椭圆与双曲线知识点集合

圆椭圆双曲线抛物线知识点汇总一、圆椭圆双曲线抛物线的定义1. 圆：圆是平面上到定点距离相等的所有点的集合。

圆由圆心和半径唯一确定。

2. 椭圆：椭圆是平面上到两个定点的距离之和为常数的所有点的集合。

椭圆由两个焦点和两个半轴唯一确定。

3. 双曲线：双曲线是平面上到两个定点的距离之差为常数的所有点的集合。

双曲线由两个焦点和两个实轴唯一确定。

4. 抛物线：抛物线是平面上到定点距离等于到定直线的距离的所有点的集合。

抛物线由焦点和直线唯一确定。

二、圆椭圆双曲线抛物线的方程1. 圆：圆的标准方程为(x-a)² + (y-b)² = r²，其中圆心为(a, b)，半径为r。

2. 椭圆：椭圆的标准方程为x²/a² + y²/b² = 1，其中a和b分别为x轴和y轴上的半轴长。

3. 双曲线：双曲线的标准方程为x²/a² - y²/b² = 1或者y²/a² - x²/b² = 1，取决于焦点的位置。

4. 抛物线：抛物线的标准方程为y² = 4ax或者x² = 4ay，取决于抛物线开口的方向。

三、圆椭圆双曲线抛物线的性质1. 圆：圆的直径是圆上任意两点之间的最大距离，且所有直径相等。

2. 椭圆：椭圆的离心率介于0和1之间，离心率越接近0，椭圆越接近于圆。

3. 双曲线：双曲线分为两支，每一支的焦点到定点的距离之差相等。

4. 抛物线：抛物线的焦点在抛物线上方，开口方向取决于系数a的正负号。

四、圆椭圆双曲线抛物线的应用1. 圆：在几何中常常与角度和三角函数结合，用于描述正弦和余弦函数的周期性。

2. 椭圆：在天体力学中用于描述行星轨道的形状，以及通信中的极化椭圆。

3. 双曲线：在光学和电磁学中用于描述折射和反射现象。

4. 抛物线：在物理学中用于描述自由落体运动和抛物线运动。

高中数学【椭圆与双曲线】知识点总结姓名：（一）椭圆1.椭圆的定义如果平面内一动点到两定点距离之和等于正的常数（大于两定点的距离），则动点的规迹是椭圆即|PF1|+|PF2|=2a其中P是动点，F1,F2是定点且|F1F2|=2C当a>c时表示当a=c时表示当a<c时第二定义：动点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e(0<e<1)时，这个点的规迹是椭圆。

定点是，定直是e是2.椭圆的标准方程参数方程（1）标准方程（2）参数方程3.椭圆的性质（1）焦点在x轴上的椭圆标准方程x,y的范围顶点焦点对称轴对称中心长半轴的长短半轴的长焦距离心率e=范围e越大椭圆越e越小椭圆越准线焦半径公式|PF1|=|PF2|=(F1，F2分别为椭圆的左右两焦点，P为椭圆上的一点)椭圆的通径（过椭圆的一个焦点F且垂直于它过焦点的对称轴的弦）|P1P2|=（2）焦点在y轴上的椭圆标准方程x,y的范围顶点焦点对称轴对称中心长半轴的长短半轴的长焦距离心率e=范围e越大椭圆越e越小椭圆越准线焦半径公式|PF1|=|PF2|=(F1，F2分别为椭圆的下上两焦点，P为椭圆上的一点)4.椭圆系（1）共焦点的椭圆系方程为2221x yk k c+=-(其中k>c2,c为半焦距)（2）具有相同离心率的标准椭圆系的方程2222(0) x ya bλλ+=>(二)双曲线1.双曲线的定义如果平面内一个动点到两定点距离之差的绝对值等于正的常数（小于两定点间的距离），那么动点的轨迹是双曲线若一个动点到两定点距离之差等于一个常数，常数的绝对值小于两定点间的距离，那么动点的轨迹是双曲线的一支F1，F2为两定点，P为一动点，(1)若||PF1|-|PF2||=2a①0<2a<|F1F2|则动点P的轨迹是②2a=|F1F2|则动点P的轨迹是③2a=0则动点P的轨迹是(2)若|P F1|-|PF2|=2a①0<2a<|F1F2|则动点P的轨迹是②2a=|F1F2|则动点P的轨迹是③2a=0则动点P的轨迹是2.双曲线的标准方程3.双曲线的性质（1）焦点在x轴上的双曲线标准方程x,y的范围顶点焦点对称轴对称中心实半轴的长虚半轴的长焦距离心率e=范围e越大双曲线的开口越e越小双曲线的开口越准线渐近线焦半径公式|PF1|=|PF2|= (F1，F2分别为双曲线的左右两焦点，P为椭圆上的一点)（3）焦点在y轴上的双曲线标准方程x,y的范围顶点焦点对称轴对称中心实半轴的长虚半轴的长焦距离心率e=范围e越大双曲线的开口越e越小双曲线的开口越准线渐近线焦半径公式|PF1|=|PF2|= (F1，F2分别为双曲线的下上两焦点，P为椭圆上的一点)4.等轴双曲线22(0)x yλλ=±③离心率为-=≠特点①实轴与虚轴长相等②渐近线互相垂直y x5.共轭双曲线以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫原双曲线的共轭双曲线特点①有共同的渐近线②四焦点共圆双曲线22221x ya b+=的共轭双曲线是6.双曲线系（1）共焦点的双曲线的方程为2221x yk k c+=-(0<k<c2,c为半焦距)（2）共渐近线的双曲线的方程为2222(0) x ya bλλ-=≠。

椭圆双曲线抛物线知识点汇总椭圆、双曲线、抛物线知识点汇总一、椭圆（Ellipse）1. 定义：椭圆是平面上所有到两个固定点（焦点）距离之和为常数的点的集合。

2. 标准方程：\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)其中，\(a\) 是椭圆的长半轴，\(b\) 是短半轴。

3. 性质：- 焦点：椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和是一个大于两焦点间距离的常数，即 \(2a\)。

- 椭圆的长轴和短轴互相垂直。

- 椭圆的面积 \(A = \pi a b\)。

4. 焦点性质：- 椭圆上任意一点 \(P\) 与两个焦点 \(F_1\) 和 \(F_2\) 构成的三角形中，\(PF_1 + PF_2 = 2a\)。

5. 椭圆的离心率 \(e\)：\(e = \frac{c}{a}\)其中，\(c = \sqrt{a^2 - b^2}\) 是焦点到中心的距离。

二、双曲线（Hyperbola）1. 定义：双曲线是平面上所有到两个固定点（焦点）距离之差为常数的点的集合。

2. 标准方程：\(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\) 为右开口双曲线；\(\frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = 1\) 为上开口双曲线。

3. 性质：- 焦点：双曲线上任意一点到两个焦点的距离之差是一个小于两焦点间距离的常数，即 \(2a\)。

- 双曲线的两个分支分别位于中心点的两侧。

- 双曲线的面积无限大。

4. 焦点性质：- 双曲线上任意一点 \(P\) 与两个焦点 \(F_1\) 和 \(F_2\) 构成的三角形中，\(PF_1 - PF_2 = 2a\)。

5. 双曲线的离心率 \(e\)：\(e = \frac{c}{a}\)其中，\(c = \sqrt{a^2 + b^2}\) 是焦点到中心的距离，且 \(e > 1\)。

高三数学知识点椭圆双曲线高三数学知识点：椭圆与双曲线椭圆与双曲线是高中数学中重要的几何概念之一，它们在代数几何中有着广泛的应用。

本文将重点介绍椭圆和双曲线的基本定义和性质，并讨论它们的图像、方程和几何意义。

一、椭圆的定义和性质椭圆是平面上一点到两个给定点的距离之和等于常数的点的集合。

这两个给定点称为椭圆的焦点，两个焦点之间的距离称为椭圆的焦距。

椭圆还有一个重要的性质，即椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴长度。

椭圆的标准方程为：(x-a)²/b² + (y-c)²/d² = 1，其中(a, c)为椭圆的中心坐标，b和d分别为短轴和长轴长度。

根据椭圆的方程，我们可以确定椭圆的图像和位置。

椭圆还有其他一些重要的性质，如离心率和焦半径等。

离心率是一个表示椭圆形状的重要指标，它的值介于0和1之间。

当离心率接近0时，椭圆形状趋近于圆形；当离心率接近1时，椭圆形状趋近于长条形。

二、双曲线的定义和性质双曲线是平面上满足一点到两个给定点的距离之差等于常数的点的集合。

这两个给定点称为双曲线的焦点，两个焦点之间的距离称为双曲线的焦距。

双曲线还有一个重要的性质，即双曲线上任意一点到两个焦点的距离之差等于双曲线的常数项。

双曲线的标准方程有两种形式：(x-a)²/b² - (y-c)²/d² = 1 和 (y-c)²/d² - (x-a)²/b² = 1，其中(a, c)是双曲线的中心坐标，b和d分别为短轴和长轴长度。

根据双曲线的方程，我们可以确定双曲线的图像和位置。

双曲线也有离心率和焦半径等重要性质。

与椭圆不同的是，双曲线的离心率大于1，表明双曲线的形状更加扁平。

双曲线还有两条渐近线，它们与双曲线的曲线趋势完全相同。

三、椭圆和双曲线的几何意义椭圆和双曲线有着重要的几何意义和应用。

在椭圆和双曲线的研究中，我们可以探索许多有趣的性质和结论。

椭圆知识点知识要点小结：知识点一：椭圆的定义平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121F F a PF PF >=+ ,这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意：若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ； 若)(2121F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形.知识点二：椭圆的标准方程1．当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+by a x )0(>>b a ，其中222b a c -=2．当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+bx a y )0(>>b a ，其中222b a c -=；注意：1．只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时， 才能得到椭圆的标准方程；2．在椭圆的两种标准方程中，都有)0(>>b a 和222b a c -=； 3．椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在x 轴上时，椭圆的焦点坐标为)0,(c ，)0,(c -； 当焦点在y 轴上时，椭圆的焦点坐标为),0(c ，),0(c - 知识点三：椭圆的简单几何性质椭圆：12222=+by a x )0(>>b a 的简单几何性质（1）对称性：对于椭圆标准方程12222=+by a x )0(>>b a ：说明：把x 换成x -、或把y 换成y -、或把x 、y 同时换成x -、y -、原方程都不变，所以椭圆12222=+by a x 是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。

（2）范围：椭圆上所有的点都位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足a x ≤，b y ≤。

（3）顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。

高中椭圆双曲线抛物线知识点汇总一、椭圆的定义和基本特性1. 椭圆的定义：椭圆是平面上到两定点F1和F2的距离之和为常数2a （a>0）的点P的轨迹。

2. 椭圆的基本特性：椭圆有两条对称轴，长轴和短轴，焦点到中心的距离为c，满足c²=a²-b²，离心率e的定义为e=c/a。

3. 椭圆的标准方程：椭圆的标准方程为x²/a²+y²/b²=1（a>b>0），中心在原点，长轴与x轴平行。

二、双曲线的定义和基本特性1. 双曲线的定义：双曲线是平面上到两定点F1和F2的距离之差为常数2a的点P的轨迹。

2. 双曲线的基本特性：双曲线有两条对称轴，两个顶点，离心率e的定义为e=c/a。

3. 双曲线的标准方程：双曲线的标准方程为x²/a²-y²/b²=1（a>0,b>0），中心在原点，x²项系数为正。

三、抛物线的定义和基本特性1. 抛物线的定义：抛物线是平面上到定点F与直线l的距离相等的点P 的轨迹。

2. 抛物线的基本特性：抛物线有焦点F和直线l两个重要元素，焦点到顶点的距离为p，离心率e的定义为e=1。

3. 抛物线的标准方程：抛物线的标准方程为y²=2px（p>0），焦点在y轴上。

四、椭圆双曲线抛物线的性质比较1. 焦点、离心率和轴与方程的关系：椭圆的焦点在轴上，双曲线的焦点在中心轴的延长线上，抛物线的焦点在轴上。

2. 直线与曲线的关系：椭圆是对称轴与任意直线的交点个数有限，双曲线是对称轴与任意直线的交点有两个，抛物线是对称轴与任意直线的交点有且仅有一个。

3. 其他性质：椭圆和双曲线是封闭曲线，抛物线是开口向上或者向下的曲线。

五、高中数学中的应用1. 物理中的应用：椭圆、双曲线和抛物线在经典力学、电磁学等物理学科中有着重要的应用，比如行星轨道、抛物线运动等。

双曲线和椭圆的知识点一、双曲线的定义和基本性质双曲线是平面上的一种曲线，由两个相交的直线割成两个分支。

它的定义式为x^2/a^2-y^2/b^2=1或y^2/b^2-x^2/a^2=1，其中a和b为正实数。

双曲线有以下基本性质：1. 双曲线关于x轴、y轴对称；2. 双曲线有两条渐近线，即与x轴和y轴夹角趋近于0或π/2的直线；3. 双曲线在两条渐近线处无界；4. 双曲线分为左右两个分支，左分支开口向左，右分支开口向右；5. 双曲线在x=a和x=-a处有垂直渐近线。

二、椭圆的定义和基本性质椭圆是平面上一条封闭弧形，其所有点到两个定点之距离之和等于定长（即椭圆长轴），定义式为(x-h)^2/a^2+(y-k)^2/b^2=1或(x-h)^2/b^2+(y-k)^2/a^2=1，其中(h,k)为椭圆中心坐标，a和b为长短半轴长度。

