高考数学(理)二轮练习【专题6】(第2讲)椭圆、双曲线、抛物线(含答案)

第2讲 椭圆、双曲线、抛物线【要点提炼】考点一 椭圆、双曲线、抛物线的定义与标准方程1．圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF 1|＋|PF 2|＝2a(2a>|F 1F 2|)．(2)双曲线：||PF 1|－|PF 2||＝2a(0<2a<|F 1F 2|)．(3)抛物线：|PF|＝|PM|，l 为抛物线的准线，点F 不在定直线l 上，PM ⊥l 于点M.2．求圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”所谓“定型”，就是确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a 2，b 2，p 的值． 【热点突破】【典例】1 (1)(2020·广州四校模拟)若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(其中a>b>0)的离心率为35，两焦点分别为F 1，F 2，M 为椭圆上一点，且△F 1F 2M 的周长为16，则椭圆C 的方程为( )A.x 216＋y 225＝1 B.x 225＋y 29＝1 C.x 29＋y 225＝1 D.x 225＋y 216＝1 【答案】 D【解析】 椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(其中a>b>0)的两焦点分别为F 1，F 2，M 为椭圆上一点，且△F 1F 2M 的周长为16，可得2a ＋2c ＝16，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(其中a>b>0)的离心率为35，可得c a ＝35，解得a ＝5，c ＝3，则b ＝4，所以椭圆C 的方程为x 225＋y 216＝1.(2)(2020·全国Ⅰ)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2－y 23＝1的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上且|OP|＝2，则△PF 1F 2的面积为( )A.72 B ．3 C.52D ．2 【答案】 B【解析】 方法一 由题意知a ＝1，b ＝3，c ＝2，F 1(－2,0)，F 2(2,0)，如图，因为|OF 1|＝|OF 2|＝|OP|＝2，所以点P 在以F 1F 2为直径的圆上，故PF 1⊥PF 2，则|PF 1|2＋|PF 2|2＝(2c)2＝16.由双曲线的定义知||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝2，所以|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|＝4，所以|PF 1||PF 2|＝6，所以△PF 1F 2的面积为12|PF 1||PF 2|＝3. 方法二 由双曲线的方程可知，双曲线的焦点F 1，F 2在x 轴上，且|F 1F 2|＝21＋3＝4. 设点P 的坐标为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ x 20－y 203＝1，x 20＋y 20＝2，解得|y 0|＝32. 所以△PF 1F 2的面积为12|F 1F 2|·|y 0|＝12×4×32＝3.易错提醒 求圆锥曲线的标准方程时的常见错误双曲线的定义中忽略“绝对值”致错；椭圆与双曲线中参数的关系式弄混，椭圆中的关系式为a 2＝b 2＋c 2，双曲线中的关系式为c 2＝a 2＋b 2；圆锥曲线方程确定时还要注意焦点位置．【拓展训练】1 (1)设抛物线C ：y 2＝2px(p>0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF|＝5.若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则C 的方程为( )A ．y 2＝4x 或y 2＝8xB ．y 2＝2x 或y 2＝8x C ．y 2＝4x 或y 2＝16xD ．y 2＝2x 或y 2＝16x 【答案】 C【解析】 方法一 因为以MF 为直径的圆过点(0,2)，所以点M 在第一象限．由|MF|＝x M ＋p 2＝5，得x M ＝5－p 2， 即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫5－p 2，2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫5－p 2. 从而以MF 为直径的圆的圆心N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，122p ⎝ ⎛⎭⎪⎫5－p 2. 因为点N 的横坐标恰好等于圆的半径，所以圆与y 轴相切于点(0,2)，从而2＝122p ⎝ ⎛⎭⎪⎫5－p 2， 即p 2－10p ＋16＝0，解得p ＝2或p ＝8，所以抛物线方程为y 2＝4x 或y 2＝16x. 方法二 由已知得抛物线的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0， 设点A(0,2)，点M(x 0，y 0)，则AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，－2，AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 202p ，y 0－2.由已知，得AF →·AM →＝0，即y 20－8y 0＋16＝0，解得y 0＝4，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫8p ，4. 由|MF|＝5，得⎝ ⎛⎭⎪⎫8p －p 22＋16＝5. 又因为p>0，解得p ＝2或p ＝8，所以抛物线C 的方程为y 2＝4x 或y 2＝16x.(2)已知椭圆C ：x 2m ＋y 2m －4＝1(m>4)的右焦点为F ，点A(－2,2)为椭圆C 内一点，若椭圆C 上存在一点P ，使得|PA|＋|PF|＝8，则实数m 的取值范围是( )A ．(6＋25，25]B ．[9,25]C ．(6＋25，20]D ．[3,5]【答案】 A【解析】 椭圆C ：x 2m ＋y 2m －4＝1(m>4)的右焦点F 的坐标为(2,0)．设左焦点为F ′，则F ′(－2,0)．由椭圆的定义可得2m ＝|PF|＋|PF ′|，即|PF ′|＝2m －|PF|，可得|PA|－|PF ′|＝|PA|＋|PF|－2m ＝8－2m.由||PA|－|PF ′||≤|AF ′|＝2，可得－2≤8－2m ≤2，解得3≤m ≤5，所以9≤m ≤25.①又点A 在椭圆内，所以4m ＋4m －4<1(m>4)， 所以8m －16<m(m －4)(m>4)，解得m<6－25(舍)或m>6＋2 5.②由①②得6＋25<m ≤25，故选A.【要点提炼】考点二 圆锥曲线的几何性质1．求离心率通常有两种方法(1)求出a ，c ，代入公式e ＝c a. (2)根据条件建立关于a ，b ，c 的齐次式，消去b 后，转化为关于e 的方程或不等式，即可求得e 的值或取值范围．2．与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)共渐近线bx ±ay ＝0的双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)． 【热点突破】【典例】2 (1)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点，过F 2的直线交椭圆于A ，B 两点，且AF 1→·AF 2→＝0，AF 2→＝2F 2B →，则椭圆E 的离心率为( )A.23B.34C.53D.74【答案】 C【解析】 ∵AF 2→＝2F 2B →，设|BF 2|＝x ，则|AF 2|＝2x ，∴|AF 1|＝2a －2x ，|BF 1|＝2a －x ，∵AF 1→·AF 2→＝0，∴AF 1⊥AF 2，在Rt △AF 1B 中，有(2a －2x)2＋(3x)2＝(2a －x)2，解得x ＝a 3，∴|AF 2|＝2a 3，|AF 1|＝4a 3， 在Rt △AF 1F 2中，有⎝ ⎛⎭⎪⎫4a 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 32＝(2c)2，整理得c 2a 2＝59，∴e ＝c a ＝53. (2)(2020·莆田市第一联盟体联考)已知直线l ：y ＝x －1与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，M 是AB 的中点，则点M 到抛物线准线的距离为( )A.72B ．4C ．7D ．8 【答案】 B【解析】 由题意可知直线y ＝x －1过抛物线y 2＝4x 的焦点(1,0)，如图，AA ′，BB ′，MM ′都和准线垂直，并且垂足分别是A ′，B ′，M ′，由图象可知|MM ′|＝12(|AA ′|＋|BB ′|)， 根据抛物线的定义可知|AA ′|＋|BB ′|＝|AB|，∴|MM ′|＝12|AB|，联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x －1，y 2＝4x ，得x 2－6x ＋1＝0，设A ，B 两点的坐标为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，x 1＋x 2＝6，∴|AB|＝x 1＋x 2＋2＝8，∴|MM ′|＝4.二级结论 抛物线的有关性质：已知抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点为F ，直线l 过点F 且与抛物线交于两点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则(1)|AB|＝x 1＋x 2＋p ＝2p sin 2α(α为直线l 的倾斜角)． (2)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．(3)1|AF|＋1|BF|＝2p. 【拓展训练】2 (1)已知F 是抛物线C ：y 2＝2px(p>0)的焦点，抛物线C 的准线与双曲线Γ：x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)的两条渐近线交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则Γ的离心率e 等于( ) A.32 B.233 C.217 D.213 【答案】 D【解析】 抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，准线方程为x ＝－p 2， 联立抛物线的准线方程与双曲线的渐近线方程得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－p 2，y ＝±b a x ，解得y ＝±pb 2a ，可得|AB|＝pb a ， 由△ABF 为等边三角形，可得p ＝32·pb a ， 即有b a ＝23， 则e ＝c a ＝1＋b 2a 2＝1＋43＝213.(2)已知抛物线C ：y 2＝2px(p>0)的焦点为F ，点M(x 0,22)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0>p 2是抛物线C 上一点，圆M 与线段MF 相交于点A ，且被直线x ＝p 2截得的弦长为3|MA|，若|MA||AF|＝2，则|AF|等于( ) A.32B ．1C ．2D ．3 【答案】 B【解析】 如图所示，由题意知，|MF|＝x 0＋p 2.∵圆M 与线段MF 相交于点A ，且被直线x ＝p 2截得的弦长为3|MA|， ∴|MA|＝2|DM|＝2⎝⎛⎭⎪⎫x 0－p 2. ∵|MA||AF|＝2，∴|MF|＝32|MA|， ∴x 0＝p.又∵点M(x 0,22)在抛物线上，∴2p 2＝8，又∵p>0，∴p ＝2.∴|MA|＝2⎝⎛⎭⎪⎫x 0－p 2＝2，∴|AF|＝1. 【要点提炼】考点三 直线与圆锥曲线的位置关系解决直线与椭圆的位置关系问题，经常利用设而不求的方法，解题要点如下：(1)设直线与椭圆的交点坐标为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)；(2)联立直线的方程与椭圆的方程；(3)消元得到关于x 或y 的一元二次方程；(4)利用根与系数的关系设而不求；(5)把题干中的条件转化为含有x 1＋x 2，x 1x 2或y 1＋y 2，y 1y 2的式子，进而求解即可．【热点突破】【典例】3 (2020·全国Ⅲ)已知椭圆C ：x 225＋y 2m 2＝1(0<m<5)的离心率为154，A ，B 分别为C 的左、右顶点．(1)求C 的方程；(2)若点P 在C 上，点Q 在直线x ＝6上，且|BP|＝|BQ|，BP ⊥BQ ，求△APQ 的面积．【解析】解 (1)由题设可得25－m 25＝154，得m 2＝2516， 所以C 的方程为x 225＋y 22516＝1. (2)设P(x P ，y P )，Q(6，y Q )，根据对称性可设y Q >0，由题意知y P >0.由已知可得B(5,0)，直线BP 的方程为y ＝－1y Q(x －5)， 所以|BP|＝y P 1＋y 2Q ，|BQ|＝1＋y 2Q .因为|BP|＝|BQ|，所以y P ＝1.将y P ＝1代入C 的方程，解得x P ＝3或－3.由直线BP 的方程得y Q ＝2或8，所以点P ，Q 的坐标分别为P 1(3,1)，Q 1(6,2)；P 2(－3,1)，Q 2(6,8)．所以|P 1Q 1|＝10，直线P 1Q 1的方程为y ＝13x ， 点A(－5,0)到直线P 1Q 1的距离为102， 故△AP 1Q 1的面积为12×102×10＝52； |P 2Q 2|＝130，直线P 2Q 2的方程为y ＝79x ＋103， 点A 到直线P 2Q 2的距离为13026， 故△AP 2Q 2的面积为12×13026×130＝52. 综上，△APQ 的面积为52. 规律方法 解决直线与圆锥曲线位置关系的注意点(1)注意使用圆锥曲线的定义．(2)引入参数，注意构建直线与圆锥曲线的方程组．(3)注意用好圆锥曲线的几何性质．(4)注意几何关系和代数关系之间的转化．【拓展训练】3 (1)(2019·全国Ⅰ)已知椭圆C 的焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若|AF 2|＝2|F 2B|，|AB|＝|BF 1|，则C 的方程为( ) A.x 22＋y 2＝1 B.x 23＋y 22＝1 C.x 24＋y 23＝1 D.x 25＋y 24＝1 【答案】 B【解析】 由题意设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)，连接F 1A ，令|F 2B|＝m ，则|AF 2|＝2m ，|BF 1|＝3m.由椭圆的定义知，4m ＝2a ，得m ＝a2，故|F 2A|＝a ＝|F 1A|，则点A 为椭圆C 的上顶点或下顶点．令∠OAF 2＝θ(O 为坐标原点)，则sin θ＝c a ＝1a .在等腰三角形ABF 1中，cos 2θ＝2m2＋3m 2－3m 22×2m ·3m＝13，因为cos 2θ＝1－2sin 2θ，所以13＝1－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2，得a 2＝3.又c 2＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝2，椭圆C 的方程为x 23＋y22＝1.(2)设F 为抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点，斜率为k(k>0)的直线过F 交抛物线于A ，B 两点，若|FA|＝3|FB|，则直线AB 的斜率为( ) A.12 B ．1 C. 2 D.3 【答案】 D【解析】 假设A 在第一象限，如图，过A ，B 分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为D ，E ， 过A 作EB 的垂线，垂足为C ，则四边形ADEC 为矩形， 由抛物线定义可知|AD|＝|AF|， |BE|＝|BF|， 又∵|FA|＝3|FB|，∴|AD|＝|CE|＝3|BE|，即B 为CE 的三等分点， 设|BF|＝m ，则|BC|＝2m ，|AF|＝3m ，|AB|＝4m ， 即|AC|＝|AB|2－|BC|2＝16m 2－4m 2＝23m ，则tan ∠ABC ＝|AC||BC|＝23m2m ＝3，即直线AB 的斜率k ＝ 3.专题训练一、单项选择题1．(2020·福州模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y ＝±23x ，则此双曲线的离心率为( ) A.134B.132 C.133D.134【答案】 C【解析】 因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y ＝±23x ，所以b a ＝23，所以双曲线的离心率e ＝ca＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝133.2．(2020·全国Ⅰ)已知A 为抛物线C ：y 2＝2px(p>0)上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p 等于( ) A ．2 B ．3 C ．6 D ．9 【答案】 C【解析】 设A(x ，y)，由抛物线的定义知，点A 到准线的距离为12，即x ＋p2＝12.又因为点A 到y 轴的距离为9，即x ＝9， 所以9＋p2＝12，解得p ＝6.3．已知椭圆C ：x 2a 2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，左、右顶点分别为M ，N ，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点(异于M ，N)，△AF 1B 的周长为43，且直线AM 与AN 的斜率之积为－23，则C 的方程为( )A.x 212＋y28＝1 B.x 212＋y24＝1 C.x 23＋y22＝1 D.x 23＋y 2＝1 【答案】 C【解析】 由△AF 1B 的周长为43， 可知|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝43， 解得a ＝3，则M ()－3，0，N(3，0)． 设点A(x 0，y 0)(x 0≠±3)， 由直线AM 与AN 的斜率之积为－23，可得y 0x 0＋3·y 0x 0－3＝－23，即y 20＝－23(x 20－3)，①又x 203＋y 20b 2＝1，所以y 20＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 203，②由①②解得b 2＝2. 所以C 的方程为x 23＋y22＝1.4．设F 为双曲线C ：x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2交于P ，Q 两点．若|PQ|＝|OF|，则C 的离心率为( ) A. 2 B. 3 C ．2 D. 5 【答案】 A【解析】 如图，由题意，知以OF 为直径的圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －c 22＋y 2＝c24，①将x 2＋y 2＝a 2记为②式，①－②得x ＝a 2c ，则以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2的公共弦所在直线的方程为x ＝a 2c，所以|PQ|＝2a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c 2.由|PQ|＝|OF|，得2a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c 2＝c ，整理得c 4－4a 2c 2＋4a 4＝0， 即e 4－4e 2＋4＝0，解得e ＝ 2.5．(2020·潍坊模拟)已知点P 为双曲线C ：x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)右支上一点，F 1，F 2分别为C 的左、右焦点，直线PF 1与C 的一条渐近线垂直，垂足为H ，若|PF 1|＝4|HF 1|，则该双曲线的离心率为( )A.153 B.213 C.53 D.73【答案】 C【解析】 如图，取PF 1的中点M ，连接MF 2.由条件可知|HF 1|＝14|PF 1|＝12|MF 1|，∵O 是F 1F 2的中点， ∴OH ∥MF 2，又∵OH ⊥PF 1，∴MF 2⊥PF 1， ∴|F 1F 2|＝|PF 2|＝2c.根据双曲线的定义可知|PF 1|＝2a ＋2c ， ∴|HF 1|＝a ＋c2，直线PF 1的方程是y ＝ab (x ＋c)，即ax －by ＋ac ＝0，原点到直线PF 1的距离|OH|＝|ac|a 2＋b2＝a ，∴在△OHF 1中，a 2＋⎝⎛⎭⎪⎫a ＋c 22＝c 2，整理为3c 2－2ac －5a 2＝0，即3e 2－2e －5＝0， 解得e ＝53或e ＝－1(舍)．二、多项选择题6．(2020·新高考全国Ⅰ)已知曲线C ：mx 2＋ny 2＝1.( ) A ．若m>n>0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上 B ．若m ＝n>0，则C 是圆，其半径为nC ．若mn<0，则C 是双曲线，其渐近线方程为y ＝±－m nx D ．若m ＝0，n>0，则C 是两条直线 【答案】 ACD【解析】 对于A ，当m>n>0时，有1n >1m >0，方程化为x 21m ＋y21n ＝1，表示焦点在y 轴上的椭圆，故A 正确．对于B ，当m ＝n>0时，方程化为x 2＋y 2＝1n，表示半径为1n的圆，故B 错误． 对于C ，当m>0，n<0时，方程化为x 21m －y2－1n ＝1，表示焦点在x 轴上的双曲线，其中a ＝1m，b ＝－1n，渐近线方程为y ＝±－m n x ；当m<0，n>0时，方程化为y 21n －x2－1m ＝1，表示焦点在y 轴上的双曲线，其中a ＝1n，b ＝－1m，渐近线方程为y ＝±－mnx ，故C 正确． 对于D ，当m ＝0，n>0时，方程化为y ＝±1n，表示两条平行于x 轴的直线，故D 正确． 7．已知双曲线C 过点(3，2)且渐近线为y ＝±33x ，则下列结论正确的是( ) A ．C 的方程为x 23－y 2＝1B ．C 的离心率为 3 C ．曲线y ＝ex －2－1经过C 的一个焦点D ．直线x －2y －1＝0与C 有两个公共点 【答案】 AC【解析】 因为渐近线方程为y ＝±33x ，所以可设双曲线方程为x 29－y23＝λ，代入点(3，2)，得λ＝13，所以双曲线方程为x 23－y 2＝1，选项A 正确；该双曲线的离心率为233，选项B 不正确；双曲线的焦点为(±2,0)，曲线y ＝ex －2－1经过双曲线的焦点(2,0)，选项C 正确；把x＝2y ＋1代入双曲线方程，得y 2－22y ＋2＝0，解得y ＝2，故直线x －2y －1＝0与曲线C 只有一个公共点，选项D 不正确．8．已知抛物线C ：y 2＝2px(p>0)的焦点为F ，直线l 的斜率为3且经过点F ，直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点(点A 在第一象限)，与抛物线的准线交于点D.若|AF|＝8，则下列结论正确的是( ) A ．p ＝4 B.DF →＝FA →C ．|BD|＝2|BF|D ．|BF|＝4【答案】 ABC【解析】 如图所示，分别过点A ，B 作准线的垂线，垂足分别为E ，M ，连接EF.抛物线C 的准线交x 轴于点P ，则|PF|＝p ，由于直线l 的斜率为3，则其倾斜角为60°.又AE ∥x 轴，∴∠EAF ＝60°，由抛物线的定义可知，|AE|＝|AF|，则△AEF 为等边三角形，∴∠EFP ＝∠AEF ＝60°，则∠PEF ＝30°，∴|AF|＝|EF|＝2|PF|＝2p ＝8，解得p ＝4，故A 正确；∵|AE|＝|EF|＝2|PF|，PF ∥AE ，∴F 为线段AD 的中点，则DF →＝FA →，故B 正确；∵∠DAE ＝60°，∴∠ADE ＝30°，∴|BD|＝2|BM|＝2|BF|(抛物线定义)，故C 正确；∵|BD|＝2|BF|，∴|BF|＝13|DF|＝13|AF|＝83，故D 错误．三、填空题9．(2019·全国Ⅲ)设F 1，F 2为椭圆C ：x 236＋y220＝1的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限．若△MF 1F 2为等腰三角形，则M 的坐标为________． 【答案】 (3，15)【解析】 不妨令F 1，F 2分别为椭圆C 的左、右焦点，根据题意可知c ＝36－20＝4.因为△MF 1F 2为等腰三角形，所以易知|F 1M|＝2c ＝8，所以|F 2M|＝2a －8＝4.设M(x ，y)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 236＋y220＝1，|F 1M|2＝x ＋42＋y 2＝64，x>0，y>0，得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝15，所以M 的坐标为(3，15)．10．(2020·全国Ⅰ)已知F 为双曲线C ：x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)的右焦点，A 为C 的右顶点，B为C 上的点，且BF 垂直于x 轴．若AB 的斜率为3，则C 的离心率为________． 【答案】 2【解析】 如图，A(a,0)．由BF ⊥x 轴且AB 的斜率为3，知点B 在第一象限，且B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ， 则k AB ＝b 2a－0c －a ＝3，即b 2＝3ac －3a 2.又∵c 2＝a 2＋b 2，即b 2＝c 2－a 2， ∴c 2－3ac ＋2a 2＝0， ∴e 2－3e ＋2＝0.解得e ＝2或e ＝1(舍去)．故e ＝2.11．设双曲线mx 2＋ny 2＝1的一个焦点与抛物线y ＝18x 2的焦点相同，离心率为2，则抛物线的焦点到双曲线的一条渐近线的距离为________． 【答案】3【解析】 ∵抛物线x 2＝8y 的焦点为(0,2)， ∴mx 2＋ny 2＝1的一个焦点为(0,2)， ∴焦点在y 轴上， ∴a 2＝1n ，b 2＝－1m，c ＝2.根据双曲线三个参数的关系得到4＝a 2＋b 2＝1n －1m ，又离心率为2，即41n ＝4，解得n ＝1，m ＝－13，∴此双曲线的方程为y 2－x23＝1，则双曲线的一条渐近线方程为x －3y ＝0，则抛物线的焦点(0,2)到双曲线的一条渐近线的距离为 d ＝|23|1＋3＝ 3.12.如图，抛物线C 1：y 2＝2px 和圆C 2：⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 22＋y 2＝p24，其中p>0，直线l 经过C 1的焦点，依次交C 1，C 2于A ，D ，B ，C 四点，则AB →·CD →的值为________．【答案】 p24【解析】 易知AB →·CD →＝|AB|·|CD|，圆C 2的圆心即为抛物线C 1的焦点F ，当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为x ＝p 2，所以A ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，p ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，p 2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，－p 2，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，－p ，|AB →|＝|CD →|＝p 2，所以AB →·CD →＝p 2·p 2＝p24；当直线l 的斜率存在时，设A(x 1，y 1)，D(x 2，y 2)，则|AB|＝|FA|－|FB|＝x 1＋p 2－p 2＝x 1，同理|CD|＝x 2，设l 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，y 2＝2px ，可得k 2x 2－(pk 2＋2p)x ＋k 2p 24＝0，则AB →·CD →＝|AB|·|CD|＝x 1·x 2＝p 24.综上，AB →·CD →＝p24.四、解答题13．(2020·全国Ⅱ)已知椭圆C 1：x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合．过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD|＝43|AB|.(1)求C 1的离心率；(2)设M 是C 1与C 2的公共点，若|MF|＝5，求C 1与C 2的标准方程． 【解析】解 (1)由已知可设C 2的方程为y 2＝4cx ， 其中c ＝a 2－b 2. 不妨设A ，C 在第一象限，由题设得A ，B 的纵坐标分别为b 2a ，－b2a ；C ，D 的纵坐标分别为2c ，－2c ，故|AB|＝2b 2a ，|CD|＝4c. 由|CD|＝43|AB|得4c ＝8b 23a ， 即3×c a ＝2－2⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2， 解得c a ＝－2(舍去)，c a ＝12. 所以C 1的离心率为12. (2)由(1)知a ＝2c ，b ＝3c ，故C 1：x 24c 2＋y 23c2＝1. 设M(x 0，y 0)，则x 204c 2＋y 203c2＝1，y 20＝4cx 0， 故x 204c 2＋4x 03c＝1.① 由于C 2的准线为x ＝－c ，所以|MF|＝x 0＋c ，而|MF|＝5，故x 0＝5－c ，代入①得5－c 24c2＋45－c 3c ＝1， 即c 2－2c －3＝0，解得c ＝－1(舍去)，c ＝3.所以C 1的标准方程为x 236＋y 227＝1， C 2的标准方程为y 2＝12x.14．已知点F 为抛物线E ：y 2＝2px(p>0)的焦点，点A(2，m)在抛物线E 上，且到原点的距离为2 3.(1)求抛物线E 的方程；(2)已知点G(－1,0)，延长AF 交抛物线于点B ，证明：以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切．【解析】(1)解 由题意可得⎩⎨⎧ m 2＝4p ，4＋m 2＝23，解得p ＝2，所以抛物线E 的方程为y 2＝4x. (2)证明 设以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆的半径为r.因为点A(2，m)在抛物线E ：y 2＝4x 上，所以m ＝±22，由抛物线的对称性，不妨取A(2,22)．由A(2,22)，F(1,0)可得直线AF 的方程为y ＝22(x －1)， 联立⎩⎨⎧ y ＝22x －1，y 2＝4x ，得2x 2－5x ＋2＝0， 解得x ＝2或x ＝12，从而B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2. 所以直线GB 的方程为22x ＋3y ＋22＝0，易知直线GA 的方程为22x －3y ＋22＝0，从而r ＝|22＋22|8＋9＝4217. 因为点F 到直线GB 的距离d ＝|22＋22|8＋9＝4217＝r ，所以以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切．。

