贵州省高考数学二轮复习：11 椭圆、双曲线、抛物线(I)卷

第2讲 椭圆、双曲线、抛物线【要点提炼】考点一 椭圆、双曲线、抛物线的定义与标准方程1．圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF 1|＋|PF 2|＝2a(2a>|F 1F 2|)．(2)双曲线：||PF 1|－|PF 2||＝2a(0<2a<|F 1F 2|)．(3)抛物线：|PF|＝|PM|，l 为抛物线的准线，点F 不在定直线l 上，PM ⊥l 于点M.2．求圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”所谓“定型”，就是确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a 2，b 2，p 的值． 【热点突破】【典例】1 (1)(2020·广州四校模拟)若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(其中a>b>0)的离心率为35，两焦点分别为F 1，F 2，M 为椭圆上一点，且△F 1F 2M 的周长为16，则椭圆C 的方程为( )A.x 216＋y 225＝1 B.x 225＋y 29＝1 C.x 29＋y 225＝1 D.x 225＋y 216＝1 【答案】 D【解析】 椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(其中a>b>0)的两焦点分别为F 1，F 2，M 为椭圆上一点，且△F 1F 2M 的周长为16，可得2a ＋2c ＝16，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(其中a>b>0)的离心率为35，可得c a ＝35，解得a ＝5，c ＝3，则b ＝4，所以椭圆C 的方程为x 225＋y 216＝1.(2)(2020·全国Ⅰ)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2－y 23＝1的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上且|OP|＝2，则△PF 1F 2的面积为( )A.72 B ．3 C.52D ．2 【答案】 B【解析】 方法一 由题意知a ＝1，b ＝3，c ＝2，F 1(－2,0)，F 2(2,0)，如图，因为|OF 1|＝|OF 2|＝|OP|＝2，所以点P 在以F 1F 2为直径的圆上，故PF 1⊥PF 2，则|PF 1|2＋|PF 2|2＝(2c)2＝16.由双曲线的定义知||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝2，所以|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|＝4，所以|PF 1||PF 2|＝6，所以△PF 1F 2的面积为12|PF 1||PF 2|＝3. 方法二 由双曲线的方程可知，双曲线的焦点F 1，F 2在x 轴上，且|F 1F 2|＝21＋3＝4. 设点P 的坐标为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ x 20－y 203＝1，x 20＋y 20＝2，解得|y 0|＝32. 所以△PF 1F 2的面积为12|F 1F 2|·|y 0|＝12×4×32＝3.易错提醒 求圆锥曲线的标准方程时的常见错误双曲线的定义中忽略“绝对值”致错；椭圆与双曲线中参数的关系式弄混，椭圆中的关系式为a 2＝b 2＋c 2，双曲线中的关系式为c 2＝a 2＋b 2；圆锥曲线方程确定时还要注意焦点位置．【拓展训练】1 (1)设抛物线C ：y 2＝2px(p>0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF|＝5.若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则C 的方程为( )A ．y 2＝4x 或y 2＝8xB ．y 2＝2x 或y 2＝8x C ．y 2＝4x 或y 2＝16xD ．y 2＝2x 或y 2＝16x 【答案】 C【解析】 方法一 因为以MF 为直径的圆过点(0,2)，所以点M 在第一象限．由|MF|＝x M ＋p 2＝5，得x M ＝5－p 2， 即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫5－p 2，2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫5－p 2. 从而以MF 为直径的圆的圆心N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，122p ⎝ ⎛⎭⎪⎫5－p 2. 因为点N 的横坐标恰好等于圆的半径，所以圆与y 轴相切于点(0,2)，从而2＝122p ⎝ ⎛⎭⎪⎫5－p 2， 即p 2－10p ＋16＝0，解得p ＝2或p ＝8，所以抛物线方程为y 2＝4x 或y 2＝16x. 方法二 由已知得抛物线的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0， 设点A(0,2)，点M(x 0，y 0)，则AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，－2，AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 202p ，y 0－2.由已知，得AF →·AM →＝0，即y 20－8y 0＋16＝0，解得y 0＝4，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫8p ，4. 由|MF|＝5，得⎝ ⎛⎭⎪⎫8p －p 22＋16＝5. 又因为p>0，解得p ＝2或p ＝8，所以抛物线C 的方程为y 2＝4x 或y 2＝16x.(2)已知椭圆C ：x 2m ＋y 2m －4＝1(m>4)的右焦点为F ，点A(－2,2)为椭圆C 内一点，若椭圆C 上存在一点P ，使得|PA|＋|PF|＝8，则实数m 的取值范围是( )A ．(6＋25，25]B ．[9,25]C ．(6＋25，20]D ．[3,5]【答案】 A【解析】 椭圆C ：x 2m ＋y 2m －4＝1(m>4)的右焦点F 的坐标为(2,0)．设左焦点为F ′，则F ′(－2,0)．由椭圆的定义可得2m ＝|PF|＋|PF ′|，即|PF ′|＝2m －|PF|，可得|PA|－|PF ′|＝|PA|＋|PF|－2m ＝8－2m.由||PA|－|PF ′||≤|AF ′|＝2，可得－2≤8－2m ≤2，解得3≤m ≤5，所以9≤m ≤25.①又点A 在椭圆内，所以4m ＋4m －4<1(m>4)， 所以8m －16<m(m －4)(m>4)，解得m<6－25(舍)或m>6＋2 5.②由①②得6＋25<m ≤25，故选A.【要点提炼】考点二 圆锥曲线的几何性质1．求离心率通常有两种方法(1)求出a ，c ，代入公式e ＝c a. (2)根据条件建立关于a ，b ，c 的齐次式，消去b 后，转化为关于e 的方程或不等式，即可求得e 的值或取值范围．2．与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)共渐近线bx ±ay ＝0的双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)． 【热点突破】【典例】2 (1)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点，过F 2的直线交椭圆于A ，B 两点，且AF 1→·AF 2→＝0，AF 2→＝2F 2B →，则椭圆E 的离心率为( )A.23B.34C.53D.74【答案】 C【解析】 ∵AF 2→＝2F 2B →，设|BF 2|＝x ，则|AF 2|＝2x ，∴|AF 1|＝2a －2x ，|BF 1|＝2a －x ，∵AF 1→·AF 2→＝0，∴AF 1⊥AF 2，在Rt △AF 1B 中，有(2a －2x)2＋(3x)2＝(2a －x)2，解得x ＝a 3，∴|AF 2|＝2a 3，|AF 1|＝4a 3， 在Rt △AF 1F 2中，有⎝ ⎛⎭⎪⎫4a 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 32＝(2c)2，整理得c 2a 2＝59，∴e ＝c a ＝53. (2)(2020·莆田市第一联盟体联考)已知直线l ：y ＝x －1与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，M 是AB 的中点，则点M 到抛物线准线的距离为( )A.72B ．4C ．7D ．8 【答案】 B【解析】 由题意可知直线y ＝x －1过抛物线y 2＝4x 的焦点(1,0)，如图，AA ′，BB ′，MM ′都和准线垂直，并且垂足分别是A ′，B ′，M ′，由图象可知|MM ′|＝12(|AA ′|＋|BB ′|)， 根据抛物线的定义可知|AA ′|＋|BB ′|＝|AB|，∴|MM ′|＝12|AB|，联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x －1，y 2＝4x ，得x 2－6x ＋1＝0，设A ，B 两点的坐标为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，x 1＋x 2＝6，∴|AB|＝x 1＋x 2＋2＝8，∴|MM ′|＝4.二级结论 抛物线的有关性质：已知抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点为F ，直线l 过点F 且与抛物线交于两点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则(1)|AB|＝x 1＋x 2＋p ＝2p sin 2α(α为直线l 的倾斜角)． (2)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．(3)1|AF|＋1|BF|＝2p. 【拓展训练】2 (1)已知F 是抛物线C ：y 2＝2px(p>0)的焦点，抛物线C 的准线与双曲线Γ：x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)的两条渐近线交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则Γ的离心率e 等于( ) A.32 B.233 C.217 D.213 【答案】 D【解析】 抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，准线方程为x ＝－p 2， 联立抛物线的准线方程与双曲线的渐近线方程得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－p 2，y ＝±b a x ，解得y ＝±pb 2a ，可得|AB|＝pb a ， 由△ABF 为等边三角形，可得p ＝32·pb a ， 即有b a ＝23， 则e ＝c a ＝1＋b 2a 2＝1＋43＝213.(2)已知抛物线C ：y 2＝2px(p>0)的焦点为F ，点M(x 0,22)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0>p 2是抛物线C 上一点，圆M 与线段MF 相交于点A ，且被直线x ＝p 2截得的弦长为3|MA|，若|MA||AF|＝2，则|AF|等于( ) A.32B ．1C ．2D ．3 【答案】 B【解析】 如图所示，由题意知，|MF|＝x 0＋p 2.∵圆M 与线段MF 相交于点A ，且被直线x ＝p 2截得的弦长为3|MA|， ∴|MA|＝2|DM|＝2⎝⎛⎭⎪⎫x 0－p 2. ∵|MA||AF|＝2，∴|MF|＝32|MA|， ∴x 0＝p.又∵点M(x 0,22)在抛物线上，∴2p 2＝8，又∵p>0，∴p ＝2.∴|MA|＝2⎝⎛⎭⎪⎫x 0－p 2＝2，∴|AF|＝1. 【要点提炼】考点三 直线与圆锥曲线的位置关系解决直线与椭圆的位置关系问题，经常利用设而不求的方法，解题要点如下：(1)设直线与椭圆的交点坐标为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)；(2)联立直线的方程与椭圆的方程；(3)消元得到关于x 或y 的一元二次方程；(4)利用根与系数的关系设而不求；(5)把题干中的条件转化为含有x 1＋x 2，x 1x 2或y 1＋y 2，y 1y 2的式子，进而求解即可．【热点突破】【典例】3 (2020·全国Ⅲ)已知椭圆C ：x 225＋y 2m 2＝1(0<m<5)的离心率为154，A ，B 分别为C 的左、右顶点．(1)求C 的方程；(2)若点P 在C 上，点Q 在直线x ＝6上，且|BP|＝|BQ|，BP ⊥BQ ，求△APQ 的面积．【解析】解 (1)由题设可得25－m 25＝154，得m 2＝2516， 所以C 的方程为x 225＋y 22516＝1. (2)设P(x P ，y P )，Q(6，y Q )，根据对称性可设y Q >0，由题意知y P >0.由已知可得B(5,0)，直线BP 的方程为y ＝－1y Q(x －5)， 所以|BP|＝y P 1＋y 2Q ，|BQ|＝1＋y 2Q .因为|BP|＝|BQ|，所以y P ＝1.将y P ＝1代入C 的方程，解得x P ＝3或－3.由直线BP 的方程得y Q ＝2或8，所以点P ，Q 的坐标分别为P 1(3,1)，Q 1(6,2)；P 2(－3,1)，Q 2(6,8)．所以|P 1Q 1|＝10，直线P 1Q 1的方程为y ＝13x ， 点A(－5,0)到直线P 1Q 1的距离为102， 故△AP 1Q 1的面积为12×102×10＝52； |P 2Q 2|＝130，直线P 2Q 2的方程为y ＝79x ＋103， 点A 到直线P 2Q 2的距离为13026， 故△AP 2Q 2的面积为12×13026×130＝52. 综上，△APQ 的面积为52. 规律方法 解决直线与圆锥曲线位置关系的注意点(1)注意使用圆锥曲线的定义．(2)引入参数，注意构建直线与圆锥曲线的方程组．(3)注意用好圆锥曲线的几何性质．(4)注意几何关系和代数关系之间的转化．【拓展训练】3 (1)(2019·全国Ⅰ)已知椭圆C 的焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若|AF 2|＝2|F 2B|，|AB|＝|BF 1|，则C 的方程为( ) A.x 22＋y 2＝1 B.x 23＋y 22＝1 C.x 24＋y 23＝1 D.x 25＋y 24＝1 【答案】 B【解析】 由题意设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)，连接F 1A ，令|F 2B|＝m ，则|AF 2|＝2m ，|BF 1|＝3m.由椭圆的定义知，4m ＝2a ，得m ＝a2，故|F 2A|＝a ＝|F 1A|，则点A 为椭圆C 的上顶点或下顶点．令∠OAF 2＝θ(O 为坐标原点)，则sin θ＝c a ＝1a .在等腰三角形ABF 1中，cos 2θ＝2m2＋3m 2－3m 22×2m ·3m＝13，因为cos 2θ＝1－2sin 2θ，所以13＝1－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2，得a 2＝3.又c 2＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝2，椭圆C 的方程为x 23＋y22＝1.(2)设F 为抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点，斜率为k(k>0)的直线过F 交抛物线于A ，B 两点，若|FA|＝3|FB|，则直线AB 的斜率为( ) A.12 B ．1 C. 2 D.3 【答案】 D【解析】 假设A 在第一象限，如图，过A ，B 分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为D ，E ， 过A 作EB 的垂线，垂足为C ，则四边形ADEC 为矩形， 由抛物线定义可知|AD|＝|AF|， |BE|＝|BF|， 又∵|FA|＝3|FB|，∴|AD|＝|CE|＝3|BE|，即B 为CE 的三等分点， 设|BF|＝m ，则|BC|＝2m ，|AF|＝3m ，|AB|＝4m ， 即|AC|＝|AB|2－|BC|2＝16m 2－4m 2＝23m ，则tan ∠ABC ＝|AC||BC|＝23m2m ＝3，即直线AB 的斜率k ＝ 3.专题训练一、单项选择题1．(2020·福州模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y ＝±23x ，则此双曲线的离心率为( ) A.134B.132 C.133D.134【答案】 C【解析】 因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y ＝±23x ，所以b a ＝23，所以双曲线的离心率e ＝ca＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝133.2．(2020·全国Ⅰ)已知A 为抛物线C ：y 2＝2px(p>0)上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p 等于( ) A ．2 B ．3 C ．6 D ．9 【答案】 C【解析】 设A(x ，y)，由抛物线的定义知，点A 到准线的距离为12，即x ＋p2＝12.又因为点A 到y 轴的距离为9，即x ＝9， 所以9＋p2＝12，解得p ＝6.3．已知椭圆C ：x 2a 2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，左、右顶点分别为M ，N ，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点(异于M ，N)，△AF 1B 的周长为43，且直线AM 与AN 的斜率之积为－23，则C 的方程为( )A.x 212＋y28＝1 B.x 212＋y24＝1 C.x 23＋y22＝1 D.x 23＋y 2＝1 【答案】 C【解析】 由△AF 1B 的周长为43， 可知|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝43， 解得a ＝3，则M ()－3，0，N(3，0)． 设点A(x 0，y 0)(x 0≠±3)， 由直线AM 与AN 的斜率之积为－23，可得y 0x 0＋3·y 0x 0－3＝－23，即y 20＝－23(x 20－3)，①又x 203＋y 20b 2＝1，所以y 20＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 203，②由①②解得b 2＝2. 所以C 的方程为x 23＋y22＝1.4．设F 为双曲线C ：x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2交于P ，Q 两点．若|PQ|＝|OF|，则C 的离心率为( ) A. 2 B. 3 C ．2 D. 5 【答案】 A【解析】 如图，由题意，知以OF 为直径的圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －c 22＋y 2＝c24，①将x 2＋y 2＝a 2记为②式，①－②得x ＝a 2c ，则以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2的公共弦所在直线的方程为x ＝a 2c，所以|PQ|＝2a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c 2.由|PQ|＝|OF|，得2a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c 2＝c ，整理得c 4－4a 2c 2＋4a 4＝0， 即e 4－4e 2＋4＝0，解得e ＝ 2.5．(2020·潍坊模拟)已知点P 为双曲线C ：x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)右支上一点，F 1，F 2分别为C 的左、右焦点，直线PF 1与C 的一条渐近线垂直，垂足为H ，若|PF 1|＝4|HF 1|，则该双曲线的离心率为( )A.153 B.213 C.53 D.73【答案】 C【解析】 如图，取PF 1的中点M ，连接MF 2.由条件可知|HF 1|＝14|PF 1|＝12|MF 1|，∵O 是F 1F 2的中点， ∴OH ∥MF 2，又∵OH ⊥PF 1，∴MF 2⊥PF 1， ∴|F 1F 2|＝|PF 2|＝2c.根据双曲线的定义可知|PF 1|＝2a ＋2c ， ∴|HF 1|＝a ＋c2，直线PF 1的方程是y ＝ab (x ＋c)，即ax －by ＋ac ＝0，原点到直线PF 1的距离|OH|＝|ac|a 2＋b2＝a ，∴在△OHF 1中，a 2＋⎝⎛⎭⎪⎫a ＋c 22＝c 2，整理为3c 2－2ac －5a 2＝0，即3e 2－2e －5＝0， 解得e ＝53或e ＝－1(舍)．二、多项选择题6．(2020·新高考全国Ⅰ)已知曲线C ：mx 2＋ny 2＝1.( ) A ．若m>n>0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上 B ．若m ＝n>0，则C 是圆，其半径为nC ．若mn<0，则C 是双曲线，其渐近线方程为y ＝±－m nx D ．若m ＝0，n>0，则C 是两条直线 【答案】 ACD【解析】 对于A ，当m>n>0时，有1n >1m >0，方程化为x 21m ＋y21n ＝1，表示焦点在y 轴上的椭圆，故A 正确．对于B ，当m ＝n>0时，方程化为x 2＋y 2＝1n，表示半径为1n的圆，故B 错误． 对于C ，当m>0，n<0时，方程化为x 21m －y2－1n ＝1，表示焦点在x 轴上的双曲线，其中a ＝1m，b ＝－1n，渐近线方程为y ＝±－m n x ；当m<0，n>0时，方程化为y 21n －x2－1m ＝1，表示焦点在y 轴上的双曲线，其中a ＝1n，b ＝－1m，渐近线方程为y ＝±－mnx ，故C 正确． 对于D ，当m ＝0，n>0时，方程化为y ＝±1n，表示两条平行于x 轴的直线，故D 正确． 7．已知双曲线C 过点(3，2)且渐近线为y ＝±33x ，则下列结论正确的是( ) A ．C 的方程为x 23－y 2＝1B ．C 的离心率为 3 C ．曲线y ＝ex －2－1经过C 的一个焦点D ．直线x －2y －1＝0与C 有两个公共点 【答案】 AC【解析】 因为渐近线方程为y ＝±33x ，所以可设双曲线方程为x 29－y23＝λ，代入点(3，2)，得λ＝13，所以双曲线方程为x 23－y 2＝1，选项A 正确；该双曲线的离心率为233，选项B 不正确；双曲线的焦点为(±2,0)，曲线y ＝ex －2－1经过双曲线的焦点(2,0)，选项C 正确；把x＝2y ＋1代入双曲线方程，得y 2－22y ＋2＝0，解得y ＝2，故直线x －2y －1＝0与曲线C 只有一个公共点，选项D 不正确．8．已知抛物线C ：y 2＝2px(p>0)的焦点为F ，直线l 的斜率为3且经过点F ，直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点(点A 在第一象限)，与抛物线的准线交于点D.若|AF|＝8，则下列结论正确的是( ) A ．p ＝4 B.DF →＝FA →C ．|BD|＝2|BF|D ．|BF|＝4【答案】 ABC【解析】 如图所示，分别过点A ，B 作准线的垂线，垂足分别为E ，M ，连接EF.抛物线C 的准线交x 轴于点P ，则|PF|＝p ，由于直线l 的斜率为3，则其倾斜角为60°.又AE ∥x 轴，∴∠EAF ＝60°，由抛物线的定义可知，|AE|＝|AF|，则△AEF 为等边三角形，∴∠EFP ＝∠AEF ＝60°，则∠PEF ＝30°，∴|AF|＝|EF|＝2|PF|＝2p ＝8，解得p ＝4，故A 正确；∵|AE|＝|EF|＝2|PF|，PF ∥AE ，∴F 为线段AD 的中点，则DF →＝FA →，故B 正确；∵∠DAE ＝60°，∴∠ADE ＝30°，∴|BD|＝2|BM|＝2|BF|(抛物线定义)，故C 正确；∵|BD|＝2|BF|，∴|BF|＝13|DF|＝13|AF|＝83，故D 错误．三、填空题9．(2019·全国Ⅲ)设F 1，F 2为椭圆C ：x 236＋y220＝1的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限．若△MF 1F 2为等腰三角形，则M 的坐标为________． 【答案】 (3，15)【解析】 不妨令F 1，F 2分别为椭圆C 的左、右焦点，根据题意可知c ＝36－20＝4.因为△MF 1F 2为等腰三角形，所以易知|F 1M|＝2c ＝8，所以|F 2M|＝2a －8＝4.设M(x ，y)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 236＋y220＝1，|F 1M|2＝x ＋42＋y 2＝64，x>0，y>0，得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝15，所以M 的坐标为(3，15)．10．(2020·全国Ⅰ)已知F 为双曲线C ：x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)的右焦点，A 为C 的右顶点，B为C 上的点，且BF 垂直于x 轴．若AB 的斜率为3，则C 的离心率为________． 【答案】 2【解析】 如图，A(a,0)．由BF ⊥x 轴且AB 的斜率为3，知点B 在第一象限，且B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ， 则k AB ＝b 2a－0c －a ＝3，即b 2＝3ac －3a 2.又∵c 2＝a 2＋b 2，即b 2＝c 2－a 2， ∴c 2－3ac ＋2a 2＝0， ∴e 2－3e ＋2＝0.解得e ＝2或e ＝1(舍去)．故e ＝2.11．设双曲线mx 2＋ny 2＝1的一个焦点与抛物线y ＝18x 2的焦点相同，离心率为2，则抛物线的焦点到双曲线的一条渐近线的距离为________． 【答案】3【解析】 ∵抛物线x 2＝8y 的焦点为(0,2)， ∴mx 2＋ny 2＝1的一个焦点为(0,2)， ∴焦点在y 轴上， ∴a 2＝1n ，b 2＝－1m，c ＝2.根据双曲线三个参数的关系得到4＝a 2＋b 2＝1n －1m ，又离心率为2，即41n ＝4，解得n ＝1，m ＝－13，∴此双曲线的方程为y 2－x23＝1，则双曲线的一条渐近线方程为x －3y ＝0，则抛物线的焦点(0,2)到双曲线的一条渐近线的距离为 d ＝|23|1＋3＝ 3.12.如图，抛物线C 1：y 2＝2px 和圆C 2：⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 22＋y 2＝p24，其中p>0，直线l 经过C 1的焦点，依次交C 1，C 2于A ，D ，B ，C 四点，则AB →·CD →的值为________．【答案】 p24【解析】 易知AB →·CD →＝|AB|·|CD|，圆C 2的圆心即为抛物线C 1的焦点F ，当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为x ＝p 2，所以A ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，p ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，p 2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，－p 2，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，－p ，|AB →|＝|CD →|＝p 2，所以AB →·CD →＝p 2·p 2＝p24；当直线l 的斜率存在时，设A(x 1，y 1)，D(x 2，y 2)，则|AB|＝|FA|－|FB|＝x 1＋p 2－p 2＝x 1，同理|CD|＝x 2，设l 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，y 2＝2px ，可得k 2x 2－(pk 2＋2p)x ＋k 2p 24＝0，则AB →·CD →＝|AB|·|CD|＝x 1·x 2＝p 24.综上，AB →·CD →＝p24.四、解答题13．(2020·全国Ⅱ)已知椭圆C 1：x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合．过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD|＝43|AB|.(1)求C 1的离心率；(2)设M 是C 1与C 2的公共点，若|MF|＝5，求C 1与C 2的标准方程． 【解析】解 (1)由已知可设C 2的方程为y 2＝4cx ， 其中c ＝a 2－b 2. 不妨设A ，C 在第一象限，由题设得A ，B 的纵坐标分别为b 2a ，－b2a ；C ，D 的纵坐标分别为2c ，－2c ，故|AB|＝2b 2a ，|CD|＝4c. 由|CD|＝43|AB|得4c ＝8b 23a ， 即3×c a ＝2－2⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2， 解得c a ＝－2(舍去)，c a ＝12. 所以C 1的离心率为12. (2)由(1)知a ＝2c ，b ＝3c ，故C 1：x 24c 2＋y 23c2＝1. 设M(x 0，y 0)，则x 204c 2＋y 203c2＝1，y 20＝4cx 0， 故x 204c 2＋4x 03c＝1.① 由于C 2的准线为x ＝－c ，所以|MF|＝x 0＋c ，而|MF|＝5，故x 0＝5－c ，代入①得5－c 24c2＋45－c 3c ＝1， 即c 2－2c －3＝0，解得c ＝－1(舍去)，c ＝3.所以C 1的标准方程为x 236＋y 227＝1， C 2的标准方程为y 2＝12x.14．已知点F 为抛物线E ：y 2＝2px(p>0)的焦点，点A(2，m)在抛物线E 上，且到原点的距离为2 3.(1)求抛物线E 的方程；(2)已知点G(－1,0)，延长AF 交抛物线于点B ，证明：以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切．【解析】(1)解 由题意可得⎩⎨⎧ m 2＝4p ，4＋m 2＝23，解得p ＝2，所以抛物线E 的方程为y 2＝4x. (2)证明 设以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆的半径为r.因为点A(2，m)在抛物线E ：y 2＝4x 上，所以m ＝±22，由抛物线的对称性，不妨取A(2,22)．由A(2,22)，F(1,0)可得直线AF 的方程为y ＝22(x －1)， 联立⎩⎨⎧ y ＝22x －1，y 2＝4x ，得2x 2－5x ＋2＝0， 解得x ＝2或x ＝12，从而B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2. 所以直线GB 的方程为22x ＋3y ＋22＝0，易知直线GA 的方程为22x －3y ＋22＝0，从而r ＝|22＋22|8＋9＝4217. 因为点F 到直线GB 的距离d ＝|22＋22|8＋9＝4217＝r ，所以以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切．。

数学高考试卷椭圆双曲线抛物线和圆锥曲线的综合应用，带参考答案本文收集整理了高中数学高考试卷椭圆、双曲线、抛物线和圆锥曲线的综合应用知识知识，并配上详细参考答案，内容全共五十六页。

同学们认真完成这些练习，并对过答案，对学习高中椭圆、双曲线、抛物线和圆锥曲线的综合应用知识知识，一定有很大的帮助，希望大家喜欢这份文档。

一、椭圆知识1．（2018全国Ⅱ，12）已知F 1，F 2是椭圆C ： x 2a +y 2b =1 (a >b >0)的左，右焦点，A是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为√36的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P =120°，则C 的离心率为( )A ．23 B ．12 C ．13 D ．141.答案：D 因为△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P =120°，所以PF 2=F 1F 2=2c,由AP 斜率为√36得，tan∠PAF 2=√36,∴sin∠PAF 2=√13cos∠PAF 2=√12√13，由正弦定理得PF 2AF 2=sin∠PAF 2sin∠APF 2,所以2c a+c =1√13sin(π3−∠PAF 2)1√13√32⋅√12√13−12⋅1√1325∴a =4c,e =14，选D.2.（2017•新课标Ⅲ,10）已知椭圆C ： =1（a ＞b ＞0）的左、右顶点分别为A 1 ， A 2 ， 且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx ﹣ay+2ab=0相切，则C 的离心率为（ ）A. B. C. D.2. 答案：A 以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx ﹣ay+2ab=0相切， ∴原点到直线的距离=a ，化为：a 2=3b 2 ． ∴椭圆C 的离心率e= = = ．故选A ．3.（2017•浙江,）椭圆+=1的离心率是（ ）A. B. C. D.3. 答案：B 椭圆+=1，可得a=3，b=2，则c==，所以椭圆的离心率为： =．故选B ．4.(2016·浙江，7)已知椭圆C 1：x 2m 2＋y 2＝1(m ＞1)与双曲线C 2：x 2n2－y 2＝1(n ＞0)的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则( )A.m ＞n 且e 1e 2＞1B.m ＞n 且e 1e 2＜1C.m ＜n 且e 1e 2＞1D.m ＜n 且e 1e 2＜14.答案： A [由题意可得：m 2－1＝n 2＋1，即m 2＝n 2＋2， 又∵m ＞0，n ＞0，故m ＞n . 又∵e 21·e 22＝m 2－1m 2·n 2＋1n 2＝n 2＋1n 2＋2·n 2＋1n 2＝n 4＋2n 2＋1n 4＋2n 2＝1＋1n 4＋2n 2＞1，∴e 1·e 2＞1.] 5.(2016·全国Ⅲ，11)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点，A ，B分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( ) A.13 B.12 C.23 D.345.A [设M (－c ，m )，则E ⎝⎛⎭⎫0，am a －c ，OE 的中点为D ，则D ⎝⎛⎭⎫0，am2（a －c ），又B ，D ，M 三点共线，所以m 2（a －c ）＝m a ＋c，a ＝3c ，e ＝13.]6.(2014·大纲全国，6)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1、F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A 、B 两点.若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( ) A.x 23＋y 22＝1 B.x 23＋y 2＝1 C.x 212＋y 28＝1 D.x 212＋y 24＝1 6.A [由椭圆的性质知|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，|BF 1|＋|BF 2|＝2a ， ∴△AF 1B 的周长＝|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝43，∴a ＝ 3.又e ＝33，∴c ＝1.∴b 2＝a 2－c 2＝2，∴椭圆的方程为x 23＋y 22＝1，故选A.]7．（2018浙江，17）已知点P (0，1)，椭圆x24+y 2=m (m >1)上两点A ，B 满足AP⃑⃑⃑⃑⃑ =2PB ⃑⃑⃑⃑⃑ ，则当m =___________时，点B 横坐标的绝对值最大．7.5 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，由AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =2PB ⃑⃑⃑⃑⃑ 得−x 1=2x 2,1−y 1=2(y 2−1),∴−y 1=2y 2−3, 因为A ,B 在椭圆上,所以x 124+y 12=m,x 224+y 22=m, ∴4x 224+(2y 2−3)2=m,∴x 224+(y 2−32)2=m4，与x 224+y 22=m 对应相减得y 2=3+m 4,x 22=−14(m 2−10m +9)≤4，当且仅当m =5时取最大值.8.(2016·江苏，10)如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点，直线y ＝b2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是________.8.63 [联立方程组⎩⎨⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1，y ＝b2，解得B 、C 两点坐标为B ⎝⎛⎭⎫－32a ，b 2,C ⎝⎛⎭⎫32a ，b2,又F (c ,0),则FB →＝⎝⎛⎭⎫－32a －c ，b 2，FC →＝⎝⎛⎭⎫3a 2－c ，b 2，又由∠BFC ＝90°，可得FB →·FC →＝0，代入坐标可得：c 2－34a 2＋b 24＝0①，又因为b 2＝a 2－c 2.代入①式可化简为c 2a 2＝23，则椭圆离心率为e ＝ca＝23＝63. 9.(2014·辽宁，15)已知椭圆C ：x 29＋y 24＝1，点M 与C 的焦点不重合.若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则|AN |＋|BN |＝________.9.12 [设MN 交椭圆于点P ，连接F 1P 和F 2P (其中F 1、F 2是椭圆C 的左、右焦点)，利用中位线定理可得|AN |＋|BN |＝2|F 1P |＋2|F 2P |＝2×2a ＝4a ＝12.] 10.(2014·安徽，14)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b 2＝1(0<b <1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点.若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为________. 10.x 2＋3y 22＝1 [设点A 在点B 上方，F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，其中c ＝1－b 2，则可设A (c ，b 2)，B (x 0，y 0)，由|AF 1|＝3|F 1B |，可得AF 1→＝3F 1B →，故⎩⎪⎨⎪⎧－2c ＝3（x 0＋c ），－b 2＝3y 0，即⎩⎨⎧x 0＝－53c ，y 0＝－13b 2，代入椭圆方程可得25（1－b 2）9＋19b 2＝1，得b 2＝23，故椭圆方程为x 2＋3y 22＝1.] 11.(2014·江西，15)过点M (1,1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)相交于A ，B两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于________. 11.22 [设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，分别代入椭圆方程相减得（x 1－x 2）（x 1＋x 2）a 2＋（y 1－y 2）（y 1＋y 2）b 2＝0，根据题意有x 1＋x 2＝2×1＝2，y 1＋y 2＝2×1＝2，且y 1－y 2x 1－x 2＝－12，所以2a 2＋2b 2×⎝⎛⎭⎫－12＝0，得a 2＝2b 2，所以a 2＝2(a 2－c 2)，整理得a 2＝2c 2得c a ＝22，所以e ＝22.] 12．（2018全国Ⅲ，20）已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ： x 24+y 23=1交于A ，B 两点，线段AB的中点为M(1 ， m)(m >0)． （1）证明：k <−12；（2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点,且FP ⃑⃑⃑⃑⃑ +FA ⃑⃑⃑⃑⃑ +FB ⃑⃑⃑⃑⃑ =0．