121任意角的三角函数一

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第一章 三角函数

§1.2 任意角的三角函数

1．2.2 同角三角函数的基本关系

课时目标 1.理解同角三角函数的基本关系式.2.会运用平方关系和商的关系进行化简、求值和证明．

1．同角三角函数的基本关系式

(1)平方关系：____________________.

(2)商数关系：____________(α≠kπ＋π2，k∈Z)．

2．同角三角函数基本关系式的变形

(1)sin2α＋cos2α＝1的变形公式：

sin2α＝________；cos2α＝________；

(sin α＋cos α)2＝____________________；

(sin α－cos α)2＝________________；

(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝______；

sin α·cos α＝______________________＝________________________.

(2)tan α＝sin αcos α的变形公式：sin α＝________________；cos α＝______________.

知识点归纳：

1．同角三角函数的基本关系式揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，它的精髓在“同角”二字上，如sin22α＋cos22α＝1，sin 8αcos 8α＝tan 8α等都成立，理由是式子中的角为“同角”．

2．已知角α的某一种三角函数值，求角α的其余三角函数值时，要注意公式的合理选择．一般是先选用平方关系，再用商数关系．在应用平方关系求sin α或cos α时，其正负号是由角α所在象限来决定，切不可不加分析，凭想象乱写公式．

3．在进行三角函数式的求值时，细心观察题目的特征，灵活、恰当的选用公式，统一角、统一函数、降低次数是三角函数关系变形的出发点．

一、选择题

1．化简sin2α＋cos4α＋sin2αcos2α的结果是( )

1第23讲 三角函数的概念

模块一 思维导图串知识

模块二 基础知识全梳理（吃透教材）

模块三 核心考点举一反三

模块四 小试牛刀过关测1．借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义；

2．掌握任意角的三角函数值在各象限的符号；

3．会利用任意角的三角函数的定义求值；

4．掌握公式一并会应用.

知识点 1 任意角的三角函数的定义

1、利用单位圆定义任意角的三角函数

设

是一个任意角，它的终边OP

与单位圆交于点

yxP,

．

三角函数定义记作符号表示

正弦函数点P

的纵坐标sinsiny



余弦函数点

P

的横坐标

cos



cos

x



正切函数点P

的纵坐标

与横坐标的比值tan

tan(0)y

x

x



我们将正弦函数、余弦函数、和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为：

正弦函数sin,yxxR2

余弦函数cos,yxxR

正切函数

tan,

2yxxkkZ





2、用角的终边上点的坐标表示三角函数

如图，设若是一个任意角，它的终边上任意一点P

（不与原点重合）的坐标为



,xy

，点P

到原点的距离为22

()rrxy

，则siny

r



，cosx

r



，tany

x



．

【注意】三角函数值的大小只与角的大小有关，与终边上点P

的位置无关．

知识点 2 三角函数的定义域和函数值的符号

1、三角函数的定义域

三角函数定义域

sin

R



cos

R



tan,

2kkZ









【说明】单位圆上,xy

的取值范围是[1,1]

，根据正弦函数、余弦函数的定义，我们可以得

到正弦函数、余弦函数的值域．

2、三角函数值在各象限的符号

根据三角函数的定义以及单位圆上点的位置（在哪个象限），可以得到正弦函数、余弦函数、

正切函数的值在各个象限的符号，如下图．

由于原点到角的终边上任意一点的距离r

是正值，根据三角函数的定义，值

（1）正弦函数值的符号取决于纵坐标y

的符号；

（2）余弦函数值的符号取决于横坐标x

的符号；3（3）正切函数值的符号取决于由,xy

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文件编号：TIDE-0459-I-2012-005-GF-1-D

教研组长： 教学主任： 显明教育学生课后作业

1．以下四个命题中，正确的是( )

A．在定义域内，只有终边相同的角的三角函数值才相等

B．｛｜＝k＋6，k∈Z｝≠｛｜＝-k＋6，k∈Z｝

C．若是第二象限的角，则sin2＜0

D．第四象限的角可表示为｛｜2k＋23＜＜2k，k∈Z｝

2．若角的终边过点(-3，-2)，则( )

A．sintan＞0 B．costan＞0 C．sincos＞0 D．sincot＞0

3．角的终边上有一点P(a，a)，a∈R，且a≠0，则sin的值是( )

A．22 B．-22 C．±22 D．1

4.α是第二象限角，其终边上一点P（x，5），且cosα＝42x，则sinα的值为（ ）

A．410 B．46 C．42 D．－410

5.使lg（cosθ·tanθ）有意义的角θ是（ ）

A．第一象限角 B．第二象限角 C．第一或第二象限角 D．第一、二象限角或终边在y轴上

6.设角α是第二象限角，且|cos2|＝－cos2，则角2是（ ）

A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角

7．已知角的终边落在直线y＝3x上，则sin＝________．

8．已知P(-3，y)为角的终边上一点，且sin＝1313，那么y的值等于________．

9．已知锐角终边上一点P(1，3)，则的弧度数为________．

10．（1）sin49tan37_________

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高中数学必修四 第一章

知识点归纳

第一：任意角的三角函数

一：角的概念：角的定义，角的三要素，角的分类（正角、负角、零角和象限角），正确理解角，与角终边相同的角的集合|2,kkz ，弧度制，弧度与角度的换算，

弧长lr、扇形面积21122slrr，

二：任意角的三角函数定义：任意角的终边上任意取一点p的坐标是（x，y），它与原点的距离是22rxy(r>0)，那么角的正弦ryasin、余弦rxacos、正切xyatan，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数。

三：同角三角函数的关系式与诱导公式：

1.平方关系：22sincos1

2. 商数关系： sintancos

3．诱导公式——口诀：奇变偶不变，符号看象限。

正弦

余弦

正切

第二、三角函数图象和性质

基础知识:1、三角函数图像和性质

1-1y=sinx-32-52-727252322-2-4-3-2432-oyx

1-1y=cosx-32-52-727252322-2-4-3-2432-oyx 学习必备 欢迎下载

y=tanx322-32--2oyx

解析式 y=sinx y=cosx tanyx

定义域

值域和最值 y

当x ，1y取最小值－

当x

，1y取最大值 y

当x ，1y取最小值－

当x ，1y取最大值

y

无最值

周期性 2T 2T T

奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数