椭圆、双曲线、抛物线1、答案 D 解析 由题意知：抛物线的焦点为(－2,0)．又顶点在原点，所以抛物线方程为y 2＝－8x .2、答案 B 解析双曲线中c ＝3，e ＝32，故a ＝2，b ＝c 2－a 2＝5， 故双曲线方程为x 24－y 25＝1. 3、答案 C 解析 ⎩⎪⎨⎪⎧ 2k －1>2－k ，2－k >0，∴1<k <2. 4、答案 B 解析 由题知|AF 1|＋|AF 2|＝2a (设a 为椭圆的长半轴)，|AF 1|－|AF 2|＝2，而|F 1F 2|＝|F 1A |＝4，因此可得2×|F 1A |＝2a ＋2，∴8＝2a ＋2，∴a ＝3，又c ＝2，故C 2的离心率e ＝23. 5、答案 A 解析 由题意知e 1＝c 1a ，e 2＝c 2a， ∴e 1·e 2＝c 1a ·c 2a ＝c 1c 2a 2＝32. 又∵a 2＝b 2＋c 21，c 22＝a 2＋b 2，∴c 21＝a 2－b 2，∴c 21c 22a 4＝a 4－b 4a4＝1－⎝⎛⎭⎫b a 4， 即1－⎝⎛⎭⎫b a 4＝34，解得b a ＝±22，∴b a ＝22. 令x 2a 2－y 2b2＝0，解得bx ±ay ＝0， ∴x ±2y ＝0.6、答案 B 解析 联立已知条件和双曲线的定义，建立关于a ，b ，c 的方程，求离心率． 不妨设P 为双曲线右支上一点，|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2.根据双曲线的定义，得r 1－r 2＝2a ，又r 1＋r 2＝3b ，故r 1＝3b ＋2a 2，r 2＝3b －2a 2. 又r 1·r 2＝94ab ，所以3b ＋2a 2·3b －2a 2＝94ab ， 解得b a ＝43(负值舍去)． 故e ＝c a ＝ a 2＋b 2a 2＝ ⎝⎛⎭⎫b a 2＋1＝ ⎝⎛⎭⎫432＋1＝53，故选B. 7、答案 9 解析 ∵PF 1⊥PF 2，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，由椭圆方程知a ＝5，b ＝3，∴c＝4.∴⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2＝64，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10. 解得|PF 1||PF 2|＝18，∴△PF 1F 2的面积为12|PF 1|·|PF 2|＝12×18＝9. 8、答案 3－1 解析 由直线方程为y ＝3(x ＋c )，知∠MF 1F 2＝60°，又∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，所以∠MF 2F 1＝30°，MF 1⊥MF 2，所以|MF 1|＝c ，|MF 2|＝3c ，所以|MF 1|＋|MF 2|＝c ＋3c ＝2a .即e ＝c a＝3－1.9、答案 433 解析 经过第一象限的双曲线的渐近线为y ＝33x .抛物线的焦点为F ⎝⎛⎭⎫0，p 2，双曲线的右焦点为F 2(2,0)．y ′＝1p x ，由题意知在M ⎝⎛⎭⎫x 0，x 202p 处的切线斜率为33，即1p x 0＝33，所以x 0＝33p ，点F ⎝⎛⎭⎫0，p 2，F 2(2,0)，M ⎝⎛⎭⎫33p ，p 6共线，所以p 2－00－2＝p 6－p 233p －0，即p ＝433. 10、答案 B 解析 设出直线AB 的方程，用分割法表示出△ABO 的面积，将S △ABO ＋S △AFO 表示为某一变量的函数，选择适当方法求其最值．设直线AB 的方程为x ＝ny ＋m (如图)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∵OA →·OB →＝2，∴x 1x 2＋y 1y 2＝2.又y 21＝x 1，y 22＝x 2，∴y 1y 2＝－2.联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ，x ＝ny ＋m ，得y 2－ny －m ＝0， ∴y 1y 2＝－m ＝－2，∴m ＝2，即点M (2,0)．又S △ABO ＝S △AMO ＋S △BMO ＝12|OM ||y 1|＋12|OM ||y 2|＝y 1－y 2， S △AFO ＝12|OF |·|y 1|＝18y 1， ∴S △ABO ＋S △AFO ＝y 1－y 2＋18y 1＝98y 1＋2y 1≥2 98y 1·2y 1＝3， 当且仅当y 1＝43时，等号成立． 11、答案 5 解析 由已知可得，△PF 1F 2为直角三角形，且|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2，又|PF 1|－|PF 2|＝2a ，∴(|PF 1|－|PF 2|)2＋2|PF 1|·|PF 2|＝|PF 1|2＋|PF 2|2，即2|PF 1|·|PF 2|＝4c 2－4a 2＝4b 2，把|PF 1|＝2|PF 2|代入得，|PF 2|＝b ，|PF 1|＝2b ，代入|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2得5b 2＝5c 2－5a 2＝4c 2，∴c 2＝5a 2，e ＝c a ＝ 5.12、解 (1)根据c ＝a 2－b 2及题设知M ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，b 2a 2c ＝34，2b 2＝3ac .将b 2＝a 2－c 2代入2b 2＝3ac ，解得c a ＝12，c a ＝－2(舍去)．故C 的离心率为12. (2)由题意，原点O 为F 1F 2的中点，MF 2∥y 轴，所以直线MF 1与y 轴的交点D (0,2)是线段MF 1的中点，故b 2a＝4，即b 2＝4a .① 由|MN |＝5|F 1N |得|DF 1|＝2|F 1N |.设N (x 1，y 1)，由题意知y 1<0，则⎩⎪⎨⎪⎧ －c －x 1＝c ，－2y 1＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－32c ，y 1＝－1.代入C 的方程，得9c 24a 2＋1b 2＝1.② 将①及c ＝a 2－b 2代入②得a 2－4a 4a 2＋14a＝1. 解得a ＝7，b 2＝4a ＝28，故a ＝7，b ＝27.13、解 (1)设椭圆右焦点F 2的坐标为(c,0)．由|AB |＝32|F 1F 2|，可得a 2＋b 2＝3c 2. 又b 2＝a 2－c 2，则c 2a 2＝12. 所以，椭圆的离心率e ＝22. (2)由(1)知a 2＝2c 2，b 2＝c 2.故椭圆方程为x 22c 2＋y 2c2＝1. 设P (x 0，y 0)．由F 1(－c,0)，B (0，c )，有F 1P →＝(x 0＋c ，y 0)，F 1B →＝(c ，c )．由已知，有F 1P →·F 1B →＝0，即(x 0＋c )c ＋y 0c ＝0.又c ≠0，故有x 0＋y 0＋c ＝0.① 因为点P 在椭圆上，故x 202c 2＋y 20c2＝1.② 由①和②可得3x 20＋4cx 0＝0.而点P 不是椭圆的顶点，故x 0＝－43c ， 代入①得y 0＝c 3，即点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫－4c 3，c 3. 设圆的圆心为T (x 1，y 1)，则x 1＝－43c ＋02＝－23c ，y 1＝c 3＋c 2＝23c ， 所以圆的半径r ＝x 1－2＋y 1－c 2＝53c . 由已知，有|TF 2|2＝|MF 2|2＋r 2，又|MF 2|＝22，故有⎝⎛⎭⎫c ＋23c 2＋⎝⎛⎭⎫0－23c 2＝8＋59c 2，解得c 2＝3.所以，所求椭圆的方程为x 26＋y 23＝1.14、解 (1)设点C 的坐标为(x ，y )，则x 2a＋y 2＝1， 连接CG ，由CA →＝CG →＋GA →，CB →＝CG →＋GB →＝CG →－GA →，又G (0,2)，可得CA →·CB →＝CG →2－GA →2＝x 2＋(y －2)2－94＝a (1－y 2)＋(y －2)2－94＝－(a －1)y 2－4y ＋a ＋74，其中y ∈[－1,1]．因为a >1，故当y ＝4－a≤－1，即1<a ≤3时， 取y ＝－1，得CA →·CB →有最大值－(a －1)＋4＋a ＋74＝274，与条件矛盾； 当y ＝4－a >－1，即a >3时，CA →·CB →的最大值是－a ⎝⎛⎭⎫a ＋74－16－a， 由条件得－a ⎝⎛⎭⎫a ＋74－16－a＝314，即a 2－7a ＋10＝0，解得a ＝5或a ＝2(舍去)． 综上所述，椭圆Ω的方程是x 25＋y 2＝1. (2)设点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，PQ 的中点坐标为(x 0，y 0)， 则满足x 215＋y 21＝1，x 225＋y 22＝1，两式相减， 整理得y 2－y 1x 2－x 1＝－x 2＋x 1y 2＋y 1＝－x 05y 0， 从而直线PQ 的方程为y －y 0＝－x 05y 0(x －x 0)， 又右焦点F 2的坐标是(2,0)，将点F 2的坐标代入PQ 的方程得－y 0＝－x 05y 0(2－x 0)， 因为直线l 与x 轴不垂直，故2x 0－x 20＝5y 20>0，从而0<x 0<2.假设在线段OF 2上存在点M (m,0)(0<m <2)，使得以MP ，MQ 为邻边的平行四边形是菱形，则线段PQ 的垂直平分线必过点M ，而线段PQ 的垂直平分线方程是y －y 0＝5y 0x 0(x －x 0)，将点M (m,0)代入得－y 0＝5y 0x 0(m －x 0)， 得m ＝45x 0，从而m ∈⎝⎛⎭⎫0，85.。

第2讲 椭圆、双曲线、抛物线的基本问题(建议用时：60分钟) 一、选择题1．抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是( )．A.12 B ．32C ．1D ． 3解析 抛物线y 2＝4x 的焦点F (1,0)，双曲线x 2－y 23＝1的渐近线是y ＝±3x ，即3x ±y＝0，故所求距离为|3±0|32＋±12＝32.选B. 答案 B2．(2013·新课标全国Ⅰ卷)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交椭圆于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为 ( )．A.x 245＋y 236＝1 B ．x 236＋y 227＝1 C.x 227＋y 218＝1 D ．x 218＋y 29＝1 解析 直线AB 的斜率k ＝0＋13－1＝12，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b2＝1 ①x 22a 2＋y22b 2＝1， ②①－②得y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2.又x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝－2，所以k ＝－b 2a 2×2－2，所以b 2a 2＝12，③又a 2－b 2＝c 2＝9，④由③④得a 2＝18，b 2＝9.故椭圆E 的方程为x 218＋y 29＝1.答案 D3．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点与抛物线y 2＝4x 的焦点重合，且双曲线的离心率等于5，则该双曲线的方程为 ( )．A ．5x 2－45y 2＝1B ．x 25－y 24＝1C.y 25－x 24＝1 D ．5x 2－54y 2＝1解析 由于抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，即c ＝1，又e ＝c a ＝5，可得a ＝55，结合条件有a 2＋b 2＝c 2＝1，可得b 2＝45，又焦点在x 轴上，则所求的双曲线的方程为5x 2－54y2＝1. 答案 D4．(2014·湖州一模)已知抛物线y 2＝4px (p ＞0)与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)有相同的焦点F ，点A 是两曲线的交点，且AF ⊥x 轴，则双曲线的离心率为( )． A.5＋12B ．2＋1C ．3＋1D ．2 2＋12解析 依题意，得F (p,0)，因为AF ⊥x 轴，设A (p ，y )，y >0，y 2＝4p 2，所以y ＝2p .所以A (p,2p )．又点A 在双曲线上，所以p 2a 2－4p 2b 2＝1.又因为c ＝p ，所以c 2a 2－4c2c 2－a2＝1，化简，得c 4－6a 2c 2＋a 4＝0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 4－6⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋1＝0.所以e 2＝3＋22，e ＝2＋1. 答案 B5．已知双曲线C 与椭圆x 216＋y 212＝1有共同的焦点F 1，F 2，且离心率互为倒数．若双曲线右支上一点P 到右焦点F 2的距离为4，则PF 2的中点M 到坐标原点O 的距离等于 ( )． A ．3 B ．4 C ．2D ．1解析 由椭圆的标准方程，可得椭圆的半焦距c ＝16－12＝2，故椭圆的离心率e 1＝24＝12，则双曲线的离心率e 2＝1e 1＝2.因为椭圆和双曲线有共同的焦点，所以双曲线的半焦距也为c ＝2.设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则有a ＝c e 2＝22＝1，b 2＝c 2－a 2＝22－12＝3，所以双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1.因为点P 在双曲线的右支上，则由双曲线的定义，可得|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝2，又|PF 2|＝4，所以|PF 1|＝6.因为坐标原点O 为F 1F 2的中点，M 为PF 2的中点．所以|MO |＝12|PF 1|＝3.答案 A6．(2014·重庆卷)设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P ，使得|PF 1|＋|PF 2|＝3b ，|PF 1|·|PF 2|＝94ab ，则该双曲线的离心率为( )． A.43 B ．53 C ．94D ．3解析 不妨设P 为双曲线右支上一点，|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，根据双曲线的定义，得r 1－r 2＝2a ，又r 1＋r 2＝3b ，故r 1＝3b ＋2a 2，r 2＝3b －2a 2.又r 1·r 2＝94ab ，所以3b ＋2a 2·3b －2a 2＝94ab ，解得b a ＝43(负值舍去)，故e ＝ca＝a 2＋b 2a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫432＋1＝53，故选B. 答案 B7．(2013·山东卷)抛物线C 1：y ＝12p x 2(p >0)的焦点与双曲线C 2：x 23－y 2＝1的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M .若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p ＝ ( )．A.316B ．38C ．233D ．433解析 抛物线C 1：y ＝12p x 2的标准方程为x 2＝2py ，其焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2；双曲线C 2：x 23－y2＝1的右焦点F ′为(2,0)，其渐近线方程为y ＝±33x .由y ′＝1p x ，所以1p x ＝33，得x ＝33p ，所以点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫33p ，p 6.由点F ，F ′，M 三点共线可求p ＝433. 答案 D 二、填空题8．(2013·陕西卷)双曲线x 216－y 2m ＝1(m >0)的离心率为54，则m 等于________．解析 由题意得c ＝16＋m ，所以16＋m 4＝54，解得m ＝9. 答案 99．(2014·辽宁卷)已知椭圆C ：x 29＋y 24＝1，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则|AN |＋|BN |＝________. 解析 椭圆x 29＋y 24＝1中，a ＝3..如图，设MN 的中点为D ，则|DF 1|＋|DF 2|＝2a ＝6.∵D ，F 1，F 2分别为MN ，AM ，BM 的中点， ∴|BN |＝2|DF 2|，|AN |＝2|DF 1|， ∴|AN |＋|BN |＝2(|DF 1|＋|DF 2|)＝12. 答案 1210．(2014·合肥二模)设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A为垂足，如果AF 的斜率为－3，那么|PF |＝________.解析 抛物线的焦点为F (2,0)，准线为x ＝－2，因为PA ⊥准线l ，设P (m ，n )，则A (－2，n )，因为AF 的斜率为－3，所以n－2－2＝－3，得n ＝43，点P 在抛物线上，所以8m ＝(43)2＝48，m ＝6.因此P (6,43)，|PF |＝|PA |＝|6－(－2)|＝8. 答案 811．(2013·福建卷)椭圆T ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c .若直线y ＝3(x ＋c )与椭圆T 的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________．解析 直线y ＝3(x ＋c )过点F 1，且倾斜角为60°，所以∠MF 1F 2＝60°，从而∠MF 2F 1＝30°，所以MF 1⊥MF 2，在Rt △MF 1F 2中，|MF 1|＝c ，|MF 2|＝3c ，所以该椭圆的离心率e ＝2c 2a ＝2c c ＋3c＝3－1. 答案3－112．(2013·浙江卷)设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过点P (－1,0)的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，点Q 为线段AB 的中点，若|FQ |＝2，则直线l 的斜率等于________．解析 设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，Q (x 0，y 0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋1，y 2＝4x ，得：k 2x 2＋(2k 2－4)x ＋k 2＝0， 则x 1＋x 2＝4－2k 2k2，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2＋2)＝4k，故x 0＝2－k 2k 2，y 0＝2k.由x 0－12＋y 0－02＝2，得⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2k 2k 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＝4. 所以k ＝±1. 答案 ±1 三、解答题13．已知过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1＜x 2)两点，且|AB |＝9. (1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值． 解 (1)直线AB 的方程是y ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，与y 2＝2px 联立，从而有4x 2－5px ＋p 2＝0，所以x 1＋x 2＝5p 4，由抛物线定义，得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝5p4＋p ＝9，所以p ＝4，从而抛物线方程为y 2＝8x .(2)由于p ＝4,4x 2－5px ＋p 2＝0可简化为x 2－5x ＋4＝0， 从而x 1＝1，x 2＝4，y 1＝－22，y 2＝42， 即A (1，－22)，B (4,42)；设C (x 3，y 3)，则OC →＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4,42)＝(4λ＋1,42λ－22)， 又y 23＝8x 3，即[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.14．设抛物线C ：y 2＝4x ，F 为C 的焦点，过F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点．(1)设l 的斜率为1，求|AB |的大小；(2)求证：OA →·OB →是一个定值．(1)解 ∵由题意可知抛物线的焦点F 为(1,0)， 准线方程为x ＝－1， ∴直线l 的方程为y ＝x －1， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，y 2＝4x得x 2－6x ＋1＝0， ∴x 1＋x 2＝6，由直线l 过焦点，则|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋2＝8. (2)证明 设直线l 的方程为x ＝ky ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ky ＋1，y 2＝4x得y 2－4ky －4＝0. ∴y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－4， OA →＝(x 1，y 1)，OB →＝(x 2，y 2)．∵OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2 ＝(ky 1＋1)(ky 2＋1)＋y 1y 2 ＝k 2y 1y 2＋k (y 1＋y 2)＋1＋y 1y 2 ＝－4k 2＋4k 2＋1－4＝－3. ∴OA →·OB →是一个定值．15．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F 1(－1,0)，且点P (0，1)在C 1上．(1)求椭圆C 1的方程；(2)设直线l 同时与椭圆C 1和抛物线C 2：y 2＝4x 相切，求直线l 的方程． 解 (1)因为椭圆C 1的左焦点为F 1(－1,0)， 所以c ＝1.将点P (0,1)代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b2＝1，得1b2＝1，即b ＝1.所以a 2＝b 2＋c 2＝2.所以椭圆C 1的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由题意可知，直线l 的斜率显然存在且不等于0，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝kx ＋m消去y 并整理得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0.因为直线l 与椭圆C 1相切，所以Δ1＝16k 2m 2－4(1＋2k 2)(2m 2－2)＝0. 整理，得2k 2－m 2＋1＝0，①由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋m 消y ，得k 2x 2＋(2km －4)x ＋m 2＝0.∵直线l 与抛物线C 2相切， ∴Δ2＝(2km －4)2－4k 2m 2＝0， 整理，得km ＝1，② 联立①、②，得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝22，m ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－22，m ＝－2，∴l 的方程为y ＝22x ＋2或y ＝－22x － 2.。

椭圆双曲线抛物线大题及答案近年来，越来越多的数学考试和竞赛中出现了椭圆、双曲线和抛物线的大题。

这些大题考查的是对于这些曲线的了解和掌握，以及运用其性质解决数学问题的能力。

下面，我们来一起探讨一下椭圆、双曲线和抛物线的大题及其答案。

一、椭圆的大题及答案椭圆的一般方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，其中$a>b>0$。

1.已知椭圆的焦点为$(\pm c,0)$，准线为$x=\pm a$，则椭圆的方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2-c^2}=1$。

证明：由于椭圆的准线为$x=\pm a$，则$a$为椭圆的半长轴，$b=\sqrt{a^2-c^2}$为椭圆的半短轴。

又由于椭圆的焦点为$(\pmc,0)$，则$c=\sqrt{a^2-b^2}$为椭圆的焦距。

代入椭圆的一般方程，得到$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2-c^2}=1$。

2.已知椭圆的离心率为$\frac{1}{3}$，其中一个焦点为$(4,0)$，则椭圆的方程为$\frac{(x-4)^2}{36}+\frac{y^2}{27}=1$。

证明：由于椭圆的离心率为$\frac{1}{3}$，则椭圆的半长轴为$a=9$，焦距为$c=\frac{a}{3}=3$，半短轴为$b=\sqrt{a^2-c^2}=6$。

又由于一个焦点为$(4,0)$，则另一个焦点为$(-4,0)$。

代入椭圆的一般方程，得到$\frac{(x-4)^2}{36}+\frac{y^2}{27}=1$。

二、双曲线的大题及答案双曲线的一般方程为$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，其中$a>0$，$b>0$。

