2.2.1椭圆的标准方程.ppt

46、我们若已接受最坏的，就再没有什么损失。——卡耐基 47、书到用时方恨少、事非经过不知难。——陆游 48、书籍把我们引入最美好的社会，使我们认识各个时代的伟大智者。——史美尔斯 49、熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟。——孙洙 50、谁和我一样用功，谁就会和我一样成功。——莫扎特
人教高中数学 选修2-1 第二章 2.2.1椭 圆的定义与标准方程(共36张PPT)•6、黄金时代源自在我们的前面，而不在 我们的 后面。
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7、心急吃不了热汤圆。
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8、你可以很有个性，但某些时候请收 敛。
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9、只为成功找方法，不为失败找借口 (蹩脚 的工人 总是说 工具不 好)。
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10、只要下定决心克服恐惧，便几乎 能克服 任何恐 惧。因 为，请 记住， 除了在 脑海中 ，恐惧 无处藏 身。-- 戴尔． 卡耐基 。

在△PF1F2 中，∵∠F1PF2＝60°， 根据余弦定理可得： |PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos 60°＝|F1F2|2＝28，② 由①②得|PF1|·|PF2|＝12， 所以 S＝12|PF1|·|PF2|·sin60°＝3 3.
名师点评
椭圆上一点P与椭圆的两焦点F1、F2构成的△F1PF2 称为焦点三角形，解关于椭圆中的焦点三角形问 题时要充分利用椭圆的定义、三角形中的正弦定 理、余弦定理等知识.
互动探究
3.本例中其他条件不变，∠F1PF2＝60°改为∠F1PF2＝ 90°，求△F1PF2的面积.
解：∵1x62 ＋y92＝1，∴a＝4，b＝3，c＝ 7，|F1F2|＝2 7. ∵点 P 在椭圆上，∴|PF1|＋|PF2|＝8. 在△PF1F2 中，∵∠F1PF2＝90°， ∴|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2， ∴|F1F2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|， ∴28＝64－2|PF1||PF2|，∴|PF1||PF2|＝18. ∴S△F1PF2＝12|PF1||PF2|＝9.
(2)由于椭圆的焦点在 y 轴上， ∴设它的标准方程为ay22＋bx22＝1(a>b>0). 由于椭圆经过点(0，2)和(1，0)，
∴aa4022＋＋bb0122＝＝11⇒ab22＝＝41，.
故所求椭圆的标准方程为y42＋x2＝1.
名师点评
先确定焦点所在的坐标轴,然后再设相应的标准方程， 再根据题目中的其他条件，求出变量a与b即可. 若焦点位置不好确定，方程可设为mx2＋ny2＝1(m>0， n>0，m≠n)，只需求出待定系数m、n即可.
名师点评
定义法求轨迹方程非常简洁，但要注意2a>|F1F2|条件 的判断.另外，求出曲线的方程后，要检验一下曲线 上的点是否都符合方程，如果有不符合题意的点， 应在方程后注明.

y2 a2
x2 b2
1
(a
b 0).
由已知，得c=4.
又因为 c2 a2 b2 , 所以 a2 b2 16 .①
典例精析
因为点（ 3，- 5）在. 椭圆上，,
即5 a2
3 b2
1,
②
将①代入②，得
b2
5 16
3 b2
1,
解得b2=4.由①得a2=4+16=20.
x2
y2
1.
2.25 0.81
课堂小结
图形
定义 方程 焦点 a,b,c的 关系
y
P
F1 o F2 x
y
F2
P
o
x
F1
{P||PF1|+|PF2|=2a,2a>|F1F2|}
x2 a2
y2 b2
1
a b 0
y2 a2
x2 b2
1
a b 0
F(±c，0)
F(0，±c)
b2 a2 c2 (a,b,c中a最大)
解：以过 B，C两点的直线为x轴，线段BC的垂直 平分线为y轴，建立直角坐标系xOy，如图所示.
由|BC|=8，可知B（-4,0），C（-4,0）. 由|AB| +|AC|+ |BC|= 18，得|AB| +|AC|=10，因此，点 A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆，这个椭圆上的点与 两焦点的距离之和2a=10，但点A不在x轴上. 由a=5，c=4,得b2=a2-c2=25-16=9. 因此A的轨迹方程为 x2 y2 1( y 0).
现在我们根据椭圆的定义来求椭圆的方程. 以焦点F1,F2的所在直线为x轴，线段F1F2的垂直 平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy(如图).

1 (a＞b＞0).
依题意有
2
2
a2
2
3 b2 1,
2
1
a2
2 3 b2
1,
解得
a2 5,
b
2
15.
因为a＞b＞0，所以无解.
综上，所求椭圆的标准方程为 x2 y2 1.
15 5
方法二：设所求椭圆的方程为mx2+ny2=1(m＞0，n＞0，m≠n)，
依题意有
3m 4n 1, 12m n 1,
【微思考】
在椭圆的定义中，动点M到两定点F1，F2的距离之和等于常数 (2a)且2a>|F1F2|，若2a=|F1F2|，则M的轨迹是什么？若 2a<|F1F2|，则M的轨迹是什么？ 提示:当2a=|F1F2|时，点M的轨迹是线段F1F2； 当2a<|F1F2|时，点M的轨迹不存在.
【即时练】
1.椭圆 x2 y2 1 的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，
两焦点距离之和等于6，求椭圆的方程.
(2)椭圆的焦点为F1(0，-5)，F2(0，5)，点P(3，4)是椭圆上
的一个点，求椭圆的方程.
【解析】(1)由椭圆的焦点坐标为(-2，0)，(2，0)，
所以可设椭圆的方程为:
x2 a2
y2 b2
1 (a＞b＞0).
因为2a=6，2c=4，所以a=3，c=2，
94
所以a=3，b=2，c= 5
答案：3 2 5
【要点探究】 知识点 1 椭圆的定义 1.对椭圆定义的三点说明 (1)椭圆是在平面内定义的，所以“平面内”这一条件不能视. (2)定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量.
(3)常数(2a)必须大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆，