高考数学椭圆与双曲线的经典性质50条技巧归纳总结

椭圆与双曲线的对偶性质--（必背的经典结论）椭 圆点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2F PF S b γ∆=.椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a⋅=-，即022y a x b K AB-=。

若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y yx y a b a b+=+. 双曲线点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y y a b -=.若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b -=.双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122t 2F PF S b co γ∆=.双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-.当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =--设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11.AB 是双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则0202y a x b K K AB OM =⋅，即0202y a x b K AB =。

椭圆与双曲线的对偶性质--（必背的经典结论）高三数学备课组椭 圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y ab+=.6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y ab+=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y ab+=.7. 椭圆22221x y ab+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F P F S b γ∆=.8. 椭圆22221xya b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||M F a ex =+,20||M F a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF .10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22221x y ab+=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a⋅=-，即0202y a x b K AB -=。

12. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y ab a b+=+.13. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y ab+=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y abab+=+.双曲线1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）5. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y y ab-=.6. 若000(,)P x y 在双曲线22221x yab -=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x xy y ab-=.7. 双曲线22221x y ab-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122t2F P F S b co γ∆=.8. 双曲线22221x yab-=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c当00(,)M x y 在右支上时，10||M F ex a =+,20||M F ex a =-.当00(,)M x y 在左支上时，10||M F ex a =-+,20||M F ex a =--9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是双曲线22221x y ab-=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则202y a x b KK ABOM =⋅，即0202y a x b K AB =。

椭圆与双曲线的对偶性质--（必背的经典结论）高三数学备课组椭 圆点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.若在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是.若在椭圆外 ，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是.椭圆 (a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F 2，点P为椭圆上任意一点，则椭圆的焦点角形的面积为.椭圆（a＞b＞0）的焦半径公式：,( , ).设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A AB是椭圆的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则，即。

若在椭圆内，则被Po所平分的中点弦的方程是.若在椭圆内，则过Po的弦中点的轨迹方程是.双曲线点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的内角.PT平分△PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P在右支；外切：P在左支）若在双曲线（a＞0,b＞0）上，则过的双曲线的切线方程是.若在双曲线（a＞0,b＞0）外 ，则过Po作双曲线的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是双曲线（a＞0,b＞o）的左右焦点分别为F1，F 2，点P为双曲线上任意一点，则双曲线的焦点角形的面积双曲线（a＞0,b＞o）的焦半径公式：( ,当在右支上时，,.当在左支上时，,设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交 P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，AB是双曲线（a＞0,b＞0）的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则，即。

椭圆与双曲线的对偶性质--（必背的经典结论）椭 圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y ya b +=. 6.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b +=. 7.椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上随意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PF S b γ∆=.8.椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).9.设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11.AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-，即0202y a x b K AB -=。

12. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+.13.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y yx y a b a b +=+. 双曲线1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）5.若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y y a b -=. 6.若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b -=. 7.双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上随意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122t2F PFS b co γ∆=.8.双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-.当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =--9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q交于点N ，则MF ⊥NF. 11.AB 是双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则0202y a x b K K AB OM =⋅，即0202y a x b K AB=。

注：尊敬的各位读者，本文是笔者教育资料系列文章的一篇，由于时间关系，如有相关问题，望各位雅正。

希望本文能对有需要的朋友有所帮助。

如果您需要其它类型的教育资料，可以关注笔者知识店铺。

由于部分内容来源网络，如有部分内容侵权请联系笔者。

椭圆与双曲线的对偶性质--（必背的经典结论）高三数学备课组椭 圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=.7. 椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2F PF S b γ∆=.8. 椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-，即0202y a x b K AB -=。

椭圆与双曲线的对偶性质--（必背的经典结论）高三数学备课组椭 圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角, 则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆, 除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上, 则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=.6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外 , 则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2, 则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=.7. 椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1, F 2, 点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=, 则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PF S b γ∆=.8. 椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点, A 为椭圆长轴上一个顶点, 连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点, 则MF ⊥NF.10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点, A 1P 和A 2Q 交于点M, A 2P和A 1Q 交于点N, 则MF ⊥NF.11. AB 是椭圆22221x y a b+=的不平行于对称轴的弦, M ),(00y x 为AB 的中点, 则22OM AB b k k a ⋅=-,即0202y a x b K AB -=。

椭圆第一定义第二定义标准方程222a b c -=．若不确定焦点位置时，方程可设为221mx ny += (m ＞0，n ＞0，m n ≠）．参数方程焦点在x 轴：cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩（其中θ为参数）．面积公式S ab π=．离心率()0,1c e a ===． 焦半径公式通径三角形面积椭圆22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的左右焦点分别为1F ,2F ，点P 为椭圆上任意一点12F PF θ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为1222sin tan 1cos 2F PF S b b θθθ∆==+．切线方程若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=(a ＞b ＞0)上，则过0P 的切线方程是00221x x y ya b +=．若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=(a ＞b ＞0)外，则过0P 作椭圆的两条切线切点为1P 、2P ，则切点弦12P P 的直线方程是00221x x y ya b+=． 中点弦方程在椭圆22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的不平行于对称轴的弦AB 中点为00(,)M x y ，则0022:1AB AB x y l k a b+⋅=，代入M 坐标，可求出AB k ，进而利用点斜式可求得00:()AB AB l y y k x x -=-．若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=(a ＞b ＞0)内，则被0P 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b+=+．若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=(a ＞b ＞0)内，则过0P 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y yx y a b a b+=+．双曲线第一定义平面内与两定点1F 、2F 的距离的差的绝对值等于常数2a （2a ＜12F F 且20a ≠）的点的轨迹叫做双曲线．即：122MF MF a -=．第二定义标准方程其中222a b c +=．若不确定焦点位置时，方程可设为221mx ny += (mn ＜0）．参数方程焦点在x 轴：sec tan x a y b θθ=⎧⎨=⎩（其中θ为参数） 正割1sec cos θθ=．离心率()1,c e a ===+∞． 渐近线双曲线22221x y a b -=的渐近线为b y x a =±双曲线22221y x a b -=的渐近线为ay x b=±．焦半径公式焦点在x 轴上双曲线任意一点00(,)P x y 到焦点的距离：左焦半径10=PF ex a + 右焦半径20=PF ex a -．通径三角形面积双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的左右焦点分别为1F ,2F ，点P 为双曲线上任意一点12F PF θ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为1222sin t 1cos 2F PF S b b co θθθ∆==-．切线方程若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b -=(a ＞0，b ＞0)上，则过0P 的切线方程是00221x x y ya b -=．若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)外，则过0P 作双曲线的两条切线切点为1P 、2P ，则切点弦12P P 的直线方程是00221x x y ya b-=． 中点弦方程在双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的不平行于对称轴的弦AB 中点为00(,)M x y ，则0022:1AB AB x y l k a b-⋅=，代入M 坐标，可求出AB k ，进而利用点斜式可求得00:()AB AB l y y k x x -=-．若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)内，则被0P 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b-=-． 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)内，则过0P 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b-=-．椭圆补充1. 椭圆22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交椭圆于1P 、2P 时11A P 与22A P 交点的轨迹方程是22221x y a b-=．2. 过椭圆22221x y a b+=(a ＞b ＞0)上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B 、C 两点，则直线BC 有定向且2020BC b x k a y =（常数）． 3. 若P 为椭圆22221x y a b+=(a ＞b ＞0)上异于长轴端点的任一点，1F 、2F 是焦点，12PF F α∠=，21PF F β∠=，则tan cot 22a c a c αβ-=+．4. 设椭圆22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的两个焦点为1F 、2F ，P （异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在12PF F △中，记12F PF α∠=, 12PF F β∠=,12F F P γ∠=，则有sin sin sin ce a αβγ==+．5. 若椭圆22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为1F 、2F ，左准线为L ，则当0＜e 1时，可在椭圆上求一点P ，使得1PF 是P 到对应准线距离d 与2F 的比例中项． 6. P 为椭圆22221x y a b+=(a ＞b ＞0)上任一点，1F 、2F 为两焦点，A 为椭圆内一定点，则21122a AF PA PF a AF -≤+≤+，当且仅当2,,A F P 三点共线时，等号成立． 7. 椭圆220022()()1x x y y a b --+=与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是2222200()A a B b Ax By C +≥++． 8. 已知椭圆22221x y a b +=(a ＞b ＞0)，O 为坐标原点，P 、Q 为椭圆上两动点，且OP OQ ⊥．（1）22221111||||OP OQ a b +=+．（2）22OP OQ +的最大值为22224a b a b +．（3）OPQ S ∆的最小值是2222a b a b +．9. 过椭圆22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的右焦点F 作直线交该椭圆右支于M 、N 两点，弦MN 的垂直平分线交x 轴于P ，则||||2PF eMN =． 10. 已知椭圆22221x y a b+=(a ＞b ＞0)，A 、B 是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x ，则22220a b a b x a a---<<．11. 设P 点是椭圆22221x y a b+=(a ＞b ＞0)上异于长轴端点的任一点，1F 、2F 为其焦点记12F PF θ∠=，则 （1）2122||||1cos b PF PF θ=+．（2）122tan 2PF F S b θ∆=．12. 设A 、B 是椭圆22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的长轴两端点，P 是椭圆上的一点，PAB α∠=,PBA β∠=,BPA γ∠=，c 、e 分别是椭圆的半焦距离心率，则有（1）22222|cos |||s ab PA a c co αγ=-．