证明：|FA ⃑⃑⃑⃑⃑ |，|FP ⃑⃑⃑⃑⃑ |，|FB ⃑⃑⃑⃑⃑ |成等差数列，并求该数列的公差． 12.（1）设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，则x 124+y 123=1,x 224+y 223=1.两式相减，并由y 1−y2x 1−x 2=k 得x 1+x 24+y 1+y 23⋅k =0. 由题设知x 1+x 22=1,y 1+y 22=m ，于是k =−34m .①由题设得0<m <32，故k <−12. （2）由题意得F(1,0)，设P(x 3,y 3)，则 (x 3−1,y 3)+(x 1−1,y 1)+(x 2−1,y 2)=(0,0).由（1）及题设得x 3=3−(x 1+x 2)=1,y 3=−(y 1+y 2)=−2m <0. 又点P 在C 上，所以m =34，从而P(1,−32)，|FP ⃑⃑⃑⃑⃑ |=32. 于是|FA⃑⃑⃑⃑⃑ |=√(x 1−1)2+y 12=√(x 1−1)2+3(1−x 124)=2−x 12. 同理|FB⃑⃑⃑⃑⃑ |=2−x 22.所以|FA⃑⃑⃑⃑⃑ |+|FB ⃑⃑⃑⃑⃑ |=4−12(x 1+x 2)=3. 故2|FP⃑⃑⃑⃑⃑ |=|FA ⃑⃑⃑⃑⃑ |+|FB ⃑⃑⃑⃑⃑ |，即|FA ⃑⃑⃑⃑⃑ |,|FP ⃑⃑⃑⃑⃑ |,|FB ⃑⃑⃑⃑⃑ |成等差数列. 设该数列的公差为d ，则2|d|=||FB⃑⃑⃑⃑⃑ |−|FA ⃑⃑⃑⃑⃑ ||=12|x 1−x 2|=12√(x 1+x 2)2−4x 1x 2.② 将m =34代入①得k =−1.所以l 的方程为y =−x +74，代入C 的方程，并整理得7x 2−14x +14=0.故x 1+x 2=2,x 1x 2=128，代入②解得|d|=3√2128. 所以该数列的公差为3√2128或−3√2128. 13．（2018天津，19）设椭圆22221x x a b+= (a >b >0)的左焦点为F ，上顶点为B . 已知椭圆的点A 的坐标为(),0b，且FB AB ⋅=（I ）求椭圆的方程；（II ）设直线l ： (0)y kx k =>与椭圆在第一象限的交点为P ，且l 与直线AB 交于点Q .若sin 4AQ AOQ PQ=∠ (O 为原点) ，求k 的值. 13.（Ⅰ）设椭圆的焦距为2c ，由已知有2259c a =，又由a 2=b 2+c 2，可得2a =3b ．由已知可得， FB a =，AB =，由FB AB ⋅=ab =6，从而a =3，b =2．所以，椭圆的方程为22194x y +=． （Ⅱ）设点P 的坐标为（x 1，y 1），点Q 的坐标为（x 2，y 2）． 由已知有y 1>y 2>0，故12PQ sin AOQ y y ∠=-． 又因为2y AQ sin OAB =∠，而∠OAB =π4，故2AQ =．由4AQ sin AOQ PQ=∠，可得5y 1=9y 2． 由方程组22{ 194y kx x y =+=，，消去x，可得1y =． 易知直线AB 的方程为x +y –2=0， 由方程组{20y kx x y =+-=，，消去x ，可得221ky k =+．由5y 1=9y 2，可得5（k +1）= 两边平方，整理得25650110k k -+=，解得12k =，或1128k =． 所以，k 的值为12或1128．14.（2017•江苏,17）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ： =1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1 ， F 2 ， 离心率为，两准线之间的距离为8．点P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过点F 1作直线PF 1的垂线l 1 ， 过点F 2作直线PF 2的垂线l 2 ． （Ⅰ）求椭圆E 的标准方程；（Ⅱ）若直线l 1 ， l 2的交点Q 在椭圆E 上，求点P 的坐标．14.（1）设椭圆的半焦距为c .因为椭圆E 的离心率为12，两准线之间的距离为8，所以12c a =， 228a c =，解得2,1a c ==，于是b ==因此椭圆E 的标准方程是22143x y +=. （2）由（1）知， ()11,0F -， ()21,0F . 设()00,P x y ，因为点P 为第一象限的点，故000,0x y >>. 当01x =时， 2l 与1l 相交于1F ，与题设不符. 当01x ≠时，直线1PF 的斜率为001y x +，直线2PF 的斜率为001y x -.因为11l PF ⊥， 22l PF ⊥，所以直线1l 的斜率为001x y -+，直线2l 的斜率为001x y --， 从而直线1l 的方程： ()0011x y x y +=-+， ① 直线2l 的方程： ()0011x y x y -=--. ② 由①②，解得2001,x x x y y -=-=，所以20001,x Q x y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.因为点Q 在椭圆上，由对称性，得20001x y y -=±，即2201x y -=或22001x y +=. 又P 在椭圆E 上，故2200143x y +=. 由22002201{ 143x y x y-=+=，解得00x y ==； 220022001{ 143x y x y +=+=，无解.因此点P的坐标为⎝⎭15.(2016·全国Ⅱ，20)已知椭圆E ：x 2t ＋y 23＝1的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k (k >0)的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA . (1)当t ＝4，|AM |＝|AN |时，求△AMN 的面积； (2)当2|AM |＝|AN |时，求k 的取值范围.15.解 (1)设M (x 1，y 1)，则由题意知y 1>0.当t ＝4时，E 的方程为x 24＋y 23＝1,A (-2,0).由|AM |＝|AN |及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为π4.因此直线AM 的方程为y ＝x ＋2.将x ＝y －2代入x 24＋y 23＝1得7y 2－12y ＝0，解得y ＝0或y ＝127，所以y 1＝127.因此△AMN 的面积S △AMN ＝2×12×127×127＝14449.(2)由题意t >3，k >0，A (－t ，0)，将直线AM 的方程y ＝k (x ＋t )代入x 2t ＋y 23＝1得(3＋tk 2)x 2＋2t ·tk 2x ＋t 2k 2－3t ＝0.由x 1·(－t )＝t 2k 2－3t 3＋tk 2得x 1＝t （3－tk 2）3＋tk 2，故|AM |＝|x 1＋t |1＋k 2＝6t （1＋k 2）3＋tk 2.由题设，直线AN 的方程为y ＝－1k (x ＋t )，故同理可得|AN |＝6k t （1＋k 2）3k 2＋t .由2|AM |＝|AN |得23＋tk 2＝k3k 2＋t ，即(k 3－2)t ＝3k (2k －1)，当k ＝32时上式不成立，因此t ＝3k （2k －1）k 3－2.t >3等价于k 3－2k 2＋k －2k 3－2＝（k －2）（k 2＋1）k 3－2<0，即k －2k 3－2<0.由此得⎩⎪⎨⎪⎧k －2>0，k 3－2<0，或⎩⎪⎨⎪⎧k －2<0，k 3－2>0，解得32<k <2.因此k 的取值范围是(32，2).16.(2016·四川，20)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线l ：y ＝－x ＋3与椭圆E 有且只有一个公共点T . (1)求椭圆E 的方程及点T 的坐标；(2)设O 是坐标原点，直线l ′平行于OT ，与椭圆E 交于不同的两点A 、B ，且与直线l 交于点P .证明：存在常数λ，使得|PT |2＝λ|P A |·|PB |，并求λ的值. 16.(1)解 由已知，a ＝2b ，则椭圆E 的方程为x 22b 2＋y 2b 2＝1.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 22b 2＋y 2b 2＝1，y ＝－x ＋3，得3x 2－12x ＋(18－2b 2)＝0.①方程①的判别式为Δ＝24(b 2－3)，由Δ＝0，得b 2＝3，此时方程①的解为x ＝2，所以椭圆E 的方程为x 26＋y 23＝1.点T 的坐标为(2，1).(2)证明 由已知可设直线l ′的方程为y ＝12x ＋m (m ≠0)，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ＋m ，y ＝－x ＋3，可得⎩⎨⎧x ＝2－2m3，y ＝1＋2m 3.所以P 点坐标为⎝⎛⎭⎫2－2m 3，1＋2m 3.|PT |2＝89m 2. 设点A ，B 的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).由方程组⎩⎨⎧x 26＋y 23＝1，y ＝12x ＋m ，可得3x 2＋4mx ＋(4m 2－12)＝0.②方程②的判别式为Δ＝16(9－2m 2)， 由Δ>0，解得－322<m <322.由②得x 1＋x 2＝－4m3，x 1x 2＝4m 2－123.所以|P A |＝⎝⎛⎭⎫2－2m 3－x 12＋⎝⎛⎭⎫1＋2m 3－y 12＝52⎪⎪⎪⎪2－2m 3－x 1，同理|PB |＝52⎪⎪⎪⎪2－2m 3－x 2.所以|P A |·|PB |＝54⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫2－2m3－x 1⎝⎛⎭⎫2－2m 3－x 2 ＝54⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫2－2m 32－⎝⎛⎭⎫2－2m 3（x 1＋x 2）＋x 1x 2 ＝54⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫2－2m 32－⎝⎛⎭⎫2－2m 3⎝⎛⎭⎫－4m 3＋4m 2－123＝109m 2. 故存在常数λ＝45，使得|PT |2＝λ|P A |·|PB |.17.(2015·重庆，21)如图，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆于P 、Q 两点，且PQ ⊥PF 1.(1)若|PF 1|＝2＋2，|PF 2|＝2－2，求椭圆的标准方程； (2)若|PF 1|＝|PQ |，求椭圆的离心率e .17.解 (1)由椭圆的定义，2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝(2＋2)＋(2－2)＝4，故a ＝2. 设椭圆的半焦距为c ，由已知PF 1⊥PF 2，因此2c ＝|F 1F 2|＝|PF 1|2＋|PF 2|2＝（2＋2）2＋（2－2）2＝23，即c ＝3，即c ＝3，从而b ＝a 2－c 2＝1. 故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)法一 如图设点P (x 0，y 0)在椭圆上，且PF 1⊥PF 2，则x 20a 2＋y 20b2＝1，x 20＋y 20＝c 2， 求得x 0＝±a c a 2－2b 2，y 0＝±b 2c .由|PF 1|＝|PQ |＞|PF 2|得x 0＞0，从而 |PF 1|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a a 2－2b 2c ＋c 2＋b 4c 2＝2(a 2－b 2)＋2a a 2－2b 2＝(a ＋a 2－2b 2)2. 由椭圆的定义,|PF 1|＋|PF 2|＝2a ,|QF 1|＋|QF 2|＝2a , 从而由|PF 1|＝|PQ |＝|PF 2|＋|QF 2|,有|QF 1|＝4a －2|PF 1|. 又由PF 1⊥PF 2，|PF 1|＝|PQ |，知|QF 1|＝2|PF 1|， 因此，(2＋2)|PF 1|＝4a ，即(2＋2)(a ＋a 2－2b 2)＝4a ， 于是(2＋2)(1＋2e 2－1)＝4，解得e ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫42＋2－12＝6－ 3. 法二 如图，由椭圆的定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|QF 1|＋|QF 2|＝2a .从而由|PF 1|＝|PQ |＝|PF 2|＋|QF 2|，有|QF 1|＝4a －2|PF 1|.又由PF 1⊥PQ ，|PF 1|＝|PQ |，知|QF 1|＝2|PF 1|，因此，4a －2|PF 1|＝2|PF 1|，得|PF 1|＝2(2－2)a ，从而|PF 2|＝2a －|PF 1|＝2a －2(2－2)a ＝2(2－1)a . 由PF 1⊥PF 2，知|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝(2c )2，因此e ＝ca ＝|PF 1|2＋|PF 2|22a ＝（2－2）2＋（2－1）2＝9－62＝6－ 3. 18.(2015·福建，18)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点(0，2)，且离心率e ＝22.(1)求椭圆E 的方程；(2)设直线l ：x ＝my －1(m ∈R )交椭圆E 于A ，B 两点，判断点G ⎝⎛⎭⎫－94，0与以线段AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由.18.解 法一 (1)由已知得，⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2.解得⎩⎨⎧a ＝2，b＝2，c ＝ 2.所以椭圆E 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为H (x 0，y 0).⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －1，x 24＋y 22＝1得(m 2＋2)y 2－2my －3＝0.所以y 1＋y 2＝2m m 2＋2，y 1y 2＝－3m 2＋2，从而y 0＝mm 2＋2.所以|GH |2＝⎝⎛⎭⎫x 0＋942＋y 20＝⎝⎛⎭⎫my 0＋542＋y 20＝(m 2＋1)y 20＋52my 0＋2516. |AB |24＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）24 ＝（1＋m 2）（y 1－y 2）24＝（1＋m 2）[（y 1＋y 2）2－4y 1y 2]4＝(1＋m 2)(y 20－y 1y 2)， 故|GH |2－|AB |24＝52my 0＋(1＋m 2)y 1y 2＋2516＝5m 22（m 2＋2）－3（1＋m 2）m 2＋2＋2516＝17m 2＋216（m 2＋2）＞0， 所以|GH |＞|AB |2.故点G ⎝⎛⎭⎫－94，0在以AB 为直径的圆外. 法二 (1)同法一.(2)设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则GA →＝⎝⎛⎭⎫x 1＋94，y 1，GB →＝⎝⎛⎭⎫x 2＋94，y 2.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －1，x 24＋y 22＝1得(m 2＋2)y 2－2my －3＝0， 所以y 1＋y 2＝2m m 2＋2，y 1y 2＝－3m 2＋2，从而GA →·GB →＝⎝⎛⎭⎫x 1＋94⎝⎛⎭⎫x 2＋94＋y 1y 2＝⎝⎛⎭⎫my 1＋54⎝⎛⎭⎫my 2＋54＋y 1y 2 ＝(m 2＋1)y 1y 2＋54m (y 1＋y 2)＋2516＝－3（m 2＋1）m 2＋2＋52m2m 2＋2＋2516＝17m 2＋216（m 2＋2）＞0， 所以cos 〈GA →，GB →〉＞0.又GA →，GB →不共线，所以∠AGB 为锐角. 故点G ⎝⎛⎭⎫－94，0在以AB 为直径的圆外. 19.(2015·陕西，20)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的半焦距为c ，原点O 到经过两点(c,0)，(0，b )的直线的距离为12c .(1)求椭圆E 的离心率；(2)如图，AB 是圆M ：(x ＋2)2＋(y －1)2＝52的一条直径，若椭圆E 经过A ，B 两点，求椭圆E的方程.19.解 (1)过点(c ，0)，(0，b )的直线方程为bx ＋cy －bc ＝0， 则原点O 到该直线的距离d ＝bc b 2＋c 2＝bc a,由d ＝12c ,得a ＝2b ＝2a 2－c 2,解得离心率c a ＝32.(2)法一 由(1)知，椭圆E 的方程为x 2＋4y 2＝4b 2.① 依题意，圆心M (－2，1)是线段AB 的中点，且|AB |＝10，易知,AB 与x 轴不垂直,设其方程为y ＝k (x ＋2)＋1,代入①得(1＋4k 2)x 2＋8k (2k ＋1)x ＋4(2k ＋1)2－4b 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k （2k ＋1）1＋4k 2，x 1x 2＝4（2k ＋1）2－4b 21＋4k 2，由x 1＋x 2＝－4，得－8k （2k ＋1）1＋4k 2＝－4，解得k ＝12，从而x 1x 2＝8－2b 2， 于是|AB |＝1＋⎝⎛⎭⎫122|x 1－x 2|＝52（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝10（b 2－2），由|AB |＝10，得10（b 2－2）＝10，解得b 2＝3， 故椭圆E 的方程为x 212＋y 23＝1.法二 由(1)知，椭圆E 的方程为x 2＋4y 2＝4b 2，②依题意，点A ，B 关于圆心M (－2，1)对称，且|AB |＝10，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21＋4y 21＝4b 2，x 22＋4y 22＝4b 2，两式相减并结合x 1＋x 2＝－4，y 1＋y 2＝2，得－4(x 1－x 2)＋8(y 1－y 2)＝0， 易知AB 与x 轴不垂直，则x 1≠x 2， 所以AB 的斜率k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝12， 因此直线AB 的方程为y ＝12(x ＋2)＋1，代入②得x 2＋4x ＋8－2b 2＝0，所以x 1＋x 2＝－4，x 1x 2＝8－2b 2， 于是|AB |＝1＋⎝⎛⎭⎫122|x 1－x 2|＝52（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝10（b 2－2）.由|AB |＝10，得10（b 2－2）＝10，解得b 2＝3， 故椭圆E 的方程为x 212＋y 23＝1.20.(2015·北京，19)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，点P (0,1)和点A (m ，n )(m ≠0)都在椭圆C 上，直线P A 交x 轴于点M .(1)求椭圆C 的方程，并求点M 的坐标(用m ，n 表示)；(2)设O 为原点，点B 与点A 关于x 轴对称，直线PB 交x 轴于点N .问：y 轴上是否存在点Q ，使得∠OQM ＝∠ONQ ？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说明理由.20.解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，c a ＝22，a 2＝b 2＋c2解得a 2＝2，故椭圆C 的方程为x22＋y 2＝1.设M (x M ，0).因为m ≠0，所以－1＜n ＜1.直线P A 的方程为y －1＝n －1m x .所以x M ＝m 1－n，即M ⎝⎛⎭⎫m 1－n ，0. (2)因为点B 与点A 关于x 轴对称，所以B (m ，－n ). 设N (x N ，0)，则x N ＝m1＋n.“存在点Q (0，y Q )使得∠OQM ＝∠ONQ ”，等价于“存在点Q (0，y Q )使得|OM ||OQ |＝|OQ ||ON |”，即y Q 满足y 2Q ＝|x M ||x N |.因为x M ＝m 1－n ，x N ＝m 1＋n ，m 22＋n 2＝1.所以y 2Q ＝|x M ||x N |＝m 21－n 2＝2.所以y Q ＝2或y Q ＝－ 2.故在y 轴上存在点Q ，使得∠OQM ＝∠ONQ ，点Q 的坐标为(0，2)或(0，－2). 21.(2015·江苏,18)如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22,且右焦点F 到左准线l 的距离为3. (1)求椭圆的标准方程；(2)过F 的直线与椭圆交于A ,B 两点,线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ,C ,若PC ＝2AB ,求直线AB 的方程. 21.解 (1)由题意,得c a ＝22且c ＋a 2c＝3,解得a ＝2,c ＝1,则b ＝1,所以椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)当AB ⊥x 轴时,AB ＝2,又CP ＝3,不合题意.当AB 与x 轴不垂直时,设直线AB 的方程为y ＝k (x －1),A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 将AB 的方程代入椭圆方程,得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2(k 2－1)＝0, 则x 1,2＝2k 2±2（1＋k 2）1＋2k 2,C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋2k 2，－k 1＋2k 2,且 AB ＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2＝（1＋k 2）（x 2－x 1）2＝22（1＋k 2）1＋2k 2.若k ＝0,则线段AB 的垂直平分线为y 轴,与左准线平行,不合题意. 从而k ≠0,故直线PC 的方程为y ＋k 1＋2k 2＝－1k ⎝⎛⎭⎫x －2k 21＋2k 2,则P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，5k 2＋2k （1＋2k 2）,从而PC ＝2（3k 2＋1）1＋k 2|k |（1＋2k 2）.因为PC ＝2AB ,所以2（3k 2＋1）1＋k 2|k |（1＋2k 2）＝42（1＋k 2）1＋2k 2,解得k ＝±1.此时直线AB 的方程为y ＝x －1或y ＝－x ＋1.二、双曲线知识1．（2018浙江，2）双曲线x 23−y 2=1的焦点坐标是( ) A ．(−√2，0)，(√2，0) B ．(−2，0)，(2，0) C ．(0，−√2)，(0，√2) D ．(0，−2)，(0，2)1.B 因为双曲线方程为x 23−y 2=1，所以焦点坐标可设为(±c,0)，因为c 2=a 2+b 2=3+1=4,c =2，所以焦点坐标为(±2,0)，选B. 2．（2018全国Ⅰ，11）已知双曲线C ：x 23−y 2=1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M 、N .若△OMN 为直角三角形，则|MN |=( ) A ．32 B ．3 C ．2√3 D ．42.B 根据题意，可知其渐近线的斜率为±√33，且右焦点为F(2,0)，从而得到∠FON =30°，所以直线MN 的倾斜角为60°或120°，根据双曲线的对称性，设其倾斜角为60°，可以得出直线MN 的方程为y =√3(x −2)，分别与两条渐近线y =√33x 和y =−√33x 联立，求得M(3,√3),N(32,−√32)，所以|MN |=2)√2)=3，故选B.3．（2018全国Ⅱ，5）双曲线x 2a 2−y 2b 2=1 (a >0, b >0)的离心率为√3，则其渐近线方程为( )A ．y =±√2xB ．y =±√3xC ．y =±√22x D ．y =±√32x 3.A ∵e =ca =√3,∴b 2a 2=c 2−a 2a 2=e 2−1=3−1=2,∴ba =√2,因为渐近线方程为y =±ba x ，所以渐近线方程为y =±√2x ，选A. 4．（2018全国Ⅲ，11）设F 1,F 2是双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1（）的左、右焦点，O 是坐标原点．过F 2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若|PF 1|=√6|OP |，则C 的离心率为( ) A ．√5 B ．√3 C ．2 D ．√24.B 由题可知|PF 2|=b,|OF 2|=c ,∴|PO |=a ,在Rt △POF 2中，cos∠PF 2O =|PF 2||OF 2|=bc, ∵在△PF 1F 2中,cos∠PF 2O =|PF 2|2+|F 1F 2|2−|PF 1|22|PF 2||F 1F 2|=bc ,∴b 2+4c 2−(√6a)22b∙2c=bc ⇒c 2=3a 2,∴e =√3.故选C.5．（2018天津，7）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点. 设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126d d +=，则双曲线的方程为( )A ．221412x y -= B ．221124x y -= C ．22139x y -= D ．22193x y -=5.C 设双曲线的右焦点坐标为(),0F c （c >0），则A B x x c ==，由22221c y a b-=可得：2b y a =±，不妨设： 22,,,b b Ac B c a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，双曲线的一条渐近线方程为： 0bx ay -=，据此可得：21bc b d c -==，22bc b d c +==，则12226bcd d b c+===，则23,9b b ==，双曲线的离心率：2c e a ====，据此可得： 23a =，则双曲线的方程为22139x y -=. 本题选择C 选项.6.（2017•新课标Ⅱ,9）若双曲线C ： ﹣ =1（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线被圆（x ﹣2）2+y 2=4所截得的弦长为2，则C 的离心率为（ ）A.2B.C.D.6. A 双曲线C ： ﹣=1（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线不妨为：bx+ay=0，圆（x ﹣2）2+y 2=4的圆心（2，0），半径为：2，双曲线C ： ﹣=1（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线被圆（x ﹣2）2+y 2=4所截得的弦长为2，可得圆心到直线的距离为： = ，解得：，可得e 2=4，即e=2．故选A ．7.（2017•新课标Ⅲ,5）已知双曲线C ：﹣ =1 （a ＞0，b ＞0）的一条渐近线方程为y= x ，且与椭圆 + =1有公共焦点，则C 的方程为（ ）A.﹣ =1B.﹣ =1C.﹣=1 D.﹣=17. B 椭圆 +=1的焦点坐标（±3，0），则双曲线的焦点坐标为（±3，0），可得c=3，双曲线C ：﹣ =1 （a ＞0，b ＞0）的一条渐近线方程为y=x ，可得 ，即 ，可得 = ，解得a=2，b= ，所求的双曲线方程为： ﹣ =1．故选B ．8.（2017·天津,5）已知双曲线 ﹣ =1（a ＞0，b ＞0）的左焦点为F ，离心率为 ．若经过F 和P （0，4）两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（ ） A.=1 B.=1 C.=1 D.=18. B 设双曲线的左焦点F （﹣c ，0），离心率e= =，c=a ，则双曲线为等轴双曲线，即a=b ， 双曲线的渐近线方程为y=±x=±x ，则经过F 和P （0，4）两点的直线的斜率k= =，则=1，c=4，则a=b=2，∴双曲线的标准方程：；故选B ．9.(2016·全国Ⅰ，5)已知方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n ＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( )A.(－1，3)B.(－1，3)C.(0，3)D.(0，3)9.A [∵方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n ＝1表示双曲线，∴(m 2＋n )·(3m 2－n )>0，解得－m 2<n <3m 2，由双曲线性质，知c 2＝(m 2＋n )＋(3m 2－n )＝4m 2(其中c 是半焦距)，∴焦距2c ＝2×2|m |＝4，解得|m |＝1，∴－1<n <3，故选A.]10.(2016·全国Ⅱ，11)已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1的左，右焦点，点M 在E 上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝13，则E 的离心率为( )A.2B.32C.3D.210.A [离心率e ＝F 1F 2MF 2－MF 1，由正弦定理得e ＝F 1F 2MF 2－MF 1＝sin Msin F 1－sin F 2＝2231－13＝ 2.故选A.]11.(2015·福建，3)若双曲线E ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于( )A.11B.9C.5D.311.B [由双曲线定义||PF 2|－|PF 1||＝2a ,∵|PF 1|＝3,∴P 在左支上,∵a ＝3,∴|PF 2|－|PF 1|＝6，∴|PF 2|＝9，故选B.]12.(2015·安徽，4)下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为y ＝±2x 的是( ) A.x 2－y 24＝1 B.x 24－y 2＝1 C.y 24－x 2＝1 D.y 2－x 24＝112.C [由双曲线性质知A 、B 项双曲线焦点在x 轴上，不合题意；C 、D 项双曲线焦点均在y 轴上，但D 项渐近线为y ＝±12x ，只有C 符合，故选C.]13.(2015·广东，7)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e ＝54，且其右焦点为F 2(5,0)，则双曲线C 的方程为( )A.x 24－y 23＝1B.x 216－y 29＝1C.x 29－y 216＝1D.x 23－y 24＝1 13.B [因为所求双曲线的右焦点为F 2(5，0)且离心率为e ＝c a ＝54，所以c ＝5，a ＝4，b 2＝c 2－a 2＝9，所以所求双曲线方程为x 216－y 29＝1，故选B.] 14.(2015·四川，5)过双曲线x 2－y 23＝1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则|AB |＝( ) A.433B.2 3C.6D.4 314.D [焦点F (2，0)，过F 与x 轴垂直的直线为x ＝2，渐近线方程为x 2－y 23＝0，将x ＝2代入渐近线方程得y 2＝12，y ＝±23，∴|AB |＝23－(－23)＝4 3.选D.]15.(2015·新课标全国Ⅱ，11)已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为( ) A. 5 B.2 C. 3 D. 2 15.D [如图，设双曲线E 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0),则|AB |＝2a ,由双曲线的对称性,可设点M (x 1，y 1)在第一象限内,过M 作MN ⊥x 轴于点N (x 1，0)，∵△ABM 为等腰三角形，且∠ABM ＝120°，∴|BM |＝|AB |＝2a ，∠MBN ＝60°，∴y 1＝|MN |＝|BM |sin ∠MBN ＝2a sin 60°＝3a ，x 1＝|OB |＋|BN |＝a ＋2a cos 60°＝2a .将点M (x 1，y 1)的坐标代入x 2a 2－y 2b 2＝1，可得a 2＝b 2，∴e ＝ca ＝a 2＋b 2a 2＝2，选D.] 16.(2015·新课标全国Ⅰ，5)已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－33，33 B.⎝⎛⎭⎫－36，36 C.⎝⎛⎭⎫－223，223 D.⎝⎛⎭⎫－233，233 16.A [由题意知M 在双曲线C ：x 22－y 2＝1上，又在x 2＋y 2＝3内部，由⎩⎪⎨⎪⎧x 22－y 2＝1，x 2＋y 2＝3，得y ＝±33，所以－33<y 0<33.] 17.(2014·天津，5)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线平行于直线l ：y ＝2x ＋10，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为( ) A.x 25－y 220＝1 B.x 220－y 25＝1 C.3x 225－3y 2100＝1 D.3x 2100－3y 225＝1 17.A [由题意可知，双曲线的其中一条渐近线y ＝b a x 与直线y ＝2x ＋10平行，所以ba ＝2且左焦点为(-5,0),所以a 2＋b 2＝c 2＝25,解得a 2＝5,b 2＝20,故双曲线方程为x 25－y 220＝1.选A.]18.(2014·广东，4)若实数k 满足0<k <9，则曲线x 225－y 29－k ＝1与曲线x 225－k －y 29＝1的( )A.离心率相等B.实半轴长相等C.虚半轴长相等D.焦距相等18.D [由0<k <9，易知两曲线均为双曲线且焦点都在x 轴上，由25＋9－k ＝25－k ＋9，得两双曲线的焦距相等，选D.]19.(2014·新课标全国Ⅰ，4)已知F 为双曲线C ：x 2－my 2＝3m (m >0)的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为( ) A. 3 B.3 C.3m D.3m19.A [∵双曲线的方程为x 23m －y 23＝1，∴焦点F 到一条渐近线的距离为 3.]20.(2014·重庆，8)设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得|PF 1|＋|PF 2|＝3b ，|PF 1|·|PF 2|＝94ab ，则该双曲线的离心率为( )A.43B.53C.94D.3 20.B [由双曲线的定义得||PF 1|-|PF 2||＝2a ,又|PF 1|＋|PF 2|＝3b ,所以(|PF 1|＋|PF 2|)2－(|PF 1|-|PF 2|)2＝9b 2-4a 2,即4|PF 1|·|PF 2|＝9b 2－4a 2，又4|PF 1|·|PF 2|＝9ab ，因此9b 2－4a 2＝9ab ，即9⎝⎛⎭⎫b a 2-9b a －4＝0,则⎝⎛⎭⎫3b a ＋1⎝⎛⎭⎫3b a －4＝0，解得b a ＝43⎝⎛⎭⎫b a ＝－13舍去，则双曲线的离心率e ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝53.]21.(2014·山东，10)已知a >b >0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，C 1与C 2的离心率之积为32，则C 2的渐近线方程为( ) A.x ±2y ＝0 B.2x ±y ＝0 C.x ±2y ＝0 D.2x ±y ＝021.A [椭圆C 1的离心率为a 2－b 2a ,双曲线C 2的离心率为a 2＋b 2a ，所以a 2－b 2a ·a 2＋b 2a ＝32，所以a 4－b 4＝34a 4，即a 4＝4b 4，所以a ＝2b ，所以双曲线C 2的渐近线方程是y ＝±12x ，即x ±2y ＝0.]22.(2014·大纲全国，9)已知双曲线C 的离心率为2，焦点为F 1、F 2，点A 在C 上.若|F 1A |＝2|F 2A |，则cos ∠AF 2F 1＝( ) A.14 B.13 C.24 D.2322.A [由双曲线的定义知|AF 1|－|AF 2|＝2a ，又|AF 1|＝2|AF 2|，∴|AF 1|＝4a ，|AF 2|＝2a . ∵e ＝ca ＝2，∴c ＝2a ，∴|F 1F 2|＝4a .∴cos ∠AF 2F 1＝|AF 2|2＋|F 1F 2|2－|AF 1|22|AF 2|·|F 1F 2|＝（2a ）2＋（4a ）2－（4a ）22×2a ×4a＝14，故选A.]23．（2018江苏，8）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2a −y 2b =1(a >0,b >0)的右焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为√32c ，则其离心率的值是________．23.2 因为双曲线的焦点F(c,0)到渐近线y =±ba x,即bx ±ay =0的距离为√a 2+b2=bc c=b,所以b =√32c ，因此a 2=c 2−b 2=c 2−34c 2=14c 2, a =12c,e =2.24.（2017•山东,14）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线=1（a ＞0，b ＞0）的右支与焦点为F 的抛物线x 2=2py （p ＞0）交于A ，B 两点，若|AF|+|BF|=4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为________．24. y=± x 把x 2=2py （p ＞0）代入双曲线=1（a ＞0，b ＞0），可得：a 2y2﹣2pb 2y+a 2b 2=0，∴y A +y B =，∵|AF|+|BF|=4|OF|，∴y A +y B +2× =4× ，∴ =p ，∴ = ．∴该双曲线的渐近线方程为：y=± x ．故答案为：y=± x ．25.（2017•北京,9）若双曲线x 2﹣=1的离心率为 ，则实数m=________．25.2 双曲线x 2﹣=1（m ＞0）的离心率为 ，可得： ，解得m=2．故答案为：2．26.（2017•江苏,8）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线﹣y 2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ，Q ，其焦点是F 1 ， F 2 ， 则四边形F 1PF 2Q 的面积是________． 26.2双曲线﹣y 2=1的右准线：x=，双曲线渐近线方程为：y= x ，所以P （ ， ），Q （ ，﹣ ），F 1（﹣2，0）．F 2（2，0）．则四边形F 1PF 2Q 的面积是： =2．故答案为：2．27.(2016·山东，13)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则E 的离心率是________.27.2 [由已知得|AB |＝2b 2a ,|BC |＝2c ,∴2×2b 2a ＝3×2c ,又∵b 2＝c 2-a 2,整理得：2c 2-3ac -2a 2=0，两边同除以a 2得2⎝⎛⎭⎫c a 2－3c a－2＝0，即2e 2－3e －2＝0，解得e ＝2或e ＝－1(舍去).] 28.(2015·浙江，9)双曲线x 22－y 2＝1的焦距是______，渐近线方程是______.28.23 y ＝±22x [由双曲线方程得a 2＝2，b 2＝1，∴c 2＝3，∴焦距为23，渐近线方程为y ＝±22x .]29.(2015·北京，10)已知双曲线x 2a 2－y 2＝1(a ＞0)的一条渐近线为3x ＋y ＝0，则a ＝________.29.33 [双曲线渐近线方程为y ＝±b a x ，∴b a ＝3，又b ＝1，∴a ＝33.] 30.(2015·湖南，13)设F 是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的一个焦点，若C 上存在点P ，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C 的离心率为________.30.5 [不妨设F (c ，0)，则由条件知P (－c ，±2b )，代入x 2a 2－y 2b 2＝1得c 2a 2＝5，∴e ＝ 5.]31.(2015·江苏，12)在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线x 2－y 2＝1右支上的一个动点.若点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为________. 31.22[双曲线x 2－y 2＝1的渐近线为x ±y ＝0，直线x －y ＋1＝0与渐近线x －y ＝0平行，故两平行线的距离d ＝|1－0|12＋12＝22.由点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c 恒成立，得c ≤22，故c 的最大值为22.] 32.(2014·浙江，16)设直线x －3y ＋m ＝0(m ≠0)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于点A ，B .若点P (m,0)满足|P A |＝|PB |，则该双曲线的离心率是________. 32.52 [联立直线方程与双曲线渐近线方程y ＝±bax 可解得交点为 ⎝⎛⎭⎫am 3b －a ，bm 3b －a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－am 3b ＋a ，bm 3b ＋a ，而k AB ＝13，由|P A |＝|PB |，可得AB 的中点与点P 连线的斜率为－3，即bm 3b －a ＋bm3b ＋a2－0am3b －a ＋－am 3b ＋a2－m＝－3，化简得4b 2＝a 2，所以e ＝52.]33.(2014·江西，20)如图，已知双曲线C ：x 2a 2－y 2＝1(a >0)的右焦点为F ，点A ，B 分别在C的两条渐近线上，AF ⊥x 轴，AB ⊥OB ，BF ∥OA (O 为坐标原点). (1)求双曲线C 的方程；(2)过C 上一点P (x 0，y 0)(y 0≠0)的直线l ：x 0x a 2－y 0y ＝1与直线AF 相交于点M ，与直线x ＝32相交于点N .证明：当点P 在C 上移动时，|MF ||NF |恒为定值，并求此定值.33.(1)解 设F (c ，0)，因为b ＝1，所以c ＝a 2＋1，直线OB 的方程为y ＝－1a x ，直线BF 的方程为y ＝1a (x －c )，解得B ⎝⎛⎭⎫c 2，－c 2a . 又直线OA 的方程为y ＝1a x ，则A ⎝⎛⎭⎫c ，c a ，k AB ＝c a －⎝⎛⎭⎫－c 2a c －c 2＝3a.又因为AB ⊥OB ，所以3a ·⎝⎛⎭⎫－1a ＝－1，解得a 2＝3，故双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1.(2)证明 由(1)知a ＝3，则直线l 的方程为x 0x3－y 0y ＝1(y 0≠0)，即y ＝x 0x －33y 0.因为直线AF 的方程为x ＝2，所以直线l 与AF 的交点为M ⎝⎛⎭⎫2，2x 0－33y 0；直线l 与直线x ＝32的交点为N ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32x 0－33y 0. 则|MF |2|NF |2＝（2x 0－3）2（3y 0）214＋⎝⎛⎭⎫32x 0－32（3y 0）2＝（2x 0－3）29y 204＋94（x 0－2）2＝43·（2x 0－3）23y 20＋3（x 0－2）2， 因为P (x 0，y 0)是C 上一点，则x 203－y 20＝1，代入上式得 |MF |2|NF |2＝43·（2x 0－3）2x 20－3＋3（x 0－2）2＝43·（2x 0－3）24x 20－12x 0＋9＝43， 所求定值为|MF ||NF |＝23＝233.三、抛物线1．（2018全国Ⅰ，8）设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅FN ⃑⃑⃑⃑⃑ =( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．81.D 根据题意，过点（–2，0）且斜率为23的直线方程为y =23(x +2)，与抛物线方程联立{y =23(x +2)y 2=4x ，消元整理得：y 2−6y +8=0，解得M(1,2),N(4,4)，又F(1,0)，所以FM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(0,2),FN ⃑⃑⃑⃑⃑ =(3,4)，从而可以求得FM⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅FN ⃑⃑⃑⃑⃑ =0×3+2×4=8，故选D. 2.(2016·全国Ⅰ，10)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点.已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( ) A.2 B.4 C.6 D.82.B [不妨设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)，则圆的方程可设为x 2＋y 2＝r 2(r >0),如图，又可设A (x 0，22)，D ⎝⎛⎭⎫－p2，5，点A (x 0，22)在抛物线y 2＝2px 上，∴8＝2px 0，① 点A (x 0，22)在圆x 2＋y 2＝r 2上，∴x 20＋8＝r 2，② 点D ⎝⎛⎭⎫－p 2，5在圆x 2＋y 2＝r 2上，∴5＋⎝⎛⎭⎫p22＝r 2，③ 联立①②③，解得p ＝4，即C 的焦点到准线的距离为p ＝4，故选B.]3.(2015·天津，6)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线过点(2，3) ，且双曲线的一个焦点在抛物线y 2＝47x 的准线上，则双曲线的方程为( ) A.x 221－y 228＝1 B.x 228－y 221＝1 C.x 23－y 24＝1 D.x 24－y 23＝1 3.D [双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±b a x ，又渐近线过点(2，3)，所以2ba ＝3，即2b ＝3a ，①抛物线y 2＝47x 的准线方程为x ＝－7，由已知，得a 2＋b 2＝7，即a 2＋b 2＝7②， 联立①②解得a 2＝4，b 2＝3，所求双曲线的方程为x 24－y 23＝1，选D.] 4.(2015·浙江，5)如图，设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是( )A.|BF |－1|AF |－1B.|BF |2－1|AF |2－1C.|BF |＋1|AF |＋1D.|BF |2＋1|AF |2＋14.A [由图象知S △BCF S △ACF ＝|BC ||AC |＝x B x A ，由抛物线的性质知|BF |＝x B ＋1，|AF |＝x A ＋1，∴x B ＝|BF |-1，x A ＝|AF |－1，∴S △BCF S △ACF ＝|BF |－1|AF |－1.故选A.]5．（2018全国Ⅲ，16）已知点M(−1 ， 1)和抛物线C ： y 2=4x ，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若∠AMB =90°，则k =________．5.2 设A (x 1,y 1),B(x 2,y 2),则{y 12=4x 1y 22=4x2,所以y 12−y 22=4x 1−4x 2,所以k =y 1−y 2x 1−x 2=4y 1+y 2.取AB 中点M′(x 0，y 0),分别过点A,B 作准线x =−1的垂线，垂足分别为A ′,B′,因为∠AMB =90°,∴|MM ′|=12|AB |=12(|AF |+|BF |)=12(|AA ′|+|BB′|),因为M’为AB 中点，所以MM’平行于x 轴,因为M(-1,1),所以y 0=1，则y 1+y 2=2即k =2.6.（2017•新课标Ⅱ,16）已知F 是抛物线C ：y 2=8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ．若M 为FN 的中点，则|FN|=________．6. 6 抛物线C ：y 2=8x 的焦点F （2，0），M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ．若M 为FN 的中点，可知M 的横坐标为：1，则M 的纵坐标为： ，|FN|=2|FM|=2 =6．故答案为：6．7.(2016·浙江，9)若抛物线y 2＝4x 上的点M 到焦点的距离为10，则M 到y 轴的距离是________. 7.9 [抛物线y 2＝4x 的焦点F (1,0).准线为x ＝-1,由M 到焦点的距离为10,可知M 到准线x ＝-1的距离也为10,故M 的横坐标满足x M ＋1＝10,解得x M ＝9,所以点M 到y 轴的距离为9.] 8.(2015·陕西，14)若抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线经过双曲线x 2－y 2＝1的一个焦点，则p ＝________.8.22 [由于双曲线x 2－y 2＝1的焦点为(±2，0)，故应有p2＝2，p ＝2 2.]9.(2014·湖南，15)如图，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为a ， b (a <b )，原点O 为AD 的中点，抛物线y 2＝2px (p >0)经过C ，F 两点，则b a ＝________.9.1＋2 [由正方形的定义可知BC ＝CD ，结合抛物线的定义得点D 为抛物线的焦点，所以|AD |＝p ＝a ，D ⎝⎛⎭⎫p 2，0，F ⎝⎛⎭⎫p2＋b ，b ，将点F 的坐标代入抛物线的方程得b 2＝2p⎝⎛⎭⎫p 2＋b ＝a 2＋2ab ，变形得⎝⎛⎭⎫b a 2－2b a －1＝0，解得b a ＝1＋2或b a＝1－2(舍去)，所以ba ＝1＋ 2.]10.(2014·上海，3)若抛物线y 2＝2px的焦点与椭圆x 29＋y 25＝1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为______________. 10.x ＝-2[∵c 2＝9-5＝4,∴c ＝2.∴椭圆x 29＋y 25＝1的右焦点为(2，0),∴p2＝2,即p ＝4. ∴抛物线的准线方程为x ＝-2.]。

(1)椭圆 ＋ ＝1 的左焦点为 F ，直线 x ＝m 与椭圆相交于点 M ， ，当△NFMN 的年份卷别卷Ⅰ2018卷Ⅱ卷Ⅲ第 2 讲 椭圆、双曲线、抛物线考查内容及考题位置直线与抛物线的位置关系·T 8 双曲线的几 何性质·T 11双曲线的几何性质·T 5 椭圆的几何性 质·T 12双曲线的几何性质·T 11 直线与抛物线的 位置关系·T 16直线与抛物线的位置关系、弦长公式、基命题分析1.圆锥曲线的定义、方程与性质是每年高考必考的内容．以选择、填空题的形式考查，常出现在第 4～11题或 15～16 题的位20172016卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ本不等式的应用·T 10 双曲线的几何性质·T 15 双曲线的几何性质·T 9双曲线的渐近线及标准方程·T 5 双曲线的几何性质与标准方程·T 5 抛物线与圆的综合问题·T 10 双曲线的定义、离心率问题·T 11直线与椭圆的位置关系、椭圆的离心率·T 11置，着重考查圆锥曲线的标准方程与几何性质，难度中等．2．圆锥曲线的综合问题多以解答题的形式考查，常作为压轴题出现在第 20 题的位置，一般难度较大.圆锥曲线的定义与标准方程(综合型)圆锥曲线的定义、标准方程名称定义标准方程椭圆|PF 1|＋|PF 2| ＝2a(2a >|F 1F 2|)x 2 y 2a 2＋b 2＝1(a >b >0)双曲线||PF 1|－|PF 2|| ＝2a(2a <|F 1F 2|)x 2 y 2a 2－b 2＝1(a >0，b >0)抛物线|PF|＝|PM|点 F 不在直线 l上，PM ⊥l 于 My 2＝2p x(p >0)[典型例题]x 2 y 25 4周长最大时，△FMN 的面积是()1A.5555此时|MN|＝2b＝85，又c＝a5a2－b2＝5－4＝1，所以此时×2×又|PF|＋|PF|＝6a，解得|PF|＝4a，|PF|＝2a，又|F F|＝2c，则|PF|＝2a最小，所以△在PF F中，由余弦定理，可得cos30°＝＝＝3，2|PF1||F1F2|③过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于长轴的弦)最短，通径长为.585C.65B.45D.x2y2(2)设F1，F2分别是双曲线C：a2－b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P是C上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6△a，且PF1F2最小内角的大小为30°，则双曲线C的渐近线方程是()A.2x±y＝0C．x±2y＝0B．x±2y＝0D．2x±y＝0【解析】(1)如图，设椭圆的右焦点为F′，连接MF′，NF′.因为|MF|＋|NF|＋|MF′|＋|NF′|≥|MF|＋|NF|＋|MN|，所以当直线x＝m过椭圆的右焦点时，△FMN的周长最大．2△FMN的面积S＝185＝85255.故选C.(2)不妨设P为双曲线C右支上一点，由双曲线的定义，可得|PF1|－|PF2|＝2a.1212122∠PF1F2＝30°.|PF1|2＋|F1F2|2－|PF2|216a2＋4c2－4a2 122×4a×2c2整理得c2＋3a2＝23ac，解得c＝3a，所以b＝c2－a2＝2a.所以双曲线C的渐近线方程为y＝±2x.故选A.【答案】(1)C(2)A(1)椭圆的焦点三角形的几个性质x2y2①已知椭圆方程为a2＋b2＝1(a>b>0)，左、右焦点分别为F1，F2，设焦点三角形PF1F2θ中∠F1PF2＝θ，则△S F1PF2＝b2tan2.x2y2②已知椭圆方程为a2＋b2＝1(a>b>0)，左、右焦点分别为F1，F2，设焦点三角形PF1F2，若∠F1PF2最大，则点P为椭圆短轴的端点．2b2a2①设∠F 1PF 2＝θ，则 △S F 1PF 2＝ θ.特别地，当∠F 1PF 2＝90°时，有 △S F 1PF 2＝b .2 a 2－ A. － ＝1 B. －y 2＝1C. － ＝1D ．x 2－ ＝11＋b ＝ 5，即 b2＝4a 2，解得 a 2＝1，b 2＝4，所以双 曲线 C 的方程为 x 2－y ＝1，故选 D.由已知条件|BE|＝2|BF|得，|BE|＝2|BB|，所以∠BEB ＝30°.又|AA |＝|AF|＝3，(2)双曲线的焦点三角形的几个性质x 2 y 2若双曲线方程为a 2－b 2＝1(a >0，b >0)，F 1，F 2 分别为它的左、右焦点，P 为双曲线上任意一点(除实轴顶点外)，则双曲线的焦点三角形有如下性质：b 2 2tan②双曲线的焦点三角形的内切圆与 F 1F 2 相切于实轴顶点．当点 P 在双曲线左支上时，切点为左顶点，当点 P 在双曲线右支上时，切点为右顶点．[对点训练]x 2 y 21．(2018· 辽宁五校联合体模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线 C ： b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为 5，从双曲线 C 的右焦点 F 引渐近线的垂线，垂足为 A ，若△AFO 的面积为 1，则双曲线 C 的方程为()x 2 y 22 8x 2 y 2 4 16x 2 4y2 4解析：选 D.因为双曲线 C 的右焦点 F 到渐近线的距离|F A|＝b ，|OA|＝a ，所以 ab ＝2，又双曲线 C 的离心率为 5，所以2a 2242．(2018· 福州模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 C ：y 2＝2p x(p >0)的焦点为 F ，准线为 l.过 F 的直线交 C 于 A ，B 两点，交 l 于点 E ，直线 AO 交 l 于点 D .若|BE|＝2|BF|，且|AF|＝3，则|BD|＝()A ．1C ．3 或 9解析：选 D.分别过点 A ，B 作 AA 1，BB 1 垂直于 l ，且垂足分别为 A ，B ， 1 1依题意，易证 BD ∥x 轴，所以 D 与 B 重合．1 111B ．3D ．1 或 933|BD|＋3|BD|－3(1)在椭圆中：a2＝b2＋c2，离心率为e＝＝⎛b⎫2.(2)在双曲线中：c2＝a2＋b2，离心率为e＝＝1＋⎝a⎭.焦点F，与椭圆交于A、B两点，且AF＝2FB，则该椭圆的离心率为()2 B.2A.3的直线经过椭圆如图1，|BD|＝|BE|，|AA1||AE|所以|BD|＝2|BD|，3解得|BD|＝1，如图2，|BD|＝|BE|，|AA1||AE|所以|BD|＝2|BD|，3解得|BD|＝9.综上，|BD|为1或9，故选D.圆锥曲线的几何性质(综合型)椭圆、双曲线中，a，b，c及e之间的关系caca1－⎝a⎭⎛b⎫2x2y2b双曲线a2－b2＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±a x.注意离心率e与渐近线的斜率的关系．[典型例题]πx2y2(1)(2018·石家庄质量检测(二))倾斜角为4a2＋b2＝1(a>b>0)的右→→342 D.3C.2(2)(2018·高考全国卷Ⅰ)已知双曲线C：－y2＝1，O为坐标原点，F为C的右焦点，N2⎧⎪x2＋y2＝1【解析】(1)由题可知，直线的方程为y＝x－c，与椭圆方程联立得⎨，所以⎧⎪y＋y＝－2b cy)，B(x，y)，则⎨a＋b22，又AF＝2FB，所以(c－x，－y)＝2(x－c，y)，所以⎪⎩y y＝－＋bb1221122a22⎧⎪－y＝－2b c⎨a＋b22，所以1＝4c，所以e＝2，故选B.－y＝2y，可得2a＋b⎪⎩－2y＝＋b－b123a直线与直线y＝3x交于点M△，由OMN为直角三角形，不妨设∠OMN＝90°，则∠MFO ⎧⎪y＝－3（x－2），⎧x＝，由⎨得⎨⎩y＝23，⎛3⎫2＋⎛3⎫2＝3，所以|MN|＝3|OM|＝3，故选B.3x23过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，.若△OMN为直角三角形，则|MN|＝()3A.C．23B．3D．4a2b2⎪⎩y＝x－c(b2＋a2)y2＋2b2cy－b4＝0，由于直线过椭圆的右焦点，故必与椭圆有交点，则Δ>0.设A(x1，212→→4122224222222(2)因为双曲线x2－y2＝1的渐近线方程为y＝±3x，所以∠MON＝60°.不妨设过点F的333＝60°，又直线MN过点F(2，0)，所以直线MN的方程为y＝－3(x－2)，323⎪⎩y＝3x，所以M⎛3，3⎫，所以|OM|＝⎝22⎭⎝2⎭⎝2⎭【答案】(1)B(2)B(1)椭圆、双曲线的离心率(或范围)的求法求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关5系或不等关系，然后把b用a，c代换，求的值．②用法：(i)可得或的值．2．(2018·广州综合测试(一))如图，在梯形ABCD中，已知|AB|＝2|CD|，AE＝AC，双解析：选A.取AB的中点O为坐标原点，AB的方向为x轴正方向，建立直角坐标系(图略)，设双曲线的方程为x－y＝1(a>0，b>0)，|AB|＝2|CD|＝2c，E(x，y)，则A(－c，0)，⎛c，y⎫，D⎛－c，y⎫，由4－y2C＝1，得y＝b⎛cb2－3a2，故C⎝2，2a b2－3a2⎫⎭.ca(2)双曲线的渐近线的求法及用法①求法：把双曲线标准方程等号右边的1改为零，分解因式可得．b aa b(ii)利用渐近线方程设所求双曲线的方程．[对点训练]x2y21．(2018·福州四校联考)过双曲线a2－b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别作双曲线的两条渐近线的平行线，若这4条直线所围成的四边形的周长为8b，则该双曲线的渐近线方程为()A．y＝±xC．y＝±3xB．y＝±2xD．y＝±2x解析：选A.由双曲线的对称性得该四边形为菱形，因为该四边形的周长为8b，所以菱形的边长为2b，由勾股定理得4条直线与y轴的交点到x轴的距离为4b2－c2＝3b2－a2，又4条直线分别与两条渐近线平行，所以b＝a3b2－a2a2＋b2，解得a＝b，所以该双曲线的渐近线的斜率为±1，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±x，故选A.→2→5曲线过C，D，E三点，且以A，B为焦点，则双曲线的离心率为()A.7C．3B．22D.10→22a2b2E Ec2B(c，0)，C⎝2C⎭⎝2C⎭a2b2C2ab6因为AE＝(x＋c，y)，2AC＝2⎛，b2－3a2⎫⎭＝⎛⎝，b2－3a2⎫⎭，AE＝AC，⎧x＝－2c，所以⎨⎩yE＝5a b2－3a.（b2－3a2）又E在双曲线上，故－＝1，化简整理得4c2－b2＋3a2＝25a2，即c23234＝2c，因为△PF F为等腰三角形，且∠F F P＝120°，所以|PF|＝2c＋a6→→3c bE E55⎝22a3c b55a→2→5E524c2b22525a2a2b2＝7a2，故c＝7.选A.ax2y23．(2018·高考全国卷Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C：a2＋b2＝1(a>b>0)的左、右焦点，A是C 的左顶点，点P在过A且斜率为C的离心率为()2A.1C.6△3的直线上，PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则1B.1D.解析：选D.由题意可得椭圆的焦点在x轴上，如图所示，设|F1F2|12122|F1F2|＝2c，所以|OF2|＝c，所以点P坐标为(c＋2ccos60°，2csin60°)，即点P(2c，3c)．因为点P在过点A，且斜率为3的直线上，所以3c＝3，解得c＝1，6a4所以e＝1，故选D.4直线与圆锥曲线的位置关系(综合型)求解直线与圆锥曲线位置关系问题的注意事项(1)判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次方程的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0.(2)依据直线与圆锥曲线的交点个数求参数时，联立方程组并消元转化为一元方程，此时注意观察方程的二次项系数是否为0，若为0，则方程为一次方程；若不为0，则将方程解的个数转化为判别式与0的大小关系求解．[典型例题]命题角度一位置关系的判断及应用7两曲线有公共点⎝ ， 【解】 (1)将⎝ ，将⎛2，2 6⎫代入 x ＋y＝1，得＋ 8＝1，解得 b 2＝3(增根舍去)，则 a 24所以椭圆 C 的方程为x ＋y＝1. 为 y ＝kx ＋b ，显然 k ≠0，b ≠0，A(x ，y )，B(x ，y )． 所以 x ＋x＝－，x 1x 2＝ 2，k 2所以 y y ＝(kx ＋b )(kx ＋b )＝k 2x x ＋kb (x ＋x )＋b2＝4b ， 由 OA ⊥OB ，得OA OB ＝0，即 x x ＋y y ＝0，即b ＋4b ＝0，整理得 b ＋4k ＝0.① → → x ＋y 2＝1 ⎧⎪k ＝－1， ⎧⎪k ＝1， 则⎨ 或⎨⎩ ⎩x 2 y 2已知抛物线 C 1：y 2＝2px(p >0)的焦点为椭圆 C 2：a 2＋b 2＝1(a >b >0)的右焦点，且⎛2 26⎫33 ⎭.(1)求抛物线 C 1 与椭圆 C 2 的方程；(2)若椭圆 C 2 的一条切线 l 与抛物线 C 1 交于 A ，B 两点，O 为坐标原点，且 OA ⊥OB ， 求直线 l 的方程．⎛2 2 6⎫代入抛物线方程，得⎛2 6⎫2＝2 3 3 ⎭ ⎝ 3 ⎭ 3×2p ，解得 2p ＝4，则抛物线 C 1的方程为 y 2＝4x ，则焦点为 F(1，0)，即 c ＝1，所以 a 2＝b 2＋1.22⎝33 ⎭ b 2＋1 b 29（b 2＋1） 3b 2＝4，222 4 3(2)当直线 l 的斜率不存在时，不符合题意，所以直线 l 的斜率存在．设直线 AB 的方程1 122⎧⎪y ＝kx ＋b ， 由⎨ 整理得 k 2x 2＋(2kb －4)x ＋b 2＝0，⎪⎩y 2＝4x2kb －4b 21 2 k1 2 1 2 1 2 1 2 k21 2 1 2k 2 k⎧⎪y ＝kx ＋b ，由⎨ 2 整理得(3＋4k 2)x 2＋8kbx ＋4b 2－12＝0，⎪⎩ 4 3Δ＝(8kb )2－4(3＋4k 2)(4b 2－12)＝0，即 b 2＝3＋4k 2.②由①②解得 k ＝±1， 222⎪b ＝2⎪b ＝－2，8x 轴、y 轴上滑动，CP ＝ 2PD.记点 P 的轨迹为曲线 E.(2)经过点(0，1)作直线与曲线 E 相交于 A ，B 两点，OM ＝OA ＋OB ，当点 M 在曲线 E由CP ＝ 2PD ，得(x －m ，y)＝ 2(－x ，n －y)．得⎨⎩ n ＝由|CD |＝ 2＋1，得 m 2＋n 2＝( 2＋1)2，所以( 2＋1)2x 2＋ y 2＝( 2＋1)2，整理，得曲线 E 的方程为 x 2＋y＝1.由OM ＝OA ＋OB ， 知点 M 坐标为(x ＋x ，y ＋y )．所以直线 l 的方程为 x ＋2y －4＝0 或 x －2y －4＝0.直线与圆锥曲线相切，如果直线不与抛物线的对称轴平行、不与双曲线的渐近线平行，那么当直线与圆锥曲线只有一个公共点时，只要把直线方程、圆锥曲线方程联立消元得到关于一个变量的一元二次方程，使其判别式等于零即可．命题角度二 弦长问题(2018· 唐山模拟)在直角坐标系 xOy 中，长为 2＋1 的线段的两端点 C ，D 分别在→ →(1)求曲线 E 的方程；→ → →上时，求四边形 AOBM 的面积．【解】 (1)设 C(m ，0)，D(0，n )，P(x ，y)．→ →⎧⎪x －m ＝－ 2x ， 所以⎨⎪⎩y ＝ 2（n －y ），⎧m ＝（ 2＋1）x ，2＋12y ，→（ 2＋1）2 22 2(2)设 A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，→ → →1 2 1 2由题意知，直线 AB 的斜率存在．设直线 AB 的方程为 y ＝kx ＋1，代入曲线 E 的方程，得(k 2＋2)x 2＋2kx －1＝0，9k2＋2k2＋2y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2＝k2＋2由点M在曲线E上，知(x＋x)2＋＝1，＋＝1，解得k2＝2.这时|AB|＝1＋k2|x－x|＝32，1＋k2所以平行四边形OAMB的面积S＝|AB|·d＝ 6.2C.3E⎝3，3⎫2⎭②过点F1的直线l与椭圆C交于A，B两点(点A位于x轴上方)，若AF1＝λF1B，且2≤λ【解】(1)选C.设直线x－y＋5＝0与椭圆2＋2＝1相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，a 则x＋x＝－2k，x x＝－1.12124.（y＋y）212122即4k28（k2＋2）2（k2＋2）2122原点到直线AB的距离d＝1＝3，32有关圆锥曲线弦长问题的求解方法(1)涉及弦长的问题，应熟练地利用根与系数的关系，设而不求计算弦长；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．(2)弦长计算公式：直线AB与圆锥曲线有两个交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长|AB|＝1＋k2·（x1＋x2）2－4x1x2，其中k为弦AB所在直线的斜率．命题角度三定比、分点问题x2y2(1)(2018·南宁模拟)已知椭圆a2＋b2＝1(a＞b＞0)的一条弦所在的直线方程是x－y ＋5＝0，弦的中点坐标是M(－4，1)，则椭圆的离心率是()1A.2B.D.2255(2)(2018·长春质量检测(一))已知椭圆C的两个焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)，且经过点⎛.①求椭圆C的方程；→→＜3，求直线l的斜率k的取值范围．x2y2bx2－x⎧x＋y＝1，a b（x＋x）（x－x）（y＋y）（y－y）y－y 由⎨22两式相减得，＝0，所以＝＋1－x ⎩ax＋by＝1，2x 2a2a2y＋y＝，于是椭圆的离心率e＝＝1－b＝3，故选C.(2)①由⎨a＝b＋c，⎪⎩⎪⎩所以椭圆C的方程为x＋y＝1.整理得⎛2＋4⎫y2－6y－9＝0，Δ＝144＋144＞0，联立方程，得⎨x2y2⎪⎩4＋3＝1，6k，y设A(x，y)，B(x，y)，则y＋y＝y＝，3＋4k23＋4k2又AF＝λF→B，所以y＝－λy，所以y y＝－λ(y＋y2)2，（1－λ）21则＝，λ＋1－2＝，（1－λ）2因为2≤λ＜3，所以1≤λ＋1－2＜4，23即1≤＜4，且k＞0，解得0＜k≤5.故直线l的斜率k的取值范围是⎛0，5⎤.(2)圆锥曲线以P(x，y)(y≠0)为中点的弦所在直线的斜率分别是：k＝－20(椭圆2＋2因为AB的中点M(－4，1)，所以x＋x＝－8，y＋y＝2.易知直线AB的斜率k＝y2－y1＝1.121212211221212121212a2b222 22－b2x1＋x2，所以b211c4a2a22⎧2a＝|EF1|＋|EF2|＝4，222⎪c＝1，⎧a＝2，解得⎨c＝1，⎪b＝3，2243②由题意得直线l的方程为y＝k(x＋1)(k＞0)，⎧⎪y＝k（x＋1），3⎝k⎭k k2－9k211221212→11121244λ3＋4k2λ3＋4k2λ423＋4k232⎝2⎦(1)对于弦的中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．在使用“根与系数的关系”时，要注意使用条件Δ＞0；在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交．b2x x2y2a ya by －y 1a y 0 a by 0 x －x B. 3C. 33|AF|＝|AA ′|＝3.设 A(x ，y )，B(x 2，y )，则 ＝x 1＝|AA ′|＝3，即|BF| |BB ′| |F ′B ′| x 2 |BB ′| |BF|＝|BB ′|，根据已知，得 得 x ＝3k ，x ＝k ，又 x x ＝4，所以 3k · k ＝4，即 k 2＝4，解得 k ＝2 3(负值舍去)． 在圆的半径 CP 上，且有点 A(1，0)和 AP 上的点 M ，满足MQ ·AP ＝0，AP ＝2AM .H ，O 是坐标原点，且 ≤OF ·OH ≤ 时，求 k 的取值范围．故点 Q 的轨迹方程是x ＋y 2＝1.k 2＋1＝1⇒t 2＝k 2＋1.b 2x x 2 y 2 p＝1)，k ＝ 2 0(双曲线 2－ 2＝1)，k ＝ (抛物线 y 2＝2p x)，其中 k ＝ 2 (x 1≠x 2)，(x 1，y 1)， 21(x 2，y 2)为弦端点的坐标．[对点训练]1．已知 F 是抛物线 x 2＝4y 的焦点，直线 y ＝kx －1 与该抛物线交于第一象限内的点 A ，B ，若|AF|＝3|FB|，则 k 的值是()A. 3322 3 D.解析：选 D.显然 k ＞0.抛物线的准线 l ：y ＝－1，设其与 y 轴交于点 F ′，则直线 y ＝kx －1 过点 F ′.分别过点 A ，B 作 l 的垂线，垂足分别为 A ′，B ′，根据抛物线定义，得|AF|＝|AA ′|，|F ′A ′| 1 1 2x 1＝3x 2①.联立抛物线方程与已知直线方程，消元得 x 2－4kx ＋4＝0，则 x 1＋x 2＝4k ②，由①②1 2 1 2 3 32．(2018· 惠州第二次调研)已知 C 为圆(x ＋1)2＋y 2＝8 的圆心，P 是圆上的动点，点 Q→ → → →(1)当点 P 在圆上运动时，求点 Q 的轨迹方程；(2)若斜率为 k 的直线 l 与圆 x 2＋y 2＝1 相切，与(1)中所求点 Q 的轨迹交于不同的两点 F ，3 → → 44 5解：(1)由题意知 MQ 是线段 AP 的垂直平分线，所以|CP|＝|QC|＋|QP|＝|QC|＋|QA|＝2 2＞|CA|＝2，所以点 Q 的轨迹是以点 C ，A 为焦点，焦距为 2，长轴长为 2 2的椭圆，所以 a ＝ 2，c ＝1，b ＝ a 2－c 2＝1，2 2(2)设直线 l ：y ＝kx ＋t ，F(x 1，y 1)，H(x 2，y 2)，直线 l 与圆 x 2＋y 2＝1 相切⇒|t|x1＋x＝，x x＝，1＋2k21＋2k2所以OF OH＝x x＋y y＝(1＋k2)x x＋kt(x＋x)＋t21＋2k1＋2k132，31＋k24141＋2k253232所以－2≤k≤－3或3≤k≤2.故k的取值范围是⎡－2，－3⎤∪⎡3，2⎤.1．已知方程2－m＋n3m2－n2－⎧⎪x2＋y2＝1，联立⎨2得(1＋2k2)x2＋4ktx＋2t2－2＝0，⎪⎩y＝kx＋tΔ＝16k2t2－4(1＋2k2)(2t2－2)＝8(2k2－t2＋1)＝8k2＞0⇒k≠0，－4kt2t2－2212→→12121212（1＋k2）（2t2－2）－4kt＝＋kt＋t222（1＋k2）2k24k2（k2＋1）＝－＋k2＋11＋2k21＋2k2＝1＋k2，1＋2k2所以≤≤⇒≤k2≤⇒≤|k|≤2332⎣23⎦⎣32⎦一、选择题x2y2＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是()A．(－1，3)C．(0，3)B．(－1，3)D．(0，3)解析：选A.由题意得(m2＋n)(3m2－n)＞0，解得－m2＜n＜3m2，又由该双曲线两焦点间的距离为4，得m2＋n＋3m2－n＝4，即m2＝1，所以－1＜n＜3.x2y22．(2018·潍坊模拟)已知双曲线a b2＝1(a＞0，b＞0)的焦点到渐近线的距离为3，且选0)则 OA △是 F BF 的中位线，故 OA ∥BF ，故 F F ⊥BF ，又∠BF F ＝60°，|F F |＝2c ，所以|BF |＝4c ，|BF |＝2 3c ，所以 2a ＝4c －2 3c ，所以 e ＝c ＝2＋ 3，故选 B.4．(2018· 武汉模拟)抛物线 y 2＝2px(p ＞0)的焦点为 F ，过焦点 F 且倾斜角为 的直线与 解析：选 C.因为抛物线 y 2＝2p x(p ＞0)的焦点为 F ⎛ ，0⎫，所以过点 F 且倾斜角为 的直 线方程为 y ＝ 3(x －p )，联立直线与抛物线的方程，得⎨ ⇒3x 2－5px ＋ p 2＝ ⎪⎩y 2＝2px ⎪ ⎧x ＋x ＝5p ， 0，设 A(x ，y )，B(x ，y )，则⎨1 ， ⎩x x ＝4p5．(2018· 高考全国卷Ⅰ)设抛物线 C ：y 2＝4x 的焦点为 F ，过点(－2，0)且斜率为 的直线与 C 交于 M ，N 两点，则FM ·FN ＝()⎝3 ⎭2－4×4 3离心率为 2，则该双曲线的实轴的长为()A ．1 B. 3C ．2D ．2 3解析： C.由题意知双曲线的焦点(c ， 到渐近线 bx －ay ＝0 的距离为bc a 2＋b 2＝b ＝ 3，即 c 2－a 2＝3，又 e ＝c＝2，所以 a ＝1，该双曲线的实轴的长为 2a ＝2.ax 2 y 23．(2018· 石家庄质量检测(一))双曲线a 2－b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为 F 1，F 2，过 F 1 作倾斜角为 60°的直线与 y 轴和双曲线的右支分别交于 A ，B 两点，若点 A 平分线段 F 1B ，则该双曲线的离心率是( )A. 3C ．2B ．2＋ 3D. 2＋1解析：选 B.由题意可知 A 是 F 1B 的中点，O 是 F 1F 2 的中点(O 为坐标原点)，连接 BF 2，1 2 2 1 2 2 1 21 21 2aπ 3抛物线相交于 A ，B 两点，若|AB|＝8，则抛物线的方程为()A ．y 2＝3xC ．y 2＝6xB ．y 2＝4xD ．y 2＝8xp π⎝2⎭3⎧y ＝ 3（x －p ）， 23 2 4A AB BA B 3 2所以|AB|＝（x －x ）2＋（y －y ）2＝ 1＋k 2A B A B|x A －x B |＝ 1＋3 ⎛5p ⎫ 1p 2＝8p ＝8⇒p ＝3，所以抛物线的方程为 y 2＝6x ，故选 C.2 3→→142 2 ⎧y ＝2（x ＋2），解析：选 D.法一：过点(－2，0)且斜率为 的直线的方程为 y ＝ (x ＋2)，由⎨⎪⎩y 2＝4x ，⎩ ⎩ 知 F(1，0)，所以FM ＝(0，2)，FN ＝(3，4)，所以FM FN ＝8.故选 D.⎧⎪y ＝2（x ＋2），法二：过点(－2，0)且斜率为 的直线的方程为 y ＝ (x ＋2)，由⎨ 得 x 2－ ⎪⎩y 2＝4x ，x 1x 2＝4.易知 F(1，0)，所以FM ＝(x 1－1，y 1)，FN ＝(x 2－1，y 2)，所以FM FN ＝(x 1－1)(x 2－1) ＋y y ＝x x －(x ＋x )＋1＋4 x x ＝4－5＋1＋8＝8.故选 D.FM ，切点为 M ，交 y 轴于点 P ，若PM ＝λMF ，且双曲线的离心率 e ＝ ，则 λ＝()解析：选 B.如图，|OF|＝c ，|OM |＝a ，OM ⊥PF ，所以|MF|＝b ，根据射影定理得|PF|＝ ， → c 2－bc 2－b ，所以λ＝|PM|＝ b c 2－b 2 a 2 ＝ 2. 因为 e 2＝ ＝ b 2 ⎛ 6⎫2＝3，所以b 2 1 ＝1＋ 2＝⎝ 2 ⎭ 2 a 2 2 ＝ .所以 λ＝2.故选 B.A ．5C ．7B ．6D ．83 3 3⎧⎪x ＝1， ⎧⎪x ＝4，得 x 2－5x ＋4＝0，解得 x ＝1 或 x ＝4，所以⎨ 或⎨ 不妨设 M (1，2)，N (4，4)，易⎪y ＝2 ⎪y ＝4，→ → → →2 23 3 35x ＋4＝0，设 M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则 y 1>0，y 2>0，根据根与系数的关系，得 x 1＋x 2＝5，→ → → →1 2 1 2 1 2 1 2x 2 y 26．(2018· 贵阳模拟)过双曲线a 2－b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点 F 作圆 x 2＋y 2＝a 2 的切线→ → 62A ．1C ．3 B ．2D ．4c 2 b所以|PM|＝ b → b b 2b|MF|＝c 2 a 2a 2＋b 2 a 2 a二、填空题垂直于 x 轴的直线交 C 于 P ，Q 两点，若 cos ∠P AQ ＝ ，则椭圆 C 的离心率 e 为________．b 2 ＝ a 2 －c a －c a ⎛c ，b 2⎫，Q ⎛c ，－b 2⎫，所以 tan ∠P AF ＝解析：根据题意可取 P ⎝ a ⎭ ＝ ＝a ＋c a 2＋ac a 2＋acy y ⎩ ⎩ ⎩ ＝ ＝ ，故 5－5(1－e )2＝3＋3(1－e )2⇒8(1－e )2＝2⇒(1－e )2＝1.又椭圆的离心率1＋（1－e ）2 5e 的取值范围为(0，1)，所以 1－e ＝ ，e ＝ .2P 是双曲线上任一点，若双曲线的离心率的取值范围为[2，4]，则PF 1·PF 2的最小值的取值即 m 2＝a 2⎛1＋2⎫.又 F (－1，0)，F (1，0)，则PF＝(－1－m ，－n )， PF 2＝(1－m ，－n )，7．(2018· 合肥第一次质量检测)抛物线 E ：y 2＝4x 的焦点为 F ，准线 l 与 x 轴交于点 A ，过抛物线 E 上一点 P(在第一象限内)作 l 的垂线 PQ ，垂足为 Q .若四边形 AFPQ 的周长为 16，则点 P 的坐标为________．解析：设 P(x ， )，其中 x ＞0， ＞0，由抛物线的定义知|PF|＝|PQ|＝x ＋1.根据题意知|AF|＝2，|QA|＝y ，⎧⎪2（x ＋1）＋2＋y ＝16， ⎧⎪x ＝4， ⎧⎪x ＝9， 则⎨ ⇒⎨ 或⎨ (舍去)．所以点 P 的坐标为(4，4)．⎪y 2＝4x ⎪y ＝4 ⎪y ＝－6答案：(4，4)x 2 y 28．(2018· 贵阳模拟)椭圆 C ：a 2＋b 2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点为 A ，右焦点为 F ，过点 F 且35b 2 2 ⎝ a ⎭ a＝1－e ，cos ∠P AQ ＝cos 2∠P AF ＝cos 2∠P AF －sin 2∠P AF ＝ cos 2∠P AF －sin 2∠P AF 1－tan 2∠P AF＝cos 2∠P AF ＋sin 2∠P AF 1＋tan 2∠P AF1－（1－e ）2 3 41 12 21答案：x 2 y 29．已知双曲线 C ：a 2－b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为 F 1(－1，0)，F 2(1，0)，→ →范围是________．m 2 n 2解析：设 P(m ，n )，则 a 2 －b 2＝1，n 2 ⎝ b ⎭1 2→ 1→PF 1PF 2＝n 2＋m 2－1 ＝n 2＋a 2⎛1＋2⎫－1＝n 2⎛1＋2⎫＋a 2－1≥a 2－1，所以PF PF 的最小值为 a 2－1.由 2≤1≤4，得1≤a ≤1，故－15≤a 2－1≤－3，即PF PF 的最小值的取值范围是⎡－ ，－ ⎤.答案：⎣－16，－4⎦ 所以椭圆 C 的标准方程为x ＋y 2＝1.x 1 ＋x ＝－ 8km ，x x ＝ 2＋1 2＋1 4k 4k2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为 2 ＝ 4 x 1x 24→ →n 2 ⎝ b ⎭a 2 ⎝b ⎭当且仅当 n ＝0 时取等号，→ → 12a 4 2 16 4→ → 15 3 1 2 ⎣ 16 4⎦⎡ 15 3⎤三、解答题x 2 y 2 310．(2018· 南昌调研)已知椭圆 C ：a 2＋b ，短轴长为 2. (1)求椭圆 C 的标准方程；5(2)设直线 l ：y ＝kx ＋m 与椭圆 C 交于 M ，N 两点，O 为坐标原点，若 k OM ·k ON ＝4，求原点 O 到直线 l 的距离的取值范围．解：(1)由题知 e ＝c 3，2b ＝2，又 a 2＝b 2＋c 2，所以 b ＝1，a ＝2，a 22 4⎧⎪y ＝kx ＋m ，(2)设 M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，联立⎨x 2得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0，⎪⎩ 4 ＋y 2＝1，依题意，Δ＝(8km )2－4(4k 2＋1)(4m 2－4)＞0，化简得 m 2＜4k 2＋1，①4m 2－4 ，2 1 2y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2，若 kOM k ＝5，则y 1y 2＝5，即 4y y ＝5x x ，ON 1 2 1 2所以 4k 2x x ＋4km (x ＋x )＋4m 2＝5x x ，所以(4k 2－5)· ＋4km ·(－ 8km )＋4k 2＋1 4k 2＋1即(4k 2－5)(m 2－1)－8k 2m 2＋m 2(4k 2＋1)＝0，化简得 m 2＋k 2＝5，②由①②得 0≤m 2＜6， 1 ＜k 2≤5， 所以 d 2＝ m ＝ ＝－1＋ ，又 1 ＜k 2≤5，所以0≤d 2＜8，所以原点 O到直线 l 的距离的取值范围是⎡0，2 14⎫.M 为短轴的上端点，MF 1·MF 2＝0，过 F 2 垂直于 x 轴的直线交椭圆 C 于 A ，B 两点，且|AB|解：(1)由MF 1 MF 2＝0，得 b ＝c.所以b ＝ 2，⎨b ＝ 2⎪⎩b故椭圆 C 的方程为x ＋y 2＝1.4（m 2－1） 1 2 1 2 1 24m 2＝0，45 20 4因为原点 O 到直线 l 的距离 d ＝|m |，1＋k 25－k 22 4 9 1＋k 2 1＋k 2 4（1＋k 2）20 47⎣ 7 ⎭x 2 y 211．(2018· 贵阳模拟)已知椭圆 C ：a 2＋b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为 F 1，F 2，点→ →＝ 2.(1)求椭圆 C 的方程；(2)设经过点(2，－1)且不经过点 M 的直线 l 与 C 相交于 G ，H 两点．若 k 1，k 2 分别为直 线 MH ，MG 的斜率，求 k 1＋k 2 的值．→ →因为过 F 垂直于 x 轴的直线交椭圆 C 于 A ，B 两点，且|AB|＝ 2， 22 a 2⎧⎪b ＝c2⎪⎩a 2＝b 2＋c 2⎧⎪a 2＝2⎨ . 2＝122(2)设直线 l 的方程为 y ＋1＝k(x －2)，即 y ＝kx －2k －1，将 y ＝kx －2k －1 代入x ＋y 2＝1 得(1＋2k 2)x 2－4k(2k ＋1)x ＋8k 2＋8k ＝0，由题设可知 Δ＝－16k(k ＋2)＞0，设 G(x ，y )，H(x ，y )，则 x ＋x ＝ ，x x ＝ ，1＋2k 2 1＋2k 2 y 1－1 y －1 kx －2k －2 kx －2k －2 x 1 x 2 x 1 x 2＝2k －k 1＋k 2＝ ＋ 2 12．(2018· 石家庄质量检测(二))已知圆 C ：(x －a)2＋(y －b )2＝ 的圆心 C 在抛物线 x 2＝ 解：(1)由已知可得圆心 C(a ，b )，半径 r ＝ ， 焦点 F ⎛0， ⎫，准线 y ＝－p .设 A(x ，y )，B(x ，y )，得 x 2－4kx －4＝0，Δ＞0，x ＋x ＝4k ，x x ＝－4， 对 y ＝x 求导得 y ′ x ，即 k ＝x 1， ＝AP2 21 12 24k （2k ＋1） 8k 2＋8k1 2 1 24k （2k ＋1）（2k ＋2）×1＋2k 2 ＝ 1 ＋ 2 ＝2k － 8k 2＋8k1＋2k 2(2k ＋1)＝－1，所以 k ＋k ＝－1.1 2942py (p ＞0)上，圆 C 过原点且与抛物线的准线相切．(1)求该抛物线的方程；(2)过抛物线焦点 F 的直线 l 交抛物线于 A ，B 两点，分别在点 A ，B 处作抛物线的两条切线交于 P 点，求三角形 P AB 面积的最小值及此时直线 l 的方程．3 2p⎝ 2⎭ 2因为圆 C 与抛物线的准线相切，所以 b ＝3－p，且圆 C 过焦点 F ，2 2又因为圆 C 过原点，所以圆心 C 必在线段 OF 的垂直平分线上，即 b ＝p ，4所以 b ＝3－p ＝p，即 p ＝2，故抛物线的方程为 x 2＝4y .2 2 4(2)易得焦点 F(0，1)，直线 l 的斜率必存在，设为 k ，即直线方程为 y ＝kx ＋1.1 12 2⎧⎪y ＝kx ＋1 由⎨⎪⎩x 2＝4y1 2 1 22 4 2 219直线 AP 的方程为 y －y ＝x 1(x －x )，即 y ＝x 1x －1x 2，同理直线 BP 的方程为 y ＝x 2x －1x 2.设 P(x ，y )．⎧ ＝x 1＋x 2＝2k⎨x联立直线 AP 与 BP 的方程，得，⎪⎩y ＝x 1x 2＝－1|AB|＝ 1＋k 2|x 1－x 2|＝4(1＋k 2)，点 P 到直线 AB 的距离 d ＝|2k 2＋2| 1 所以三角形 P AB 的面积 S ＝1×4(1＋k 2)×21＋k 2＝4(1＋k 2)2≥4，当且仅当 k ＝0 时取1 2 2 4 12 4 2 0 00 2 0 4即 P(2k ，－1)，＝2 1＋k 2， 1＋k 223等号．综上，三角形 P AB 面积的最小值为 4，此时直线 l 的方程为 y ＝1.20。