1.已知双曲线的离心率为2，其中一个焦点为$(5,0)$，则双曲线的方程为$\frac{(x-5)^2}{16}-\frac{y^2}{12}=1$。

第2讲 椭圆、双曲线、抛物线1.以选择题、填空题形式考查圆锥曲线的方程、几何性质(特别是离心率)． 2．以解答题形式考查直线与圆锥曲线的位置关系(弦长、中点等)．热点一 圆锥曲线的定义与标准方程 1．圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF 1|＋|PF 2|＝2a (2a >|F 1F 2|)． (2)双曲线：||PF 1|－|PF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)．(3)抛物线：|PF |＝|PM |，点F 不在直线l 上，PM ⊥l 于M . 2．求解圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”所谓“定型”，就是确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a 2，b 2，p 的值．例1 (1)(2016·天津)已知双曲线x 24－y 2b2＝1 (b >0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为( ) A.x 24－3y 24＝1 B.x 24－4y 23＝1 C.x 24－y 24＝1 D.x 24－y 212＝1 答案 D解析 由题意知双曲线的渐近线方程为y ＝±b2x ，圆的方程为x 2＋y 2＝4，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，y ＝b2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝44＋b 2，y ＝2b 4＋b 2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－44＋b 2，y ＝－2b 4＋b2，即第一象限的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫44＋b2，2b 4＋b 2.由双曲线和圆的对称性，得四边形ABCD 为矩形，其相邻两边长为84＋b2，4b4＋b 2，故8×4b 4＋b 2＝2b ，得b 2＝12. 故双曲线的方程为x 24－y 212＝1.故选D.(2)如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ，B ，交其准线于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线方程为( ) A ．y 2＝9x B ．y 2＝6x C ．y 2＝3x D ．y 2＝3x 答案 C解析 如图分别过点A ，B 作准线的垂线，分别交准线于点E ，D ，设||BF ＝a ，则由已知得||BC ＝2a ，由抛物线定义，得||BD ＝a ，故∠BCD ＝30°，在Rt△ACE 中， ∵||AE ＝|AF |＝3，||AC ＝3＋3a ，∴2||AE ＝||AC ，即3＋3a ＝6，从而得a ＝1，||FC ＝3a ＝3.∴p ＝||FG ＝12||FC ＝32，因此抛物线方程为y 2＝3x ，故选C.思维升华 (1)准确把握圆锥曲线的定义和标准方程及其简单几何性质，注意当焦点在不同坐标轴上时，椭圆、双曲线、抛物线方程的不同表示形式．(2)求圆锥曲线方程的基本方法就是待定系数法，可结合草图确定．跟踪演练1 (1)已知双曲线过点()2，3，其中一条渐近线方程为y ＝3x ，则双曲线的标准方程是( ) A.7x 216－y212＝1 B.y 23－x 22＝1 C ．x 2－y 23＝1D.3y 223－x223＝1 答案 C解析 根据题意，双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，则可设其方程为y 23－x 2＝λ()λ≠0.又由其过点()2，3，则有323－22＝λ，解得λ＝－1，则双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1，故选C. (2)△ABC 的两个顶点为A (－4,0)，B (4,0)，△ABC 的周长为18，则C 点轨迹方程为( ) A.x 216＋y 29＝1(y ≠0) B.y 225＋x 29＝1(y ≠0) C.y 216＋x 29＝1(y ≠0) D.x 225＋y 29＝1(y ≠0) 答案 D解析 ∵△ABC 的两顶点A (－4,0)，B (4,0)，周长为18，∴|AB |＝8，|BC |＋|AC |＝10.∵10>8，∴点C 到两个定点的距离之和等于定值，满足椭圆的定义，∴点C 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆．∴2a ＝10,2c ＝8，即a ＝5，c ＝4，∴b ＝3.∴C 点的轨迹方程为x 225＋y 29＝1(y ≠0)．故选D.热点二 圆锥曲线的几何性质1．椭圆、双曲线中a ，b ，c 之间的关系 (1)在椭圆中：a 2＝b 2＋c 2，离心率为e ＝c a＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2. (2)在双曲线中：c 2＝a 2＋b 2，离心率为e ＝c a＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2.2．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±bax .注意离心率e 与渐近线的斜率的关系．例2 (1)(2017届河北省衡水中学押题卷)已知双曲线C 1: x 22－y 2＝1与双曲线C 2: x 22－y 2＝－1，给出下列说法，其中错误的是( ) A ．它们的焦距相等 B ．它们的焦点在同一个圆上 C ．它们的渐近线方程相同 D ．它们的离心率相等 答案 D解析 由题意知C 2：y 2－x 22＝1，则两双曲线的焦距相等且2c ＝23，焦点都在圆x 2＋y 2＝3上，其实为圆与坐标轴的交点．渐近线方程都为y ＝±22x .由于实轴长度不同，故离心率e ＝ca不同．故选D.(2)已知双曲线M ：x 2a2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，||F 1F 2＝2c .若双曲线M 的右支上存在点P ，使asin∠PF 1F 2＝3csin∠PF 2F 1，则双曲线M 的离心率的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫1，2＋73B.⎝⎛⎦⎥⎤1，2＋73C.()1，2D.(]1，2答案 A解析 根据正弦定理可知，sin∠PF 1F 2sin∠PF 2F 1＝|PF 2||PF 1|，所以|PF 2||PF 1|＝a 3c ，即|PF 2|＝a 3c|PF 1|,||PF 1||－PF 2＝2a ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 3c ||PF 1＝2a ，解得||PF 1＝6ac 3c －a ，而||PF 1>a ＋c ，即6ac3c －a>a ＋c ，整理得3e 2－4e －1<0 ，解得2－73<e <2＋73 .又因为离心率e >1，所以1<e <2＋73，故选A.思维升华 (1)明确圆锥曲线中a ，b ，c ，e 各量之间的关系是求解问题的关键．(2)在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c 和a 的值，而是根据题目给出的椭圆或双曲线的几何特点，建立关于参数c ，a ，b 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围．跟踪演练2 (1)(2017届株洲一模)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，F 1为左焦点，A 为右顶点， B 1，B 2分别为上、下顶点，若F 1，A ，B 1，B 2四点在同一个圆上，则此椭圆的离心率为( ) A.3－12 B.5－12 C.22D.32答案 B解析 由题设圆的半径r ＝a ＋c2，则b 2＋⎝⎛⎭⎪⎫a －a ＋c 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c 22，即a 2－c 2＝ac ⇒e 2＋e －1＝0，解得e ＝－1＋52，故选B.(2)已知双曲线C: x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0, b >0)的焦距为2c ，直线l 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，0且与双曲线C 的一条渐近线垂直，以双曲线C 的右焦点为圆心，半焦距为半径的圆与直线l 交于M, N 两点，若||MN ＝423c ，则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±3xC ．y ＝±2xD ．y ＝±4x答案 B解析 由题意可设渐近线方程为y ＝b ax ，则直线l 的斜率k l ＝－a b，直线方程为y ＝－a b ⎝⎛⎭⎪⎫x －23a ，整理可得ax ＋by －23a 2＝0.焦点()c ，0到直线的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪ac －23a 2a 2＋b 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪ac －23a 2c，则弦长为2c 2－d 2＝2c 2－⎝⎛⎭⎪⎫ac －23a 22c 2＝423c ，整理可得c 4－9a 2c 2＋12a 3c －4a 4＝0， 即e 4－9e 2＋12e －4＝0，分解因式得()e －1()e －2()e 2＋3e －2＝0.又双曲线的离心率e >1，则e ＝c a＝2，所以b a ＝c 2－a 2a 2＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2－1＝3， 所以双曲线C 的渐近线方程为y ＝±3x . 故选B.热点三 直线与圆锥曲线判断直线与圆锥曲线公共点的个数或求交点问题有两种常用方法(1)代数法：联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x ，y 的方程组，消去y (或x )得一元二次方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标．(2)几何法：画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数．例3 如图，已知P ⎝ ⎛⎭⎪⎫62，1为椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上的点，且a 2＋b 2＝5.过点P 的动直线与圆F ：x 2＋y 2＝a 2＋1相交于A ，B 两点，过点P 作直线AB 的垂线与椭圆E 相交于点Q . (1)求椭圆E 的离心率； (2)若|AB |＝23，求|PQ |.解 (1)由题意知，64a 2＋1b 2＝1，a 2＋b 2＝5，a >b >0，解得a 2＝3，b 2＝2， 所以椭圆E 的离心率e ＝a 2－b 2a 2＝ 3－23＝33. (2)依题知圆F 的圆心为原点，半径r ＝2，||AB ＝23， 所以原点到直线AB 的距离为d ＝r 2－⎝⎛⎭⎪⎫|AB |22＝22－⎝⎛⎭⎪⎫2322＝1， 因为点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫62，1，所以直线AB 的斜率存在，设为k . 所以直线AB 的方程为y －1＝k ⎝⎛⎭⎪⎫x －62， 即kx －y －62k ＋1＝0， 所以d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－62k 1＋k2＝1，解得k ＝0或k ＝2 6.①当k ＝0时，此时直线PQ 的方程为x ＝62， 所以||PQ 的值为点P 的纵坐标的两倍， 即||PQ ＝2×1＝2；②当k ＝26时，直线PQ 的方程为y －1＝－126⎝⎛⎭⎪⎫x －62，将它代入椭圆E 的方程x 23＋y 22＝1，消去y 并整理，得34x 2－106x －21＝0， 设Q 点坐标为()x 1，y 1，所以62＋x 1＝10634， 解得x 1＝－7634，所以||PQ ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1262⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－62＝3017.思维升华 解决直线与圆锥曲线问题的通法是联立方程，利用根与系数的关系，设而不求思想，弦长公式等简化计算；涉及中点弦问题时，也可用“点差法”求解．跟踪演练3 (2017届百校大联考全国名校联盟联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，233在椭圆C 上， ||PF 2＝433，过点F 1的直线l 与椭圆C 分别交于M ，N 两点． (1)求椭圆C 的方程及离心率；(2)若△OMN 的面积为1211，O 为坐标原点，求直线l 的方程．解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝b 2＋c 2，1a 2＋43b 2＝1，()－1－c 2＋43＝4 33，解得a ＝3，b ＝2，c ＝1，故所求椭圆的方程为x 23＋y 22＝1，离心率为e ＝c a ＝33.(2)当直线MN 与x 轴垂直时， ||MN ＝433，此时S △MON ＝233不符合题意，舍去；当直线MN 与x 轴不垂直时，设直线MN 的方程为y ＝k ()x ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧x 23＋y 22＝1，y ＝k ()x ＋1，消去y 得()2＋3k 2x 2＋6k 2x ＋3k 2－6＝0.设M ()x 1，y 1，N ()x 2，y 2， 则x 1＋x 2＝－6k 22＋3k 2，x 1x 2＝3k 2－62＋3k 2，所以||MN ＝()1＋k 2[]()x 1＋x 22－4x 1x 2＝()1＋k 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－6k 22＋3k 22－4×3k 2－62＋3k 2 ＝48()k 2＋12()2＋3k 22＝43()k 2＋12＋3k 2， 原点O 到直线MN 的距离为d ＝||k 1＋k2，所以三角形的面积S △OMN ＝12||MN d＝12×||k 1＋k2×43()k 2＋12＋3k 2，由S △OMN ＝1211，得k 2＝3，故k ＝±3，所以直线l 的方程为y ＝3()x ＋1或y ＝－3()x ＋1.真题体验1．(2017·全国Ⅱ改编)若双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线被圆(x －2)2＋y 2＝4所截得的弦长为2，则双曲线C 的离心率为________． 答案 2解析 设双曲线的一条渐近线方程为y ＝b ax ， 圆的圆心为(2,0)，半径为2，由弦长为2，得圆心到渐近线的距离为22－12＝ 3.由点到直线的距离公式，得|2b |a 2＋b2＝3，解得b 2＝3a 2.所以双曲线C 的离心率e ＝ca ＝c 2a 2＝1＋b 2a2＝2. 2．(2017·全国Ⅱ改编)过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F ，且斜率为3的直线交C 于点M (M 在x 轴上方)，l 为C 的准线，点N 在l 上且MN ⊥l ，则M 到直线NF 的距离为________． 答案 2 3解析 抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.由直线方程的点斜式可得直线MF 的方程为y ＝3(x －1)． 联立方程组⎩⎨⎧y ＝3(x －1)，y 2＝4x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13，y ＝－233或⎩⎨⎧x ＝3，y ＝2 3.∵点M 在x 轴的上方，∴M (3,23)． ∵MN ⊥l ，∴N (－1,23)． ∴|NF |＝(1＋1)2＋(0－23)2＝4， |MF |＝|MN |＝3－(－1)＝4. ∴△MNF 是边长为4的等边三角形． ∴点M 到直线NF 的距离为2 3.3．(2017·北京)若双曲线x 2－y 2m＝1的离心率为3，则实数m ＝________.答案 2解析 由双曲线的标准方程知，a ＝1，b 2＝m ，c ＝1＋m ，故双曲线的离心率e ＝c a＝1＋m ＝3， ∴1＋m ＝3，解得m ＝2.4．(2017·山东)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a －y 2b＝1(a ＞0，b ＞0)的右支与焦点为F 的抛物线x 2＝2py (p＞0)交于A ，B 两点，若|AF |＋|BF |＝4|OF |，则该双曲线的渐近线方程为________． 答案 y ＝±22x 解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 2b 2＝1，x 2＝2py ，得a 2y 2－2pb 2y ＋a 2b 2＝0，∴y 1＋y 2＝2pb 2a2.又∵|AF |＋|BF |＝4|OF |，∴y 1＋p 2＋y 2＋p 2＝4×p2，即y 1＋y 2＝p ，∴2pb 2a 2＝p ，即b 2a 2＝12，∴b a ＝22， ∴双曲线的渐近线方程为y ＝±22x . 押题预测1．(2017届江西师范大学附属中学模拟)已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 2作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点A ，交另一条渐近线于点B ，且AF 2→＝13F 2B →，则该双曲线的离心率为( )A.62B.52C. 3 D ．2押题依据 圆锥曲线的几何性质是圆锥曲线的灵魂，其中离心率、渐近线是高考命题的热点． 答案 A解析 由F 2()c ，0到渐近线y ＝b ax 的距离为d ＝bc a 2＋b2＝b ，即||AF 2→＝b ，则||BF 2→＝3b . 在△AF 2O 中， ||OA →||＝a ，OF 2→＝c ，tan∠F 2OA ＝b a ， tan∠AOB ＝4b a ＝2×ba 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2，化简可得a 2＝2b 2，即c 2＝a 2＋b 2＝32a 2，即e ＝c a ＝62，故选A.2．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，且点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在该椭圆上． (1)求椭圆C 的方程；(2)过椭圆C 的左焦点F 1的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若△AOB 的面积为627，求圆心在原点O 且与直线l相切的圆的方程．押题依据 椭圆及其性质是历年高考的重点，直线与椭圆的位置关系中的弦长、中点等知识应给予充分关注．解 (1)由题意可得e ＝c a ＝12，又a 2＝b 2＋c 2， 所以b 2＝34a 2.因为椭圆C 经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32， 所以1a 2＋9434a 2＝1，解得a ＝2，所以b 2＝3， 故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由(1)知F 1(－1,0)，设直线l 的方程为x ＝ty －1，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty －1，x 24＋y23＝1消去x ，得(4＋3t 2)y 2－6ty －9＝0，显然Δ>0恒成立，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝6t 4＋3t 2，y 1y 2＝－94＋3t2， 所以|y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2 ＝36t 2(4＋3t 2)2＋364＋3t 2＝12t 2＋14＋3t2， 所以S △AOB ＝12·|F 1O |·|y 1－y 2|＝6t 2＋14＋3t 2＝627， 化简得18t 4－t 2－17＝0， 即(18t 2＋17)(t 2－1)＝0， 解得t 21＝1，t 22＝－1718(舍去)．又圆O 的半径r ＝|0－t ×0＋1|1＋t 2＝11＋t 2， 所以r ＝22，故圆O 的方程为x 2＋y 2＝12.A 组 专题通关1．(2017·全国Ⅲ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为( ) A.x 28－y 210＝1B.x 24－y 25＝1C.x 25－y 24＝1 D.x 24－y 23＝1 答案 B 解析 由y ＝52x ，可得b a ＝52.① 由椭圆x 212＋y 23＝1的焦点为(3,0)，(－3,0)，可得a 2＋b 2＝9.② 由①②可得a 2＝4，b 2＝5. 所以C 的方程为x 24－y 25＝1.故选B.2．(2017届汕头模拟)若椭圆x 236＋y 216＝1上一点P 与椭圆的两个焦点F 1，F 2的连线互相垂直，则△PF 1F 2的面积为( )A ．36B ．16C ．20D ．24答案 B解析 设||PF 1||＝m ，PF 2＝n ，则m 2＋n 2＝4()36－16＝80，即()m ＋n 2－2mn ＝80.又m ＋n ＝2×6＝12，∴mn ＝32，S △PF 1F 2＝12mn ＝16，故选B.3. (2017届常德一模)已知抛物线C: y 2＝4x 的焦点为F ，过F 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，弦AB 的中点M 到抛物线C 的准线的距离为5，则直线l 的斜率为( ) A ．±22 B ．±1 C ．±63D ．±62答案 C解析 由题意知直线l 的斜率存在且不为零，设直线l 的方程为y ＝k ()x －1，点A ()x 1，y 1，B ()x 2，y 2， 线段AB 的中点为M ()x 0，y 0. 由⎩⎨⎧y ＝k ()x －1，y 2＝4x ，得k 2x 2－()2k 2＋4x ＋k 2＝0，所以x 1＋x 2＝2k 2＋4k2.又因为弦AB 的中点M 到抛物线C 的准线的距离为5，所以x 1＋x 22＋p 2＝x 1＋x 22＋1＝5，所以x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2＝8，解得k 2＝23，所以k ＝±63，故选C.4.(2017·河南省豫北重点中学联考)如图， F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 2的直线与双曲线C 交于A ，B 两点，若||AB ∶|BF 1|∶|AF 1|＝3∶4∶5，则双曲线的离心率为( ) A.13 B ．3 C. 5 D ．2答案 A解析 设||AB ＝3x ，||BF 1||＝4x ，AF 1＝5x ，所以△ABF 1是直角三角形．因为||BF 2||－BF 1＝2a ，所以||BF 2||＝BF 1＋2a ＝4x ＋2a, ||AF 2＝x ＋2a .又||AF 1||－AF 2＝2a ，即5x －x －2a ＝2a ，解得x ＝a ，又||BF 22＋||BF 12＝4c 2，即()4x ＋2a 2＋()4x 2＝4c 2，即()4a ＋2a 2＋()4a 2＝4c 2，解得c 2a2＝13，即e ＝13，故选A.5．(2017·全国Ⅱ)已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则|FN |＝________. 答案 6解析 如图，不妨设点M 位于第一象限内，抛物线C 的准线交x 轴于点A ，过点M 作准线的垂线，垂足为点B ，交y 轴于点P ， ∴PM ∥OF .由题意知，F (2,0)， |FO |＝|AO |＝2.∵点M 为FN 的中点，PM ∥OF ， ∴|MP |＝12|FO |＝1.又|BP |＝|AO |＝2，∴|MB |＝|MP |＋|BP |＝3.由抛物线的定义知|MF |＝|MB |＝3， 故|FN |＝2|MF |＝6.6．(2017·全国Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点．若∠MAN ＝60°，则C 的离心率为________．答案233解析 如图，由题意知点A (a,0)，双曲线的一条渐近线l 的方程为y ＝b ax ，即bx －ay ＝0， ∴点A 到直线l 的距离d ＝aba 2＋b2. 又∠MAN ＝60°，|MA |＝|NA |＝b ， ∴△MAN 为等边三角形， ∴d ＝32|MA |＝32b ，即ab a 2＋b2＝32b ，∴a 2＝3b 2， ∴e ＝c a ＝a 2＋b 2a 2＝233. 7．(2017·泉州质检)椭圆C ：x 2a 2＋y 2＝1(a >1)的离心率为32， F 1，F 2是C 的两个焦点，过F 1的直线l 与C 交于A ，B两点，则||AF 2||＋BF 2的最大值为______． 答案 7解析 因为离心率为32，所以a 2－1a ＝32⇒a ＝2，由椭圆定义得||AF 2＋||BF 2＋||AB ＝4a ＝8， 即||AF 2＋||BF 2＝8－||AB .而由焦点弦性质知，当AB ⊥x 轴时，||AB 取最小值2×b 2a＝1，因此||AF 2||＋BF 2的最大值为8－1＝7.8．一动圆与圆O 1：(x ＋3)2＋y 2＝1外切，与圆O 2：(x －3)2＋y 2＝81内切，则动圆圆心的轨迹方程为________________． 答案x 225＋y 216＝1解析 两定圆的圆心和半径分别是O 1(－3,0)，r 1＝1；O 2(3,0)，r 2＝9.设动圆圆心为M (x ，y )，半径为R ，则由题设条件， 可得|MO 1|＝R ＋1，|O 2M |＝9－R . ∴|MO 1|＋|MO 2|＝10>|O 1O 2|＝6.由椭圆的定义知，点M 在以O 1，O 2为焦点的椭圆上， 且2a ＝10,2c ＝6，∴b 2＝16. ∴动圆圆心的轨迹方程为x 225＋y 216＝1.9．(2017届唐山模拟)已知椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12，且离心率为32. (1)求椭圆Γ的方程；(2)设点M 在x 轴上的射影为点N ，过点N 的直线l 与椭圆Γ相交于A, B 两点，且NB →＋3NA →＝0，求直线l 的方程． 解 (1)由已知可得3a 2＋14b 2＝1, a 2－b 2a ＝32，解得a ＝2, b ＝1，所以椭圆Γ的方程为x 24＋y 2＝1. (2)由已知N 的坐标为()3，0，当直线l 斜率为0时，直线l 为x 轴，易知NB →＋3NA →＝0不成立． 当直线l 斜率不为0时，设直线l 的方程为x ＝my ＋3， 代入x 24＋y 2＝1，整理得()4＋m 2y 2＋23my －1＝0，设A ()x 1，y 1， B ()x 2，y 2，则y 1＋y 2＝－23m4＋m2， ① y 1y 2＝－14＋m2， ② 由NB →＋3NA →＝0，得y 2＝－3y 1，③由①②③解得m ＝±22. 所以直线l 的方程为x ＝±22y ＋3， 即y ＝±2()x －3.10.如图所示，抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，动点T (－1，m )，过F 作TF 的垂线交抛物线于P ，Q 两点，弦PQ 的中点为N .(1)证明：线段NT 平行于x 轴(或在x 轴上)； (2)若m ＞0且|NF |＝|TF |，求m 的值及点N 的坐标．(1)证明 易知抛物线的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1，动点T (－1，m )在准线上，则k TF ＝－m 2.当m ＝0时，T 为抛物线准线与x 轴的交点，这时PQ 为抛物线的通径，点N 与焦点F 重合，显然线段NT 在x 轴上． 当m ≠0时，由条件知k PQ ＝2m，所以直线PQ 的方程为y ＝2m(x －1)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝2m(x －1)，得x 2－(2＋m 2)x ＋1＝0，Δ＝[－(2＋m 2)]2－4＝m 2(4＋m 2)＞0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，可知x 1＋x 2＝2＋m 2，y 1＋y 2＝2m(x 1＋x 2－2)＝2m .所以弦PQ 的中点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋m 22，m ，又T (－1，m )，所以k NT ＝0，则NT 平行于x 轴．综上可知，线段NT 平行于x 轴(或在x 轴上)． (2)解 已知|NF |＝|TF |，在△TFN 中，tan∠NTF ＝|NF ||TF |＝1⇒∠NTF ＝45°，设A 是准线与x 轴的交点，则△TFA 是等腰直角三角形，所以|TA |＝|AF |＝2， 又动点T (－1，m )，其中m ＞0，则m ＝2. 因为∠NTF ＝45°，所以k PQ ＝tan 45°＝1， 又焦点F (1,0)，可得直线PQ 的方程为y ＝x －1. 由m ＝2，得T (－1,2)， 由(1)知线段NT 平行于x 轴，设N (x 0，y 0)，则y 0＝2，代入y ＝x －1，得x 0＝3， 所以N (3,2)．B 组 能力提高11.(2017·长沙市长郡中学模拟)2000多年前，古希腊大数学家阿波罗尼奥斯(Apollonius)发现：平面截圆锥的截口曲线是圆锥曲线．已知圆锥的高为PH, AB 为地面直径，顶角为2θ，那么不过顶点P 的平面与PH 夹角π2>a >θ时，截口曲线为椭圆；与PH 夹角a ＝θ时，截口曲线为抛物线；与PH 夹角θ>a >0时，截口曲线为双曲线．如图，底面内的直线AM ⊥AB ，过AM的平面截圆锥得到的曲线为椭圆，其中与PB 的交点为C ，可知AC 为长轴．那么当C 在线段PB 上运动时，截口曲线的短轴端点的轨迹为( ) A ．圆的部分B ．椭圆的部分C ．双曲线的部分D ．抛物线的部分答案 D解析 如图，因为对于给定的椭圆来说，短轴的端点Q 到焦点F 的距离等于半长轴a ，但短短轴的端点Q 到直线AM 的距离也是a ，即说明短轴的端点Q 到定点F 的距离等于到定直线AM 的距离，所以由抛物线的定义可知，短轴的端点的轨迹是抛物线的一部分，故选D. 12．已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点为F ()1，0，离心率为22，过点F 的动直线交M 于A, B 两点，若x 轴上的点P ()t ，0使得∠APO ＝∠BPO 总成立(O 为坐标原点)，则t 等于( ) A ．－2 B ．2 C ．－ 2 D. 2答案 B解析 在椭圆中c ＝1, e ＝c a ＝22，得a ＝2，b ＝1，故椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.设A ()x 1，y 1， B ()x 2，y 2，由题意可知，当直线斜率不存在时， t 可以为任意实数；当直线斜率存在时，可设直线方程为y ＝k ()x －1，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k()x －1，x 22＋y 2＝1，得()1＋2k 2x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0，∴x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2， x 1x 2＝2k 2－21＋2k2，使得∠APO ＝∠BPO 总成立，即使得PF 为∠APB 的角平分线， 即直线PA 和PB 的斜率之和为0， 即y 1x 1－t ＋y 2x 2－t＝0， ①由y 1＝k (x 1－1), y 2＝k ()x 2－1，代入①整理得2x 1x 2－()t ＋1()x 1＋x 2＋2t ＝0，由根与系数的关系，可得4k 2－41＋2k 2－()t ＋14k21＋2k 2＋2t ＝0，化简可得t ＝2，故选B.13．(2017·武汉调研)已知直线MN 过椭圆x 22＋y 2＝1的左焦点F ，与椭圆交于M ，N 两点，直线PQ 过原点O 与MN 平行，且与椭圆交于P ，Q 两点，则|PQ |2||MN ＝________.答案 2 2解析 方法一 特殊化，设MN ⊥x 轴， 则||MN ＝2b 2a ＝22＝2，||PQ 2＝4,||PQ 2||MN ＝42＝2 2.方法二 由题意知F (－1,0)，当直线MN 的斜率不存在时，|MN |＝2b 2a ＝2，|PQ |＝2b ＝2，则|PQ |2|MN |＝22；当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的斜率为k ，则MN 方程为y ＝k (x ＋1)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，x 22＋y 2＝1，整理得(2k 2＋1)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0. 由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝－4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－22k 2＋1，则|MN |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝22(k 2＋1)2k 2＋1. 直线PQ 的方程为y ＝kx ，P (x 3，y 3)，Q (x 4，y 4)，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 22＋y 2＝1，解得x 2＝21＋2k 2，y 2＝2k 21＋2k2，则|OP |2＝x 2＋y 2＝2(1＋k 2)1＋2k2，又|PQ |＝2|OP |，所以|PQ |2＝4|OP |2＝8(1＋k 2)1＋2k 2，∴|PQ |2|MN |＝2 2. 14．(2017·天津)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F (－c,0)，右顶点为A ，点E 的坐标为(0，c )，△EFA 的面积为b 22.(1)求椭圆的离心率；(2)设点Q 在线段AE 上，|FQ |＝3c2，延长线段FQ 与椭圆交于点P ，点M ，N 在x 轴上，PM ∥QN ，且直线PM 与直线QN间的距离为c ，四边形PQNM 的面积为3c . ①求直线FP 的斜率； ②求椭圆的方程．解 (1)设椭圆的离心率为e . 由已知可得12(c ＋a )c ＝b22.又由b 2＝a 2－c 2，可得2c 2＋ac －a 2＝0，即2e 2＋e －1＝0，解得e ＝－1或e ＝12.又因为0<e <1，所以e ＝12.所以椭圆的离心率为12.(2)①依题意，设直线FP 的方程为x ＝my －c (m >0)，则直线FP 的斜率为1m.由(1)知a ＝2c ，可得直线AE 的方程为x 2c ＋yc ＝1，即x ＋2y －2c ＝0，与直线FP 的方程联立， 可得x ＝(2m －2)c m ＋2，y ＝3cm ＋2，即点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫(2m －2)c m ＋2，3c m ＋2.由已知|FQ |＝3c2，有⎣⎢⎡⎦⎥⎤(2m －2)c m ＋2＋c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c m ＋22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 22，整理得3m 2－4m ＝0，所以m ＝43(m ＝0舍去)，即直线FP 的斜率为34.②由a ＝2c ，可得b ＝3c ，故椭圆方程可以表示为x 24c 2＋y 23c2＝1.由①得直线FP 的方程为3x －4y ＋3c ＝0，与椭圆方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y ＋3c ＝0，x 24c 2＋y 23c 2＝1，消去y ，整理得7x 2＋6cx －13c 2＝0，解得x ＝－13c 7(舍去)或x ＝c .因此可得点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，3c 2，进而可得|FP |＝(c ＋c )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 22＝5c 2，所以|PQ |＝|FP |－|FQ |＝5c 2－3c2＝c .由已知，线段PQ 的长即为PM 与QN 这两条平行直线间的距离，故直线PM 和QN 都垂直于直线FP . 因为QN ⊥FP ，所以|QN |＝|FQ |·tan∠QFN ＝3c 2×34＝9c8，所以△FQN 的面积为12|FQ ||QN |＝27c232.同理△FPM 的面积等于75c232.由四边形PQNM 的面积为3c ，得75c 232－27c232＝3c ，整理得c 2＝2c .又由c >0，得c ＝2. 所以椭圆的方程为x 216＋y 212＝1.。