（2）2tan tan 1e αβ=-．（3）22222cot PAB a b S b a γ∆=-． 13. 已知椭圆22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的右准线l 与x 轴相交于点E ，过椭圆右焦点F 的直线与椭圆相交于A 、B 两点，点C 在右准线l 上，且BC x ⊥轴，则直线AC 经过线段EF 的中点．14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直．15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直．16. 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e (离心率). （注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.） 17. 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e . 18. 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.双曲线补充1. 双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交双曲线于1P 、2P 时11A P 与22A P 交点的轨迹方程是22221x y a b+=．2. 过双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B 、C 两点，则直线BC 有定向且2020BC b x k a y =-（常数）．3. 若P 为双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)右（或左）支上除顶点外的任一点，1F 、2F 是焦点，12PF F α∠=, 21PF F β∠=，则tan cot 22c a c a αβ-=+（或tan cot 22c a c a βα-=+）． 4. 设双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的两个焦点为1F 、2F , P （异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在△12PF F 中，记12F PF α∠=, 12PF F β∠=,12F F P γ∠=，则有sin (sin sin )ce a αγβ==±-．5. 若双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为1F 、2F ，左准线为L ，则当1＜e1时，可在双曲线上求一点P ，使得1PF 是P 到对应准线距离d 与2F 的比例中项． 6. P 为双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)上任一点，1F 、2F 为两焦点，A 为双曲线内一定点，则212AF a PA PF -≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线且P 和2,A F 在y 轴同侧时，等号成立．7. 双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是22222A a B b C -≤．8. 已知双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)，O 为坐标原点，P 、Q 为双曲线上两动点，且OP OQ ⊥．（1）22221111||||OP OQ a b +=-．（2）22OP OQ +的最小值为22224a b b a -．（3）OPQ S ∆的最小值是2222a b b a -． 9. 过双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的右焦点F 作直线交该双曲线的右支于M 、N 两点，弦MN 的垂直平分线交x 轴于P ，则||||2PF eMN =．10. 已知双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)，A 、B 是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x ，则220a b x a +≥或220a b x a+≤-．11. 设P 点是双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)上异于实轴端点的任一点，1F 、2F 为其焦点记12F PF θ∠=，则（1）2122||||1cos b PF PF θ=-．（2）122cot 2PF F S b θ∆=．12. 设A 、B 是 双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的长轴两端点，P 是双曲线上的一点，PAB α∠=, PBA β∠=,BPA γ∠=，c 、e 分别是双曲线的半焦距离心率，则有（1）22222|cos ||||s |ab PA a c co αγ=-．（2）2tan tan 1e αβ=-．（3）22222cot PAB a b S b a γ∆=+． 13. 已知双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的右准线l 与x 轴相交于点E ，过双曲线右焦点F 的直线与双曲线相交于A 、B 两点,点C 在右准线l 上，且BC x ⊥轴，则直线AC 经过线段EF的中点．14. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直．15. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直．16. 双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e (离心率) ．(注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点). 17. 双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e . 18. 双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.抛物线定义平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线．标准方程设0p >，抛物线的标准方程、类型及其几何性质：参数方程222x pt y pt⎧=⎨=⎩（t 为参数，t R ∈）． 抛物线22y px =(0p >)的图像和性质：(1)焦点坐标是：⎪⎭⎫⎝⎛02，p ．(2)准线方程是：2p x -=．(3)顶点是焦点向准线所作垂线段中点，顶点平分焦点到准线的垂线段：2p OF OK ==． (4)焦准距：FK p =．(5)焦半径公式：若点),(00y x P 是抛物线px y 22=上一点，则该点到抛物线的焦点的距离（称为焦半径）是：02p PF x =+．(6) 抛物线的焦点弦：设过抛物线的焦点的直线与抛物线交11(,)P x y ,22(,)Q x y ，且1QM ⊥准线于点1M ，2PM ⊥准线于点2M ，则①焦点弦长121222p pPQ x x x x p =+++=++．②221212,4p y y p x x =-=．③若直线PQ 的倾斜角为θ,则22sin pPQ θ=．④若F 为抛物线焦点，则有112PF QF p+=．⑤P 、O 、1M 三点共线，Q 、O 、2M 三点共线．(7)通径：过焦点垂直于轴的弦长为2p ．这是过焦点的所有弦中最短的.(8)焦半径为半径的圆：以p 为圆心、FP 为半径的圆必与准线相切．所有这样的圆过定点F 、准线是公切线．(9)焦半径为直径的圆：以焦半径FP 为直径的圆必与过顶点垂直于轴的直线相切．所有这样的圆过定点F 、过顶点垂直于轴的直线是公切线．(10)焦点弦为直径的圆：以焦点弦PQ 为直径的圆必与准线相切．所有这样的圆的公切线是准线．切线方程若000(,)P x y 在抛物线22y px =(0p >)上，则过0P 的切线方程是00()y y p x x =+．中点弦公式抛物线2:2C x py =上，过给定点00(,)P x y 的中点弦所在直线方程为2000py x x py x -=-．。