椭圆、双曲线、抛物线圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质名称 椭圆双曲线抛物线定义 PF 1＋PF 2＝2a (2a > F 1F 2)|PF 1－PF 2|＝2a (2a < F 1F 2)PF ＝PM 点F 不在直线l 上，PM ⊥l 于M标准方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0) x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0) y 2＝2px (p >0)图形几何性质范围 |x |≤a ，|y |≤b |x |≥a x ≥0 顶点 (±a,0)，(0，±b )(±a,0)(0,0) 对称性 关于x 轴，y 轴和原点对称关于x 轴对称焦点(±c,0)(p2，0) 轴长轴长2a ，短轴长2b 实轴长2a ，虚轴长2b离心率 e ＝ca＝ 1－b 2a 2(0<e <1)e ＝c a＝ 1＋b 2a 2(e >1) e ＝1 准线 x ＝±a 2cx ＝±a 2cx ＝－p 2渐近线y ＝±b ax考点一 圆锥曲线的定义与标准方程例1 (1)设椭圆x 22＋y 2m ＝1和双曲线y 23－x 2＝1的公共焦点分别为F 1、F 2，P 为这两条曲线的一个交点，则PF 1·PF 2的值等于________．(2)已知直线y ＝k (x ＋2)(k ＞0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A 、B 两点，F 为C 的焦点．若F A ＝2FB ，则k ＝________. 答案 (1)3 (2)223【详细分析】(1)焦点坐标为(0，±2)，由此得m －2＝4，故m ＝6.根据椭圆与双曲线的定义可得PF 1＋PF 2＝26，PF 1－PF 2＝23，两式平方相减得4PF 1PF 2＝4×3，所以PF 1·PF 2＝3.(2)方法一 抛物线C ：y 2＝8x 的准线为l ：x ＝－2，直线y ＝k (x ＋2)(k ＞0)恒过定点P (－2,0)． 如图，过A 、B 分别作AM ⊥l 于点M ， BN ⊥l 于点N .由F A ＝2FB ，则AM ＝2BN ，点B 为AP 的中点． 连结OB ，则OB ＝12AF ，∴OB ＝BF ，点B 的横坐标为1，故点B 的坐标为(1,22)．∴k ＝22－01－(－2)＝223.方法二如图，由图可知，BB ′＝BF ，AA ′＝AF ，又AF ＝2BF ，∴BC AC ＝BB ′AA ′＝12，即B 是AC 的中点．∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2x B ＝x A －2，2y B ＝y A 与⎩⎪⎨⎪⎧y 2A ＝8x A ，y 2B ＝8x B ，联立可得A (4,42)，B (1,22)．∴k AB ＝42－224－1＝223.(1)对于圆锥曲线的定义不仅要熟记，还要深入理解细节部分：比如椭圆的定义中要求PF 1＋PF 2＞F 1F 2，双曲线的定义中要求PF 1－PF 2＜F 1F 2，抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等的转化． (2)注意数形结合，提倡画出合理草图．(1)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32.双曲线x 2－y 2＝1的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为________．(2)如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ， 交其准线l 于点C ，若BC ＝2BF ，且AF ＝3，则此抛物线的方程为 ________．答案 (1)x 220＋y 25＝1 (2)y 2＝3x【详细分析】(1)∵椭圆的离心率为32，∴ca ＝a 2－b 2a ＝32， ∴a ＝2b .∴椭圆方程为x 2＋4y 2＝4b 2.∵双曲线x 2－y 2＝1的渐近线方程为x ±y ＝0，∴渐近线x ±y ＝0与椭圆x 2＋4y 2＝4b 2在第一象限的交点为⎝⎛⎭⎫255b ，255b ，∴由圆锥曲线的对称性得四边形在第一象限部分的面积为255b ×255b ＝4，∴b 2＝5，∴a 2＝4b 2＝20.∴椭圆C 的方程为x 220＋y 25＝1.(2)如图，分别过A ，B 作AA 1⊥l 于A 1，BB 1⊥l 于B 1，由抛物线的定 义知，AF ＝AA 1，BF ＝BB 1，∵BC ＝2BF ，∴BC ＝2BB 1，∴∠BCB 1＝30°，∴∠AFx ＝60°.连结A 1F ，则△AA 1F 为等边三角形， 过F 作FF 1⊥AA 1于F 1，则F 1为AA 1的中点，设l 交x 轴于N ，则NF ＝A 1F 1＝12AA 1＝12AF ，即p ＝32，∴抛物线方程为y 2＝3x .考点二 圆锥曲线的几何性质例2 (1)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连结AF ，BF .若AB ＝10，BF ＝8，cos ∠ABF ＝45，则C 的离心率为________．(2)(2013·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，右焦点为F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B ，设原点到直线BF 的距离为d 1，F 到l 的距离为d 2.若d 2＝6d 1，则椭圆C 的离心率为________．答案 (1)57 (2)33【详细分析】(1)在△ABF 中，由余弦定理得 AF 2＝AB 2＋BF 2－2AB ·BF cos ∠ABF ， ∴AF 2＝100＋64－128＝36，∴AF ＝6， 从而AB 2＝AF 2＋BF 2，则AF ⊥BF . ∴c ＝OF ＝12AB ＝5，利用椭圆的对称性，设F ′为右焦点，则BF ′＝AF ＝6，∴2a ＝BF ＋BF ′＝14，a ＝7. 因此椭圆的离心率e ＝c a ＝57.(2)如图，F (c,0)，B (0，b )，则直线BF 的方程为x c ＋yb ＝1，即bx ＋cy－bc ＝0，d 1＝bcb 2＋c 2＝bc a d 2＝a 2c －c ＝b 2c ， 由已知条件d 2＝6d 1 即b 2c ＝6bca ，整理得：6b 2＋ab －6a 2＝0解得b a ＝26，∴e ＝c 2a 2＝ 1－b 2a 2＝33. 解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式．建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等．(1)已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ，且B F →＝2 F D →，则C 的离心率为________．(2)过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 作圆x 2＋y 2＝a 24的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，若E 为PF 的中点，则双曲线的离心率为________． 答案 (1)33 (2)102【详细分析】(1)设椭圆C 的焦点在x 轴上，如图，B (0，b )，F (c,0)，D (x D ，y D )， 则B F →＝(c ，－b )，F D →＝(x D －c ，y D )，∵B F →＝2F D →，∴⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2(x D －c )，－b ＝2y D ，∴⎩⎨⎧x D ＝3c2，y D＝－b2.又∵点D 在椭圆C 上，∴⎝⎛⎭⎫3c 22a 2＋⎝⎛⎭⎫－b 22b 2＝1，即e 2＝13.∴e ＝33.(2)设c ＝a 2＋b 2，双曲线的右焦点为F ′.则PF －PF ′＝2a ，FF ′＝2c .∵E 为PF 的中点，O 为FF ′的中点，∴OE ∥PF ′，且PF ′＝2OE . ∵OE ⊥PF ，OE ＝a2，∴PF ⊥PF ′，PF ′＝a ，∴PF ＝PF ′＋2a ＝3a . ∵PF 2＋PF ′2＝FF ′2，即9a 2＋a 2＝4c 2，∴c a ＝102.∴双曲线的离心率为102.考点三 圆锥曲线的综合问题例3 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝22，点F 为椭圆的右焦点，点A 、B 分别为椭圆的左、右顶点，点M 为椭 圆的上顶点，且满足MF →·FB →＝2－1. (1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在直线l ，当直线l 交椭圆于P 、Q 两点时，使点F 恰为△PQM 的垂心？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．解 (1)根据题意得，F (c,0)(c >0)，A (－a,0)，B (a,0)，M (0，b )， ∴MF →＝(c ，－b )，FB →＝(a －c,0)，∴MF →·FB →＝ac －c 2＝2－1.又e ＝c a ＝22，∴a ＝2c ，∴2c 2－c 2＝2－1，∴c 2＝1，a 2＝2，b 2＝1，∴椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)假设存在满足条件的直线l .∵k MF ＝－1，且MF ⊥l ，∴k l ＝1.设直线l 的方程为y ＝x ＋m ，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 22＋y 2＝1消去y 得3x 2＋4mx ＋2m 2－2＝0，则有Δ＝16m 2－12(2m 2－2)>0，即m 2<3， 又x 1＋x 2＝－4m3，x 1x 2＝2m 2－23，∴y 1y 2＝(x 1＋m )(x 2＋m )＝x 1x 2＋m (x 1＋x 2)＋m 2＝2m 2－23－4m 23＋m 2＝m 2－23.又F 为△MPQ 的垂心，连结PF ，则PF ⊥MQ ，∴PF →·MQ →＝0， 又PF →＝(1－x 1，－y 1)，MQ →＝(x 2，y 2－1)，∴PF →·MQ →＝x 2＋y 1－x 1x 2－y 1y 2＝x 2＋x 1＋m －x 1x 2－y 1y 2 ＝－43m ＋m －2m 2－23－m 2－23＝－m 2－m 3＋43＝－13(3m 2＋m －4)＝－13(3m ＋4)(m －1)＝0，∴m ＝－43或m ＝1(舍去)，经检验m ＝－43符合条件，∴存在满足条件的直线l ，其方程为3x －3y －4＝0.(1)对于弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在使用根与系数的关系时，要注意使用条件Δ≥0，在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交．(2)涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．已知A ，B ，C 是椭圆W ：x 24＋y 2＝1上的三个点，O 是坐标原点．(1)当点B 是W 的右顶点，且四边形OABC 为菱形时，求此菱形的面积； (2)当点B 不是W 的顶点时，判断四边形OABC 是否可能为菱形，并说明理由． 解 (1)由椭圆W ：x 24＋y 2＝1，知B (2,0)∴线段OB 的垂直平分线x ＝1.在菱形OABC 中，AC ⊥OB ，将x ＝1代入x 24＋y 2＝1，得y ＝±32.∴AC ＝|y 2－y 1|＝ 3.因此菱形的面积S ＝12OB ·AC ＝12×2×3＝ 3.(2)假设四边形OABC 为菱形．因点B 不是W 的顶点，且直线AC 不过原点，所以可设AC 的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝kx ＋m 消y 并整理得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0. 设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则x 1＋x 22＝－4km 1＋4k 2，y 1＋y 22＝k ·x 1＋x 22＋m ＝m1＋4k 2. ∴线段AC 中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4km 1＋4k 2，m 1＋4k 2，∵M 为AC 和OB 交点，∴k OB ＝－14k .又k ·⎝⎛⎭⎫－14k ＝－14≠－1，∴AC 与OB 不垂直． 故OABC 不是菱形，这与假设矛盾．综上，四边形OABC 不是菱形．1． 对涉及圆锥曲线上点到焦点距离或焦点弦问题，恰当选用定义解题，会效果明显，定义中的定值是标准方程的基础．2． 椭圆、双曲线的方程形式上可统一为Ax 2＋By 2＝1，其中A 、B 是不等的常数，A >B >0时，表示焦点在y轴上的椭圆；B >A >0时，表示焦点在x 轴上的椭圆；AB <0时表示双曲线．3． 求双曲线、椭圆的离心率的方法：方法一：直接求出a ，c ，计算e ＝ca；方法二：根据已知条件确定a ，b ，c 的等量关系，然后把b 用a ，c 代换，求ca.4． 通径：过双曲线、椭圆、抛物线的焦点垂直于对称轴的弦称为通径，双曲线、椭圆的通径长为2b 2a ，过椭圆焦点的弦中通径最短；抛物线通径长是2p ，过抛物线焦点的弦中通径最短． 椭圆上点到焦点的最长距离为a ＋c ，最短距离为a －c . 5． 抛物线焦点弦性质：已知AB 是抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点弦，F 为抛物线的焦点，A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)．(1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24；(2)AB ＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α(α为弦AB 的倾斜角)；(3)S △AOB ＝p 22sin α；(4)1F A ＋1FB 为定值2p； (5)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切.1． 已知点F 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是________． 答案 (1,2)【详细分析】由AB ⊥x 轴，可知△ABE 为等腰三角形，又△ABE 是锐角三角形，所以∠AEB 为锐角，即∠AEF <45°，于是AF <EF ，b 2a<a ＋c ，于是c 2－a 2<a 2＋ac ，即e 2－e －2<0，解得－1<e <2.又双曲线的离心率e >1，从而1<e <2.2． 设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为e ＝12，右焦点为F (c,0)，方程ax 2＋bx －c ＝0的两个实根分别为x 1和x 2，则点P (x 1，x 2)必在圆x 2＋y 2＝2________.(填“内”“外”“上”) 答案 内【详细分析】∵x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝－c a .∴x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝b 2a 2＋2c a ＝b 2＋2ac a 2. ∵e ＝c a ＝12，∴c ＝12a ，∴b 2＝a 2－c 2＝a 2－⎝⎛⎭⎫12a 2＝34a 2. ∴x 21＋x 22＝34a 2＋2a ×12a a 2＝74<2.∴P (x 1，x 2)在圆x 2＋y 2＝2内． 3． 过抛物线y 2＝2px (p >0)的对称轴上一点A (a,0)(a >0)的直线与抛物线相交于M 、N 两点，自M 、N 向直线l ：x ＝－a 作垂线，垂足分别为M 1、N 1. (1)当a ＝p2时，求证：AM 1⊥AN 1；(2)记△AMM 1、△AM 1N 1、△ANN 1的面积分别为S 1、S 2、S 3.是否存在λ，使得对任意的a >0，都有S 22＝λS 1S 3成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．(1)证明 当a ＝p 2时，A (p2，0)为该抛物线的焦点，而l ：x ＝－a 为准线，由抛物线的定义知MA ＝MM 1，NA ＝NN 1， 则∠NN 1A ＝∠NAN 1，∠MM 1A ＝∠MAM 1. 又∠NN 1A ＝∠BAN 1，∠MM 1A ＝∠BAM 1， 则∠BAN 1＋∠BAM 1＝∠NAN 1＋∠MAM 1， 而∠BAN 1＋∠BAM 1＋∠NAN 1＋∠MAM 1＝180°， 则∠N 1AM 1＝∠BAN 1＋∠BAM 1＝90°， 所以AM 1⊥AN 1.(2)解 可设直线MN 的方程为x ＝my ＋a ，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋a ，y 2＝2px 得y 2－2pmy －2pa ＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝－2pa . S 1＝12(x 1＋a )|y 1|，S 2＝12(2a )|y 1－y 2|，S 3＝12(x 2＋a )|y 2|，由已知S 22＝λS 1S 3恒成立，则4a 2(y 1－y 2)2＝λ(x 1＋a )(x 2＋a )|y 1y 2|.(y 1－y 2)2＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝4p 2m 2＋8pa ，(x 1＋a )(x 2＋a )＝(my 1＋2a )(my 2＋2a )＝m 2y 1y 2＋2ma (y 1＋y 2)＋4a 2 ＝m 2(－2pa )＋2ma ×2pm ＋4a 2＝4a 2＋2pam 2.则得4a 2(4p 2m 2＋8pa )＝2pa λ(4a 2＋2pam 2)，解得λ＝4， 即当λ＝4时，对任意的a >0，都有S 22＝λS 1S 3成立．(推荐时间：70分钟)一、填空题1． 设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5，若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则C 的方程为________________． 答案 y 2＝4x 或y 2＝16x【详细分析】由题意知：F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，抛物线的准线方程为x ＝－p 2，则由抛物线的定义知，x M ＝5－p2，设以MF 为直径的圆的圆心为⎝⎛⎭⎫52，y M 2，所以圆的方程为⎝⎛⎭⎫x －522＋⎝⎛⎭⎫y －y M 22＝254，又因为圆过点(0,2)，所以y M ＝4，又因为点M 在C 上，所以16＝2p ⎝⎛⎭⎫5－p2，解得p ＝2或p ＝8，所以抛物线C 的方程为y 2＝4x 或y 2＝16x .2． 与椭圆x 212＋y 216＝1共焦点，离心率互为倒数的双曲线方程是____________．答案y 2－x 23＝1 【详细分析】椭圆x 212＋y 216＝1的离心率为16－1216＝12，且焦点为(0，±2)，所以所求双曲线的焦点为(0，±2)且离心率为2，所以c ＝2，2a ＝2得a ＝1，b 2＝c 2－a 2＝3，故所求双曲线方程是y 2－x 23＝1.3． 已知点A (2,0)，抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，射线F A 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，则FM ∶MN ＝________. 答案 1∶ 5【详细分析】由抛物线定义知M 到F 的距离等于M 到准线l 的距离MH . 即FM ∶MN ＝MH ∶MN ＝FO ∶AF ＝1∶ 5.4． 过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点F ，作圆x 2＋y 2＝a 2的切线FM 交y 轴于点P ，切圆于点M,2OM →＝OF →＋OP →，则双曲线的离心率是________． 答案2【详细分析】由已知条件知，点M 为直三角形OFP 斜边PF 的中点，故OF ＝2OM ，即c ＝2a ，所以双曲线的离心率为 2.5． 抛物线C 1：y ＝12p x 2(p >0)的焦点与双曲线C 2：x 23－y 2＝1的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M .若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p 等于________． 答案433【详细分析】抛物线C 1的标准方程为x 2＝2py ，其焦点F 为⎝⎛⎭⎫0，p2，双曲线C 2的右焦点F ′为(2,0)，渐近线方程为y ＝±33x .由y ′＝1p x ＝33得x ＝33p ，故M ⎝⎛⎭⎫33p ，p6.由F 、F ′、M 三点共线得p ＝433.6． 在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2m －y 2m 2＋4＝1的离心率为5，则m 的值为________．答案 2【详细分析】建立关于m 的方程求解．∵c 2＝m ＋m 2＋4，∴e 2＝c 2a 2＝m ＋m 2＋4m＝5，∴m 2－4m ＋4＝0，∴m ＝2.7． 椭圆M ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为椭圆M 上任一点，且PF →1·PF →2的最大值的取值范围是[c 2,3c 2]，其中c ＝a 2－b 2，则椭圆M 的离心率e 的取值范围是________． 答案 [12，22]【详细分析】设P (x ，y )，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，则PF →1＝(－c －x ，－y )，PF →2＝(c －x ，－y )，PF →1·PF →2＝x 2＋y 2－c 2. 又x 2＋y 2可看作P (x ，y )到原点的距离的平方，所以(x 2＋y 2)max ＝a 2，所以(PF 1→·PF 2→)max ＝b 2，所以c 2≤b 2＝a 2－c 2≤3c 2，即14≤e 2≤12，所以12≤e ≤22.8． 椭圆Г：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c .若直线y ＝3(x ＋c )与椭圆Г的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________． 答案3－1 【详细分析】由直线方程为y ＝3(x ＋c )，知∠MF 1F 2＝60°， 又∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，所以∠MF 2F 1＝30°， MF 1⊥MF 2，所以MF 1＝c ，MF 2＝3c ， 所以MF 1＋MF 2＝c ＋3c ＝2a .即e ＝ca＝3－1.9． 已知F 为双曲线C ：x 29－y 216＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A (5,0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________． 答案 44【详细分析】由双曲线C 的方程，知a ＝3，b ＝4，c ＝5， ∴点A (5,0)是双曲线C 的右焦点，且PQ ＝QA ＋P A ＝4b ＝16，由双曲线定义，PF －P A ＝6，QF －QA ＝6.∴PF ＋QF ＝12＋P A ＋QA ＝28，因此△PQF 的周长为PF ＋QF ＋PQ ＝28＋16＝44.10．已知P 为椭圆x 225＋y 216＝1上的一点，M ，N 分别为圆(x ＋3)2＋y 2＝1和圆(x －3)2＋y 2＝4上的点，则PM ＋PN 的最小值为________． 答案 7【详细分析】由题意知椭圆的两个焦点F 1，F 2分别是两圆的圆心，且PF 1＋PF 2＝10，从而PM ＋PN 的最小值为PF 1＋PF 2－1－2＝7. 二、解答题11．平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)右焦点的直线x ＋y －3＝0交M 于A ，B 两点，P为AB 的中点，且OP 的斜率为12.(1)求M 的方程；(2)C ，D 为M 上的两点，若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ，求四边形ACBD 面积的最大值． 解 (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21a 2＋y 21b 2＝1①x 22a 2＋y 22b2＝1②①－②，得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)a 2＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)b 2＝0.因为y 1－y 2x 1－x 2＝－1，设P (x 0，y 0)，因为P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12，所以y 0＝12x 0，即y 1＋y 2＝12(x 1＋x 2)．所以可以解得a 2＝2b 2，即a 2＝2(a 2－c 2)，即a 2＝2c 2， 又因为c ＝3，所以a 2＝6，所以M 的方程为x 26＋y 23＝1.(2)因为CD ⊥AB ，直线AB 方程为x ＋y －3＝0，所以设直线CD 方程为y ＝x ＋m ，将x ＋y －3＝0代入x 26＋y 23＝1得：3x 2－43x ＝0，即A (0，3)，B ⎝⎛⎭⎫433，－33，所以可得AB ＝463； 将y ＝x ＋m 代入x 26＋y 23＝1得：3x 2＋4mx ＋2m 2－6＝0，设C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，则CD ＝2(x 3＋x 4)2－4x 3x 4＝22318－2m 2，又因为Δ＝16m 2－12(2m 2－6)>0，即－3<m <3，所以当m ＝0时，CD 取得最大值4，所以四边形ACBD 面积的最大值为12AB ·CD ＝863.12．如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点P ⎝⎛⎭⎫1，32，离心率e ＝12，直线l 的方程为x ＝4.(1)求椭圆C 的方程；(2)AB 是经过右焦点F 的任一弦(不经过点P )，设直线AB 与直线l 相交于点M ，记P A 、PB 、PM 的斜率分别为k 1、k 2、k 3.问：是否存在常数λ，使得k 1＋k 2＝λk 3？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由． 解 (1)由P ⎝⎛⎭⎫1，32在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上，得1a 2＋94b2＝1，① 又e ＝c a ＝12，得a 2＝4c 2，b 2＝3c 2，②②代入①得，c 2＝1，a 2＝4，b 2＝3. 故椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)x 24＋y 23＝1得，(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0， x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3.k 1＋k 2＝y 1－32x 1－1＋y 2－32x 2－1＝k (x 1－1)－32x 1－1＋k (x 2－1)－32x 2－1＝2k －32⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1－1＋1x 2－1＝2k －32·x 1＋x 2－2x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＝2k －32·8k 24k 2＋3－24k 2－124k 2＋3－8k24k 2＋3＋1＝2k －1.又将x ＝4代入y ＝k (x －1)得M (4,3k )， ∴k 3＝3k －323＝k －12，∴k 1＋k 2＝2k 3.故存在常数λ＝2符合题意．13．已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为12，其一个顶点的抛物线x 2＝－43y 的焦点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若过点P (2,1)的直线l 与椭圆C 在第一象限相切于点M ，求直线l 的方程和点M 的坐标；(3)是否存在过点P (2,1)的直线l 1与椭圆C 相交于不同的两点A ，B ，且满足P A →·PB →＝PM →2？若存在，求出直线l 1的方程；若不存在，请说明理由．解 (1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)，由题意得b ＝3，c a ＝12，解得a ＝2，c ＝1.故椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)因为过点P (2,1)的直线l 与椭圆C 在第一象限相切，所以直线l 的斜率存在，故可设直线l 的方程为y ＝k (x －2)＋1 (k ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1y ＝k (x －2)＋1得(3＋4k 2)x 2－8k (2k －1)x ＋16k 2－16k －8＝0. ①因为直线l 与椭圆C 相切，所以Δ＝[－8k (2k －1)]2－4(3＋4k 2)(16k 2－16k －8)＝0. 整理，得32(6k ＋3)＝0，解得k ＝－12.所以直线l 的方程为y ＝－12(x －2)＋1＝－12x ＋2.将k ＝－12代入①式，可以解得M 点的横坐标为1，故切点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫1，32. (3)若存在直线l 1满足条件，则直线l 1的斜率存在，设其方程为y ＝k 1(x －2)＋1，代入椭圆C 的方程得(3＋4k 21)x 2－8k 1(2k 1－1)x ＋16k 21－16k 1－8＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为直线l 1与椭圆C 相交于不同的两点A ，B ， 所以Δ＝[－8k 1(2k 1－1)]2－4(3＋4k 21)(16k 21－16k 1－8)＝32(6k 1＋3)>0.所以k 1>－12. x 1＋x 2＝8k 1(2k 1－1)3＋4k 21，x 1x 2＝16k 21－16k 1－83＋4k 21. 因为P A →·PB →＝PM →2，即(x 1－2)(x 2－2)＋(y 1－1)(y 2－1)＝54，所以(x 1－2)(x 2－2)(1＋k 21)＝54，即[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4](1＋k 21)＝54. 所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤16k 21－16k 1－83＋4k 21－2·8k 1(2k 1－1)3＋4k 21＋4(1＋k 21)＝4＋4k 213＋4k 21＝54， 解得k 1＝±12.因为A ，B 为不同的两点，所以k 1＝12.于是存在直线l 1满足条件，其方程为y ＝12x .。