第2讲 椭圆、双曲线、抛物线高考定位 1.圆锥曲线的方程与几何性质是高考的重点，多以选择题、填空题或解答题的一问的形式命题；2直线与圆锥曲线的位置关系是命题的热点，尤其是有关弦长计算及存在性问题，运算量大，能力要求高，突出方程思想、转化化归与分类讨论思想方法的考查.真 题 感 悟1.(2018·全国Ⅱ卷)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，则其渐近线方程为( ) A.y ＝±2x B.y ＝±3x C.y ＝±22xD.y ＝±32x[解析] 法一 由题意知，e ＝ca ＝3，所以c ＝3a ，所以b ＝c 2－a 2＝2a ，即b a ＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±2x . 法二 由e ＝ca ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝3，得b a ＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±2x .[答案] A2.(2018·全国Ⅰ卷)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点(－2，0)且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM →·FN →＝( ) A.5B.6C.7D.8[解析] 过点(－2，0)且斜率为23的直线的方程为y ＝23(x ＋2)，由⎩⎨⎧y ＝23（x ＋2），y 2＝4x ，得x 2－5x ＋4＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则y 1>0，y 2>0，根据根与系数的关系，得x 1＋x 2＝5，x 1x 2＝4.易知F (1，0)，所以FM →＝(x 1－1，y 1)，FN →＝(x 2－1，y 2)，所以FM →·FN →＝(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＋4x 1x 2＝4－5＋1＋8＝8. [答案] D3.(2018·全国Ⅱ卷)已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点.若PF 1⊥PF 2，且∠PF 2F 1＝60°，则C 的离心率为( ) A.1－32B.2－ 3C.3－12D.3－1[解析] 由题设知∠F 1PF 2＝90°，∠PF 2F 1＝60°，|F 1F 2|＝2c ，所以|PF 2|＝c ，|PF 1|＝3c .由椭圆的定义得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，即3c ＋c ＝2a ，所以(3＋1)c ＝2a ， 故椭圆C 的离心率e ＝c a ＝23＋1＝3－1. [答案] D4.(2018·全国Ⅰ卷)设抛物线C ：y 2＝2x ，点A (2，0)，B (－2，0)，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点.(1)当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程； (2)证明：∠ABM ＝∠ABN .(1)解 当l 与x 轴垂直时，l 的方程为x ＝2，代入抛物线方程y 2＝2x ，可得M 的坐标为(2，2)或(2，－2).所以直线BM 的方程为y ＝12x ＋1或y ＝－12x －1.(2)证明 当l 与x 轴垂直时，AB 为MN 的垂直平分线，所以∠ABM ＝∠ABN . 当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为y ＝k (x －2)(k ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1>0，x 2>0.由⎩⎨⎧y ＝k （x －2），y 2＝2x 得ky 2－2y －4k ＝0， 可知y 1＋y 2＝2k ，y 1y 2＝－4. 直线BM ，BN 的斜率之和为k BM ＋k BN ＝y 1x 1＋2＋y 2x 2＋2＝x 2y 1＋x 1y 2＋2（y 1＋y 2）（x 1＋2）（x 2＋2）＝y 22y 12＋y 21y 22＋2（y 1＋y 2）（x 1＋2）（x 2＋2）＝（y 1＋y 2）（y 1y 22＋2）（x 1＋2）（x 2＋2）＝0.所以k BM ＋k BN ＝0，可知BM ，BN 的倾斜角互补，所以∠ABM ＝∠ABN . 综上，∠ABM ＝∠ABN .考 点 整 合1.圆锥曲线的定义(1)椭圆：|MF 1|＋|MF 2|＝2a (2a ＞|F 1F 2|)； (2)双曲线：||MF 1|－|MF 2||＝2a (2a ＜|F 1F 2|)； (3)抛物线：|MF |＝d (d 为M 点到准线的距离).温馨提醒 应用圆锥曲线定义解题时，易忽视定义中隐含条件导致错误. 2.圆锥曲线的标准方程(1)椭圆：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)(焦点在x 轴上)或y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)(焦点在y 轴上)；(2)双曲线：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)(焦点在x 轴上)或y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)(焦点在y 轴上)；(3)抛物线：y 2＝2px ，y 2＝－2px ，x 2＝2py ，x 2＝－2py (p ＞0).3.圆锥曲线的重要性质(1)椭圆、双曲线中a ，b ，c 之间的关系①在椭圆中：a 2＝b 2＋c 2；离心率为e ＝c a ＝1－b 2a 2.②在双曲线中：c 2＝a 2＋b 2；离心率为e ＝c a ＝1＋b 2a 2.(2)双曲线的渐近线方程与焦点坐标①双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±ba x ；焦点坐标F 1(－c ，0)，F 2(c ，0).②双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±ab x ，焦点坐标F 1(0，－c )，F 2(0，c ).(3)抛物线的焦点坐标与准线方程①抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，准线方程x ＝－p 2.②抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，准线方程y ＝－p 2.4.弦长问题(1)直线与圆锥曲线相交的弦长设而不求，利用根与系数的关系，进行整体代入.即当斜率为k ，直线与圆锥曲线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)时，|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2. (2)过抛物线焦点的弦长抛物线y 2＝2px (p >0)过焦点F 的弦AB ，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2，弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p .热点一 圆锥曲线的定义及标准方程【例1】 (1)(2018·天津卷)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点.设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1＋d 2＝6，则双曲线的方程为( ) A.x 24－y 212＝1 B.x 212－y 24＝1 C.x 23－y 29＝1D.x 29－y 23＝1 (2)(2018·昆明诊断)已知抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，M 是抛物线C 上一点，若FM 的延长线交x 轴的正半轴于点N ，交抛物线C 的准线l 于点T ，且FM →＝MN →，则|NT |＝________.[解析] (1)由d 1＋d 2＝6，得双曲线的右焦点到渐近线的距离为3，所以b ＝3.因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，所以ca ＝2，所以a 2＋b 2a 2＝4，所以a 2＋9a 2＝4，解得a 2＝3，所以双曲线的方程为x 23－y 29＝1. (2)由x 2＝4y ，知F (0，1)，准线l ：y ＝－1. 设点M (x 0，y 0)，且x 0>0，y 0>0.由FM→＝MN →，知点M 是线段FN 的中点，N 是FT 中点，利用抛物线定义，|MF |＝|MM ′|＝y 0＋1，且|FF ′|＝2|NN ′|＝2.又2(y 0＋1)＝|FF ′|＋|NN ′|＝3，知y 0＝12.∴|MF |＝12＋1＝32，从而|NT |＝|FN |＝2|MF |＝3. [答案] (1)C (2)3探究提高 1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离，一般运用定义转化为到准线的距离处理.如本例(2)中充分运用抛物线定义实施转化，使解答简捷、明快.2.求解圆锥曲线的标准方程的方法是“先定型，后计算”.所谓“定型”，就是指确定类型，所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a 2，b 2，p 的值，最后代入写出椭圆、双曲线、抛物线的标准方程.【训练1】 (1)(2017·全国Ⅲ卷)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为( ) A.x 28－y 210＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 25－y 24＝1 D.x 24－y 23＝1 (2)(2018·临汾一中质检)已知等腰梯形ABCD 的顶点都在抛物线y 2＝2px (p >0)上，且AB ∥CD ，CD ＝2AB ＝4，∠ADC ＝60°，则点A 到抛物线的焦点F 的距离是________.[解析] (1)由题设知b a ＝52，①又由椭圆x 212＋y 23＝1与双曲线有公共焦点， 易知a 2＋b 2＝c 2＝9，②由①②解得a ＝2，b ＝5，则双曲线C 的方程为x 24－y 25＝1.(2)由题意设A (x 1，1)，D (x 1＋3，2)，所以1＝2px 1，4＝2p (x 1＋3)⇒p ＝32，x 1＝33，所以|AF |＝x 1＋p 2＝33＋34＝7312.[答案] (1)B (2)7312 热点二 圆锥曲线的几何性质【例2】 (1)(2018·全国Ⅲ卷)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，则点(4，0)到C 的渐近线的距离为( ) A. 2B.2C.322D.2 2(2)(2017·全国Ⅲ卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，则C 的离心率为( ) A.63B.33C.23D.13[解析] (1)法一 由离心率e ＝ca ＝2，得c ＝2a ，又b 2＝c 2－a 2，得b ＝a ，所以双曲线C 的渐近线方程为y ＝±x .由点到直线的距离公式，得点(4，0)到C 的渐近线的距离为41＋1＝2 2.法二 离心率e ＝2的双曲线是等轴双曲线，其渐近线方程是y ＝±x ，∴点(4，0)到C 的渐近线的距离为41＋1＝2 2.(2)以线段A 1A 2为直径的圆是x 2＋y 2＝a 2，直线bx －ay ＋2ab ＝0与圆相切， 所以圆心(0，0)到直线的距离d ＝2aba 2＋b 2＝a ，整理为a 2＝3b 2，即b a ＝13.∴e ＝c a ＝a 2－b 2a＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝63. [答案] (1)D (2)A探究提高 1.分析圆锥曲线中a ，b ，c ，e 各量之间的关系是求解圆锥曲线性质问题的关键.2.确定椭圆和双曲线的离心率的值及范围，其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程(组)或不等式(组)，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式.建立关于a ，b ，c 的方程(组)或不等式(组)，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.3.求双曲线渐近线方程关键在于求b a 或ab 的值，也可将双曲线等号右边的“1”变为“0”，然后因式分解得到.【训练2】 (1)(2016·全国Ⅰ卷)直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为( ) A.13B.12C.23D.34 (2)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右支与焦点为F 的抛物线x 2＝2py (p ＞0)交于A ，B 两点，若|AF |＋|BF |＝4|OF |，则该双曲线的渐近线方程为________.[解析] (1)不妨设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，右焦点F (c ，0)，则直线l 的方程为x c ＋yb ＝1，即bx ＋cy －bc ＝0. 由题意|－bc |b 2＋c 2＝12b ，且a 2＝b 2＋c 2，得b 2c 2＝14b 2a 2，所以e ＝c a ＝12. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程：⎩⎨⎧x 2a 2－y 2b 2＝1，x 2＝2py ，消去x 得a 2y 2－2pb 2y ＋a 2b 2＝0，由根与系数的关系得y 1＋y 2＝2b 2a 2p ， 又∵|AF |＋|BF |＝4|OF |，∴y 1＋p 2＋y 2＋p 2＝4×p2，即y 1＋y 2＝p ， ∴2b 2a 2p ＝p ，即b 2a 2＝12⇒b a ＝22. ∴双曲线渐近线方程为y ＝±22x . [答案] (1)B (2)y ＝±22x 热点三 直线与圆锥曲线考法1 直线与圆锥曲线的位置关系【例3－1】 (2016·全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：y 2＝2px (p >0)于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连接ON 并延长交C 于点H . (1)求|OH ||ON |；(2)除H 以外，直线MH 与C 是否有其它公共点？说明理由. 解 (1)如图，由已知得M (0，t )，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 22p ，t ，又N 为M 关于点P 的对称点，故N ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2p ，t ，故直线ON 的方程为y ＝pt x ，将其代入y 2＝2px 整理得px 2－2t 2x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝2t 2p ，因此H ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 2p ，2t .所以N 为OH 的中点，即|OH ||ON |＝2.(2)直线MH 与C 除H 以外没有其它公共点，理由如下： 直线MH 的方程为y －t ＝p 2t x ，即x ＝2tp (y －t ). 代入y 2＝2px 得y 2－4ty ＋4t 2＝0， 解得y 1＝y 2＝2t ，即直线MH 与C 只有一个公共点，所以除H 以外，直线MH 与C 没有其它公共点.探究提高 1.本题第(1)问求解的关键是求点N ，H 的坐标.而第(2)问的关键是将直线MH 的方程与曲线C 联立，根据方程组的解的个数进行判断.2.判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次方程的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0.并且解题时注意应用根与系数的关系及设而不求、整体代换的技巧.【训练3】 (2018·潍坊模拟)在平面直角坐标系xOy 中，点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，且AB ＝2，延长BA 至P ，且A 为PB 的中点，记点P 的轨迹为曲线C . (1)求曲线C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋m 与圆O ：x 2＋y 2＝2相切，且l 与曲线C 交于M ，N 两点，Q 为曲线C 上一点，当四边形OMQN 为平行四边形，求k 的值. 解 (1)设P (x ，y )，A (x 0，0)，B (0，y 0)， 则有x 0＝x2，0＝y 0＋y 2，即y 0＝－y ，又|AB |＝2，得x 20＋y 20＝4.则x 24＋y 2＝4，∴曲线C 的方程为x 216＋y 24＝1. (2)由l 与圆O 相切， 得|m |k 2＋1＝2，即m 2＝2k 2＋2.① 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 216＋y 24＝1，消去y 整理得：(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－16＝0. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，x 1＋x 2＝－8km4k 2＋1，∴y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝2m4k 2＋1， ∴Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－8km4k 2＋1，2m 4k 2＋1， ∵Q 在曲线C 上，∴64k 2m 216（4k 2＋1）2＋4m 24（4k 2＋1）2＝1.得m 2＝4k 2＋1，② 由①，②解得k 2＝12， 所以实数k 的取值为±22. 考法2 有关弦的中点、弦长问题【例3－2】 (2018·全国Ⅲ卷)已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ：x 24＋y 23＝1交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M (1，m )(m >0). (1)证明：k <－12；(2)设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP →＋FA →＋FB →＝0.证明：2|FP →|＝|FA →|＋|FB→|. 证明 (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1.两式相减，并由y 1－y 2x 1－x 2＝k 得x 1＋x 24＋y 1＋y 23·k ＝0.由题设知x 1＋x 22＝1，y 1＋y 22＝m ，于是k ＝－34m . 由于点M (1，m )(m >0)在椭圆x 24＋y 23＝1内， ∴14＋m 23<1，解得0<m <32，故实数k <－12.(2)由题意得F (1，0).设P (x 3，y 3)，则(x 3－1，y 3)＋(x 1－1，y 1)＋(x 2－1，y 2)＝(0，0).由(1)及题设得x 3＝3－(x 1＋x 2)＝1，y 3＝－(y 1＋y 2)＝－2m <0. 又点P 在C 上，所以m ＝34，从而P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，|FP →|＝32.于是|FA →|＝（x 1－1）2＋y 21＝（x 1－1）2＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 214＝2－x 12.同理|FB →|＝2－x 22.所以|FA →|＋|FB →|＝4－12(x 1＋x 2)＝3. 故2|FP→|＝|FA →|＋|FB →|. 探究提高 1.在涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系与弦长公式|AB |＝1＋k 2|x 2－x 1|，设而不求计算弦长；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解，以简化运算.2.对于弦的中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在使用根与系数的关系时，要注意使用条件Δ>0，在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交.【训练4】 (2018·天津卷)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右顶点为A ，上顶点为B .已知椭圆的离心率为53，|AB |＝13. (1)求椭圆的方程；(2)设直线l ：y ＝kx (k <0)与椭圆交于P ，Q 两点，l 与直线AB 交于点M ，且点P ，M 均在第四象限.若△BPM 的面积是△BPQ 面积的2倍，求k 的值. 解 (1)设椭圆的焦距为2c ，由已知有c 2a 2＝59， 又由a 2＝b 2＋c 2，可得2a ＝3b .由|AB |＝a 2＋b 2＝13，从而a ＝3，b ＝2. 所以，椭圆的方程为x 29＋y 24＝1.(2)设点P 的坐标为(x 1，y 1)，点M 的坐标为(x 2，y 2)， 由题意，x 2>x 1>0，点Q 的坐标为(－x 1，－y 1).由△BPM 的面积是△BPQ 面积的2倍，可得|PM |＝2|PQ |， 从而x 2－x 1＝2[x 1－(－x 1)]，即x 2＝5x 1. 易知直线AB 的方程为2x ＋3y ＝6，由方程组⎩⎨⎧2x ＋3y ＝6，y ＝kx ，消去y ，得x 2＝63k ＋2.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 29＋y 24＝1，y ＝kx ，消去y ，得x 1＝69k 2＋4. 由x 2＝5x 1，得9k 2＋4＝5(3k ＋2)， 两边平方，整理得18k 2＋25k ＋8＝0， 解得k ＝－89，或k ＝－12.当k ＝－89时，x 2＝－9<0，不合题意，舍去； 当k ＝－12时，x 2＝12，x 1＝125，符合题意. 所以，k 的值为－12.1.椭圆、双曲线的方程形式上可统一为Ax 2＋By 2＝1，其中A ，B 是不等的常数，A ＞B ＞0时，表示焦点在y 轴上的椭圆；B ＞A ＞0时，表示焦点在x 轴上的椭圆；AB ＜0时表示双曲线.2.对涉及圆锥曲线上点到焦点距离或焦点弦问题，恰当选用定义解题，会效果明显，定义中的定值是标准方程的基础.3.求双曲线、椭圆的离心率的方法：法一：直接求出a ，c ，计算e ＝ca ；法二：根据已知条件确定a ，b ，c 的等量关系，然后把b 用a ，c 代换，求ca .4.弦长公式对于直线与椭圆的相交、直线与双曲线的相交、直线与抛物线的相交都是通用的，此公式可以记忆，也可以在解题的过程中，利用两点间的距离公式推导.5.求中点弦的直线方程的常用方法(1)点差法，设弦的两端点坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，分别代入圆锥曲线方程，两式作差，式中含有x 1＋x 2，y 1＋y 2，y 1－y 2x 1－x 2三个量，则建立了圆锥曲线的弦的中点坐标与弦所在直线的斜率之间的关系，借助弦的中点坐标即可求得斜率；(2)根与系数的关系，联立直线与圆锥曲线的方程，化为一元二次方程，用根与系数的关系求解.一、选择题1.(2018·全国Ⅰ卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 24＝1的一个焦点为(2，0)，则C 的离心率为( ) A.13B.12C.22D.223[解析] 不妨设a >0，由焦点F (2，0)，知c ＝2. ∴a 2＝4＋c 2＝8，a ＝2 2.故离心率e ＝c a ＝222＝22.[答案] C2.(2018·南昌质检)已知抛物线C ：x 2＝4y ，过抛物线C 上两点A ，B 分别作抛物线的两条切线PA ，PB ，P 为两切线的交点，O 为坐标原点，若PA →·PB →＝0，则直线OA 与OB 的斜率之积为( ) A.－14B.－3C.－18D.－4[解析] 设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x A ，x 2A 4，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x B ，x 2B 4，由x 2＝4y ，得y ′＝x 2.所以k AP ＝x A 2，k BP ＝x B 2，由PA →·PB →＝0，得PA ⊥PB .∴x A 2·x B 2＝－1，则x A ·x B ＝－4，又k OA ·k OB ＝x 2A 4x A ·x 2B 4x B ＝x A x B 16＝－14. [答案] A3.(2017·全国Ⅰ卷)已知F 是双曲线C ：x 2－y23＝1的右焦点，P 是C 上一点，且PF与x 轴垂直，点A 的坐标是(1，3)，则△APF 的面积为( ) A.13B.12C.23D.32[解析] 由c 2＝a 2＋b 2＝4得c ＝2，所以F (2，0)， 将x ＝2代入x 2－y 23＝1，得y ＝±3，所以|PF |＝3.又A 的坐标是(1，3)，故△APF 的面积为12×3×(2－1)＝32. [答案] D4.(2017·天津卷)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，△OAF 是边长为2的等边三角形(O 为原点)，则双曲线的方程为( ) A.x 24－y 212＝1 B.x 212－y 24＝1C.x 23－y 2＝1D.x 2－y 23＝1[解析] 依题意知c ＝2，ba ＝tan 60°＝3，又a 2＋b 2＝c 2＝4，解得a 2＝1，b 2＝3，故双曲线方程为x 2－y23＝1.[答案] D5.设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，过F 点且倾斜角为π4的直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，若以AB 为直径的圆过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，2，则该抛物线的方程为( )A.y 2＝2xB.y 2＝4xC.y 2＝8xD.y 2＝16x[解析] 易求直线l 的方程y ＝x －p2，① 又y 2＝2px ，②联立①，②，得x 2－3px ＋p 24＝0.不妨设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴x 1＋x 2＝3p ，x 1x 2＝p 24.又点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，2在以AB 为直径的圆上，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋p 2，y 1－2·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋p 2，y 2－2＝0. 化简2x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＋2p ＋p 22＝0， ∴p 2－4p ＋4＝0，从而p ＝2. 故所求的方程为y 2＝4x . [答案] B 二、填空题6.(2018·北京卷)已知直线l 过点(1，0)且垂直于x 轴.若l 被抛物线y 2＝4ax 截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为________.[解析] 由题意知，a >0，对于y 2＝4ax ，当x ＝1时，y ＝±2a ，由于l 被抛物线y 2＝4ax 截得的线段长为4，所以4a ＝4，所以a ＝1，所以抛物线的焦点坐标为(1，0). [答案] (1，0)7.(2018·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点F (c ，0)到一条渐近线的距离为32c ，则其离心率的值是________.[解析] 不妨设双曲线的一条渐近线方程为y ＝ba x ， 所以|bc |a 2＋b 2 ＝b ＝32c ，所以b 2＝c 2－a 2＝34c 2，得c ＝2a ， 所以双曲线的离心率e ＝ca ＝2. [答案] 28.抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，P (x 1，y 1)(x 1>1)、Q (x 2，y 2)是C 上不同的两点，若△PFQ 是以F 为顶点的等腰直角三角形，则|PF |＝________.[解析] 如图不妨设y 1>0，则Rt △PFQ 是以F 为顶点的等腰直角三角形， 由抛物线的定义及对称性，|FH |＝|PH |＝|HQ |＝y 1. 又x 1＝y 214>1，知y 1>2. ∴y 214－1＝y 1，解得y 1＝2＋2 2. 故|PF |＝2·|PH |＝4＋2 2.[答案] 4＋2 2 三、解答题9.(2018·全国Ⅱ卷)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为k (k >0)的直线l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝8. (1)求l 的方程；(2)求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程. 解 (1)由题意得F (1，0)，l 的方程为y ＝k (x －1)(k >0). 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).由⎩⎨⎧y ＝k （x －1），y 2＝4x得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.Δ＝16k 2＋16>0，故x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2.所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＝4k 2＋4k 2.由题设知4k 2＋4k 2＝8，解得k ＝－1(舍去)，k ＝1. 因此l 的方程为y ＝x －1.(2)由(1)得AB 的中点坐标为(3，2)，所以AB 的垂直平分线方程为y －2＝－(x －3)，即y ＝－x ＋5.设所求圆的圆心坐标为(x 0，y 0)，则 ⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝－x 0＋5，（x 0＋1）2＝（y 0－x 0＋1）22＋16. 解得⎩⎨⎧x 0＝3，y 0＝2或⎩⎨⎧x 0＝11，y 0＝－6.因此所求圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝16或(x －11)2＋(y ＋6)2＝144. 10.已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，右焦点为F (1，0). (1)求椭圆E 的标准方程；(2)设点O 为坐标原点，过点F 作直线l 与椭圆E 交于M ，N 两点，若OM ⊥ON ，求直线l 的方程.解(1)依题意可得⎩⎨⎧1a ＝22，a 2＝b 2＋1，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝1.∴椭圆E 的标准方程为x 22＋y 2＝1. (2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，①当MN 垂直于x 轴时，直线l 的方程为x ＝1，不符合题意； ②当MN 不垂直于x 轴时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1). 联立⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝k （x －1），消去y 得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2(k 2－1)＝0，∴x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1·x 2＝2（k 2－1）1＋2k 2.∴y 1·y 2＝k 2[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]＝－k 21＋2k 2.∵OM ⊥ON ，∴OM →·ON→＝0.∴x 1·x 2＋y 1·y 2＝k 2－21＋2k 2＝0，∴k ＝±2.故直线l 的方程为y ＝±2(x －1).11.(2017·北京卷)已知抛物线C ：y 2＝2px 过点P (1，1)，过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ，N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP ，ON 交于点A ，B ，其中O 为原点.(1)求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； (2)求证：A 为线段BM 的中点.(1)解 把P (1，1)代入y 2＝2px ，得p ＝12， 所以抛物线C 的方程为y 2＝x ， 焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，准线方程为x ＝－14.(2)证明 当直线MN 斜率不存在或斜率为零时，显然与抛物线只有一个交点不满足题意，所以直线MN (也就是直线l )斜率存在且不为零.由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋12(k ≠0)，l 与抛物线C 的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2).由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋12，y 2＝x ，消去y 得4k 2x 2＋(4k －4)x ＋1＝0. 考虑Δ＝(4k －4)2－4×4k 2＝16(1－2k )，由题可知有两交点，所以判别式大于零，所以k <12. 则x 1＋x 2＝1－k k 2，x 1x 2＝14k 2.因为点P 的坐标为(1，1)，所以直线OP 的方程为y ＝x ，点A 的坐标为(x 1，x 1).直线ON的方程为y＝y2x2x，点B的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x1，y2x1x2.因为y1＋y2x1x2－2x1＝y1x2＋y2x1－2x1x2x2＝⎝⎛⎭⎪⎫kx1＋12x2＋⎝⎛⎭⎪⎫kx2＋12x1－2x1x2x2＝（2k－2）x1x2＋12（x2＋x1）x2＝（2k－2）×14k2＋1－k2k2x2＝0.所以y1＋y2x1x2＝2x1.故A为线段BM的中点.。