椭圆有以下基本性质：1. 椭圆关于x轴、y轴对称；2. 椭圆有两条主轴，即长轴和短轴，交于椭圆中心；3. 椭圆的离心率为e=c/a，其中c为焦点到中心的距离；4. 椭圆上任意一点P(x,y)到焦点F1和F2的距离之和等于椭圆长轴长度；5. 椭圆在x=h处有垂直渐近线。

三、双曲线和椭圆的参数方程双曲线的参数方程为x=acosht，y=bsinht或x=asect，y=btant，其中t为参数。

这两种参数方程对应左右两个分支。

椭圆的参数方程为x=h+acosθ，y=k+bsinθ或x=h+bsinθ，y=k+acosθ，其中θ为参数。

四、双曲线和椭圆的焦点双曲线有两个焦点F1(ae,0)和F2(-ae,0)，其中e为离心率。

椭圆也有两个焦点F1(h+ae,k)和F2(h-ae,k)，其中a、b、h、k、e均已定义。

五、双曲线和椭圆的面积双曲线面积公式为S=abπ，其中a和b分别为左右两个分支的半轴长度。

椭圆面积公式为S=abπ，其中a和b分别为长轴和短轴长度。

六、双曲线和椭圆的应用1. 双曲线在物理学中有许多应用，如描述电磁波传播、天体运动等。

椭圆与双曲线知识点总结（一）椭圆1.椭圆的定义如果平面内一动点到两定点距离之和等于正的常数（大于两定点的距离），则动点的规迹是椭圆即|PF1|+|PF2|=2a 其中P是动点，F1,F2是定点且|F1F2|=2C当a>c时表示当a=c时表示当a<c时第二定义：动点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e(0<e<1)时，这个点的规迹是椭圆。

定点是，定直是e是2.椭圆的标准方程参数方程（1）标准方程（2）参数方程3.椭圆的性质（1）焦点在x标准方程x,y的范围顶点焦点对称轴对称中心长半轴的长短半轴的长焦距离心率e= 范围e越大椭圆越e越小椭圆越准线焦半径公式|PF1|= |PF2|= (F1，F2分别为椭圆的左右两焦点，P为椭圆上的一点) 椭圆的通径（过椭圆的一个焦点F（2）焦点在y轴上的椭圆标准方程x,y的范围顶点焦点对称轴对称中心长半轴的长短半轴的长焦距离心率e= 范围e越大椭圆越e越小椭圆越准线焦半径公式|PF1|= |PF2|= (F1，F2分别为椭圆的下上两焦点，P为椭圆上的一点)4.椭圆系（1）共焦点的椭圆系方程为2221x yk k c+=-(其中k>c2,c为半焦距)（2 ）具有相同离心率的标准椭圆系的方程2222(0) x ya bλλ+=>(二) 双曲线1.双曲线的定义如果平面内一个动点到两定点距离之差的绝对值等于正的常数（小于两定点间的距离），那么动点的轨迹是双曲线若一个动点到两定点距离之差等于一个常数，常数的绝对值小于两定点间的距离，那么动点的轨迹是双曲线的一支F1，F2为两定点，P为一动点，(1)若||PF1|-|PF2||=2a①0<2a<|F1F2|则动点P的轨迹是②2a=|F1F2|则动点P的轨迹是③2a=0则动点P的轨迹是(2) 若|P F1|-|PF2|=2a①0<2a<|F1F2|则动点P的轨迹是②2a=|F1F2|则动点P的轨迹是③2a=0则动点P的轨迹是2.双曲线的标准方程3.双曲线的性质（1）焦点在x轴上的双曲线标准方程x,y的范围顶点焦点对称轴对称中心实半轴的长虚半轴的长焦距离心率e= 范围e越大双曲线的开口越e越小双曲线的开口越准线渐近线焦半径公式|PF1|= |PF2|= (F1，F2分别为双曲线的左右两焦点，P为椭圆上的一点)（3） 焦点在y 轴上的双曲线标准方程x,y 的范围顶点 焦点 对称轴 心实半轴的长 虚半轴的长 焦距 离心率e= 范围 e 越大双曲线的开口越 e 越小双曲线的开口越准线 渐近线 焦半径公式|PF 1|= |PF 2|= (F 1，F 2分别为双曲线的下上两焦点，P 为椭圆上的一点)4. 等轴双曲线22(0)x y λλ-=≠特点①实轴与虚轴长相等②渐近线互相垂直y x=±③离心率为5. 共轭双曲线以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫原双曲线的共轭双曲线特点①有共同的渐近线②四焦点共圆双曲线22221x y a b+=的共轭双曲线是 6.双曲线系（1） 共焦点的双曲线的方程为2221x y k k c+=-(0<k<c 2,c 为半焦距) （2） 共渐近线的双曲线的方程为2222(0)x y a bλλ-=≠。