黄金冲刺大题06 圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）（精选30题）1．（2024·山东·二模）已知椭圆的焦点分别是)()12,F F ，点M 在椭圆上，且124MF MF +=．(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线y kx =,A B 两点，且OA OB ⊥，求实数k 的值．2．（2024·江苏南通·模拟预测）在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>1F ，2F 分别是椭圆的左、右焦点，过2F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与C 交于A ，B 两点，直线2l与C 交于D ，E 两点，且12AF F 的周长是4+(1)求椭圆C 的方程；(2)当32AB DE =时，求ODE 的面积.3．（2024·河北邯郸·二模）已知椭圆C 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过()2,0,1,M N ⎛ ⎝两点．(1)求C 的方程．(2),A B 是C 上两个动点，D 为C 的上顶点，是否存在以D 为顶点，AB 为底边的等腰直角三角形？若存在，求出满足条件的三角形的个数；若不存在，请说明理由．4．（2024·广东广州·模拟预测）已知椭圆222:1(08x y C b b+=<<，右顶点为E ，上､下顶点分别为12,,B B G是1EB 的中点，且121EB GB ⋅=.(1)求椭圆C 的方程；(2)设过点()4,0D -的直线l 交椭圆C 于点,M N ，点()2,1A --，直线,MA NA 分别交直线4x =-于点,P Q ，求证：线段PQ 的中点为定点.5．（2024·辽宁·二模）平面直角坐标系xOy 中，面积为9的正方形ABCD 的顶点,A B 分别在x 轴和y 轴上滑动，且23OP OA = ，记动点P 的轨迹为曲线Γ．(1)求Γ的方程；(2)过点()4,1E 的动直线l 与曲线Γ交于不同的两点,M N 时，在线段MN 上取点Q ，满足||||||||EM QN QM EN ⋅=⋅．试探究点Q 是否在某条定直线上？若是，求出定直线方程；若不是，说明理由．6．（2024·福建厦门·三模）在直角坐标系xOy 中，已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,M N 两点，且当l 的斜率为1时，8MN =．(1)求C 的方程；(2)设l 与C 的准线交于点P ，直线PO 与C 交于点Q （异于原点），线段MN 的中点为R ，若3QR ≤，求MNQ △面积的取值范围．7．（2024·浙江丽水·二模）已知抛物线2:4E y x =，点,,A B C 在抛物线E 上，且A 在x 轴上方，B 和C 在x 轴下方（B 在C 左侧），,A C 关于x 轴对称，直线AB 交x 轴于点M ，延长线段CB 交x 轴于点Q ，连接QA .(1)证明：OM OQ为定值（O 为坐标原点）；(2)若点Q 的横坐标为1-，且89MB MC ⋅= ，求AQB 的内切圆的方程.8．（2024·江苏苏州·模拟预测）已知点(1,0)A ，(0,1)B ，(1,1)C 和动点(,)P x y 满足2y 是PA PB ⋅ ，PA PC ⋅的等差中项．(1)求P 点的轨迹方程；(2)设P 点的轨迹为曲线1C 按向量31,416a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭平移后得到曲线2C ，曲线2C 上不同的两点M ，N 的连线交y 轴于点(0,)Q b ，如果MON ∠（O 为坐标原点）为锐角，求实数b 的取值范围；(3)在（2）的条件下，如果2b =时，曲线2C 在点M 和N 处的切线的交点为R ，求证：R 在一条定直线上．9．（2024·江苏南通·二模）已知双曲线E的渐近线为y =，左顶点为()A .(1)求双曲线E 的方程；(2)直线:l x t =交x 轴于点D ，过D 点的直线交双曲线E 于B ，C ，直线AB ，AC 分别交l 于G ，H ，若O ，A ，G ，H 均在圆P 上，①求D 的横坐标；②求圆P 面积的取值范围.10．（2024·江苏南京·二模）已知抛物线2:2(0)C y px p =>与双曲线2222:1x y E a b-=（0a >，0b >）有公共的焦点F ，且4p b =．过F 的直线1与抛物线C 交于A ，B 两点，与E 的两条近线交于P ，Q 两点(均位于y 轴右侧).(1)求E 的渐近线方程；(2)若实数λ满足1111||||||||OP OQ AF BF λ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，求λ的取值范围．11．（2024·重庆·三模）已知()2,0F ，曲线C 上任意一点到点F 的距离是到直线12x =的距离的两倍.(1)求曲线C 的方程；(2)已知曲线C 的左顶点为A ，直线l 过点F 且与曲线C 在第一、四象限分别交于M ，N 两点，直线AM 、AN 分别与直线12x =交于P ，H 两点，Q 为PH 的中点.（i ）证明：QF MN ⊥；（ii ）记PMQ ，HNQ ，MNQ 的面积分别为1S ，2S ，3S ，则123S S S +是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.12．（2024·河北·二模）已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的离心率e =(1)若椭圆E过点(，求椭圆E 的标准方程．(2)若直线1l ，2l 均过点()()*,00,n n P p p a n <<∈N 且互相垂直，直线1l 交椭圆E 于,A B 两点，直线2l 交椭圆E于,C D 两点，,M N 分别为弦AB 和CD 的中点，直线MN 与x 轴交于点(),0n Q t ，设13n np =.（ⅰ）求n t ；（ⅱ）记n a PQ =，求数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ．13．（2024·辽宁沈阳·二模）P 为大圆上一动点，大圆半径OP 与小圆相交于点,B PP x '⊥轴于,P BB PP ⊥'''于,B B ''点的轨迹为Ω．(1)求B '点轨迹Ω的方程；(2)点()2,1A ，若点M N 、在Ω上，且直线AM AN 、的斜率乘积为12，线段MN 的中点G ，当直线MN 与y 轴的截距为负数时，求AOG ∠的余弦值．14．（2024·广东佛山·二模）两条动直线1y k x =和2y k x =分别与抛物线()2:20C y px p =>相交于不同于原点的A ，B 两点，当OAB 的垂心恰是C 的焦点时，AB =(1)求p ；(2)若124k k =-，弦AB 中点为P ，点()2,0M -关于直线AB 的对称点N 在抛物线C 上，求PMN 的面积.15．（2024·广东深圳·二模）设抛物线C ：22x py =（0p >），直线l ：2y kx =+交C 于A ，B 两点．过原点O 作l 的垂线，交直线=2y -于点M ．对任意R k ∈，直线AM ，AB ，BM 的斜率成等差数列．(1)求C 的方程；(2)若直线//l l '，且l '与C 相切于点N ，证明：AMN 的面积不小于16．（2024·湖南·一模）已知双曲线2222:1(1)x y C b a a b-=>>的渐近线方程为y =，C 的半焦距为c ，且44244a b c ++=．(1)求C 的标准方程．(2)若P 为C 上的一点，且P 为圆224x y +=外一点，过P 作圆224x y +=的两条切线12,l l （斜率都存在），1l 与C 交于另一点2,M l 与C 交于另一点N ，证明：（ⅰ）12,l l 的斜率之积为定值；（ⅱ）存在定点A ，使得,M N 关于点A 对称．17．（2024·湖南岳阳·三模）已知动圆P 过定点(0,1)F 且与直线3y =相切，记圆心P 的轨迹为曲线E ．(1)已知A 、B 两点的坐标分别为(2,1)-、(2,1)，直线AP 、BP 的斜率分别为1k 、2k ，证明：121k k -=；(2)若点()11,M x y 、()22,N x y 是轨迹E 上的两个动点且124x x =-，设线段MN 的中点为Q ，圆P 与动点Q 的轨迹Γ交于不同于F 的三点C 、D 、G ，求证：CDG 的重心的横坐标为定值．18．（2024·湖北·二模）已知双曲线P 的方程为()()221,,0,,04x y B a C a -=-，其中()()00002,,,0a D x y x a y >≥>是双曲线上一点，直线DB 与双曲线P 的另一个交点为E ，直线DC 与双曲线P的另一个交点为F ，双曲线P 在点,E F 处的两条切线记为121,,l l l 与2l 交于点P ，线段DP 的中点为G ，设直线,DB DC 的斜率分别为12,k k ．(1)证明：12114k k <+≤(2)求GBGC的值．19．（2024·湖北·模拟预测）已知椭圆2212:1x C y a +=和()2222:10x C y a b b +=>>的离心率相同，设1C 的右顶点为1A ，2C 的左顶点为2A ，()0,1B ，(1)证明：12BA BA ⊥；(2)设直线1BA 与2C 的另一个交点为P ，直线2BA 与1C 的另一个交点为Q ，连PQ ，求PQ 的最大值．参考公式：()()3322m n m n m mn n +=+-+20．（2024·山东·二模）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，设C 的右焦点为F ，左顶点为A ，过F 的直线与C 于,D E 两点，当直线DE 垂直于x 轴时，ADE V 的面积为92．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)连接AD 和AE 分别交圆22(1)1x y ++=于,M N 两点．（ⅰ）当直线DE 斜率存在时，设直线DE 的斜率为1k ，直线MN 的斜率为2k ，求12k k ；（ⅱ）设ADE V 的面积为1,S AMN △的面积为2S ，求12S S 的最大值．21．（2024·山东潍坊·二模）已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的实轴长为2F 到一条渐近线的距离为1．(1)求C 的方程；(2)过C上一点(1P 作C 的切线1l ，1l 与C 的两条渐近线分别交于R ，S 两点，2P 为点1P 关于坐标原点的对称点，过2P 作C 的切线2l ，2l 与C 的两条渐近线分别交于M ，N 两点，求四边形RSMN 的面积．(3)过C 上一点Q 向C 的两条渐近线作垂线，垂足分别为1H ，2H ，是否存在点Q ，满足122QH QH +=，若存在，求出点Q 坐标；若不存在，请说明理由．22．（23-24高三下·湖北武汉·阶段练习）已知抛物线2:=E y x ，过点()1,2T 的直线与抛物线E 交于,A B 两点，设抛物线E 在点,A B 处的切线分别为1l 和2l ，已知1l 与x 轴交于点2,M l 与x 轴交于点N ，设1l 与2l 的交点为P .(1)证明：点P 在定直线上；(2)若PMN ，求点P 的坐标；(3)若,,,P M N T 四点共圆，求点P 的坐标.23．（2024·福建漳州·一模）已知过点()11,0F -的直线l 与圆2F ：()22116x y -+=相交于G ，H 两点，GH 的中点为E ，过1GF 的中点F 且平行于2EF 的直线交2G F 于点P ，记点P 的轨迹为C ．(1)求轨迹C 的方程．(2)若,A B 为轨迹C 上的两个动点且均不在y 轴上，点M 满足OM OA OB λμ=+（λ，μ∈R ），其中O 为坐标原点，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①点M 在轨迹C 上；②直线OA 与OB 的斜率之积为34-；③221λμ+=．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．24．（2024·福建福州·模拟预测）点P 是椭圆E ：22221x y a b +=（0a b >>）上（左、右端点除外）的一个动点，()1,0F c -，()2,0F c 分别是E 的左、右焦点.(1)设点P 到直线l ：2a x c =的距离为d ，证明2PF d 为定值，并求出这个定值；(2)12PF F △的重心与内心（内切圆的圆心）分别为G ，I ，已知直线IG 垂直于x 轴.（ⅰ）求椭圆E 的离心率；（ⅱ）若椭圆E 的长轴长为6，求12PF F △被直线IG 分成两个部分的图形面积之比的取值范围.25．（2024·福建三明·三模）已知平面直角坐标系xOy 中，有真命题：函数(0,0)ny mx m n x =+≥>的图象是双曲线，其渐近线分别为直线y mx =和y 轴．例如双曲线4y x=的渐近线分别为x 轴和y 轴，可将其图象绕原点O 顺时针旋转π4得到双曲线228x y -=的图象．(1)求双曲线1y x=的离心率；(2)已知曲线22:2E x y -=，过E 上一点P 作切线分别交两条渐近线于,A B 两点，试探究AOB 面积是否为定值，若是，则求出该定值；若不是，则说明理由；(3)已知函数y x =Γ，直线:30l x -=，过F 的直线与Γ在第一象限交于,M N 两点，过,M N 作l 的垂线，垂足分别为,C D ，直线,MD NC 交于点H ，求MNH △面积的最小值．26．（2024·浙江绍兴·二模）已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点到准线的距离为2，过点()2,2A 作直线交C 于M ，N 两点，点()1,1B -，记直线BM ，BN 的斜率分别为1k ，2k .(1)求C 的方程；(2)求()121232k k k k -+的值；(3)设直线BM 交C 于另一点Q ，求点B 到直线QN 距离的最大值.27．（2024·浙江绍兴·模拟预测）已知抛物线C :22y px =的焦点F ，直线l 过F 且交C 于两点M N 、，已知当3MF NF =时，MN (1)求C 的标准方程.(2)令,02p F ⎛⎫'- ⎪⎝⎭，P 为C 上的一点，直线F P '，FP 分别交C 于另两点A ，B .证明：·1AF PF PF BF '='.(3)过,,A B P 分别作C 的切线123,,l l l ， 3l 与1l 相交于D ，同时与2l 相交于E ，求四边形ABED 面积取值范围.28．（2024·河北保定·二模）平面几何中有一定理如下：三角形任意一个顶点到其垂心（三角形三条高所在直线的交点）的距离等于外心（外接圆圆心）到该顶点对边距离的2倍.已知ABC 的垂心为D ，外心为E ，D 和E 关于原点O 对称，()13,0A .(1)若()3,0E ，点B 在第二象限，直线BC x ⊥轴，求点B 的坐标；(2)若A ，D ，E 三点共线，椭圆T ：()222210x y a b a b+=>>与ABC 内切，证明：D ，E 为椭圆T 的两个焦点.29．（2024·浙江杭州·模拟预测）设双曲线22:12x C y -=，直线:l y x m =+与C 交于,A B 两点.(1)求m 的取值范围；(2)已知C 上存在异于,A B 的,P Q 两点，使得PA PB QA QB t ⋅=⋅=.（i ）当4t =时，求,P Q 到点()2,m m --的距离（用含m 的代数式表示）；（ii ）当2t =时，记原点到直线PQ 的距离为d ，若直线PQ 经过点(),m m -，求d 的取值范围.30．（2024·湖北·一模）已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>的离心率为12，A ，B 分别为椭圆的左顶点和上顶点，1F 为左焦点，且1ABF(1)求椭圆M 的标准方程：(2)设椭圆M 的右顶点为C 、P 是椭圆M 上不与顶点重合的动点．（i ）若点31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭，点D 在椭圆M 上且位于x 轴下方，直线PD 交x 轴于点F ，设APF 和CDF 的面积分别为1S ，2S 若1232S S -=，求点D 的坐标：（ii ）若直线AB 与直线CP 交于点Q ，直线BP 交x 轴于点N ，求证：2QN QC k k -为定值，并求出此定值（其中QN k 、QC k 分别为直线QN 和直线QC 的斜率）．黄金冲刺大题06 圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）（精选30题）1．（2024·山东·二模）已知椭圆的焦点分别是)()12,F F ，点M 在椭圆上，且124MF MF +=．(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线y kx =,A B 两点，且OA OB ⊥，求实数k 的值．【答案】(1)2214x y +=；【分析】（1）根据所给条件求出,a b ，即可得出椭圆标准方程；（2）联立直线与椭圆方程，根据根与系数的关系及OA OB ⊥，列出方程求k 即可.【详解】（1）设椭圆的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>．由题意可知22224c a a b c ⎧=⎪=⎨⎪=+⎩，解得2,1,a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆的标准方程为2214x y +=．（2）设()()1122,,,A x y B x y ，如图，联立方程2214y kx x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得()221440k x +++=，则12122414x x x x k +==+，从而(1212y y kx kx =+()212122k x x x x =+++222414kk-=+，因为,0OA OB OA OB ⊥⋅=，即12120x x y y +=，所以22222424640141414k k k k k --+==+++，解得k =或，经验证知Δ0>，所以k．2．（2024·江苏南通·模拟预测）在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>1F ，2F 分别是椭圆的左、右焦点，过2F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与C 交于A ，B 两点，直线2l 与C 交于D ，E 两点，且12AF F的周长是4+(1)求椭圆C 的方程；(2)当32AB DE =时，求ODE 的面积.【答案】(1)2214x y +=【分析】（1）由椭圆离心率和焦点三角形的周长，列方程组求出,a b ，得椭圆C 的方程；（2）设直线1l ，2l 的方程，与椭圆联立，利用韦达定理和32AB DE =求出DE 和2l 的方程，再求出O 到直线2l 的距离，可求ODE 的面积.【详解】（1）由题意知，222224a c ca b a c ⎧+=+⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩，解得2,1,a b c ===所以椭圆C 的方程为2214x y +=；（2）若直线1l 的斜率不存在，则直线2l 的斜率为0，不满足32AB DE =，直线1l 的的斜率为0，则12,,A F F 三点共线，不合题意，所以直线1l 的斜率存在且不为0，设直线1l的方程为x my =由2214x my x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，消去x得2211044m y y ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭，设()()1122,,,A x y B x y，则12y y +=1221414y y m =-+，()2241.4m AB m +∴===+同理可得()222214141.1144m m DE m m ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==++，由32AB DE =，得()()2222414134214m m m m++=⋅++，解得22m =，则43DE =，∴直线2l的方程为y x =，∴坐标原点O 到直线2l的距离为d ==1423ODE S =⨯= 即ODE【点睛】方法点睛：解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形，强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．3．（2024·河北邯郸·二模）已知椭圆C 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过()2,0,1,M N ⎛⎝两点．(1)求C 的方程．(2),A B 是C 上两个动点，D 为C 的上顶点，是否存在以D 为顶点，AB 为底边的等腰直角三角形？若存在，求出满足条件的三角形的个数；若不存在，请说明理由．【答案】(1)2214x y +=(2)存在，3个【分析】（1）设椭圆C 的方程为221(0,0,)mx ny m n m n +=>>≠，根据条件得到41314m m n =⎧⎪⎨+=⎪⎩，即可求出结果；（2）设直线DA 为1y kx =+，直线DB 为11y x k=-+，当1k =时，由椭圆的对称性知满足题意；当21k ≠时，联立直线与椭圆方程，求出,A B 的坐标，进而求出AB 中垂线方程，根据条件中垂线直经过点(0,1)D ，从而将问题转化成方程42710k k -+=解的个数，即可解决问题.【详解】（1）由题设椭圆C 的方程为221(0,0,)mx ny m n m n +=>>≠，因为椭圆过()2,0,1,M N ⎛ ⎝两点，所以41314m m n =⎧⎪⎨+=⎪⎩，得到1,14m n ==，所以椭圆C 的方程为2214x y +=.（2）由（1）知(0,1)D ，易知直线,DA DB 的斜率均存在且不为0，不妨设(0)DA k k k =>，1DB k k=-，直线DA 为1y kx =+，直线DB 为11y x k =-+，由椭圆的对称性知，当1k =时，显然有DA DB =，满足题意，当21k ≠时，由22114y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消y 得到221()204k x kx ++=，所以2814A k x k =-+，222281411414A k k y k k -=-+=++，即222814(,)1414k k A k k--++，同理可得22284(,44k k B k k -++，所以()2222222222222414(4)14(4)(14)1414888(144)5414ABk k k k k k k k k k k k k k k k k k ----+-+--++===++++++，设AB 中点坐标为00(,)x y ，则2220228812(1)1442(4)(14)k kk k k k x k k -+-++==++，22222022144151442(4)(14)k k k k k y k k --+-++==++，所以AB 中垂线方程为222222215512(1)()(4)(14)1(4)(14)k k k k y x k k k k k -+=--++-++，要使ADB 为AB 为底边的等腰直角三角形，则直AB 中垂线方程过点(0,1)，所以222222215512(1)1(0)(4)(14)1(4)(14)k k k k k k k k k -+=--++-++，整理得到42710k k -+=，令2t k =，则2710t t -+=，4940∆=->，所以t 有两根12,t t ，且121270,10t t t t +=>=>，即2710t t -+=有两个正根，故有2个不同的2k 值，满足42710k k -+=，所以由椭圆的对称性知，当21k ≠时，还存在2个符合题意的三角形，综上所述，存在以D 为顶点，AB 为底边的等腰直角三角形，满足条件的三角形的个数有3个.【点睛】关键点点晴：本题的关键在于第（2）问，通过设出直线DA 为1y kx =+，直线DB 为11y x k=-+，联立椭圆方程求出,A B 坐标，进而求出直线AB 的中垂线方程，将问题转化成直线AB 的中垂线经过点(0,1)D ，再转化成关于k 的方程的解的问题.4．（2024·广东广州·模拟预测）已知椭圆222:1(08x y C b b+=<<，右顶点为E ，上､下顶点分别为12,,B B G是1EB 的中点，且121EB GB ⋅=.(1)求椭圆C 的方程；(2)设过点()4,0D -的直线l 交椭圆C 于点,M N ，点()2,1A --，直线,MA NA 分别交直线4x =-于点,P Q ，求证：线段PQ 的中点为定点.【答案】(1)22182x y +=(2)证明见解析【分析】（1）通过椭圆的性质和中点的坐标，然后根据向量的数量积得到等量关系即可求出椭圆的标准方程；（2）设出直线l 的方程并与椭圆方程联立，化简写出根与系数的关系，求得点,P Q 的坐标，进而证得线段PQ 的中点为定点.【详解】（1）由题可得()28,,0a E a = ，()()120,,0,B b B b -，1EB ∴的中点为,22a b G ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2221233(,),1,2,2222a b a bEB GB a b b ⎛⎫⋅=-⋅--=-=∴= ⎪⎝⎭ 故椭圆C 的方程为22182x y +=；（2）依题意可知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为()4y k x =+，由()224182y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩消去y 并化简得()222214326480k x k x k +++-=，由()()422Δ10244146480k k k =-+->，得2111,422k k <-<<.设()(),,,M M N N M x y N x y ，则222232648,1414M N M N k k x x x x k k -+=-=++，依题意可知直线,MA NA 的斜率存在，直线MA 的方程为()1122M M y y x x ++=++，令4x =-，得()2442422M M M M P M M k x x y x y x x -+-----==++()()()2184212424221222M M M M M k x k k x k k k x x x ------+--+===---+++，同理可求得42212Q N k y k x +=---+，()N 4242114242422222P Q M N M k k y y k k k x x x x ⎛⎫++∴+=----=---++ ⎪++++⎝⎭()()4424224M N M N M N x x k k x x x x ++=---+⋅+++()22222232414424242(42)064832241414k k k k k k k k k k -++=---+⋅=--++=⎛⎫-+-+ ⎪++⎝⎭，∴线段PQ 的中点为定点()4,0-.【点睛】方法点睛：对于直线和圆锥曲线相交的问题，我们一般将直线和圆锥曲线联立，利用韦达定理带入计算求解.5．（2024·辽宁·二模）平面直角坐标系xOy 中，面积为9的正方形ABCD 的顶点,A B 分别在x 轴和y 轴上滑动，且23OP OA = ，记动点P 的轨迹为曲线Γ．(1)求Γ的方程；(2)过点()4,1E 的动直线l 与曲线Γ交于不同的两点,M N 时，在线段MN 上取点Q ，满足||||||||EM QN QM EN ⋅=⋅．试探究点Q 是否在某条定直线上？若是，求出定直线方程；若不是，说明理由．【答案】(1)22143x y +=(2)点Q 在定直线上，定直线方程为330x y +-=【分析】（1）设点,,P A B 的坐标，利用平面向量的坐标表示消参得0032x x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，结合正方形面积得Γ的方程；（2）设:14l y kx k =+-，,,Q M N 的坐标，与椭圆联立并根据韦达定理得,M N 横坐标关系，再根据线段乘积关系化为比值关系得01120244x x x x x x --=--，化简得0243kx k+=+，代入直线方程即可0y ，从而求出定直线方程.【详解】（1）设()()()00,,,0,0,P x y A x B y ，由0000222(,0))()333OP OA x y x y ==+=，得0023x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以032x x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，因为正方形ABCD 的面积为29AB =，即22009x y +=，所以223())92x +=，整理可得22143x y +=，因此C 的轨迹方程为22143x y +=．（2）依题意，直线l 存在斜率，设l ：1(4)y k x -=-，即14y kx k =+-，设点()00,Q x y ，()11,M x y ，()22,N x y ()102x x x <<，由22143412y kx kx y =+-⎧⎨+=⎩，消y 得2234(14)12x kx k ++-=，即222(34)8(14)4(14)120k x k k x k ++-+--=，由()()()2222Δ64141634143k k k k ⎡⎤=--+--⎣⎦()()()()()22222216144344834483414k k k k k k ⎡⎤⎡⎤=--+++=+--⎣⎦⎣⎦()()22481282966410k k k k =-++=-++>，k <<所以3k ≠-，可得1228(14)34k k x x k -+=-+，21224(14)1234k x x k --=+，由||||||||EM QN QM EN ⋅=⋅ ，得||||||||QM EM QN EN =，所以01120244x x x x x x --=--，可得222121201228(14)4(14)124234344()28(14)8()834k k k k k x x x x x k k x x k ⎡⎤---⎡⎤--⎢⎥⎢⎥+++-⎣⎦⎣⎦==--+⎡⎤--⎢⎥+⎣⎦()()2222232148142432128128648242432824248k k k k k k k k k k k----+-+-+-+==++-+1632242483k kk k++==++，所以()()200143243914333k k k k ky kx k k k k-++-=+-=+=+++，因为00612393333k kx y k k+-+=+=++，所以点Q 在定直线上，定直线方程为330x y +-=．6．（2024·福建厦门·三模）在直角坐标系xOy 中，已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,M N 两点，且当l 的斜率为1时，8MN =．(1)求C 的方程；(2)设l 与C 的准线交于点P ，直线PO 与C 交于点Q （异于原点），线段MN 的中点为R ，若3QR ≤，求MNQ △面积的取值范围．【答案】(1)24y x =；(2)(.【分析】（1）先设l 的方程为2px my =+，()11,M x y ，()22,N x y ，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理及抛物线定义即可求解；（2）先设出()221,2R m m +，进而可求,P Q 的坐标，可得直线//QR x 轴，求出QR 的范围，再由三角形面积公式即可求解.【详解】（1）不妨先设l 的方程为2px my =+，()11,M x y ，()22,N x y ，代入22y px =，可得2220y mpy p --=，所以122y y mp +=，212y y p =-，则()21212222MN x x p m y y p m p p =++=++=+，由题意可知当斜率为1时，1m =，又8MN =，即228p p +=，解得2p =，所以C 的方程为24y x =；（2）由（1）知2p =，直线l 的方程为1x my =+，抛物线方程24y x =，124y y m +=，124y y =-所以R 的纵坐标1222R y y y m +==，将R 的纵坐标2m 代入1x my =+，得221x m =+，所以R 的坐标()221,2m m +，易知抛物线的准线为=1x -,又因为l 与C 的准线交于点P ，所以P 的坐标21,m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则直线OP 的方程为2m x y =，把2mx y =代入24y x =，得22y my =，即2y m =或0y =，因为点Q 异于原点，从而Q 的纵坐标为2m ，把2y m =代入2m x y =，得22mx y m ==，所以()2,2Q m m ，因为R 的坐标()221,2m m +，所以R ，Q 的纵坐标相同，所以直线//QR x 轴，且222211QR m m m =+-=+，所以MNQ △面积1212MNQ MRQ NRQ S S S QR y y =+=- ，因为()22212121241616y y y y y y m -=+-=+，所以12y y -==，所以()332222112122MNQS m m QR =+⨯=+= ，因为点Q 异于原点，所以0m ≠，所以210m +>，因为3QR ≤，所以13QR <≤，所以3222QR <≤MNQ △面积的取值范围为(.7．（2024·浙江丽水·二模）已知抛物线2:4E y x =，点,,A B C 在抛物线E 上，且A 在x 轴上方，B 和C 在x 轴下方（B 在C 左侧），,A C 关于x 轴对称，直线AB 交x 轴于点M ，延长线段CB 交x 轴于点Q ，连接QA .(1)证明：OM OQ为定值（O 为坐标原点）；(2)若点Q 的横坐标为1-，且89MB MC ⋅= ，求AQB 的内切圆的方程.【答案】(1)1(2)221499x y ⎛⎫-+=⎪⎝⎭【分析】（1）根据已知条件作出图形，设出直线AB 的方程，与抛物线联立，利用韦达定理及直线的点斜式方程即可求解；（2）根据（1）的结论及向量的数量积的坐标表示，进而得出直线AB 的方程，利用直线的斜率公式及直线的点斜式方程，结合角平分线的性质及圆的标准方程即可求解.【详解】（1）设直线AB 的方程为()()()11220,,,,x my t m A x y B x y =+>，则()()11,,,0C x y M t -，由24x my ty x =+⎧⎨=⎩，消去x ，得2440y my t --=，()22Δ1600m t m t =+>⇒+>，所以12124,4y y m y y t +==-，直线BC 的方程为()211121y y y y x x x x ++=--，化简得1221214y y xy y y y y =---，令0y =，得124Q y y x t ==-，所以(),0Q t -因此1OM t OQt==-.（2）因为点Q 的横坐标为1-，由（1）可知，()()1,0,1,0Q M -，设QA 交抛物线于D ，()()()()11221144,,,,,,,A x y B x y C x y D x y -，如图所示又由（1）知，124y y =-，同理可得144y y =，得42y y =-，又()212121211242x x my my m y y m +=+++=++=+，()22212121214416y y y y x x =⋅==，又()()22111,,1,MB x y MC x y =-=-- ，则()()()221121212111444MB MC x x y y x x x x m ⋅=---=-+++=- ，故2844,9m -=结合0m >，得m =所以直线AB的方程为330,x -=又12163y y -===，则141414221214141412443444AD y y y y y y k y y x x x x y y y y ---======--+--，所以直线AD 的方程为3430x y -+=，设圆心(,0)(11)T s s -<<,因为QM 为AQB ∠的平分线，故点T 到直线AB 和直线AD 的距离相等，所以333354s s +-=，因为11s -<<，解得19s =，故圆T 的半径33253s r +==，因此圆T 的方程为221499x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭.8．（2024·江苏苏州·模拟预测）已知点(1,0)A ，(0,1)B ，(1,1)C 和动点(,)P x y 满足2y 是PA PB ⋅ ，PA PC ⋅的等差中项．(1)求P 点的轨迹方程；(2)设P 点的轨迹为曲线1C 按向量31,416a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭平移后得到曲线2C ，曲线2C 上不同的两点M ，N 的连线交y 轴于点(0,)Q b ，如果MON ∠（O 为坐标原点）为锐角，求实数b 的取值范围；(3)在（2）的条件下，如果2b =时，曲线2C 在点M 和N 处的切线的交点为R ，求证：R 在一条定直线上．【答案】(1)23122y x x =-+；(2)0b <或1b >；(3)证明见解析.【分析】（1）根据题意，由平面向量的坐标运算，结合等差中项的定义代入计算，即可得到结果；（2）根据题意，由平移公式可得曲线2C 的方程，然后与直线MN 的方程联立，由平面向量的夹角公式，代入计算，即可得到结果；（3）根据题意，求导可得在点,M N 处的切线方程，联立两条切线方程，代入计算，即可得到结果.【详解】（1）由题意可得(1,)PA x y =-- ，(,1)PB x y =-- ，(1,1)PC x y =--，则22(1)()()(1)PA PB x x y y x y x y ⋅=-⋅-+-⋅-=+--，22(1)(1)()(1)21PA PC x x y y x y x y ⋅=-⋅-+-⋅-=+--+，又2y 是PA PB ⋅ ，PA PC ⋅的等差中项，()()22222212x y x y x y x y y ∴+--++--+=，整理得点(,)P x y 的轨迹方程为23122y x x =-+．（2）由（1）知2131:22C y x x =-+，又31,416a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，∴平移公式为34116x x y y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+'⎩'⎪即34116x x y y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-'⎩'⎪，代入曲线1C 的方程得到曲线2C 的方程为：213331164242y x x ''⎛⎫⎛⎫-=+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'，即2y x ¢¢=．曲线2C 的方程为2y x =．如图由题意可设M ，N 所在的直线方程为y kx b =+，由2y x y kx b⎧=⎨=+⎩消去y 得20x kx b --=，令()11,M x y ，()()2212,N x y x x ≠，则1212x x kx x b +=⎧⎨=-⎩，()()21111,,OM x y x x ∴== ，()()22222,,ON x y x x == ，又MON ∠ 为锐角，cos 0||||OM ONMON OM ON ⋅∴∠=>⋅，即2212120||||x x x x OM ON +>⋅ ，2212120x x x x ∴+>，又12x x b =-，2()0b b ∴-+->，得0b <或1b >．（3）当2b =时，由（2）可得12122x x kx x b +=⎧⎨=-=-⎩，对2y x =求导可得2y x '=，∴抛物线2C 在点，()211,M x x ∴=，()222,N x x 处的切线的斜率分别为12M k x =，22N k x =，∴在点M ，N 处的切线方程分别为()2111:2M l y x x x x -=-，()2222:2N l y x x x x -=-，由()()()211112222222y x x x x x x y x x x x ⎧-=-⎪≠⎨-=-⎪⎩，解得交点R 的坐标(,)x y ．满足12122x x x y x x +⎧=⎪⎨⎪=⋅⎩即22k x y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，R ∴点在定直线=2y -上．【点睛】关键点点睛：本题主要考查了曲线的轨迹方程问题以及切线问题，难度较大，解答本题的关键在于联立方程结合韦达定理计算以及转化为坐标运算.9．（2024·江苏南通·二模）已知双曲线E 的渐近线为y =，左顶点为()A .(1)求双曲线E 的方程；(2)直线:l x t =交x 轴于点D ，过D 点的直线交双曲线E 于B ，C ，直线AB ，AC 分别交l 于G ，H ，若O ，A ，G ，H 均在圆P 上，①求D 的横坐标；②求圆P 面积的取值范围.【答案】(1)2213x y -=(2)①⎫⎪⎪⎭；②27π16S >且7π4S ≠【分析】（1）根据渐近线方程及顶点求出,a b 得双曲线方程；（2）①设(),0D t ，由四点共圆可得1AG OH k k ⋅=，根据斜率公式转化为,B C 点坐标表示形式，由直线与双曲线联立得出根与系数的关系，据此化简即可求出t ；②求出G 点坐标得出OG ，利用正弦定理求出外接圆的半径，根据均值不等式求出半径的最值，即可得出圆面积的最值.【详解】（1）因为双曲线的渐近线关于坐标轴及原点对称，又顶点在x 轴上，可设双曲线的方程为22221x y a b-=（0a >，0b >），从而渐近线方程为：b y x a =±，由题条件知：b a =因为双曲线的左顶点为()A ，所以a =1b =，所以双曲线的方程为：2213x y -=.（2）如图，①(),0D t ，设直线BC 的方程为：my x t =-，将x my t =+代入方程：22330x y --=，得()2223230m y mty t -++-=，当230m -≠且()22Δ1230t m =+->时，设()11,B x y ，()22,C x y ，则12223mt y y m +=--，212233t y y m -=-.设直线AG 的倾斜角为α，不妨设π02α<<，则π2AGH α∠=-，由于O ，A ，G ，H 四点共圆知：HOD AGH ∠=∠，所以直线OH 的倾斜角为π2α-，πsin πsin 2tan tan 1π2cos cos 2AG OH k k αααααα⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭⋅=⋅-=⨯= ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭.直线AC的方程为：y x =，令x t =，则y =H t ⎛ ⎝，所以OH k=AGABk k==1=((1212t y y t x x ⇒=，又11x my t =+，22xmy t =+代入上式得：((1212t y yt my t my t =++，((()(22121212t y y t m y y m t y y t ⎡⎤⇒=+++⎢⎥⎣⎦，(((2222222332333t t mtt t m m t t m m m ⎛⎤---⇒⋅=⋅+⋅++ ⎥---⎝⎦，化简得：2430t +-=，解得：t =（舍）或t =故点D 的坐标为⎫⎪⎪⎭.②直线AG 的方程为(tan y x α=⋅，由①知：t =所以G α⎫⎪⎪⎭.直线OH 方程；1tan y x α=，所以H ，若G ，H 在x 轴上方时，G 在H 的上方，即tan 0α>α>若G ，H 在x 轴下方时，即t an 0α<α<所以tan α>tan α<又直线AG 与渐近线不平行，所以tan α≠所以0πα<<，tan α>tan α<tan α≠因为OG ==设圆P 的半径为R ，面积为S ，则2sin OG R α==所以()()()2222222125tan 125tan sin cos 3164sin 64sin R αααααα+⋅++=⨯=⨯()()22222125tan 1tan 33125tan 2664tan 64tan ααααα++⎛⎫=⨯=++ ⎪⎝⎭327266416⎛⎫≥= ⎪ ⎪⎝⎭，当且仅当22125tan tan αα=即tan α=tan α>tan α<tan α≠所以22716R >且274R ≠，从而27π16S >且7π4S ≠.【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于利用直线的倾斜角与圆的内接四边形的角的关系，得出πsin πsin 2tan tan 1π2cos cos 2AG OHk k αααααα⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭⋅=⋅-=⨯= ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭这一关键数量关系，再转化为直线与双曲线相交，利用根与系数的关系化简求参数的常规问题.10．（2024·江苏南京·二模）已知抛物线2:2(0)C y px p =>与双曲线2222:1x y E a b-=（0a >，0b >）有公共的焦点F ，且4p b =．过F 的直线1与抛物线C 交于A ，B 两点，与E 的两条近线交于P ，Q 两点(均位于y 轴右侧).(1)求E 的渐近线方程；(2)若实数λ满足1111||||||||OP OQ AF BF λ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，求λ的取值范围．【答案】(1)y x =(2)10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】（1）由两曲线有公共的焦点F ，且4p b =，得2c b =，a ，可求渐近线方程；（2）通过设直线方程，联立方程组，借助韦达定理，表示出11||||OP OQ +和11||||AF BF -，由1111OP OQ AF BF λ⎛⎫+=- ⎪⎪⎝⎭求λ的取值范围．【详解】（1）抛物线2:2(0)C y px p =>与双曲线2222:1x y E a b-=（0a >，0b >）有公共的焦点F ，设双曲线E 的焦距为2c ，则有2pc =，又4p b =，则2c b =.由222+=a b c，得a ，所以E的渐近线的方程为y =（2）设:l x my c =+，()()1122,,,P x y Q x y ，1与E 的两条近线交于P ，Q 两点均位于y 轴右侧，有23m <，由x my cy x =+⎧⎪⎨=⎪⎩，解得1y =2y =，11112OP OQ y +=+设()()3344,,,A x y B x y ， 由22x my cy px=+⎧⎨=⎩，消去x 得2220y pmx p --=，则有234342,y y pm y y p +==-，1AF2p =由1111OP OQ AF BF λ⎛⎫+=- ⎪⎪⎝⎭，2pc =，有2p λ==由23m <⎡∈⎢⎣，所以10,2λ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.【点睛】方法点睛：解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形，强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．11．（2024·重庆·三模）已知()2,0F ，曲线C 上任意一点到点F 的距离是到直线12x =的距离的两倍.(1)求曲线C 的方程；(2)已知曲线C 的左顶点为A ，直线l 过点F 且与曲线C 在第一、四象限分别交于M ，N 两点，直线AM 、AN 分别与直线12x =交于P ，H 两点，Q 为PH 的中点.（i ）证明：QF MN ⊥；（ii ）记PMQ ，HNQ ，MNQ 的面积分别为1S ，2S ，3S ，则123S S S +是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.【答案】(1)2213y x -=(2)（i ）证明见解析；（ii ）是，12【分析】（1）设曲线C 上任意一点坐标为(),x y ，利用坐标可得曲线C 的方程；（2）(i)设直线MN ：2x my =+，()11,M x y ，()22,N x y ，联立方程组可得1221231my y m +=--，122931y y m =-，求得直线AM ：()1111y y x x =++，求得P ，H ，进而可得Q 的坐标，求得FQ 的坐标，直线MN 的方向向量的坐标，利用向量法可证结论.(ii) 法一：利用（i ）可求得()226113mMN m +=-；QF=()()322329112213m S MN QF m+=⋅=-，进而求得()1212114S S PH x x +=⋅+-，代入运算可求得()()32212291413m S S m++=-，可求结论.法二：（利用双曲线的第二定义）由（1）知，1122MF x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，同理2122NF x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，计算可得1218S S PH MN +=⋅，又312S MN QF =⋅，12314PH S S S QF +=，进而计算可得结论成立.【详解】（1）设曲线C 上任意一点坐标为(),x y ，则由题意可知：()2222222212444441123y x y x x x y x x x ⎛⎫-+=-⇒-++=-+⇒-= ⎪⎝⎭，故曲线C 的方程为2213y x -=.（2）(i)设直线MN ：2x my =+，()11,M x y ，()22,N x y ，其中m <<且11x >，21x >()22222311290330x my m y my x y =+⎧⇒-++=⎨--=⎩，故1221231my y m +=--，122931y y m =-；直线AM ：()1111y y x x =++，当12x =时，()11321y y x =+，故()1131,221y P x ⎛⎫⎪ ⎪+⎝⎭，同理()2231,221y H x ⎛⎫⎪ ⎪+⎝⎭，Q 为PH 中点，故()()()()1221121212111332211411Q y x y x y y y x x x x +++⎛⎫=⋅+=⋅ ⎪++++⎝⎭；()()()()()()222212121212293693111333931m m m x x my my m y y m y y m -+-++=++=+++=-2931m =--；（*）()()()()()122112211212221836181133233131m m my x y x y my y my my y y y m m -+++=+++=++==---；故3183492Q m m y =⋅=，即13,22m Q ⎛⎫⎪⎝⎭，则33,22m FQ ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，直线MN 的方向向量(),1a m =，33022m m a FQ ⋅=-+= ，故QF MN ⊥.(ii)法一：12y y -===（**）故()2226113m MN y m +=-=-；QF==又QF MN ⊥，故()()322329112213mSMN QF m+=⋅=-.()12121211111122224S S PQ x HQ x PH x x ⎛⎫⎛⎫+=⋅-+⋅-=⋅+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；()()222121222311293133113m m m x x m y y m m +-+-+-=++==--；()()()()()()1221121212113332121211y x y x y y PH x x x x +-+=-=++++，()()()()()()12211212123339211211y my y my y y x x x x +-+-==++++，由（*）知()()12291113x x m ++=-，由（**）知12y y -=，故291329m PH -==故()()()3222122231911413413m mS S m m+++=⋅=--，则12312S S S +=.法二：（利用双曲线的第二定义）由（1）知，1122MF x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，同理2122NF x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故()()12121111488S S PH x x PH MF NF PH MN +=+-=⋅+=⋅，又312S MN QF =⋅，故12314PH S S S QF +=，又()()12129411P H y y y y x x =++，且由（*）知229993194431P Hm y y m -==--，记直线PH 与x 轴相交于点K ，由94P Hy y =可得2PK HK FK ⋅=，即PK FK FK HK =，即PKF PFH ∽△△，故PF HF ⊥；又Q 为PH 的中点，故12QF PH =，即1231142PH S S S QF +==.【点睛】方法点睛：直线与双曲线联立问题第一步：设直线方程：有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，都可设出直线方程．。

第2讲 椭圆、双曲线、抛物线高考定位 1.圆锥曲线的方程与几何性质是高考的重点，多以选择题、填空题或解答题的一问的形式命题；2直线与圆锥曲线的位置关系是命题的热点，尤其是有关弦长计算及存在性问题，运算量大，能力要求高，突出方程思想、转化化归与分类讨论思想方法的考查.真 题 感 悟1.(2018·全国Ⅱ卷)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，则其渐近线方程为( ) A.y ＝±2x B.y ＝±3x C.y ＝±22xD.y ＝±32x[解析] 法一 由题意知，e ＝ca ＝3，所以c ＝3a ，所以b ＝c 2－a 2＝2a ，即b a ＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±2x . 法二 由e ＝ca ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝3，得b a ＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±2x .[答案] A2.(2018·全国Ⅰ卷)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点(－2，0)且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM →·FN →＝( ) A.5B.6C.7D.8[解析] 过点(－2，0)且斜率为23的直线的方程为y ＝23(x ＋2)，由⎩⎨⎧y ＝23（x ＋2），y 2＝4x ，得x 2－5x ＋4＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则y 1>0，y 2>0，根据根与系数的关系，得x 1＋x 2＝5，x 1x 2＝4.易知F (1，0)，所以FM →＝(x 1－1，y 1)，FN →＝(x 2－1，y 2)，所以FM →·FN →＝(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＋4x 1x 2＝4－5＋1＋8＝8. [答案] D3.(2018·全国Ⅱ卷)已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点.若PF 1⊥PF 2，且∠PF 2F 1＝60°，则C 的离心率为( ) A.1－32B.2－ 3C.3－12D.3－1[解析] 由题设知∠F 1PF 2＝90°，∠PF 2F 1＝60°，|F 1F 2|＝2c ，所以|PF 2|＝c ，|PF 1|＝3c .由椭圆的定义得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，即3c ＋c ＝2a ，所以(3＋1)c ＝2a ， 故椭圆C 的离心率e ＝c a ＝23＋1＝3－1. [答案] D4.(2018·全国Ⅰ卷)设抛物线C ：y 2＝2x ，点A (2，0)，B (－2，0)，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点.(1)当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程； (2)证明：∠ABM ＝∠ABN .(1)解 当l 与x 轴垂直时，l 的方程为x ＝2，代入抛物线方程y 2＝2x ，可得M 的坐标为(2，2)或(2，－2).所以直线BM 的方程为y ＝12x ＋1或y ＝－12x －1.(2)证明 当l 与x 轴垂直时，AB 为MN 的垂直平分线，所以∠ABM ＝∠ABN . 当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为y ＝k (x －2)(k ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1>0，x 2>0.由⎩⎨⎧y ＝k （x －2），y 2＝2x 得ky 2－2y －4k ＝0， 可知y 1＋y 2＝2k ，y 1y 2＝－4. 直线BM ，BN 的斜率之和为k BM ＋k BN ＝y 1x 1＋2＋y 2x 2＋2＝x 2y 1＋x 1y 2＋2（y 1＋y 2）（x 1＋2）（x 2＋2）＝y 22y 12＋y 21y 22＋2（y 1＋y 2）（x 1＋2）（x 2＋2）＝（y 1＋y 2）（y 1y 22＋2）（x 1＋2）（x 2＋2）＝0.所以k BM ＋k BN ＝0，可知BM ，BN 的倾斜角互补，所以∠ABM ＝∠ABN . 综上，∠ABM ＝∠ABN .考 点 整 合1.圆锥曲线的定义(1)椭圆：|MF 1|＋|MF 2|＝2a (2a ＞|F 1F 2|)； (2)双曲线：||MF 1|－|MF 2||＝2a (2a ＜|F 1F 2|)； (3)抛物线：|MF |＝d (d 为M 点到准线的距离).温馨提醒 应用圆锥曲线定义解题时，易忽视定义中隐含条件导致错误. 2.圆锥曲线的标准方程(1)椭圆：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)(焦点在x 轴上)或y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)(焦点在y 轴上)；(2)双曲线：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)(焦点在x 轴上)或y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)(焦点在y 轴上)；(3)抛物线：y 2＝2px ，y 2＝－2px ，x 2＝2py ，x 2＝－2py (p ＞0).3.圆锥曲线的重要性质(1)椭圆、双曲线中a ，b ，c 之间的关系①在椭圆中：a 2＝b 2＋c 2；离心率为e ＝c a ＝1－b 2a 2.②在双曲线中：c 2＝a 2＋b 2；离心率为e ＝c a ＝1＋b 2a 2.(2)双曲线的渐近线方程与焦点坐标①双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±ba x ；焦点坐标F 1(－c ，0)，F 2(c ，0).②双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±ab x ，焦点坐标F 1(0，－c )，F 2(0，c ).(3)抛物线的焦点坐标与准线方程①抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，准线方程x ＝－p 2.②抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，准线方程y ＝－p 2.4.弦长问题(1)直线与圆锥曲线相交的弦长设而不求，利用根与系数的关系，进行整体代入.即当斜率为k ，直线与圆锥曲线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)时，|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2. (2)过抛物线焦点的弦长抛物线y 2＝2px (p >0)过焦点F 的弦AB ，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2，弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p .热点一 圆锥曲线的定义及标准方程【例1】 (1)(2018·天津卷)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点.设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1＋d 2＝6，则双曲线的方程为( ) A.x 24－y 212＝1 B.x 212－y 24＝1 C.x 23－y 29＝1D.x 29－y 23＝1 (2)(2018·昆明诊断)已知抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，M 是抛物线C 上一点，若FM 的延长线交x 轴的正半轴于点N ，交抛物线C 的准线l 于点T ，且FM →＝MN →，则|NT |＝________.[解析] (1)由d 1＋d 2＝6，得双曲线的右焦点到渐近线的距离为3，所以b ＝3.因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，所以ca ＝2，所以a 2＋b 2a 2＝4，所以a 2＋9a 2＝4，解得a 2＝3，所以双曲线的方程为x 23－y 29＝1. (2)由x 2＝4y ，知F (0，1)，准线l ：y ＝－1. 设点M (x 0，y 0)，且x 0>0，y 0>0.由FM→＝MN →，知点M 是线段FN 的中点，N 是FT 中点，利用抛物线定义，|MF |＝|MM ′|＝y 0＋1，且|FF ′|＝2|NN ′|＝2.又2(y 0＋1)＝|FF ′|＋|NN ′|＝3，知y 0＝12.∴|MF |＝12＋1＝32，从而|NT |＝|FN |＝2|MF |＝3. [答案] (1)C (2)3探究提高 1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离，一般运用定义转化为到准线的距离处理.如本例(2)中充分运用抛物线定义实施转化，使解答简捷、明快.2.求解圆锥曲线的标准方程的方法是“先定型，后计算”.所谓“定型”，就是指确定类型，所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a 2，b 2，p 的值，最后代入写出椭圆、双曲线、抛物线的标准方程.【训练1】 (1)(2017·全国Ⅲ卷)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为( ) A.x 28－y 210＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 25－y 24＝1 D.x 24－y 23＝1 (2)(2018·临汾一中质检)已知等腰梯形ABCD 的顶点都在抛物线y 2＝2px (p >0)上，且AB ∥CD ，CD ＝2AB ＝4，∠ADC ＝60°，则点A 到抛物线的焦点F 的距离是________.[解析] (1)由题设知b a ＝52，①又由椭圆x 212＋y 23＝1与双曲线有公共焦点， 易知a 2＋b 2＝c 2＝9，②由①②解得a ＝2，b ＝5，则双曲线C 的方程为x 24－y 25＝1.(2)由题意设A (x 1，1)，D (x 1＋3，2)，所以1＝2px 1，4＝2p (x 1＋3)⇒p ＝32，x 1＝33，所以|AF |＝x 1＋p 2＝33＋34＝7312.[答案] (1)B (2)7312 热点二 圆锥曲线的几何性质【例2】 (1)(2018·全国Ⅲ卷)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，则点(4，0)到C 的渐近线的距离为( ) A. 2B.2C.322D.2 2(2)(2017·全国Ⅲ卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，则C 的离心率为( ) A.63B.33C.23D.13[解析] (1)法一 由离心率e ＝ca ＝2，得c ＝2a ，又b 2＝c 2－a 2，得b ＝a ，所以双曲线C 的渐近线方程为y ＝±x .由点到直线的距离公式，得点(4，0)到C 的渐近线的距离为41＋1＝2 2.法二 离心率e ＝2的双曲线是等轴双曲线，其渐近线方程是y ＝±x ，∴点(4，0)到C 的渐近线的距离为41＋1＝2 2.(2)以线段A 1A 2为直径的圆是x 2＋y 2＝a 2，直线bx －ay ＋2ab ＝0与圆相切， 所以圆心(0，0)到直线的距离d ＝2aba 2＋b 2＝a ，整理为a 2＝3b 2，即b a ＝13.∴e ＝c a ＝a 2－b 2a＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝63. [答案] (1)D (2)A探究提高 1.分析圆锥曲线中a ，b ，c ，e 各量之间的关系是求解圆锥曲线性质问题的关键.2.确定椭圆和双曲线的离心率的值及范围，其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程(组)或不等式(组)，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式.建立关于a ，b ，c 的方程(组)或不等式(组)，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.3.求双曲线渐近线方程关键在于求b a 或ab 的值，也可将双曲线等号右边的“1”变为“0”，然后因式分解得到.【训练2】 (1)(2016·全国Ⅰ卷)直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为( ) A.13B.12C.23D.34 (2)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右支与焦点为F 的抛物线x 2＝2py (p ＞0)交于A ，B 两点，若|AF |＋|BF |＝4|OF |，则该双曲线的渐近线方程为________.[解析] (1)不妨设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，右焦点F (c ，0)，则直线l 的方程为x c ＋yb ＝1，即bx ＋cy －bc ＝0. 由题意|－bc |b 2＋c 2＝12b ，且a 2＝b 2＋c 2，得b 2c 2＝14b 2a 2，所以e ＝c a ＝12. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程：⎩⎨⎧x 2a 2－y 2b 2＝1，x 2＝2py ，消去x 得a 2y 2－2pb 2y ＋a 2b 2＝0，由根与系数的关系得y 1＋y 2＝2b 2a 2p ， 又∵|AF |＋|BF |＝4|OF |，∴y 1＋p 2＋y 2＋p 2＝4×p2，即y 1＋y 2＝p ， ∴2b 2a 2p ＝p ，即b 2a 2＝12⇒b a ＝22. ∴双曲线渐近线方程为y ＝±22x . [答案] (1)B (2)y ＝±22x 热点三 直线与圆锥曲线考法1 直线与圆锥曲线的位置关系【例3－1】 (2016·全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：y 2＝2px (p >0)于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连接ON 并延长交C 于点H . (1)求|OH ||ON |；(2)除H 以外，直线MH 与C 是否有其它公共点？说明理由. 解 (1)如图，由已知得M (0，t )，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 22p ，t ，又N 为M 关于点P 的对称点，故N ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2p ，t ，故直线ON 的方程为y ＝pt x ，将其代入y 2＝2px 整理得px 2－2t 2x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝2t 2p ，因此H ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 2p ，2t .所以N 为OH 的中点，即|OH ||ON |＝2.(2)直线MH 与C 除H 以外没有其它公共点，理由如下： 直线MH 的方程为y －t ＝p 2t x ，即x ＝2tp (y －t ). 代入y 2＝2px 得y 2－4ty ＋4t 2＝0， 解得y 1＝y 2＝2t ，即直线MH 与C 只有一个公共点，所以除H 以外，直线MH 与C 没有其它公共点.探究提高 1.本题第(1)问求解的关键是求点N ，H 的坐标.而第(2)问的关键是将直线MH 的方程与曲线C 联立，根据方程组的解的个数进行判断.2.判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次方程的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0.并且解题时注意应用根与系数的关系及设而不求、整体代换的技巧.【训练3】 (2018·潍坊模拟)在平面直角坐标系xOy 中，点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，且AB ＝2，延长BA 至P ，且A 为PB 的中点，记点P 的轨迹为曲线C . (1)求曲线C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋m 与圆O ：x 2＋y 2＝2相切，且l 与曲线C 交于M ，N 两点，Q 为曲线C 上一点，当四边形OMQN 为平行四边形，求k 的值. 解 (1)设P (x ，y )，A (x 0，0)，B (0，y 0)， 则有x 0＝x2，0＝y 0＋y 2，即y 0＝－y ，又|AB |＝2，得x 20＋y 20＝4.则x 24＋y 2＝4，∴曲线C 的方程为x 216＋y 24＝1. (2)由l 与圆O 相切， 得|m |k 2＋1＝2，即m 2＝2k 2＋2.① 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 216＋y 24＝1，消去y 整理得：(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－16＝0. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，x 1＋x 2＝－8km4k 2＋1，∴y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝2m4k 2＋1， ∴Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－8km4k 2＋1，2m 4k 2＋1， ∵Q 在曲线C 上，∴64k 2m 216（4k 2＋1）2＋4m 24（4k 2＋1）2＝1.得m 2＝4k 2＋1，② 由①，②解得k 2＝12， 所以实数k 的取值为±22. 考法2 有关弦的中点、弦长问题【例3－2】 (2018·全国Ⅲ卷)已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ：x 24＋y 23＝1交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M (1，m )(m >0). (1)证明：k <－12；(2)设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP →＋FA →＋FB →＝0.证明：2|FP →|＝|FA →|＋|FB→|. 证明 (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1.两式相减，并由y 1－y 2x 1－x 2＝k 得x 1＋x 24＋y 1＋y 23·k ＝0.由题设知x 1＋x 22＝1，y 1＋y 22＝m ，于是k ＝－34m . 由于点M (1，m )(m >0)在椭圆x 24＋y 23＝1内， ∴14＋m 23<1，解得0<m <32，故实数k <－12.(2)由题意得F (1，0).设P (x 3，y 3)，则(x 3－1，y 3)＋(x 1－1，y 1)＋(x 2－1，y 2)＝(0，0).由(1)及题设得x 3＝3－(x 1＋x 2)＝1，y 3＝－(y 1＋y 2)＝－2m <0. 又点P 在C 上，所以m ＝34，从而P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，|FP →|＝32.于是|FA →|＝（x 1－1）2＋y 21＝（x 1－1）2＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 214＝2－x 12.同理|FB →|＝2－x 22.所以|FA →|＋|FB →|＝4－12(x 1＋x 2)＝3. 故2|FP→|＝|FA →|＋|FB →|. 探究提高 1.在涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系与弦长公式|AB |＝1＋k 2|x 2－x 1|，设而不求计算弦长；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解，以简化运算.2.对于弦的中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在使用根与系数的关系时，要注意使用条件Δ>0，在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交.【训练4】 (2018·天津卷)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右顶点为A ，上顶点为B .已知椭圆的离心率为53，|AB |＝13. (1)求椭圆的方程；(2)设直线l ：y ＝kx (k <0)与椭圆交于P ，Q 两点，l 与直线AB 交于点M ，且点P ，M 均在第四象限.若△BPM 的面积是△BPQ 面积的2倍，求k 的值. 解 (1)设椭圆的焦距为2c ，由已知有c 2a 2＝59， 又由a 2＝b 2＋c 2，可得2a ＝3b .由|AB |＝a 2＋b 2＝13，从而a ＝3，b ＝2. 所以，椭圆的方程为x 29＋y 24＝1.(2)设点P 的坐标为(x 1，y 1)，点M 的坐标为(x 2，y 2)， 由题意，x 2>x 1>0，点Q 的坐标为(－x 1，－y 1).由△BPM 的面积是△BPQ 面积的2倍，可得|PM |＝2|PQ |， 从而x 2－x 1＝2[x 1－(－x 1)]，即x 2＝5x 1. 易知直线AB 的方程为2x ＋3y ＝6，由方程组⎩⎨⎧2x ＋3y ＝6，y ＝kx ，消去y ，得x 2＝63k ＋2.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 29＋y 24＝1，y ＝kx ，消去y ，得x 1＝69k 2＋4. 由x 2＝5x 1，得9k 2＋4＝5(3k ＋2)， 两边平方，整理得18k 2＋25k ＋8＝0， 解得k ＝－89，或k ＝－12.当k ＝－89时，x 2＝－9<0，不合题意，舍去； 当k ＝－12时，x 2＝12，x 1＝125，符合题意. 所以，k 的值为－12.1.椭圆、双曲线的方程形式上可统一为Ax 2＋By 2＝1，其中A ，B 是不等的常数，A ＞B ＞0时，表示焦点在y 轴上的椭圆；B ＞A ＞0时，表示焦点在x 轴上的椭圆；AB ＜0时表示双曲线.2.对涉及圆锥曲线上点到焦点距离或焦点弦问题，恰当选用定义解题，会效果明显，定义中的定值是标准方程的基础.3.求双曲线、椭圆的离心率的方法：法一：直接求出a ，c ，计算e ＝ca ；法二：根据已知条件确定a ，b ，c 的等量关系，然后把b 用a ，c 代换，求ca .4.弦长公式对于直线与椭圆的相交、直线与双曲线的相交、直线与抛物线的相交都是通用的，此公式可以记忆，也可以在解题的过程中，利用两点间的距离公式推导.5.求中点弦的直线方程的常用方法(1)点差法，设弦的两端点坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，分别代入圆锥曲线方程，两式作差，式中含有x 1＋x 2，y 1＋y 2，y 1－y 2x 1－x 2三个量，则建立了圆锥曲线的弦的中点坐标与弦所在直线的斜率之间的关系，借助弦的中点坐标即可求得斜率；(2)根与系数的关系，联立直线与圆锥曲线的方程，化为一元二次方程，用根与系数的关系求解.一、选择题1.(2018·全国Ⅰ卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 24＝1的一个焦点为(2，0)，则C 的离心率为( ) A.13B.12C.22D.223[解析] 不妨设a >0，由焦点F (2，0)，知c ＝2. ∴a 2＝4＋c 2＝8，a ＝2 2.故离心率e ＝c a ＝222＝22.[答案] C2.(2018·南昌质检)已知抛物线C ：x 2＝4y ，过抛物线C 上两点A ，B 分别作抛物线的两条切线PA ，PB ，P 为两切线的交点，O 为坐标原点，若PA →·PB →＝0，则直线OA 与OB 的斜率之积为( ) A.－14B.－3C.－18D.－4[解析] 设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x A ，x 2A 4，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x B ，x 2B 4，由x 2＝4y ，得y ′＝x 2.所以k AP ＝x A 2，k BP ＝x B 2，由PA →·PB →＝0，得PA ⊥PB .∴x A 2·x B 2＝－1，则x A ·x B ＝－4，又k OA ·k OB ＝x 2A 4x A ·x 2B 4x B ＝x A x B 16＝－14. [答案] A3.(2017·全国Ⅰ卷)已知F 是双曲线C ：x 2－y23＝1的右焦点，P 是C 上一点，且PF与x 轴垂直，点A 的坐标是(1，3)，则△APF 的面积为( ) A.13B.12C.23D.32[解析] 由c 2＝a 2＋b 2＝4得c ＝2，所以F (2，0)， 将x ＝2代入x 2－y 23＝1，得y ＝±3，所以|PF |＝3.又A 的坐标是(1，3)，故△APF 的面积为12×3×(2－1)＝32. [答案] D4.(2017·天津卷)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，△OAF 是边长为2的等边三角形(O 为原点)，则双曲线的方程为( ) A.x 24－y 212＝1 B.x 212－y 24＝1C.x 23－y 2＝1D.x 2－y 23＝1[解析] 依题意知c ＝2，ba ＝tan 60°＝3，又a 2＋b 2＝c 2＝4，解得a 2＝1，b 2＝3，故双曲线方程为x 2－y23＝1.[答案] D5.设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，过F 点且倾斜角为π4的直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，若以AB 为直径的圆过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，2，则该抛物线的方程为( )A.y 2＝2xB.y 2＝4xC.y 2＝8xD.y 2＝16x[解析] 易求直线l 的方程y ＝x －p2，① 又y 2＝2px ，②联立①，②，得x 2－3px ＋p 24＝0.不妨设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴x 1＋x 2＝3p ，x 1x 2＝p 24.又点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，2在以AB 为直径的圆上，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋p 2，y 1－2·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋p 2，y 2－2＝0. 化简2x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＋2p ＋p 22＝0， ∴p 2－4p ＋4＝0，从而p ＝2. 故所求的方程为y 2＝4x . [答案] B 二、填空题6.(2018·北京卷)已知直线l 过点(1，0)且垂直于x 轴.若l 被抛物线y 2＝4ax 截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为________.[解析] 由题意知，a >0，对于y 2＝4ax ，当x ＝1时，y ＝±2a ，由于l 被抛物线y 2＝4ax 截得的线段长为4，所以4a ＝4，所以a ＝1，所以抛物线的焦点坐标为(1，0). [答案] (1，0)7.(2018·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点F (c ，0)到一条渐近线的距离为32c ，则其离心率的值是________.[解析] 不妨设双曲线的一条渐近线方程为y ＝ba x ， 所以|bc |a 2＋b 2 ＝b ＝32c ，所以b 2＝c 2－a 2＝34c 2，得c ＝2a ， 所以双曲线的离心率e ＝ca ＝2. [答案] 28.抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，P (x 1，y 1)(x 1>1)、Q (x 2，y 2)是C 上不同的两点，若△PFQ 是以F 为顶点的等腰直角三角形，则|PF |＝________.[解析] 如图不妨设y 1>0，则Rt △PFQ 是以F 为顶点的等腰直角三角形， 由抛物线的定义及对称性，|FH |＝|PH |＝|HQ |＝y 1. 又x 1＝y 214>1，知y 1>2. ∴y 214－1＝y 1，解得y 1＝2＋2 2. 故|PF |＝2·|PH |＝4＋2 2.[答案] 4＋2 2 三、解答题9.(2018·全国Ⅱ卷)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为k (k >0)的直线l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝8. (1)求l 的方程；(2)求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程. 解 (1)由题意得F (1，0)，l 的方程为y ＝k (x －1)(k >0). 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).由⎩⎨⎧y ＝k （x －1），y 2＝4x得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.Δ＝16k 2＋16>0，故x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2.所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＝4k 2＋4k 2.由题设知4k 2＋4k 2＝8，解得k ＝－1(舍去)，k ＝1. 因此l 的方程为y ＝x －1.(2)由(1)得AB 的中点坐标为(3，2)，所以AB 的垂直平分线方程为y －2＝－(x －3)，即y ＝－x ＋5.设所求圆的圆心坐标为(x 0，y 0)，则 ⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝－x 0＋5，（x 0＋1）2＝（y 0－x 0＋1）22＋16. 解得⎩⎨⎧x 0＝3，y 0＝2或⎩⎨⎧x 0＝11，y 0＝－6.因此所求圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝16或(x －11)2＋(y ＋6)2＝144. 10.已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，右焦点为F (1，0). (1)求椭圆E 的标准方程；(2)设点O 为坐标原点，过点F 作直线l 与椭圆E 交于M ，N 两点，若OM ⊥ON ，求直线l 的方程.解(1)依题意可得⎩⎨⎧1a ＝22，a 2＝b 2＋1，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝1.∴椭圆E 的标准方程为x 22＋y 2＝1. (2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，①当MN 垂直于x 轴时，直线l 的方程为x ＝1，不符合题意； ②当MN 不垂直于x 轴时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1). 联立⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝k （x －1），消去y 得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2(k 2－1)＝0，∴x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1·x 2＝2（k 2－1）1＋2k 2.∴y 1·y 2＝k 2[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]＝－k 21＋2k 2.∵OM ⊥ON ，∴OM →·ON→＝0.∴x 1·x 2＋y 1·y 2＝k 2－21＋2k 2＝0，∴k ＝±2.故直线l 的方程为y ＝±2(x －1).11.(2017·北京卷)已知抛物线C ：y 2＝2px 过点P (1，1)，过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ，N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP ，ON 交于点A ，B ，其中O 为原点.(1)求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； (2)求证：A 为线段BM 的中点.(1)解 把P (1，1)代入y 2＝2px ，得p ＝12， 所以抛物线C 的方程为y 2＝x ， 焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，准线方程为x ＝－14.(2)证明 当直线MN 斜率不存在或斜率为零时，显然与抛物线只有一个交点不满足题意，所以直线MN (也就是直线l )斜率存在且不为零.由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋12(k ≠0)，l 与抛物线C 的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2).由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋12，y 2＝x ，消去y 得4k 2x 2＋(4k －4)x ＋1＝0. 考虑Δ＝(4k －4)2－4×4k 2＝16(1－2k )，由题可知有两交点，所以判别式大于零，所以k <12. 则x 1＋x 2＝1－k k 2，x 1x 2＝14k 2.因为点P 的坐标为(1，1)，所以直线OP 的方程为y ＝x ，点A 的坐标为(x 1，x 1).直线ON的方程为y＝y2x2x，点B的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x1，y2x1x2.因为y1＋y2x1x2－2x1＝y1x2＋y2x1－2x1x2x2＝⎝⎛⎭⎪⎫kx1＋12x2＋⎝⎛⎭⎪⎫kx2＋12x1－2x1x2x2＝（2k－2）x1x2＋12（x2＋x1）x2＝（2k－2）×14k2＋1－k2k2x2＝0.所以y1＋y2x1x2＝2x1.故A为线段BM的中点.。