卜人入州八九几市潮王学校专题六解析几何第2讲椭圆、双曲线、抛物线真题试做1．(2021·高考，文8)如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公一共焦点，M，N是双曲线的两顶点．假设M，O，N将椭圆长轴四等分，那么双曲线与椭圆的离心率的比值是()．A．3B．2 C．D．2．(2021·高考，文17)定义：曲线C上的点到直线l的间隔的最小值称为曲线C到直线l的间隔．曲线C1：y＝x2＋a到直线l：y＝x的间隔等于曲线C2：x2＋(y＋4)2＝2到直线l：y＝x的间隔，那么实数a＝__________.3．(2021·大纲全国高考，文10)F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，那么cos∠F1PF2＝()．A．B．C．D．4．(2021·高考，文22)如图，在直角坐标系xOy中，点P到抛物线C：y2＝2px(p＞0)的准线的间隔为.点M(t,1)是C上的定点，A，B是C上的两动点，且线段AB被直线OM平分．(1)求p，t的值；(2)求△ABP面积的最大值．考向分析圆锥曲线是高考的重点和热点，是高考中每年必考的内容．所占分数约在12～18分．主要考察圆锥曲线的HY方程、几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系等内容．其中对圆锥曲线方程与性质的考察，多以选择题、填空题为主，如2021年高考文6,2021年高考文8等题；对直线与圆锥曲线的位置关系的考察，常与其他知识结合，形成曲线中的存在性问题、曲线中的证明问题等，多以解答题的形式出现．预计在今后高考中，解析几何中的解答题仍将以直线与圆锥曲线为载体，继续与函数、方程、不等式、向量等知识结合，考察最值问题、范围问题、存在性问题以及有关的证明等，试题属于中、高档题，考察的思想方法主要有数形结合、等价转化、分类讨论等数学思想方法．热点例析热点一圆锥曲线的定义、性质与HY方程【例1】假设椭圆＋＝1与双曲线－＝1(m，n，p，q均为正数)有一共同的焦点F1，F2，P是两曲线的一个公一共点，那么|PF1|·|PF2|等于()．A．p2－m2B．p－mC．m－p D．m2－p2规律方法1．求圆锥曲线方程常用的方法有定义法、待定系数法、轨迹方程法．而对于双曲线和椭圆在不明确焦点坐标的情况下可以统一设成mx2＋ny2＝1(mn≠0)，这样可以防止对参数的讨论．2．应特别重视圆锥曲线的定义在解题中的运用，假设圆锥曲线上一点及焦点的相关信息，应首先要考虑使用圆锥曲线的定义来求解．3．在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c和a的值，而是根据题目给出的椭圆或者双曲线的几何特点，建立关于参数c，a，b的方程或者不等式，通过解方程或者不等式求得离心率的值或者范围．4．在双曲线中，由于e2＝1＋，故双曲线的渐近线与离心率亲密相关．5．抛物线的几何性质的特点：有一个顶点、一个焦点、一条准线、一条对称轴、无对称中心、没有渐近线，这里强调p的几何意义是焦点到准线的间隔．变式训练1(1)(2021·二模，6)双曲线－y2＝1的一条渐近线方程为x－2y＝0，那么该双曲线的离心率e ＝__________；(2)双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程是y＝x，它的一个焦点与抛物线y2＝16x的焦点一样，那么双曲线的方程为__________．热点二圆锥曲线的最值或者定值问题【例2】在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋y2＝1.如下列图，斜率为k(k＞0)且不过原点的直线l交椭圆C于A，B两点，线段AB的中点为E，射线OE交椭圆C于点G，交直线x＝－3于点D(－3，m)．(1)求m2＋k2的最小值；(2)假设|OG|2＝|OD|·|OE|，①求证：直线l过定点；②试问点B，G能否关于x轴对称？假设能，求出此时△ABG的外接圆方程；假设不能，请说明理由．规律方法1．求最值的常用方法(1)函数法，如通过二次函数求最值；(2)三角代换法，转化为三角函数，利用三角函数的有界性求最值；(3)不等式法，通过根本不等式求最值；(4)数形结合法等．2．定值问题的求解策略解这类问题常通过取参数和特殊值先确定“定值〞是多少，再进展证明，或者者将问题转化为代数式，再证明该式是与变量无关的常数．特别提醒：解决定值问题一定要分清哪些量为变量，哪些量为常量．变式训练2(2021·二模，20)椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点为F1，F2，e＝，过F1的直线l交椭圆C于A，B两点，|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列，且|AB|＝4.(1)求椭圆C的方程；(2)M，N是椭圆C上的两点，假设线段MN被直线x＝1平分，证明：线段MN的中垂线过定点．热点三求圆锥曲线中的参数范围【例1】如图，圆C：(x＋1)2＋y2＝8，定点A(1,0)，M为圆上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足＝2，·＝0，点N的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程；(2)假设过定点F(0,2)的直线交曲线E于不同的两点G，H(点G在点F，H之间)，且满足＝λ，求λ的取值范围．规律方法求圆锥曲线中参数范围的常用方法(1)函数法，用其他变量表示该参数，建立函数关系，利用求函数值域的方法求解．(2)不等式法，根据题意建立含参数的不等关系，通过解不等式求参数的范围．(3)判别式法，建立关于某变量的一元二次方程，利用判别式Δ≥0求参数的范围．(4)数形结合法，研究该参数所对应的几何意义，利用数形结合思想求解．特别提醒：直线与圆锥曲线相交(有两个交点)，联立方程消元后得方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，那么Δ＝b2－4ac＞0，求字母范围时易无视此限制条件，从而产生增根．变式训练3点P(4,4)，圆C：(x－m)2＋y2＝5(m＜3)与椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)有一个公一共点A(3,1)，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF1与圆C相切．(1)求m的值与椭圆E的方程；(2)设Q为椭圆E上的一个动点，求·的取值范围．热点四开放性、探究性问题(存在性问题)【例4】在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，)且斜率为k的直线l与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点P 和Q.(1)求k的取值范围；(2)设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A，B，是否存在常数k，使得向量＋与一共线？假设存在，求k的值；假设不存在，请说明理由．规律方法1．解决探究性问题应注意以下几点：存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，假设结论正确那么存在，假设结论不正确那么不存在．(1)当条件和结论不唯一时，要分类讨论；(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；(3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要思维开放，采取另外的途径．2．存在性问题的解题步骤：(1)先假设存在，引入参变量，根据题目条件列出关于参变量的方程(组)或者不等式(组)；(2)解此方程(组)或者不等式(组)，假设有解那么存在，假设无解那么不存在；(3)得出结论．变式训练4如图，椭圆C ：＋＝1的顶点为A 1，A 2，B 1，B 2，焦点为F 1，F 2，|A 1B 1|＝，112211222A B A B B F B F SS .(1)求椭圆C 的方程；(2)设n 是过原点的直线，l 是与n 垂直相交于P 点，与椭圆相交于A ，B 两点的直线，|l 使·＝1成立？假设存在，求出直线l 的方程；假设不存在，请说明理由．思想浸透分类讨论思想——解析几何中含参数的问题解析几何中含参数的问题类型：(1)当直线过定点设直线方程时，应对直线分斜率存在与不存在两种情况进展讨论；(2)求有关直线与圆锥曲线交点个数问题时，对参数的讨论；(3)求有关线段长度、图形面积的最值问题时，对解析式中含有的参数进展讨论；(4)对有关二元二次方程表示曲线类型的断定等．求解时注意的问题：(1)求解有关含参数的问题时应结合参数的意义，对参数的不同取值或者不同取值范围进展分类讨论，分类时应注意讨论的时机、HY 、原因，做到不重不漏；(2)对参数的分类讨论，最后仍然分类写出答案；假设是对所求的字母进展分类求解，最后一般要整理得出并集．(2021·高考，理21)如图，椭圆C ：＋＝1(a ＞b ＞0)的离心率为，其左焦点到点P (2,1)的间隔为，不过原点O 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，且线段AB 被直线OP 平分．(1)求椭圆C 的方程；(2)求△ABP 面积取最大值时直线l 的方程．解：(1)设椭圆左焦点为F (－c,0)，那么由题意得解得所以椭圆方程为＋＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点为M.当直线AB与x轴垂直时，直线AB的方程为x＝0，与不过原点的条件不符，舍去．故可设直线AB的方程为y＝kx＋m(m≠0)，由消去y，整理得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，①那么Δ＝64k2m2－4(3＋4k2)(4m2－12)＞0，所以线段AB的中点M，因为M在直线OP上，所以＝，得m＝0(舍去)或者k＝－.此时方程①为3x2－3mx＋m2－3＝0，那么Δ＝3(12－m2)＞0，所以|AB|＝·|x1－x2|＝·.设点P到直线AB间隔为d，那么d＝＝.设△ABP的面积为S，那么S＝|AB|·d＝·，其中m∈(－2，0)∪(0,2)．令u(m)＝(12－m2)(m－4)2，m∈[－2，2]，u′(m)＝－4(m－4)(m2－2m－6)＝－4(m－4)·(m－1－)(m－1＋)．所以，当且仅当m＝1－时，u(m)取到最大值．故当且仅当m＝1－时，S取到最大值．综上，所求直线l方程为3x＋2y＋2－2＝0.1．(2021·第二次检测，9)设双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，过点F作与x轴垂直的直线l交两渐近线于A，B两点，与双曲线的其中一个交点为P，设O为坐标原点，假设＝m＋n(m，n∈R)，且mn＝，那么该双曲线的离心率为()．A．B．C．D．2．(2021·月考，15)实数p＞0，直线3x－4y＋2p＝0与抛物线x2＝2py和圆x2＋2＝从左到右的交点依次为A，B，C，D，那么的值是__________．3．(2021·第二次检测，16)抛物线x2＝4y的焦点为F，经过F的直线与抛物线相交于A，B两点，那么以AB为直径的圆在x轴上所截得的弦长的最小值是__________．4．(2021·五校联考，15)过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点的直线与抛物线交于A，B两点，|AB|＝3，且AB 中点的纵坐标为，那么p的值是__________．5．(2021·丰台3月模拟，10)抛物线y2＝8x上一点P到焦点的间隔是6，那么点P的坐标是__________．6．过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点F作一条渐近线的垂线，假设垂足恰在线段OF(O为原点)的垂直平分线上，那么双曲线的离心率为__________．7．(2021·3月模拟，22)中心在原点O，焦点F1，F2在x轴上的椭圆E经过点C(2,2)，且抛物线y2＝－4x的焦点为F1.(1)求椭圆E的方程；(2)垂直于OC的直线l与椭圆E交于A，B两点，当以AB为直径的圆P与y轴相切时，求直线l的方程和圆P的方程．参考答案·明晰考向真题试做1．B解析：由题意可知椭圆的长轴长2a1是双曲线实轴长2a2的2倍，即a1＝2a2，而椭圆与双曲线有一样的焦点．故离心率之比为＝＝2.2．解析：x2＋(y＋4)2＝2到直线y＝x的间隔为－＝，所以y＝x2＋a到y＝x的间隔为，而与y＝x平行且间隔为的直线有两条，分别是y＝x＋2与y＝x－2，而抛物线y＝x2＋a开口向上，所以y＝x2＋a与y＝x＋2相切，可求得a＝.3．C解析：设|PF2|＝m，那么|PF1|＝2m，由双曲线定义知：|PF1|－|PF2|＝2a，得2m－m＝2，∴m＝2.又2c＝2＝2×2＝4，∴由余弦定理可得：cos∠F1PF2＝＝.4．解：(1)由题意知得(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点为Q(m，m)．由题意知，设直线AB的斜率为k(k≠0)．由得(y1－y2)(y1＋y2)＝x1－x2，故k·2m＝1.所以直线AB方程为y－m＝(x－m)，即x－2my＋2m2－m＝0.由消去x，整理得y2－2my＋2m2－m＝0，所以Δ＝4m－4m2＞0，y1＋y2＝2m，y1·y2＝2m2－m.从而|AB|＝·|y1－y2|＝·.设点P到直线AB的间隔为d，那么d＝.设△ABP的面积为S，那么S＝|AB|·d＝|1－2(m－m2)|·.由Δ＝4m－4m2＞0，得0＜m＜1.令u＝，0＜u≤，那么S＝u(1－2u2)．设S(u)＝u(1－2u2)，0＜u≤，那么S′(u)＝1－6u2.由S′(u)＝0，得u＝∈，所以S(u)max＝S＝.故△ABP面积的最大值为.精要例析·聚焦热点热点例析【例1】C解析：根据题意可知m＞n，由于点P是椭圆上的点，据椭圆定义有|PF1|＋|PF2|＝2.又点P在双曲线上，再据双曲线定义有|PF1|－|PF2|＝±2，将上述两式分别平方再相减得|PF1|·|PF2|＝m－p.【变式训练1】(1)(2)－＝1解析：由双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为y＝x得＝，∴b＝a.∵抛物线y2＝16x的焦点为F(4,0)，∴c＝4.又∵c2＝a2＋b2，∴16＝a2＋(a)2.∴a2＝4，b2＝12.∴所求双曲线的方程为－＝1.【例2】解：(1)设直线l的方程为y＝kx＋t(k＞0)，由题意，t＞0.由方程组得(3k2＋1)x2＋6ktx＋3t2－3＝0.由题意Δ＞0，所以3k2＋1＞t2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由韦达定理得x1＋x2＝－.所以y1＋y2＝.由于E为线段AB的中点，因此x E＝－，y E＝，此时k OE＝＝－.所以OE所在直线方程为y＝－x.又由题设知D(－3，m)，令x＝－3，得m＝，即mk＝1.所以m2＋k2≥2mkm＝k＝1时上式等号成立．此时由Δ＞0得0＜t＜2.因此当m＝k＝1且0＜t＜2时，m2＋k2取最小值2.(2)①证明：由(1)知OD所在直线的方程为y＝－x，将其代入椭圆C的方程，并由k＞0，解得G，又E，D，由间隔公式及t＞0得|OG|2＝2＋2＝，|OD|＝＝，|OE|＝＝，由|OG|2＝|OD|·|OE|得t＝k，因此直线l的方程为y＝k(x＋1)，所以直线l恒过定点(－1,0)．②由①得G，假设B，G关于x轴对称，那么B.代入y＝k(x＋1)，整理得3k2－1＝k，即6k4－7k2＋1＝0，解得k2＝(舍去)或者k2＝1，所以k＝1.此时B，G关于x轴对称．又由(1)得x1＝0，y1＝1，所以A(0,1)．由于△ABG的外接圆的圆心在x轴上，可设△ABG的外接圆的圆心为(d,0)，因此d2＋1＝2＋，解得d＝－.故△ABG的外接圆的半径为r＝＝.所以△ABG的外接圆方程为2＋y2＝.【变式训练2】(1)解：∵|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列，∴|AF2|＋|BF2|＝2|AB|.∴4a＝|AF2|＋|AF1|＋|BF2|＋|BF1|＝|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝3|AB|＝12.∴a＝3.又e＝＝，∴c＝1，b＝＝2.所求的椭圆方程为＋＝1.(2)证明：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点为(1，y0)，由题意知2211198x y+=，2222198x y+=.两式相减，得＋＝0，∴k MN＝＝－＝－.∴线段MN的中垂线方程为y－y0＝(x－1)，易证，此直线过定点.【例3】解：(1)∵AM＝2AP，NP·AM＝0，∴NP为AM的垂直平分线，∴|NA|＝|NM|.又∵|CN|＋|NM|＝2，∴|CN|＋|AN|＝2＞2，∴点N的轨迹是以点C(－1,0)，A(1,0)为焦点的椭圆且椭圆长轴长为2a＝2，焦距2c＝2，∴a＝，c＝1，b2＝1，∴曲线E的方程为＋y2＝1.(2)当直线GH的斜率存在时，设直线GH的方程为y＝kx＋2，代入椭圆方程＋y2＝1，得x2＋4kx＋3＝0.由Δ＞0得k2＞.设G(x1，y1)，H(x2，y2)，那么x1＋x2＝，x1x2＝.又∵＝λ，∴(x1，y1－2)＝λ(x2，y2－2)，∴x1＝λx2，∴x1＋x2＝(1＋λ)x2，x1x2＝λx2，∴2＝x2＝.∴2·2＝·，整理得＝.∵k2＞，∴4＜＜.∴4＜λ＋＋2＜，∴＜λ＜3.又∵0＜λ＜1，∴＜λ＜1.又当直线GH的斜率不存在，即其方程为x＝0时，＝，λ＝.∴≤λ＜1，即所求λ的取值范围是.【变式训练3】解：(1)点A坐标代入圆C方程，得(3－m)2＋1＝5.∵m＜3，∴m＝1.圆C：(x－1)2＋y2＝5.设直线PF1的斜率为k，那么PF1：y＝k(x－4)＋4，即kx－y－4k＋4＝0.∵直线PF1与圆C相切，∴＝.解得k＝或者k＝.当k＝时，直线PF1与x轴的交点横坐标为，不合题意，舍去；当k＝时，直线PF1与x轴的交点横坐标为－4，∴c＝4.∴F1(－4,0)，F2(4,0)．2a＝AF1＋AF2＝5＋＝6，a＝3，a2＝18，b2＝2.椭圆E的方程为＋＝1.(2)＝(1,3)，设Q(x，y)，＝(x－3，y－1)，·＝(x－3)＋3(y－1)＝x＋3y－6.∵＋＝1，即x2＋(3y)2＝18，而x2＋(3y)2≥2|x|·|3y|，∴－18≤6xy≤18.那么(x＋3y)2＝x2＋(3y)2＋6xy＝18＋6xy的取值范围是[0,36]．x＋3y的取值范围是[－6,6]．∴·＝x ＋3y －6的取值范围是[－12,0]．【例4】解：(1)由条件知直线l 的方程为y ＝kx ＋，代入椭圆方程得＋(kx ＋)2＝1. 整理得x 2＋2kx ＋1＝0.① 直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于Δ＝8k 2－4＝4k 2－2＞0， 解得k ＜－或者k ＞.即k 的取值范围为∪.(2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，那么＋＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，由方程①得x 1＋x 2＝－.②又y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2，③而A (，0)，B (0,1)，＝(－2,1)，所以＋与一共线等价于x 1＋x 2＝－(y 1＋y 2)．将②③代入上式，解得k ＝.由(1)知k ＜－或者k ＞，故没有符合题意的常数k .【变式训练4】解：(1)由|A 1B 1|＝知a 2＋b 2＝7，① 由112211222A B A B B F B F SS 知a ＝2c ，② 又b 2＝a 2－c 2，③由①②③解得a 2＝4，b 2＝3， 故椭圆C 的方程为＋＝1.(2)设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，假设使AP ·PB ＝1成立的直线l 存在，①当l 不垂直于x 轴时，设l 的方程为y ＝kx ＋m ，由l 与n 垂直相交于P 点且|OP |＝1，得＝1，即m 2＝k 2＋1. ∵AP ·PB ＝1，|OP |＝1，∴OA ·OB ＝(OP ＋PA )·(OP ＋PB )＝2OP ＋OP ·PB ＋PA ·OP ＋PA ·PB＝1＋0＋0－1＝0，即x1x2＋y1y2＝0.将y＝kx＋m代入椭圆方程，得(3＋4k2)x2＋8kmx＋(4m2－12)＝0，由求根公式可得x1＋x2＝，④x1x2＝.⑤0＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋m)(kx2＋m)＝x1x2＋k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝(1＋k2)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2，将④⑤代入上式并化简得(1＋k2)(4m2－12)－8k2m2＋m2(3＋4k2)＝0，⑥将m2＝1＋k2代入⑥并化简得－5(k2＋1)＝0，矛盾．即此时直线l不存在．②当l垂直于x轴时，满足||＝1的直线l的方程为x＝1或者x＝－1，当x＝1时，A，B，P的坐标分别为，，(1,0)，∴AP＝，PB＝.∴AP·PB＝≠1.当x＝－1时，同理可得A·PB≠1，即此时直线l也不存在．综上可知，使AP·PB＝1成立的直线l不存在．创新模拟·预测演练1．C解析：A，B，代入＝m＋n，得P，代入双曲线方程，得4e2mn＝1，即得e＝.2．解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因直线斜率大于0，故y1＜y2.而抛物线的焦点F就是圆的圆心，且直线过抛物线的焦点，那么|AB|＝|AF|－|BF|＝－＝y1.同理|CD|＝|DF|－|CF|＝－＝y2.由消去x整理得8y2－17py＋2p2＝0.因y1＜y2，解得y1＝，y2＝2p，那么＝＝.3．2解析：因为焦点F到x轴的间隔为1，那么以AB为直径的圆在x轴上所截得的弦长为m＝2，故要使弦长最小，那么线段AB长要最小．从而弦AB与y轴垂直，此时|AB|＝4，故以AB为直径的圆在x轴上所截得的弦长的最小值为2.4．解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么有y1y2＝－p2，且y1＋y2＝1，从而有1＝(y1＋y2)2＝y＋y＋2y1y2＝2p(x1＋x2)－2p2.又由|AB|＝x1＋x2＋p＝3，得x1＋x2＝3－p，那么有1＝2p(3－p)－2p2，解得p＝.5．(4，±4)解析：利用抛物线定义先求出P点的横坐标．6．解析：设垂足为M.那么△OFM为等腰直角三角形，设OF中点为N，利用MN＝ON＝OF，列出关于a，c的关系式即可解决．7．解：(1)设椭圆E的方程为＋＝1(a＞b＞0)，那么＋＝1，①∵抛物线y2＝－4x的焦点为F1，∴c＝.②又a2＝b2＋c2，③由①②③得a2＝12，b2＝6.∴椭圆E的方程为＋＝1.(2)依题意，直线OC斜率为1，由此设直线l的方程为y＝－x＋m，代入椭圆E的方程，得3x2－4mx＋2m2－12＝0.由Δ＝16m2－12(2m2－12)＝8(18－m2)＞0，得m2＜18.A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么x1＋x2＝，x1x2＝.圆P的圆心为，半径r＝|x1－x2|＝.当圆P与y轴相切时，r＝，那么2x1x2＝，即＝，m2＝9＜18，m＝±3.当m＝3时，直线l方程为y＝－x＋3，此时，x1＋x2＝4，圆心为(2,1)，半径为2，圆P的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4；同理，当m＝－3时，直线l方程为y＝－x－3，圆P的方程为(x＋2)2＋(y＋1)2＝4.。

椭圆、双曲线、抛物线一、单项选择题（每题5分；共60分）1.若双曲线C：x2m−y2=1的一条渐近线方程为3x+2y=0，则m=（）A. 49B. 94C. 23D. 322.已知斜率为13的直线l经过双曲线y2a2−x2b2=1的上焦点F，且与双曲线的上、下两支都相交，则双曲线的离心率e的取值范围是（）A. 1<e<√103B. 1<e<√10 C. e>√103D. e>√103.设双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是双曲线C上的点，且PF1与x轴垂直，ΔPF1F2的内切圆的方程为(x+1)2+(y−1)2=1，则双曲线C的渐近线方程为（）A. y=±√33x B. y=±√3x C. y=±12x D. y=±2x4.已知P是双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)上一点，且在x轴上方，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，|F1F2|=12，直线PF2的斜率为−4√3，ΔPF1F2的面积为24√3，则双曲线的离心率为（）A. 3B. 2C. √3D. √25.过抛物线E:x2=2py(p>0)的焦点F作两条互相垂直的弦AB，CD，设P为抛物线上的一动点，Q(1,2)，若1|AB|+1|CD|=14，则|PF|+|PQ|的最小值是（）A. 1B. 2C. 3D. 46.已知F1、F2为椭圆C：x24+y23=1的左、右焦点，过点F2作斜率为1的直线l与C交于A、B两点，则ΔABF1的面积为（）A. 12√27B. 6√27C. 127D. 12√377.已知双曲线x2a2−y2b2=1的右支与抛物线x2=2py相交于A,B两点，记点A到抛物线焦点的距离为d1，抛物线的准线到抛物线焦点的距离为d2，点B到抛物线焦点的距离为d3，且d1,d2,d3构成等差数列，则双曲线的渐近线方程为（）A. y=±√22x B. y=±√2x C. y=±√3x D. y=±√33x8.已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1 （ a >0 ， b >0 ）的实轴长为4，左焦点F 到C 的一条渐近线的距离为3，则C 的方程为（ ） A.x 22−y 23=1 B. x 24−y 23=1 C. x 24−y 29=1 D. x 216−y 29=19.设椭圆 C 的两个焦点分别为 F 1 ， F 2 ，若 C 上存在点 P 满足 |PF 1|:|F 1F 2|:|PF 2|=4:3:2 ，则椭圆 C 的离心率等于（ ）A. 12 B. 23 C. 2 D. 32 10.抛物线 x 2=2py(p >0) 的焦点与双曲线 x 216−y 29=1 的右焦点的连线垂直于双曲线的一条渐近线，则p 的值为（ ）A. 152 B. 403 C. 203 D. 8√7311.若双曲线x 2a 2−y 2b 2= 1（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F ， 过点F 的直线y =√3 （x ﹣2）与双曲线的一条渐近线平行，则该双曲线的实轴长为（ ）A. 1B. √3C. 2D. 2 √312.已知双曲线 C 的中心为坐标原点，离心率为 √3 ，点 P(2√2,−√2) 在 C 上，则 C 的方程为（ ） A.x 24−y 22=1 B. x 27−y 214=1 C. x 22−y 24=1 D. y 214−x 27=1二、填空题（每题4分；共20分）13.若椭圆 C:x 22m+1+y 22m =1 的离心率为 12 ，则 C 的短轴长为________． 14.若双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0) 的渐近线方程为 y =±x ，则双曲线的离心率为________． 15.设抛物线 y 2=2x 的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，且 |AF|=4|BF| ，则弦长 |AB|= ________．16.从抛物线 y 2=4x 图象上一点 A 作抛物线准线的垂线，垂足为 B ，且 |AB|=5 ，设 F 为抛物线的焦点，则 △ABF 的面积为________.17.过抛物线 C ： x 2=4y 的准线上任意一点 P 作抛物线的切线 PA ， PB ，切点分别为 A ， B ，则 A 点到准线的距离与 B 点到准线的距离之和的最小值是________.三、解答题（共3题；共40分）18.求以椭圆9x 2＋5y 2＝45的焦点为焦点，且经过点M(2， √6 )的椭圆的标准方程. （10分）19.（1）已知椭圆中心在原点，一个焦点为F(−2√3,0)，且长轴长是短轴长的2倍，求该椭圆的标准方程；（5分）（2）已知双曲线焦点在y轴上，焦距为10，双曲线的渐近线方程为x±2y=0，求双曲线的方程．（10分）20.已知椭圆C的中心为坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过点M(4,1)，N(2,2).（1）求椭圆C的方程；（5分）（2）若斜率为1的直线与椭圆C交于不同的两点，且点M到直线l的距离为√2，求直线l的方程.（10分）参考答案一、单项选择题 1.【答案】 A 2.【答案】 D 3.【答案】 B 4.【答案】 B 5.【答案】 C 6.【答案】 A 7.【答案】 A 8.【答案】 C 9.【答案】 A 10.【答案】 B 11.【答案】 C 12.【答案】 B 二、填空题13.【答案】 2√3 14.【答案】 √2 15.【答案】25816.【答案】 10 17.【答案】 4 三、解答题18.【答案】 解：椭圆 9x 2+5y 2=45 化成标准方程，得y 29+x 25=1 ，∴ 椭圆的焦点在 y 轴，且 c 2=9−5=4 ，得 c =2 ，焦点为 (0,2) ， (0,−2) ． ∵ 所求椭圆经过点 M(2,√6) 且与已知椭圆有共同的焦点， ∴ 设椭圆方程：y 2a2+x 2a 2−4=1 ，将 M(2,√6) 代入 6a 2+4a 2−4=1 ，解得： a 2=12 ， 因此所求的椭圆方程为y 212+x 28=1 ，19.【答案】 （1）解：由题意，该椭圆的焦点在x 轴，设椭圆的标准方程为 x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0) ， ∴ {2a =2⋅2b a 2−b 2=(2√3)2 ，解得 {a =4b =2 ， ∴该椭圆的标准方程为x 216+y 24=1（2）解：由题意，设双曲线的标准方程为 y 2a2−x 2b 2=1(a >0,b >0) ，设焦距为2c ，∴ {a 2+b 2=c 2a b =122c =10 ，解得 {a =√5b =2√5c =5 ， ∴该双曲线的方程为y 25−x 220=120.【答案】 （1）解：设椭圆C 的方程为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，m≠n)，由题意得 {16m +n =14m +4n =1 解得 {m =120n =15∴椭圆C 的方程为 x 220+y 25＝1.（2）解：由题意可设直线l 的方程为y ＝x ＋m ，将其代入椭圆方程, 得5x 2＋8mx ＋4m 2－20＝0.则Δ＝(8m)2－4×5(4m 2－20)＝－16m 2＋400＞0， ∴－5＜m ＜5.又点M(4,1)到直线l 的距离为 √1+1= √2∴m ＝－1或m ＝－5(舍去). ∴直线l 的方程为x －y －1＝0.。

专题六 解析几何第2讲 椭圆、双曲线、抛物线真题试做1．(2012·江西高考，文8)椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是F 1，F 2．若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为( )．A ．14B ．55C ．12D ．5－2 2．(2012·湖南高考，文6)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则C 的方程为( )．A ．x 220－y 25＝1B ．x 25－y 220＝1 C ．x 280－y 220＝1 D ．x 220－y 280＝1 3．(2012·大纲全国高考，文10)已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos∠F 1PF 2＝( )．A ．14B ．35C ．34D ．454．(2012·江西高考，文20)已知三点O (0,0)，A (－2,1)，B (2,1)，曲线C 上任意一点M (x ，y )满足|MA ＋MB |＝OM ·(OA ＋OB )＋2．(1)求曲线C 的方程；(2)点Q (x 0，y 0)(－2＜x 0＜2)是曲线C 上的动点，曲线C 在点Q 处的切线为l ，点P 的坐标是(0，－1)，l 与PA ，PB 分别交于点D ，E ，求△QAB 与△PDE 的面积之比．考向分析圆锥曲线是高考的重点和热点，是高考中每年必考的内容．所占分数约在12～18分．主要考查圆锥曲线的标准方程、几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系等内容．其中对圆锥曲线方程与性质的考查，多以选择题、填空题为主，如2012年湖南高考文6,2012年江西高考文8等题；对直线与圆锥曲线的位置关系的考查，常与其他知识结合，形成曲线中的存在性问题、曲线中的证明问题等，多以解答题的形式出现．预计在今后高考中，解析几何中的解答题仍将以直线与圆锥曲线为载体，继续与函数、方程、不等式、向量等知识结合，考查最值问题、范围问题、存在性问题以及有关的证明等，试题属于中、高档题，考查的思想方法主要有数形结合、等价转化、分类讨论等数学思想方法．热点例析热点一 圆锥曲线的定义、性质与标准方程【例1】若椭圆x 2m ＋y 2n ＝1与双曲线x 2p －y 2q＝1(m ，n ，p ，q 均为正数)有共同的焦点F 1，F 2，P 是两曲线的一个公共点，则|PF 1|·|PF 2|等于( )．A ．p 2－m 2B ．p －mC ．m －pD ．m 2－p 2规律方法 1．求圆锥曲线方程常用的方法有定义法、待定系数法、轨迹方程法．而对于双曲线和椭圆在不明确焦点坐标的情况下可以统一设成mx 2＋ny 2＝1(mn ≠0)，这样可以避免对参数的讨论．2．应特别重视圆锥曲线的定义在解题中的运用，若已知圆锥曲线上一点及焦点的相关信息，应首先要考虑使用圆锥曲线的定义来求解．3．在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c 和a 的值，而是根据题目给出的椭圆或双曲线的几何特点，建立关于参数c ，a ，b 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围．4．在双曲线中，由于e 2＝1＋b 2a2，故双曲线的渐近线与离心率密切相关．5．抛物线的几何性质的特点：有一个顶点、一个焦点、一条准线、一条对称轴、无对称中心、没有渐近线，这里强调p 的几何意义是焦点到准线的距离．变式训练1 (1)(2012·江苏南京二模，6)已知双曲线x 2a2－y 2＝1的一条渐近线方程为x －2y ＝0，则该双曲线的离心率e ＝__________．(2)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点与抛物线y 2＝16x 的焦点相同，则双曲线的方程为__________．热点二 圆锥曲线的最值或定值问题【例2】在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 23＋y 2＝1．如图所示，斜率为k (k ＞0)且不过原点的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，线段AB 的中点为E ，射线OE 交椭圆C 于点G ，交直线x ＝－3于点D (－3，m )．(1)求m 2＋k 2的最小值；(2)若|OG |2＝|OD |·|OE |， ①求证：直线l 过定点；②试问点B ，G 能否关于x 轴对称？若能，求出此时△ABG 的外接圆方程；若不能，请说明理由．规律方法1．求最值的常用方法(1)函数法，如通过二次函数求最值；(2)三角代换法，转化为三角函数，利用三角函数的有界性求最值；(3)不等式法，通过基本不等式求最值；(4)数形结合法等．2．定值问题的求解策略解这类问题常通过取参数和特殊值先确定“定值”是多少，再进行证明，或者将问题转化为代数式，再证明该式是与变量无关的常数．特别提醒：解决定值问题一定要分清哪些量为变量，哪些量为常量．变式训练2 (2012·安徽安庆二模，20)已知，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点为F 1，F 2，e ＝13，过F 1的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列，且|AB |＝4．(1)求椭圆C 的方程；(2)M ，N 是椭圆C 上的两点，若线段MN 被直线x ＝1平分，证明：线段MN 的中垂线过定点．热点三 圆锥曲线中的参数范围【例3】如图，已知圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝8，定点A (1,0)，M 为圆上一动点，点P 在AM 上，点N 在CM 上，且满足AM ＝2AP ，NP ·AM ＝0，点N 的轨迹为曲线E ．(1)求曲线E 的方程；(2)若过定点F (0,2)的直线交曲线E 于不同的两点G ，H (点G 在点F ，H 之间)，且满足FG ＝λFH ，求λ的取值范围．规律方法 求参数范围的常用方法(1)函数法，用其他变量表示该参数，建立函数关系，利用求函数值域的方法求解． (2)不等式法，根据题意建立含参数的不等关系，通过解不等式求参数的范围． (3)判别式法，建立关于某变量的一元二次方程，利用判别式Δ≥0求参数的范围． (4)数形结合法，研究该参数所对应的几何意义，利用数形结合思想求解．特别提醒：直线与圆锥曲线相交(有两个交点)，联立方程消元后得方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，则Δ＝b 2－4ac ＞0，求字母范围时易忽视此限制条件，从而产生增根．变式训练3 已知点P (4,4)，圆C ：(x －m )2＋y 2＝5(m ＜3)与椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)有一个公共点A (3,1)，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF 1与圆C 相切．(1)求m 的值与椭圆E 的方程；(2)设Q 为椭圆E 上的一个动点，求AP ·AQ 的取值范围． 热点四 开放性、探索性问题(存在性问题)【例4】在平面直角坐标系xOy 中，经过点(0，2)且斜率为k 的直线l 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点P 和Q ．(1)求k 的取值范围；(2)设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A ，B ，是否存在常数k ，使得向量OP ＋OQ 与AB 共线？如果存在，求k 的值；如果不存在，请说明理由．规律方法 1．解决探索性问题应注意以下几点：存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在．(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论．(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件．(3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要思维开放，采取另外的途径． 2．存在性问题的解题步骤：(1)先假设存在，引入参变量，根据题目条件列出关于参变量的方程(组)或不等式(组)． (2)解此方程(组)或不等式(组)，若有解则存在，若无解则不存在． (3)得出结论．变式训练4 如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1的顶点为A 1，A 2，B 1，B 2，焦点为F 1，F 2，|A 1B 1|＝7，1122A B A B S＝11222B F B F S．(1)求椭圆C 的方程；(2)设n 是过原点的直线，l 是与n 垂直相交于P 点，与椭圆相交于A ，B 两点的直线，|OP |＝1．是否存在上述直线l 使AP ·PB ＝1成立？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．思想渗透分类讨论思想——解析几何中含参数的问题解析几何中含参数的问题类型：(1)当直线过定点设直线方程时，应对直线分斜率存在与不存在两种情况进行讨论； (2)求有关直线与圆锥曲线交点个数问题时，对参数的讨论；(3)求有关线段长度、图形面积的最值问题时，对解析式中含有的参数进行讨论； (4)对有关二元二次方程表示曲线类型的判定等． 求解时注意的问题：(1)求解有关含参数的问题时应结合参数的意义，对参数的不同取值或不同取值范围进行分类讨论，分类时应注意讨论的时机、标准、原因，做到不重不漏．(2)对参数的分类讨论，最后仍然分类写出答案；如果是对所求的字母进行分类求解，最后一般要整理得出并集．【典型例题】(2012·浙江高考，理21)如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，其左焦点到点P (2,1)的距离为10，不过原点O 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，且线段AB被直线OP 平分．(1)求椭圆C 的方程；(2)求△ABP 面积取最大值时直线l 的方程． 解：(1)设椭圆左焦点为F (－c,0)，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧(2＋c )2＋1＝10，c a ＝12，得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，a ＝2.所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1．(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 的中点为M ．当直线AB 与x 轴垂直时，直线AB 的方程为x ＝0，与不过原点的条件不符，舍去．故可设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m (m ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，3x 2＋4y 2＝12消去y ，整理得 (3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0，①则Δ＝64k 2m 2－4(3＋4k 2)(4m 2－12)＞0， ⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－8km3＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－123＋4k .所以线段AB 的中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4km 3＋4k 2，3m 3＋4k 2，因为M 在直线OP 上，所以 3m 3＋4k ＝－2km3＋4k， 得m ＝0(舍去)或k ＝－32．此时方程①为3x 2－3mx ＋m 2－3＝0，则Δ＝3(12－m 2)＞0，⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝m 2－33.所以|AB |＝1＋k 2·|x 1－x 2|＝396·12－m 2． 设点P 到直线AB 距离为d ，则 d ＝|8－2m |32＋22＝2|m －4|13．设△ABP 的面积为S ，则 S ＝12|AB |·d ＝36·(m －4)2(12－m 2)， 其中m ∈(－23，0)∪(0,23)．令u (m )＝(12－m 2)(m －4)2，m ∈[－23，23]，u ′(m )＝－4(m －4)(m 2－2m －6)＝－4(m －4)·(m －1－7)(m －1＋7)． 所以当且仅当m ＝1－7时，u (m )取到最大值． 故当且仅当m ＝1－7时，S 取到最大值．综上，所求直线l 方程为3x ＋2y ＋27－2＝0．1．(2012·江西八校联考，文10)设抛物线M ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 是双曲线N ：x 2a2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，若M 与N 的公共弦AB 恰好过F ，则双曲线N 的离心率e 的值为( )．A ． 2B ．2＋1C ．3＋ 2D ．22．(2012·河北邯郸一模，11)抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，倾斜角为60°的直线l 过点F 且与抛物线的一个交点为A ，|AF |＝3，则抛物线的方程为( )．A ．y 2＝3xB ．y 2＝92xC ．y 2＝32x 或y 2＝92x D ．y 2＝3x 或y 2＝9x3．以F 1(－1,0)，F 2(1,0)为焦点且与直线x －y ＋3＝0有公共点的椭圆中，离心率最大的椭圆方程是( )．A ．x 220＋y 219＝1B ．x 29＋y 28＝1 C ．x 25＋y 24＝1 D ．x 23＋y 22＝1 4．(2012·山东潍坊3月模拟，13)双曲线x 2a2－y 2＝1(a ＞0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为__________．5．(2012·北京丰台3月模拟，10)已知抛物线y 2＝8x 上一点P 到焦点的距离是6，则点P 的坐标是__________．6．(2012·山东济南3月模拟，15)过双曲线x 2a －y 2b＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，若垂足恰在线段OF (O 为原点)的垂直平分线上，则双曲线的离心率为__________．7．(2012·山东济南3月模拟，22)已知中心在原点O ，焦点F 1，F 2在x 轴上的椭圆E 经过点C (2,2)，且抛物线y 2＝－46x 的焦点为F 1．(1)求椭圆E 的方程；(2)垂直于OC 的直线l 与椭圆E 交于A ，B 两点，当以AB 为直径的圆P 与y 轴相切时，求直线l 的方程和圆P 的方程．参考答案命题调研·明晰考向 真题试做1．B 解析：因为A ，B 为左，右顶点，F 1，F 2为左，右焦点， 所以|AF 1|＝a －c ，|F 1F 2|＝2c ，|F 1B |＝a ＋c ． 又因为|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，所以(a －c )(a ＋c )＝4c 2，即a 2＝5c 2．所以离心率e ＝c a ＝55，故选B ．2．A 解析：2c ＝10，c ＝5．∵点P (2,1)在直线y ＝b ax 上， ∴1＝2b a．又∵a 2＋b 2＝25，∴a 2＝20，b 2＝5．故C 的方程为：x 220－y 25＝1．3．C 解析：设|PF 2|＝m ，则|PF 1|＝2m ，由双曲线定义知|PF 1|－|PF 2|＝2a ，得2m －m ＝22， ∴m ＝22．又2c ＝2a 2＋b 2＝2×2＝4，∴由余弦定理可得：cos∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－4c 22|PF 1||PF 2|＝34．4．解：(1)由MA ＝(－2－x,1－y )，MB ＝(2－x,1－y )，得|MA ＋MB |＝(－2x )2＋(2－2y )2，OM ·(OA ＋OB )＝(x ，y )·(0,2)＝2y ，由已知得(－2x )2＋(2－2y )2＝2y ＋2，化简得曲线C 的方程是x 2＝4y ．(2)直线PA ，PB 的方程分别是y ＝－x －1，y ＝x －1，曲线C 在Q 处的切线l 的方程是y＝x 02x －x 024，且与y 轴的交点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－x 024， 分别联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x －1，y ＝x 02x －x 024，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，y ＝x 02x －x 024，解得D ，E 的横坐标分别是x D ＝x 0－22，x E ＝x 0＋22，则x E －x D ＝2，|FP |＝1－x 024，故S △PDE ＝12|FP |·|x E －x D |＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 024·2＝4－x 024，而S △QAB ＝12·4·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 024＝4－x 022，则S △QABS △PDE＝2，即△QAB 与△PDE 的面积之比为2． 精要例析·聚焦热点 热点例析 【例1】C 解析：根据题意可知m ＞n ，由于点P 是椭圆上的点，据椭圆定义有|PF 1|＋|PF 2|＝2m ．又点P 在双曲线上，再据双曲线定义有|PF 1|－|PF 2|＝±2p ，将上述两式分别平方再相减得|PF 1|·|PF 2|＝m －p ．【变式训练1】(1)52(2)x 24－y 212＝1 解析：由双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为y ＝3x 得ba ＝3，∴b ＝3a ．∵抛物线y 2＝16x 的焦点为F (4,0)，∴c ＝4．又∵c 2＝a 2＋b 2，∴16＝a 2＋(3a )2．∴a 2＝4，b 2＝12．∴所求双曲线的方程为x 24－y 212＝1．【例2】解：(1)设直线l 的方程为y ＝kx ＋t (k ＞0)，由题意知，t ＞0．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋t ，x 23＋y 2＝1，得(3k 2＋1)x 2＋6ktx ＋3t 2－3＝0．由题意Δ＞0，所以3k 2＋1＞t 2． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由韦达定理得x 1＋x 2＝－6kt3k 2＋1．所以y 1＋y 2＝2t3k 2＋1．由于E 为线段AB 的中点，因此x E ＝－3kt 3k 2＋1，y E ＝t3k 2＋1，此时k OE ＝y E x E ＝－13k．所以OE 所在直线方程为y ＝－13kx ．又由题设知D (－3，m )，令x ＝－3，得m ＝1k，即mk ＝1．所以m 2＋k 2≥2mk ＝2．当且仅当m ＝k ＝1时上式等号成立． 此时由Δ＞0得0＜t ＜2．因此当m ＝k ＝1且0＜t ＜2时，m 2＋k 2取最小值2．(2)①证明：由(1)知OD 所在直线的方程为y ＝－13k x ，将其代入椭圆C 的方程，并由k ＞0，解得G ⎝⎛⎭⎪⎫－3k3k 2＋1，13k 2＋1， 又E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3kt 3k 2＋1，t 3k 2＋1，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，1k ，由距离公式及t ＞0得|OG |2＝⎝⎛⎭⎪⎫－3k 3k 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13k 2＋12 ＝9k 2＋13k 2＋1， |OD |＝(－3)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2＝9k 2＋1k ，|OE |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－3kt 3k 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t 3k 2＋12＝t 9k 2＋13k 2＋1， 由|OG |2＝|OD |·|OE |得t ＝k ，因此直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，所以直线l 过定点(－1,0)．②由①得G ⎝⎛⎭⎪⎫－3k 3k 2＋1，13k 2＋1， 若B ，G 关于x 轴对称，则B ⎝⎛⎭⎪⎫－3k 3k 2＋1，－13k 2＋1． 代入y ＝k (x ＋1)，整理得3k 2－1＝k 3k 2＋1，即6k 4－7k 2＋1＝0，解得k 2＝16(舍去)或k 2＝1，所以k ＝1．此时B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12，G ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12关于x 轴对称．又由(1)得x 1＝0，y 1＝1，所以A (0,1)．由于△ABG 的外接圆的圆心在x 轴上，可设△ABG 的外接圆的圆心为(d,0)，因此d 2＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫d ＋322＋14，解得d ＝－12．故△ABG 的外接圆的半径为r ＝d 2＋1＝52． 所以△ABG 的外接圆方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋y 2＝54．【变式训练2】解：(1)∵|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列， ∴|AF 2|＋|BF 2|＝2|AB |．∴4a ＝|AF 2|＋|AF 1|＋|BF 2|＋|BF 1|＝|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝3|AB |＝12． ∴a ＝3．又e ＝c a ＝13，∴c ＝1，b ＝a 2－c 2＝22．所求的椭圆方程为x 29＋y 28＝1．(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 的中点为(1，y 0)，由题意，知2211198x y +=，2222198x y +=．两式相减，得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)9＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)8＝0，∴k MN ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－8(x 1＋x 2)9(y 1＋y 2)＝－89y 0．∴线段MN 的中垂线方程为y －y 0＝9y 08(x －1)，易证，此直线过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫19，0． 【例3】解：(1)∵AM ＝2AP ，NP ·AM ＝0， ∴NP 为AM 的垂直平分线， ∴|NA |＝|NM |．又∵|CN |＋|NM |＝22， ∴|CN |＋|AN |＝22＞2，∴点N 的轨迹是以点C (－1,0)，A (1,0)为焦点的椭圆且椭圆长轴长为2a ＝22，焦距2c ＝2，∴a ＝2，c ＝1，b 2＝1，∴曲线E 的方程为x 22＋y 2＝1．(2)当直线GH 的斜率存在时，设直线GH 的方程为y ＝kx ＋2，代入椭圆方程x 22＋y 2＝1，得⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋k 2x 2＋4kx ＋3＝0．由Δ＞0得k 2＞32．设G (x 1，y 1)，H (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4k 12＋k 2，x 1x 2＝312＋k 2．又∵FG ＝λFH ，∴(x 1，y 1－2)＝λ(x 2，y 2－2)， ∴x 1＝λx 2，∴x 1＋x 2＝(1＋λ)x 2，x 1x 2＝λx 22， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 21＋λ2＝x 22＝x 1x 2λ． ∴⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－4k 12＋k 22·⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋λ2＝312＋k 2·1λ， 整理得163⎝ ⎛⎭⎪⎫12k 2＋1＝(1＋λ)2λ．∵k 2＞32，∴4＜1632k 2＋3＜163．∴4＜λ＋1λ＋2＜163，∴13＜λ＜3．又∵0＜λ＜1，∴13＜λ＜1．又当直线GH 的斜率不存在，即其方程为x ＝0时，FG ＝13FH ，λ＝13．∴13≤λ＜1，即所求λ的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，1． 【变式训练3】解：(1)点A 坐标代入圆C 方程，得(3－m )2＋1＝5． ∵m ＜3，∴m ＝1．圆C ：(x －1)2＋y 2＝5． 设直线PF 1的斜率为k ，则PF 1：y ＝k (x －4)＋4，即kx －y －4k ＋4＝0．∵直线PF 1与圆C 相切，∴|k －0－4k ＋4|k 2＋1＝5．解得k ＝112，或k ＝12．当k ＝112时，直线PF 1与x 轴的交点横坐标为3611，不合题意，舍去；当k ＝12时，直线PF 1与x 轴的交点横坐标为－4，∴c ＝4．∴F 1(－4,0)，F 2(4,0)．2a ＝AF 1＋AF 2＝52＋2＝62，a ＝32，a 2＝18，b 2＝2． 椭圆E 的方程为x 218＋y 22＝1．(2)AP ＝(1,3)，设Q (x ，y )，AQ ＝(x －3，y －1)，AP ·AQ ＝(x －3)＋3(y －1)＝x ＋3y －6．∵x 218＋y 22＝1，即x 2＋(3y )2＝18， 而x 2＋(3y )2≥2|x |·|3y |，∴－18≤6xy ≤18．则(x ＋3y )2＝x 2＋(3y )2＋6xy ＝18＋6xy 的取值范围是[0,36]． x ＋3y 的取值范围是[－6,6]． ∴AP ·AQ ＝x ＋3y －6的取值范围是[－12,0]．【例4】解：(1)由已知条件知直线l 的方程为y ＝kx ＋2， 代入椭圆方程得x 22＋(kx ＋2)2＝1．整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋k 2x 2＋22kx ＋1＝0．①直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于Δ＝8k 2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋k 2＝4k 2－2＞0，解得k ＜－22或k ＞22． 即k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－22∪⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞．(2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则OP ＋OQ ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，由方程①得x 1＋x 2＝－42k 1＋2k2．② 又y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋22，③而A (2，0)，B (0,1)，AB ＝(－2,1)，所以OP ＋OQ 与AB 共线等价于x 1＋x 2＝－2(y 1＋y 2)．将②③代入上式，解得k ＝22． 由(1)知k ＜－22或k ＞22，故没有符合题意的常数k ． 【变式训练4】解：(1)由|A 1B 1|＝7知a 2＋b 2＝7，①1122A B A B S ＝11222B F B F S 知a ＝2c ，②又b 2＝a 2－c 2，③由①②③解得a 2＝4，b 2＝3，故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1． (2)设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，假设使AP ·PB ＝1成立的直线l 存在，①当l 不垂直于x 轴时，设l 的方程为y ＝kx ＋m ，由l 与n 垂直相交于P 点且|OP |＝1， 得|m |1＋k 2＝1，即m 2＝k 2＋1． ∵AP ·PB ＝1，|OP |＝1，∴OA ·OB ＝(OP ＋PA )·(OP ＋PB )＝2OP ＋OP ·PB ＋PA ·OP ＋PA ·PB＝1＋0＋0－1＝0，即x 1x 2＋y 1y 2＝0．将y ＝kx ＋m 代入椭圆方程，得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋(4m 2－12)＝0，由求根公式可得x 1＋x 2＝－8km 3＋4k2，④ x 1x 2＝4m 2－123＋4k2．⑤ 0＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝x 1x 2＋k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2，将④⑤代入上式并化简得(1＋k 2)(4m 2－12)－8k 2m 2＋m 2(3＋4k 2)＝0，⑥将m 2＝1＋k 2代入⑥并化简得－5(k 2＋1)＝0，矛盾．即此时直线l 不存在．②当l 垂直于x 轴时，满足|OP |＝1的直线l 的方程为x ＝1或x ＝－1，当x ＝1时，A ，B ，P 的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，⎝⎛⎭⎪⎫1，－32，(1,0)， ∴AP ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－32，PB ＝⎝⎛⎭⎪⎫0，－32． ∴AP ·PB ＝94≠1．当x ＝－1时，同理可得AP ·PB ≠1，即此时直线l 也不存在．综上可知，使AP ·PB ＝1成立的直线l 不存在．创新模拟·预测演练1．B 解析：由条件可知双曲线的半焦距e ＝p 2，则|AB |＝2b 2a＝2p ＝4c ，即c 2－a 2＝2ac ．设双曲线的离心率为e ，则e 2－2e －1＝0，故e ＝2＋1．2．D 解析：直线l 方程为y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2． 设A (x 1，y 1)，则y 1＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－p 2． 又根据抛物线定义，有x 1＋p 2＝3，∴x 1＝3－p 2． 故A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－p 2，3(3－p )． 将A 点坐标代入抛物线方程，并整理有：4p 2－24p ＋27＝0，∴p 1＝32，p 2＝92． 故抛物线方程为y 2＝3x 或y 2＝9x ．3．C 解析：∵c ＝1，故若使椭圆的离心率最大，则a 最小，即在直线x －y ＋3＝0上求一点M 使|MF 1|＋|MF 2|最小，易求点F 1关于直线x －y ＋3＝0的对称点N 为(－3,2)，∴|NF 2|＝25．∴2a ＝25，故所求椭圆方程是x 25＋y 24＝1．故选C ． 4．y ＝±3x 解析：c 2＝a 2＋1，由c 2a 2＝a 2＋1a 2＝4得a ＝33． 故渐近线方程为y ＝±b a x ＝±3x ． 5．(4，±42) 解析：利用抛物线定义先求出P 点的横坐标． 6． 2 解析：设垂足为M ． 则△OFM 为等腰直角三角形，设OF 中点为N ，利用MN ＝ON ＝12OF ，列出关于a ，c 的关系式即可解决．7．解：(1)设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)， 则4a 2＋4b2＝1，① ∵抛物线y 2＝－46x 的焦点为F 1，∴c ＝6．②又a 2＝b 2＋c 2，③由①②③得a 2＝12，b 2＝6．∴椭圆E 的方程为x 212＋y 26＝1． (2)依题意，直线OC 斜率为1，由此设直线l 的方程为y ＝－x ＋m ，代入椭圆E 的方程，得3x 2－4mx ＋2m 2－12＝0．由Δ＝16m 2－12(2m 2－12)＝8(18－m 2)＞0，得m 2＜18．A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4m 3，x 1x 2＝2m 2－123．圆P 的圆心为⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22， 半径r ＝22|x 1－x 2|＝22(x 1＋x 2)2－4x 1x 2． 当圆P 与y 轴相切时，r ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1＋x 22，则2x 1x 2＝(x 1＋x 2)24， 即2(2m 2－12)3＝4m 29，m 2＝9＜18，m ＝±3． 当m ＝3时，直线l 方程为y ＝－x ＋3，此时，x 1＋x 2＝4，圆心为(2,1)，半径为2，圆P的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4；同理，当m ＝－3时，直线l 方程为y ＝－x －3，圆P 的方程为(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝4．。

第2讲 椭圆、双曲线、抛物线 (推荐时间：60分钟) 一、填空题 1．(2011·湖南改编)设双曲线x 2a 2－y 29＝1(a >0)的渐近线方程为3x ±2y ＝0，则a 的值为________．2．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，则p 的值为________．3．(2011·江西)若双曲线y 216－x 2m＝1的离心率e ＝2，则m ＝________. 4．P 为双曲线x 29－y 216＝1的右支上一点，M 、N 分别是圆(x ＋5)2＋y 2＝4和(x －5)2＋y 2＝1上的点，则PM －PN 的最大值为________．5．两个正数a 、b 的等差中项是52，一个等比中项是6，且a >b ，则双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e 等于________．6．设F 1、F 2分别是双曲线x 2－y 29＝1的左、右焦点，若点P 在双曲线上，且PF 1→·PF 2→＝0，则|PF 1→＋PF 2→|等于________．7．(2011·山东改编)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线均和圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为________．8．已知F 1(－c,0)，F 2(c,0)为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的两个焦点，P 为椭圆上一点且PF 1→·PF 2→＝c 2，则此椭圆离心率的取值范围是____________．9．(2011·辽宁)已知点(2,3)在双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)上，C 的焦距为4，则它的离心率为________．10．已知抛物线y ＝2x 2上任意一点P ，则点P 到直线x ＋2y ＋8＝0的距离的最小值为________．11．已知椭圆长轴长为短轴长的3倍且经过点P (3,0)，则椭圆的标准方程是________________．12．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)的离心率为e ＝2，过双曲线上一点M 作直线MA ，MB 交双曲线于A ，B 两点，且斜率分别为k 1，k 2，若直线AB 过原点O ，则k 1·k 2的值为________．二、解答题13．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，直线l 过点A (4,0)且与抛物线交于P 、Q 两点，并设以弦PQ 为直径的圆恒过原点．(1)求焦点坐标；(2)若FP →＋FQ →＝FR →，试求动点R 的轨迹方程．14. (2011·陕西)如图，设P 是圆x 2＋y 2＝25上的动点，点D 是P 在x 轴上的投影，M 为PD 上一点，且MD ＝45PD . (1)当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的长度． 15．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的离心率e ＝12，右焦点到直线x a ＋y b ＝1的距离d ＝217，O 为坐标原点．(1)求椭圆C 的方程；(2)过点O 作两条互相垂直的射线，与椭圆C 分别交于A ，B 两点，证明：点O 到直线AB 的距离为定值．答 案1．2 2. 2 3. 48 4. 9 5. 133 6. 210 7.x 25－y 24＝1 8.⎣⎡⎦⎤33，22 9．2 10. 127580 11. x 29＋y 2＝1或y 281＋x 29＝1 12. 3 13．解 (1)设直线的方程为x ＝ky ＋4，代入y 2＝2px ，得y 2－2kpy －8p ＝0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则有y 1＋y 2＝2kp ，y 1y 2＝－8p .而OP →·OQ →＝0，故0＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ky 1＋4)(ky 2＋4)－8p ＝k 2y 1y 2＋4k (y 1＋y 2)＋16－8p ， 即0＝－8k 2p ＋8k 2p ＋16－8p ，得p ＝2，所以焦点F (1,0)．(2)设R (x ，y )，由FP →＋FQ →＝FR →得(x 1－1，y 1)＋(x 2－1，y 2)＝(x －1，y )，所以x 1＋x 2＝x ＋1，y 1＋y 2＝y .而y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，可得y (y 1－y 2)＝(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)．又FR 的中点坐标为M (x ＋12，y 2)， 当x 1≠x 2时，由k PQ ＝k MA 得4y ＝y 1－y 2x 1－x 2＝y 2x ＋12－4， 整理得y 2＝4x －28.当x 1＝x 2时，R 的坐标为(7,0)，也满足y 2＝4x －28.所以y 2＝4x －28即为动点R 的轨迹方程．14. 解 (1)设M 的坐标为(x ，y )，P 的坐标为(x P ，y P )， 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x P ＝x ，y P ＝54y ， ∵P 在圆上， ∴x 2＋(54y )2＝25， 即轨迹C 的方程为x 225＋y 216＝1. (2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y ＝45(x －3)， 设直线与C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线方程y ＝45(x －3)代入C 的方程，得x 225＋(x －3)225＝1，即x 2－3x －8＝0. ∴x 1＝3－412，x 2＝3＋412. ∴线段AB 的长度为 AB ＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝(1＋1625)(x 1－x 2)2 ＝4125×41＝415. 15．(1)解 由e ＝12得c a ＝12， 即a ＝2c ，b ＝3c .由右焦点到直线x a ＋y b＝1的距离为 d ＝217，得|bc －ab |a 2＋b2＝217， 解得a ＝2，b ＝ 3.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)证明 ①直线AB 斜率不存在时， 设A (m ，n )，B (m ，－n )，则n m ×－n m＝－1，∴m 2＝n 2. 把m 2＝n 2代入x 24＋y 23＝1，得m 2＝127. ∴O 到直线AB 的距离为|m |＝2217. ②直线AB 斜率存在时，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ，与椭圆x 24＋y 23＝1联立消去y 得 (3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0，x 1＋x 2＝－8km 3＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－123＋4k 2. ∵OA ⊥OB ，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0，∴x 1x 2＋(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝0.即(k 2＋1)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝0，∴(k 2＋1)4m 2－123＋4k 2－8k 2m 23＋4k2＋m 2＝0， 整理得7m 2＝12(k 2＋1)，所以O 到直线AB 的距离d ＝|m |k 2＋1＝127＝2217. 由①②可知，点O 到直线AB 的距离为定值．。

专题六 解析几何 第二讲 椭圆、双曲线、抛物线适考素能特训 文一、选择题1．[2015·某某质检(一)]已知直线l ：x －y －m ＝0经过抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点，l 与C 交于A 、B 两点．若|AB |＝6，则p 的值为( )A.12B.32 C ．1 D ．2 答案 B解析 因为直线l 过抛物线的焦点，所以m ＝p 2.联立⎩⎪⎨⎪⎧x －y －p 2＝0y 2＝2px得，x 2－3px ＋p 24＝0.设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝3p ，故|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4p ＝6，p ＝32，故选B.2．[2016·某某质检]已知P 是双曲线x 23－y 2＝1上任意一点，过点P 分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为A ，B ，则PA →·PB →的值是( )A ．－38B.316C ．－38D ．不能确定 答案 A解析 令点P (x 0，y 0)，因为该双曲线的渐近线分别是x3－y ＝0，x3＋y ＝0，所以可取|PA |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 03－y 013＋1，|PB |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 03＋y 013＋1，又cos ∠APB ＝－cos ∠AOB ＝－cos2∠AOx ＝－cos π3＝－12，所以PA →·PB →＝|PA →|·|PB →|·cos∠APB ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 203－y 2043·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝34×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－38，选A. 3．[2016·某某三模]已知抛物线y 2＝2px (p >0)与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)有相同的焦点F ，点A 是两曲线的一个交点，且AF ⊥x 轴，则双曲线的离心率为( )A.2＋2B.5＋1C.3＋1D.2＋1 答案 D解析 本题考查抛物线的性质、双曲线的离心率．由题意得点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0，又因为AF ⊥x 轴，所以点A 的横坐标为p2，因为点A 为抛物线与双曲线的交点，不妨设点A 位于第一象限，则y A ＝2px A ＝p ，即点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，p ，又因为点F 为双曲线与抛物线的相同的焦点，所以c ＝p2，则点A 的坐标为(c,2c )，代入双曲线的方程得c 2a 2－4c 2b2＝1，结合c 2＝a 2＋b 2，化简得c 4－6a 2c 2＋a 4＝0，解得双曲线的离心率e ＝ca＝2＋1，故选D.4．[2016·黄冈质检]在以O 为中心，F 1，F 2为焦点的椭圆上存在一点M ，满足|MF 1→|＝2|MO →|＝2|MF 2→|，则该椭圆的离心率为( )A.22B.33 C.63D.24答案 C解析 延长MO 与椭圆交于N ，因为MN 与F 1F 2互相平分，则四边形NMF 1F 2为平行四边形，则|MN |2＋|F 1F 2|2＝|MF 1|2＋|MF 2|2＋|NF 1|2＋|NF 2|2，又|MF 1|＋|MF 2|＝2|MF 2|＋|MF 2|＝3|MF 2|＝2a ，故|NF 1|＝|MF 2|＝23a ，|NF 2|＝|MF 1|＝43a ，|F 1F 2|＝2c ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫43a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43a 2＋(2c )2，即c 2a 2＝23，故e ＝63.5．[2016·某某测试]若以F 1(－3,0)，F 2(3,0)为焦点的双曲线与直线y ＝x －1有公共点，则该双曲线的离心率的最小值为( )A.62B.355C.32D. 3 答案 B解析 由题意知c ＝3，∴e ＝3a ，∴a 越大e 越小，而双曲线为x 2m －y29－m＝1，把直线y ＝x －1代入化简整理得(9－2m )x 2＋2mx －10m ＋m 2＝0，由Δ＝0得m ＝5，于是a ＝5，e ＝3a＝355，故选B. 6．[2016·金版原创]在平面直角坐标系xOy 中，以椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上一点A 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的一个焦点，与y 轴相交于B ，C 两点，若△ABC 是锐角三角形，则该椭圆的离心率的取值X 围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫6－22，5－12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫6－22，1C.⎝⎛⎭⎪⎫5－12，1D.⎝⎛⎭⎪⎫0，5－12答案 A解析 本题考查椭圆的几何性质、直线与圆的位置关系．利用直线与圆的位置关系建立椭圆基本量的关系求解离心率．由题意可得，圆心A ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，r ＝b 2a ，由三角形ABC 是锐角三角形得∠BAC <90°，则c ＝r ·cos ∠BAC 2>r ·cos45°，即c >22r .又依题意c <b 2a ，即22<cb2a<1，化简得⎩⎨⎧c 2＋2ac －a 2>0，c 2＋ac －a 2<0，两边同时除以a 2，关于离心率e 的不等式组为⎩⎨⎧e 2＋2e －1>0，e 2＋e －1<0，解得6－22<e <5－12，故选A. 二、填空题7．[2016·某某统考]焦点在x 轴上，焦距为10，且与双曲线y 24－x 2＝1有相同渐近线的双曲线的标准方程是________．答案x 25－y 220＝1 解析 设所求双曲线的标准方程为y 24－x 2＝－λ(λ>0)，即x 2λ－y 24λ＝1，则有4λ＋λ＝25，解得λ＝5，所以所求双曲线的标准方程为x 25－y 220＝1.8．设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为________．答案 94解析 易知直线AB 的方程为y ＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34，与y 2＝3x 联立并消去x ，得4y 2－123y －9＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝33，y 1y 2＝－94.S △OAB ＝12|OF |·|y 1－y 2|＝12×34y 1＋y 22－4y 1y 2＝3827＋9＝94. 9．[2015·某某莱芜一模]已知圆G ：x 2＋y 2－22x －2y ＝0经过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点及上顶点．过椭圆外一点M (m,0)(m >a )，倾斜角为2π3的直线l 交椭圆于C ，D 两点，若点N (3,0)在以线段CD 为直径的圆E 的外部，则m 的取值X 围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫72，2303解析 ∵圆G ：x 2＋y 2－22x －2y ＝0与x 轴，y 轴交点为(22，0)和(0,2)， ∴c ＝22，b ＝2，∴a 2＝b 2＋c 2＝12， ∴椭圆方程为x 212＋y 24＝1， 设直线l 的方程为y ＝－3(x －m )(m >23)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3x －m ，x 212＋y 24＝1得10x 2－18mx ＋9m 2－12＝0.由Δ＝324m 2－40(9m 2－12)>0， 可得－2303<m <2303，∴23<m <2303. 设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)， x 1＋x 2＝9m 5，x 1·x 2＝9m 2－1210，NC →·ND →＝(x 1－3，y 1)·(x 2－3，y 2)＝(x 1－3)(x 2－3)＋y 1y 2＝4x 1x 2－(3m ＋3)(x 1＋x 2)＋9＋3m 2>0. 化简得2m 2－9m ＋7>0，解得m >72.∴m 的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫72，2303.三、解答题10．[2016·某某质检]设点F 1(－c,0)，F 2(c,0)分别是椭圆C ：x 2a2＋y 2＝1(a >1)的左、右焦点，P 为椭圆C 上任意一点，且PF 1→·PF 2→的最小值为0.(1)求椭圆C 的方程；(2)如图，动直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 有且仅有一个公共点，作F 1M ⊥l ，F 2N ⊥l 分别交直线l 于M ，N 两点，求四边形F 1MNF 2面积S 的最大值．解 (1)设P (x ，y )，则PF 1→＝(－c －x ，－y )，PF 2→＝(c －x ，－y )，∴PF 1→·PF 2→＝x 2＋y 2－c 2＝a 2－1a2x 2＋1－c 2，x ∈[－a ，a ]，由题意得，1－c 2＝0，c ＝1，则a 2＝2， ∴椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)将直线l 的方程l ：y ＝kx ＋m 代入椭圆C 的方程x 22＋y 2＝1中，得(2k 2＋1)x 2＋4kmx＋2m 2－2＝0，由直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点知Δ＝16k 2m 2－4(2k 2＋1)(2m 2－2)＝0， 化简得m 2＝2k 2＋1.设d 1＝|F 1M |＝|－k ＋m |k 2＋1，d 2＝|F 2N |＝|k ＋m |k 2＋1. ①当k ≠0时，设直线l 的倾斜角为θ， 则|d 1－d 2|＝|MN |·|tan θ|，∴|MN |＝1|k |·|d 1－d 2|，∴S ＝12·1|k |·|d 1－d 2|·(d 1＋d 2)＝2|m |k 2＋1＝4|m |m 2＋1＝4|m |＋1|m |，∵m 2＝2k 2＋1，∴当k ≠0时，|m |>1，|m |＋1|m |>2，即S <2. ②当k ＝0时，四边形F 1MNF 2是矩形，此时S ＝2. ∴四边形F 1MNF 2面积S 的最大值为2.11．已知过抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)和B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝92.(1)求抛物线C 的方程；(2)若抛物线C 的准线为l ，焦点为F ，点P 为直线m ：x ＋y －2＝0上的动点，且点P 的横坐标为a ，试讨论当a 取不同的值时，圆心在抛物线C 上，与直线l 相切，且过点P 的圆的个数．解 (1)直线AB 的方程是y ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，代入y 2＝2px ，得4x 2－5px ＋p 2＝0，所以x 1＋x 2＝5p 4，由抛物线的定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝9p 4＝92，∴p ＝2，∴抛物线C 的方程是y 2＝4x .(2)解法一：由题意知l ：x ＝－1，F (1,0)．∵所求圆的圆心在抛物线上，且与直线l 相切，则圆过焦点F ，又圆过点P ，∴圆心在线段PF 的中垂线上，设P (a,2－a )，则线段PF 中点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12，2－a 2，当a ≠1，a ≠2时，k PF ＝2－a a －1，∴线段PF 的中垂线方程为y ＝a －1a －2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a ＋12＋2－a 2，化简得y ＝a －1a －2x ＋－2a 2＋4a －32a －2① 圆的个数即中垂线与抛物线的交点的个数，将x ＝y 24代入①得a －14a －2y 2－y ＋－2a 2＋4a －32a －2＝0，判别式Δ＝1－4·a －14a －2·－2a 2＋4a －32a －2＝1＋a －12a 2－4a ＋32a －22＝2a －22＋2a 3－6a 2＋7a －32a －22＝2a 3－4a 2－a ＋52a －22＝a ＋12a 2－6a ＋52a －22，∴当a ＝－1时，交点有1个，圆有1个； 当a <－1时，交点有0个，圆有0个；当a >－1且a ≠1，a ≠2时，交点有2个，圆有2个． 而当a ＝2时，易验证有2个交点，圆有2个； 当a ＝1时，易知交点有1个，圆有1个． 综上所述：当a <－1时，圆有0个； 当a ＝±1时，圆有1个； 当a >－1，且a ≠1时，圆有2个．解法二：设圆心Q (x 0，y 0)(y 20＝4x 0)，P (a,2－a )，由于准线l ：x ＝－1，故若存在圆Q 满足条件，则r ＝|PQ |＝x 0－a2＋y 0＋a －22，且r ＝|x 0＋1|，∴(x 0－a )2＋(y 0＋a －2)2＝(x 0＋1)2，即a 2＋y 20＋2(a －2)y 0＋(a －2)2＝(2＋2a )x 0＋1＝(2＋2a )y 204＋1，整理得(1－a )y 20＋(4a －8)y 0＋4a 2－8a ＋6＝0 (*)， 当a ＝1时，(*)式即－4y 0＋2＝0，有1个解． 当a ≠1时，(*)式中Δ＝(4a －8)2－4(1－a )(4a 2－8a ＋6)＝16a 3－32a 2－8a ＋40＝8(a ＋1)(2a 2－6a ＋5)，∵2a 2－6a ＋5＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a －322＋12>0，∴当a >－1时，Δ>0，(*)式有2个解； 当a ＝－1时，Δ＝0，(*)式有1个解； 当a <－1时，Δ<0，(*)式无解． 综上，当a <－1时，圆有0个；当a ＝±1时，圆有1个； 当a >－1，且a ≠1时，圆有2个．12．[2016·某某某某二模]已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x －y ＋6＝0相切．(1)求椭圆C 的方程；(2)已知点P (4,0)，A ，B 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连接PB 交椭圆C 于另一点E ，直线AE 与x 轴相交于点Q ，过点Q 的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，求OM →·ON→的取值X 围．解 (1)∵e ＝c a ＝12，a 2＝b 2＋c 2，∴ba＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝32.据另一个题设条件得：b ＝r ＝612＋－12＝ 3.∴a ＝2，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设B (x 1，y 1)，E (x 2，y 2)，据题意A (x 1，－y 1)，且y 1≠0.设直线PB 的方程为x ＝my ＋4，把它代入x 24＋y 23＝1并整理得(3m 2＋4)y 2＋24my ＋36＝0，∴y 1，y 2是该方程的两根，∴y 1＋y 2＝－24m 3m 2＋4，y 1y 2＝363m 2＋4.(*)直线AE 的方程为y ＋y 1＝－y 1－y 2x 1－x 2(x －x 1)，令y ＝0得点Q 的横坐标x Q ＝x 1y 2＋x 2y 1y 1＋y 2.∵x 1＝my 1＋4，x 2＝my 2＋4， ∴x Q ＝my 1＋4y 2＋my 2＋4y 1y 1＋y 2＝2my 1y 2＋4y 1＋y 2y 1＋y 2将(*)式代入得x Q ＝1.①当直线MN 与x 轴不重合时，设直线MN 的方程为x ＝ny ＋1，并设M (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)． 把x ＝ny ＋1代入3x 2＋4y 2＝12整理得(3n 2＋4)y 2＋6ny －9＝0，y 3，y 4是该方程的两根， ∴y 3＋y 4＝－6n 3n 2＋4，y 3y 4＝－93n 2＋4.(**)OM →·ON →＝x 3x 4＋y 3y 4＝(ny 3＋1)(ny 4＋1)＋y 3y 4＝(1＋n 2)y 3y 4＋n (y 3＋y 4)＋1，把(**)代入并整理得 OM →·ON →＝－12n 2＋53n 2＋4.∵12n 2＋53n 2＋4＝4－113n 2＋4∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫54，4， ∴OM →·ON →∈⎝⎛⎦⎥⎤－4，－54.②当直线MN 与x 轴重合时，OM →·ON →＝2×2×cos180°＝－4. 综上所述，OM →·ON →的取值X 围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4，－54.。