高中数学中的椭圆与双曲线知识点总结在高中数学中，椭圆与双曲线是解析几何部分的重要内容，它们具有独特的性质和广泛的应用。

下面让我们一起来详细了解一下这两个重要的数学概念。

一、椭圆椭圆是平面内到定点 F1、F2 的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的动点轨迹。

1、椭圆的标准方程当焦点在 x 轴上时，椭圆的标准方程为：＼（＼frac{x^2}｛a^2} ＋＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1\）（＼（a ＞ b ＞ 0\）），其中\（a\）为椭圆的长半轴长，＼（b\）为椭圆的短半轴长，＼（c\）满足\（c^2 ＝ a^2 b^2\），＼（c\）为半焦距，焦点坐标为\（（＼pm c, 0)＼）。

当焦点在 y 轴上时，椭圆的标准方程为：＼（＼frac{y^2}｛a^2} ＋＼frac{x^2}｛b^2} ＝ 1\）（＼（a ＞ b ＞ 0\）），焦点坐标为\（（0, ＼pm c)＼）。

2、椭圆的性质（1）对称性：椭圆关于 x 轴、y 轴和原点对称。

（2）范围：对于\（＼frac{x^2}｛a^2} ＋＼frac{y^2}｛b^2} ＝1\），＼（a ＼leq x ＼leq a\），＼（b ＼leq y ＼leq b\）。

（3）离心率：椭圆的离心率\（e ＝＼frac{c}｛a}＼）（＼（0 ＜ e ＜ 1\）），离心率反映了椭圆的扁平程度，＼（e\）越接近 0，椭圆越接近圆；＼（e\）越接近 1，椭圆越扁。

3、椭圆的焦半径设椭圆上一点\（P(x_0, y_0)＼），焦点为\（F_1\）、＼（F_2\），则\（｜PF_1| ＝ a ＋ ex_0\），＼（｜PF_2| ＝ a ex_0\）。

4、椭圆的切线方程若点\（P(x_0, y_0)＼）在椭圆\（＼frac{x^2}｛a^2} ＋＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1\）上，则过点\（P\）的切线方程为\（＼frac{x_0x}｛a^2} ＋＼frac{y_0y}｛b^2} ＝ 1\）。

椭圆知识点【知识点1】椭圆的概念:椭圆的第一定义 在平面内到两定点F 1、F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．当动点设为M 时，椭圆即为点集P ={}12|2M MF MF a += 注意：若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ；若)(2121F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形。

椭圆的第二定义:在平面内，满足到定点的距离与到定直线的距离之比是等于一个常数的动点的轨迹叫做椭圆。

其中这个定点叫做椭圆的焦点，这条定直线叫做相应于该焦点的准线。

注：定义中的定点不在定直线上。

如果将椭圆的中心与坐标原点重合，焦点放在X 轴上，准线方程是： 焦点放在Y 轴上，准线方程是：【知识点2】椭圆的标准方程焦点在x 轴上椭圆的标准方程: ()222210x y a b a b += >>，焦点坐标为（c ，0)，（-c ，0)焦点在y 轴上的椭圆的标准方程为：()222210x y a b b a+= >>焦点坐标为（0，c ，）(o ，-c )【知识点3】椭圆的几何性质:规律:(1)椭圆焦点位置与x 2，y 2系数间的关系：焦点在分母大的那个轴上.(2)椭圆上任意一点M 到焦点F 的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离标准方程()222210x y a b a b += >> ()222210x y a b b a += >> 图形性质范围 a x a -≤≤b y b -≤≤对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点顶点A 1(－a,0)， A 2(a,0)B 1(0，－b )，B 2(0，b )A 1(0，－a )，A 2(0，a )B 1(－b,0)，B 2(b,0)轴 长轴A 1A 2的长为2a ；短轴B 1B 2的长为2b焦距 ∣F 1F 2 |=2c离心率 e=ca∈(0,1) a ，b ，c 的关系c 2＝a 2－b 2为a ＋c ，最小距离为a －c .(3)在椭圆中，离心率22222221a b a b a a c a c e -=-===(4)椭圆的离心率e 越接近１椭圆越扁；e 越接近于０，椭圆就接近于圆；椭圆典型例题一、已知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。