抛物线【九大题型】专练【题型1 抛物线的定义及其应用】........................................................................................................................3【题型2 抛物线的标准方程】................................................................................................................................5【题型3 抛物线的焦点坐标及准线方程】............................................................................................................6【题型4 抛物线的轨迹方程】................................................................................................................................7【题型5 抛物线上的点到定点的距离及最值】....................................................................................................9【题型6 抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值】..............................................................................11【题型7 抛物线的焦半径公式】..........................................................................................................................14【题型8 抛物线的几何性质】..............................................................................................................................16【题型9 抛物线中的三角形（四边形）面积问题】 (18)1、抛物线【知识点1 抛物线及其性质】1．抛物线的定义(1)定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线.点F叫作抛物线的焦点，直线l叫作抛物线的准线.(2)集合语言表示设点M(x,y)是抛物线上任意一点，点M到直线l的距离为d，则抛物线就是点的集合P={M||MF|=d}.2．抛物线的标准方程与几何性质(0,0)(0,0)3．抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异：①它们都是轴对称图形，但椭圆和双曲线又是中心对称图形；②顶点个数不同，椭圆有4个顶点，双曲线有2个顶点，抛物线只有1个顶点；③焦点个数不同，椭圆和双曲线各有2个焦点，抛物线只有1个焦点；④离心率取值范围不同，椭圆的离心率范围是0<e<1,双曲线的离心率范围是e>1，抛物线的离心率是e=1；⑤椭圆和双曲线都有两条准线，而抛物线只有一条准线；⑥椭圆是封闭式曲线，双曲线和抛物线都是非封闭式曲线.【知识点2 抛物线标准方程的求解方法】1．抛物线标准方程的求解待定系数法：求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.【知识点3 抛物线的焦半径公式】1．焦半径公式设抛物线上一点P的坐标为，焦点为F.(1)抛物线：；(2)抛物线：(3)抛物线：；(4)抛物线：.注：在使用焦半径公式时，首先要明确抛物线的标准方程的形式，不同的标准方程对应于不同的焦半径公式.【知识点4 与抛物线有关的最值问题的解题策略】1．与抛物线有关的最值问题的两个转化策略(1)转化策略一：将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”“三角形两边之和大于第三边”，使问题得以解决.(2)转化策略二：将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决.【方法技巧与总结】1．通径：过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p.2．抛物线P，也称为抛物线的焦半径.【题型1 抛物线的定义及其应用】【例1】（2024·贵州贵阳·二模）抛物线y2=4x上一点M与焦点间的距离是10，则M到x轴的距离是（）A．4B．6C．7D．9【解题思路】借助抛物线定义计算即可得.【解答过程】抛物线y2=4x的准线为x=―1，由抛物线定义可得x M+1=10，故x M=10―1=9，则|y M|===6，即M到x轴的距离为6.故选：B.【变式1-1】（2024·河北·模拟预测）已知点P为平面内一动点，设甲：P的运动轨迹为抛物线，乙：P到平面内一定点的距离与到平面内一定直线的距离相等，则（）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【解题思路】根据已知条件，结合充分条件、必要条件的定义，即可求解．【解答过程】解：当直线经过定点时，点的轨迹是过定点且垂直于该直线的另一条直线，当直线不经过该定点时，点的轨迹为抛物线，故甲是乙的充分条件但不是必要条件．故选：A．【变式1-2】（2024·北京大兴·三模）已知抛物线y2=4x的焦点为F，过F且斜率为―1的直线与直线x=―1交于点A，点M在抛物线上，且满足|MA|=|MF|，则|MF|=（）A．1B C．2D．【解题思路】由题意先求出过F且斜率为―1的直线方程，进而可求出点A，接着结合点M在抛物线上且|MA|=|MF|可求出x M，从而根据焦半径公式|MF|=x M+1即可得解.【解答过程】由题意可得F(1,0)，故过F且斜率为―1的直线方程为y=―(x―1)=―x+1，令x=―1⇒y=2，则由题A(―1,2)，因为|MA|=|MF|，所以MA垂直于直线x=―1，故y M=2，又M 在抛物线上，所以由22=4x M ⇒x M =1，所以|MF |=x M +1=2.故选：C.【变式1-3】（2024·福建莆田·模拟预测）若抛物线C 的焦点到准线的距离为3，且C 的开口朝左，则C 的标准方程为（ ）A ．y 2=―6xB ．y 2=6xC ．y 2=―3xD ．y 2=3x【解题思路】根据开口设抛物线标准方程，利用p 的几何意义即可求出.【解答过程】依题意可设C 的标准方程为y 2=―2px(p >0)，因为C 的焦点到准线的距离为3，所以p =3，所以C 的标准方程为y 2=―6x .故选：A.【题型2 抛物线的标准方程】【例2】（2024·山东菏泽·模拟预测）已知点A (a,2)为抛物线x 2=2py (p >0)上一点，且点A 到抛物线的焦点F 的距离为3，则p =（ ）A ．12B ．1C ．2D ．4【解题思路】由题意,根据抛物线的性质,抛物线x 2=2py (p >0),则抛物线焦点为F 0,M (x 1,y 1)为 抛物线上一点,有|MF |=y 1+p 2,可得|AF |=2+p2=3,解得p =2.【解答过程】因为抛物线为x 2=2py (p >0),则其焦点在y 轴正半轴 上,焦点坐标为由于点A (a,2)为抛物线x 2=2py ,(p >0)为上一点,且点A 到抛物线的焦点F 的距离为3, 所以点A 到抛物线的焦点F 的距离为|AF |=2+p2=3,解得p =2,故选：C.【变式2-1】（2024·陕西安康·模拟预测）过点(2,―3)，且焦点在y 轴上的抛物线的标准方程是（ ）A ．x 2=―3yB ．x 2=―43yC ．x 2=―23yD ．x 2=―4y【解题思路】利用待定系数法，设出抛物线方程，把点代入求解即可.【解答过程】设抛物线的标准方程为x 2=ay (a ≠0)，将点点(2,―3)代入，得22=―3a，解得a=―43，所以抛物线的标准方程是x2=―43y.故选：B.【变式2-2】（2024·新疆·三模）已知抛物线y2=2px(p>0)上任意一点到焦点F的距离比到y轴的距离大1，则抛物线的标准方程为（）A．y2=x B．y2=2x C．y2=4x D．y2=8x【解题思路】根据抛物线的定义求解．【解答过程】由题意抛物线y2=2px(p>0)上任意一点到焦点F的距离与它到直线x=―1的距离相，因此―p2=―1，p=2，抛物线方程为y2=4x．故选：C．【变式2-3】（2024·宁夏石嘴山·三模）如图，过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于两点A、B，交其准线于C，AE与准线垂直且垂足为E，若|BC|=2|BF|,|AE|=3，则此抛物线的方程为（）A．y2=3x2B．y2=9xC．y2=9x2D．y2=3x【解题思路】过点A,B作准线的垂线，设|BF|=a，得到|AC|=3+3a，结合抛物线的定义，求得a=1，再由BD//FG，列出方程求得p的值，即可求解.【解答过程】如图所示，分别过点B作准线的垂线，垂足为D，设|BF|=a，则|BC|=2|BF|=2a，由抛物线的定义得|BD|=|BF|=a，在直角△BCD中，可得sin∠BCD=|BD||BC|=12，所以∠BCD=30∘，在直角△ACE中，因为|AE|=3，可得|AC|=3+3a，由|AC |=2|AE |，所以3+3a =6，解得a =1，因为BD //FG ，所以1p =2a3a ，解得p =32，所以抛物线方程为y 2=3x .故选：C.【题型3 抛物线的焦点坐标及准线方程】【例3】（2024·内蒙古赤峰·二模）已知抛物线C 的方程为 x =―116y 2, 则此抛物线的焦点坐标为（ ）A ．(-4,0)B ．―14,C ．(-2,0)D ．―12,【解题思路】由抛物线的几何性质求解．【解答过程】依题意得：y 2=―16x ，则此抛物线的焦点坐标为：―4，0，故选：A.【变式3-1】（2024·黑龙江大庆·模拟预测）已知抛物线C:y =6x 2，则C 的准线方程为（ ）A ．y =―32B ．y =32C ．y =―124D ．y =124【解题思路】根据抛物线的准线方程直接得出结果.【解答过程】抛物线C ：y =6x 2的标准方程为x 2=16y ，所以其准线方程为y =―124.故选：C.【变式3-2】（2024·河南·三模）抛物线y 2=―28x 的焦点坐标为（ ）A ．(0,―14)B ．(0,―7)C ．(―14,0)D ．(―7,0)【解题思路】根据抛物线的标准方程直接得出结果.【解答过程】∵2p =28,∴p =14,∴抛物线y 2=―28x 的焦点坐标为(―7,0).故选：D.【变式3-3】（2024·福建厦门·模拟预测）若抛物线y 2=mx 的准线经过双曲线x 2―y 2=2的右焦点，则m的值为（）A．―4B．4C．―8D．8【解题思路】根据题意，分别求得双曲线的右焦点以及抛物线的准线方程，代入计算，即可得到结果.【解答过程】因为双曲线x2―y2=2的右焦点为(2,0)，又抛物线y2=mx的准线方程为x=―m4，则―m4=2，即m=―8.故选：C.【题型4 抛物线的轨迹方程】【例4】（2024·湖南衡阳·三模）已知点F(2,0)，动圆P过点F，且与x=―2相切，记动圆圆心P点的轨迹为曲线Γ，则曲线Γ的方程为（）A．y2=2x B．y2=4x C．y2=8x D．y2=12x【解题思路】分析题意，利用抛物线的定义判断曲线是抛物线，再求解轨迹方程即可.【解答过程】由题意知，点P到点F的距离和它到直线x=―2的距离相等，所以点P的轨迹是以(2,0)为焦点的抛物线，所以Γ的方程为y2=8x，故C正确.故选：C.【变式4-1】（23-24高二上·北京延庆·期末）到定点F(1,0)的距离比到y轴的距离大1的动点且动点不在x轴的负半轴的轨迹方程是（）A．y2=8x B．y2=C．y2=2x D．y2=x【解题思路】根据抛物线的定义即可得解.【解答过程】因为动点到定点F(1,0)的距离比到y轴的距离大1，所以动点到定点F(1,0)的距离等于到x=―1的距离，所以动点的轨迹是以F(1,0)为焦点，x=―1为准线的抛物线，所以动点的轨迹方程是y2=4x.故选：B.【变式4-2】（23-24高二上·重庆·期末）已知点P(x,y)=|x+1|，则点P的轨迹为（）A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆【解题思路】根据已知条件及抛物线的定义即可求解.P(x,y)到点(1,0)的距离；|x+1|表示点P(x,y)到直线x=―1的距离.=|x+1|，所以点P(x,y)到点(1,0)的距离等于点P(x,y)到直线x=―1的距离，所以P的轨迹为抛物线.故选：C.【变式4-3】（23-24高二上·宁夏石嘴山·阶段练习）一个动圆与定圆F：(x+2)2+y2=1相内切，且与定直线l:x=3相切，则此动圆的圆心M的轨迹方程是（ ）A．y2=8x B．y2=4x C．y2=―4x D．y2=―8x【解题思路】先利用圆与圆的位置关系，直线与圆的位置关系找到动点M的几何条件，再根据抛物线的定义确定动点M的轨迹，最后利用抛物线的标准方程写出轨迹方程．【解答过程】设动圆M的半径为r，依题意：|MF|=r―1，点M到定直线x=2的距离为d=r―1，所以动点M到定点F(―2,0)的距离等于到定直线x=2的距离，即M的轨迹为以F为焦点，x=2所以此动圆的圆心M的轨迹方程是y2=―8x.故选：D．【题型5 抛物线上的点到定点的距离及最值】【例5】（2024·全国·模拟预测）已知A是抛物线C：y2=4x上的点，N(4,0)，则|AN|的最小值为（）A．2B．C．4D．【解题思路】由抛物线的方程，利用二次函数的性质求最值【解答过程】设,t，则|AN|===≥当且仅当t=±故选：D．【变式5-1】（2024高三·全国·专题练习）已知P是抛物线y2=2x上的点，Q是圆(x―5)2+y2=1上的点，则|PQ |的最小值是（ ）A ．2B ．C ．D ．3【解题思路】将问题转化为求|PC|的最小值，根据两点之间的距离公式，求得|PC|的最小值再减去半径即可.【解答过程】如图，抛物线上点P (x,y )到圆心C (5,0)的距离为|PC |,|CP |≤|CQ |+|PQ |，因此|PQ |≥|CP |―1，当|CP |最小时，|PQ |=|CP |―1最小，而|CP |2=(x ―5)2+y 2=―52+y 2=2―82+9，当y =±|CP |min =3，因此|PQ |的最小值是2．故选：A.【变式5-2】（2024·湖南益阳·三模）已知M 是抛物线y²=4x 上一点，圆C 1:(x ―1)2+(y ―2)2=1关于直线y =x ―1对称的圆为C 2，N 是圆C 2上的一点，则|MN |的最小值为（ ）A ．1B ―1C―1D ．37【解题思路】根据对称性求出圆C 2的方程，设y 0，求出|MC 2|的最小值，即可求出|MN |的最小值.【解答过程】圆C 1:(x ―1)2+(y ―2)2=1圆心为C 1(1,2)，半径r =1，设C 2(a,b )，=―1―1=0，解得a =3b =0，则C 2(3,0)，所以圆C2 :(x ―3)2+y 2=1，设y 0，则|MC 2|==所以当y 20=4，即y 0=±2时，|MC 2|min=所以|MN |的最小值是―1.故选：A.【变式5-3】（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知抛物线C:y2=8x的焦点为F，M为C上的动点，N为圆A:x2+ y2+2x+8y+16=0上的动点，设点M到y轴的距离为d，则|MN|+d的最小值为（）A．1B C D．2【解题思路】作出图形，过点M作ME垂直于抛物线的准线，垂足为点E，利用抛物线的定义可知d=|MF|―2，分析可知，当且仅当N、M为线段AF分别与圆A、抛物线C的交点时，|MN|+d取最小值，即可得解.【解答过程】根据已知得到F(2,0)，圆A:(x+1)2+(y+4)2=1，所以A(―1,―4)，圆A的半径为1，抛物线C的准线为l:x=―2，过点M作ME⊥l，垂足为点E，则|ME|=d+2，由抛物线的定义可得d+2=|ME|=|MF|，所以，|MN|+d=|MN|+|MF|―2≥|AM|+|MF|―1―2≥|AF|―1―2=1―2=2.当且仅当N、M为线段AF分别与圆A、抛物线C的交点时，两个等号成立，因此，|MN|+d的最小值为3.故选：D.【题型6 抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值】【例6】（2024·四川成都·模拟预测）设点A(2,3)，动点P在抛物线C:y2=4x上，记P到直线x=―2的距离为d，则|AP|+d的最小值为（）A．1B．3C1D【解题思路】根据抛物线的定义，P到焦点F的距离等于P到准线的距离，可得d=|PF|+1，从而转化为求|AP|+|PF|+1的值，当A,P,F三点共线时，d=|PF|+1取得最小值，即可求解.【解答过程】由题意可得，抛物线C的焦点F(1,0)，准线方程为x=―1，由抛物线的定义可得d=|PF|+1，所以|AP|+d=|AP|+|PF|+1，因为|AP|+|PF|≥|AF|==所以|AP|+d=|AP|+|PF|+1≥+1.当且仅当A,P,F三点共线时取等号，所以|AP|+d+1.故选：D.【变式6-1】（2024·湖南常德·一模）已知抛物线方程为:y2=16x，焦点为F.圆的方程为(x―5)2+(y―1)2 =1，设P为抛物线上的点，Q|PF|+|PQ|的最小值为（）A．6B．7C．8D．9【解题思路】根据抛物线定义将点到焦点的距离转化为点到直线的距离，即|PF|=|PN|，从而得到|PF|+ |PQ|=|PN|+|PQ|，P、Q、N三点共线时和最小；再由Q在圆上，|QN|min=|MN|―r得到最小值.【解答过程】由抛物线方程为y2=16x，得到焦点F(4,0)，准线方程为x=―4，过点P做准线的垂线，垂足为N，因为点P在抛物线上，所以|PF|=|PN|，所以|PF|+|PQ|=|PN|+|PQ|，当Q点固定不动时，P、Q、N三点共线，即QN垂直于准线时和最小，又因为Q在圆上运动，由圆的方程为(x―5)2+(y―1)2=1得圆心M(5,1)，半径r=1，所以|QN|min=|MN|―r=8，故选：C.【变式6-2】（2024·全国·模拟预测）在直角坐标系xOy中，已知点F(1,0)，E(―2,0)，M(2,2)，动点P满足线段PE的中点在曲线y2=2x+2上，则|PM|+|PF|的最小值为（）A．2B．3C．4D．5【解题思路】设P(x,y)，由题意求出P的轨迹方程，继而结合抛物线定义将|PM|+|PF|的最小值转化为M 到直线l的距离，即可求得答案.【解答过程】设P(x,y)，则PE y2=2x+2，可得y2=4x，故动点P的轨迹是以F为焦点，直线l：x=―1为准线的抛物线，由于22<4×2，故M(2,2)在抛物线y2=4x内部，过点P作PQ⊥l，垂足为Q，则|PM|+|PF|=|PM|+|PQ|，（抛物线的定义），故当且仅当M，P，Q三点共线时，|PM|+|PQ|最小，即|PM|+|PF|最小，最小值为点M到直线l的距离，所以(|PM|+|PF|)min=2―(―1)=3，故选：B．【变式6-3】（2024·陕西西安·一模）设P为抛物线C：y2=4x上的动点，A(2,6)关于P的对称点为B，记P到直线x=―1、x=―4的距离分别d1、d2，则d1+d2+|AB|的最小值为（）A B．C+3D．+3【解题思路】根据题意得到d1+d2+|AB|=2d1+3+2|PA|=2(d1+|PA|)+3，再利用抛物线的定义结合三角不等式求解.【解答过程】抛物线C：y2=4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x=―1，如图，因为d 2=d 1+3，且A (2,6)关于P 的对称点为B ，所以|PA |=|PB |，所以d 1+d 2+|AB |=2d 1+3+2|PA |=2(d 1+|PA |)+3 =2(|PF |+|PA |)+3≥2|AF |+3 ==.当P 在线段AF 与抛物线的交点时，d 1+d 1+|AB |取得最小值，且最小值为.故选：D.【题型7 抛物线的焦半径公式】【例7】（2024·青海西宁·一模）已知F 是抛物线C:x 2=4y 的焦点，点M 在C 上，且M 的纵坐标为3，则|MF |=（ ）A ．B ．C ．4D ．6【解题思路】利用抛物线的标准方程和抛物线的焦半径公式即可求解.【解答过程】由x 2=4y ，得2p =4，解得p =2.所以抛物线C:x 2=4y 的焦点坐标为F (0,1)，准线方程为y =―1，又因为M 的纵坐标为3，点M 在C 上，所以|MF |=y M +p2=3+22=4.故选：C.【变式7-1】（2024·河南·模拟预测）已知抛物线C:y 2=2px (p >0)上的点(m,2)到原点的距离为为F ，准线l 与x 轴的交点为M ，过C 上一点P 作PQ ⊥l 于Q ，若∠FPQ =2π3，则|PF |=（ ）A ．13B ．12C D ．23【解题思路】根据点(m,2)到原点的距离为再设点P 坐标，利用抛物线的定义和等腰三角形的性质列出方程即可求解.【解答过程】因为点(m,2)到原点的距离为所以m 2+22=8，解得m =2，（负值舍），将点(2,2)代入抛物线方程y 2=2px (p >0)，得4=4p ，所以p =1，所以C:y 2=2x,F(12,0),l:x =―12.由于抛物线关于x 轴对称，不妨设，因为|PQ|=|PF|=x +12，∠FPQ =2π3，所以△PQF 为等腰三角形，∠PQF =π6，所以|QF|=+12)，所以|QF|==+12)，解得x =16或x =―12(舍)，所以|PF |=16+12=23.故选：D.【变式7-2】（2024·新疆·三模）已知抛物线C ：y 2=x 的焦点为F ，在抛物线C 上存在四个点P ，M ，Q ，N ，若弦PQ 与弦MN 的交点恰好为F ，且PQ ⊥MN ，则1|PQ |+1|MN |=（ ）A B ．1C D ．2【解题思路】由抛物线的方程可得焦点F 的坐标，应用抛物线焦点弦性质|PF |=p1―cos θ，|QF |=p1+cos θ，|MF |=p1+sin θ，|NF |=p1―sin θ，结合三角的恒等变换的化简可得1|PQ |+1|MN |=12p ，即可求解.【解答过程】由抛物线C:y 2=x 得2p =1，则p =12，F(14,0)，不妨设PQ 的倾斜角为θ0<θ<则由|PF |cos θ+p =|PF |，p ―|QF |cos θ=|QF |，得|PF |=p 1―cos θ，|QF |=p1+cos θ，所以|MF |==p1+sin θ，|NF |==p1―sin θ，得|PQ |=|PF |+|QF |=p1―cos θ+p1+cos θ=2psin 2θ，|MN |==2pcos 2θ，所以1|PQ |+1|MN |=12p =1.故选：B.【变式7-3】（2024·北京西城·三模）点F 抛物线y 2=2x 的焦点，A ，B ，C 为抛物线上三点，若FA +FB +FC =0，则|FA |+|FB |+|FC |=（ ）A ．2B ．C ．3D ．【解题思路】设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),C(x 3,y 3)，根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程，再由FA +FB +FC =0可得F 为△ABC 的重心，从而可求出x 1+x 2+x 3，再根据抛物线的定义可求得结果.【解答过程】设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),C(x 3,y 3)，由y 2=2x ，得p =1，所以F(12,0)，准线方程为x =―12，因为FA +FB +FC =0，所以F 为△ABC 的重心，所以x 1+x 2+x 33=12，所以x 1+x 2+x 3=32，所以|FA |+|FB |+|FC |=x 1+12+x 2+12+x 3+12=x 1+x 2+x 3+32=32+32=3，故选：C.【题型8 抛物线的几何性质】【例8】（2024·重庆·模拟预测）A,B 是抛物线y 2=2px(p >0)上的不同两点，点F 是抛物线的焦点，且△OAB 的重心恰为F ，若|AF|=5，则p =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【解题思路】根据重心可得x 1+x 2=3p 2y 1=―y 2，结合对称性可得x 1=3p4，再根据抛物线的定义运算求解.【解答过程】设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，因为△OAB 的重心恰为F=p2=0，解得x 1+x 2=3p2y 1=―y 2，由y 1=―y 2可知A,B 关于x 轴对称，即x 1=x 2，则x 1+x 2=2x 1=3p2，即x 1=3p 4，又因为|AF |=x 1+p2=5p 4=5，解得p =4.故选：D.【变式8-1】（23-24高二下·福建厦门·期末）等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线y 2=2x 上，则这个等边三角形的边长为（ ）A ．2B ．C ．4D．【解题思路】正三角形的另外两个顶点关于x 轴对称，设另外两个顶点坐标分别是A ),B―a)，把顶点代入抛物线方程化简即可求解.【解答过程】设正三角形得边长为2a ，由图可知正三角形的另外两个顶点关于x 轴对称，可设另外两个顶点坐标分别是A),B―a )，把顶点代入抛物线方程得a 2=解得a =所以正三角形的边长为故选：D.【变式8-2】（23-24高三下·北京·阶段练习）设抛物线C 的焦点为F ，点E 是C 的准线与C 的对称轴的交点，点P 在C 上，若∠PEF =30°，则sin ∠PFE =（ ）A B C D 【解题思路】先设P(x 0,y 0)，根据图形分别表示出tan ∠ P EF 和sin ∠ P FE 即可得解.【解答过程】由于抛物线的对称性，不妨设抛物线为C:y 2=2px(p >0)，则其焦点为F(p2,0)，点E 是C 的准线与C 的对称轴的交点，其坐标为E(―p2,0)，点P 在C 上，设为P(x 0,y 0)，若∠ P EF =30∘，则tan ∠ P EF =|y 0|x 0+p 2=且|PF|=x 0+p 2，则sin ∠ P FE =sin (π―∠ P FE )=|y 0||PF|=故选：B.【变式8-3】（23-24高二下·重庆·阶段练习）已知x 轴上一定点A (a,0)(a >0)，和抛物线y 2=2px (p >0)上的一动点M ，若|AM |≥a 恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．B ．(0,p ]C ．D ．(0,2p ]【解题思路】设M (x 0,y 0) (x 0≥0)，表示出|AM |，依题意可得x 20―(2a ―2p )x 0≥0恒成立，分x 0=0和x 0>0两种情况讨论，当x0>0时x0≥2a―2p恒成立，即可得到2a―2p≤0，从而求出a的取值范围.【解答过程】设M(x0,y0)(x0≥0)，则y20=2px0，所以|AM|====因为|AM|≥a恒成立，所以x20―(2a―2p)x0+a2≥a2恒成立，所以x20―(2a―2p)x0≥0恒成立，当x0=0时显然恒成立，当x0>0时x0≥2a―2p恒成立，所以2a―2p≤0，则a≤p，又a>0，所以0<a≤p，即实数a的取值范围为(0,p].故选：B.【题型9 抛物线中的三角形（四边形）面积问题】【例9】（2024·江西新余·二模）已知点Q(2,―2)在抛物线C：y2=2px上，F为抛物线的焦点，则△OQF （O为坐标原点）的面积是（）A．12B．1C．2D．4【解题思路】将点Q代入抛物线C的方程，即可求解p，再结合抛物线的公式，即可求解【解答过程】∵点Q(2,―2)在抛物线C:y2=2px上，F为抛物线C的焦点，∴4=4p，解得p=1，故抛物线C的方程为y2=2x，F(12,0)，则△OQF的面积S△OQF=12×12×2=12．故选：A．【变式9-1】（23-24高二上·广东广州·期末）已知抛物线C：y2=2px（p>0）的焦点为F，直线l与C相交于A、B两点，与y轴相交于点E．已知|AF|=5，|BF|=3，若△AEF的面积是△BEF面积的2倍，则抛物线C的方程为（）A ．y 2=2xB ．y 2=4xC ．y 2=6xD ．y 2=8x【解题思路】过A,B 分别作C 的准线的垂线交y 轴于点M,N ，根据抛物线定义可得|AM |=5―p2，|BN |=3―p 2，再由S △AEF S △BEF=|AE ||BE |=|AM ||BN |即可求参数p ，进而可得抛物线方程.【解答过程】如图，过A,B 分别作C 的准线的垂线交y 轴于点M,N ，则AM //BN ，故|AE ||BE |=|AM ||BN |，因为C 的准线为x =―p2，所以|AM |=|AF |―p2=5―p2，|BN |=|BF |―p2=3―p2，所以S △AEFS △BEF=12|EF ||AE |sin ∠AEF 12|EF ||BE |sin ∠BEF =|AE ||BE |=|AM ||BN |=5―p 23―p 2=2，解得p =2，故抛物线C 的方程为y 2=4x .故选：B.【变式9-2】（23-24高二上·广东广州·期末）设F 为抛物线y 2=4x 的焦点，A,B,C 为该抛物线上不同的三点，且FA +FB +FC =0,O 为坐标原点，若△OFA 、△OFB 、△OFC 的面积分别为S 1、S 2、S 3，则S 21+S 22+S 23=（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【解题思路】设点A,B,C 的坐标，再表示出△OFA,△OFB,△OFC 的面积，借助向量等式即可求得答案.【解答过程】设点A,B,C 的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2),(x 3,y 3)，而抛物线的焦点F(1,0)，|OF|=1，FA =(x 1―1,y 1),FB =(x 2―1,y 2),FC =(x 3―1,y 3)，由FA +FB +FC =0，得x 1+x 2+x 3=3，于是S 1=12|y 1|,S 2=12|y 2|,S 3=12|y 3|，所以S 21+S 22+S 23=14(y 21+y 22+y 23)=x 1+x 2+x 3=3.故选：A.【变式9-3】（23-24高二·全国·课后作业）已知抛物线C：y2=8x，点P为抛物线上任意一点，过点P向圆D：x2+y2―4x+3=0作切线，切点分别为A，B，则四边形PADB的面积的最小值为（）A．1B．2C D【解题思路】由题意圆的圆心与抛物线的焦点重合，可得连接PD，则S四边形PADB=2S Rt△PAD=|PA|，而|PA|=|PD|最小时，四边形PADB的面积最小，再抛物线的定义转化为点P到抛物线的准线的距离的最小值，结合抛物线的性质可求得结果【解答过程】如图，连接PD，圆D：(x―2)2+y2=1，该圆的圆心与抛物线的焦点重合，半径为1，则S四边形PADB=2S Rt△PAD=|PA|．又|PA|=PADB的面积最小时，|PD|最小．过点P向抛物线的准线x=―2作垂线，垂足为E，则|PD|=|PE|，当点P与坐标原点重合时，|PE|最小，此时|PE|=2．==故S四边形PADBmin故选：C.一、单选题1．（2024·江西·模拟预测）若抛物线x 2=8y 上一点(x 0,y 0)到焦点的距离是该点到x 轴距离的2倍．则y 0=（ ）A ．12B ．1C ．32D ．2【解题思路】根据抛物线的方程，结合抛物线的标准方程，得到抛物线的焦点和准线，利用抛物线的定义，得到抛物线上的点(x 0,y 0)到焦点的距离，根据题意得到关于y 0的方程，求解即可．【解答过程】已知拋物线的方程为x 2=8y ，可得p =4．所以焦点为F (0,2)，准线为l ：y =―2．抛物线上一点A (x 0,y 0)到焦点F 的距离等于到准线l 的距离，即|AF |=y 0+2，又∵A 到x 轴的距离为y 0，由已知得y 0+2=2y 0，解得y 0=2．故选：D ．2．（2024·四川·模拟预测）已知抛物线C:x 2=8y 的焦点为F,P 是抛物线C 上的一点，O 为坐标原点，|OP |=4|PF |=（ ）A ．4B ．6C ．8D ．10【解题思路】求出抛物线焦点和准线方程，设P (m,n )(m ≥0)，结合|OP |=n =4，由焦半径公式得到答案.【解答过程】抛物线C:x 2=8y 的焦点为F (0,2)，准线方程为y =―2，设P (m,n )(m ≥0)=，解得n =4或n =―12（舍去），则|PF |=n +2=6．故选：B ．3．（23-24高二下·甘肃白银·期中）若圆C 与x 轴相切且与圆x 2+y 2=4外切，则圆C 的圆心的轨迹方程为（ ）A ．x 2=4y +4B ．x 2=―4y +4C ．x 2=4|y |+4D ．x 2=4y ―4【解题思路】设圆心坐标为(x,y )=2+|y |，化简整理即可得解.【解答过程】设圆心坐标为(x,y)=2+|y|，化简得x2=4|y|+4，即圆C的圆心的轨迹方程为x2=4|y|+4.故选：C.4．（2024·北京海淀·三模）已知抛物线y2=4x的焦点为F、点M在抛物线上，MN垂直y轴于点N，若|MF|=6，则△MNF的面积为（）A．8B．C．D．【解题思路】确定抛物线的焦点和准线，根据|MF|=6得到M.【解答过程】因为抛物线y2=4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x=―1，所以|MF|=x M+1=6，故x M=5，不妨设M在第一象限，故M×(5―0)×=所以S△MNF=12故选：C.5．（2024·西藏林芝·模拟预测）已知抛物线y2=8x上一点P到准线的距离为d1，到直线l:4x―3y+12=0的距离为d2，则d1+d2的最小值为（）A．1B．2C．3D．4【解题思路】点P到直线l:4x―3y+12=0的距离为|PA|，到准线l1:x=―2的距离为|PB|，利用抛物线的定义得|PF|=|PB|，当A，P和F共线时，点P到直线l:4x―3y+12=0和准线l1:x=―2的距离之和的最小，由点到直线的距离公式求得答案.【解答过程】由抛物线y2=8x知，焦点F(2,0)，准线方程为l:x=―2，根据题意作图如下；点P到直线l:4x―3y+12=0的距离为|PA|，到准线l1:x=―2的距离为|PB|，由抛物线的定义知：|PB|=|PF|，所以点P到直线l:4x―3y+12=0和准线l1:x=―2的距离之和为|PF|+|PA|，=4，且点F(2,0)到直线l:4x―3y+12=0的距离为d=|8―0+12|5所以d1+d2的最小值为4.故选：D.6．（2024·四川雅安·三模）已知过圆锥曲线的焦点且与焦点所在的对称轴垂直的弦被称为该圆锥曲线的通径，清代数学家明安图在《割圆密率捷法》中，也称圆的直径为通径.已知圆(x―2)2+(y+1)2=4的一条直径与拋物线x2=2py(p>0)的通径恰好构成一个正方形的一组邻边，则p=（）B．1C．2D．4A．12【解题思路】根据圆的通径的上端点就是抛物线通径的上右端点，可得抛物线x2=2py(p>0)经过点(2,1)，从而可得答案.【解答过程】因为圆(x―2)2+(y+1)2=4的一条直径与抛物线x2=2py(p>0)的通径恰好构成一个正方形的一组邻边，而抛物线x2=2py(p>0)的通径与y轴垂直，所以圆(x―2)2+(y+1)2=4的这条直径与x轴垂直，且圆的直径的上端点就是抛物线通径的右端点，因为圆(x―2)2+(y+1)2=4的圆心为(2,―1)，半径为2，所以该圆与x轴垂直的直径的上端点为(2,1)，即抛物线x2=2py(p>0)经过点(2,1)，则4=2p，即p=2.故选：C.7．（2024·山西运城·三模）已知抛物线C:y 2=4x 的焦点为F ，动点M 在C 上，点B 与点A (1,―2)关于直线l:y =x ―1对称，则|MF ||MB |的最小值为（ ）AB ．12CD ．13【解题思路】根据对称性可得B(―1,0)，即点B 为C 的准线与x 轴的交点，作MM ′垂直于C 的准线于点M ′，结合抛物线的定义可知|MF ||MB |=|MM ′||MB |= cos θ(∠MBF =θ)，结合图象可得当直线MB 与C 相切时，cos θ最小，求出切线的斜率即可得答案.【解答过程】依题意，F(1,0)，A(1,―2)，设B(m,n)=―1m+12―1，解得m =―1n =0，即B(―1,0)，点B 为C 的准线与x 轴的交点，由抛物线的对称性，不妨设点M 位于第一象限，作MM ′垂直于C 的准线于点M ′，设∠MBF =θ,θ∈ (0,π2)，由抛物线的定义得|MM ′|=|MF |，于是|MF ||MB |=|MM ′||MB |= cos θ，当直线MB 与C 相切时，θ最大，cos θ最小，|MF||MB|取得最小值，此时直线BM 的斜率为正，设切线MB 的方程为x =my ―1(m >0)，由x =my ―1y 2=4x消去x 得y 2―4my +4=0，则Δ=16m 2―16=0，得m =1，直线MB 的斜率为1，倾斜角为π4，于是θmax =π4，(cos θ)min =，所以|MF||MB|的最小值为故选：A.8．（2024·江西九江·二模）已知抛物线C:y 2=2px 过点A (1,2)，F 为C 的焦点，点P 为C 上一点，O 为坐标原点，则（ ）A ．C 的准线方程为x =―2B ．△AFO 的面积为1C ．不存在点P ，使得点P 到C 的焦点的距离为2D ．存在点P ，使得△POF 为等边三角形【解题思路】求解抛物线方程，得到准线方程，判断A ；求解三角形的面积判断B ；利用|PF|=2．判断C ；判断P 的位置，推出三角形的形状，判断D ．【解答过程】由题意抛物线C:y 2=2px 过点A(1,2)，可得p =2，所以抛物线方程为C:y 2=4x ，所以准线方程为x =―1，A 错误；可以计算S △AFO =12×1×2=1，B 正确；当P(1,2)时，点P 到C 的焦点的距离为2，C 错误；△POF 为等边三角形，可知P 的横坐标为：12，当x =12时，纵坐标为：则12×=≠则△POF 为等腰三角形，不是等边三角形，故等边三角形的点P 不存在，所以D 错误．故选：B ．二、多选题9．（2024·湖南长沙·二模）已知抛物线C 与抛物线y 2=4x 关于y 轴对称，则下列说法正确的是（ ）A ．抛物线C 的焦点坐标是(―1,0)B ．抛物线C 关于y 轴对称C ．抛物线C 的准线方程为x =1D ．抛物线C 的焦点到准线的距离为4【解题思路】依题意可得抛物线C 的方程为y 2=―4x ，即可得到其焦点坐标与准线方程，再根据抛物线的性。

