大学数学高数微积分专题五椭圆双曲线课堂讲义

椭圆与双曲线知识点集合椭圆和双曲线是平面内的两种点的轨迹。

椭圆是指与两个定点F1和F2的距离的和等于常数（大于|F1，F2|）的点的轨迹，这两个点被称为椭圆的焦点。

双曲线是指与两个定点F1和F2的距离的差的绝对值等于常数（大于且小于|F1，F2|）的点的轨迹，这两个点被称为双曲线的焦点。

椭圆和双曲线的定义中，参数2a的范围限制符号不同。

对于椭圆，焦点在x轴上或y轴上，有P={M||MF1|+|MF2|=2a}(2a>|F1F2|)；对于双曲线，焦点在x轴上或y轴上，有P={M||MF1|-|MF2|=2a}(0<2a<|F1F2|)。

标准方程是表示椭圆和双曲线的一种方式。

在求标准方程时，一定要考虑焦点位置，即焦距|F1F2|=2c。

椭圆和双曲线的长轴和短轴的长度关系为a2=b2+c2和c2=a2+b2.几何含义是|x|≤a，|y|≤b，或者|x|≤b，|y|≤a，或者|x|≥a，y∈R。

椭圆有4个顶点，双曲线有2个顶点，椭圆没有渐近线，双曲线有两条渐近线。

椭圆和双曲线的顶点和长轴、短轴的长度可以通过求解标准方程得到。

长轴和短轴分别被称为实轴和虚轴，实轴的长度为2a，虚轴的长度为2b。

离心率是描述椭圆和双曲线形状的一个参数，其取值范围为c∈(0,1)和c∈(1,∞)。

离心率越大，椭圆或双曲线越扁，离心率越小，椭圆或双曲线越圆（椭圆）或开口越小（双曲线）。

在平面内，对于一个点到定点F的距离与到定直线l的距离之比为常数e。

这是第一定义。

第二定义是，对于平面内到定点F的距离与到定直线l的距离之比为（<e<1）的点的轨迹是椭圆，其中F在l外。

F是椭圆的一个焦点，而l是焦点F对应的准线。

同样地，当常数（ee1）时，点的轨迹是双曲线。

F是双曲线的一个焦点，而l是焦点F对应的准线。

焦点可以在x轴上或y轴上。

椭圆的准线在两侧，而双曲线的准线在两支之间。

准线方程如下：左准线x a2/c，右准线x a2/c下准线y c2/b，上准线y c2/b左焦半径|PF1|a ex，右焦半径|PF2|a ex下焦半径|PF1|a ey，上焦半径|PF2|a ey左焦半径|PF1||a ex|，右焦半径|PF2||a ex| 下焦半径|PF1||a ey|，上焦半径|PF2||a ey| 焦准距p b2/c焦半径公式是焦半径取值范围[a-c,a+c]左焦点弦|AB|2a e(x1x2)，右焦点弦|AB|2a e(x1x2)下焦点弦|AB|2a e(y1y2)，上焦点弦|AB|2a e(y1y2)左|AB||2a e(x1x2)|，右|AB||2a e(x1x2)|下|AB||2a e(y1y2)|，上|AB||2a e(y1y2)|焦点弦为长轴时最长，长为2a；焦点弦为通径时最短，长为2b2/a；同侧焦点弦为通径时最短，长为2b2/a；异侧焦点弦为实轴时最短，长为2a。

高考双曲线椭圆知识点高考是每个中国学生都必须面对的一场考试，而数学是高考中最为重要的一门科目之一。

在数学中，双曲线和椭圆是高考中重要的知识点。

本文将从双曲线和椭圆的定义、性质以及应用方面进行探讨。

首先，我们先来了解一下双曲线的基本概念。

双曲线是一类曲线，它在平面上可以被定义为满足一定条件的点的集合。

在笛卡尔坐标系中，双曲线的方程可以写为Ax^2 + By^2 = C，其中A、B、C为常数，A和B不能同时为0。

双曲线有两支，分别位于x轴的两侧，并且曲线与x轴的交点称为双曲线的顶点。

双曲线具有一些重要的性质。

首先，双曲线与x轴和y轴的关系是不对称的，也就是说，如果一点(x, y)在双曲线上，那么它的对称点(-x, y)也在双曲线上。

其次，双曲线的两支在无穷远处趋于与x轴平行的直线，这个直线称为双曲线的渐近线。

另外，双曲线还具备焦点和准线的概念。

焦点是双曲线上的一个特殊点，具有一定的几何性质，而准线是与双曲线有特殊关系的一条直线。

接下来，让我们转移到椭圆的知识点。

椭圆是平面上一类特殊的曲线，它的定义与双曲线有所不同。

在笛卡尔坐标系中，椭圆的方程为(x/a)^2 + (y/b)^2 = 1，其中a和b分别为椭圆的长轴和短轴。

椭圆的形状由长轴和短轴的长度所决定，当长轴的长度大于短轴的长度时，椭圆看起来更加扁平，反之则更加延长。

和双曲线一样，椭圆也具备一些重要的性质。

首先，椭圆与x轴和y轴对称，也就是说，如果一点(x, y)在椭圆上，那么它的对称点(-x, y)、(x, -y)、(-x, -y)也都在椭圆上。

其次，椭圆有两个焦点，它们与椭圆上的任意一点的距离之和是一个常数。

此外，椭圆的长轴和短轴的长度也决定了椭圆的离心率，离心率为0时，椭圆退化为一个圆。

不仅如此，双曲线和椭圆在现实生活中也有一些应用。

例如，在物理学中，双曲线和椭圆可以用来描述行星的轨道和天体的弹道。

此外，在工程中，双曲线和椭圆也常常用来设计桥梁和道路的曲线。

椭圆知识点一：椭圆的定义（重视“括号”内的限制条件） 平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121F F a PF PF >=+ ,这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意：若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ； 若)(2121F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形.例1、已知定点)0,3(),0,3(21F F -，在满足下列条件的平面上动点P 的轨迹中是椭圆的是 A ．421=+PF PF B ．621=+PF PF C ．1021=+PF PF D ．122221=+PF PF （答：C ）； 知识点二：椭圆的标准方程1．当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+by a x )0(>>b a ，其中222b a c -={cos sin x a y b ϕϕ==（参数方程，其中ϕ为参数）（掌握） 2．当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+bx a y )0(>>b a ，其中222b a c -=；方程22Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么（ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B ）。

例3、已知方程12322=-++ky k x 表示椭圆，则k 的取值范围为____（答：11(3,)(,2)22---）； 例4、若R y x ∈,，且62322=+y x ，则y x +的最大值是____，22y x +的最小值是___（答：5,2）知识点三：椭圆的简单几何性质椭圆：12222=+b y a x )0(>>b a 的简单几何性质（1）对称性：对于椭圆标准方程12222=+by a x )0(>>b a ：以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。

椭圆知识点【知识点1】椭圆的概念:椭圆的第一定义 在平面内到两定点F 1、F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距． 当动点设为M 时，椭圆即为点集P ={}12|2M MF MF a +=注意：若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ；若)(2121F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形。

椭圆的第二定义:在平面内，满足到定点的距离与到定直线的距离之比是等于一个常数的动点的轨迹叫做椭圆。

其中这个定点叫做椭圆的焦点，这条定直线叫做相应于该焦点的准线。

注：定义中的定点不在定直线上。

如果将椭圆的中心与坐标原点重合，焦点放在X 轴上，准线方程是： 焦点放在Y 轴上，准线方程是：【知识点2】椭圆的标准方程焦点在x 轴上椭圆的标准方程: ()222210x y a b a b += >>，焦点坐标为（c ，0)，（-c ，0)焦点在y 轴上的椭圆的标准方程为：()222210x y a b b a+= >>焦点坐标为（0，c ，）(o ，-c )【知识点3】椭圆的几何性质:规律:(1)椭圆焦点位置与x 2，y 2系数间的关系：焦点在分母大的那个轴上. (2)椭圆上任意一点M 到焦点F 的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离为a ＋c ，最小距离为a －c . (3)在椭圆标准方程图形性质范围对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点 顶点 A 1(－a,0)， A 2(a,0) B 1(0，－b )，B 2(0，b )A 1(0，－a )，A 2(0，a )B 1(－b,0)，B 2(b,0)轴 长轴A 1A 2的长为2a ；短轴B 1B 2的长为2b焦距 ∣F 1F 2 |=2c 离心率 e=c a∈(0,1) a ，b ，c 的关系c 2＝a 2－b 2中，离心率22222221a b a b a a c a c e -=-===(4)椭圆的离心率e 越接近１椭圆越扁；e 越接近于０，椭圆就接近于圆；椭圆典型例题一、已知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。

