全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若F 1A →＝AB →，F 1B →·F 2B →＝0，则C 的离心率为________．解析：通解：因为F 1B →·F 2B →＝0，所以F 1B ⊥F 2B ，如图．所以|OF 1|＝|OB |，所以∠BF 1O ＝∠F 1BO ，所以∠BOF 2＝2∠BF 1O .因为F 1A →＝AB →，所以点A 为F 1B 的中点，又点O 为F 1F 2的中点，所以OA ∥BF 2，所以F 1B ⊥OA ，因为直线OA ，OB 为双曲线C 的两条渐近线，所以tan ∠BF 1O ＝ab ，tan ∠BOF 2＝b a.因为tan ∠BOF 2＝tan (2∠BF 1O )，所以b a＝2×a b1－⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 2，所以b 2＝3a 2，所以c 2－a 2＝3a 2，即2a ＝c ，所以双曲线的离心率e ＝ca ＝2.优解：因为F 1B →·F 2B →＝0，所以F 1B ⊥F 2B ，在Rt △F 1BF 2中，|OB |＝|OF 2|，所以∠OBF 2＝∠OF 2B ，又F 1A →＝AB →，所以A 为F 1B 的中点，所以OA ∥F 2B ，所以∠F 1OA ＝∠OF 2B .又∠F 1OA ＝∠BOF 2，所以△OBF 2为等边三角形．由F 2(c ，0)可得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c2，3c 2，因为点B 在直线y ＝b a x 上，所以32c ＝b a ·c 2，所以b a ＝3，所以e ＝1＋b 2a2＝2.答案：25．已知双曲线C ：x 24－y 2＝1，直线l ：y ＝kx ＋m 与双曲线C 相交于A ，B 两点(A ，B 均异于左、右顶点)，且以线段AB 为直径的圆过双曲线C 的左顶点D ，则直线l 所过定点为________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24－y 2＝1， 得(1－4k 2)x 2－8kmx －4(m 2＋1)＝0，所以Δ＝64m 2k 2＋16(1－4k 2)(m 2＋1)＞0，x 1＋x 2＝8mk 1－4k 2＞0，x 1x 2＝－4（m 2＋1）1－4k2＜0，所以y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋mk (x 1＋x 2)＋m 2＝m 2－4k 21－4k2.因为以线段AB 为直径的圆过双曲线C 的左顶点D (－2，0)，所以k AD ·k BD ＝－1， 即y 1x 1＋2·y 2x 2＋2＝－1， 所以y 1y 2＋x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＝0，即m 2－4k 21－4k 2＋－4（m 2＋1）1－4k 2＋16mk 1－4k2＋4＝0， 所以3m 2－16mk ＋20k 2＝0，解得m ＝2k 或m ＝10k 3.当m ＝2k 时，l 的方程为y ＝k (x ＋2)，直线过定点(－2，0)，与已知矛盾；当m ＝10k 3时，l 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋103，直线过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫－103，0，经检验符合已知条件．故直线l 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫－103，0.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－103，0 6．已知P 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)右支上的任意一点，经过点P 的直线与双曲线C 的两条渐近线分别相交于A ，B 两点．若点A ，B 分别位于第一、四象限，O 为坐标原点，当AP →＝12PB →时，△AOB 的面积为2b ，则双曲线C 的实轴长为________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x ，y )，由AP →＝12PB →，得(x －x 1，y －y 1)＝12(x 2－x ，y 2－y )，则x ＝23x 1＋13x 2，y ＝23y 1＋13y 2，所以（23x 1＋13x 2）2a 2－（23y 1＋13y 2）2b2＝1. 由题意知A 在直线y ＝b a x 上，B 在y ＝－b a x 上，则y 1＝b a x 1，y 2＝－b ax 2.所以（23x 1＋13x 2）2a 2－（23y 1＋13y 2）2b 2＝1，即b 2(23x 1＋13x 2)2－a 2(2b 3a x 1－b 3a x 2)2＝a 2b 2， 化简得：a 2＝89x 1x 2，由渐近线的对称性可得sin ∠AOB ＝sin 2∠AOx＝2sin ∠AOx cos ∠AOx sin 2∠AOx ＋cos 2∠AOx ＝2tan ∠AOx tan 2∠AOx ＋1＝2ba （b a）2＋1＝2abb 2＋a2. 所以△AOB 的面积为12|OA ||OB |sin ∠AOB ＝12x 21＋y 21·x 22＋y 22·sin ∠AOB＝12x 21＋（b a x 1）2·x 22＋（－b a x 2）2·2ab b 2＋a 2＝x 1x 2·1＋（b a）2·1＋（b a）2·abb 2＋a 2＝98a 2·ab b 2＋a 2·[1＋(b a )2]＝98ab ＝2b ，解得a ＝169.所以双曲线C 的实轴长为329. 答案：329。