第2讲 椭圆、双曲线、抛物线 (推荐时间：60分钟) 一、填空题 1．(2011·湖南改编)设双曲线x 2a 2－y 29＝1(a >0)的渐近线方程为3x ±2y ＝0，则a 的值为________．2．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，则p 的值为________．3．(2011·江西)若双曲线y 216－x 2m＝1的离心率e ＝2，则m ＝________. 4．P 为双曲线x 29－y 216＝1的右支上一点，M 、N 分别是圆(x ＋5)2＋y 2＝4和(x －5)2＋y 2＝1上的点，则PM －PN 的最大值为________．5．两个正数a 、b 的等差中项是52，一个等比中项是6，且a >b ，则双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e 等于________．6．设F 1、F 2分别是双曲线x 2－y 29＝1的左、右焦点，若点P 在双曲线上，且PF 1→·PF 2→＝0，则|PF 1→＋PF 2→|等于________．7．(2011·山东改编)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线均和圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为________．8．已知F 1(－c,0)，F 2(c,0)为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的两个焦点，P 为椭圆上一点且PF 1→·PF 2→＝c 2，则此椭圆离心率的取值范围是____________．9．(2011·辽宁)已知点(2,3)在双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)上，C 的焦距为4，则它的离心率为________．10．已知抛物线y ＝2x 2上任意一点P ，则点P 到直线x ＋2y ＋8＝0的距离的最小值为________．11．已知椭圆长轴长为短轴长的3倍且经过点P (3,0)，则椭圆的标准方程是________________．12．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)的离心率为e ＝2，过双曲线上一点M 作直线MA ，MB 交双曲线于A ，B 两点，且斜率分别为k 1，k 2，若直线AB 过原点O ，则k 1·k 2的值为________．二、解答题13．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，直线l 过点A (4,0)且与抛物线交于P 、Q 两点，并设以弦PQ 为直径的圆恒过原点．(1)求焦点坐标；(2)若FP →＋FQ →＝FR →，试求动点R 的轨迹方程．14. (2011·陕西)如图，设P 是圆x 2＋y 2＝25上的动点，点D 是P 在x 轴上的投影，M 为PD 上一点，且MD ＝45PD . (1)当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的长度． 15．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的离心率e ＝12，右焦点到直线x a ＋y b ＝1的距离d ＝217，O 为坐标原点．(1)求椭圆C 的方程；(2)过点O 作两条互相垂直的射线，与椭圆C 分别交于A ，B 两点，证明：点O 到直线AB 的距离为定值．答 案1．2 2. 2 3. 48 4. 9 5. 133 6. 210 7.x 25－y 24＝1 8.⎣⎡⎦⎤33，22 9．2 10. 127580 11. x 29＋y 2＝1或y 281＋x 29＝1 12. 3 13．解 (1)设直线的方程为x ＝ky ＋4，代入y 2＝2px ，得y 2－2kpy －8p ＝0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则有y 1＋y 2＝2kp ，y 1y 2＝－8p .而OP →·OQ →＝0，故0＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ky 1＋4)(ky 2＋4)－8p ＝k 2y 1y 2＋4k (y 1＋y 2)＋16－8p ， 即0＝－8k 2p ＋8k 2p ＋16－8p ，得p ＝2，所以焦点F (1,0)．(2)设R (x ，y )，由FP →＋FQ →＝FR →得(x 1－1，y 1)＋(x 2－1，y 2)＝(x －1，y )，所以x 1＋x 2＝x ＋1，y 1＋y 2＝y .而y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，可得y (y 1－y 2)＝(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)．又FR 的中点坐标为M (x ＋12，y 2)， 当x 1≠x 2时，由k PQ ＝k MA 得4y ＝y 1－y 2x 1－x 2＝y 2x ＋12－4， 整理得y 2＝4x －28.当x 1＝x 2时，R 的坐标为(7,0)，也满足y 2＝4x －28.所以y 2＝4x －28即为动点R 的轨迹方程．14. 解 (1)设M 的坐标为(x ，y )，P 的坐标为(x P ，y P )， 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x P ＝x ，y P ＝54y ， ∵P 在圆上， ∴x 2＋(54y )2＝25， 即轨迹C 的方程为x 225＋y 216＝1. (2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y ＝45(x －3)， 设直线与C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线方程y ＝45(x －3)代入C 的方程，得x 225＋(x －3)225＝1，即x 2－3x －8＝0. ∴x 1＝3－412，x 2＝3＋412. ∴线段AB 的长度为 AB ＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝(1＋1625)(x 1－x 2)2 ＝4125×41＝415. 15．(1)解 由e ＝12得c a ＝12， 即a ＝2c ，b ＝3c .由右焦点到直线x a ＋y b＝1的距离为 d ＝217，得|bc －ab |a 2＋b2＝217， 解得a ＝2，b ＝ 3.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)证明 ①直线AB 斜率不存在时， 设A (m ，n )，B (m ，－n )，则n m ×－n m＝－1，∴m 2＝n 2. 把m 2＝n 2代入x 24＋y 23＝1，得m 2＝127. ∴O 到直线AB 的距离为|m |＝2217. ②直线AB 斜率存在时，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ，与椭圆x 24＋y 23＝1联立消去y 得 (3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0，x 1＋x 2＝－8km 3＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－123＋4k 2. ∵OA ⊥OB ，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0，∴x 1x 2＋(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝0.即(k 2＋1)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝0，∴(k 2＋1)4m 2－123＋4k 2－8k 2m 23＋4k2＋m 2＝0， 整理得7m 2＝12(k 2＋1)，所以O 到直线AB 的距离d ＝|m |k 2＋1＝127＝2217. 由①②可知，点O 到直线AB 的距离为定值．。

高考数学 第十二单元 椭圆、双曲线、抛物线 专题一.选择题(1) 抛物线24x y =上一点A 的纵坐标为4，则点A 与抛物线焦点的距离为 ( ) A 2 B 3 C 4 D 5(2) 若焦点在x 轴上的椭圆2212x y m +=的离心率为12，则m= ( )Ａ Ｂ32 Ｃ83Ｄ23(3) 若方程x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴上的椭圆, 那么实数k 的取值范围是 ( )A (0, +∞)B (0, 2)C (1, +∞)D (0, 1)(4) 设P 是双曲线19222=-y ax 上一点，双曲线的一条渐近线方程为023=-y x ,F 1、F 2分别是双曲线的左、右焦点，若3||1=PF ，则=||2PF( )A 1或 5B 6C 7D 9(5) 对于抛物线y 2=2x 上任意一点Q, 点P (a, 0)都满足|P Q |≥|a |, 则a 的取值范围是 ( )A [0, 1]B (0, 1)C (]1，∞-D (-∞, 0)(6) 若椭圆)0(12222〉〉=+b a by a x 的左、右焦点分别为F 1、F 2，线段F 1F 2被抛物线y 2=2bx的焦点分成5：3两段，则此椭圆的离心率为( )A1716 B 17174 C 54D 552(7) 已知双曲线)0(1222>=-a y ax 的一条准线与抛物线x y 62-=的准线重合，则该双曲线的离心率为 ( )A23 B23C 26D332 (8) 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)是抛物线y 2=2p x(p >0)上的两点,并且满足O A ⊥O B. 则y 1y 2等于( )A – 4p 2B 4p 2C – 2p 2D 2p 2(9) 已知双曲线1222=-y x 的焦点为F 1、F 2，点M 在双曲线上且120,MF MF ⋅=u u u u r u u u u r 则点M 到x 轴的距离为( )A43B53C 3(10) 设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是 ( )A2B C 21 二.填空题(11) 若双曲线的渐近线方程为x y 3±=，它的一个焦点是()0,10，则双曲线的方程是__________.(12)设中心在原点的椭圆与双曲线2 x 2-2y 2=1有公共的焦点,且它们的离心率互为倒数,则该椭圆的方程是 .(13) 过双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于M 、N 两点，以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于_________．(14) 以下同个关于圆锥曲线的命题中①设A 、B 为两个定点，k 为非零常数，k PB PA =-||||，则动点P 的轨迹为双曲线； ②过定圆C 上一定点A 作圆的动弦AB ，O 为坐标原点，若),(21OB OA OP +=则动点P 的轨迹为椭圆；③方程02522=+-x x 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④双曲线13519252222=+=-y x y x 与椭圆有相同的焦点. 其中真命题的序号为 （写出所有真命题的序号）三.解答题(15)点A 、B 分别是椭圆1203622=+y x 长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，PF PA ⊥.求点P 的坐标； .(16) 已知抛物线C: y=-21x 2+6, 点P （2, 4）、A 、B 在抛物线上, 且直线PA 、PB 的倾斜角互补.(Ⅰ)证明:直线AB 的斜率为定值;(Ⅱ)当直线AB 在y 轴上的截距为正数时, 求△PAB 面积的最大值及此时直线AB 的方程.(17) 双曲线12222=-by a x (a>1,b>0)的焦距为2c,直线l 过点(a,0)和(0,b),且点(1,0)到直线l的距离与点(-1,0)到直线l 的距离之和s ≥54c.求双曲线的离心率e 的取值范围(18) 已知抛物线)0(22>=p px y 的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4、且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5.过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M.（1）求抛物线方程；（2）过M 作FA MN ⊥，垂足为N ，求点N 的坐标；（3）以M 为圆心，MB 为半径作圆M ，当)0,(m K 是x 轴上一动点时，讨论直线AK 与圆M 的位置关系.参考答案 一选择题: 1.D[解析]：点A 与抛物线焦点的距离就是点A 与抛物线准线的距离，即5)1(4=-- 2.B[解析]：∵焦点在x 轴上的椭圆2212x y m +=的离心率为12，∴2122=-m 则m=233.D[解析]： ∵方程x 2+ky 2=2，即12222=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆 ∴22>k故10<<k 4.C[解析]：双曲线19222=-y ax 的一条渐近线方程为023=-y x ，故2=a 又P 是双曲线上一点，故4||||||21=-PF PF ，而3||1=PF ，则=||2PF 7 5.C[解析]：对于抛物线y 2=2x 上任意一点Q, 点P(a, 0)都满足|PQ|≥|a |, 若,0≤a 显然适合若0>a ，点P(a, 0)都满足|PQ|≥|a |就是2222)2(y y a a +-≤ 即1142≤+≤y a ，此时10≤<a 则a 的取值范围是(]1，∞- 6.D[解析]：3522=-+b c bc ，5245222==∴=∴=a c e a c b c 7.D[解析]：双曲线)0(1222>=-a y a x 的准线为122+±=a a x抛物线x y 62-=的准线为23=x 因为两准线重合，故122+a a =23，2a =3，则该双曲线的离心率为328.A[解析]：∵A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)是抛物线y 2=2px(p>0)上的两点,并且满足OA ⊥OB. ∴04)(0,12122212121=+∴=+∴-=⋅y y p y y y y x x k k OBOA则y 1y 2 = – 4p 2 9.C[解析]：∵120,MF MF ⋅=u u u u r u u u u r ∴点M 在以F 1F 2为直径的圆322=+y x 上故由32||1232222=⎪⎩⎪⎨⎧=-=+y y x y x 得 则点M 到x 轴的距离为332 10.D[解析]：不妨设点P 在 x 轴上方，坐标为),(2a b c ,∵△F 1PF 2为等腰直角三角形∴|PF 2|=|F 1F 2|，即c a b 22=，即e e a c ac a 2122222=-∴=- 故椭圆的离心率e1二填空题:11. 1922=-y x [解析]： 因为双曲线的渐近线方程为x y 3±=，则设双曲线的方程是λ=-922y x ，又它的一个焦点是()0,10 故1109=∴=+λλλ12. 1222=+y x [解析]：双曲线2 x 2-2y 2=1的焦点为（)0,1±，离心率为2故椭圆的焦点为（)0,1±，离心率为22, 则1,2,1===b a c ，因此该椭圆的方程是1222=+y x 13. 2[解析]：设双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的左焦点F 1，右顶点为A ，因为以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点， 故|F 1M|=|F 1A|，∴c a ab +=2∴2112=∴+=-e e e 14. ③④[解析]：根据双曲线的定义必须有||||AB k ≤，动点P 的轨迹才为双曲线， 故①错 ∵),(21OB OA OP +=∴P 为弦AB 的中点，故090=∠APC 则动点P 的轨迹为以线段AC 为直径的圆。

第2讲 椭圆、双曲线、抛物线考情解读 1．以选择、填空的形式考查，主要考查圆锥曲线的标准方程、性质(特别是离心率)，以及圆锥曲线之间的关系，突出考查基础知识、基本技能，属于基础题.2．以解答题的形式考查，主要考查圆锥曲线的定义、性质及标准方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，常常在知识的交汇点处命题，有时以探究的形式出现，有时以证明题的形式出现．该部分题目多数为综合性问题，考查分析问题、解决问题的能力，综合运用知识的能力等，属于中、高档题，一般难度较大．圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质热点一 圆锥曲线的定义与标准方程例1 （1）若椭圆C ：x 29＋y 22＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆C 上，且|PF 2|＝4则∠F 1PF 2等于( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°（2）已知抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点与双曲线x 2－y 2＝－12的一个焦点重合，且在抛物线上有一动点P 到x 轴的距离为m ，P 到直线l ：2x －y －4＝0的距离为n ，则m ＋n 的最小值为________．思维启迪 (1)△PF 1F 2中利用余弦定理求∠F 1PF 2；(2)根据抛物线定义得m ＝|PF |－1.再利用数形结合求最值．思维升华 (1)对于圆锥曲线的定义不仅要熟记，还要深入理解细节部分：比如椭圆的定义中要求|PF 1|＋|PF 2|＞|F 1F 2|，双曲线的定义中要求||PF 1|－|PF 2||＜|F 1F 2|，抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等的转化． (2)注意数形结合，画出合理草图．（1）已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32.双曲线x 2－y 2＝1的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为( ) A ．x 28＋y 22＝1 B ．x 212＋y 26＝1 C ．x 216＋y 24＝1 D ．x 220＋y 25＝1（2）如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的方程为( ) A ．y 2＝9x B ．y 2＝6x C ．y 2＝3x D ．y 2＝3x热点二 圆锥曲线的几何性质例2 （1）已知离心率为e 的双曲线和离心率为22的椭圆有相同的焦点F 1，F 2，P 是两曲线的一个公共点，若∠F 1PF 2＝π3，则e 等于( )A ．52 B ．52 C ．62D ．3 （2）设F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的左，右焦点，若在直线x ＝a 2c 上存在点P ，使线段PF 1的中垂线过点F 2，则椭圆的离心率的取值范围是( ) A ．⎝⎛⎦⎤0，22 B ．⎝⎛⎦⎤0，33 C ．⎣⎡⎭⎫22，1 D ．⎣⎡⎭⎫33，1 思维启迪 (1)在△F 1F 2P 中利用余弦定理列方程，然后利用定义和已知条件消元；(2)可设点P 坐标为(a 2c ，y )，考察y 存在的条件．思维升华 解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式．建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等．（1）已知O 为坐标原点，双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，以OF 为直径作圆交双曲线的渐近线于异于原点的两点A 、B ，若(AO →＋AF →)·OF →＝0，则双曲线的离心率e 为( ) A ．2 B ．3 C ． 2 D ． 3（2）已知F 为双曲线C ：x 2－my 2＝3m (m >0)的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为( ) A ． 3 B ．3 C ．3m D ．3m热点三 直线与圆锥曲线例3 过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点A 作斜率为2的直线，与椭圆的另一个交点为B ，与y 轴的交点为C ，已知AB →＝613BC →.（1）求椭圆的离心率；（2）设动直线y ＝kx ＋m 与椭圆有且只有一个公共点P ，且与直线x ＝4相交于点Q ，若x 轴上存在一定点M (1,0)，使得PM ⊥QM ，求椭圆的方程．思维启迪 (1)根据AB →＝613BC →和点B 在椭圆上列关于a 、b 的方程；(2)联立直线y ＝kx ＋m 与椭圆方程，利用Δ＝0，PM →·QM →＝0求解．思维升华 待定系数法是求圆锥曲线方程的基本方法；解决直线与圆锥曲线问题的通法是联立方程，利用根与系数的关系，设而不求思想，弦长公式等简化计算；涉及中点弦问题时，也可用“点差法”求解．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦距为2，且过点(1，22)，右焦点为F 2.设A ，B 是C 上的两个动点，线段AB 的中点M 的横坐标为－12，线段AB 的中垂线交椭圆C 于P ，Q 两点．（1）求椭圆C 的方程； （2）求F 2P →·F 2Q →的取值范围．1．对涉及圆锥曲线上点到焦点距离或焦点弦的问题，恰当选用定义解题，会效果明显，定义中的定值是标准方程的基础．2．椭圆、双曲线的方程形式上可统一为Ax 2＋By 2＝1，其中A 、B 是不等的常数，A >B >0时，表示焦点在y 轴上的椭圆；B >A >0时，表示焦点在x 轴上的椭圆；AB <0时表示双曲线．3．求双曲线、椭圆的离心率的方法：(1)直接求出a ，c ，计算e ＝ca ；(2)根据已知条件确定a ，b ，c 的等量关系，然后把b 用a ，c 代换，求ca.4．通径：过双曲线、椭圆、抛物线的焦点垂直于对称轴的弦称为通径，双曲线、椭圆的通径长为2b 2a ，过椭圆焦点的弦中通径最短；抛物线通径长是2p ，过抛物线焦点的弦中通径最短．椭圆上点到焦点的最长距离为a ＋c ，最短距离为a －c . 5．抛物线焦点弦性质：已知AB 是抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点弦，F 为抛物线的焦点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． （1）y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24；（2）|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α(α为弦AB 的倾斜角)；（3）S △AOB ＝p 22sin α；（4）1|F A |＋1|FB |为定值2p；（5）以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．真题感悟1．(2014·湖北)已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2＝π3，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( ) A ．433 B ．233C ．3D ．22．(2014·辽宁)已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为( ) A ．12 B ．23C ．34 D ．43押题精练1．已知圆x 2＋y 2＝a 216上点E 处的一条切线l 过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点F ，且与双曲线的右支交于点P ，若OE →＝12(OF →＋OP →)，则双曲线的离心率是_____________．2．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 、B ，点P 在椭圆上且异于A 、B 两点，O 为坐标原点．（1）若直线AP 与BP 的斜率之积为－12，求椭圆的离心率；（2）若|AP |＝|OA |，证明：直线OP 的斜率k 满足|k |> 3.(推荐时间：60分钟)一、选择题1．已知椭圆x 24＋y 2b 2＝1(0<b <2)，左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若|BF 2|＋|AF 2|的最大值为5，则b 的值是( ) A ．1 B ． 2 C ．32D ． 32．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)以及双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1的渐近线将第一象限三等分，则双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为( )A ．2或233B ．6或233C ．2或 3D ．3或 63．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上，则双曲线的方程为( )A ．x 236－y 2108＝1B ．x 29－y 227＝1C ．x 2108－y 236＝1D ．x 227－y 29＝14．已知椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1 (a >b >0)，A (4,0)为长轴的一个端点，弦BC 过椭圆的中心O ，且AC →·BC →＝0，|OB →－OC →|＝2|BC →－BA →|，则其焦距为( ) A ．463 B ．433 C ．863 D ．2335．设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( )A ．334B ．938C ．6332D ．946．椭圆M ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为椭圆M 上任一点，且PF →1·PF →2的最大值的取值范围是[c 2,3c 2]，其中c ＝a 2－b 2，则椭圆M 的离心率e 的取值范围是( ) A ．[14，12] B ．[12，22] C ．(22，1) D ．[12，1)二、填空题7．(2014·北京)设双曲线C 经过点(2,2)，且与y 24－x 2＝1具有相同渐近线，则C 的方程为________；渐近线方程为________．8．已知点P (0,2)，抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，线段PF 与抛物线C 的交点为M ，过M 作抛物线准线的垂线，垂足为Q ，若∠PQF ＝90°，则p ＝________.9．抛物线C 的顶点在原点，焦点F 与双曲线x 23－y 26＝1的右焦点重合，过点P (2,0)且斜率为1的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，则弦AB 的中点到抛物线准线的距离为________．10．已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左，右焦点，点P 在双曲线上且不与顶点重合，过F 2作∠F 1PF 2的角平分线的垂线，垂足为A .若|OA |＝ b ，则该双曲线的离心率为_______． 三、解答题11．已知曲线C 上的动点P (x ，y )满足到定点A (－1,0)的距离与到定点B (1,0)的距离之比为 2. （1）求曲线C 的方程；（2）过点M (1,2)的直线l 与曲线C 交于两点M 、N ，若|MN |＝4，求直线l 的方程．12．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点，过F 1且斜率为1的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列． （1）求E 的离心率；（2）设点P (0，－1)满足|P A |＝|PB |，求E 的方程．13．(2013·北京)已知A ，B ，C 是椭圆W ：x 24＋y 2＝1上的三个点，O 是坐标原点．（1）当点B 是W 的右顶点，且四边形OABC 为菱形时，求此菱形的面积； （2）当点B 不是W 的顶点时，判断四边形OABC 是否可能为菱形，并说明理由．例1 (1)C (2)5－1 变式训练 (1)D (2)C 例2 (1)C (2)D 变式训练2 (1)C (2)A变式训练3 解 (1)因为焦距为2，所以a 2－b 2＝1. 因为椭圆C 过点(1，22)，所以1a 2＋12b2＝1.故a 2＝2，b 2＝1. 所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由题意，当直线AB 垂直于x 轴时，直线AB 的方程为x ＝－12，此时P (－2，0)，Q (2，0)，得F 2P →·F 2Q →＝－1.当直线AB 不垂直于x 轴时，设直线AB 的斜率为k (k ≠0)，M (－12，m )(m ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧x 212＋y 21＝1，x222＋y 22＝1，得(x 1＋x 2)＋2(y 1＋y 2)·y 1－y 2x 1－x 2＝0，则－1＋4mk ＝0，故4mk ＝1.此时，直线PQ 的斜率为k 1＝－4m ，直线PQ 的方程为y －m ＝－4m (x ＋12)．即y ＝－4mx －m .联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－4mx －m ，x22＋y 2＝1消去y ，整理得(32m 2＋1)x 2＋16m 2x ＋2m 2－2＝0.设P (x 3，y 3)，Q (x 4，y 4)所以x 3＋x 4＝－16m 232m 2＋1，x 3x 4＝2m 2－232m 2＋1.于是F 2P →·F 2Q →＝(x 3－1)(x 4－1)＋y 3y 4＝x 3x 4－(x 3＋x 4)＋1＋(4mx 3＋m )(4mx 4＋m ) ＝(4m 2－1)(x 3＋x 4)＋(16m 2＋1)x 3x 4＋m 2＋1＝(4m 2－1)(－16m 2)32m 2＋1＋(1＋16m 2)(2m 2－2)32m 2＋1＋1＋m 2＝19m 2－132m 2＋1.由于M (－12，m )在椭圆的内部，故0<m 2<78，令t ＝32m 2＋1,1<t <29，则F 2P →·F 2Q →＝1932－5132t .又1<t <29，所以－1<F 2P →·F 2Q →<125232.综上，F 2P →·F 2Q →的取值范围为[－1，125232)．AD 1．2642．(1)解 设点P 的坐标为(x 0，y 0)，y 0≠0.由题意，有x 20a 2＋y 20b2＝1.①由A (－a,0)，B (a,0)，得k AP ＝y 0x 0＋a ，k BP ＝y 0x 0－a. 由k AP · k BP ＝－12，可得x 20＝a 2－2y 20，代入①并整理得(a 2－2b 2)y 20＝0. 由于y 0≠0，故a 2＝2b 2.于是e 2＝a 2－b 2a 2＝12，所以椭圆的离心率e ＝22.(2)证明 方法一 依题意，直线OP 的方程为y ＝kx ，设点P 的坐标为(x 0，y 0)．由条件得⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝kx 0，x 20a 2＋y 20b 2＝1. 消去y 0并整理，得x 20＝a 2b 2k 2a 2＋b2，②由|AP |＝|OA |，A (－a,0)及y 0＝kx 0，得(x 0＋a )2＋k 2x 20＝a 2.整理得(1＋k 2)x 20＋2ax 0＝0.而x 0≠0，于是x 0＝－2a 1＋k 2， 代入②，整理得(1＋k 2)2＝4k 2⎝⎛⎭⎫a b 2＋4.又a >b >0，故(1＋k 2)2>4k 2＋4，即k 2＋1>4，因此k 2>3，所以|k |> 3.方法二 依题意，直线OP 的方程为y ＝kx ，可设点P 的坐标为(x 0，kx 0)．由点P 在椭圆上，有x 20a 2＋k 2x 20b2＝1.因为a >b >0，kx 0≠0，所以x 20a 2＋k 2x 20a2<1，即(1＋k 2)x 20<a 2.③ 由|AP |＝|OA |及A (－a,0)，得(x 0＋a )2＋k 2x 20＝a 2，整理得(1＋k 2)x 20＋2ax 0＝0，于是x 0＝－2a 1＋k 2. 代入③，得(1＋k 2)4a 2(1＋k 2)2<a 2，解得k 2>3，所以|k |> 3.DABCDB 7．x 23－y 212＝1 y ＝±2x 8．2 9．11 10．211．解 (1)由题意得|P A |＝2|PB |故(x ＋1)2＋y 2＝2(x －1)2＋y 2 化简得：x 2＋y 2－6x ＋1＝0(或(x －3)2＋y 2＝8)即为所求． (2)当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝1.将x ＝1代入方程x 2＋y 2－6x ＋1＝0得y ＝±2，所以|MN |＝4，满足题意． 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx －k ＋2， 由圆心到直线的距离d ＝2＝|3k －k ＋2|1＋k 2，解得k ＝0，此时直线l 的方程为y ＝2. 综上所述，满足题意的直线l 的方程为x ＝1或y ＝2.12．解 (1)由椭圆定义知|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ，因为2|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|，所以|AB |＝43a .l 的方程为y ＝x ＋c ，其中c ＝a 2－b 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋c ，x 2a 2＋y 2b 2＝1，化简得(a 2＋b 2)x 2＋2a 2cx ＋a 2(c 2－b 2)＝0，则x 1＋x 2＝－2a 2c a 2＋b 2，x 1x 2＝a 2(c 2－b 2)a 2＋b2.因为直线AB 的斜率为1，所以|AB |＝2|x 2－x 1|＝2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2].故43a ＝4ab 2a 2＋b2，得a 2＝2b 2，所以E 的离心率e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝22.(2)设AB 的中点为N (x 0，y 0)，由(1)知x 0＝x 1＋x 22＝－a 2c a 2＋b 2＝－23c ，y 0＝x 0＋c ＝c3.由|P A |＝|PB |，得k PN ＝－1，即y 0＋1x 0＝－1，得c ＝3，从而a ＝32，b ＝3.故椭圆E 的方程为x 218＋y 29＝1.13．解 (1)由椭圆W ：x 24＋y 2＝1，知B (2,0)∴线段OB 的垂直平分线x ＝1. 在菱形OABC 中，AC ⊥OB ， 将x ＝1代入x 24＋y 2＝1，得y ＝±32.∴|AC |＝|y A －y C |＝ 3.∴菱形的面积S ＝12|OB |·|AC |＝12×2×3＝ 3.(2)假设四边形OABC 为菱形．∵点B 不是W 的顶点，且直线AC 不过原点， ∴可设AC 的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝kx ＋m 消y 并整理得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0. 设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则x 1＋x 22＝－4km 1＋4k 2，y 1＋y 22＝k ·x 1＋x 22＋m ＝m1＋4k 2. ∴线段AC 中点M ⎝⎛⎭⎫－4km 1＋4k 2，m 1＋4k 2，∵M 为AC 和OB 交点，∴k OB ＝－14k.又k ·⎝⎛⎭⎫－14k ＝－14≠－1， ∴AC 与OB 不垂直．∴OABC 不是菱形，这与假设矛盾． 综上，四边形OABC 不是菱形．。

高考数学最新真题专题解析—椭圆、双曲线与抛物线（新高考卷）【母题来源】2022年新高考I卷【母题题文】已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)，C的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，离心率为12，过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，|DE|=6，则△ADE 的周长是．【答案】13【解析】【分析】本题主要考查了直线与椭圆的位置关系的应用、椭圆的定义以及椭圆中的弦长问题，考查了运算求解能力，属于中档题．【解答】解：由椭圆离心率为12，可得a=2c，则b=√a2−c2=√3c，则C：x24c2+y23c2=1，A(0,√3c)，F1(−c,0)，F2(c,0)，易得l AF2：y=−√3x+√3c，l ED：y=√33(x+c)，可解得AF2与DE的交点M(c2,√3c2)，故直线DE垂直平分AF2，即EA=EF2，DA=DF2，又{x24c2+y23c2=1y=√33(x+c)⇒13x2+8cx−32c2=0⇒{x D+x E=−8c13x D x E=−32c213∴|DE|=√1+13|x D−x E|=6⇒(x D+x E)2−4x D x E=27⇒c=138，所以△ADE的周长AD+AE+DE=DF2+EF2+DF1+EF1=4a=8c= 13．【母题题文】已知O为坐标原点，点A(1,1)在抛物线C:x2=2py(p>0)上，过点B(0,−1)的直线交C于P，Q两点，则()A. C的准线为y=−1B. 直线AB与C相切C. |OP|⋅|OQ|>|OA|2D. |BP|⋅|BQ|>|BA|2【答案】BCD【解析】【分析】本题考查了直线与抛物线的位置关系，属较难题．【解答】解：点A(1,1)在抛物线C:x2=2py(p>0)上，即1=2p⇒C:x2=y，所以准线为y=−14，所以A错;直线AB:y=2x−1代入x2=y得：x2−2x+1=0⇒(x−1)2=0⇒x= 0，所以AB与C相切，故B正确．由题知直线PQ的斜率一定存在，则可设直线PQ:y=kx−1，P(x1,y1)，Q(x2,y2)，则{y=kx−1y=x2⇒x2−kx+1=0，Δ=k2−4>0⇒k<−2或k>2，此时{x1+x2=kx1x2=1,{y1+y2=x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2=k2−2y1y2=x12x22=1,|OP|⋅|OQ|=√(x12+y12)(x22+y22)=√(y1+y12)(y2+y22)=√(y1y2)2+(y1y2)(y1+y2)+y1y2=√2+(k2−2)=√k2>2=|OA|2，故C 正确;|BP|⋅|BQ|=√1+k2|x1−0|√1+k2|x2−0|=(1+k2)|x1x2|=(1+k2)>5=|BA|2，故D正确．【母题来源】2022年新高考II卷【母题题文】已知直线l与椭圆x26+y23=1在第一象限交于A，B两点，l与x轴y轴分别相交于M，N两点，且|MA|=|NB|，|MN|=2√3，则直线l的方程为．【答案】x+√2y−2√2=0【解析】【分析】本题考查了椭圆的中点弦问题，属于偏难题。