椭圆知识点【知识点1】椭圆的概念:椭圆的第一定义 在平面内到两定点F 1、F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．当动点设为M 时，椭圆即为点集P ={}12|2M MF MF a += 注意：若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ；若)(2121F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形。

椭圆的第二定义:在平面内，满足到定点的距离与到定直线的距离之比是等于一个常数的动点的轨迹叫做椭圆。

其中这个定点叫做椭圆的焦点，这条定直线叫做相应于该焦点的准线。

注：定义中的定点不在定直线上。

如果将椭圆的中心与坐标原点重合，焦点放在X 轴上，准线方程是： 焦点放在Y 轴上，准线方程是：【知识点2】椭圆的标准方程焦点在x 轴上椭圆的标准方程: ()222210x y a b a b += >>，焦点坐标为（c ，0)，（-c ，0)焦点在y 轴上的椭圆的标准方程为：()222210x y a b b a+= >>焦点坐标为（0，c ，）(o ，-c )【知识点3】椭圆的几何性质:规律:(1)椭圆焦点位置与x 2，y 2系数间的关系：焦点在分母大的那个轴上.(2)椭圆上任意一点M 到焦点F 的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离为a ＋c ，最小距离为a －c .标准方程()222210x y a b a b += >> ()222210x y a b b a += >> 图形性质范围 a x a -≤≤b y b -≤≤对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点顶点A 1(－a,0)， A 2(a,0)B 1(0，－b )，B 2(0，b )A 1(0，－a )，A 2(0，a )B 1(－b,0)，B 2(b,0)轴 长轴A 1A 2的长为2a ；短轴B 1B 2的长为2b焦距 ∣F 1F 2 |=2c离心率 e=ca∈(0,1) a ，b ，c 的关系c 2＝a 2－b 2(3)在椭圆中，离心率22222221a b a b a a c a c e -=-===(4)椭圆的离心率e 越接近１椭圆越扁；e 越接近于０，椭圆就接近于圆；椭圆典型例题一、已知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。

椭圆知识点【知识点1】椭圆的概念:椭圆的第一定义 在平面内到两定点F 1、F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距． 当动点设为M 时，椭圆即为点集P ={}12|2M MF MF a +=注意：若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ；若)(2121F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形。

椭圆的第二定义:在平面内，满足到定点的距离与到定直线的距离之比是等于一个常数的动点的轨迹叫做椭圆。

其中这个定点叫做椭圆的焦点，这条定直线叫做相应于该焦点的准线。

注：定义中的定点不在定直线上。

如果将椭圆的中心与坐标原点重合，焦点放在X 轴上，准线方程是： 焦点放在Y 轴上，准线方程是：【知识点2】椭圆的标准方程焦点在x 轴上椭圆的标准方程: ()222210x y a b a b += >>，焦点坐标为（c ，0)，（-c ，0)焦点在y 轴上的椭圆的标准方程为：()222210x y a b b a+= >>焦点坐标为（0，c ，）(o ，-c )【知识点3】椭圆的几何性质:规律:(1)椭圆焦点位置与x 2，y 2系数间的关系：焦点在分母大的那个轴上. (2)椭圆上任意一点M 到焦点F 的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离为a ＋c ，最小距离为a －c . (3)在椭圆标准方程图形性质范围对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点 顶点 A 1(－a,0)， A 2(a,0) B 1(0，－b )，B 2(0，b )A 1(0，－a )，A 2(0，a )B 1(－b,0)，B 2(b,0)轴 长轴A 1A 2的长为2a ；短轴B 1B 2的长为2b焦距 ∣F 1F 2 |=2c 离心率 e=c a∈(0,1) a ，b ，c 的关系c 2＝a 2－b 2中，离心率22222221a b a b a a c a c e -=-===(4)椭圆的离心率e 越接近１椭圆越扁；e 越接近于０，椭圆就接近于圆；椭圆典型例题一、已知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。