第二篇专题六第2讲 椭圆、双曲线、抛物线［限时训练•素能提升］ （限时45分钟，满分74分）、选择题（本题共7小题，每小题5分，共35分） 答案 A2. （2018 •山师附中模拟）已知点A 是抛物线C: x 2= 2py （p >0）上一点，O 为坐标原点， 若以点M 0, 8）为圆心，|OA 的长为半径的圆交抛物线 C 于A, B 两点，且△ ABC 为等边三角 形，贝U p 的值是3 2 A. B . 2C . 6D 83解析 由题意知I MATOA ，所以点A 的纵坐标为4,又厶ABC 为等边三角形，所以点A 的横坐标为 f,又点A 是抛物线C 上一点，所以16 =22p x 4,解得 p = 3.答案 DQ 过椭圆的长轴的一端点 P 作圆O 的两条切线，切点为 A , B,若四边形PAOB 为正方形, 则椭圆的离心率为1. （2018 •张家界三模）双曲线C ： a 2-b 2=1（a >0, b >0）的离心率为 2,其渐近线与圆（x22 3-a ）2+ y 2= 4相切，则该双曲线的方程为2A 2y 彳 A. x - - = 1 2 2x y- = 1 3 92 2x yC.2 - 5 = 1D.y_ 12解析 由题意得到e =c = 2,••• b = £a ,则双曲线的渐近线方程为 y =±Q 3x ,渐近线 与圆(x — a )2 + / = 3相切，• | $a| 二手？ a = 1,b = g 3.则双曲线方程为=1.2x 3. （2018 •绍兴模拟）已知椭圆g + 以O 为圆心, 短半轴长为半径作圆yb 2= 1(a >b > 0),的焦点，且双曲线的渐近线与抛物线的准线围成一个等边三角形，则双曲线A. 2B.书 C.乎 D.李解析 依题意得，曲线C 2的焦点就是曲线 C 的右顶点，故曲线C 2的准线方程为x =— a , 将x =-a 代入曲线C 的渐近线方程y =± ?x 得，该等边三角形的边长为 有a=^/3b ,双曲线C 的离心率e =、y^ =雪.答案 D所以|OM =所以 | MN = '.3| OM = 3,故选 B. 答案 B2 2x yC:匚+ ' = 1长轴的两个端点，若 C 上存在点 M3 m3 A. 2B.容 C.罟 D.罟解析 由题意知 | OA = | AFp = b , | OFp = a , OAL AP,所以2b 2 = a 2 , b =1,故 e = 1 — ；2=身,故选 B.答案2 x 4. （2018 •长沙二模）已知双曲线C :飞2y2合=1(a >0, b >0)经过抛物线 C 2： y = 2px (p >0)C 的离心率是2b ,高为a ,于是5. （2018 •全国卷I ）已知双曲线 2x 2C ： — — y = 1, O 为坐标原F 为C 的右焦点，过F的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M N 若A OMt 为直角三角形, 则 | MN =A.3 B . 3 C . 2 3解析 因为双曲线彳—y 2= 1的渐近线方程为y =±¥x ,所以/MO = 60° .不妨设过点F 的直线与直线 y=¥x 交于点M 由厶OMN 为直角三角形，不妨设/OM = 90°,则/ MFO=60°，又直线 MN 过点F （2 , 0），所以直线 MN 勺方程为y =— .3（x — 2）,y =-V 3(x — 2), y =认得3y =；3所以◎, 6. （2017 •全国卷I ）设 A , B 是椭圆满足/ AM R 120°,则m 的取值范围是A. (0 , 1] U [9 ,+R ) B • (0 , 3] U [9 ,+R ) C. (0, 1] U [4 ,+R )D . (0,3] U [4 ,+R )解析 当0<m <3时，焦点在x 轴上，要使C 上存在点M 满足/ AM R 120 ° ,则tan 60 =Q 3 ,即扌售上羽,得0<m< 1;当n >3时，焦点在y 轴上，要使C 上存在点M 满足/ AM R,得9,故 m 的取值范围为(0 , 1] U [9 , ), 故选A.答案 A (2018 •茂名联考)过抛物线E x 2= 2py (p >0)的焦点，且与其对称轴垂直的直线与 EE ： x 2= 2py ( p >0)的焦点，且与其对称轴垂直，••• Ap ,B — p , p ，由y '=；可知E 在A , B 两点处的切线斜率为k 1= 1, k 2=— 1,• k 1 • k 2 =— 1 ,• ACLBC 即厶ABC 为直角三角形， 又|AB = 2p ,所以△ ABC 外接圆的半径是 p . 答案 B二、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)2& (2018 •北京)已知直线l 过点(1 , 0)且垂直于x 轴.若I 被抛物线y = 4ax 截得的 线段长为4,则抛物线的焦点坐标为 ____________ .解析 由题意知，a >0,对于y 2= 4ax ,当x = 1时，y =土 2 a ,由于I 被抛物线y 2= 4ax 截得的线段长为4,所以4卫=4.所以a = 1,所以抛物线的焦点坐标为 (1 , 0).答案(1 , 0)2 2x y9. (2017 •全国卷I )已知双曲线 C:二一2= 1( a >0, b >0)的右顶点为 A,以A 为圆心，a b b 为半径作圆A ,圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于 M N 两点，若/ MA R 60°，则C 的离 心率为_______________.解析 双曲线的右顶点为 A ( a , 0)，一条渐近线的方程为y = b x ,即bx — ay = 0,则圆a7.交于A, B 两点，若 E 在A, B 两点处的切线与 E 的对称轴交于点 C,则厶ABC 外接圆的半径A. (.2—1)p C. ,2p• 2p解析因为直线过抛物线a120°,则产tan 60°心A到此渐近线的距离d=叮—恥01 =空.又因为/ MA= 60°,圆的半径为b,所以b • sinQ b + a c60°=譽即寻辔所以e= 23 =2 2 2y XV孑 + b =1(a>b>0), 双曲线N m2—n^= i.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆—c2) ,••• 4a4—8a2c2+ c4= 0,「. e椭一8e椭+ 4 = 0，二6椭=4±2 3，二e 椭=寸3+ 1(舍去)或e 椭=•. 3 —1，•椭圆M的离心率为 3 —1, •••双曲线的渐近线过点A| ,二笋，二渐近线方2 2程为y=p3x, • n=、/3,故双曲线的离心率e双=\/葺^ = 2.答案 3 —1; 2三、解答题(本大题共2小题，每小题12分，共24分)11. (2018 •全国卷n )设抛物线C：y2= 4x的焦点为F,过F且斜率为k( k>0)的直线I 与C交于A, B两点，| AB = 8.(1) 求I的方程；(2) 求过点A, B且与C的准线相切的圆的方程.解析(1)由题意得F(1 , 0) , l的方程为y= k(x —1)( k>0).设A(X1, y" , B(X2, y2).2 x10. (2018 •北京)已知椭圆M的离心率为;双曲线N的离心率为解析设椭圆的右焦点为F(c, 0),双曲线N的渐近线与椭圆M在第一象限内的交点为A,由题意可知A2，申c，由点在椭圆M上得,*+ ^2= 1, 2 2、2 2 22 2 2 2 2-2 2 2 2 2 2 2 2 2…b c + 3a c = 4a b , - b = a —c，…(a —c )c + 3a c =4a2(由y=k(x—“，得k2x2—(2k2+ 4)x+ k2= 0. y = 4x,^2 厶A = 16k + 16>0，故X1 + X2= 2—k4k2+ 4 所以| AE| = | AF| + | BF| =(X1+ 1) +(X2+ 1) = k24k + 4由题设知—^ = 8，解得k=—1(舍去)，kk= 1.因此I的方程为y = x—1.⑵由⑴得AB的中点坐标为(3 , 2)，所以AB的垂直平分线方程为y — 2 =—(x—3),即y=—x+ 5.设所求圆的圆心坐标为(x o, y o),卩0=—X0+ 5, 则(X0+ 1) 2=(y0—X0+ 1)2 + 16,x o= 3,解得ty°= 2x o= 11, 2 2 2 或。

第2讲 椭圆、双曲线、抛物线考情解读 1．以选择、填空的形式考查，主要考查圆锥曲线的标准方程、性质(特别是离心率)，以及圆锥曲线之间的关系，突出考查基础知识、基本技能，属于基础题.2．以解答题的形式考查，主要考查圆锥曲线的定义、性质及标准方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，常常在知识的交汇点处命题，有时以探究的形式出现，有时以证明题的形式出现．该部分题目多数为综合性问题，考查分析问题、解决问题的能力，综合运用知识的能力等，属于中、高档题，一般难度较大．圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质热点一 圆锥曲线的定义与标准方程例1 （1）若椭圆C ：x 29＋y 22＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆C 上，且|PF 2|＝4则∠F 1PF 2等于( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°（2）已知抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点与双曲线x 2－y 2＝－12的一个焦点重合，且在抛物线上有一动点P 到x 轴的距离为m ，P 到直线l ：2x －y －4＝0的距离为n ，则m ＋n 的最小值为________．思维启迪 (1)△PF 1F 2中利用余弦定理求∠F 1PF 2；(2)根据抛物线定义得m ＝|PF |－1.再利用数形结合求最值．思维升华 (1)对于圆锥曲线的定义不仅要熟记，还要深入理解细节部分：比如椭圆的定义中要求|PF 1|＋|PF 2|＞|F 1F 2|，双曲线的定义中要求||PF 1|－|PF 2||＜|F 1F 2|，抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等的转化． (2)注意数形结合，画出合理草图．（1）已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32.双曲线x 2－y 2＝1的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为( ) A ．x 28＋y 22＝1 B ．x 212＋y 26＝1 C ．x 216＋y 24＝1 D ．x 220＋y 25＝1（2）如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的方程为( ) A ．y 2＝9x B ．y 2＝6x C ．y 2＝3x D ．y 2＝3x热点二 圆锥曲线的几何性质例2 （1）已知离心率为e 的双曲线和离心率为22的椭圆有相同的焦点F 1，F 2，P 是两曲线的一个公共点，若∠F 1PF 2＝π3，则e 等于( )A ．52 B ．52 C ．62D ．3 （2）设F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的左，右焦点，若在直线x ＝a 2c 上存在点P ，使线段PF 1的中垂线过点F 2，则椭圆的离心率的取值范围是( ) A ．⎝⎛⎦⎤0，22 B ．⎝⎛⎦⎤0，33 C ．⎣⎡⎭⎫22，1 D ．⎣⎡⎭⎫33，1 思维启迪 (1)在△F 1F 2P 中利用余弦定理列方程，然后利用定义和已知条件消元；(2)可设点P 坐标为(a 2c ，y )，考察y 存在的条件．思维升华 解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式．建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等．（1）已知O 为坐标原点，双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，以OF 为直径作圆交双曲线的渐近线于异于原点的两点A 、B ，若(AO →＋AF →)·OF →＝0，则双曲线的离心率e 为( ) A ．2 B ．3 C ． 2 D ． 3（2）已知F 为双曲线C ：x 2－my 2＝3m (m >0)的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为( ) A ． 3 B ．3 C ．3m D ．3m热点三 直线与圆锥曲线例3 过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点A 作斜率为2的直线，与椭圆的另一个交点为B ，与y 轴的交点为C ，已知AB →＝613BC →.（1）求椭圆的离心率；（2）设动直线y ＝kx ＋m 与椭圆有且只有一个公共点P ，且与直线x ＝4相交于点Q ，若x 轴上存在一定点M (1,0)，使得PM ⊥QM ，求椭圆的方程．思维启迪 (1)根据AB →＝613BC →和点B 在椭圆上列关于a 、b 的方程；(2)联立直线y ＝kx ＋m 与椭圆方程，利用Δ＝0，PM →·QM →＝0求解．思维升华 待定系数法是求圆锥曲线方程的基本方法；解决直线与圆锥曲线问题的通法是联立方程，利用根与系数的关系，设而不求思想，弦长公式等简化计算；涉及中点弦问题时，也可用“点差法”求解．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦距为2，且过点(1，22)，右焦点为F 2.设A ，B 是C 上的两个动点，线段AB 的中点M 的横坐标为－12，线段AB 的中垂线交椭圆C 于P ，Q 两点．（1）求椭圆C 的方程； （2）求F 2P →·F 2Q →的取值范围．1．对涉及圆锥曲线上点到焦点距离或焦点弦的问题，恰当选用定义解题，会效果明显，定义中的定值是标准方程的基础．2．椭圆、双曲线的方程形式上可统一为Ax 2＋By 2＝1，其中A 、B 是不等的常数，A >B >0时，表示焦点在y 轴上的椭圆；B >A >0时，表示焦点在x 轴上的椭圆；AB <0时表示双曲线．3．求双曲线、椭圆的离心率的方法：(1)直接求出a ，c ，计算e ＝ca ；(2)根据已知条件确定a ，b ，c 的等量关系，然后把b 用a ，c 代换，求ca.4．通径：过双曲线、椭圆、抛物线的焦点垂直于对称轴的弦称为通径，双曲线、椭圆的通径长为2b 2a ，过椭圆焦点的弦中通径最短；抛物线通径长是2p ，过抛物线焦点的弦中通径最短．椭圆上点到焦点的最长距离为a ＋c ，最短距离为a －c . 5．抛物线焦点弦性质：已知AB 是抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点弦，F 为抛物线的焦点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． （1）y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24；（2）|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α(α为弦AB 的倾斜角)；（3）S △AOB ＝p 22sin α；（4）1|F A |＋1|FB |为定值2p；（5）以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．真题感悟1．(2014·湖北)已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2＝π3，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( ) A ．433 B ．233C ．3D ．22．(2014·辽宁)已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为( ) A ．12 B ．23C ．34 D ．43押题精练1．已知圆x 2＋y 2＝a 216上点E 处的一条切线l 过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点F ，且与双曲线的右支交于点P ，若OE →＝12(OF →＋OP →)，则双曲线的离心率是_____________．2．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 、B ，点P 在椭圆上且异于A 、B 两点，O 为坐标原点．（1）若直线AP 与BP 的斜率之积为－12，求椭圆的离心率；（2）若|AP |＝|OA |，证明：直线OP 的斜率k 满足|k |> 3.(推荐时间：60分钟)一、选择题1．已知椭圆x 24＋y 2b 2＝1(0<b <2)，左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若|BF 2|＋|AF 2|的最大值为5，则b 的值是( ) A ．1 B ． 2 C ．32D ． 32．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)以及双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1的渐近线将第一象限三等分，则双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为( )A ．2或233B ．6或233C ．2或 3D ．3或 63．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上，则双曲线的方程为( )A ．x 236－y 2108＝1B ．x 29－y 227＝1C ．x 2108－y 236＝1D ．x 227－y 29＝14．已知椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1 (a >b >0)，A (4,0)为长轴的一个端点，弦BC 过椭圆的中心O ，且AC →·BC →＝0，|OB →－OC →|＝2|BC →－BA →|，则其焦距为( ) A ．463 B ．433 C ．863 D ．2335．设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( )A ．334B ．938C ．6332D ．946．椭圆M ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为椭圆M 上任一点，且PF →1·PF →2的最大值的取值范围是[c 2,3c 2]，其中c ＝a 2－b 2，则椭圆M 的离心率e 的取值范围是( ) A ．[14，12] B ．[12，22] C ．(22，1) D ．[12，1)二、填空题7．(2014·北京)设双曲线C 经过点(2,2)，且与y 24－x 2＝1具有相同渐近线，则C 的方程为________；渐近线方程为________．8．已知点P (0,2)，抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，线段PF 与抛物线C 的交点为M ，过M 作抛物线准线的垂线，垂足为Q ，若∠PQF ＝90°，则p ＝________.9．抛物线C 的顶点在原点，焦点F 与双曲线x 23－y 26＝1的右焦点重合，过点P (2,0)且斜率为1的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，则弦AB 的中点到抛物线准线的距离为________．10．已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左，右焦点，点P 在双曲线上且不与顶点重合，过F 2作∠F 1PF 2的角平分线的垂线，垂足为A .若|OA |＝ b ，则该双曲线的离心率为_______． 三、解答题11．已知曲线C 上的动点P (x ，y )满足到定点A (－1,0)的距离与到定点B (1,0)的距离之比为 2. （1）求曲线C 的方程；（2）过点M (1,2)的直线l 与曲线C 交于两点M 、N ，若|MN |＝4，求直线l 的方程．12．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点，过F 1且斜率为1的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列． （1）求E 的离心率；（2）设点P (0，－1)满足|P A |＝|PB |，求E 的方程．13．(2013·北京)已知A ，B ，C 是椭圆W ：x 24＋y 2＝1上的三个点，O 是坐标原点．（1）当点B 是W 的右顶点，且四边形OABC 为菱形时，求此菱形的面积； （2）当点B 不是W 的顶点时，判断四边形OABC 是否可能为菱形，并说明理由．例1 (1)C (2)5－1 变式训练 (1)D (2)C 例2 (1)C (2)D 变式训练2 (1)C (2)A变式训练3 解 (1)因为焦距为2，所以a 2－b 2＝1. 因为椭圆C 过点(1，22)，所以1a 2＋12b2＝1.故a 2＝2，b 2＝1. 所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由题意，当直线AB 垂直于x 轴时，直线AB 的方程为x ＝－12，此时P (－2，0)，Q (2，0)，得F 2P →·F 2Q →＝－1.当直线AB 不垂直于x 轴时，设直线AB 的斜率为k (k ≠0)，M (－12，m )(m ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧x 212＋y 21＝1，x222＋y 22＝1，得(x 1＋x 2)＋2(y 1＋y 2)·y 1－y 2x 1－x 2＝0，则－1＋4mk ＝0，故4mk ＝1.此时，直线PQ 的斜率为k 1＝－4m ，直线PQ 的方程为y －m ＝－4m (x ＋12)．即y ＝－4mx －m .联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－4mx －m ，x22＋y 2＝1消去y ，整理得(32m 2＋1)x 2＋16m 2x ＋2m 2－2＝0.设P (x 3，y 3)，Q (x 4，y 4)所以x 3＋x 4＝－16m 232m 2＋1，x 3x 4＝2m 2－232m 2＋1.于是F 2P →·F 2Q →＝(x 3－1)(x 4－1)＋y 3y 4＝x 3x 4－(x 3＋x 4)＋1＋(4mx 3＋m )(4mx 4＋m ) ＝(4m 2－1)(x 3＋x 4)＋(16m 2＋1)x 3x 4＋m 2＋1＝(4m 2－1)(－16m 2)32m 2＋1＋(1＋16m 2)(2m 2－2)32m 2＋1＋1＋m 2＝19m 2－132m 2＋1.由于M (－12，m )在椭圆的内部，故0<m 2<78，令t ＝32m 2＋1,1<t <29，则F 2P →·F 2Q →＝1932－5132t .又1<t <29，所以－1<F 2P →·F 2Q →<125232.综上，F 2P →·F 2Q →的取值范围为[－1，125232)．AD 1．2642．(1)解 设点P 的坐标为(x 0，y 0)，y 0≠0.由题意，有x 20a 2＋y 20b2＝1.①由A (－a,0)，B (a,0)，得k AP ＝y 0x 0＋a ，k BP ＝y 0x 0－a. 由k AP · k BP ＝－12，可得x 20＝a 2－2y 20，代入①并整理得(a 2－2b 2)y 20＝0. 由于y 0≠0，故a 2＝2b 2.于是e 2＝a 2－b 2a 2＝12，所以椭圆的离心率e ＝22.(2)证明 方法一 依题意，直线OP 的方程为y ＝kx ，设点P 的坐标为(x 0，y 0)．由条件得⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝kx 0，x 20a 2＋y 20b 2＝1. 消去y 0并整理，得x 20＝a 2b 2k 2a 2＋b2，②由|AP |＝|OA |，A (－a,0)及y 0＝kx 0，得(x 0＋a )2＋k 2x 20＝a 2.整理得(1＋k 2)x 20＋2ax 0＝0.而x 0≠0，于是x 0＝－2a 1＋k 2， 代入②，整理得(1＋k 2)2＝4k 2⎝⎛⎭⎫a b 2＋4.又a >b >0，故(1＋k 2)2>4k 2＋4，即k 2＋1>4，因此k 2>3，所以|k |> 3.方法二 依题意，直线OP 的方程为y ＝kx ，可设点P 的坐标为(x 0，kx 0)．由点P 在椭圆上，有x 20a 2＋k 2x 20b2＝1.因为a >b >0，kx 0≠0，所以x 20a 2＋k 2x 20a2<1，即(1＋k 2)x 20<a 2.③ 由|AP |＝|OA |及A (－a,0)，得(x 0＋a )2＋k 2x 20＝a 2，整理得(1＋k 2)x 20＋2ax 0＝0，于是x 0＝－2a 1＋k 2. 代入③，得(1＋k 2)4a 2(1＋k 2)2<a 2，解得k 2>3，所以|k |> 3.DABCDB 7．x 23－y 212＝1 y ＝±2x 8．2 9．11 10．211．解 (1)由题意得|P A |＝2|PB |故(x ＋1)2＋y 2＝2(x －1)2＋y 2 化简得：x 2＋y 2－6x ＋1＝0(或(x －3)2＋y 2＝8)即为所求． (2)当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝1.将x ＝1代入方程x 2＋y 2－6x ＋1＝0得y ＝±2，所以|MN |＝4，满足题意． 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx －k ＋2， 由圆心到直线的距离d ＝2＝|3k －k ＋2|1＋k 2，解得k ＝0，此时直线l 的方程为y ＝2. 综上所述，满足题意的直线l 的方程为x ＝1或y ＝2.12．解 (1)由椭圆定义知|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ，因为2|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|，所以|AB |＝43a .l 的方程为y ＝x ＋c ，其中c ＝a 2－b 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋c ，x 2a 2＋y 2b 2＝1，化简得(a 2＋b 2)x 2＋2a 2cx ＋a 2(c 2－b 2)＝0，则x 1＋x 2＝－2a 2c a 2＋b 2，x 1x 2＝a 2(c 2－b 2)a 2＋b2.因为直线AB 的斜率为1，所以|AB |＝2|x 2－x 1|＝2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2].故43a ＝4ab 2a 2＋b2，得a 2＝2b 2，所以E 的离心率e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝22.(2)设AB 的中点为N (x 0，y 0)，由(1)知x 0＝x 1＋x 22＝－a 2c a 2＋b 2＝－23c ，y 0＝x 0＋c ＝c3.由|P A |＝|PB |，得k PN ＝－1，即y 0＋1x 0＝－1，得c ＝3，从而a ＝32，b ＝3.故椭圆E 的方程为x 218＋y 29＝1.13．解 (1)由椭圆W ：x 24＋y 2＝1，知B (2,0)∴线段OB 的垂直平分线x ＝1. 在菱形OABC 中，AC ⊥OB ， 将x ＝1代入x 24＋y 2＝1，得y ＝±32.∴|AC |＝|y A －y C |＝ 3.∴菱形的面积S ＝12|OB |·|AC |＝12×2×3＝ 3.(2)假设四边形OABC 为菱形．∵点B 不是W 的顶点，且直线AC 不过原点， ∴可设AC 的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝kx ＋m 消y 并整理得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0. 设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则x 1＋x 22＝－4km 1＋4k 2，y 1＋y 22＝k ·x 1＋x 22＋m ＝m1＋4k 2. ∴线段AC 中点M ⎝⎛⎭⎫－4km 1＋4k 2，m 1＋4k 2，∵M 为AC 和OB 交点，∴k OB ＝－14k.又k ·⎝⎛⎭⎫－14k ＝－14≠－1， ∴AC 与OB 不垂直．∴OABC 不是菱形，这与假设矛盾． 综上，四边形OABC 不是菱形．。