高考数学椭圆与双曲线的经典性质50条椭圆1.点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.2.PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.4.以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5.若在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是.6.若在椭圆外，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P 1P2的直线方程是.7.椭圆(a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上任意一点，则椭圆的焦点角形的面积为.8.椭圆（a＞b＞0）的焦半径公式：,(,).9.设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MF⊥NF.10.过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.11.AB是椭圆的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则，即。

12.若在椭圆内，则被Po所平分的中点弦的方程是.13.若在椭圆内，则过Po的弦中点的轨迹方程是.双曲线1.点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的内角.2.PT平分△PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.4.以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P在右支；外切：P 在左支）5.若在双曲线（a＞0,b＞0）上，则过的双曲线的切线方程是.6.若在双曲线（a＞0,b＞0）外，则过Po作双曲线的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是.7.双曲线（a＞0,b＞o）的左右焦点分别为F1，F2，点P为双曲线上任意一点，则双曲线的焦点角形的面积为.8.双曲线（a＞0,b＞o）的焦半径公式：(,当在右支上时，,.当在左支上时，,9.设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点，则MF⊥NF.10.过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶点，A 1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.11.AB是双曲线（a＞0,b＞0）的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则，即。

椭圆与双曲线的对偶性质--（必背的经典结论）高三数学备课组椭圆1.点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2.PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3.以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4.以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b 上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b . 6.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b 外，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x xy y ab . 7.椭圆22221xy a b (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF ，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2F PF S b .8.椭圆22221x y a b（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex ,20||MF a ex (1(,0)F c , 2(,0)F c 00(,)M x y ).9.设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10.过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11.AB 是椭圆22221x y a b 的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ，即0202y a x b K AB 。

12.若000(,)P x y 在椭圆22221xy ab 内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b . 13.若000(,)P x y 在椭圆22221xya b 内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x xy y x ya b a b . 双曲线1.点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角. 2.PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3.以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交. 4.以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）5.若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b （a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y y a b . 6.若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b （a ＞0,b ＞0）外，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b . 7.双曲线22221x y a b （a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF ，则双曲线的焦点角形的面积为122t 2F PF S b co . 8.双曲线22221x y a b （a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c , 2(,0)F c 当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a ,20||MF ex a . 当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a ,20||MF ex a9.设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10.过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11.AB 是双曲线22221xy a b （a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则0202y a x b K K AB OM ，即0202y a x b K AB 。

椭圆与双曲线的对偶性质--（必背的经典结论）高三数学备课组椭 圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角， 则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆， 除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上， 则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=.6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外 ， 则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2， 则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=.7. 椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1， F 2， 点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=， 则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PF S b γ∆=.8. 椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点， A 为椭圆长轴上一个顶点， 连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点， 则MF ⊥NF.10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点， A 1P 和A 2Q 交于点M ， A 2P和A 1Q 交于点N ， 则MF ⊥NF.11. AB 是椭圆22221x y a b+=的不平行于对称轴的弦， M ),(00y x 为AB 的中点， 则22OM AB b k k a ⋅=-，即0202y a x b K AB -=。

椭圆与双曲线的对偶性质--（必背的经典结论）椭 圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4.以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b+=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b+=. 7. 椭圆22221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2F PF S b γ∆=.8. 椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是椭圆22221x y a b+=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-，即0202y a x b K AB -=。

12.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+.13.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b +=+. 双曲线1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）5.若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y y a b -=. 6.若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b-=. 7.双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122t2F PF S b co γ∆=.8.双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-.当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =--9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11.AB 是双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则0202y a x b K K AB OM =⋅，即022y a x b K AB=。